Về phương trình Pell của các đa thức với hệ số hữu tỉ (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

VŨ AN PHƯỢNG

VỀ PHƯƠNG TRÌNH PELL
CỦA CÁC ĐA THỨC VỚI HỆ SỐ HỮU TỈ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

VŨ AN PHƯỢNG

VỀ PHƯƠNG TRÌNH PELL
CỦA CÁC ĐA THỨC VỚI HỆ SỐ HỮU TỈ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số:
60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. NGUYỄN ĐÌNH BÌNH

Thái Nguyên - 2016

i

Mục lục

Danh mục ký hiệu

iii

Mở đầu

1

Chương 1. Phương trình Pell cơ bản và một số ứng dụng

4

1.1

Phương trình Pell loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Phương trình Pell loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3

Phương trình Pell tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4

Một số ứng dụng của phương trình Pell . . . . . . . . . . . 14

Chương 2. Phương trình Pell mở rộng

20

2.1

Một số kiến thức mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2

Liên phân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3

Hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4

Kết nối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Chương 3. Về phương trình Pell của các đa thức với hệ số
hữu tỉ

29

3.1

Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2

Dạng chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3

Phương trình Pell của các đa thức với hệ số hữu tỉ bậc bốn

34


ii

3.3.1

Tham số hóa đường bậc bốn . . . . . . . . . . . . . 34

3.3.2

Tính liên phân số của

d(x) . . . . . . . . . . . . . 37

Kết luận

45

Tài liệu tham khảo

46


iii

Danh mục ký hiệu
Pn
Qn

Dãy các giản phân của liên phân số biểu diễn số
vô tỉ α

K

Trường có đặc số khác 2

K×

Trường có đặc số khác 2 không chứa phần tử 0

K((x−1 ))

Trường các chuỗi lũy thừa hình thức Laurent theo
biến x−1

K[x]

Trường các đa thức một biến x

K(x, y)

Trường các hàm số của đường cong C định nghĩa
bởi y 2 = d(x)

C˜

Chuẩn của đường cong C

γ

Kiểu hình học của C˜

˜
Pic0 (C)

Jacobi của C˜

gcd(p(x), q(x)) Ước chung lớn nhất của p(x) và q(x)
deg(d(x))

Bậc của đa thức d(x)

div(u)

Ước của u

φ : C˜ → J

Phép nhúng định nghĩa bởi R → [R − Q]

φ(P )

˜
Điểm xoắn trên Pic0 (C)


1

Mở đầu
Có thể nói Số học là lĩnh vực xuất hiện sớm nhất trong lịch sử Toán
học, nó ra đời từ khi con người bắt đầu làm việc với những con số. Số học
là một phân môn quan trọng trong toán học đã gắn bó với tất cả chúng ta
xuyên suốt quá trình học Toán từ bậc Tiểu học đến Trung học phổ thông.
Sự kì diệu của Số học thường tiềm ẩn những thử thách sâu sắc để thách
thức trí tuệ của con người. Trong các thành tựu của số học thì phương
trình Pell là một phương trình nổi tiếng và có nhiều ứng dụng trong việc
giải các bài toán số học hay và khó. Ta biết rằng với d dương và không
phải là số chính phương thì phương trình Pell dạng x2 − dy 2 = 1 có vô số
nghiệm x, y ∈ Z. Vào những năm 1760, Euler khám phá ra một số đẳng
thức liên quan phương trình Pell. Trong số đó, ông chứng minh rằng nếu

d = n2 + 1 với n nguyên thì (2n2 + 1)2 − (n2 + 1)(2n)2 = 1. Đẳng thức
như trên có nhiều tiềm năng ứng dụng cho bài toán tìm các lớp số của
√
trường số thực bậc hai. Ví dụ, nếu ta biết rằng (2n2 + 1) + (2n) n2 + 1

√
là phần tử đơn vị cơ bản trong Q( n2 + 1) thì ta có thể sử dụng công
thức lớp số Dirichlet để tính các lớp số của trường số thực bậc hai có dạng
√
Q( n2 + 1).
Được hỗ trợ bởi đẳng thức Euler, Zachary L. Scherr nghiên cứu mở
rộng sau của phương trình Pell năm 2013, với câu hỏi:


2

Cho R là một miền nguyên có đặc số khác 2. Với giá trị d(x) ∈ R[x]
khác hằng, không chính phương như thế nào thì phương trình Pell

f (x)2 − d(x)g(x)2 = 1

(1)

có nghiệm f (x), g(x) ∈ R[x] hay không, trong đó g(x) khác không?
Chúng ta sẽ gọi nghiệm của (1) với g(x) khác không là nghiệm không
tầm thường. Cách giải quyết câu hỏi trên là trước tiên hiểu rõ khi nào tồn
tại một nghiệm không tầm thường trong K[x] trong đó K là trường các
thương của R. Khi ta biết cách tìm mọi nghiệm trong K[x], ta hy vọng
lấy ra các nghiệm mà có hệ số trong R.
Bố cục của luận văn ngoài phần mở đầu và kết luận thì nội dung còn
các chương sau:
Chương 1: Phương trình Pell cơ bản và một số ứng dụng. Trong chương
này chúng tôi trình bày định nghĩa, điều kiện tồn tại nghiệm, phương pháp
giải của các phương trình Pell loại 1, loại 2 và phương trình Pell dạng tổng
quát. Đồng thời các ứng dụng của phương trình Pell cũng được trình bày

ở phần cuối chương này.
Chương 2: Phương trình Pell mở rộng. Chương này chúng tôi nghiên cứu
một số tính chất cơ bản của phương trình Pell mở rộng. Kiến thức của
chương này làm cơ sở cho việc chứng minh các kết quả ở chương 3.
Chương 3: Về phương trình Pell của các đa thức với hệ số hữu tỉ
Trình bày mở rộng của phương trình Pell dạng f (x)2 − d(x)g(x)2 = 1
và các vấn đề liên quan.
Luận văn đến nay đã được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy tôi,
TS. Nguyễn Đình Bình, người đã đặt đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi


3

có thể hoàn thành tốt nhất luận văn này. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân
thành và lời cảm ơn sâu sắc nhất đến Thầy.
Tôi xin chân thành cảm ơn Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học
- Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành
khóa học. Tôi cũng xin được cảm ơn sự nhiệt tình giảng dạy của các giảng
viên trong suốt thời gian tôi học tập.
Tôi cũng xin cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Phổ thông Liên cấp II III, Trấn Yên 2, tỉnh Yên Bái đã luôn tạo điều kiện về thời gian và tinh
thần để tôi hoàn thành nhiệm vụ học tập của mình.
Cuối cùng, tôi xin gửi những lời cảm ơn đặc biệt nhất tới đại gia đình,
bạn bè và các anh chị em đồng nghiệp, những người luôn động viên khích
lệ giúp tôi hoàn thành luận văn này.

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2016
Học viên

Vũ An Phượng

4

Chương 1
Phương trình Pell cơ bản và một số
ứng dụng
Phương trình Pell có dạng tổng quát là x2 − dy 2 = n, trong đó d và n
là các số nguyên cho trước, x và y là các nghiệm nguyên cần tìm. Trong
phạm vi chương này, chúng tôi sẽ nêu một số kết quả (không chứng
minh) về phương trình Pell loại 1 (với n = 1), phương trình Pell loại 2
(với n = −1) phương trình Pell tổng quát (với n là một số nguyên dương
bất kì, n = 0, ±1). Nội dung trình bày được trích dẫn trong các tài liệu
[1, 2, 6].

1.1

Phương trình Pell loại 1

Phương trình Pell loại 1 có dạng
x2 − dy 2 = 1,

(1.1)

trong đó, d là một số nguyên.
Vì (1.1) bao giờ cũng có hai nghiệm x = ±1, y = 0 và ta gọi đó là các
nghiệm tầm thường của phương trình (1.1).
Ta có các trường hợp sau:
Nếu d < −1 thì phương trình (1.1) chỉ có nghiệm tầm thường.
Nếu d = −1 thì phương trình (1.1) có 4 nghiệm là x = ±1, y = 0
và x = 0, y = ±1.

5

Nếu d = 0 thì phương trình có vô số nghiệm là x = ±1 và y nhận
giá trị nguyên tuỳ ý.
Nếu d là một số chính phương, d = n2 , n ∈ N∗ thì phương trình
(1.1) có dạng:
(x − ny)(x + ny) = 1.
Khi đó phương trình chỉ có nghiệm tầm thường.
Do đó ta chỉ xét phương trình (1.1) với giả thiết d là một số tự nhiên
không phải là số chính phương. Dưới đây chúng tôi sẽ trình bày lại một
số kết quả của phương trình Pell loại 1.
Mệnh đề 1.1.1. Nếu phương trình Pell có nghiệm không tầm thường
thì nó có vô số nghiệm.
Định lý 1.1.2. Nếu (x1 , y1 ) là nghiệm nhỏ nhất của phương trình Pell
(1.1), thì tất cả các nghiệm nguyên dương (xn , yn ) của phương trình này
được xác định bởi công thức:

√ n
√ n
 x = (x1 +y1 d) +(x1 −y1 d) ,
n
√ n2
√ n
−(x1 −y1 d)
 y = (x1 +y1 d) √
,
n

(1.2)

2 d

với n = 1, 2, ...
Hệ quả 1.1.3. Công thức truy hồi để tính các nghiệm của phương trình
(1.1) như sau:
xn = x1 xn−1 + dy1 yn−1 ,
(n ≥ 2) .
yn = y1 xn−1 + x1 yn−1 ,

(1.3)

Pn
Bổ đề 1.1.4. Giả sử
là dãy các giản phân của liên phân số biểu
Qn
a
diễn số vô tỉ α, là một giản phân tối giản với mẫu số b > 0 sao cho:
b
|αb − a| < |αQn − Pn | ,
với chỉ số n > 1 nào đó thì b ≥ Qn+1 .


6

a
Bổ đề 1.1.5. Nếu α là một số vô tỉ, là một phân số tối giản với b > 0,
b
sao cho:

a
1
α−
< 2,
b
2b
a
thì là một giản phân của liên phân số biểu diễn α.
b
Định lý 1.1.6. Nếu (a, b) là một nghiệm nguyên dương của phương trình
√
a
Pell (1.1) thì là một giản phân của liên phân số biểu diễn số vô tỉ d.
b
Thuật toán giải phương trình Pell bằng liên phân số
Theo định lí (1.1.6) ta có thuật toán giải phương trình Pell theo các
bước sau:
√
1. Khai triển d thành liên phân số.
Pn
, n = 0, 1, ... của liên phân số đó.
2. Tính các giản phân
Qn
3. Tính Pn2 − dQ2n , n = 0, 1, ...
Nghiệm nhỏ nhất của phương trình Pell là (Pn , Qn ) với n là số tự
nhiên nhỏ nhất mà Pn2 − dQ2n = 1.
4. Viết nghiệm của phương trình theo công thức (1.2) hoặc theo hệ
thức truy hồi (1.3) với x1 = Pn , y1 = Qn .
Ví dụ 1.1.7. Giải phương trình: x2 − 7y 2 = 1.
Giải. Trước tiên ta xác định nghiệm nhỏ nhất của phương trình đã cho

bằng cách thay các giá trị của y = 1, 2, 3, ... vào biểu thức 1 + 7y 2 .
Với y = 1 :
Với y = 2 :
Với y = 3 :
Vậy (8, 3) là

x2 = 1 + 7 = 8 (loại).
x2 = 1 + 7.4 = 29 (loại).
x2 = 1 + 7.9 = 64 (thỏa mãn), nên x = 8.
nghiệm nhỏ nhất của phương trình. Các nghiệm (xn , yn )

của phương trình xác định theo hệ thức truy hồi.
x1 = 8, y1 = 3,
xn = 8xn−1 + 21yn−1 , yn = 3xn−1 + 8yn−1 , n ≥ 2.


7

Trong nhiều trường hợp, việc thử trực tiếp để tìm nghiệm nhỏ nhất
của phương trình Pell đòi hỏi một khối lượng tính toán khá lớn. Chẳng
hạn, để tìm nghiệm nhỏ nhất của phương trình x2 − 13y 2 = 1, ta phải
tính giá trị của biểu thức 1 + 13y 2 lần lượt với y = 1, 2, ..., 180 mới được
kết quả 1 + 13.1802 = 6492 . Sau đây ta sẽ trình bày lại lời giải ví dụ trên
bằng liên phân số.
Ví dụ 1.1.8. Giải phương trình: x2 − 7y 2 = 1 bằng liên phân số.
√
Giải. Để khai triển α0 = 7 thành liên phân số ta áp dụng thuật toán
sau:
1
q0 = [α0 ], qi = [αi ], αi =

, i ≥ 1.
αi−1 − qi−1
Ta có:
√
√
7+2
1
q0 = [ 7] = 2, α1 = √
=
,
3
7−2
√
√
7+2
1
7+1
3
=
q1 =
= 1, α2 = √
,
=√
3
2
7+2
7−1
−1
3
√

√
7+1
7+1
1
2
q2 =
=
= 1, α3 = √
=√
,
2
3
7+1
7−1
−1
2
√
√
1
3
7+1
q3 =
= 1, α4 = √
=√
= 7 + 2,
3
7+1
7−2
−1
3

√
1
1
q4 =
7 + 2 = 4, α5 = √
=√
= α1 .
( 7 + 2) − 4
7−2
Tiếp tục ta sẽ được
q5 = q1 , q6 = q2 , q7 = q3 , q8 = q4 , . . .
√

7 = [2; (1, 1, 1, 4)]. Ở đây các số hạng (1, 1, 1, 4) được lặp đi lặp
lại vô hạn lần. Để tính các giản phân của liên phân số này và đồng thời
tính các giá trị của các biểu thức Pn2 − 7Q2n ta lập Bảng 1.1 sau:
Vậy


8
Bảng
qk
2
Pk
2
Qk
1
Pk2 − 7Q2k −3

1.1:

1
3
1
2

1
5
2
-3

1 4
8 37
3 14
1 -3

Từ Bảng 1.1 ta thấy (8,3) là một nghiệm của phương trình. Do đó
các nghiệm (xn , yn ) của phương trình xác định theo hệ thức truy hồi.
x1 = 8, y1 = 3,
xn = 8xn−1 + 21yn−1 , yn = 3xn−1 + 8yn−1 , n ≥ 2.

1.2

Phương trình Pell loại 2

Phương trình Pell loại 2 có dạng:
x2 − dy 2 = −1,

(1.4)

trong đó d là một số nguyên. Ta dễ thấy rằng:

Nếu d ≤ 0 thì hiển nhiên phương trình vô nghiệm.
Nếu d = 1 thì phương trình (1.4) có nghiệm x = 0, y = ±1.
Nếu d = n2 > 1 thì phương trình (1.4) vô nghiệm. Thật vậy, nếu có
các số nguyên x, y sao cho x2 − n2 y 2 = −1, thì (x − ny) (x + ny) = −1.
Từ đó suy ra hoặc x−ny = −1, x+ny = 1 hoặc x−ny = 1, x+ny = −1.
Trong mọi trường hợp đều suy ra x = 0. Vậy n2 y 2 = 1, mâu thuẫn với
giả thiết n2 > 1.
Từ các nhận xét trên nên ta chỉ xét phương trình (1.4) với giả thiết d
là số nguyên lớn hơn 1 và không là một số chính phương. Phương trình
(1.4) với điều kiện như vậy cũng được gọi là phương trình Pell. Mệnh
đề sau đây cho thấy phương trình Pell loại 2 không phải luôn luôn có
nghiệm.


9

Mệnh đề 1.2.1. Nếu d chứa một ước nguyên tố dạng 4n + 3 thì phương
trình (1.4) vô nghiệm.
Định lý 1.2.2. Nếu phương trình Pell loại 2 (1.4) có nghiệm thì nó có
vô số nghiệm. Nếu (x1 , y1 ) là nghiệm nhỏ nhất của phương trình này thì
tất cả các nghiệm nguyên dương của nó được xác định bởi công thức:

√ n
√ n
 x = (x1 +y1 d) +(x1 −y1 d) ,
n
√ n
√ n2
x
+y

−(x1 −y1 d)
 y = ( 1 1 d) √
,
n

(1.5)

2 d

với n = 1, 3, 5, 7, . . .
Hệ quả 1.2.3. Nếu (x1 , y1 ) là nghiệm nhỏ nhất của phương trình Pell
(1.4), thì mọi nghiệm nguyên dương của phương trình này đều có dạng:
x = ax1 + dby1 ,
y = bx1 + ay1 .

(1.6)

Trong đó, (a, b) là một nghiệm nguyên dương nào đó của phương trình
Pell (1.1).
Định lý 1.2.4. Nếu (a, b) là một nghiệm nguyên dương của phương trình
a
Pell loại hai (1.4), thì
là một giản phân của liên phân số biểu diễn
b
√
d.
Bổ đề 1.2.5. Giả sử x, y, u, v là các số nguyên dương thoả mãn hệ thức
u = x2 + dy 2
v = 2xy.

(1.7)

Khi đó ta có các kết luận sau:
- Nếu (u, v) là nghiệm nhỏ nhất của phương trình Pell (1.1) thì (x, y)
là một nghiệm của phương trình (1.4).
- Nếu (x, y) là nghiệm nhỏ nhất của phương trình Pell loại 2 (1.4) thì
(u, v) cũng là nghiệm nhỏ nhất của phương trình Pell (1.1).


10

Định lý 1.2.6. Giả sử (u, v) là nghiệm nhỏ nhất của phương trình Pell
(1.1). Điều kiện cần và đủ để phương trình Pell loại hai (1.4) có nghiệm
là hệ phương trình (1.7) với ẩn x, y có nghiệm nguyên dương.
Thuật toán giải phương trình Pell loại 2
Theo Định lí 1.2.6, để giải phương trình (1.4)
x2 − dy 2 = −1,
với d là một số nguyên dương không phải là một chính phương, ta giải
phương trình Pell (1.1):
x2 − dy 2 = 1.
Giả sử (u, v) là nghiệm nhỏ nhất của phương trình Pell. Ta xét hệ phương
trình (1.7)
x2 + dy 2 = u,
2xy = v.
Nếu hệ phương trình này không có nghiệm nguyên dương thì phương
trình đã cho vô nghiệm. Nếu hệ phương trình này có nghiệm nguyên
dương (x1 , y1 ) thì đó chính là nghiệm nhỏ nhất của phương trình đã cho
và tập nghiệm của nó được cho bởi hệ thức (1.5) với n lẻ. Chú ý rằng
hệ phương trình (1.7) tương đương với hệ:


x= v ,
2y
 4dy 4 − 4uy 2 + v 2 = 0.
Ở phương trình trùng phương đối với y ta có:
∆ = 4u2 − 4dv 2 = 4 u2 − dv 2 = 4.
Vậy ta được

2u ± 2 u ± 1
=
.
4d
2d
u±1
Nếu một trong hai giá trị
là một số chính phương thì ta tìm được
2d
giá trị nguyên dương y0 thoả mãn:
y2 =

4dy04 − 4uy02 + v 2 = 0.


11

Nhưng khi đó 4y02 là một ước của v 2 và do đó giá trị x0 =

v
cũng là
2y0

một số nguyên dương.
Vì vậy, trong thực hành thay vì giải hệ phương trình (1.7) ta xét ngay
hệ:


 y2 = u ± 1 ,
v 2d

x= .
2y
u−1
là chính phương thì x, y cũng không là
2d
nghiệm của phương trình (1.4) vì:
Nhận xét 1.2.7. Nếu

v2
u−1
dv 2
u−1
x − dy = 2 − d
=
−
4y
2d
2 (u − 1)
2
2u − 2
dv 2 − u2 + 2u − 1
−

= 1 = −1.
=
2 (u − 1)
2 (u − 1)
2

2

Bổ đề 1.2.8. Cho

√
d = [q0 ; (q1 , ..., qr , 2q0 )] ,

nếu chỉ số r trong khai triển trên là một số chẵn thì phương trình Pell
loại 2 có nghiệm.
Hơn nữa người ta còn chứng minh được rằng nếu r là một số lẻ thì
phương trình Pell loại 2 vô nghiệm.
Ví dụ 1.2.9. Tìm ba nghiệm đầu tiên của phương trình
x2 − 5y 2 = −1.
Giải. Trước tiên ta xác định nghiệm cơ bản của phương trình Pell liên
kết:
x2 − 5y 2 = 1.
Bằng phương pháp đã nêu ở mục trên ta tìm được nghiệm bé nhất của
phương trình này là (9,4).
Xét hệ sau:
x2 + 5y 2 = 9,
2xy = 4.


12

Hệ có nghiệm nguyên duy nhất là (2, 1). Vậy (x1 , y1 ) = (2, 1) là nghiệm
nhỏ nhất của phương trình
x2 − 5y 2 = −1.
Do đó các nghiệm của phương trình này cho bởi

√ n
√ n

(2
+
5)
+
(2
−
5)

 xn =
,
√ n 2
√ n
(2 + 5) − (2 − 5)


√
,
 yn =
2 5
với n lẻ. Do đó hai nghiệm tiếp theo của phương trình đã cho là (38, 17)
và (682, 305).

1.3

Phương trình Pell tổng quát

Xét phương trình Pell:
x2 − dy 2 = n,

(1.8)

trong đó d là một số nguyên dương, n là một số nguyên tuỳ ý khác 0 và
±1. Phương trình (1.8) được gọi là phương trình Pell tổng quát.
Mệnh đề 1.3.1. Nếu (x0 , y0 ) là một nghiệm nguyên dương của phương
trình (1.8), (a, b) là một nghiệm của phương trình Pell (1.1) thì cặp số
nguyên (x, y) xác định bởi hệ thức:
x = ax0 + dby0 ,
y = bx0 + ay0 ,

(1.9)

cũng là một nghiệm nguyên dương của phương trình (1.8).
Định nghĩa 1.3.2. Nghiệm nguyên dương (x, y) của phương trình (1.8)
được gọi là một nghiệm cơ bản của phương trình này nếu:
na2
y ≤ max nb , −
d
2

2

,

trong đó, (a, b) là nghiệm nhỏ nhất của phương trình Pell (1.1) tương
ứng.


13

Giả sử (x1 , y1 ) là nghiệm cơ bản của phương trình (1.8), (a, b) là
nghiệm nhỏ nhất của phương trình Pell (1.1) tương ứng. Khi đó theo
Mệnh đề 1.3.1, tập hợp các cặp số nguyên dương (xn , yn ) được xác định
bởi hệ thức:
xn = axn−1 + dbyn−1 ,
(n ≥ 2) .
yn = bxn−1 + ayn−1 ,

(1.10)

đều là nghiệm của phương trình (1.8). Ta gọi các nghiệm này là hệ
nghiệm sinh ra bởi nghiệm cơ bản (x1 , y1 ). Ta cũng nói nghiệm (xn , yn )
xác định bởi (1.10) được sinh ra từ nghiệm cơ bản (x1 , y1 ). Ta có định lí
sau.
Định lý 1.3.3. Mọi nghiệm nguyên dương (nếu có) của phương trình
(1.8) đều được sinh ra từ một nghiệm cơ bản của phương trình này. Cụ
thể
Giả sử (1.1) có nghiệm và (α1 , β1 ), (α2 , β2 ), ..., (αm , βm ) là tất cả các
nghiệm của (1.1) thỏa mãn
βi2

na2

≤ max nb , −
d
2

,

(a, b) là nghiệm bé nhất của phương trình Pell loại 1.Khi đó, m dãy sau


 x0,i = αi , y0,i = βi ,
xn+1,i = xn,i a + dyn,i b,


yn+1,i = xn,i b + yn,i a,
sẽ vét cạn hết nghiệm của phương trình pell tổng quát (1.8).
Ví dụ 1.3.4. Giải phương trình:
x2 − 5y 2 = −4.
Giải. Xét phương trình Pell loại 1 liên kết với phương trình đã cho có
dạng:
x2 − 5y 2 = 1.


14

Phương trình này có nghiệm dương nhỏ nhất là (a, b) = (9,4). Khi đó:
−na2
max nb ;
d
2

4.92
= max −4.4;
5

=

4.81
= 64, 8.
5

Số nguyên dương β lớn nhất thỏa mãn
−na2
β ≤ max nb ;
d
2

2

= 64, 8

là β = 8.
Xét phương trình
x2 − 5y 2 = −4.
Nếu y = 1 thì x = 1.
Nếu y = 2 thì x = 4.
Nếu y = 3, 4, 7, 8 thì x không phải là số nguyên.
Nếu y = 5 thì x = 11.
Như vậy bằng cách thử thì phương trình đã cho có ba nghiệm là
(1, 1), (4,2) và (11, 5) mà thỏa mãn điều kiện
βi2

−na2
≤ max nb ;
d
2

.

Vậy phương trình đã cho có 3 dãy nghiệm sau:


 x0,1 = 1; y0,1 = 1; xn+1,1 = 9xn,1 + 20yn,1 ; yn+1,1 = 4xn,1 + 9yn,1 ,
x0,2 = 4; y0,2 = 2; xn+1,2 = 9xn,2 + 20yn,2 ; yn+1,2 = 4xn,2 + 9yn,2 ,


x0,3 = 11; y0,3 = 5; xn+1,3 = 9xn,3 + 20yn,3 ; yn+1,3 = 4xn,3 + 9yn,3 .

1.4

Một số ứng dụng của phương trình Pell

Trong các thành tựu của số học thì phương trình Pell là một phương
trình nổi tiếng và có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán số học
hay và khó. Phương trình Pell thường được ứng dụng trong việc giải các
bài toán số học khác. Chúng tôi xin trích dẫn một số bài toán trong các


15

đề thi học sinh giỏi và một số bài toán hay khác mà phương trình Pell

được dùng như một công cụ để giải quyết.
Bài toán 1: Cho hai dãy số {xn } và {yn } xác định như sau:
x0 = 0; x1 = 1; xn+1 = 4xn − xn−1 ,
y0 = 1; y1 = 2; yn+1 = 4yn − yn−1 .
Chứng minh rằng, với mọi số nguyên dương n ta có yn2 = 3x2n + 1.
Giải. Xét phương trình Pell loại 1: X 2 − 3Y 2 = 1 phương trình này
có nghiệm nhỏ nhất là (2; 1) nên tất cả các nghiệm của phương trình là
(Xn ; Yn ) sao cho:
X0 = 1; X1 = 2; Xn+1 = 4Xn − Xn−1 ,
Y0 = 0; Y1 = 1; Yn+1 = 4Yn − Yn−1 .
Do đó Xn = yn ; Yn = xn hay (xn ; yn ) là nghiệm của phương trình Pell
loại 1 trên. Vậy yn2 = 3x2n + 1.
Bài toán 2: (VMO 1999) Cho hai dãy số {xn } và {yn } xác định như
sau:
x0 = 1; x1 = 4; xn+2 = 3xn+1 − xn ,
y0 = 1; y1 = 2; yn+2 = 3yn+1 − yn .
Giả sử a, b là các số nguyên dương thỏa mãn a2 − 5b2 + 4 = 0, chứng
minh rằng tồn tại số tự nhiên k để xk = a, yk = b.
Giải. Xét phương trình Pell
x2 − 5y 2 = −4.

(1.11)

Phương trình Pell loại 1 liên kết với nó có dạng
x2 − 5y 2 = 1.

(1.12)

Phương trình (1.12) có nghiệm nguyên dương nhỏ nhất là (a, b) = (9, 4).
Khi đó:

na2
max nb ; −
d
2

4.92
= max −4.4 ;
5
2

=

4.81
.
5


16

Số nguyên dương β lớn nhất thỏa mãn β 2 ≤

4.81
324
=
là β = 8. Xét
5
5

phương trình (1.11)
x2 − 5y 2 = −4.

Nếu y = 1 ⇒ x = 1; y = 2 ⇒ x = 4; y = 3; 4; 7; 8, thì (1.11) không
dẫn đến x nguyên; y = 5 ⇒ x = 11.
Như thế bằng cách thử trực tiếp nói trên ta thấy có ba nghiệm
(1.1); (4, 2); (11, 5) của phương trình (1.11) mà thỏa mãn điều kiện:
na2
β ≤ max nb ; −
d
2

2

.

Do đó, ba dãy nghiệm vét hết tất cả các nghiệm của phương trình Pell
(1.11) ba dãy nghiệm


 x0,1 = 1; y0,1 = 1; xn+1,1 = 9xn,1 + 20yn,1 ; yn+1,1 = 4xn,1 + 9yn,1
x0,2 = 4; y0,2 = 2; xn+1,2 = 9xn,2 + 20yn,2 ; yn+1,2 = 4xn,2 + 9yn,2


x0,3 = 11; y0,3 = 5; xn+1,3 = 9xn,3 + 20yn,3 ; yn+1,3 = 4xn,3 + 9yn,3 .
Ta chứng minh (xn , yn ) = (xm,r+1 ; ym,r+1 ). Ta có:
(x0 ; y0 ) = (x0,1 ; y0,1 ) = (1; 1),
(x1 ; y1 ) = (x0,2 ; y0,2 ) = (4; 2),
(x2 ; y2 ) = (x0,3 ; y0,3 ) = (11; 5).
Phương trình đặc trưng của các dãy số {xn } và {yn } là
√
3
±

5
X 2 − 3X + 1 = 0 có hai nghiệm X =
.
2
Nên
xn = x3m+r = α
=α

√
3− 5
2
√
3− 5
2

3m+r

+β
r

√

9−4 5

√
3+ 5
2
m

+β

3m+r

√
3+ 5
2

r

√
9+4 5

m

.


17

Đặt um = x3m+r ta có dãy {um } có phương trình đặc trưng có hai nghiệm
√
là 9 ± 4 5 nên:
um+1 = 18um − um−1 .
Suy ra
x3(m+1)+r = 18x3m+r − x3(m−1)+r .

(1.13)

y3(m+1)+r = 18y3m+r − y3(m−1)+r .

(1.14)

Tương tự:

Việc còn lại là ta chứng minh {xm,i ; ym,i } cũng thỏa mãn (1.13) và (1.14)
với i = 1; 2; 3. Ta có:
xm+1,i = 9xm,i + 20ym,i
ym+1,i = 4xm,i + 4ym,i

xm+1,i − 9xm,i


ym,i =
(a)


20
⇒ ym−1,i = xm,i − 9xm−1,i (b)


20


ym,i = 4xm−1,i + 9ym−1,i . (c)
Thế (a), (b) vào (c) suy ra: xm+1,i = 18xm,i − xm−1,i và ym+1,i = 18ym,i −
ym−1,i . Vậy {xn }; {yn } vét hết tất cả các nghiệm của (1.11).
Do đó luôn tồn tại k để xk = a; yk = b.
Bài toán 3. Tìm tất cả các số nguyên dương T sao cho số tam giác
T (T + 1)
là một số chính phương.

2
Giải. Ta có:
T (T + 1) = 2y 2 ⇒ 4T 2 + 4T + 1 = 8y 2 + 1 ⇒ (2T + 1)2 − 8y 2 = 1.
Đặt x = 2T + 1, suy ra (x, y) là nghiệm của phương trình
x2 − 8y 2 = 1.

(1.15)

Đảo lại nếu (x, y) là nghiệm của phương trình (1.15) thì x lẻ, do đó
x−1
T =
thỏa mãn đầu bài.
2


18

Nghiệm nhỏ nhất của phương trình (1.15) là (3;1). Do đó nghiệm của
phương trình (1.15) là dãy (xn ) xác định bởi
x0 = 1; x1 = 3, xn+2 = 6xn+1 − xn .
Khi đó với xn = 2Tn + 1 ta có 2Tn+2 + 1 = 6(2Tn+1 + 1) − (2Tn + 1).
Từ đó dãy (Tn ) xác định bởi
T0 = 0, T1 = 1, Tn+2 = 6Tn+1 − Tn + 2,
là dãy cần tìm. Đó là các số 1, 8, 49, 288, . . .
Bài toán 4. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho trung bình cộng
của n số chính phương đầu tiên lại là một số chính phương.
Giải. Ta có:
(n + 1)(2n + 1)
12 + 22 + 32 + . . . + n2
=

.
n
6
Vậy ta có phương trình (n + 1)(2n + 1) = 6y 2 ⇒ (4n + 3)2 − 48y 2 = 1.
Đặt x = 4n + 3 ta có phương trình x2 − 48y 2 = 1. Nghiệm nhỏ nhất của
phương trình trên là (7;1). Dãy xn tuân theo quy luật:
x0 = 1, x1 = 7, xn+2 = 14xn+1 − xn .
Bằng qui nạp dễ thấy rằng với n chẵn thì xk ≡ 1(mod4), với n lẻ thì
x2k+1 − 3
xk ≡ 3(mod4). Vậy nk =
là dãy cần tìm.
4
Sau đây ta thiết lập công thức truy hồi của nk . Đặt uk = x2k+1 , ta có
x2k+3 = 14x2k+2 − x2k+1 = 14(14x2k+1 − x2k ) − x2k+1
= 196x2k+1 − 14x2k − x2k+1 = 195x2k+1 − x2k+1 − x2k−1
= 194x2k+1 − x2k−1 .
Vậy
uk+2 = 194uk+1 − uk .
Do đó,
4nk+2 + 3 = 194(4nk+1 + 3) − 4nk − 3.


19

Từ đó,
nk+2 = 194nk+1 − nk + 144,
với n0 = 1, n1 = 337, n2 = 65521, . . .
Như vậy, trong Chương 1 tác giả đã trình bày được định nghĩa, điều
kiện tồn tại nghiệm, phương pháp giải của các phương trình Pell loại 1,
loại 2 và phương trình Pell dạng tổng quát. Đồng thời các ứng dụng của

phương trình Pell cũng được trình bày ở phần cuối chương này.


20

Chương 2
Phương trình Pell mở rộng
Trong chương này chúng tôi nghiên cứu một số tính chất cơ bản của
phương trình Pell mở rộng. Kiến thức của chương này làm cơ sở để phục
vụ cho việc chứng minh các kết quả ở chương 3.

2.1

Một số kiến thức mở đầu

Cho K là một trường với đặc số khác 2. Cho d(x) ∈ K[x] là đa
thức khác hằng số, không chính phương. Chúng tôi quan tâm tới việc
nghiên cứu câu hỏi dưới đây của đa thức tương tự như phương trình Pell.
Câu hỏi 2.1 Phương trình
f (x)2 − d(x)g(x)2 = c,

(2.1)

có nghiệm với f (x), g(x) trong K[x] và c ∈ K × hay không, trong đó g(x)
khác không?
Để trả lời Câu hỏi 2.1 chúng ta có thể phải thực hiện một vài quan
sát và đơn giản hóa. Đầu tiên, quan sát thấy rằng để cho (2.1) có nghiệm
không tầm thường, thì nhất thiết d(x) phải có hệ số trong (K × )2 . Thông
thường ta sẽ giả sử d(x) là đa thức monic. Quan sát cũng cho thấy rằng
bất kỳ một a ∈ K, vế bên phải của phương trình (2.1) là bất biến dưới

phép biến đổi x → x + a. Nếu
d(x) = xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 ,