KHAO SAT CHAT LUONG LOP 12 KHTN

Đề Kiểm tra chất lợng Lớp KHTN
Môn : Toán 12
Ngày 06/09/2008
Thời gian làm bài: 150 phút
-----------------------
Câu 1( 2,5 điểm)
Cho hàm số:
3
4 3y x x
=
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1;-3)
Câu 2( 2,25 điểm)
1. Cho phơng trình:
( )
(
)
2
2 2 2 4 2 2 3m x x x x x m+ = + +
Hãy tìm m để phơng trình có nghiệm.
2. Giải phơng trình:
2
(sin cos ) 3 cos 2 2x x x
+ =
Câu 3( 2,25 điểm)
1. Cho x và y là các số thực dơng thoả mãn :
4 9 6x y
+ =
.
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

1
2
2
P xy
xy
= +
+
2. Trong khai triển
0 1
(3 ) ...
n n
n
x a a x a x
+ = + + +
hãy tìm hệ số của
8
x
biết rằng

0 1
1
1
... ... 1024
3 3 3 3
k n
n
n n n k
a a a
a
a

+ + + + + + =
Câu 4( 3,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho các đờng thẳng:
d
1
: 2x + y + 3 = 0 ; d
2
: x - 2y - 4 = 0 và d
3
: x + 2y = 0
Tìm toạ độ điểm M trên đờng thẳng d
3
sao cho khoảng cách từ M đến đờng thẳng d
1
bằng hai lần khoảng cách từ M tới đờng thẳng d
2
2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác
vuông cân tại S và vuông góc với mặt đáy (ABCD).
a. Tính cosin của góc tạo bởi đờng thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).
b. Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng AB và SC.
Hết .
Họ và tên thí sinh: Số báo danh ..
Hớng dẫn chấm đề kiểm tra chất lợng đầu năm học 2008-2009
Môn: Toán 12- Ban KHTN
(Hớng dẫn chấm này có 4 trang)
Bài ý Nội dung Điểm
1
Cho hàm số:

3
4 3y x x
=
.

1
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
(1.5)
1.Tập xác định của hàm số: D = R 0.25
2.Sự biến thiên:
0.25
a.Chiều biến thiên:
Ta có :
' 2
12 3y x=
'
1
0
2
y x= =
;
1
2
x =
Trên các khoảng
1
;
2

ữ

và
1
;
2

+
ữ

ta có
'
0y > , trên khoảng
1 1
;
2 2


ữ

ta
có
'
0y < . Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng
1
;
2


ữ

và
1
;
2

+
ữ

; hàm
số nghịch biến trên khoảng
1 1
;
2 2


ữ

b.Cực trị:
Tại
1
2
x =
hàm số đạt giá trị cực đại
1
CD
y =
.
Tại
1

2
x =
hàm số đạt giá trị cực tiểu
1
CT
y =
0.25
c.Giới hạn:
3
2
3
lim lim 4
x x
y x
x


= =
ữ

;
3
2
3
lim lim 4
x x
y x
x
+ +

= = +
ữ

d.Bảng biến thiên:
x


1
2


1
2

+
y

+

0 - 0 +
1
+
y


-1
3.Đồ thị:
* Điểm uốn:
"
24y x= ;

"
0 0y x= = .
Vì
"
y đổi dấu khi x đi qua x = 0. Vậy đồ thị hàm số có điểm uốn U(0;0)
*Giao của đồ thị với Ox là:
3
;0
2


ữ
ữ

và
3
;0
2

ữ
ữ

*Vẽ đồ thị.
* Nhận xét: Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
0.25
0.25
0.25
Bài ý Nội dung Điểm
1
2

2.Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1;-3)
(1.0)
Xét tiếp tuyến tại
3
0 0 0
( ; 4 3 )M x x x
của đồ thị hàm số. Phơng trình tiếp tuyến là:
2 3
0 0 0 0
(12 3)( ) 4 3y x x x x x= +
.(1)
0.25
Tiếp tuyến trên đi qua điểm A(1 ; -3) khi và chỉ khi
2 3
0 0 0 0
3 (12 3)(1 ) 4 3x x x x = +

3 2
0 0
8 12 0x x + =

0
0x =
;
0
3
2
x =
0.5
Với

0
0x =
thay vào (1) ta có phơng trình tiếp tuyến là:
3y x=

0.25
Với
0
3
2
x =
thay vào (1) ta có phơng trình tiếp tuyến là:
24 27y x=
Kết luận: Có hai tiếp tuyến thoả mãn yêu cầu của bài toán.
2
1
1.Cho phơng trình:

( )
(
)
2
2 2 2 4 2 2 3m x x x x x m
+ = + +
(1)
Hãy tìm m để phơng trình có nghiệm.
(1.25)
Điều kiện:
[ ]
2; 2x

0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
Đặt
2 2x x t+ =
ta có
[ ]
2; 2t
. Khi đó
2 2
2 4 4x t =
.
Vậy phơng trình đã cho trở thành phơng trình:
2
4 2 3mt t t m=

2
( 3) 2 4m t t t+ = +

2
2 4
3
t t
m
t
+
=
+

(2)
Phơng trình (1) có nghiệm

phơng trình (2) có nghiệm
[ ]
2; 2t

[ ]
[ ]
2 2
2;2
2;2
2 4 2 4
min max
3 3
t
t
t t t t
m
t t


+ +

+ +



4
4

5
m
. Kết luận:
2
2. Giải phơng trình:
2
(sin cos ) 3 cos 2 2x x x + =
(1.0)
Ta có (1)

1 sin 2 3 cos 2 2x x
+ =

sin 2 3 cos 2 1x x
+ =
0.25
0.25
1
sin(2 )
3 2
x

=



12
x k

= +
và
3
4
x k


= +
. Kết luận:
0.25
0.25
1. Cho x và y là các số thực dơng thoả mãn :
4 9 6x y
+ =
. Hãy tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức :
1
2
2
P xy
xy
= +
+
(1.25)
3
Vì x,y > 0 nên áp dụng BĐT CôSi ta có : 6 4 9 2 4 .9x y x y= +
1
0
4
xy <

.
0.25
Đặt xy = t. Yêu cầu bài toán đa về: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
1
( ) 2
2
f t t
t
= +
+

với
1
0
4
t<
.
0.25
Xét hàm số:
1
( ) 2
2
f t t
t
= +
+
có
'
2
1

( ) 2 0
( 2)
f t
t
= >
+

1
0
4
t <
0.25

f(t) đồng biến trên
1
0;
4




. Do đó
1
0;
4
1 17
max ( ) ( )
4 18
t
f t f

= =
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng
17
18
khi
4 9 6
4 9
x y
x y
+ =


=



3
4
1
3
x
y

=

=


0.25
Bài ý Nội dung Điểm
3
2
2. Trong khai triển
0 1
(3 ) ...
n n
n
x a a x a x
+ = + + +
hãy tìm hệ số của
8
x
biết
rằng :
0 1
1
1
... ... 1024
3 3 3 3
k n
n
n n n k

a a aa
a


+ + + + + + =
(1.0)
Ta có :
0
(3 ) .3 .
n
n k n k k
n
k
x C x

=
+ =

. Vậy trong khai triển trên ta có
3 .
n k k
k n
a C

=
0.25
Do đó:

0 1
1

1
... ... 1024
3 3 3 3
k n
n
n n n k
a a a
a
a


+ + + + + + =

0 1
... ... 1024
k n
n n n n
C C C C+ + + + + =
0.25


(1 1) 1024
n
+ =

n = 10
0.25
Vậy hệ số của x
8
trong khai triển trên là :

8 2
8 10
.3 405a C= =
0.25
4
1
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho các đờng thẳng:
d
1
: 2x + y + 3 = 0 ; d
2
: x - 2y - 4 = 0 và d
3
: x + 2y = 0
Tìm toạ độ điểm M trên đờng thẳng d
3
sao cho khoảng cách từ M đến đờng
thẳng d
1
bằng hai lần khoảng cách từ M tới đờng thẳng d
2
(1.0)
Vì M thuộc đờng thẳng d
3
nên toạ độ của điểm M(-2y
0
; y
0
). 0.25
Khoảng cách từ M đến đờng thẳng d

1
bằng hai lần khoảng cách từ M tới đờng thẳng
d
2


0 0 0 0
4 3 2 2 4
2
5 5
y y y y + +
=

0 0
3 3 2 4 4y y = +
0.25

0 0
3 3 8 8y y = +
hoặc
0 0
3 3 8 8y y =
0
11
5
y =
hoặc
0
5
11

y =
0.25
Vậy có hai điểm thoả mãn yêu cầu bài toán:
22 11
( ; )
5 5
M
và
10 5
( ; )
11 11
M
0.25
2
2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là
tam giác vuông cân tại S và vuông góc với mặt đáy (ABCD).
a. Tính cosin của góc tạo bởi đờng thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).
b. Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng AB và SC.
(2.0)
S
a. Tính cosin của góc tạo bởi đờng thẳng
SC và mặt phẳng (ABCD). I

B C
H K
A D
(1.0)
Gọi H là trung điểm của AB . Do SAB là tam giác vuông cân tại S

SH AB . Lại

có
( ) ( )
( )
( ) ( )
SAB ABCD
SH ABCD
SAB ABCD AB




=

0.25

Hình chiếu của SC lên mp(ABCD) là HC. Vậy góc giữa đờng thẳng SC và
mp(ABCD) là SCH .
Trong tam giác vuông SHC có:


2
2
2 2
2 2 2 2 2 2 2
2
4
cos
2 4
a
a

HC HC BH BC
SCH
SC
SH HC SH BH BC a a
a
+
+
= = =
+ + +
+ +
=
5
7
0.25
0.5