Tập xác định duy nhất các hàm nguyên trên trường đặc số dương

Header Page 1 of 166.

➜➵✐ ❍ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥
❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❙➢ ♣❤➵♠
✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲

◆❣✉②Ô♥ ❱➝♥ ❑❤✉②Õ♥

❚❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ❝➳❝ ❤➭♠ ♥❣✉②➟♥
tr➟♥ tr➢ê♥❣ ➤➷❝ sè ❞➢➡♥❣

▲✉❐♥ ✈➝♥ t❤➵❝ sÜ ❚♦➳♥ ❤ä❝

❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ✲ ✷✵✵✾

Footer Page
ofTrung
166.
Số hóa1bởi
tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 2 of 166.

➜➵✐ ❍ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥

❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❙➢ ♣❤➵♠
✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲✲

◆❣✉②Ô♥ ❱➝♥ ❑❤✉②Õ♥
❚❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ❝➳❝ ❤➭♠ ♥❣✉②➟♥
tr➟♥ tr➢ê♥❣ ➤➷❝ sè ❞➢➡♥❣
❈❤✉②➟♥ ♥❣➭♥❤✿ ➜➵✐ sè ✈➭ ▲ý t❤✉②Õt sè
▼➲ sè✿ ✻✵✳✹✻✳✵✺

▲✉❐♥ ✈➝♥ t❤➵❝ sÜ ❚♦➳♥ ❤ä❝

◆❣➢ê✐ ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ❦❤♦❛ ❤ä❝✿ ●❙✳❚❙❑❍✳

❍➭ ❍✉② ❑❤♦➳✐

❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ✲ ✷✵✵✾

Footer Page
ofTrung
166.
Số hóa2bởi
tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 3 of 166.

▼ô❝ ❧ô❝
▼ô❝ ❧ô❝

✶

✷

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶

▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷

❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ së

✺

✶✳✶ ❚r➢ê♥❣ ➤Þ♥❤ ❣✐➳✱ tr➢ê♥❣ ♣❤✐ ❆r❝❤✐♠❡❞✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺

✶✳✷

❚❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t✱ ➤❛ t❤ø❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t

✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✼

✶✳✸

▲ý t❤✉②Õt ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ tr➟♥ tr➢ê♥❣ ➤➷❝ sè ❞➢➡♥❣✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✽

❚❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ❝➳❝ ❤➭♠ ♥❣✉②➟♥ tr➟♥ tr➢ê♥❣ ➤➷❝ sè ❞➢➡♥❣ ✶✶

✷✳✶ ❚❐♣ ❦❤➠♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ✈➭ ❝ø♥❣ ❛❢❢✐♥❡ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ➤➷❝
sè ❞➢➡♥❣✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✶

✷✳✷ ➜Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ ✈Ò t❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✺

✷✳✸

◆❤÷♥❣ ✈Ý ❞ô ✈Ò t❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✶

❑Õt ❧✉❐♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✶

❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦

✸✷

✶

Footer Page

ofTrung
166.
Số hóa3bởi
tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 4 of 166.

▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉
❱✃♥ ➤Ò t×♠ ❝➳❝ t❐♣ ①➳❝ ❞Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ❤➭♠ tr➟♥ tr➢ê♥❣ ➤➷❝ sè ❞➢➡♥❣ ❧➭
♠ét tr♦♥❣ ♥❤÷♥❣ ✈✃♥ ➤Ò ♠í✐ ❝ñ❛ ❧ý t❤✉②Õt sè✳ ❈❤♦ ➤Õ♥ ♥❛② ♠í✐ ❝❤Ø ❝ã r✃t
Ýt ❝➠♥❣ tr×♥❤ t❤❡♦ ❤➢í♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♥➭②✳ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ❝ã ♠ô❝ ➤Ý❝❤ ❣✐í✐ t❤✐Ö✉
♥❤÷♥❣ ❦Õt q✉➯ ♠í✐ ♥❤✃t ♥❤➺♠ t×♠ r❛ ♥❤÷♥❣ ❝➳❝❤ t✐Õ♣ ❝❐♥ s➞✉ ❤➡♥✳ ◆é✐ ❞✉♥❣
♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❜❛♦ ❣å♠✿
✲❚r×♥❤ ❜➭② ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t r❛ tr➟♥ tr➢ê♥❣ ➤➷❝ sè ❞➢➡♥❣✱
✲❳➞② ❞ù♥❣ ♠ét sè t❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ❝➳❝ ❤➭♠ ♥❣✉②➟♥ tr➟♥ tr➢ê♥❣ ➤➷❝
sè ❞➢➡♥❣✱
✲❚Ý♥❤ t♦➳♥ ♠ét sè ✈Ý ❞ô ❝ô t❤Ó✳
❚r♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♥❤➞♥ tö ❤♦➳ ❝ñ❛ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ ✭ tr♦♥❣ ♠➷t
♣❤➻♥❣ ♣❤ø❝ ✮✱ ❋✳ ●r♦ss ❬✼❪✱ ♥➝♠ ✶✾✼✻✱ ➤➲ ➤➢❛ r❛ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ t❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤
❞✉② ♥❤✃t✳ ❈✉♥❣ ❝✃♣ ♥❤÷♥❣ ✈Ý ❞ô ✈Ò t❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ❝➳❝ ❤➭♠ ♥❣✉②➟♥
♣❤ø❝ ✭❦❤➳❝ ❤➺♥❣✮ ➤➲ trë t❤➭♥❤ ❝❤ñ ➤Ò ❝ñ❛ ♠ét sè ❜➭✐ ❜➳♦ ❣➬♥ ➤➞②✳ ▲ý t❤✉②Õt
◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ➤➲ trë t❤➭♥❤ ❝➠♥❣ ❝ô ❝❤Ý♥❤ ➤➢î❝ sö ❞ô♥❣ ➤Ó ①➞② ❞ù♥❣ ♥❤÷♥❣ ✈Ý
❞ô ➤ã✳
❇♦✉t❛❜❛❛✱ ❊s❝❛ss✉t ✈➭ ❍❛❞❞❛❞ ❬✺❪ ➤➲ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ t❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t
❝❤♦ ❝➳❝ ❤➭♠ ♥❣✉②➟♥ ♣❤✐ ❆r❝❤✐♠❡❞ ✭tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ➤➷❝ sè ✵✮ ✈➭ ♥Õ✉ t❤✉ ❤Ñ♣
➤Ó ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝✱ t❤× ❝ã ♠ét sù ❜✐Ó✉ t❤Þ ➤Ñ♣ ✈Ò ♠➷t ❤×♥❤ ❤ä❝ ❝❤♦
t❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ❤÷✉ ❤➵♥✳

➜Þ♥❤ ❧ý ❆ ✭❇♦✉t❛❜❛❛✱ ❊s❝❛ss✉t ✈➭ ❍❛❞❞❛❞ ❬✺❪✮✳ ❈❤♦
sè ✵✳ ❈❤♦

F

t❐♣ ❤÷✉ ❤➵♥

K

❧➭ tr➢ê♥❣ ❝ã ➤➷❝

❧➭ ❤ä ♥❤÷♥❣ ➤❛ t❤ø❝ ❦❤➳❝ ❤➺♥❣ ✈í✐ ❤Ö sè tr➟♥

S

tr♦♥❣

K

❧➭ t❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ❝❤♦

F

K✳

❑❤✐ ➤ã✱ ♠ét

♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉

❝ø♥❣ ❛❢❢✐♥❡✳

✷

Footer Page
ofTrung
166.
Số hóa4bởi
tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



S

❧➭


Header Page 5 of 166.
rr ở rộ ị ý trờ ợ
ữ r ột ế tr trờ số
ủ t ứ ớ ột trị tệt ố r
r sốt

K sẽ ột trờ ủ t ớ ột

trị tệt ố r ị t ó ĩ t
ị t ể ộ ủ ọ

A (K) ữ r

tr

K ó tể tứ tr trờ t ỳ trờ
ợ ệt ủ r ột ế tr K ó
t ể t ọ r ệ ề
ó ũ ú ớ tứ ột ứ t tý
số ì ọủ ị ý t ssst
rõ r ị ý ũ ú tr trờ số ữ t ó ự
ợ tố ớ

n ĩ

ị ý ị ý ủ

K

p 0 ủ
A (K) ọ ữ

ó số

t ứ ớ ột trị tệt ố

K S ột t ó ự ợ
ữ n sử tố ớ p ế p > 0 ó S t ị

t ủ ọ A (K) ế ỉ ế S ứ
r tr

ề ì sẽ r số p ết ự ợ ủ ột t r
rr ột í ụ ề ột t tử ứ

ột t ị t tr trờ số
ì ó t ứ ó ự ợ ũ ó t
ị t ó ự ợ tr trờ số tr trờ
số t ì ột số ỏ tế t ợ t r ó t
ị t ó ự ợ

p tr trờ số p ồ t t
ữ ứ ó ự ợ n t ị t
n ột ộ ỹ từ ủ số
ụ í í ủ trì ết q ủ t
rr ssst ột ó ọ ọ t ố ụ r ụ tể
ộ ở tr tr ờ ỏ ừ ớ ụ í



Footer Page
ofTrung
166.
S húa5bi
tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




Header Page 6 of 166.
ợ
ế tứ sở

r ú t trì

ột số ế tứ ụ ụ ệ ứ ột số ị ý tr
ở
ị t tr trờ
số

rớ ết ú t trì ề t ị

t ứ tr trờ số ế t ú t trì
ị ý ứ ủ ó ề t ị t ó ự ợ

4 tr trờ số t ì ũ í trọ t ủ
ố ù ú t r í ụ ề t ị t ó ự ợ

n ớ ọ n 4 tr trờ số t ì ớ t ó ự ợ ỏ t
ò ó tể sử ụ ụ số ì ọ sẽ trì tr ố
ủ
tỏ ò ết s s tớ t
ộ ệ ọ ệ ọ ệ qố ờ
ệt tì ớ ỉ t ữ ế tứ ệ tr q
trì t ứ ọ
ũ tỏ ò ết tớ ữ ờ t tr ì
ữ ờ t tết ộ ú ỡ t tr q trì ọ t
t



Footer Page
ofTrung
166.
S húa6bi

tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




Header Page 7 of 166.


ế tứ sở



rờ ị trờ r

ị ĩ



p ột số tố ột số p ó tể

ợ t ề ột é ể ễ ó ột ỗ

x = a0 + a1 p + a2 p2 + ..., ai Z().
ổ r xn

= a0 +a1 p+a2 p2 +...+an pn s xn xn1 = an pn

ột số p ũ ó tể ợ ị ĩ ột số

x = {x0 , x1 , ...} t xn xn1 mod pn , n = 1, 2, ...

ổ tí ủ ữ số

p ợ ị ĩ ở é

tứ ế ợ sử ụ ớ é ể ễ t ó

x + y = {xn + yn }, xy = {xn yn }.
ớ é ộ é ị ĩ tr t ó số

p í ệ p
x = {xn } ợ ọ ột ị ủ
p ũ ọ ị p ế x0 0 mod p ệt ột số
a ị p ế a 0 mod p
ị ĩ

ố p

rờ t

Qp ủ p ợ ọ trờ số p ỗ Qp
ó pm u ớ m ột số ó tể u ột ị ủ


Footer Page
ofTrung
166.
S húa7bi
tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

Header Page 8 of 166.
p ó trể rt
ar
a1
+
...
+
+ a0 + a1 p + ...
pr
p
x
ột é ể ễ = r ớ x ột số p r 0
p
ể ễ t ợ é ộ é tr Qp
ị ĩ ị

p tr Qp ột trị
vp : Qp Z

ợ ị ĩ ở

vp (pm u) = m.
ổ qt
ị ĩ

tr

ột ị

v tr trờ K ột trị tự

K \ {0} t



v(xy) = v(x) + v(y), x, y K;



v(x + y) min{v(x), v(y)}, x, y K;

ớ t
ột trờ

v(0) = +(v(x) = + x = 0).

K ớ ị v ợ ọ trờ ị

ế
ố

c ột số tự ớ tì ị v s ột trị tệt
tr K tứ
|x| = cv(x) .



v = vp số c ợ p t t ợ

trị tệt ố

p
|x|p = pvp (x) .
ì trị tệt ố p ủ pn pn ỉ ế
tr số ũ ỉ



ó ế pe ỹ từ ớ t ủ
t t

n

p ết n tì

|n|p = pe

ổ qt



Footer Page
ofTrung
166.
S húa8bi
tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

Header Page 9 of 166.
ột trị tệt ố tr trờ

ị ĩ

tự tr trờ

K ột trị

K
| ã | : K R+ = [0, +)

t ề ệ s


|x| 0 tứ r ế ỉ ế x = 0



|xy| = |x|.|y|, x, y K;



|x + y| |x| + |y|, x, y K.

trị tệt ố s ở ột ị t ột tí
t

|x + y| max{|x|, |y|}, x, y K.

ột trị tệt ố t ợ ọ trị tệt ố
r

ột trờ ớ trị tệt ố r ợ ọ trờ
r

trị tệt ố ợ ọ t tờ í ệ

|x|0 =

| ã |0 ế

1 : x K \ {0}
0 : x = 0.

õ r ó ột trị tệt ố r tr

K K ể

ủ t ứ ớ trị tệt ố



ị t tứ ị t

ị ĩ

f ột tứ ột

S ột t tr ề trị ủ f ị ĩ
{(z, m) : f (z) = a ớ số ộ m},

E(f, S) =
aS

t ò ù í ệ

ES (f ) z tr ề ị ủ f
m ột số t ỳ f g ợ ọ S


Footer Page
ofTrung
166.
S húa9bi
tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




Header Page 10 of 166.
ớ số ộ ế

E(f, S) = E(g, S)

ột t

S ợ ọ t ị t ể ộ ủ ột ọ
F ế ớ f, g F s E(f, S) = E(g, S) tì t ó f g
tờ ét ọ F ỉ ì ì
ữ tỉ tứ
ị ĩ



f g ì tứ P (z)

ợ ọ tứ ị t ì ế từ tứ

PS (f ) = PS (g) tì f g
tứ


P (z) ợ ọ tứ ị t t ĩ rộ
ì ế từ tứ PS (f ) = c.PS (g), c = 0 tì f g ớ f

g ì
ị ĩ

ột t ợ ọ ứ ế é ế ổ

t t t ế ổ ồ t

ý tết tr trờ số

rớ ết t ớ tệ ột số í ệ ể s ó t
ể ị ý t sẽ ụ tr ệ ứ ị ý
í ủ t ở s

ở K sẽ ột trờ ó số ủ

t ứ ớ ột trị tệt ố r số

p 0 f
ột ì r tr K ớ ỗ z0 K í ệ wz0 (f )
trệt t ủ f t z0 ó ế f (z0 ) = 0 tì wz0 (f ) í ệ số ộ
ủ ể t z0 ế f ó ột ự ể tì wz0 (f ) í ệ ủ
ự ể ị ĩ

wz+0 (f ) = max{0, wz0 (f )}.
ớ ỗ

r > 0 t ị ĩ ế ủ ể ở
wz+0 (f ) log

Z(r, f ) =
0<|z0 |
r
+ w0+ (f ) log r.
|z0 |

Footer Page
of 166.
S húa10
bi Trung
tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




Header Page 11 of 166.
ế

p > 0 t u(f ) số ớ t s ở tồ t ột
ì g tr K t
u(f )

f = gp
ế

.

p = 0 q ớ t pu(f ) = 1 ế t t ị ĩ ế t ụt

ở

min{1, wz+0 (f ) mod pu(f )+1 } log

Z(r, f ) =
0<|z0 |

r
|z0 |

+ min{1, w0+ (f ) mod pu(f )+1 } log r.
modpu(f )+1 ớ r
tr trờ số ế t ụt ế ú ể ủ f
ể số ộ ủ ú r trờ số p > 0 ó ũ
r trờ số t tờ tí

ố ó ũ tí ể ó số ộ
ột ộ ủ pu(f )+1 ũ ét ế ự ể ĩ

1
1
1
N (r, f ) = Z(r, ) N (r, ) = Z(r, ).
f
f
f
ù t ị ĩ t tự tr ở

T (r, f ) = max{Z(r, f ), N (r, f )}.
ý tết ị t ễ s r ột
t tự ị ý ứ t ủ
ị ý

ị ý ứ t ế

tr

K



f

ột ì

a K tì

T (r, f ) = T (r, 1/f ) = T (r, f a) + O(1).
P ột tứ d f
K tì T (P (f ), r) = dT (f, r) + O(1)

ệ q ế

ột ì tr

tự ủ ị ý ứ t sẽ trờ ợ
ệt ủ ị ý ợ ứ tr



Footer Page
of 166.
S húa11
bi Trung
tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

Header Page 12 of 166.
✭ ➜Þ♥❤ ❧ý ❈➡ ❜➯♥ ❚❤ø ❤❛✐ ❬✹❪✮✳ ❈❤♦

α1 , ..., αn ❧➭ n ➤✐Ó♠ ♣❤➞♥
❜✐Öt tr♦♥❣ K ✈➭ ❝❤♦ f ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ tr➟♥ K ✳ ❑❤✐ ➤ã

➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✸✳✸

n−1
T (r, f ) ≤
pu(f )

n

Z(r, f − αi ) + N (r, f ) − log r + O(1).
i=1

❚❛ sÏ ❝❤Ø t❤ù❝ sù ❝➬♥ ➤Þ♥❤ ❧ý tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣

f ≡ 0✱ tr♦♥❣ ➤ã u(f ) = 0✳

❍Ö qñ❛ ❞➢í✐ ➤➞② tõ ➤Þ♥❤ ❧ý ✶✳✸✳✸ sÏ ❝ò♥❣ r✃t ❝ã Ý❝❤✳
❍Ö q✉➯ ✶✳✸✳✹✳ ❈❤♦

α1 , ..., αn

f

❧➭ ♠ét ❤➭♠ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ tr➟♥

❧➭ ❝➳❝ ➤✐Ó♠ ♣❤➞♥ ❜✐Öt tr♦♥❣

K

s❛♦ ❝❤♦

f ≡0

✈➭ ❝❤♦

K ✳ ❑❤✐ ➤ã

n

[Z(r, f − αj ) − Z(r, f − αj )] ≤ T (r, f ) − log r + O(1).
j=1
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

❚õ ➤Þ♥❤ ❧ý ✶✳✸✳✶✱
n

Z(r, f − αj ) = nT (r, f ) + O(1),
j=1

✈➭ tõ ➤Þ♥❤ ❧ý ✶✳✸✳✸✱
n

Z(r, f − αj ) − log r + O(1) ≥ (n − 1)T (r, f ) − log r + O(1).
j=1

❱× ✈❐②✱
n

[Z(r, f −αj )−Z(r, f −αj )] ≤ nT (r, f )+(1−n)T (r, f )−log r +O(1).
j=1

✶✵

Footer Page
of 166.
Số hóa12
bởi Trung
tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 13 of 166.


ị t
tr trờ số


ị t ứ tr
trờ số

sở ọ ệ t tr ò ệ ề ớ
ệ ề

K

ột trờ ó số ủ t ứ ớ

ột ị r

S

ột t ữ tr

K



(x s) tứ ỏ t ớ ệ số tr K t ệ
sS

ủ ó S ó f g tr A (K) S ể ộ ế
P (x) =

ỉ ế tồ t số

c K, c = 0 s P (f ) = cP (g)

P (f ) = cP (g) tì P (f ) = 0 ế ỉ ế P (g) = 0
trệt t ớ ù số ộ ó f g rõ r S ể
ộ f g S ể ộ tì P (f )/P (g) ột

tí tr K ó ể ó số ề
ứ

ế

ễ s r từ ý tết ị t ó
ũ s từ ị
ú ý ế ột t t ị t ọ
tứ tì ó ũ t ị t ọ
r tr ỉ ét ớ
tứ



Footer Page
of 166.
S húa13
bi Trung
tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




Header Page 14 of 166.
K ❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣ ➤ã♥❣ ➤➵✐ sè ➤➷❝ sè p > 0✳ ❈❤♦ n ❧➭ ♠ét
sè ♥❣✉②➟♥ s❛♦ ❝❤♦ q = pn ≥ 3✳ ➜➷t

❱Ý ❞ô ✷✳✶✳✷✳

❈❤♦

P (X) = X q + (X − 1)q−1 .
➜➷t

f (z) = z q−1 ✈➭ g(z) = (z − 1)q−1 ✳ ❑❤✐ ➤ã
P (f (z)) = P (g(z)).

❍➡♥ ♥÷❛✱

P ❝ã q ❦❤➠♥❣ ➤✐Ó♠ ♣❤➞♥ ❜✐Öt ✈➭ t❐♣ S ♥❤÷♥❣ ❦❤➠♥❣ ➤✐Ó♠ ❝ñ❛ P
❝❤♦ ♠ét ✈Ý ❞ô ✈Ò t❐♣ ❝ø♥❣ ❛❢❢✐♥❡ ✈í✐ q ➤✐Ó♠ ♠➭ ❦❤➠♥❣ ❧➭ t❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉②
♥❤✃t ❝❤♦ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ ❦❤➳❝ ❤➺♥❣ ✈í✐ ❤Ö sè tr➟♥ K ✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

❚r➢í❝ ❤Õt t❛ ❝❤ø♥❣ tá

P (f (z)) = P (g(z))✳ ❚õ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛

P (X)✱ ❞Ô ❞➭♥❣ ❝❤ø♥❣ tá
P (f (z))(z q − z) = P (g(z))(z q − z),
s✉② r❛

P (f (z)) = P (g(z))✳ ❚❤❐t ✈❐②✱
P (f (z))(z q − z) = [z q(q−1) + (z q−1 − 1)q−1 ](z q − z)
2

= z q − z q(q−1)+1 + z(z q−1 − 1)q
2

2

= z q − z q(q−1)+1 + z q(q−1)+1 − z = z q − z.
❚➢➡♥❣ tù✱
2

2

P (g(z))(z q −z) = P (g(z))((z−1)q −(z−1)) = (z−1)q −(z−1) = z q −z.
◆❤➢ ✈❐②✱

P (f (z)) = P (g(z)) ♥❤➢ ➤➲ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤✳ ❈❤ó ý
X q+1 − 1
P (X) =
X −1

✈➭ ❞♦ ➤ã ♥❤÷♥❣ ❦❤➠♥❣ ➤✐Ó♠ ❝ñ❛

P ❝❤Ý♥❤ ❧➭ ❝➳❝ ❝➝♥ ❜❐❝ (q + 1) ❝ñ❛ ➤➡♥ ✈Þ✱
trõ r❛ ✶✳ P❤➬♥ ❝ß♥ ❧➵✐ t❛ ❝❤ø♥❣ tá r➺♥❣ S ❧➭ ❝ø♥❣ ❛❢❢✐♥❡✳ ❈❤ó ý
s = −1.
s∈S

✶✷

Footer Page
of 166.
Số hóa14
bởi Trung
tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Header Page 15 of 166.
sử

S t ế ở ột é ế ổ (z) = az + b ó t

ũ ó tể ó

1 =

s = a.

(s) = qb + a
sS

sS

ú ý qb

= 0 t ét tr trờ số p ó a = 1 ò t ứ
tỏ b = 0 ớ r ế ú ó t sử ụ tết q 3
ỗ

s S t ết s + b ũ tộ S (s + b)q+1 = 1



1 = (s + b)q+1 = (s + b)(sq + bq ) = sq+1 + sq b + sbq + bq+1 .

ĩ sq+1

= 1 b(sq + sbq1 + bq ) = 0 ế b = 0 t ết r

bq + sbq1 + sq = 0.
ộ trì ớ ọ s S sử ụ


0 = qbq + bq1
sS

ì bq1

sq = bq1 + (

s+
sS

sS

s = 1 t ó

s)q = bq1 + (1)q .
sS

= (1)q = 1 ó t ó tể rút ọ trì t
b = sq s.


ét trờ ợ

rờ ợ

p 3 ộ trì ớ ọ s S trừ r ể ết

r

sq

(q 1)b =
s=1



s=1

s=1

n

p = 2 ết S = {, 2 , ..., 2 } P trì trở t
n

b = 2
n

s=1

s = 0 0 = 0,

b = 0

rờ ợ

2 j = 2
1, ..., 2n1 t ó
ú ý

s)q

s=(

n

+1j



n

2

+1j

+1

+ j ớ ọ j,

= 1 ộ trì ớ j =
2n

j = 1.

2n1 b =
j=1

ề é t n

= b = 1 tết n 2 t ết b = 0


Footer Page
of 166.
S húa15
bi Trung
tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




Header Page 16 of 166.
ó tr ớ tệ í ụ ừ ể ì t
tử tr trờ số ứ tồ t t ị t
ó ự ợ rớ ết t ứ ì ọ ủ s ó
t ứ ứ t ó tế ớ í ụ ụ tể
ị ý

K

trờ số ó ó t ị

t tử ọ ữ tứ ớ ệ số tr
ứ ủ

t

K

S = {s1 , s2 , s3 } t P (x) = (x s1 )(x

s2 )(x s3 ) ó
P (x) P (y)
xy
ị ĩ ột ờ tr P2 ì P (x) P (y) ỉ ó ột ể
G(x, y) =

ở t tr trờ số ề ó ú ớ t
ợ ị ĩ ở

G ó G ợ ể ệ t số ở ữ
tứ ó tì ợ tứ f g s
P (f ) = P (g) tt f g S
ứ ứ t

t

S = {s1 , s2 , s3 } t

P (x) = (x s1 )(x s2 )(x s3 ) = x3 + a2 x2 + a1 x + a0 .
ét trờ ợ

a2 = 0 r trờ ợ a1 = 0 ế P
ó ệ ệt tr trờ số ọ tử b K
s b2 + a1 = 0 ó
rờ ợ

P (z + b) = z 3 + b3 + a1 (z + b) + a0 = P (z) + b(b2 + a1 ) = P (z).
ó

S ột t ị t

a2 = 0 r trờ ợ t t x ở x + a1 /a2 ử
số tế tí ủ P ế ổ S ở ột é ế ổ
rờ ợ

t ổ ù ó ó t ị t ì t tí
tổ qt t ó tể tết r a1

= 0 r trờ ợ t

f (z) = a2 (z 2 1), g(z) = a2 (z 2 + z).


Footer Page
of 166.
S húa16
bi Trung
tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

Header Page 17 of 166.
❑❤✐ ➤ã

P (f (z)) = a32 (z 6 + z 4 + z 2 ) + a0 = P (g(z)),
✈➭

S ❦❤➠♥❣ ❧➭ ♠ét t❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t✳
✯❈❤ó ý✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥➭② sÏ ❧➭ tèt ➤Ó ①➞② ❞ù♥❣ ❝➳❝ ✈Ý ❞ô t➢➡♥❣ tù ✈Ý ❞ô

✷✳✶✳✷ ❝❤♦ ❜é✐ ❝ñ❛

p ♠➭ ❦❤➠♥❣ t❤✉➬♥ t✉ý ❧➭ ❧✉ü t❤õ❛ ❝ñ❛ p✱ ❤♦➷❝ ❝❤ø♥❣ tá

❦❤➠♥❣ tå♥ t➵✐ ♥❤÷♥❣ ✈Ý ❞ô ♥❤➢ ✈❐②✳

✷✳✷

➜Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ ✈Ò t❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t✳

❳✉②➟♥ s✉èt ♣❤➬♥ ♥➭②✱

K sÏ ❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣ ➤ã♥❣ ➤➵✐ sè ➤➬② ➤ñ t➢➡♥❣ ø♥❣
✈í✐ ♠ét ❣✐➳ trÞ t✉②Öt ➤è✐ ♣❤✐ ❆r❝❤✐♠❡❞ ✈➭ A∗ (K) sÏ ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ ❤➭♠ ♥❣✉②➟♥
♣❤✐ ❆r❝❤✐♠❡❞ ❦❤➳❝ ❤➺♥❣ tr➟♥ K ✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ t❛ ➤➢î❝ ❝❤♦ s❛✉ ➤➞②✿
➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✷✳✶✳ ❈❤♦

K

❝ã ➤➷❝ sè

p ≥ 0✳ ➜➷t

P (x) = xn − axm + 1,
✈í✐

n > m✳ ●✐➯ t❤✐Õt r➺♥❣ a = 0 tr♦♥❣ K

s❛♦ ❝❤♦

mm (n − m)n−m an = nn
✈➭
d

mm (n − m)n−m an = nn (1 − ζ)p
✈í✐ ♠ä✐ sè ♥❣✉②➟♥

d = 0 ✈➭ ♠ä✐ ζ ∈ K

(n−m)

,

s❛♦ ❝❤♦

ζ n−m = (−1)n−m .
●✐➯ t❤✐Õt t❤➟♠ r➺♥❣

m ✈➭ n t❤á❛ ♠➲♥ ❤♦➷❝ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ✭❆✶✮ ➤Õ♥ ✭❆✸✮ ❤♦➷❝

❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ✭❇✶✮ ➤Õ♥ ✭❇✷✮ ❞➢í✐ ➤➞②✳
✭❆✶✮

n > m > 1✱

✭❆✷✮

|(n, m)|p = 1✱

✭❆✸✮

n|n|p

✭❇✶✮

n − 2 ≥ m ≥ 5✱

❦❤➠♥❣ ❝❤✐❛ ❤Õt

m✱

✶✺

Footer Page
of 166.
Số hóa17
bởi Trung
tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Header Page 18 of 166.



(n, m) = 1

ó t

S

ể ủ

ị t

ú ý

P

tr

K

n tử ột t

ó

A (K)

d ủ ớ
d

(1 )p = 1 ,
ề ệ
d

mm (n m)nm an = nn (1 )p
ú ớ ọ

(nm)

d 0 a ợ ọ s ó tỏ ột số

ữ trì số ó tr ột trờ ệt
tr trờ ó số ó tể tì ợ ột số

a

rớ ứ ị ý t t ể ứ ột
số ổ ề s

n, m, a P tr ị ý
P c ó ệ ộ

ổ ề

P c1

c = 1

ó

P c1 P c ó ột ệ ộ ế
ột sự t ì c = 1 tồ t ệ ủ tứ ì
m n ề ết p t ó tể ủ ỗ tứ

ứ

sử

ết r ì tứ ó ệ é

mm (n m)nm an = nn (1 c)nm = nn (1 c1 )nm ,
ữ

n, m n m tố ù ớ p ó
(1 c1 )nm = (1 c)nm ,

cnm

= (1)nm tết
mm (n m)nm an = nn (1 )nm

K s nm = (1)nm trừ tứ
P ó ể ộ ớ tết = 1 t ết r
c = 1 ề ủ ị tết ủ t
ớ ọ

Footer Page
of 166.
S húa18
bi Trung
tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




Header Page 19 of 166.

❇æ ➤Ò ✷✳✷✳✸✳ ❈❤♦

n > m > 1

❧➭ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ t❤á❛ ♠➲♥ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥

h ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ ❦❤➳❝ ❤➺♥❣ tr➟♥
K ✳ ❑❤✐ ➤ã✱ tå♥ t➵✐ ♠ét ♣❤➬♥ tö α ∈ K s❛♦ ❝❤♦
✭❆✶✮✲✭❆✸✮ ❝ñ❛ ➤Þ♥❤ ❧ý ✷✳✷✳✶ ✈➭ ❝❤♦

wα+ (hn − 1) > wα (hm − 1).
n = ps d ✈í✐ d = n|n|p ≥ 2 ❦❤➠♥❣ ❝❤✐❛ ❤Õt p✳ ❉♦ ➤✐Ò✉
❦✐Ö♥ ✭❆✸✮✱ d ❦❤➠♥❣ ❝❤✐❛ ❤Õt m✳ ❚❤❡♦ ➤ã✱ ë ➤➞② tå♥ t➵✐ Ýt ♥❤✃t ♠ét ❝➝♥ ❜❐❝
n ❝ñ❛ ➤➡♥ ✈Þ ζ ♠➭ ❦❤➠♥❣ ❧➭ ❝➝♥ ❜❐❝ m ❝ñ❛ ➤➡♥ ✈Þ✳ ◆Õ✉ ë ➤➞② tå♥ t➵✐ ♠ét α
s❛♦ ❝❤♦ h(α) = ζ ✱ t❤× ♥❣❛② ❧❐♣ tø❝ t❛ t❤✃② r➺♥❣ ❣✐➳ trÞ α ♥➭② t❤á❛ ♠➲♥
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

➜➷t

wα+ (hn − 1) > wα (hm − 1),
♥❤➢ ➤✐Ò✉ ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ ❝ã t❤Ó ❣✐➯ sö

h ❜á ➤✐ ζ ✳ ▼➷t ❦❤➳❝✱ ❞♦ h ❧➭ ❤➭♠
♣❤➞♥ ❤×♥❤ tr➟♥ K ✱ ♥ã ❝ã t❤Ó ❜á ➤✐ ♥❤✐Ò✉ ♥❤✃t ♠ét ❣✐➳ trÞ tr♦♥❣ K ∪ {∞} ✭✈Ý
❞ô ♥❤➢ ➤Þ♥❤ ❧ý ✶✳✸✳✸✮✳ ❱× ✈❐②✱ ♥Õ✉ h ❜á ➤✐ ζ ♥ã ♥❤❐♥ ♠ä✐ ❣✐➳ trÞ ❦❤➳❝✳
s > 0✳ ❱× |(n, m)|p = 1✱ t❛ ❝ã (m, p) = 1 ✈➭ ❞♦ ➤ã xm − 1 ❝ã
m ❦❤➠♥❣ ➤✐Ó♠ ♣❤➞♥ ❜✐Öt✳ ▼➷t ❦❤➳❝✱ ✶ ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ➤✐Ó♠ ❜❐❝ ps ❝ñ❛ xn − 1✳
❈❤♦ α ❧➭ ♠ét ➤✐Ó♠ s❛♦ ❝❤♦ h(α) = 1✳ ❑❤✐ ➤ã
❚r➢ê♥❣ ❤î♣

wα+ (hn − 1) = ps wα (hm − 1),
♥❤➢ ➤✐Ò✉ t❛ ❝➬♥ ❝ã✳
❚r➢ê♥❣ ❤î♣

s = 0✳ ❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ♥➭② ♥❤ã♠ ❝➳❝ ❝➝♥ ❜❐❝ n ❝ñ❛ ➤➡♥

✈Þ ❝ã

n(n ≥ 3) ♣❤➬♥ tö ♣❤➞♥ ❜✐Öt✳ ◆❤ã♠ ❝♦♥ t❤ù❝ sù ❝➳❝ ♣❤➬♥ tö ♠➭ ✈õ❛ ❧➭
❝➝♥ ❜❐❝ n ✈➭ ❝➝♥ ❜❐❝ m ❝ñ❛ ➤➡♥ ✈Þ ❝ã ❝✃♣ ❝❤✐❛ ❤Õt n ✈➭ ❞♦ ➤ã✱ t❤➟♠ ✈➭♦ ζ ✱
❝ã Ýt ♥❤✃t ♠ét ❝➝♥ η ❦❤➳❝ s❛♦ ❝❤♦ η n = 1✱ ♥❤➢♥❣ η m = 1✳ ➜➷t α ❧➭ ♠ét sè
s❛♦ ❝❤♦ h(α) = η ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝ñ❛ ♠Ö♥❤ ➤Ò✳
▼Ö♥❤ ➤Ò s❛✉ ❝ñ❛ t❛ ❝❤ø♥❣ tá r➺♥❣ t❛ ❝❤Ø ❝➬♥ ①Ðt ❝➳❝ ❤➭♠

f ✈➭ g s❛♦ ❝❤♦

f ✈➭ g ❦❤➠♥❣ ➤å♥❣ ♥❤✃t ✵✳
K, p, a, P, n ✈➭ m ♥❤➢ tr♦♥❣ ➤Þ♥❤ ❧ý ✷✳✷✳✶✳ ❈❤♦ f ✈➭ g
∗
tr♦♥❣ A (K) s❛♦ ❝❤♦ P (f ) = cP (g)✳ ❑❤✐ ➤ã✱ tå♥ t➵✐ ❝➳❝ ❤➭♠ fs ✈➭ gs tr♦♥❣
A∗ (K) ✈➭ ❝➳❝ ♣❤➬♥ tö as = 0 ✈➭ cs = 0 tr♦♥❣ K s❛♦ ❝❤♦ ♥Õ✉
❇æ ➤Ò ✷✳✷✳✹✳ ❈❤♦

Ps (x) = xn − as xm + 1,
✶✼

Footer Page
of 166.
Số hóa19
bởi Trung
tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 20 of 166.

tì

Ps (fs ) = cs P (gs ).
as tỏ ù ề ệ a t ể tr ị
ý fs 0 gs 0
ữ

ứ

ế

P (f ) = cP (g) t t

P (f )f = cP (g)g .
ỗ ề ệ t ó

|(n, m)|p = 1 ì P ồ

t

f g ồ t ồ t
ế ồ t f g t r ỗ
trờ ợ t ứ
ế t ó tể tì t f1 g1 tr
p

g1

A (K) s f1p = f

= g ó ét
P1 (x) = xn a1 x + 1,
p

t ó a1 ợ ọ s a1

= a ó

[P1 (f1 )]p = P (f ) = cP (g) = [c1 P1 (g1 )]p ,

p

tr ó c1 = c f ở f1 g ở g1 P ở P1 t tế tụ é
q tớ trệt t ế tụ q trì q
s ột số ữ ớ sẽ tớ fs gs
ủ ú trệt t ồ tờ
P ò t ể tr r

mm (n m)nm ans = nn

d

mm (n m)nm ans = nn (1 )p

(nm)

ọ

d ế ó tứ ở tì t ó tể t
s
tớ ỹ từ ps ố ị số ủ ị tết a = aps
ủ t ở tr



Footer Page
of 166.
S húa20
bi Trung
tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

Header Page 21 of 166.
a ë tr➟♥ ❧➭♠ râ r➺♥❣ P ❝ã ❝➳❝
♥❣❤✐Ö♠ ♣❤➞♥ ❜✐Öt✳ ❈❤ó♥❣ ❝ò♥❣ ➤➯♠ ❜➯♦ r➺♥❣ P − ζ ❝ã ❝➳❝ ♥❣❤✐Ö♠ ♣❤➞♥
❜✐Öt ✈í✐ ♠ä✐ ζ = 1 s❛♦ ❝❤♦ ζ n−m = (−1)n−m ✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝ñ❛ ➤Þ♥❤ ❧ý ✷✳✷✳✶✳

◆Õ✉

❈➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥

f ✈➭ g tr♦♥❣ A∗ (K) ❝❤✐❛ S ✱ t❤× P (f ) = cP (g) ✈í✐ ♠ét ❤➺♥❣ sè c

♥➭♦ ➤ã✱ ❞♦ ♠Ö♥❤ ➤Ò ✷✳✶✳✶✳
◆Õ✉ ❧➭ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ➤➷❝ sè ❞➢➡♥❣✱ tõ ❜æ ➤Ò ✷✳✷✳✹✱ ❦❤➠♥❣ ♠✃t tÝ♥❤ tæ♥❣
q✉➳t✱ t❛ ❝ã t❤Ó ❣✐➯ sö r➺♥❣
❚❛ sÏ sö ❞ô♥❣

f g ≡ 0✳

P (f ) = cP (g) ➤Ó t➵♦ r❛ ♠ét ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ ♣❤✐ ❆r❝❤✐♠❡❞

♠➭ ♥❤❐♥ q✉➳ ♥❤✐Ò✉ ❣✐➳ trÞ ✈í✐ sù rÏ ♥❤➳♥❤ ❝❛♦✱ ♣❤ñ ➤Þ♥❤ ➤Þ♥❤ ❧ý ✶✳✸✳✸✳
❚❛ ❝❤ø♥❣ tá

c = 1✳ ●✐➯ sö c = 1 ✈➭ ➤➷t
Q(x) = xn − axm + 1 − 1/c.

❑❤✐ ➤ã

Q(g) = P (g) − c−1 = c−1 (P (g) − 1) = c−1 (f n − af m ).
❚➢➡♥❣ tù✱ ➤➷t

Q1 (x) = P (x) − c✳ ❚❤×

Q1 (f ) = P (f ) − c = c(c−1 P (f ) − 1) = c(P (g) − 1) = c(g n − ag m ).
❉♦ ❜æ ➤Ò ✷✳✷✳✷✱ Ýt ♥❤✃t ♠ét tr♦♥❣ ❤❛✐ ➤❛ t❤ø❝
♣❤➞♥ ❜✐Öt✳ ❚❛ ❝ã t❤Ó ❣✐➯ t❤✐Õt

Q ❤♦➷❝ Q1 ❝ã ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ➤✐Ó♠

Q ❝ã ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ➤✐Ó♠ ♣❤➞♥ ❜✐Öt ❜➺♥❣ tr➳♦ ➤æ✐

f ✈➭ g ♥Õ✉ ❝➬♥✳ ❱× ✈❐②✱ ✈✐Õt
n

(x − ej ),

Q(x) =
j=1

✈í✐ ej ♣❤➞♥ ❜✐Öt✳ ❑❤✐ ➤ã
n
n

f − af

m

(f − ej ).

=
j=1

➜✐Ó♠ ♥➭② ❧➭ q✉❛♥ trä♥❣✱ ✈× t❤Õ

(3)

Z(r, Q(g)) − Z(r, Q(g)) = Z(r, f n − af m ) − Z(r, f n − af m )
≥ (m − 1)Z(r, f ).
✶✾

Footer Page
of 166.
Số hóa21
bởi Trung
tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 22 of 166.
▼➷t ❦❤➳❝✱ sö ❞ô♥❣ ❤Ö qñ❛ ✶✳✸✳✹✱ t❛ ❝ã
n

Z, (r, Q(g)) − Z(r, Q(g)) =

(4)

[Z(r, g − ej ) − Z(r, g − ej ]
j=1

≤ T (r, g) − log r + O(1).
◆❤➢♥❣✱ ❞♦ ❤Ö qñ❛ ✶✳✸✳✷✱

nT (r, f ) = T (r, P (f )) + O(1) = T (r, P (g)) + O(1) = nT (r, g) + O(1),
✈➭ ❞♦ ➤ã

T (r, g) = T (r, f ) + O(1).
❉♦ ➤ã ❦Õt ❤î♣ ✭✸✮ ✈➭ ✭✹✮✱ t❛ ➤➢î❝

(m − 1)T (r, f ) = (m − 1)Z(r, f ) ≤ T (r, g) − log r + O(1),
✈➭ ❞♦ ➤ã
➜➷t

m < 1✱ ♣❤ñ ➤Þ♥❤ ❣✐➯ t❤✐Õt ❝ñ❛ t❛✳ ❱× ✈❐②✱ c = 1✳

h = f /g ✳ ❱× P (f ) = P (g)✱ t❛ ❝ã
g

n−m

hm − 1
.
=a n
h −1

P❤➬♥ ❝ß♥ ❧➵✐ ❝ñ❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❣å♠ ❝ã ❝❤ø♥❣ tá

h ❧➭ ❤➺♥❣ sè ✈➭ ✈× t❤Õ f ✈➭ g

❝ò♥❣ ✈❐②✱ ♠➭ ➤✐Ò✉ ♥➭② ♣❤ñ ➤Þ♥❤ ❣✐➯ t❤✐Õt ❝ñ❛ ➤Þ♥❤ ❧ý✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝❤✐❛ ❧➭♠
❤❛✐ tr➢ê♥❣ ❤î♣✱ ♣❤ô t❤✉é❝ ✈➭♦ ❤♦➷❝ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ✭❆✶✮✲✭❆✸✮ ➤➢î❝ t❤á❛ ♠➲♥
❤♦➷❝ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ✭❇✶✮✲✭❇✷✮ ➤➢î❝ t❤á❛ ♠➲♥✳

m ✈➭ n t❤á❛ ♠➲♥ ✭❆✶✮✲✭❆✸✮✳ ◆Õ✉ h ❦❤➠♥❣ ❧➭ ❤➺♥❣ sè✱ t❤× ❜æ
➤Ò ✷✳✷✳✸ ♥ã✐ r➺♥❣ tå♥ t➵✐ ♠ét ♣❤➬♥ tö α ∈ K s❛♦ ❝❤♦
❚r➢ê♥❣ ❤î♣

wα+ (hn − 1) > wα (hm − 1).
α ❧➭ ♠ét ❝ù❝ ➤✐Ó♠ ❝ñ❛ g n−m ✱ ♠➞✉ t❤✉➱♥✳ ❉♦ ➤ã h ❧➭ ❤➺♥❣ sè ✈➭ ✈×
t❤Õ f ✈➭ g ❝ò♥❣ ✈❐②✳

❱× ✈❐②✱

m ✈➭ n t❤á❛ ♠➲♥ ✭❇✶✮✲✭❇✷✮✳ ❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ♥➭② t❛ ❣✐➯
t❤✐Õt (n, m) = 1 ✈➭ ♥❤➢ ✈❐② ❦❤➠♥❣ ❝ã ❝➝♥ ❜❐❝ n ❦❤➠♥❣ t➬♠ t❤➢ê♥❣ ❝ñ❛ ➤➡♥
✈Þ ♠➭ ❝ò♥❣ ❦❤➠♥❣ ❧➭ ❝➝♥ ❜❐❝ m ❝ñ❛ ➤➡♥ ✈Þ✳ ❱× Ýt ♥❤✃t ♠ét tr♦♥❣ ❤❛✐ sè n
❚r➢ê♥❣ ❤î♣

✷✵

Footer Page
of 166.
Số hóa22
bởi Trung
tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Header Page 23 of 166.
❤♦➷❝

m ♣❤➯✐ ♥❣✉②➟♥ tè ✈í✐ p ♥➟♥ ❝ã Ýt ♥❤✃t m − 1 ♣❤➬♥ tö ζ1 , ..., ζm−1 ❝ñ❛
K ♠➭ ❤♦➷❝ ❧➭ ❝➝♥ ❜❐❝ n ❤♦➷❝ ❝➝♥ ❜❐❝ m ❝ñ❛ ✶✱ ♥❤➢♥❣ ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧➭ ❝➯ ❤❛✐✳
●✐➯ sö tå♥ t➵✐ ♠ét ➤✐Ó♠ α ∈ K s❛♦ ❝❤♦ h(α) = ζj ✳ ❑❤✐ ➤ã
g n−m (α) = a

hm (α) − 1
= 0.
hn (α) − 1

❈❤ó ý r➺♥❣ ❦❤➯ ♥➝♥❣ ❜➺♥❣

∞ ➤➢î❝ ❧♦➵✐ trõ✱ ❞♦ g ❧➭ ❣✐➯✐ tÝ❝❤✳ ❱× ✈❐②✱ α ❧➭
♠ét ❦❤➠♥❣ ➤✐Ó♠ ❝ñ❛ h ❜❐❝ Ýt ♥❤✃t n − m✳ ❉♦ ➤ã✱ tõ ➤Þ♥❤ ❧ý ✶✳✸✳✸ t❛ ❦Õt ❧✉❐♥
r➺♥❣
m−1

(m − 2)T (r, h) ≤

Z(r, h − ζj ) + N (r, h) − log r + O(1)
j=1
m−1

Z(r, h − ζj ) + N (r, h) − log r + O(1).

≤ (n − m)
j=1

❙ö ❞ô♥❣ ➤Þ♥❤ ❧ý ✶✳✸✳✶✱ t❛ ❦Õt ❧✉❐♥

(m − 2)T (r, h) ≤ (

m−1
+ 1)T (r, h) − log r + O(1).
n−m

❉♦ ➤ã✱

m−1
+ 1).
n−m
❚❛ ➤➲ ❝ã ❣✐➯ t❤✐Õt n − m ≥ 2✱ ✈× t❤Õ t❛ ❦Õt ❧✉❐♥ m < 5✱ ♠➞✉ t❤✉➱♥ ✈í✐ ➤✐Ò✉
m−2<(

❦✐Ö♥ ✭❇✶✮✳

✷✳✸

◆❤÷♥❣ ✈Ý ❞ô ✈Ò t❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t✳

◆❤➢ ➤➲ ♥ã✐ tr♦♥❣ ♣❤➬♥ ❣✐í✐ t❤✐Ö✉✱ t❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ❤÷✉ ❤➵♥ ♠➭ ❧ù❝
❧➢î♥❣ ❝ñ❛ ♥ã ♥❣✉②➟♥ tè ✈í✐ ➤➷❝ sè ➤➲ ➤➢î❝ ♠➠ t➯ ➤➬② ➤ñ✳ ❈ï♥❣ sù ♠➠ t➯ ♥❤➢
✈❐② ♥❤➢♥❣ ♥ã ❦❤➠♥❣ ➤ó♥❣ ❝❤♦ ♥❤÷♥❣ t❐♣ ❝ã ❧ù❝ ❧➢î♥❣ ❧➭ ♠ét ❧✉ü t❤õ❛ ❝ñ❛
➤➷❝ sè ✈➭ ❦❤➠♥❣ tå♥ t➵✐ t❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ❝ã ❧ù❝ ❧➢î♥❣ ✸ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣

➤➷❝ sè ✸✳ ❚r♦♥❣ ♣❤➬♥ ♥➭② t❛ ➤➢❛ r❛ ❝➳❝ ✈Ý ❞ô ✈Ò t❐♣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ❝ã
❧ù❝ ❧➢î♥❣

≥ 4 tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ➤➷❝ sè ❜✃t ❦×✳
✷✶

Footer Page
of 166.
Số hóa23
bởi Trung
tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Header Page 24 of 166.
rớ ết t t ể ột số ệ qủ ủ ị ý ữ
í ụ ề t ị t ủ ọ trờ ự ợ

6 ớ ọ

số
ệ q

K

tr ị ý t

P (x) = xn axn1 + 1.
n > 2 ột ỹ từ ủ p số ủ K tết r

a = 0 tr K s
sử

(n 1)n1 an = nn
S

t ủ A (K)
ó t

ể ủ



(n 1)n1 an = 2nn .

P

ó

n

tử ột t ị

ú ý ế số ủ K n tì ề ệ (n1)n1 an
ợ tỏ ớ

= 2nn .

a = 0 ế n tì ề ệ ờ

ợ tỏ ệ qủ ó tí ứ ụ tr trờ ợ
ị ý ủ ợ ụ
ứ

ết

ụ ị ý ớ n = n m = n 1 õ r n|n|p

n n|n|p > 1 n ột ỹ từ ủ p ì n



n 1 tố ù ề ệ ế ợ tỏ
n m = 1 ề ệ tr a trở t
(n 1)n1 an = nn (n 1)n1 an = nn 2p
ọ số

d

(nm)

d

d 0 2p = 2 ọ d 0 t ó tể ỏ

q pd tr số ũ
ệ q

pr 7 ớ r

K

tr ị ý ớ số

p 3

t

ột số t

P (x) = xn axn2 + 1.
sử r

a = 0 s
4(n 2)n2 an = nn



(n 2)n2 an = nn .



Footer Page
of 166.
S húa24
bi Trung
tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

n=


Header Page 25 of 166.

S

t ủ A (K)
ó t

ứ

r

P

ó

n

tử ột t ị

ề ệ ợ tỏ

ệ q
ớ

ể ủ

K

tr ị ý ớ số t

n = 2r 8

ột số t

P (x) = xn axn3 + 1.
S

ột t ị t ủ A (K)
tết

a = 0

ứ

ó t

ể ủ

P

ó

n

tử

ề ệ ợ tỏ ề ệ

tr ị ý tr trờ ợ t tờ
ị ý ủ ị ý ồ trờ ợ
ữ t tử tr trờ số t tử tr trờ
số t í ụ tr tr ỗ trờ ợ ó P
ủ t ở số ì ọ ĩ
ét tứ

P (x) t ể ủ ó S ể

ệt t ét ờ số ị ĩ ở

Fc (x, y) = P (x) cP (y) = 0
ớ

c = 0 ó ế f g tí r S
tì ệ ề f g ệ ủ trì Fc = 0 ớ
ột số c = 0 ó ị ý Pr r ủ r
trì sẽ ệ tr ữ tí r
ó

Fc ó t ữ tỉ t c = 1
F1 sẽ ó t ữ tỉ x y = 0 t ứ ớ f = g ế
ó t ữ tỉ tì S sẽ ột t ị t ì
t ọ tứ P (x) s ờ Fc ó ữ ể
ì ị ễ ứ



Footer Page

of 166.
S húa25
bi Trung
tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn