Thế vị lớp đơn và bài toán Neumann đối với hàm điều hòa

Header Page 1 of 166.
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

HOÀNG VĂN LUẬN

THẾ VỊ LỚP ĐƠN
VÀ BÀI TOÁN NEUMANN ĐỐI VỚI
HÀM ĐIỀU HÒA

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. HÀ TIẾN NGOẠN

HÀ NỘI - NĂM 2015

Footer Page 1 of 166.


Header Page 2 of 166.

Mục lục

Mở đầu

2

1 Kiến thức chuẩn bị

4

1.1

Góc khối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Mặt Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3

Phương trình tích phân Fredholm loại II . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4

Phương trình Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5

Tính duy nhất nghiệm của bài toán Neumann . . . . . . . . . . . . 23

2 Thế vị lớp đơn và bài toán Neumann đối với hàm điều hòa

28

2.1

Thế vị lớp kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2

Thế vị lớp đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3

Đưa bài toán Neumann của phương trình Laplace về phương trình
tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.4

Sự tồn tại nghiệm của các bài toán Neumann . . . . . . . . . . . . 44

Kết luận

51

Tài liệu tham khảo

52

1

Footer Page 2 of 166.

Header Page 3 of 166.

Mở đầu
Nghiệm của phương trình Laplace rất quan trọng trong toán học mà đặc biệt
là trong các bài toán vật lý, sinh học. Việc tìm nghiệm của bài toán Laplace là
cần thiết, có nhiều phương pháp để chỉ ra sự tồn tại nghiệm của nó. Một trong
những phương pháp đó là phương pháp thế vị. Đó là phương pháp tìm nghiệm
của phương trình dưới dạng một thế vị của hàm điều hòa cơ bản. Cấu trúc luận
văn gồm 2 chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Chương này trình bầy một số khái niệm và
các tính chất bao gồm: định nghĩa về góc khối; định nghĩa về mặt Lyapunov và
các tính chất của mặt Lyapunov cùng với các đánh giá có liên quan; định nghĩa
về phương trình tích phân Fredholm loại II, các định lý Fredholm và cuối cùng
là trình bày về các bài toán Neumann trong và ngoài, tính duy nhất nghiệm của
bài toán đó.
Chương 2: Thế vị lớp đơn và bài toán Neumann cho hàm điều hòa. Nội
dung của chương này là chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán Neumann cho
hàm điều hòa, gồm 3 bước: Đầu tiên ta đưa ra khái niệm thế vị lớp đơn và tính
chất của nó. Bước thứ 2 ta chuyển bài toán Neumann của phương trình Laplace
về phương trình tích phân Fredholm loại II. Bước thứ 3 ta đi khảo sát sự tồn tại
nghiệm của bài toán đó.
Các kết quả chính trong luận văn được trình bày dựa trên tài liệu tham khảo
[1],[2], [3].
Hà Nội, tháng 4 năm 2015.
Học viên
Hoàng Văn Luận
2

Footer Page 3 of 166.


Header Page 4 of 166.

Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS. Hà
Tiến Ngoạn. Thầy đã dành nhiều thời gian quý báu của mình để kiên trì hướng
dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt cả quá trình làm luận
văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới người thầy của
mình.
Tôi cũng muốn gửi tới toàn thể các thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học trường Đại
học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, các thầy cô đã đảm nhận
giảng dạy khóa Cao học 2012 - 2014, đặc biệt là các thầy cô tham gia tham gia
giảng dạy nhóm Giải tích 2012-214 lời cảm ơn chân thành đối với công lao dạy
dỗ trong suốt thời gian của khóa học.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp, các anh chị em trong nhóm Cao
học Toán 2012-2014, đặc biệt là các anh chị em nhóm Giải tích đã quan tâm, giúp
đỡ, tạo điều kiện cũng như động viên tinh thần để tôi có thể hoàn thành khóa
học này.

3

Footer Page 4 of 166.


Header Page 5 of 166.

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị

1.1

Góc khối

Cho S là mặt trơn, nói chung là không kín, định hướng, xét một phía xác định
−
của S và vectơ pháp tuyến →
n hướng về phía ấy, mà ta quy ước là pháp tuyến
dương.
Giả sử P là một điểm bất kỳ nằm trong không gian sao cho với điểm bất kỳ
−→
−
π
Q ∈ S thì →
r = P Q hợp với −
n→
Q một góc nhỏ hơn hoặc bằng 2 tức là:

−
cos(→
r ,−
n→
Q) ≥ 0

(1.1)

−→
Từ P, xét tất cả các bán kính vectơ P Q, Q ∈ S . Các bán kính vectơ đó lấp
đầy khối nón, đỉnh là P và các đường sinh của mặt bên tựa trên biên của mặt S.
Từ P, xét mặt cầu đơn vị tâm P, kí hiệu σ1 . Mặt cầu ấy cắt khối nón trên theo

mảnh cầu σ1 , có diện tích là |σ1 |. Khi đó phần không gian chiếm bởi khối nón nói
trên được gọi là góc khối mà từ P nhìn mặt S. Diện tích |σ1 | được gọi là số đo
của góc khối, và được kí hiệu là
ωP (S) = |σ1 |

(1.2)

Chú ý 1.1. Nếu xét mặt cầu tâm P bán kính R : R và cắt khối nón theo mảnh
σR có diện tích |σR | thì do tính đồng dạng của σR và σ1 ta có : |σ11 | = |σRR2 |
Do đó ta có thể viết:

ωP (S) =
4

Footer Page 5 of 166.

|σR |
R2

(1.3)


Header Page 6 of 166.
−→
→
−
→
−
Nếu pháp tuyến dương −
n→

hợp
với
bán
kính
vectơ
r
một
góc
tù
cos(
r,
nQ ) ≤ 0
Q
thì ta quy ước số đo của góc khối mà từ P nhìn S có giá trị âm và
ωP (S) = −

|σR |
R2

(1.4)

−→
−
Giả sử S là mặt trơn từng mảnh và trên mỗi mảnh đại lượng cos(→
r, nQ ) đổi
−→
−
dấu, khi đó ta chia S thành nhiều mảnh nhỏ S sao cho cos(→
r, n ) không đổi dấu.
j

Q

Khi đó ta đặt

ωP (S) ≡

ωP (Sj )

(1.5)

j

Định lí 1.1 (Định lý 5.3.1, [1]). Giả sử P ∈
/ S . Góc khối mà từ điểm P nhìn mặt
S có giá trị bằng
∂ 1
ωP (S) = −
( )dSQ
∂nQ r
S

trong đó r=PQ là khoảng cách giữa hai điểm P và Q, −
n→
Q là pháp tuyến dương tại
Q ∈ S , ∂n∂Q là đạo hàm theo hướng −
n→
Q.

−→

−
Chứng minh. Ta chỉ xét trường hợp mặt S mà cos(→
r, nQ ) không đổi dấu,trong
−→
−
trường hợp ngược lại, ta chia S thành các mảnh nhỏ Sj sao cho cos(→
r , nQ ) không
−→
đổi dấu. Khi đó P Q chỉ cắt S tại Q duy nhất.
−→
−
Giả sử cos(→
r ,n ) ≥ 0
Q

Xét mặt cầu R tâm P với bán kính R đủ nhỏ sao cho σR không cắt S. Xét
miền D giới hạn bởi mặt S, mặt σR và phần không gian nằm giữa S và σR . Kí
hiệu là S0
Ta chú ý rằng hàm 1r là hàm điều hòa trong D ∪ S ∪ σR ∪ S0 do đó theo tính
chất của hàm điều hòa ta có:

S∪σR ∪S0

∂ 1
( )dSQ = 0
∂νQ r

trong đó −
ν→
Q là pháp tuyến trong đối với miền D tại điểm Q.

5

Footer Page 6 of 166.

(1.6)


Header Page 7 of 166.
→
−
Trên mặt nón S0 thì véctơ −
ν→
Q thẳng góc với r nên ta có
−
−
− cos(→
r ,→
ν)
∂ 1
( )=
=0
∂ν r
r2

(1.7)

Trên mặt S, ta có

−
−

→
ν→
Q = −nQ
nên

∂ 1
( )dSQ = −
∂νQ r

∂ 1
( )dSQ .
∂nQ r

S

(1.8)

S

Trên σR ta có:

σR

∂ 1
( )dSQ =
∂νQ r

σR

∂ 1

1
( )dSQ = − 2
∂nQ r
R

dSQ =

−|σR |
.
R2

(1.9)

σR

Từ công thức (1.6), (1.7), (1.8) và (1.9) ta có

∂ 1
( )dSQ + ωP (S) = 0
∂nQ r
S

hay

∂ 1
( )dSQ .
∂nQ r

ωP (S) = −

(1.10)

S

−→
−
Nếu cos(→
r, nQ ) ≤ 0 thì trên mặt S ta có:
−
−
→
ν→
Q = nQ
và

∂ 1
( )dSQ =
∂νQ r
S

∂ 1
( )dSQ .
∂nQ r
S

Từ đẳng thức

ωP (S) =
6

Footer Page 7 of 166.

−|σR |
R2

(1.11)


Header Page 8 of 166.
suy ra

−|σR |
∂ 1
( )dSQ = − 2 = ωP (S)
∂nQ r
R

∂ 1
( )dSQ =
∂νQ r

−
S

(1.12)

S

Vậy ta vẫn có (1.10).

1.2

Mặt Lyapunov

Dưới đây là định nghĩa mặt Lyapunov trong không gian ba chiều.
1.2.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.1. Mặt S được gọi là mặt Lyapunov nếu nó thỏa mãn các điều
kiện sau:
1) Tại mỗi điểm của mặt S đều tồn tại một pháp tuyến xác định
→
−
−
2) Gọi Q và Q’ là 2 điểm bất kỳ nằm trên mặt S và →
n , n là hai vectơ pháp
→
−
−
tuyến tương ứng tại Q và Q’, ϕ là góc hợp bởi 2 vectơ pháp tuyến đó (ϕ = (→
n , n )),
r là khoảng cách giữa hai điểm Q,Q’

r = QQ
Khi đó tồn tại 2 hằng số dương A và α sao cho:

ϕ ≤ Arα .

(1.13)

Nhận xét 1.1. Nếu mặt S có phương trình

z = f (x, y)
trong đó f (x, y) là hàm có đạo hàm cấp hai liên tục thì S là mặt Lyapunov.
Do đó mặt cong có độ cong liên tục là mặt Lyapunov. Hơn nữa định nghĩa và
các định lý trong phần này cũng đúng trong không gian n chiều tổng quát.

7

Footer Page 8 of 166.


Header Page 9 of 166.
Định lí 1.2 (Định lý 5.4.2, [1]). Giả sử S là mặt Lyapunov kín. Khi ấy tồn tại
một hằng số dương d > 0 sao cho nếu lấy một điểm Q bất kỳ trên S làm tâm bán
−
kính d thì mọi đường thẳng song song với pháp tuyến →
n tại Q cắt mặt S phía
trong hình cầu không quá một điểm.
Mặt cầu với tâm tại điểm Q ∈ S nói trên được gọi là mặt cầu Lyapunov, kí
hiệu (Q).
Chứng minh. Chọn d đủ nhỏ sao cho:

Adα ≤ 1

(1.14)

Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử ngược lại, tồn tại hình cầu bán kính d
→
− −
n0
tâm Q0 ∈ S cắt mặt S theo mảnh S (Q0 ) sao cho có một tia đi qua Q0 ; n0 //→

của S cắt S (Q0 ) tại 2 điểm là Q và Q’. Giả sử các pháp tuyến của mặt S là các
→
−
pháp tuyến trong, gọi Q là điểm của mặt S tại đó n0 hướng ra phía ngoài, còn Q’
→
−
là điểm tại đó n0 hướng vào phía trong của S. Xét mặt phẳng tiếp xúc tại Q với
−
−
S. Khi đó, →
n và →
n0 nằm về 2 phía của mặt phẳng tiếp xúc do đó:

→
−
π
−
−
−
(→
n,→
n0 ) = (→
n , n0 ) > > 1
2
Điều này không thể sảy ra vì theo (1.13) và (1.14) ta phải có:

−
−
(→
n,→

n0 ) ≤ Arα ≤ Adα ≤ 1
→
−
Trường hợp n0 tiếp xúc với s (Q0 ) cũng không thể xảy ra vì khi đó
→
−
π
−
−
−
(→
n,→
n0 ) = ( →
n , n0 ) = > 1
2
Vậy định lý được chứng minh.
1.2.2 Một vài đánh giá

8

Footer Page 9 of 166.


Header Page 10 of 166.
Giả sử Q0 là một điểm cố định bất kỳ nằm trong mặt S và S (Q0 ) là một phần
mặt nằm trong mặt cầu Lyapunov tâm Q0 . Xét hệ tọa độ địa phương (ξ, η, ζ) với
−
gốc là Q0 , trục Q0 ζ trùng với pháp tuyến →
n0 tại Q0 còn 2 trục Q0 ξ và Q0 η nằm
trong mặt phẳng tiếp xúc với S tại Q0 . Theo Định lý 1.1 thì phần mặt S (Q0 ) có

thể biểu diễn trong hệ tọa độ Q0 ξηζ bởi phương trình

ζ = f (ξ, η)

(1.15)

−
Gọi Q(ζ, ξ, η) là điểm chạy trên mặt S (Q0 ) ; →
n là pháp tuyến tại Q và r =
−
Q0 Q. Ta đi đánh giá cosin chỉ phương của →
n , đại lượng f (ξ, η) trong (1.15) và
−
−
cos(→
r ,→
n ) theo r khi Q chạy trên mặt S (Q0 )
→
−
−
a) Đại lượng cos(→
n, ζ )
Đặt:

→
−
−
−
−
ϕ = (→

n , ζ ) = (→
n,→
n0 ).

(1.16)

Ta có:

cos ϕ = 1 −

ϕ2 ϕ4
+
− ... =
2!
4!

(−1)n
n=0

ϕ2n
(2n)!

(1.17)

là chuỗi đan dấu có các số hạng đơn điệu giảm, nên nếu trong chuỗi ta chỉ giữ
một số hữu hạn các hạng thức, thì phần dư sẽ có dấu của hạng thức đầu tiên của
phần dư đó.
Từ đó
ϕ2
cos ϕ ≥ 1 −

2
Theo công thức (1.13) ta có:

1
cos ϕ ≥ 1 − A2 r2α .
2
Mặt khác do (1.14) nên trong các mặt cầu Lyapunov đã chọn:
9

Footer Page 10 of 166.

(1.18)


Header Page 11 of 166.

A2 r2ϕ ≤ A2 d2ϕ ≤ 1.
và từ (1.18) ta suy ra đánh giá sau:

→
−
1
−
cos(→
n, ζ ) ≥
2

(1.19)

→

−
−
−
−
b) Đại lượng cos(→
n , ξ ) và cos(→
n,→
η)
→
−
→
−
−
−
Gọi n là hình chiếu của →
n xuống mặt phẳng Q0 ξη . Khi đó cos(→
n , ξ ) là
→
−
→
−
−
thành phần của →
n xuống trục ξ . Gọi α và β là góc hợp bởi n với các trục Q0 ξ
và Q0 η ta có
→
−
−
cos(→
n , ξ ) = sin ϕ cos α .

(1.20)

−
−
cos(→
n,→
η ) = sin ϕ cos β .

(1.21)

Tương tự

Chú ý 1.2.

sin ϕ < ϕ ≤ Arα
từ đó ta có các đánh giá sau:

→
−
−
| cos(→
n , ξ )| ≤ Arα
−
−
| cos(→
n,→
η )| ≤ Arα
c) Đại lượng f (ξ, η)
Ta có phương trình của mặt S (Q0 ) là:

ζ = f (ξ, η)
−
Do đó cosin chỉ phương của →
n biểu thị bởi công thức

10

Footer Page 11 of 166.

(1.22)
(1.23)


Header Page 12 of 166.

−f

→
−
−
cos(→
n , ξ) =

ξ

(1.24)

1 + (fξ )2 + (fη )2
−f

→
−
−
cos(→
n , η) =

1 + (fξ
→
−
−
cos(→
n , ζ) =

η

)2

(1.25)

+ (fη

)2

1

(1.26)

1 + (fξ )2 + (fη )2
Từ (1.19),(1.22 → 1.26), ta có

|fξ | =

→
−
−
1 + (fξ )2 + (fη )2 | cos(→
n, ξ)| ≤ 2Arα

và tương tự đối fη , như vậy

|fη | ≤ 2Arα

(1.27)

|fζ | ≤ 2Arα .

(1.28)

Trong mặt phẳng Q0 ξη thì vị trí của Q0 ξ là bất kỳ. Do đó trong đánh giá (1.27)
và (1.28) là đúng với mọi phương Q0 ρ bất kỳ trong mặt phẳng Q0 ξη . Gọi ρ là
khoảng cách của những điểm nằm trên tia đó tới Q0 . Khi đó

|

∂f
| ≤ 2Arα
∂ρ

(1.29)

Trong mặt phẳng Lyapunov, r là đại lượng giới nội nên:

|

∂f
|≤M
∂ρ

Từ đó
ρ

ρ

∂f
dρ ≤
∂ρ

|ζ| = |f (ξ, η)| =
0

0

11

Footer Page 12 of 166.

∂f
dρ ≤ M ρ.
∂ρ

(1.30)


Header Page 13 of 166.
Gọi Q(ξ, η, ζ) là điểm nằm trên mặt S (Q0 ) và P (ξ, η) là hình chiếu của Q lên
mặt phẳng Q0 ξη và đặt
ρ = Q0 P .
Khi đó trong tam giác vuông Q0 P Q ta có

r2 = Q0 Q2 = ρ2 + ζ 2 .

Từ đó với chú ý (1.30) ta suy ra

|ζ 2 | ≤ M 2 ρ2 ⇒ r2 ≤ M 2 ρ2 + ρ2
và do đó

r ≤ Kρ,

K = const

(1.31)

Như vậy, (1.29) cho ta

|

∂f
| ≤ K ρα ,
∂ρ

K = const

hay
ρ

|ζ| = |f (ξ, η)| ≤

|

∂f
|dρ ≤ Cρα+1 ,
∂ρ

C = const

(1.32)

0

Mặt khác ta có ρ ≤ r nên ta có đánh giá sau:

|ζ| ≤ Crα+1

(1.33)

−
−
d) Đại lượng cos(→
r ,→

n)
−
Chú ý rằng cosin chỉ phương của →
r là
ξ
,
r

η
,
r

ζ
r

ta có:

→
−
→
−
ξ
η
ζ
−
−
−
−
−
−

cos(→
r ,→
n ) = cos(→
n , ξ ) + cos(→
n,→
η ) + cos(→
n , ζ ).
r
r
r
12

Footer Page 13 of 166.

(1.34)


Header Page 14 of 166.
→
−
−
n , ζ )| đều bé thua 1 nên từ (1.22),(1.23),(1.33) và (1.34) ta có
Vì | ξr |, | ηr |, | cos(→
đánh giá sau:
−
−
| cos(→
r ,→
n )| ≤ C1 rα .

(1.35)

Định lí 1.3 (Định lý 5.4.3, [1]). Nếu S là mặt Lyapunov giới nội thì tồn tại một
hằng số C sao cho:

∂
1
(
) dSQ ≤ C
∂nQ rP Q

(1.36)

S

đối với mọi P nằm trong không gian.
Ý nghĩa hình học của (1.36) đối với góc khối mà P nhìn mặt S trong (1.5) như
sau: Giả sử S = Sj , khi đó tổng trị tuyệt đối số đo các góc khối là bị chặn đều
j

|ωP (Sj )| ≤ C.
j

Chứng minh. Để chứng minh định lý trên ta chia làm 2 trường hợp sau: điểm P
nằm trong mặt S và điểm P nằm ngoài mặt S
a. Điểm P ∈ S
Lấy gốc tọa độ địa phương là P và như vậy coi

P ≡ Q0 ∈ S
Chú ý:

1
∂
∂nQ ( rQ0 Q )

→
− →
−

= − cos(rr2 , n )

Khi đó
S

−
−
cos(→
r ;→
n)
dSQ =
r2

∂
1
(
) dsQ =
∂nQ rQ0 Q

=
S (Q0 )

S

−
−
cos(→
r ,→
n)
dSQ +
r2
S\S (Q0 )

Nếu Q ∈ S\S (Q0 ) thì

Q0 Q = r ≥ d
13

Footer Page 14 of 166.

−
−
cos(→
r ,→
n)
dSQ .
r2


Header Page 15 of 166.
với d bán kính mặt cầu Lyapunov và

−
−
1
cos(→
r ,→
n)
dS
≤
Q
r2
d2
S\S (Q0 )

dSQ ≤

|S|
d2

S\S (Q0 )

với |S| là diện tích của mặt S.
Để tính tích phân đối với S (Q0 ) ta gọi G (Q0 ) là hình chiếu của S (Q0 ) lên
mặt Q0 ξη . Chú ý đánh giá (1.19) ta có
−
−
−
−
| cos(→
r ,→
n )|

| cos(→
r ,→
n )|
dS
=
Q
→
− dξdη ≤
−
r2
r2 cos(→
n, ζ )
S (Q0 )

G (Q0 )

−
−
| cos(→
r ,→
n )|
dξdη
r2

≤2

(1.37)

G (Q0 )

Gọi P (ξ, η) là hình chiếu của Q(ξ, η, ζ) lên mặt phẳng Q0 ξη và ρ = Q0 P ta có:

r 2 = ρ2 + ζ 2
tức là

r ≥ ρ.

(1.38)

Mặt khác ta có đánh giá (1.31) thì khi đó (1.35) cho ta

−
−
cos(→
r ,→
n ) ≤ C 1 ρα
Từ (1.37), (1.38), (1.39) ta có
−
−
| cos(→
r ,→
n )|
dSQ ≤ C
r2

dξdη
≤
ρ2−α

G (Q0 )

S (Q0 )

(1.39)

C

dξdη
=C .
ρ2−α

ρ≤d

Chú ý rằng G (Q0 ) nằm trong hình tròn ρ ≤ d. Vậy với P ≡ Q0 ∈ S ta có

S

∂
1
|S|
(
) dSQ ≤ 2 + C .
∂nQ rQ0 Q
d
14

Footer Page 15 of 166.

(1.40)

Header Page 16 of 166.
Do đó tích phân ở vế trái của (1.40) là tồn tại ngay cả khi P ∈ S
b. Điểm P ∈
/S
Với P ∈
/ S thì khoảng cách từ P tới S lớn hơn hay bằng
Với trường hợp thứ nhất, ta có
d
rP Q ≥
2
Khi đó

−
−
| cos(→
r ,→
n )|
2
r

≤

1
r2

≤

4
d2

d
2

hoặc bé hơn

d
2

và do đó

−
−
4
| cos(→
r ,→
n|
dS
≤
|S|
Q
r2
d2

(1.41)

S

Đối với trường hợp thứ hai, gọi Q0 là điểm trên S sao cho

d
P Q0 = min rP Q < .
Q∈S
2
Khi đó P nằm trên pháp tuyến đối với S tại Q0 . Do đó ta xây dựng mặt cầu
Lyapunov tâm Q0 với hệ tọa độ địa phương Q0 ξηζ như trên. Gọi S (Q0 ) là phần
mặt S nằm trong mặt cầu Lyapunov. Ta đi đánh giá các tích phân trên S (Q0 )
và trên S\S (Q0 ).
Nếu Q ∈ S\S (Q0 ), ta có P Q ≥
Q0 Q > d, P Q0 < d2 nên:

d
2.

Thật vậy trong tam giác P Q0 Q ta có

r = P Q ≥ Q0 Q − P Q ≥ d −

d d
=
2
2

Do đó

−
−
| cos(→
r ,→
n )|

4
dS
≤
Q
r2
d2
S\S (Q)

S\S (Q)

Xét tích phân:

−
−
| cos(→
r ,→
n )|
dSQ
2
r
S (Q)

15

Footer Page 16 of 166.

dSQ ≤

4
|S|.

d2

(1.42)


Header Page 17 of 166.
Ta có

→
−
→
−
−
−
−
−
−
−
−
−
cos(→
r ,→
n ) = cos(→
r , ξ ) cos(→
n , ξ ) + cos(→
r ,→
η ) cos(→
n;→
η )+
→

−
→
−
−
−
+ cos(→
r , ζ ) cos(→
n, ζ )

Từ đó

→
−
→
−
−
−
−
−
−
−
| cos(→
r ,→
n )| ≤ | cos(→
n , ξ )| + | cos(→
n,→
η )| + | cos(→
n , ζ )|

(1.43)

Đặt Q0 P = δ, Q0 Q = r0 , (ξ, η, ζ) là tọa độ địa phương của Q ∈ S (Q0 ).
Trong hệ tọa độ địa phương thì tọa độ của P là (0, 0, +
− δ) với δ > 0. Chú ý r0
đóng vai trò như trong đánh giá (1.22) và (1.33) ta có:

→
−
ζ+
δ
→
−
cos( r , ζ ) = − .
r
Vậy từ (1.22),(1.33) và (1.43) suy ra
α+1

r
−
−
| cos(→
r ,→
n )| ≤ Cr0α + C1 0
r

+

δ
r

(1.44)

với C và C1 là các hằng số.
Ta đánh giá r và r0 qua ρ trong đó:

ρ2 = ξ 2 + η 2 .

Ta có
2
2
2
2
r2 = ρ2 + (ζ +
− δ) = ρ + ζ + δ

Hơn nữa chú ý bất đẳng thức

√ 2
1
( √ δ+
− 2ζ) ≥ 0
2
ta suy ra

1
|2ζδ| ≤ δ 2 + 2ζ 2
2
16

Footer Page 17 of 166.

+
− 2ζδ.

(1.45)


Header Page 18 of 166.

Do đó (1.45) cho ta

1
r 2 ≥ ρ2 + δ 2 − ζ 2 .
2

(1.46)

Nhưng do (1.32) ta có

|ζ| ≤ Cρα+1 ≤ Cdα ρ.
Bán kính d của mặt cầu Lyapunov có thể chọn đủ nhỏ sao cho

1
Cdα ≤ √
2
Như vậy

ρ2
|ζ| ≤
2

và do (1.31) cho ta đánh giá của r qua ρ:
2

1
1
r2 ≥ (ρ2 + δ 2 ) ≥ ρ2
2
2

(1.47)

Và từ (1.31) ta có đánh giá của r0 qua ρ:

r0 ≤ Kρ.

(1.48)

Theo (1.44), (1.47),(1.48) ta đánh giá tích phân lấy đối với S (Q0 ). Gọi G (Q0 )
là hình chiếu của S (Q0 ) xuống mặt tiếp xúc Q0 ξη , chú ý G (Q0 ) nằm trong mặt
tròn ρ ≤ d. Ta có như ở (1.37)

−
−
| cos(→
r ,→
n )|
dSQ ≤ 2
r2
S (Q0 )

−
−
| cos(→
r ,→
n )|
dξdη
r2

G (Q0 )

≤2
ρ≤d

17

Footer Page 18 of 166.

→
−
−
| cos(→
r , r2 )|
dξdη
r2

(1.49)


Header Page 19 of 166.
do (1.44) và (1.49) Ta có

−
−
| cos(→
r ,→
n )|
dSQ ≤ const
r2
ρ≤d

S (Q0 )

r0α+1
dξdη
r3

r0α
dξdη + const
r2
ρ≤d

dξη
r3

+ δ const

(1.50)

ρ≤ρ

trong đó const không phụ thuộc vào δ
Do (1.47) và (1.48) khi đó ta có đánh giá vế phải của (1.50)
Đối với tích phân thứ nhất ta có:

r0α
dξdη ≤
r2
ρ≤d

K α ρα
α
1 2 dξdη ≤ 2K
2ρ

ρ≤d

dξdη
= const
ρ2−α

(1.51)

ρ≤d

Đối với tích phân thứ hai:
2
r0α+1
3 K α+1
dξdη
≤

2
3
r

ρ≤d

dξdη
= const .
ρ2−α

(1.52)

ρ≤d

Đối với tích phân thứ ba, kí hiệu E2 là toàn bộ mặt phẳng (ξ, η)
ta có:
3
dξdη
≤ 22 δ
3
r

δ
ρ≤d

ρ≤d

dξdη
3 ≤ const
(ρ2 + δ 2 ) 2

dξdη
2

E2

dξ dη
3 ,
(ρ 2 + 1) 2

≤ const
E2

3

δ 2 ( ρδ2 + 1) 2
(1.53)

trong đó:

ξ
η
ρ
ξ = , η = , ρ = .
δ
δ
δ
Tích phân cuối lấy trong toàn mặt phẳng, hàm dưới dấu tích phân dần về không
tương đương với ρ13 do đó tích phân hội tụ và
dξdη

= const
r3

δ
ρ≤d

18

Footer Page 19 of 166.

(1.54)


Header Page 20 of 166.

Trong đó const ở các công thức (1.51); (1.52) và (1.53) không phụ thuộc vào δ
Do đó từ các bất đẳng thức (1.40),(1.41),(1.42),(1.50),(1.51),(1.52)và (1.53) ta
suy ra
1
∂
(
)|dSQ ≤ C
|
∂nQ rP Q
S

Vậy định lý được chứng minh hoàn toàn.

1.3

Phương trình tích phân Fredholm loại II

1.3.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.2. Cho Ω là miền giới nội trong không gian En ; f (P ) là hàm liên
tục cho trước; K(P, Q) là hàm thực liên tục khi P ∈ Ω; Q ∈ Ω hoặc liên tục khi
P = Q và khi P → Q có bất thường loại yếu:

K(P, Q) = O(

1
),
rα

r = P Q,

α≤n

Khi đó phương trình:

µ(P ) +

K(P, Q)µ(Q)dVQ = f (P )

(1.55)

Ω

được gọi là phương trình tích phân Fredholm loại II. Với µ(P ) là hàm liên tục cần
tìm và gọi là nghiệm của phương trình tích phân (1.55)
Nếu f (P ) = 0 thì ta có phương trình thuần nhất tương ứng

µ(P ) +

K(P, Q)µ(Q)dVQ = 0
Ω

Phương trình thuần nhất liên hợp của (1.55) có dạng

ν(P ) +

K(Q, P )ν(Q)dVQ = 0
Ω

19

Footer Page 20 of 166.


Header Page 21 of 166.
trong đó nhân K(Q,P) có được từ K(P,Q) bằng cách trao đổi vị trí P và Q.
Đối với phương trình tích phân Fredholm loại II ta có các định lý sau, và được
gọi là định lý Fredholm.
1.3.2 Một số định lý ( Về phương trình tích phân Fredholm loại II)
Định lí 1.4 (Định lý 5.11.1, [1]). Phương trình thuần nhất

µ(P ) +

K(P, Q)µ(Q)dVQ = 0

(1.56)

Ω

và phương trình thuần nhất liên hợp

ν(P ) +

K(Q, P )ν(Q)dVQ = 0

(1.57)

Ω

có một số hữu hạn các nghiệm độc lập tuyến tính và số các nghiệm độc lập tuyến
tính của hai phương trình đó bằng nhau.
Gọi hệ đầy đủ các nghiệm độc lập tuyến tính của (1.55) là

{µ1 (P ); ...; µp (P )}
và của (1.56) là:

{ν1 (P ); ...; νp (P )}
Khi đó nghiệm tổng quát của (1.55) có dạng
p
∗

µ(P ) = µ (P ) +

Ck µk (P )

(1.58)

k=1

trong đó µ∗ (P ) là một nghiệm riêng của (1.55) còn Ck là các hằng số tùy ý.

Định lí 1.5 (Định lý 5.11.2, [1]). Điều kiện cần và đủ để phương trình (1.55) giải
được là vế phải f (P ) thỏa mãn hệ thức

f (P )νk (P )dVP = 0 k = 1, 2, ..., p
Ω

20

Footer Page 21 of 166.

(1.59)


Header Page 22 of 166.

Điều kiện này được gọi là điều kiện trực giao, trong đó {νk (P )} là hệ đầy đủ các
nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình thuần nhất liên hợp (1.57).
Từ đó suy ra
Định lí 1.6 (Định lý 5.11.3, [1]). Điều kiện cần và đủ để phương trình (1.55)
giải được với bất kỳ vế phải f (P ) liên tục nào là phương trình thuần nhất (1.56)
chỉ có nghiệm tầm thường µ(P ) = 0. Khi đó phương trình (1.55) có nghiệm duy
nhất.

1.4

Phương trình Laplace

Giả sử Ω là một miền trong Rn .
Định nghĩa 1.3. Kí hiệu

n

∆u :=

uxi xi
i=1

và gọi biểu thức này là Laplacian của hàm u.
Khi đó phương trình

∆u(x) = 0,

x∈Ω

(1.60)

được gọi là phương trình Laplace. Nghiệm bất kỳ của phương trình (1.60) được gọi
là hàm điều hòa trong miền Ω
Để tìm nghiệm của phương trình (1.60) Trước tiên ta tìm một nghiệm hiển.
Do tính tuyến tính của phương trình (1.60) nên ta sẽ xây dựng nghiệm phức tạp
thông qua nghiệm hiển đã biết. Chú ý rằng phương trình Laplace là bất biến đối
với phép quay, nên ta tìm nghiệm hiển dưới dạng hàm số của r = |x|
Ta tìm nghiệm của (1.60) dưới dạng

u(x) = υ(r),

x ∈ Rn

r = |x| = (x21 + ... + x2n )
và chọn υ sao cho ∆u = 0
21

Footer Page 22 of 166.


Header Page 23 of 166.

Chú ý :
1
1
∂r
xi
= (x21 + ... + x2n )− 2 2xi =
∂xi
2
r

(x = 0)

Vì thế

xi
uxi = υ (r) ;
r

uxi xi

x2i
x2i
= υ (r) 2 + υ (r)(1 − 3 );
r
r

Do đó

∆u = υ (r) +

i = 1, 2...n

n−1
υ(r).
r

Như vậy ∆u = 0 khi và chỉ khi

υ (r) +

n−1
υ (r) = 0
r

(1.61)

Nếu υ = 0 thì ta thấy rằng:

1−n
υ
=
υ
r

[log (υ )] =
Vì thế υ (r) =

α
rn−1

với α là một hằng số nào đó. Suy ra nếu r ≥ 0 ta nhận được.

υ(r) = b.log r + c (n = 2)
hoặc

υ(r) =

b
rn−2

+ c (n ≥ 3)

ở đây b và c là các hằng số.
Định nghĩa 1.4. Hàm số

Φ(x) =

1

;
2π log |x|

n=2

(1.62)

và

Φ(x) =

1
1
;
n(n − 2)α(n) |x|n−2

n≥3

(1.63)

với x ∈ Rn ; x = 0 được gọi là nghiệm cơ bản của phương trình Laplace, trong đó
α(n) là thể tích của hình cầu đơn vị.
22

Footer Page 23 of 166.


Header Page 24 of 166.
1.5

Tính duy nhất nghiệm của bài toán Neumann

1.5.1 Bài toán Neumann trong
Giả sử Ω là một miền giới nội trong R3 .
Bài toán Neumann trong của phương trình Laplace được đặt ra như sau:
Tìm hàm điều hòa u(P), liên tục trong miền đóng Ω ∪ S sao cho đạo hàm theo
pháp tuyến ngoài đơn vị trên biên S của nó trùng với một hàm f(Q) cho trước
trên biên S. Nói khác đi:

∆u(P ) = 0, P ∈ Ω
∂u(P )
lim
= f (Q), Q ∈ S,
P →Q ∂nQ

(1.64)

P ∈ Ω.

(1.65)

Nếu Ω là miền bên ngoài Ω cùng biên S thì ta có bài toán Neumann ngoài.
Đối với bài toán Neumann ngoài (1.64), (1.65), hàm u(P) được ràng buộc thêm
bởi điều kiện ở vô tận

∆u(P ) = 0, P ∈ Ω
∂u(P )
= f (Q), Q ∈ S, P ∈ Ω
∂nQ S
C

,
r = OP → ∞.
|u(P )|
r

(1.66)
(1.67)
(1.68)

Bài toán Neumann thường được gọi là bài toán biên thứ hai của phương trình
Laplace.
1.5.2 Công thức Green
Giả sử Ω là miền giới nội trong R3 , giới hạn bởi mặt biên S trơn từng mảnh,
u(x), υ(x) là các hàm riêng cấp một liên tục trong Ω ∪ S và có đạo hàm riêng
cấp hai liên tục trong Ω, khi đó ta có công thức Green thứ nhất:
3

υ(x)(∆u(x))dx = −
Ω

Ω

j=1

∂υ(x) ∂u(x)
dx +
∂xj ∂xj

υ(x)

∂u(x)
dSx .
∂nx

(1.69)

∂Ω

→ là véctơ pháp tuyến ngoài đơn vị, x ∈ ∂Ω.
trong đó −
n
x
Trong công thức (1.69), tráo đổi vai trò của u, υ , sau đó lấy (1.69) trừ đi công
23

Footer Page 24 of 166.


Header Page 25 of 166.
thức vừa nhận được ta được công thức Green thứ hai

[υ(x)(∆u(x)) − u(x)∆(υ(x))] dx =
Ω

υ(x)

∂υ(x)
∂u(x)
dSx .
− u(x)

∂nx
∂nx

∂Ω

(1.70)
1.5.3 Bài toán Neumann trong (1.64), (1.65)
Ta chứng minh nếu hàm f(Q) trong (1.65) cho tùy ý thì không phải bao giờ
(1.64), (1.65) có nghiệm, và để có nghiệm, hàm f(Q) phải thỏa mãn một điều kiện
xác định.
−
Thật vậy, tại mỗi điểm Q ∈ S dựng một pháp tuyến trong →
n và trên pháp
tuyến ấy, lấy một điểm Q’ sao cho

QQ = h
trong đó h là một số dương cố định. Khi điểm Q chạy trên mặt S thì điểm Q’
tạo nên một mặt mà ký hiệu Sh và thường được gọi là mặt song song của mặt S.
Theo kết quả của hình học vi phân thì khi h khá nhỏ, do mặt S là mặt trơn, mặt
−
−
Sh cũng là mặt trơn, →
n là pháp tuyến của mặt S thì →
n cũng là pháp tuyến của
mặt Sh
Gọi ωh là miền tọa bởi lớp giữa hai mặt S và Sh và Ωh là miền còn lại, tức là

Ωh = Ω \ Ωh
Vì u(P) là hàm điều hòa trong Ω, nên nó liên tục cùng với đạo hàm riêng tới cấp
hai trong miền đóng Ωh ∪ Sh . Do đó, áp dụng công thức Green thứ hai cho hàm

điều hòa u(P) và 1 ta có:
∂u(Q)
dSh = 0
(1.71)
∂nQ
Sh

Vì hàm u(P) có đạo hàm đều theo pháp tuyến nên

∂u(Q)
∂nQ |Sh

hội tụ đều về

∂u
∂n |S

do

đó chuyển (1.65) qua giới hạn khi h → 0 và được:

∂u
dS = 0
∂n
S

24

Footer Page 25 of 166.

(1.72)