hệ phương trình tuyến tính

ĐÊ CƯƠNG BÀI GIẢNG MÔN TOÁN CAO CẤP
Hệ : Cao đẳng ngành kỹ thuật
Bài: Hệ phương trình tuyến tính
Số tiết: 01
Ngày giảng:
Người giảng: Trần Thái Minh
1. Mục tiêu:
- Kiến thức: Khái niệm hệ phương trình tuyến tính, Điều kiện có nghiệm của hệ;
cách giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp định thức.
- Kỹ năng: Sinh viên có kỹ năng ban đầu giải hệ phương trình tuyến tính bằng
phương pháp định thức.; củng cố các kỹ năng về định thức; về hạng của ma trận
- Thái độ: Sinh viên học tập tích cực và bước đầu biết vận dụng bài học vào giải
quyết các bài toán liên quan trong các môn học khác.
2. chuẩn bị:
- Sinh viên: Nắm vững cách tính định thức; tính hạng của ma trận; các phép biến
đổi sơ cấp trên các dòng ( côt) của ma trận
- Giảng viên: Các kiến thức về hệ phương trình tuyến tính; đề cương bài giảng;
phần mềm Mathcad 7.; máy tính; máy chiếu ( nếu có)
Phương pháp : Thuyết trình; đàm thoại; sinh viên nghiên cứu tài liệu ở nhà;
3. Nội dung bài giảng:
3.1.ổn định tổ chức: (2phút) sỹ số:
3.2.
Thời
gian
Nội dung bài giảng Hoạt động
của thầy và
trò
10
phút
Đặt vấn đề: ta đã biết cách giải hệ phương trình:




=−
=+
03
12
21
21
xx
xx

cách 1: dùng định thức
cách 2; cộng đại số;
Vấn đề đặt ra là nếu với một hệ dạng như trên nhưng có
tới n ẩn số; có tới m phương trình, thì cách giải như thế
nào?
1. khái niệm hệ phương trình tuyến tính:
Định nghĩa: Hệ phương trình với m phương trình, n ẩn
Trình bày
nhanh cách
giải
Trò: lắng
nghe và ghi
chép
- 1 -
số có dạng:












=+++
=+++
=+++
=+++
mnmnmm
ininii
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
....
...................................
.....
...........................................
....
....
2211
2211
22222222
11212111
(1) gọn hơn:

;
1
∑
=
=
n
j
ijij
bxa
i=1,2,..m
Trong đó các
iij
ba ;
là các số thực; b
i
gọi là hạng tử tự
do
i:=1;2;…;m
j:=1;2;…;n
x
1;
x
2
;….;x
n
là các ẩn
Được gọi là hệ phương trình tuyến tính
Bộ số: x
1
= c

1;
x
2
= c
2
;….x
n
= c
n
là nghiệm của hệ nếu khi
thay vào các phương trình trong hệ ta được những đẳng
thức số đúng. Giải hệ (1) là đi tìm các nghiệm của nó.
Ma trận:





















=
−
−
−
−
mnmnmm
ininii
nn
nn
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
121
121
2122221
1111211
...
...............
...
...............
...
...
gọi là ma trân các hệ số của hệ (1)
Ma trận :





















−
−
−
−
mmnmnmm
iininii
nn
nn
baaaa
baaaa
baaaa

baaaa
121
121
22122221
11111211
...
..................
...
..................
...
...
Gọi là ma trận bổ sung của hệ (1)
Với:










=
n
x
x
X ...
1











=
bm
b
B ...
1

hệ (1) viết dạng ma trận: A.X = B
Ví dụ:
Sinh viên
xác đinh các
ma trận hệ
số; ma trân
bổ sung của
hệ; Tính
hạng của các
- 2 -
15
phút
15
phút




=−++
=+−+
2542
732
4321
4321
xxxx
xxxx








−
−
=
1542
1321
A
là ma trận các hệ số









−
−
=
21542
71321
B
là ma trận bổ sung
1. Điều kiện có nghiệm của hệ phương trình tuyến
tính:
Hệ phương trình tuyến tính (1) có nghiệm khi và chỉ khi
hạng của ma trân A bằng hạng của ma trân B
Ký hiệu : r(A) = r(B) ( rank(A) )
i) Khi m = n và r(A) = r(B) = n thì hệ (1) có một
nghiệm duy nhất ( lúc này hệ (1) là hệ Cramer. Có
công thức nghiệm:
.x
j
=
D
D
j
với j = 1,2…,n;
AD
=
; D

j
thu được từ
D bằng cách thay cột j bởi cột các hạng tử tự do b
i
ii) Khi r(A) = r(B) = t < n Thì hệ (1) có vô số nghiệm
phụ thuộc
n – t tham số. Hệ (1) tương đương với hệ gồm t
phương trình trong hệ chứa các hạng tử có các hệ số
là các phần tử của định thức con khác không cấp cao
nhất trong ma trân hệ số A của hệ (1). Ta giữ lại bên
vế trái các hạng tử nói trên, đồng thời chuyển các
hạng tử còn lại trong t phương trình sang vế phải và
gán cho các ẩn tương ứng các tham số. Bằng cách
này ta đã đưa về hệ Cramer với n-t tham số. giải như
trường hợp i)
iii)Khi r(A) ≠ r(B) thì hệ (1) vô nghiệm
ví dụ: Giải hệ phương trình sau:





=+−++
=−+−+
=−−+
0322
12
043
54321
54321

5421
xxxxx
xxxxx
xxxx
Giải:










−
−−
−−
=
31122
12111
43011
A
là ma trận các hệ số có chứa
định thức
ma trân này
Ta công
nhận định lý
này
ví dụ đã đưa

ra trong phần
1.
Sinh viên
xác đinh các
ma trận hệ
số; ma trân
bổ sung của
hệ; Tính
hạng của các
ma trân này
- 3 -
010
112
211
301
≠−=
−
−
−
=
D
nên r(A) = 3 = r(B) vậy hệ có
vô số nghiệm phụ thuộc 5 -3 = 2 tham số: hệ đã cho
tương đương với hệ sau:










=
=
−−=−+
−+=+−
−=−
dx
cx
cdxxx
cdxxx
cdxx
5
1
432
432
42
232
12
43

tiếp tục giải hệ cramer này ta có
dung Mathcad







+−−−+−−
ddddcc ;
10
1
5
7
;4
2
1
;
10
3
5
1
;
là nghiệm của hệ.
ở bài sau ta
sẽ giải ví dụ
này theo một
cách khác
đơn giản hơn
3 phút Khi hệ (1) có n ẩn; n phương trình ( có thể chứa tham số
hoặc không chứa tham số ). ta có thể dùng phần mềm
mathcad để giải
*Chú ý: Phần này chỉ có tính chất giới thiệu nhanh
: ví dụ
Bài tập: 1:5 trang 45 giáo trình
Hyperlink tới
ví dụ trên
máy tính và

máy chiếu
Ý kiến phản hồi
- 4 -