Xây dựng đường cong chỉnh hình với một tập vô hạn số khuyết

Header Page 1 of 166.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐỖ THỊ HỒNG NGA

XÂY DỰNG ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH
VỚI MỘT TẬP VÔ HẠN SỐ KHUYẾT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN – 2008

Footer Page 1 of 166.


Header Page 2 of 166.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐỖ THỊ HỒNG NGA

XÂY DỰNG ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH
VỚI MỘT TẬP VÔ HẠN SỐ KHUYẾT

Chuyên ngành: GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS. TẠ THỊ HOÀI AN

THÁI NGUYÊN – 2008

Footer Page 2 of 166.


Header Page 3 of 166.

▼ô❝ ❧ô❝
▼ô❝ ❧ô❝

✶

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶

▲ê✐ ♠ë ➤➬✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷

❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ

✺

✶✳✶

✺

✶✳✷
✶✳✸

✷

❈➳❝ ❤➭♠ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ❝❤♦ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

◗✉❛♥ ❤Ö sè ❦❤✉②Õt ❝❤♦ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸
❈➳❝ ❤➭♠ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ❝❤♦ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤✳

➜➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ ✈í✐ ✈➠ sè ❣✐➳ trÞ ❦❤✉②Õt

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼

✷✵

✷✳✶

❈➳❝ ❦Õt q✉➯ ❜æ trî

✷✳✷

❈➳❝ ✈Ý ❞ô ✈Ò ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ ✈í✐ ✈➠ sè ❣✐➳ trÞ ❦❤✉②Õt✳ ✳ ✸✶

❑Õt ❧✉❐♥

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✶

❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦

Footer Page 3 of 166.

✹✷

✶


Header Page 4 of 166.

ờ ở
ý tết r ờ ữ ủ tế ỷ
ợ sự q t ủ ề t ọ tr tế ớ ý tết
ổ ể ứ sự ố trị ủ ì

f

t

T (f, a, r) t ủ ì ế
N (f, a, r) ế số f trị a tr ĩ í r
ỉ m(f, a, r) ộ ế a ủ f ị ĩ
q

tr

rọ t ủ ý tết ị ý ị ý

a C {}
ị ý tứ ó r ớ ết trị a ế N (f, a, r)
trộ ỉ m(f, a, r) ề ế ị ĩ số ết
ủ f t trị a s
tứ t tể ệ sự ộ ủ tr ớ ọ trị

N (f, a, r)
}.
T (f, a, r)

(f, a) := lim inf {1
r

trị

a

ợ ọ

trị ết



f

ế

(f, a) > 0

ệ số

ết ột t ể ủ ị ý tứ ủ
ụ tể ứ r

(f, a)

2.

aC{}
t ị ý tứ t t t r số ết ủ
ì t ột trị ó tr

[0, 1]. ữ ờ t ứ

ợ r t trị ết ế ợ ột ỏ tự
ợ t r

1 i N ,

sử

s

0 < i 1,

i 2.
i

Footer Page 4 of 166.



{i }

số tự


Header Page 5 of 166.


ai , số ệt tr C {}. ồ t
ì f tr C tỏ (f, ai ) = i , (f, a) = 0 ọ a
/ {ai }?

sử

ỏ tr ò ợ ết t ợ ủ
ó ề t ọ ứ t ợ ủ ụ
tể qết t
ột số trờ ợ ệt ế ề tr ợ
qết trọ ẹ ở rs tr r trì rs
ỉ ét t ợ ủ số ết ò số ết
rẽ t ề sự tồ t ủ ì ớ ữ
trị ết ợ ứ trọ ẹ
t ết ì ó tể ợ ờ ỉ
1
ì từ C P (C) ó ệ ở rộ ý tết ổ ể
n

ờ ỉ ì P (C) ớ n
2 ột ề tự
rt ứ ị ý s ợ ọ ị ý
rt ờ ỉ ì t s

f : C Pn (C)

H1 , . . . , Hq
n
s ở ị trí tổ qt tr P (C) ó

ị ý

ờ ỉ ì

q

(Hj , f )

n + 1.

j=1
tự ớ trờ ợ ì ờ t ũ ứ tí
t ủ số ết ủ ờ ỉ ì ớ

n

2

í ụ ề

ờ ỉ ì ớ ữ trị ết ợ r ở ề
t tr ó ệ ự ờ ỉ ì ó trị
ết ễ út ứ r
í ụ ờ ỉ ì ớ ột t trị ết
ụ í í ủ trì ữ ết q ó ủ
ột ó ọ ọ t ố ụ r ủ t tr ờ ột
ỏ tr
ợ t

ế tứ ị

ợ trì ớ ụ í

ế tứ tết ể ờ ọ ễ t õ ứ ết q
ủ s r ú t sẽ ột số tí t

Footer Page 5 of 166.


Header Page 6 of 166.

ủ ý tết ì
ờ ỉ ì q ệ số ết ì ữ
ế tứ q ứ r t ợ trị
số ết ủ ột ì t ể

a

s

a ế ợ

ờ ỉ ì ớ số trị ết



í ủ r ú t sẽ ự ờ
ỉ ì ó số số ết ợ t
P tứ t ú t r ết q ổ trợ ự
ệ ế ỉ tr số ết trị ết
ờ ỉ ì ột số tí t ễ t t ố
q trọ ì ó ợ sử ụ ề ứ ữ ết q s
ở ữ s
P tứ trì í ụ ề ờ ỉ ì ớ số trị
ết ết q í ủ ị ý ị ý
ợ t ớ sự ớ t tì tú ủ
ị ớ sự ớ ủ t ớ q
s tr ứ t t tỏ ò í trọ
ết s s tớ
tr trọ ọ
P ệ ọ ệt t tr ị ế tứ
t ề ệ t tr tờ ọ t ệt t r P
ợ ử ờ ế ệ ồ ệ ủ
t ở trờ P ế ị ọ ớ
ọ ú ỡ t rt ề tr q trì ọ t
t ũ ử ờ tớ ễ ú ỡ t rt
ề tr q trì ứ
ố ù t ợ tỏ sự ết tớ ì ố ẹ
t ề ệ tốt t t ợ ọ t t

Footer Page 6 of 166.


Header Page 7 of 166.

❈❤➢➡♥❣ ✶
❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ
❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ sÏ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ♠ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ❧ý
t❤✉②Õt ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ✈➭ ♥❤÷♥❣ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ❦❤➳❝ ♥❤➺♠ ❣✐ó♣ ❝❤♦ ♥❣➢ê✐
➤ä❝ ❞Ô t❤❡♦ ❞â✐✳ ❈➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈➭ ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ➤➢î❝ trÝ❝❤ ❞➱♥ tõ
❬✷❪✱ ❬✺❪✱ ❬✻❪✱ ❬✾❪✱ ✳✳✳

✶✳✶

❈➳❝ ❤➭♠ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ❝❤♦ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤✳

●✐➯ sö

f

❧➭ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ tr♦♥❣ ➤Ü❛ ❜➳♥ ❦Ý♥❤

n(f, ∞, r)), ❧➭ sè ❝➳❝ ❝ù❝ ➤✐Ó♠ tÝ♥❤ ❝➯
❜é✐✱ ✭t➢➡♥❣ ø♥❣✱ ❦❤➠♥❣ tÝ♥❤ ❜é✐✮✱ ❝ñ❛ ❤➭♠ f tr♦♥❣ ➤Ü❛ ➤ã♥❣ ❜➳♥ ❦Ý♥❤ r. ●✐➯
sö a ∈ C✱ t❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛
❑Ý ❤✐Ö✉

n(f, ∞, r),

R ✈➭ r < R✳

✭t➢➡♥❣ ø♥❣✱

n(f, a, r) = n

1
, ∞, r ,
f −a

n(f, a, r) = n

1
, ∞, r .
f −a

✶✳✶✳✶ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ❍➭♠ ➤Õ♠ tÝ♥❤ ❝➯ ❜é✐

❦❤➠♥❣ tÝ♥❤ ❜é✐

N (f, a, r)✮✱ ❝ñ❛ ❤➭♠ f

N (f, a, r),

t➵✐ ❣✐➳ trÞ

✭t➢➡♥❣ ø♥❣✱ ❤➭♠ ➤Õ♠

a ➤➢î❝ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ♥❤➢ s❛✉

r

n(f, a, t) − n(f, a, 0)

N (f, a, r) = n(f, a, 0) log r +
0

Footer Page 7 of 166.

✺

dt
,
t


Header Page 8 of 166.
✻
✭t➢➡♥❣ ø♥❣✱

r

dt
).
t

n(f, a, t) − n(f, a, 0)

N (f, a, r) = n(f, a, 0) log r +
0

❱× t❤Õ✱ ♥Õ✉

a = 0 t❛ ❝ã

N (f, 0, r) = (♦r❞+
0 f ) log r +

(♦r❞+
z f ) log |
z∈D(r)

r
|,
z

z=0

tr♦♥❣ ➤ã

D(r)

❧➭ ➤Ü❛ ❝ã ❜➳♥ ❦Ý♥❤

r

+
✈➭ ♦r❞z f

= max{0, ♦r❞z f }

❧➭ ❜é✐ ❝ñ❛

❦❤➠♥❣ ➤✐Ó♠✳
✶✳✶✳✷ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ❍➭♠ ①✃♣ ①Ø

m(f, a, r)

❝ñ❛ ❤➭♠

f

t➵✐ ❣✐➳ trÞ

a∈C

➤➢î❝

➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ♥❤➢ s❛✉

2π

log+

m(f, a, r) =
0

1
dθ
,
f (reiθ ) − a 2π

✈➭

2π

log+ | f (reiθ ) |

m(f, ∞, r) =
0
tr♦♥❣ ➤ã
❍➭♠

dθ
,
2π

+

log x = max{0, log x}.
m(f, ∞, r) ➤♦ ➤é ❧í♥ tr✉♥❣ ❜×♥❤ ❝ñ❛ log |f | tr➟♥ ➤➢ê♥❣ trß♥ |z| = r✳

✶✳✶✳✸ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ❍➭♠ ➤➷❝ tr➢♥❣

T (f, a, r)

❝ñ❛ ❤➭♠

f

t➵✐ ❣✐➳ trÞ

a ∈ C

➤➢î❝ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ♥❤➢ s❛✉

T (f, a, r) = m(f, a, r) + N (f, a, r),
T (f, r) = m(f, ∞, r) + N (f, ∞, r).
❳Ðt ✈Ò ♠➷t ♥➭♦ ➤ã✱ ❤➭♠ ➤➷❝ tr➢♥❣ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ➤è✐ ✈í✐ ❧ý t❤✉②Õt ❤➭♠ ♣❤➞♥
❤×♥❤ ❝ã ✈❛✐ trß t➢➡♥❣ tù ♥❤➢ ❜❐❝ ❝ñ❛ ➤❛ t❤ø❝ tr♦♥❣ ❧ý t❤✉②Õt ➤❛ t❤ø❝✳ ❚õ ➤Þ♥❤
♥❣❤Ü❛ ❤➭♠ ➤➷❝ tr➢♥❣ t❛ ❝ã

T (f, a, r) ≥ N (f, a, r) + O(1),
tr♦♥❣ ➤ã

O(1) ❧➭ ♠ét ➤➵✐ ❧➢î♥❣ ❜Þ ❝❤➷♥ ❦❤✐ r → ∞✳

Footer Page 8 of 166.


Header Page 9 of 166.

ị ĩ

ủ ì

(f ) = lim sup
r
ế

(f ) =

ợ ọ ó
sử

f

tì

ợ ọ ó



ế

0 < (f ) <

tì

f

ữ

0 < (f ) < t
r

ó

ợ ị ĩ ở tứ

log T (r, f )

.
log r

C = lim sup
ó

f

f

ó

tố

í ụ

ế

ó ế

f

ữ tỷ tì

f = ez

tr ì

ee

C =

z

ó

tr ì

ế

0 < C < ,

C = 0.

ế

tố tể

ế

T (r, f )
.
r

tì

T (f, r) = O(log r), ó ữ tỷ

T (f, r) = r/ + O(1)

ó

ez

ó

ó

tứ Pss s

f (z) 0,

ị ý sử

ột ì tr ì trò

D = {|z| R} ớ 0 < R < sử aà , à = 1, ..., M
ủ

f

tr

ể

D, ỗ ể ợ ể ột số ộ ủ ó

b , ( = 1, 2, ..., N ) ự ể ủ f

tr tr

D, ỗ ự ể ợ

ể ột số ộ ủ ó

ó ớ ỗ

z = rei D
2

1
log |f (z)| =
2

s

f (z) = 0, f (z) = t ó

R2 r 2
log f (Re ) 2
d+
R 2Rr cos( ) + r2
i

0
M

N

R(z aà )

R(z b )
+
log

log
.
2a z
2b z
R
R
à

à=1
=1

Footer Page 9 of 166.




Header Page 10 of 166.
✽
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

❚❛ ①Ðt ❝➳❝ tr➢ê♥❣ ❤î♣ s❛✉✿

f (z)

❍➭♠

❚r➢ê♥❣ ❤î♣ ✶✿

❦❤➠♥❣ ❝ã ❦❤➠♥❣ ➤✐Ó♠ ✈➭ ❝ù❝ ➤✐Ó♠ tr♦♥❣

{|z| ≤ R}✱ z = 0✳
❑❤✐ ➤ã t❛ ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤

2π

log |f (0)| =

1
2π

log f (Reiϕ ) dϕ.
0

❉♦

f (z) = 0

tr♦♥❣

D

log f (z)

♥➟♥

❧➭ ❤➭♠ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ tr♦♥❣

D.

❚❤❡♦ ➜Þ♥❤

❧ý ❈❛✉❝❤②✱ t❛ ❝ã✿

2π

1
log f (0) =
2πi

dz
1
log f (z) =
z
2π

log f (Reiϕ )dϕ.
0

|z|=R
▲✃② ♣❤➬♥ t❤ù❝ ❤❛✐ ✈Õ t❛ ❝ã✿

2π

1
log |f (0)| =
2π

log f (Reiϕ ) dϕ.
0

❚r➢ê♥❣ ❤î♣ ✷✿

{|z| ≤ R}✱ ✈í✐ z

❍➭♠

t✉ú ý✱

f (z)

❦❤➠♥❣ ❝ã ❦❤➠♥❣ ➤✐Ó♠ ✈➭ ❝ù❝ ➤✐Ó♠ tr♦♥❣

z = reiθ (0 < r < R) ✳

❳Ðt ➳♥❤ ①➵ ❜➯♦ ❣✐➳❝✿

{|ξ|

R} → {ω

1}

z→0
ξ=z→ω=
◆❤➢ ✈❐②

R (ξ − z)
R2 − zξ

|ς| = R t➢➡♥❣ ø♥❣ ✈í✐ |ω| = 1✱ ✈×
|ω| =

Footer Page 10 of 166.

R |ξ − z|
|R2 − zξ|


Header Page 11 of 166.
✾
✈➭

|ξ| = R ⇒ ξξ = |ξ|2 = R2

s✉② r❛

|ω| =
❉♦

R |ξ − z|
R |ξ − z|
=
= 1.
|ξ| ξ − z
ξξ − zξ

log f (z) ❧➭ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ tr♦♥❣ |ξ| ≤ R✱ t❤❡♦ ➤Þ♥❤ ❧ý ❈❛✉❝❤②✱ t❛ ❝ã
log f (z) =

1
2πi

log f (ς)

dξ
.
ξ−z

✭✶✳✷✮

|ξ|=R
▼➷t ❦❤➳❝

1
2πi

log f (ξ)

zdξ
1
=
R2 − zξ
2πi

|ξ|=R

❉♦

|ξ|=R

|z| = |z| < R

❤➭♠

log f (ξ)

log f (ξ)

♥➟♥

1
R2
ξ−
z

R2
>R
z

♥❣❤Ü❛ ❧➭ ➤✐Ó♠

R2
z

−dξ
= 0.

R2
ξ−
z
♥➺♠ ♥❣♦➭✐

✭✶✳✸✮

|ξ| ≤ R

♥➟♥

❧➭ ❤➭♠ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤✳ ❑Õt ❤î♣ ✈í✐ ✭✶✳✷✮ ✈➭ ✭✶✳✸✮ t❛ ❝ã

log f (z) =

1
2i

log f (ξ)

1
1
+
dξ
ξ − z ξ − Rz2

log f (ξ)

1
z

+ 2
dξ,
ξ − z R − zξ

|ξ|=R

=

1
2i
|ξ|=R

✈í✐

1
z
R2 − zξ + zξ − zz
R2 − r 2
R2 − r 2
+
=
=
=
.
ξ − z R2 − zξ
(ξ − z) (R2 − zξ)
(ξ − z) ξξ − zξ
ξ |ξ − z|2

Footer Page 11 of 166.

Header Page 12 of 166.
✶✵
▼➷t ❦❤➳❝

ξ = Reiϕ = R cos ϕ + iR sin ϕ,
z = reiθ = r cos θ + ir sin θ,
ξ − z = (R cos ϕ − r cos θ) + i (R sin ϕ − r sin θ) ,
|ξ − z|2 = (R cos ϕ − r cos θ)2 + (R sin ϕ − r sin θ)2
= R2 + r2 − 2Rr cos(ϕ − θ).
❱❐②

2π

1
log f (z) =
2π

R2 − r 2
log f (Re ) 2
dϕ.
R − 2Rr cos(θ − ϕ) + r2
iφ

✭✶✳✹✮

0
▲✃② ♣❤➬♥ t❤ù❝ ❤❛✐ ✈Õ ❝ñ❛ ✭✶✳✹✮ t❛ ➤➢î❝

2π

1
log |f (z)| =
2π

log f (Reiϕ )

R2 − r 2
dϕ.
R2 − 2Rr cos(θ − ϕ) + r2

0
❚r➢ê♥❣ ❤î♣ ✸✿

❍➭♠

f (z) ❝ã ❦❤➠♥❣ ➤✐Ó♠ ✈➭ ❝ù❝ ➤✐Ó♠ tr➟♥ ❜✐➟♥ {|z| = R}

♥❤➢♥❣ ❦❤➠♥❣ ❝ã ❦❤➠♥❣ ➤✐Ó♠ ✈➭ ❝ù❝ ➤✐Ó♠ ë tr♦♥❣ ♠✐Ò♥
❚❛ ❝ã sè ❦❤➠♥❣ ➤✐Ó♠ ✈➭ ❝ù❝ ➤✐Ó♠ ❝ñ❛ ❤➭♠
❤÷✉ ❤➵♥✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ ❣✐➯ sö
❝♦♠♣❛❝t✱ ❞♦ ➤ã

zkj

f (z)

tr➟♥ ❜✐➟♥

❤é✐ tô ➤Õ♥

{zk } ,

❧➭ ➤✐Ó♠ ❜✃t t❤➢ê♥❣❀ ✈×

➤✐Ó♠ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ tr♦♥❣ ♠ét ❧➞♥ ❝❐♥ ❝ñ❛

t➵✐ ➤ã

f

zkj → z0

❝ã ❝ù❝ ➤✐Ó♠✳

Footer Page 12 of 166.

❧➭

zk0 ∈ {|ξ| = R} ✈➭ f (zkj ) = 0, ❞♦ ➤ã f = 0

●✐➯ sö ❝ã ✈➠ ❤➵♥ ❦❤➠♥❣ ➤✐Ó♠

r❛ ✈➠ ❧ý ✈×

{|z| = R}

f (z) ❝ã ✈➠ ❤➵♥ ❦❤➠♥❣ ➤✐Ó♠ {zk } , ❦❤✐ ➤ã {|ξ| = R}

tr➟♥ ♠ét t❐♣ ❤î♣ ❝ã ➤✐Ó♠ ❣✐í✐ ❤➵♥✳ ➜✐Ò✉ ♥➭② ❦Ð♦ t❤❡♦

{|ξ| = R}, z0

{|z| < R}✳

z0

f

f ≡ 0 s✉② r❛ ✈➠ ❧ý✳

❦❤✐ ➤ã tå♥ t➵✐

zkj

❧➭ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ ♥➟♥

❤➭♠

f

→ z0 ∈
z0

❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ ❝❤Ø trõ t➵✐

♥➟♥ tr♦♥❣ ♠ä✐ ❧➞♥ ❝❐♥ ❝ñ❛

z0

➤Ò✉ ❝❤ø❛

zkj

❧➭ ❝ù❝

z0

s✉②

♥➭♦ ➤ã ♠➭


Header Page 13 of 166.
✶✶
❱❐②
sö

Z0

f (z)

❝ã ❤÷✉ ❤➵♥ ❦❤➠♥❣ ➤✐Ó♠ ✈➭ ❝ù❝ ➤✐Ó♠ tr➟♥ ❜✐➟♥

❧➭ ❦❤➠♥❣ ➤✐Ó♠ ❤♦➷❝ ❝ù❝ ➤✐Ó♠ ❝✃♣

❧➞♥ ❝❐♥ ♥➭♦ ➤ã ❝ñ❛

k

❝ñ❛

{|z| = R} .

f (ξ), Z0 ∈ ∂D.

●✐➯

❚r♦♥❣ ♠ét

Z0 , t❛ ❝ã ❦❤❛✐ tr✐Ó♥ s❛✉✿
f (ξ) = a(ξ − Z0 )k + . . . , a = 0.

❑❤✐ ➤ã✱

log |f (ξ)| = k log |ξ − Z0 | + o(|ξ − Z0 |).
❳Ðt ✈ß♥❣ trß♥
✈ß♥❣ trß♥

Cδ

t➞♠

Cδ , ❦❤✐ ➤ã f

Z0 ✱

❜➳♥ ❦Ý♥❤

δ

➤ñ ♥❤á✳ ❚❤❛② ✈ß♥❣ trß♥

|ξ| = R

❜ë✐

❦❤➠♥❣ ❝ã ❦❤➠♥❣ ➤✐Ó♠ ✈➭ ❝ù❝ ➤✐Ó♠ tr➟♥ ❜✐➟♥ ❝ñ❛ ♠✐Ò♥

♠í✐ ♥❤❐♥ ➤➢î❝✳
◗✉❛② ❧➵✐ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ✷✱ t❛ ❝ã tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❜➟♥ ♣❤➯✐ ❝ñ❛ ❜➢í❝ ✷ ❝❤Ø ❦❤➳❝ tÝ❝❤
♣❤➞♥ ë tr➟♥ ✈ß♥❣ trß♥

|ξ| = R ♠ét ➤➵✐ ❧➢î♥❣
Cδ

1
2π

log |f (ξ)| |dξ| . ❚❛
|ξ−Z0 |=δ

❝ã

log |f (ξ)| |dξ| = Cδ . log δ.δ.
|ξ−Z0 |=δ
❉♦ ➤ã✱

Cδ

❈❤♦

1
2π

log |f (ξ)| |dξ| ≈ A log δ.δ.
|ξ−Z0 |=δ

δ → 0 t❛ ❝ã
Cδ

1
2π

log |f (ξ)| |dξ| → 0. ❈➠♥❣ t❤ø❝ ➤➢î❝ ❝❤ø♥❣
|ξ−Z0 |=δ

♠✐♥❤✳
❚r➢ê♥❣ ❤î♣ ✹✿

✈➭ ❝ù❝ ➤✐Ó♠ tr♦♥❣

❇➞② ❣✐ê t❛ ①Ðt tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣

|z| ≤ R.

❳Ðt ❤➭♠

ψ(z) = f (z)

Footer Page 13 of 166.

N R(z−bγ )
γ=1 R2 −bγ z
.
M R(z−aµ )
µ=1 R2 −aµ z

f (z) ❝ã ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ➤✐Ó♠


Header Page 14 of 166.
✶✷
❑❤✐ ➤ã

ψ(z)

s✉② r❛ ❦❤➠♥❣ ❝ã ❦❤➠♥❣ ➤✐Ó♠ ✈➭ ❝ù❝ ➤✐Ó♠ ë tr♦♥❣

❣✐➯ sö ♥❣➢î❝ ❧➵✐
❚➢➡♥❣ tù

|ξ|

ψ(ξ) ❝ò♥❣ ❦❤➠♥❣ ❝ã ❝ù❝ ➤✐Ó♠✳

2π

1
log |ψ(z)| =

2π

R2 − r 2
dϕ.
log ψ(Re ) 2
R − 2Rr cos(ϕ − θ) + r2
iϕ

0
◆➟♥

N

M

R(z − bγ )
R(z − aµ )
log |f (z)| +
log
log
−
R 2 − aµ z
R 2 − bγ z
γ=1
µ=1
2π

1
=
2π

R2 − r 2
log ψ(Re ) 2
dϕ.
R − 2Rr cos(ϕ − θ) + r2
iϕ

0
R(z−bγ )
R2 −bγ z

|z| = R t❤×

❙✉② r❛ ♥Õ✉

✈×

ψ(z0 ) = 0 s✉② r❛ f (z0 ) = 0. ❉♦ ➤ã ψ(ξ) ❜Þ ❦❤ö ➤✐ ♠➱✉ sè✳

➳♣ ❞ô♥❣ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ➤➲ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ t❛ ❝ã✿

❑❤✐

R

= 1, ✈➭

R(z−aµ )
R2 −aµ z

= 1.

|z| = R t❤× |ψ(z)| = |f (z)| .

❉♦ ➤ã

N

M

R(z − bγ )
R(z − aµ )
log |f (z)| +
log
−
log
R 2 − aµ z
R 2 − bγ z
γ=1
µ=1
2π

1
=
2π

R2 − r 2
log f (Re ) 2
dϕ.
R − 2Rr cos(ϕ − θ) + r2

iϕ

0
❱❐②

1
log |f (z)| =
2π
M

2π

log f (Reiϕ )
0

R(z − aµ )
+
log
−
2−a z
R
µ
µ=1

Footer Page 14 of 166.

R2 − r 2
dϕ
R2 − 2Rr cos(ϕ − θ) + r2
N

log
γ=1

R(z − bγ )
.
R 2 − bγ z


Header Page 15 of 166.
✶✸
❚õ ❈➠♥❣ t❤ø❝ P♦✐ss♦♥✲❏❡♥s❡♥ t❛ ❝ã ➤Þ♥❤ ❧ý s❛✉ ➤➞②✳

✶✳✶✳✼ ➜Þ♥❤ ❧ý

✭➜Þ♥❤ ❧Ý ❝➡ ❜➯♥ t❤ø ♥❤✃t✮✳

●✐➯ sö

f

❧➭ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤✱

a ❧➭ ♠ét

sè ♣❤ø❝ t✉ú ý✳ ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã

m(f, a, r) + N (f, a, r) = T (f, r) − log |f (0) − a| + (a, r),
tr♦♥❣ ➤ã

(a, r) ≤ log a + log 2.

❚❛ t❤➢ê♥❣ ❞ï♥❣ ➜Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ t❤ø ♥❤✃t ❞➢í✐ ❞➵♥❣

T (f, a, r) = T (f, r) + O(1),
tr♦♥❣ ➤ã

O(1) ❧➭ ➤➵✐ ❧➢î♥❣ ❜Þ ❝❤➷♥ ❦❤✐ r → ∞.

➜Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ t❤ø ♥❤✃t ❝❤♦ t❛ t❤✃② ✈Õ tr➳✐ tr♦♥❣ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ❦❤➠♥❣ ♣❤ô
t❤✉é❝

a ✈í✐ s❛✐ ❦❤➳❝ ♠ét ➤➵✐ ❧➢î♥❣ ❜Þ ❝❤➷♥✳

✶✳✶✳✽ ➜Þ♥❤ ❧ý

✭➜Þ♥❤ ❧Ý ❝➡ ❜➯♥ t❤ø ❤❛✐✮✳

C ✈➭ a1 , . . . , aq

❧➭

q

●✐➯ sö

f (z) ❧➭ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ tr♦♥❣

sè ♣❤ø❝ ♣❤➞♥ ❜✐Öt✳ ❑❤✐ ➤ã✱

q

(q − 2)T (f, r) ≤

N (f, ai , r) − Nr❛♠ (f, r) + O log T (r, f ) ,
i=1

❝❤♦

r → ∞ ❜➟♥ ♥❣♦➭✐ t❐♣ ❤î♣ ❝ã ➤é ➤♦ ▲❡❜❡s❣✉❡ ❤÷✉ ❤➵♥ ✈➭
Nr❛♠ (f, r) = N (f , 0, r) + 2N (f, ∞, r) − N (f , ∞, r).

✶✳✷

◗✉❛♥ ❤Ö sè ❦❤✉②Õt ❝❤♦ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤

◗✉❛♥ ❤Ö sè ❦❤✉②Õt ❧➭ ♠ét ❞➵♥❣ ♣❤➳t ❜✐Ó✉ ❦❤➳❝ ❝ñ❛ ➜Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ t❤ø
❤❛✐ ❝ñ❛ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛✳ ❙è ❦❤✉②Õt ❧✐➟♥ q✉❛♥ ❝❤➷t ❝❤Ï ➤Õ♥ ❜➭✐ t♦➳♥ ♥❣➢î❝ ❝ñ❛
◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ tr♦♥❣ ❬✾❪✳ ❚r➢í❝ ❤Õt t❛ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ sè ❦❤✉②Õt✳

Footer Page 15 of 166.


Header Page 16 of 166.

ị ĩ ố ết

ủ

f

t ể

(f, a) = lim inf 1
r

ố ết rẽ

ủ

f

(f, a) = lim inf
r

ố ết ị t

ủ

f

t ể

a ợ ị ĩ ở

N (f, a, r)
.
T (f, r)
a ợ ị ĩ ở

N (f, a, r) N (f, a, r)
.
T (f, r)

t ể

a ợ ị ĩ ở

(f, a) = (f, a) + (f, a) = lim inf 1
r

ị ĩ



f

f

ế

ế



N (f, a, r)
.
T (f, r)

a C {} trị a ợ ọ trị ết

(f, a) > 0; trị a ợ ọ trị ết ự

ủ

ủ

(f, a) = 1.

ệ ề ớ ọ

0 (f, a),

a C {},

0 (f, a),

ì

f



(f, a) = (f, a) + (f, a) 1.

ể ệt

a1 , . . . , a q

tr

C {},

ý ệ

q

S(f, {aj }qj=1 , r)

= (q 2)T (f, r)

N (f, aj , r) + Nr (f, r).
j=1

ó ị ý tứ ó tể ợ t ể ở ế
s

ị ý sử

a1 , . . . , a q

f (z)







tử ệt tr

ì



C {}. ó

S(f, {aj }qj=1 , r)
lim inf
0.
r
T (f, r)

Footer Page 16 of 166.



số

tr

C




Header Page 17 of 166.
✶✺
✶✳✷✳✺ ➜Þ♥❤ ❧ý✳ ●✐➯ sö

f (z)

❑❤✐ ➤ã t❐♣ ❤î♣ ❝➳❝ ❣✐➳ trÞ

❧➭ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤ ❦❤➳❝ ❤➺♥❣ sè tr♦♥❣

a

♠➭

δ(f, a) > 0

✈➭

θ(f, a) > 0

|z| < R0 ✳

❧➭ ➤Õ♠ ➤➢î❝✱

➤å♥❣ t❤ê✐ t❛ ❝ã

{δ(f, a) + θ(f, a)} =
a∈C∪{∞}
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

❳Ðt

q

Θ(f, a)

2.

a∈C∪{∞}

➤✐Ó♠ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉

a1 , a2 , ...., aq

tr♦♥❣

C ∪ {∞}. ❑❤✐ ➤ã

q

(δ(f, aj ) + θ(f, aj ))
j=1

= lim inf

qT (f, r) −

q
j=1 N (f, aj , r)

r→∞

¯ (f, aj , r)
N (f, aj , r) − N

❘â r➭♥❣

+ qj=1 N (f, aj , r) −
T (f, r)

➤Õ♠ sè ❧➬♥ ❤➭♠

f =a

q
¯
j=1 N (f, aj , r)

✈í✐ ❜é✐ ❧í♥ ❤➡♥ ✶

✈➭ ❞♦ ➤ã

q

q

N (f, aj , r) −
j=1

¯ (f, aj , r) ≤ Nr❛♠ (f, r) + nr❛♠ (f, 0) log+ 1 .
N
r
j=1

◆❤➢ ✈❐②

q

(δ(f, aj ) + θ(f, aj )) ≤ lim inf

q
j=1 N (f, aj , r)

qT (f, r) −

T (f, r)

r→∞

j=1

= 2 + lim inf

(q − 2)T (f, r) −

q
j=1 N (f, aj , r)

+ Nr❛♠ (f, r)

T (f, r)

r→∞

= 2 + lim inf

+ Nr❛♠ (f, r)

S(f, {aj }qj=1 , r)
T (f, r)

r→∞

≤ 2,

❜ë✐ ➳♣ ❞ô♥❣ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✷✳✹✳
❱í✐ ♠ä✐ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣

k ✱ tå♥ t➵✐ ♥❤✐Ò✉ ♥❤✃t ❤÷✉ ❤➵♥ ❣✐➳ trÞ a s❛♦ ❝❤♦

Θ(f, a) ≥ 1/k. ❉♦
{a : Θ(f, a) ≥ 0} = ∪∞
k=1 {a : Θ(f, a) ≥ 1/k},
t❛ ❝ã ♥❤✐Ò✉ ♥❤✃t ➤Õ♠ ➤➢î❝

Footer Page 17 of 166.

a ♥❤➢ ✈❐②✳

.


Header Page 18 of 166.
✶✻

✶✳✷✳✻ ❍Ö q✉➯✳ ◆Õ✉

f

❧➭ ❤➭♠ ♥❣✉②➟♥ t❤×

Θ(f, a)

1.

a∈C
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

❉♦

f

❧➭ ❤➭♠ ♥❣✉②➟♥ ♥➟♥

Θ(f, ∞) = 1.

❈❤ó♥❣ t❛ ❝ã ➤Þ♥❤ ❧ý s❛✉ ❧➭ ❤Ö q✉➯ trù❝ t✐Õ♣ ❝ñ❛ ➤Þ♥❤ ❧ý q✉❛♥ ❤Ö sè ❦❤✉②Õt✳

✶✳✷✳✼ ➜Þ♥❤ ❧ý

✭➜Þ♥❤ ❧ý P✐❝❛r❞✮✳

✸ ❣✐➳ trÞ ✵✱ ✶✱

∞ ❦❤✐ ➤ã f

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

●✐➯ sö

trÞ ✵✱ ✶✱

f

●✐➯ sö

f (z)

❧➭ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤✱ ❦❤➠♥❣ ♥❤❐♥

❧➭ ❤➭♠ ❤➺♥❣✳

❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧➭ ❤➭♠ ❤➺♥❣✱ ❞♦

f (z)

❦❤➠♥❣ ♥❤❐♥ ✸ ❣✐➳

∞ ♥➟♥
N (f, 0, r) = 0;

N (f, ∞, r) = 0.

N (f, 1, r) = 0;

❉♦ ➤ã

Θ(f, 0) = 0;

Θ(f, ∞) = 1.

Θ(f, 1) = 1;

◆❤➢ t❤Õ

Θ(f, a)

2,

a∈C∪{∞}
♠➞✉ t❤✉➱♥ ✈í✐ ➤Þ♥❤ ❧ý ✈Ò sè ❦❤✉②Õt✱ ♥❤➢ ✈❐②
❱✃♥ ➤Ò ♥❣➢î❝ ❝ñ❛ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛✳

❈❤♦

f (z) ♣❤➯✐ ❧➭ ❤➭♠ ❤➺♥❣✳

1 ≤ i ≤ N ≤ ∞,

❣✐➯ sö

{δi }

✈➭

{θi } ❧➭ ❞➲② ❝➳❝ sè t❤ù❝ ❦❤➠♥❣ ➞♠ s❛♦ ❝❤♦
0 < δi + θi ≤ 1,

(δi + θi ) ≤ 2.
i

●✐➯ sö

ai , 1 ≤ i < N

❧➭ ❝➳❝ ➤✐Ó♠ ♣❤➞♥ ❜✐Öt tr♦♥❣

C ∪ {∞}.

➤➢❛ r❛ ❝➞✉ ❤á✐ s❛✉✿
❚å♥ t➵✐ ❤❛② ❦❤➠♥❣ ❤➭♠ ♣❤➞♥ ❤×♥❤

δ(f, ai ) = δi ,

Footer Page 18 of 166.

f

tr➟♥

C s❛♦ ❝❤♦

θ(f, ai ) = θi ,

1≤i

◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ➤➲


Header Page 19 of 166.



(f, a) = (f, a) = 0 ọ a
/ {ai }?
ề ợ qết trọ ẹ ở rs tr



ờ ỉ ì

rớ ết t ệ

ị ĩ

ệ t
t

(C )n+1 = Cn+1 \ (0, . . . , 0) ị ĩ ột q

t

tr

(C )n+1

s

(x0 , . . . , xn ) (y0 , . . . , yn ) ế tồ

0 = C s (x0 , . . . , xn ) = (y0 , . . . , yn ).





n ề

(C )n+1

tr

C

ớ q ệ t

ỗ tử ủ
t
ể

. ỗ tử P

í ệ

t t

ị ĩ

Pn (C)





(x0 , . . . , xn ) t q ệ

ủ

(x0 : ã ã ã : xn )

Pn

ợ ọ ột

ợ ọ

tọ ộ

ế

f = (f0 : f1 : ã ã ã : fn ) : C Pn (C) ợ ọ
fi

tr

f = (f0 , f1 , . . . , fn )

ể ó

tr ó

fi

C

ó

(f0 , f1 , . . . , fn ) ợ ọ ể ễ rút ọ

f

f : C Pn (C) ờ ỉ ì sử f = (f0 , . . . , fn )
ễ rút ọ ủ f tr ó f0 , . . . , fn tr C

sử
ể

Pn

. ó Pn = (C )n+1 / .

ột ớ

P

ờ ỉ ì

ủ ờ

Pn

P = (x0 : ã ã ã : xn )

ủ ể

ó tể ết

ý ệ

ó ể
t
1

f (z) = (|f0 (z)|2 + ã ã ã + |fn (z)|2 ) 2 .

Footer Page 19 of 166.


Header Page 20 of 166.

tr rt

1
T (r, f ) =
2

Tf (r) ợ ị ĩ ở
2

log f (rei ) d.
0

Q tứ t t d ớ n+1 ế ỉ m(r, Q, f )
ủ f ứ ớ tứ Q ợ ị ĩ
sử

1
m(r, Q, f ) =
2

2
0

f (rei ) d
d.
log
|Q f (rei )|

n(r, Q, f ) số
ộ t ứ tí ộ ủ Q f tr ĩ |z| r
ọ

n(r, Q, f ),

t ứ

ế tí ộ

N (r, Q, f ),

ể tí

t ứ ế tí ộ

N (r, Q, f )), ợ ị ĩ s
r

N (r, Q, f ) =
0
t ứ

N (r, Q, f ) =

n(t, Q, f ) nf (0, Q)
dt n(0, Q, f ) log r,
t
r
0

n(t, Q, f ) n(0, Q, f )
dt n(0, Q, f ) log r).

t

tự ố ớ ì t ũ ó ị ý
ờ ỉ ì
ị ý

ị í tứ t

ỉ ì

Q

sử

f : C Pn (C)

tứ t t

d

tr

ờ

Pn (C)

sử

Q f (C) 0 tì ớ ọ 0 < r <
m(r, Q, f ) + N (r, Q, f ) = dT (r, f ) + O(1),

tr ó

O(1) ợ ị ụ tộ r

ị ý

ị í tứ

sử

ỉ ì s ế tế tí sử

tí

f : C Pn (C) ờ

L1 , . . . , L q

tứ tế

Pn (C) ó
2

max log
0

K

Footer Page 20 of 166.

jK

f (rei ) Lj d
|Lj (f )(rei )| 2

(n + 1)T (r, f ) + o(T (r, f )),


Header Page 21 of 166.
✶✾
tr♦♥❣ ➤ã ♠❛①✐♠✉♠ ➤➢î❝ ❧✃② tr➟♥ t✃t ❝➯ ❝➳❝ t❐♣ ❝♦♥

❝❤♦

Lj , j ∈ K

❧➭ ➤é❝ ❧❐♣ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✈➭

t✉②Öt ➤è✐ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❤Ö sè tr♦♥❣

Footer Page 21 of 166.

Lj ✳

Lj

K

❝ñ❛

{1, . . . , q}

s❛♦

❧➭ ♠❛①✐♠✉♠ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❣✐➳ trÞ


Header Page 22 of 166.


ờ ỉ ì ớ số trị
ết
r t ứ r t ợ trị
số ết ủ ột ì t ể

a

s

a ế ợ r

ú t sẽ ự ờ ỉ ì ó số
số ết rớ ết t r ết q ù ể ỗ trợ ệ
ự ờ ỉ ì



ết q ổ trợ

a0 z0 + ã ã ã + an zn = 0 ột tế tí ị ột s

n
H tr P . ó ó t ứ ữ s
n+1
H ể a = (a0 , . . . , an ) C
\ {(0, ..., 0)} ó t ó tể
n
t ệ ét ột s tr P ệ ét ột
n+1
ể tr C
t ý ệ


1

a = (|a0 |2 + ... + |an |2 ) 2 ,
(a, f ) = a0 f0 + ... + an fn ,
(a, f (z)) = a0 f0 (z) + ... + an fn (z),

Footer Page 22 of 166.




Header Page 23 of 166.
✷✶
tr♦♥❣ ➤ã

f := (f0 , . . . , fn ) : C → Pn (C)

❧➭ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ ❦❤➳❝

❤➺♥❣✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ❤➭♠ ➤Õ♠✱ ❤➭♠ ①✃♣ ①Ø ❝ñ❛ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛✲❈❛rt❛♥ ➤➢î❝ ✈✐Õt ❧➵✐ ♥❤➢
s❛✉
✷✳✶✳✶ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳

❱í✐

a ∈ Cn+1 − {0}✱ t❛ ❝ã
2π

1
m(r, a, f ) =
2π

a f (reiθ )
log
dθ,
|(a, f (reiθ ))|

0

N (r, a, f ) = N (r, 1/(a, f )).
✷✳✶✳✷ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭
tÝ♥❤ tr➟♥

❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤

tr➟♥

f := (f0 , . . . , fn ) : C → Pn (C)
C ♥Õ✉ f0 , ..., fn

❧➭ ➤é❝ ❧❐♣ t✉②Õ♥

C✳

✷✳✶✳✸ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳

s✐➟✉ ✈✐Öt

➜➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤

♥Õ✉

f

f := (f0 , . . . , fn ) : C → Pn (C)

➜➢ê♥❣ ❝♦♥❣

❧➭ ❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✈➭

T (r,f )
r→∞ log r

lim

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭

= ∞.

✷✳✶✳✹ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳

ρ(f ) = lim sup
r→∞
➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭

❝✃♣

✷✳✶✳✺ ➜Þ♥❤ ❧ý

❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤✱

❝ñ❛

log T (r, f )
log r

f.

✭➜Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ t❤ø ♥❤✃t✮✳

❈❤♦

f : C → Pn (C)

a ∈ Cn+1 − {0} t✉ú ý✳ ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã
T (r, f ) = m(r, a, f ) + N (r, a, f ) + O(1),

tr♦♥❣ ➤ã

❧➭ ➳♥❤ ①➵

✭✷✳✶✮

O(1) ❧➭ ➤➵✐ ❧➢î♥❣ ❣✐í✐ ♥é✐✳

✷✳✶✳✻ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳

❈❤♦

f : C → Pn (C) ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤✱ a ∈ Cn+1 −{0}✳

δ(f, a) = 1 − lim sup
r→∞
➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭

sè ❦❤✉②Õt

Footer Page 23 of 166.

❝ñ❛

f

t➵✐

N (r, a, f )

m(r, a, f )
= lim inf
r→∞
T (r, f )
T (r, f )

a.


Header Page 24 of 166.

ét

ừ tứ t ó

0

(f, a)

1.

tự ố ớ ì t ó ị ĩ ề trị ết
s
ị ĩ

a Cn+1 {0}



ủ ờ ỉ ì

ết ự

ị ĩ



số t

#X

f

ủ

f

ế

ế

X

N

trị

(f, a) > 0;

X

ợ ọ

trị

a

trị ết

ợ ọ

trị

(f, a) = 1.

ột t ủ

n X

Cn+1 {0} ,

ợ ọ ở

N + 1 N + 1 tử t ỳ ủ X

ú t ó r

a

ở ị trí tổ qt

ế

N



s r

X

ở



N

ột

ị trí tổ qt

ế

Cn+1 .

n ị trí tổ qt

ị ý s ột ở rộ ủ ị ý tứ ủ
rt ọ tử ở

N

ị trí tổ qt ết q ợ ứ

ở rt trờ ợ

N = n ở N > n

ị ý ỉ ì

a1 , ..., aq

t ỳ ủ

X

ở

N

f : C Pn (C)

ớ

q

tử

ị trí tổ qt ó

q

2N n + 1,

(aj , f )
j=1
tr ó

2N n + 1

q

.

ể ự ờ ỉ ì ó số trị ết t ũ
ết q s ủ ý tết


{v } ột t


v > 0,

v = 1, 0 = 1 .
v=1

t

k1

0 = 0,

k =

v , (k = 1, 2, 3, ...).
v=0

Footer Page 24 of 166.


Header Page 25 of 166.
✷✸
❑❤✐ ➤ã

{θk } ❧➭ ♠ét ❞➲② t➝♥❣ ♥❣➷t ✈➭ t✐Õ♥ tí✐
∞

∞

π

ηv = πη0 + π
v=0

❦❤✐

ηv

2π,

v=1

k → ∞.

✷✳✶✳✶✵ ❇æ ➤Ò✳ ●✐➯ sö

1, z = reiθ

k

✈➭

1
θk − πηk < θ
3

θ

t❤♦➯ ♠➲♥

1
θk + πηk .
3

✭✷✳✷✮

❑❤✐ ➤ã

✭❛✳✮

cos(θv − θ)
−iθv

2

er cos 3 πηk

eze

✭❜✳✮

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

✈í✐

✈í✐

ν = k.

ν = k.

❚r➢í❝ ❤Õt t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ ✭❛✮✳ ❱í✐

θ − θv
✈➭ ✈í✐

cos( 23 πηk )

1

1
(θn − θn−1 ) − πηn = π(ηn−1 − ηn )
3
3

v2
πηn ,
3

v > n t❛ ❝ã
1
2
(θn+1 − θn ) − πηn = πηn .
3
3

θv − θ
❙✉② r❛

|θv − θ|
❱❐②

cos(θv − θ)

2
πηn (mod2π), (v = n).
3

cos( 32 πηk ).

❚❛ t✐Õ♣ tô❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ ✭❜✮✳ ❙ö ❞ô♥❣ ✭❛✮✱ t❛ ❝ã ✿
−iθv

eze

i(θ−θv)

ere

❱❐② ❜æ ➤Ò ➤➢î❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

Footer Page 25 of 166.

= er cos(θ−θv )

2

er cos 3 πηk , (v = k).