Toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh và phương pháp hiệu chỉnh cho bài toán đặt không chỉnh (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

NGUYỄN THỊ MỴ

TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH ĐƠN ĐIỆU MẠNH
VÀ PHƢƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH CHO
BÀI TOÁN ĐẶT KHÔNG CHỈNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

NGUYỄN THỊ MỴ

TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH ĐƠN ĐIỆU MẠNH
VÀ PHƢƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH CHO
BÀI TOÁN ĐẶT KHÔNG CHỈNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành :Toán ứng dụng
Mã số

: 60 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. Nguyễn Thị Thu Thủy
TS. Lâm Thùy Dƣơng

THÁI NGUYÊN - 2016


i

Mục lục
Lời cảm ơn

iii

Bảng ký hiệu

1

Lời nói đầu

2

Chương 1. Toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh

4

1.1

1.2

1.3

Không gian Banach. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1

Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2

Một số tính chất của không gian Hilbert . . . . . . . .

7

Toán tử tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.2.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.2.2

Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

Toán tử đơn điệu mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.3.1

Hàm lồi và dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.3.2

Toán tử đơn điệu mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

Chương 2. Hiệu chỉnh phương trình toán tử với toán tử tuyến tính đơn điệu
mạnh

25

2.1

Phương trình toán tử đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . . . .

25

2.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.1.2

Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.2

Hiệu chỉnh phương trình toán tử đặt không chỉnh dựa trên toán
tử tuyến tính đơn điệu mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27


ii

2.3

2.2.1

Phương trình hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.2.2

Sự tồn tại toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh . . . . . .

28

2.2.3

Sự hội tụ của phương pháp hiệu chỉnh . . . . . . . . .

31

2.2.4

Phương pháp lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

Kết luận

39

Tài liệu tham khảo

40

iii

Lời cảm ơn
Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái
Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thị Thu Thủy và
TS. Lâm Thùy Dương. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu
sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu,
dành nhiều thời gian hướng dẫn và tận tình giải đáp những thắc mắc của tác giả
trong suốt quá trình làm luận văn.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Ban chủ nhiệm
Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, cùng các
giảng viên tham gia giảng dạy cao học Toán của trường Đại học Khoa học đã
tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả học tập và nghiên cứu.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K8A (khóa
2014–2016) đã luôn động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình học
tập, nghiên cứu.
Nhân dịp này, tác giả cũng xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, lãnh đạo
đơn vị công tác và đồng nghiệp đã luôn động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt
nhất cho tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và làm luận văn.
Thái Nguyên, tháng 6 năm 2016
Tác giả
Nguyễn Thị Mỵ


1

Bảng ký hiệu
R

tập số thực

H

không gian Hilbert thực

X

không gian Banach

X∗

không gian đối ngẫu của X

C

tập con đóng lồi của H

A

toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert

dom(A)

miền hữu hiệu của toán tử A

Fix(S)

tập điểm bất động của ánh xạ S

PC (x)

phép chiếu mêtric của điểm x trên tập C

x, y

δC (.)
x

tích vô hướng của hai vectơ x và y
hàm chỉ trên C
chuẩn của vectơ x

xn → x

xn hội tụ mạnh đến x

xn ⇀ x

xn hội tụ yếu đến x

I

ánh xạ đơn vị của H


2

Lời nói đầu

Rất nhiều bài toán của thực tiễn, khoa học, công nghệ dẫn tới bài toán đặt không
chỉnh (ill-posed) theo nghĩa Hadamard, nghĩa là bài toán (khi dữ kiện thay đổi
nhỏ) hoặc không tồn tại nghiệm, hoặc nghiệm không duy nhất, hoặc nghiệm
không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu. Do tính không ổn định này của
bài toán đặt không chỉnh nên việc giải số của nó gặp khó khăn. Lý do là một
sai số nhỏ trong dữ kiện của bài toán có thể dẫn đến một sai số bất kỳ trong lời
giải.
Đề tài luận văn nghiên cứu bài toán đặt không chỉnh dưới dạng phương trình
toán tử
(1)

A(x) = f ,

trong đó A : X −→ X ∗ là một toán tử đơn điệu đơn trị từ không gian Banach
phản xạ X vào không gian liên hợp X ∗ của X. Để giải loại bài toán này, ta phải
sử dụng những phương pháp ổn định, sao cho khi sai số của các dữ kiện càng
nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gần với nghiệm đúng của bài toán xuất
phát. Năm 1963, A.N. Tikhonov [5] đưa ra phương pháp hiệu chỉnh nổi tiếng và
kể từ đó lý thuyết các bài toán đặt không chỉnh được phát triển hết sức sôi động
và có mặt ở hầu hết các bài toán thực tế. Nội dung chủ yếu của phương pháp này
là xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho phương trình toán tử (1) trong không gian
Hilbert thực H dựa trên việc tìm phần tử cực tiểu xαh,δ của phiếm hàm Tikhonov
Fαh,δ (x) = Ah (x) − fδ

2

+ α x∗ − x

2

(2)


3

trong đó α > 0 là tham số hiệu chỉnh phụ thuộc vào h và δ , x∗ là phần tử cho
trước đóng vai trò là tiêu chuẩn chọn và (Ah , fδ ) là xấp xỉ của (A, f ). Hai vấn
đề cần được giải quyết ở đây là tìm phần tử cực tiểu của phiếm hàm Tikhonov
δ
và chọn tham số hiệu chỉnh α = α (h, δ ) thích hợp để phần tử cực tiểu xh,
α (h,δ )

dần tới nghiệm chính xác của bài toán (1) khi h và δ dần tới không.

Việc tìm phần tử cực tiểu của phiếm hàm Tikhonov sẽ gặp nhiều khó khăn
trong trường hợp bài toán phi tuyến. Đối với lớp bài toán phi tuyến với toán tử
đơn điệu A : X → X ∗ , F. Browder [3] đưa ra một dạng khác của phương pháp
hiệu chỉnh Tikhonov. Tư tưởng chủ yếu của phương pháp do F. Browder đề xuất
là sử dụng một toán tử B : X → X ∗ có tính chất đơn điệu mạnh làm thành phần
hiệu chỉnh.
Mục đích của đề tài luận văn nhằm trình bày lại phương pháp giải ổn định
(phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov) phương trình toán đơn điệu với
việc sử dụng toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh trong
bài báo "Regularization by linear operators" của Giáo sư Nguyễn Bường công
bố trên tạp chí Acta Mathematica Vietnamica.
Nội dung của đề tài được trình bày trong hai chương. Chương 1 giới thiệu
một số kiến thức cơ bản về bài toán đặt không chỉnh và phương trình toán tử
đơn điệu. Chương 2 trình bày phương pháp hiệu chỉnh phương trình toán tử với
toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh.

4

Chương 1
Toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh
Chương này trình bày khái niệm và một số tính chất cơ bản của không gian
Banach, không gian Hilbert thực; khái niệm và tính chất của toán tử tuyến tính;
toán tử đơn điệu mạnh và một số ví dụ minh họa. Các kiến thức của chương này
được tham khảo từ các tài liệu [1] và [2].

1.1

Không gian Banach. Không gian Hilbert

Mục này giới thiệu khái niệm và một số tính chất của không gian Banach, không
gian Hilbert và ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc.
1.1.1

Không gian Banach

Định nghĩa 1.1.1. Không gian định chuẩn là không gian tuyến tính X trong đó
ứng với mỗi phần tử x ∈ X ta có một số x gọi là chuẩn của x, thỏa mãn các
điều kiện sau:
(1) x > 0 với mọi x = 0; x = 0 ⇔ x = 0;
(2) x + y ≤ x + y với mọi x, y ∈ X (bất đẳng thức tam giác);
(3) α x = |α | x với mọi x ∈ X, α ∈ R.
Không gian định chuẩn đầy đủ gọi là không gian Banach.


5

Định nghĩa 1.1.2. Không gian L(X, R)-tập tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên
tục xác định trên X được gọi là không gian liên hợp hay không gian đối ngẫu
của X, ký hiệu là X ∗ .
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử X là không gian định chuẩn trên R, X ∗ là không gian
liên hợp của X và gọi X ∗∗ = L(X ∗ , R) là không gian liên hợp thứ hai của X. Ta
cho tương ứng với mỗi x ∈ X một phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗∗ trên X ∗∗ nhờ
hệ thức x∗∗ , f = f , x , với mọi f ∈ X ∗∗ . Ở đây f , x là ký hiệu giá trị phiếm
hàm tuyến tính liên tục f ∈ X ∗ tại x ∈ X. Ta có x = x∗∗ . Đặt h(x) = x∗∗ ,
nếu h : X −→ X ∗∗ là toàn ánh thì không gian X được gọi là không gian phản xạ.
Ví dụ 1.1.4. Các không gian vectơ định chuẩn hữu hạn chiều, không gian l p ,
L p [a, b], 1 < p < ∞ là các không gian Banach phản xạ.
Định lý 1.1.5. Cho X là một không gian Banach. Khi đó, các khẳng định sau
là tương đương:
(i) X là không gian phản xạ;
(ii) Mọi dãy bị chặn trong X đều có một dãy con hội tụ yếu.
Ký hiệu SX := {x ∈ X : x = 1} là mặt cầu đơn vị của không gian Banach
X.
Định nghĩa 1.1.6. Không gian Banach X được gọi là lồi chặt nếu với mọi điểm
x, y ∈ SX , x = y, suy ra
(1 − λ )x + λ y < 1 ∀λ ∈ (0, 1).
Điều này có nghĩa là mặt cầu đơn vị SX không chứa đoạn thẳng nào. Điều
x+y
này cũng có nghĩa là trung điểm
của đoạn thẳng nối hai điểm x, y phân
2
biệt trên mặt cầu đơn vị thì không nằm trên mặt cầu đơn vị. Nói cách khác nếu
x, y ∈ SX : x = y =

x+y

2

, thì x = y.


6

Ví dụ 1.1.7. Không gian X = Rn với chuẩn x
n

x

2

∑

=

2

được xác định bởi

1/2

x2i

, x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn

i=1

là không gian lồi chặt. Không gian X = Rn , n ≥ 2 với chuẩn x
x

1

1

xác định bởi

= |x1 | + |x2 | + . . . + |xn |, x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn

không phải là không gian lồi chặt.
Thật vậy, lấy x = (1, 0, 0, . . . , 0), y = (0, 1, 0, . . . , 0). Ta thấy x = y và x
y

1

= 1 nhưng x + y

1

1

=

= 2.

Định nghĩa 1.1.8. Không gian Banach X được gọi là lồi đều nếu với mọi ε ∈
(0, 2] và các bất đẳng thức x ≤ 1, y ≤ 1, x − y ≥ ε thỏa mãn thì tồn tại

δ = δ (ε ) > 0 sao cho (x + y)/2 ≤ 1 − δ .
Điều này có nghĩa là nếu x, y là các điểm nằm trên mặt cầu SX hoặc nằm
trong hình cầu đơn vị đóng BX := {x ∈ X :

x ≤ 1} với x − y ≥ ε > 0 thì

trung điểm của đoạn nối x, y nằm trong mặt cầu và khoảng cách từ điểm

x+y
2

đến mặt cầu nhỏ nhất là δ .
Chú ý 1.1.9.

(i) Không gian lồi chặt chưa chắc đã lồi đều;

(ii) Mọi không gian hữu hạn chiều đều là không gian phản xạ nhưng chưa chắc
lồi đều.
Định nghĩa 1.1.10.

(i) Chuẩn của không gian Banach X được gọi là khả vi

Gâteaux nếu với mỗi y ∈ SX giới hạn
lim

t→0

x + ty − x
t

(1.1)

tồn tại với x ∈ SX ký hiệu giới hạn đó là y, ▽ x , thì ▽ x được gọi là
đạo hàm Gâteaux của chuẩn.


7

(ii) Chuẩn của X được gọi là khả vi Gâteaux đều nếu với mỗi y ∈ SX , giới hạn
(1.1) đạt được đều với mọi x ∈ SX .
(iii) Chuẩn của X được gọi là khả vi Fréchet nếu với mỗi x ∈ SX , giới hạn (1.1)
tồn tại đều với mọi y ∈ SX .
(iv) Chuẩn của X được gọi là khả vi Fréchet đều nếu giới hạn (1.1) tồn tại đều
với mọi x, y ∈ SX .
∗

Định nghĩa 1.1.11. Ánh xạ Jq : X → 2X , q > 1 (nói chung là đa trị) xác định
bởi
Jq x = {uq ∈ X ∗ :

uq , x = uq

x , uq = x

q−1

},

được gọi là ánh xạ đối ngẫu tổng quát của không gian Banach X. Khi q = 2, ánh
xạ J2 được ký hiệu là J và được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X. Tức là

Jx = {u ∈ X ∗ :

u, x = u x , u = x },

x ∈ X.

Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc tồn tại trong mọi không gian Banach. Khẳng định
này được suy ra như một hệ quả trực tiếp của Định lý Hahn–Banach.
Chú ý 1.1.12. Trong không gian L p [0, 1] (1 < p < ∞), ánh xạ đối ngẫu chuẩn
tắc được xác định bởi

1.1.2


|x| sng(x)/ x ,
Jx =
0

nếu x = 0,
nếu x = 0.

Một số tính chất của không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.13. Cho H là một không gian tuyến tính trên trường số thực R.
Tích vô hướng trên không gian H là một ánh xạ đi từ tích Descartes H × H vào
trường R, ký hiệu là ., . , thỏa mãn các điều kiện sau:
(a) x, y = y, x với mọi x, y ∈ H.


8

(b) x + y, z = x, z + y, z với mọi x, y, z ∈ H.
(c) α x, y = α x, y với mọi x, y ∈ H và mọi α ∈ R.
(d) x, x > 0 nếu x = 0 và x, x = 0 nếu x = 0.
Nhận xét 1.1.14. Từ Định nghĩa 1.1.13 ta suy ra
(1) x, α y = α y, x với mọi x, y ∈ H và mọi α ∈ R;
(2) x, y + z = x, y + x, z với mọi x, y, z ∈ H.
Định nghĩa 1.1.15. Không gian tuyến tính H cùng với một tích vô hướng trên
nó được gọi là một không gian tiền Hilbert.
Định lý 1.1.16. (Bất đẳng thức Schwarz) Trong không gian tiền Hilbert H, với
mọi x, y ∈ H ta luôn có bất đẳng thức sau, được gọi là bất đẳng thức Schwarz:
| x, y |2 ≤ x, x y, y .

(1.2)

Chứng minh. Với mọi số thực α và với mọi x, y ∈ H ta có
0 ≤ x − α y, x − α y = x, x − 2α x, y + α 2 y, y .
Từ đây suy ra
∆ = | x, y |2 − x, x y, y ≤ 0

với mọi

x, y ∈ H.

Hay
| x, y |2 ≤ x, x y, y

với mọi

x, y ∈ H.

Dấu đẳng thức trong bất đẳng thức (1.2) xảy ra khi và chỉ khi x và y phụ
thuộc tuyến tính.


9

Định lý 1.1.17. Không gian tiền Hilbert H là một không gian tuyến tính định
chuẩn với chuẩn được xác định bởi
x =

x, x

với mọi x ∈ H.

(1.3)

Chuẩn này được gọi là chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng.
Hàm số
||x|| =

x, x

với mọi

x ∈ H,

là một chuẩn trên H.
Thật vậy, từ điều kiện (d) của Định nghĩa 1.1.13 ta có x > 0 nếu x = 0 và
||x|| = 0 nếu x = 0 với x ∈ H. Từ điều kiện (a) và (c) của Định nghĩa 1.1.13 ta

suy ra ||α x|| = |α |.||x|| với mọi α ∈ R và mọi x ∈ H. Từ bất đẳng thức Schwarz
(1.2) và cách định nghĩa chuẩn ta có
| x, y | ≤ ||x||.||y||

với mọi

x, y ∈ H.

(1.4)

Từ đó
x + y, x + y = x, x + 2 x, y + y, y
≤ ||x||2 + 2||x||.||y|| + ||y||2 = (||x|| + ||y||)2
với mọi x, y ∈ H. Suy ra ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| với mọi x, y ∈ H.
Định nghĩa 1.1.18. Nếu H là một không gian tiền Hilbert thực và đầy đủ đối
với chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng xác định bởi (1.3) thì H được gọi là không
gian Hilbert thực.
Ví dụ 1.1.19. Không gian
2

l = x = {xn }n ∈ R :

∞

∑ |xn|2 < +∞

n=1


10

là không gian Hilbert với tích vô hướng
∞

x, y =

∑ xn yn ,

x = {xn }n∈N , y = {yn }n∈N ∈ l 2

n=1

và chuẩn

∞

∞

||x|| =

∑ |xn

x, x =

|2

∑ |xn|

=

1

2 2

.

n=1

n=1

Ví dụ 1.1.20. Không gian L2 [a, b] các hàm bình phương khả tích trên đoạn [a, b]
là không gian Hilbert với tích vô hướng
b

x, y =

x(t)y(t)dt
a

và chuẩn

b

|x(t)|2 dt

x =

1/2

a

trong đó x = x(t), y = y(t) ∈ L2 [a, b].
Ví dụ 1.1.21. Gọi C[a, b] là tập tất cả các hàm giá trị thực liên tục trên đoạn
[a, b] ⊂ R. Trong C[a, b] xét tích vô hướng
b

x, y =

x(t)y(t)dt,

x(t), y(t) ∈ C[a, b].

a

Không gian C[a, b] với chuẩn
b

||x|| =

2

|x(t)| dt

1
2

a

là không gian tiền Hilbert, nhưng không phải là không gian Hilbert.

11

Thật vậy, cho [a, b] = [0, 1] và xét dãy xn (t) như sau:



1,



xn(t) = 0,




n + 1 − 2nt,

0≤t ≤

1
2

1
2

1
+ 2n
≤t ≤1

1
2

1
≤ t ≤ 12 + 2n

Ta có với mọi m > n:

1+ 1
2 2n

1

ρ (xn , xm ) =

|xn (t) − xm (t)|dt =
0

|xn (t) − xm (t)|dt
1
2

Vì |xn (t) − xm (t)| ≤ 1 nên ρ (xn, xm ) ≤ 1/(2n) → 0, do đó {xn (t)} là một dãy cơ
bản. Dễ thấy rằng dãy cơ bản này không hội tụ.
1

Thật vậy, giả sử xn (t) hội tụ tới một x(t) nào đó trong C[a, b], tức là |xn (t) −
0

xm (t)|dt → 0. Tích phân này có thể viết

1
2

1

|xn (t) − x(t)|dt +

|xn (t) − x(t)|dt,

0

1
2

cho nên ta phải có
1
2

1

|xn (t) − x(t)|dt → 0,
0

|xn(t) − x(t)|dt → 0.
1
2

Nhưng rõ ràng
1
2

1

|xn (t) − 1|dt → 0,
0

|xn (t) − 0|dt → 0
1
2


12

Vậy x(t) và 1 cùng là giới hạn của xn (t) trong C[ 21 , 1]; x(t) và 0 cùng là giới hạn
của xn (t) trong C[ 12 , 1]. Do tính duy nhất của giới hạn ta suy ra
1
1
x(t) = 1(0 ≤ t ≤ ), x(t) = 0( ≤ t ≤ 1).
2
2
Nhưng như thế thì x(t) không liên tục và không thuộc C[0, 1]. Do đó, dãy xn (t)
không thể có giới hạn nào cả trong không gian C[0, 1]
Định nghĩa 1.1.22. Dãy {xn}n∈N ∈ H được gọi là
(i) hội tụ mạnh đến x0 ∈ H nếu nó hội tụ theo chuẩn, nghĩa là
lim ||xn − x0 || = 0,

n−→∞

ký hiệu xn −→ x0 hay lim xn = x0.
n−→∞

(ii) hội tụ yếu đến x ∈ H nếu với mọi y ∈ H ta có
lim xn, y = x, y ,

n→∞
w

ký hiệu là xn −→ x hoặc xn ⇀ x, khi n −→ ∞.
Chú ý 1.1.23. Nếu dãy {xn } hội tụ mạnh về x thì nó cũng hội tụ yếu về x, nhưng
điều ngược lại không đúng.
Ví dụ 1.1.24. Cho {en } là một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert thực H.
Khi đó, dãy {en } hội tụ yếu về 0 nhưng không hội tụ mạnh về 0.
Định lý 1.1.25. Giả sử {xn}n∈N và {yn }n∈N là hai dãy của không gian tiền
Hilbert thực H lần lượt hội tụ mạnh đến x0 , y0 ∈ H. Khi đó,
lim xn , yn = x0 , y0 .

n→∞

Chứng minh. Giả sử lim xn = x0, lim yn = y0 trong không gian Hilbert H. Ta
n→∞

n→∞


13

sẽ chứng minh
lim xn , yn = x0 , y0

n→∞

trong

R.

Thật vậy,
| xn , yn − x0 , y0 | = | xn , yn + xn , y0 − xn , y0 − x0 , y0 |
≤ | xn , yn − y0 | + | xn − x0 , y0 |
≤ ||xn ||.||yn − y0 || + ||xn − x0 ||.||y0 ||.
Vì dãy {xn }n∈N hội tụ trong H nên tồn tại một số M > 0 sao cho ||xn || ≤ M với
mọi n ∈ N. Do đó,
lim xn , yn = x0 , y0 .

n→∞

Nhận xét 1.1.26. Tích vô hướng là một phiếm hàm song tuyến tính liên tục trên
H × H.
Định lý 1.1.27. Với mọi x, y thuộc không gian tiền Hilbert H ta luôn có đẳng
thức hình bình hành sau:
||x + y||2 + ||x − y||2 = 2(||x||2 + ||y||2 ).
Chứng minh. Với mọi x, y ∈ H, ta có
||x + y||2 = x + y, x + y = ||x||2 + ||y||2 + 2 x, y
và
||x − y||2 = x − y, x − y = ||x||2 + ||y||2 − 2 x, y .
Cộng hai đẳng thức trên ta được đẳng thức cần chứng minh.
Áp dụng đẳng thức hình bình hành cho hai véc tơ x − y và x − z ta có hệ quả
sau.


14

Hệ quả 1.1.28. Cho H là một không gian tiền Hilbert và x, y, z ∈ H. Khi đó, ta
có đẳng thức Apollonius:
2 ||x − y||2 + ||x − z||2 = 4 x −

y+z
2

2

+ ||y − z||2 .

Nhận xét 1.1.29. (ý nghĩa của đẳng thức hình bình hành)
(1) Đẳng thức trên nói lên một tính chất hình học: Tổng bình phương các cạnh
của hình bình hành bằng tổng bình phương hai đường chéo.
(2) Từ định lý trên ta thấy, muốn đưa được tích vô hướng vào một không gian
định chuẩn thì không gian này phải thỏa mãn điều kiện hình bình hành.
Ngược lại nếu H là một không gian định chuẩn trong đó đẳng thức hình
bình hành được thỏa mãn với mọi phần tử thuộc H thì trên H sẽ tồn tại
một tích vô hướng ., . sao cho chuẩn được xác định nhờ tích vô hướng.
Điều này được thể hiện qua định lý sau.
Định lý 1.1.30. Giả sử (H, ||.||) là một không gian định chuẩn trên R trong đó
đẳng thức hình bình hành nghiệm đúng với mọi x, y ∈ H. Nếu đặt
1
||x + y||2 − ||x − y||2 ,
4

x, y =

(1.5)

thì ., . là một tích vô hướng trên H và ta có x, x = ||x||2 .
Chứng minh. Ta chứng minh ., . xác định như trên thỏa mãn các điều kiện
trong định nghĩa về tích vô hướng. Thật vậy, các điều kiện (a) và (d) trong Định
nghĩa 1.1.13 hiển nhiên được thỏa mãn.
Đặt
p(x, y) =

1
||x + y||2 − ||x − y||2 .
4

Để ý rằng, ., . : H × H −→ R là một hàm liên tục và
p(x, 0) = 0,

p(−x, y) = −p(x, y) ∀x, y ∈ H.


15

Với mọi x, y, z ∈ H ta có
4 p(x, z) + p(y, z) = ||x + z||2 − ||x − z||2 + ||y + z||2 − ||y − z||2
x+y
⇔ p(x, z) + p(y, z) = 2p
,z .
2

(1.6)

Trong đẳng thức (1.6) lấy y = 0 được

p(x, z) = 2p
Như vậy ta có
2p

x
,z .
2

(1.7)

x+y
, z = p(x + y, z).
2

Nghĩa là p(x, z)+ p(y, z) = p(x+y, z). Vậy điều kiện (b) trong Định nghĩa 1.1.13
được chứng minh. Thay thế x bằng 2x trong (1.7) ta được
2p(x, z) = p(2x, z)

∀x, y, z ∈ H.

Bằng quy nạp ta kiểm tra được
p(nx, z) = np(x, z) ∀n ∈ N
và bằng lập luận như trên ta có
p(rx, z) = r p(x, z)

∀r ∈ Q

và

x, z ∈ H.

Nhờ tính liên tục của chuẩn ||.|| suy ra hàm p(., z) liên tục, qua giới hạn ta có
p(ax, z) = ap(x, z)

∀x, z ∈ H

và

Vậy p(x, y) là một tích vô hướng trên H và hiển nhiên
x, x = p(x, x) = ||x||2 .

a ∈ R.


16

Định lý được chứng minh.

1.2

Toán tử tuyến tính liên tục

Mục này giới thiệu định nghĩa và đưa ra một số ví dụ về toán tử tuyến tính liên
tục.
1.2.1

Định nghĩa

Định nghĩa 1.2.1. Cho hai không gian véc tơ thực X và Y . Một ánh xạ A : X → Y
được gọi là ánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu:

(a) A(x1 + x2 ) = Ax1 + Ax2 với mọi x1, x2 ∈ X.
(b) A(α x) = α Ax với mọi x ∈ X và với mọi số thực α .
Chú ý 1.2.2. (i) Ở đây ta viết Ax thay cho A(x) để chỉ phần tử ứng với x trong
ánh xạ A.
(ii) Từ định nghĩa ta có điều kiện tương đương như sau:
A(α1 x1 + α2 x2 + · · · + αk xk ) = α1 Ax1 + α2 Ax2 + · · · + αk Axk .
(iii) Nếu Y = X ta nói A là một toán tử trong X.
Ký hiệu tập các tập con của X là 2X .
Định nghĩa 1.2.3. Cho hai không gian véc tơ X, Y và A : X → 2Y là một ánh xạ.
Khi đó ta nói A là ánh xạ đa trị từ X vào Y . Như vậy mỗi x ∈ X, A(x) là một tập
con của Y (A(x) có thể là tập rỗng). Nếu mỗi x ∈ X, tập A(x) chỉ có một phần
tử thì ta nói A là ánh xạ đơn trị từ X vào Y , và ký hiệu A : X → Y.
Định nghĩa 1.2.4. Toán tử tuyến tính A : X −→ Y từ không gian tuyến tính định
chuẩn X vào không gian tuyến tính định chuẩn Y liên tục tại x0 ∈ X nếu với mọi
dãy {xn } ∈ X mà xn −→ x0 thì Axn −→ Ax0 . A được gọi là liên tục trên X nếu
nó liên tục tại mọi điểm thuộc X.


17

Định nghĩa 1.2.5. Đồ thị của ánh xạ A : X → Y từ không gian định chuẩn X vào
không gian định chuẩn Y là tập tất cả các phần tử (x, Ax) trong không gian tích
X ×Y . Nếu đồ thị ấy là tập đóng trong X ×Y , thì A được gọi là ánh xạ đóng.
Từ định nghĩa trên ta thấy nếu ánh xạ A đóng thì từ xn → x, Axn → y luôn
suy ra được Ax = y.
Một ánh xạ liên tục thì bao giờ cũng là đóng. Ngược lại nói chung không
đúng. Nhưng đối với ánh xạ tuyến tính thì lại khác. Ta có định lý sau đây.
Định lý 1.2.6. Một toán tử tuyến tính đóng từ một không gian Banach X vào
không gian Banach Y bao giờ cũng liên tục.
Ký hiệu G(A) là đồ thị của toán tử A : X → Y , nghĩa là G(A) := {(a, Ax) :

x ∈ X}.
Chứng minh. Nếu A là ánh xạ tuyến tính thì đồ thị G(A) của nó là không gian
con của X × Y , nên bản thân G(A) cũng là không gian Banach. Ta xét ánh xạ
B : G → X xác định bởi
(x, Ax) → x.
Đây là một ánh xạ tuyến tính liên tục, 1 − 1 từ không gian Banach G(A) lên
không gian Banach X. Do đó B có ánh xạ ngược B−1 liên tục, nghĩa là nếu
xn → x thì (xn, Axn ) → (a, Ax). Do đó A liên tục.
1.2.2

Ví dụ

Ví dụ 1.2.7. Toán tử A : L2 [0, 1] → L2 [0, 1] xác định bởi công thức
1

(Ax)(t) =

x(s)ds,
0

là toán tử tuyến tính liên tục.

t ∈ [0, 1]


18

Thật vậy áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki, ta có
2

1

2

t

|x(s)|ds

x(s)ds ≤
0

|x(s)|2 ds

≤
0

0

= x 2,

1

∀s ∈ [0, 1].

Do đó
Ax ∈ L2 [0, 1]
và toán tử A bị chặn.
Dễ thấy A là toán tử tuyến tính. Do đó, A liên tục.
Ví dụ 1.2.8. Cho H là một không gian Hilbert, A : H −→ H là một toán tử tuyến
tính thỏa mãn điều kiện

Ax, y = x, Ay

với mọi

x, y ∈ H,

thì A là toán tử liên tục.

1.3

Toán tử đơn điệu mạnh

Mục này trình bày khái niệm về hàm lồi, dưới vi phân của hàm lồi, khái niệm
và ví dụ về toán tử đơn điệu mạnh.
1.3.1

Hàm lồi và dưới vi phân

Định nghĩa 1.3.1. Cho H là không gian Hilbert thực, C ⊂ H và f : C → R ∪
{−∞, +∞}. Ta có các định nghĩa sau đây.
(i) Trên đồ thị (epigraph) của hàm f , ký hiệu là epi( f ), được định nghĩa bởi:
epi( f ) = (x, r) ∈ C × R : f (x) ≤ r .


19

(ii) Hàm f được gọi là hàm lồi nếu epi( f ) là tập lồi trong H × R. Hàm f được
gọi là hàm lõm nếu − f là hàm lồi.
(iii) Miền hữu dụng (miền xác định) của hàm f ký hiệu là dom( f ) và được
định nghĩa là:

dom( f ) := x ∈ C : f (x) < +∞ .
(iv) Hàm f xác định trên H được gọi là thuần nhất dương (positively homogeneous), nếu với mọi x ∈ H và với mọi λ ∈ (0, +∞) ta đều có:
f (λ x) = λ f (x).
Ví dụ 1.3.2. Hàm f (x) = |x| với mọi x ∈ R là một hàm lồi.
Định lý 1.3.3. Giả sử C là tập lồi, khác rỗng trong không gian H, hàm f : C →
(−∞, +∞]. Khi đó, hàm f lồi trên C khi và chỉ khi:
f (λ x + (1 − λ )y) ≤ λ f (x) + (1 − λ ) f (y)

∀λ ∈ [0, 1]

và ∀x, y ∈ C.

Định nghĩa 1.3.4. Hàm f được gọi là chính thường (proper) nếu f thỏa mãn
hai điều kiện sau:
(i) dom( f ) = 0;
(ii) f (x) > −∞ với mọi x ∈ C.
Mệnh đề 1.3.5. Hàm thuần nhất dương f : H → (−∞, +∞] là lồi khi và chỉ khi
với mọi x, y ∈ H ta luôn có:
f (x + y) ≤ f (x) + f (y).
Định nghĩa 1.3.6. Hàm f : D −→ R gọi là nửa liên tục trên tại x ∈ D nếu với
mỗi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho
f (x) ≤ f (x) + ε ,

∀x ∈ D, x − x < δ .


20

Hàm f được gọi là nửa liên tục trên D nếu f nửa liên tục tại mọi điểm x ∈ D.
Định nghĩa 1.3.7. Cho f là hàm lồi chính thường trên H, phiếm hàm (vectơ)

x∗ ∈ H được gọi là dưới gradient của f tại x nếu:
f (x) − f (x) ≥ x∗ , x − x

với mọi

x ∈ H.

Tập tất cả các dưới gradient của f tại x được gọi là dưới vi phân của f tại x. Ký
hiệu là ∂ f (x). Như vậy:

∂ f (x) = x∗ ∈ H : f (x) − f (x) ≥ x∗ , x − x

với mọi

x∈H .

/
Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x nếu ∂ f (x) = 0.
Ví dụ 1.3.8. Cho C là tập lồi khác rỗng của H. Xét hàm chỉ của tập C:

Khi x0 ∈ C thì


0
δC (x) :=
+∞

nếu x ∈ C
nếu x ∈
/ C.

∂ δC (x0 ) = x∗ ∈ H : x∗ , x − x0 ≤ δC (x) ∀x ∈ C .
Với x ∈
/ C thì δC (x) = +∞ nên bất đẳng thức x∗ , x − x0 ≤ δC (x) luôn đúng. Do
đó

∂ δC (x0 ) = x∗ ∈ H : x∗ , x − x0 ≤ 0,

∀x ∈ C = NC (x0 ),

đây là nón pháp tuyến ngoài của C tại x0 .
Ví dụ 1.3.9. Cho f : H → R là hàm lồi thuần nhất dương.
Nếu z ∈ ∂ f (x) thì z, x = f (x). và z, x ≤ f (x)

∀x ∈ C.

Thật vậy, nếu z ∈ ∂ f (x) thì
z, x − x ≤ f (x) − f (x)

∀x ∈ C.

(1.8)