mối liên hệ giữa toán học và thế giới quan duy vật trong quá trình hình thành và phát triển

MỤC LỤC

1


LỜI MỞ ĐẦU
Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến
đổi. Theo quan điểm chính thống, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định
nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng Luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Do khả năng
ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".
Chủ nghĩa duy vật biện chứng với tư cách là hạt nhân lý luận của thế giới quan duy vật biện
chứng được hình thành và phát triển dựa trên thành tựu của các ngành khoa học tự nhiên. Mà
các ngành khoa học tự nhiên khác đều dùng toán học làm công cụ phục vụ trong quá trình tìm
hiểu và mô tả bản chất thế giới, mối quan hệ giữa các đối tượng. Do đó, không có gì quá phô
trương khi nói rằng toán học đã gây dựng một nền tảng để các ngành khoa học tự nhiên khác
phát triển, và trên thành quả của sự phát triển đó thế giới quan duy vật, đặc biệt là thế giới
quan duy vật biện chứng, đã hình thành và phát triển.
Cả toán học và thế giới quan duy vật đều có chung nguồn gốc hình thành, chúng xuất
phát từ nhu cầu hoạt động thực tiễn của con người, cùng trải qua các bước thăng trầm của lịch
sử xã hội loài người. Sự gắn kết giữa toán học và thế giới quan duy vật không chỉ thể hiện ở
thời kỳ đầu khi các nhà triết học nghiên cứu tất cả các lĩnh vực của cuộc sống, trong đó có
toán học, mà còn thể hiện trong suốt quá trình phát triển của hai lĩnh vực này. Trong mối quan
hệ biện chứng với nhau, toán học và thế giới quan duy vật luôn luôn tác động qua lại, bổ sung
cho nhau.
Thực tế đã khẳng định rằng, cùng với sự phát triển của sản xuất xã hội, của khoa học và
công nghệ cũng như trí tuệ của con người, chính bản thân đối tượng của toán học cũng không
ngừng phát triển từ đơn giản đến phức tạp, từ sự trừu tượng ở trình độ thấp đến sự trừu tượng
ở trình độ cao hơn. Như vậy, vấn đề nhận thức đúng đắn nguồn gốc và bản chất của đối tượng
toán học, tìm hiểu những khía cạnh triết học trong toán học trên cơ sở phân tích đối tượng của
nó là vấn đề có ý nghĩa rất lớn không những chỉ đối với sự phát triển của khoa học, mà còn cả
trong thực tiễn xã hội.

Đó là lý do em chọn đề tài: “mối liên hệ giữa toán học và thế giới quan duy vật trong
quá trình hình thành và phát triển”.
Đây không phải là sự khám phá mới mẻ về mối quan hệ giữa toán học và thế giới quan
duy vật, về vị trí và vai trò của chúng trong mối quan hệ. Mà chỉ là sự chắt lọc những nội
dung kiến thức đã được học, được trình bày trong giáo trình Triết học và qua sự tìm hiểu thêm
trên cách phương tiện thông tin. Do tiểu luận được trình bày theo ý hiểu chủ quan nên không
thể tránh khỏi sai sót, khiếm khuyết.
Rất mong thầy nhận xét, đánh giá và chỉ ra các thiếu xót để em hoàn thiện.
Em xin chân thành cảm ơn.

2


CHƯƠNG I – THẾ GIỚI QUAN VÀ THẾ GIỚI QUAN DUY VẬT
1. Thế giới quan và các hình thức cơ bản của thế giới quan
1.1. Khái niệm “Thế giới quan”
Là sản phẩm và là một bộ phận của thế giới, con người có nhu cầu phải nhận thức về
thế giới cũng như phải nhận thức về bản thân mình trong mối quan hệ với thế giới để điều
chỉnh hoạt động của mình, đảm bảo cho sự tồn tại và phát triển. Kết quả của quá trình nhận
thức ấy tạo nên thế giới quan.
Như vậy, thế giới quan là những quan điểm, quan niệm của con người về thế giới xung
quanh, về bản thân và về cuộc sống của con người, về vị trí, vai trò của con người trong thế
giới ấy.
Về nguồn gốc, thế giới quan ra đời từ cuộc sống. Nó là kết quả trực tiếp của quá trình
nhận thức song suy cho đến cùng nó là kết quả của cả những yếu tố chủ quan và những yếu tố
khách quan, của cả hoạt động nhận thức và hoạt động thực tiễn.
Hình thành thế giới quan là một quá trình tất yếu mà chủ thể của nó có thể là cá nhân
hay cộng đồng xã hội.
Về nội dung, thế giới quan phản ánh thế giới ở ba góc độ: 1) Các đối tượng bên ngoài
chủ thể; 2) Bản thân chủ thể và 3) Mối quan hệ giữa chủ thể với các đối tượng bên ngoài chủ

thể. Ba góc độ này vừa thể hiện ý thức con người về thế giới, vừa thể hiện ý thức của con
người về chính bản thân mình.
Về hình thức, thế giới quan có thể biểu hiện dưới dạng các quan điểm, quan niệm rời
rạc, cũng có thể hiểu hiện dưới dạng hệ thống lý luận chặt chẽ.
Về cấu trúc, là hiện tượng tinh thần, thế giới quan có cấu trúc phức tạp và được tiếp cận
từ nhiều góc độ khác nhau, song hai yếu tố cơ bản của thế giới quan là tri thức và niềm tin. Tri
thức là cơ sở trực tiếp cho sự hình thành thế giới quan, song tri thức chỉ gia nhập vào thế giới
quan khi nó đã trở thành niềm tin để hình thành lý tưởng, động cơ thôi thúc con người. Như
vậy, một thế giới quan nhất quán là một thế giới quan có tri thức và niềm tin thống nhất với
nhau tạo nên cơ sở vững chác cho con người tiếp tục tìm hiểu thế giới, cho con người xác
định thái độ, cách thức hoạt động, cách thức sống nói riêng và xác lập nhân sinh quan nói
chung.
Chính vai trò là cơ sở để con người xác định những vấn đề then chốt của cuộc sống, thế
giới quan có các chức năng như: chức năng nhận thức, chức năng xác lập giá trị, chức năng
bình xét, đánh giá, chức năng điều chỉnh hành vi, v.v. khái quát lại, chức năng bao trùm của
thế giới quan là chức năng định hướng cho toàn bộ hoạt động sống của con người.
1.2. Những hình thức cơ bản của thế giới quan
Là kết quả trực tiếp của quá trình nhận thức, thế giới quan phát triển theo sự phát triển
nhận thức của con người. Cho đến nay, sự phát triển của thế giới quan đã được thể hiện dưới
ba hình thức cơ bản: Thế giới quan huyền thoại, thế giới quan tôn giáo và thế giới quan triết
học.
- Thế giới quan huyền thoại:
Thế giới quan huyền thoại là thế giới quan có nội dung pha trộn một cách không tự giác
giữa thực và ảo.
Thế giới quan huyền thoại đặc trưng cho “tư duy nguyên thuỷ”, được thể hiện rõ nét qua
các chuyện thần thoại, nó chủ yếu phản ánh nhận thức về thế giới của con người trong xã hội
công xã nguyên thuỷ.
Thế giới quan huyền hoại mang nặng dấu ấn của thời đại đã sản sinh ra nó – thời đại mà
con người tính mông muội chưa bị đẩy lùi trong cả đời sống vật chất lẫn đời sống tinh thần,
trong cả hoạt động nhận thức lẫn hoạt động thực tiễn.

Thế giới quan huyền thoại chủ yếu là sản phẩm của nhận thức cảm tính thể hiện qua
những đối tượng mà con người có thể trực tiếp quan sát được nên những gì trừu tượng thường
được con người hình dung dưới những dạng sự vật cụ thể. Chẳng hạn: “Thiện” và “ác”. Đây
là khái niệm thể hiện sự đánh giá về mặt giá trị của xã hội song trong thần thoại, thiện - ác
3


được mô tả là những vật có hình dáng, có kích thước và có cả nơi cất giữ, bảo quản. Thế giới
quan huyền thoại thể hiện đậm nét trí tưởng tượng của “tư duy nguyên thuỷ” – tư duy chứa
đựng sự pha trộn một cách không tự giác giữa thực và ảo, giữa người và thần. Sự pha trộn
này, như Ph.Ăngghen nhận định, là kết quả tất yếu của trình độ nhận thức thấp, khi con người
chưa hiểu về nguồn gốc, nguyên nhân, bản chất của các sự vật, hiện tượng trong thế giới nên
họ đã nhân cách hoá, nhân hình hoá, nhân tính hoá chúng thành các vị thần hoặc bán thần
trong thần thoại. Thần Sông Akêlôx, Thần Đất Gaia, v.v. trong thần thoại Hy Lạp; Thần Gió
Ngẫu Cường, Thần Mặt Trời Viêm Đế v.v. trong thần thoại Trung Quốc; Thần Lửa Agri, Thần
Không Trung Varuna, v.v. trong thần thoại Ấn Độ; v.v. là kết quả của sự nhân cách hoá, nhân
hình hoá, nhân tính hoá ấy.
Mặt khác, trong xã hội công xã nguyên thuỷ, cuộc sống cộng đồng với tất cả những nhu
cầu của nó đã làm nảy sinh ý thức tìm về cội nguồn của người nguyên thuỷ. Họ biết hơn
những gì mà tổ tiên của họ đã tạo ra và mong mỏi tổ tiên sẽ tiếp thêm sức mạnh, giúp họ
chiến thắng trong cuộc chiến chống thiên tai, chống thú dữ và chống những cộng đồng người
khác. Hình ảnh của các thế hệ trước được truyền miệng từ người này sang người khác, từ đời
này sang đời khác qua trí tưởng tượng, qua suy luận tưởng tượng của người kể tạo ra những
sự biến đổi không tự giác làm những con người của thị tộc ngày càng anh hùng hơn, kỳ vĩ hơn
và cũng thần thánh hơn. Hêraclex, Hector, Ôđixê, Thiếu Hạo, Chuyên Húc, v.v. là những con
người như thế.
Có thể nói, ở thế giới quan huyền thoại, “Bất cứ một câu chuyện thần thoại nào cũng
đều khắc phục, khống chế và hình thành các lực lượng của tự nhiên trong tưởng tượng và nhờ
trí tưởng tượng”; cũng đều truy tìm nguồn gốc thị tộc – những thị tộc đã có trước thần thoại
do chính bản thân thị tộc sáng tạo ra với những vị thần và bán thần; cũng đều chỉ là cái thực tế

đã qua phản ánh hoang tưởng vào những câu chuyện của người nguyên thuỷ”.
- Thế giới quan tôn giáo
Thế giới quan tôn giáo là thế giới quan có niềm tin mãnh liệt vào sức mạnh của lực
lượng siêu nhiên đối với thế giới, đối với con người; được thể hiện qua các hoạt động có tổ
chức để suy tôn, sùng bái lực lượng siêu nhiên ấy.
Thế giới quan tôn giáo ra đời khi trình độ nhận thức và khả năng hoạt động thực tiễn
của con người còn rất thấp, Những hình thức sơ khai của thế giới quan này như Bái vật giáo,
Tôtem giáo, Ma thuật giáo, Linh vật giáo, Saman giáo thể hiện sự yếu đuối, bất lực, sợ hãi của
con người trước những lực lượng tự nhiên, cũng như những lực lượng xã hội đã dẫn đến việc
con người thần thánh hoá chúng, quy chúng về những sức mạnh tự nhiên và đi đến tôn thờ
chúng. Theo Ph.Ăngghen “Tất cả các tôn giáo chẳng qua chỉ là sự phản ánh hư ảo – vào đầu
óc con người – những lực lượng ở bên ngoài chi phối cuộc sống hàng ngày của họ. Chỉ là sự
phản ánh trong đó những lực lượng ở trần thế đã mang hình thức những lực lượng siêu trần
thế”.
Đặc trưng chỉ yếu của thế giới quan tôn giáo là niềm tin cao hơn lý trí, trong đó niềm tin
vào một thế giới khác hoàn thiện, hoàn mỹ mà con người sẽ đến sau khi chết giữ vai trò chủ
đạo. V.I.Lênin cho rằng: “Sự bất lực của giai cấp bị bóc lột trong cuộc đấu tranh chống bọn
bóc lột tất nhiên đẻ ra lòng tin vào một cuộc đời tốt đẹp hơn ở thế giới bên kia, cũng giống
như sự bất lực của con người dã man trong cuộc đấu tranh chống thiên nhiên đẻ ra lòng tin
vào thần thánh, ma quỷ, vào những phép màu, v.v.”. Ở niềm tin này, thế giới quan tôn giáo
vừa biểu hiện sự nghèo nàn của hiện thực, vừa là sự phản kháng chống lại sự nghèo nàn ấy.
Nó như tiếng thở dài của chúng sinh, như “thuốc phiện” làm giảm nỗi đau trước những mất
mát của những người cùng khổ, là nhu cầu tinh thần của một bộ phận quần chúng trong cuộc
sống.
- Thế giới quan triết học
Thế giới quan triết học là hệ thống quan điểm lý luận chung nhất của con người về thế
giới xung quanh, về bản thân và về cuộc sống của con người, về vị trí của con người trong thế
giới ấy.

4

Thế giới quan triết học chỉ hình thành khi triết học ra đời – khi nhận thức của con người
đã đạt đến trình độ cao của sự khái quát hoá, trừu tượng hoá và khi các lực lượng xã hội đã ý
thức được sự cần thiết phải có định hướng về tư tưởng để chỉ đạo cuộc sống.
Thế giới quan triết học và triết học không đồng nhất. Triết học là hạt nhân của thế giới
quan, là một bộ phận quan trọng nhất vì nó chi phối tất cả những quan điểm, quan niệm còn
lại của thế giới quan như những quan điểm về đạo đức, thẩm mỹ, kinh tế, chính trị, văn hoá,
v.v.
Đặc trưng quan trọng nhất của thế giới quan triết học là việc đề cao vai trò của lý trí; nó
phản ánh thế giới bằng lý luận thông qua hệ thống các khái niệm, các phạm trù không ngừng
điều chỉnh, bổ sung, hoàn thiện chúng trong quá trình nhận thức.
Phân biệt sự khác nhau giữa những người có thế giới quan triết học với những người có
thế giới quan khác, C.Mác viết: “... các vị hướng về tình cảm, triết học hướng về lý trí; các vị
nguyền rủa, than vãn, triết học dạy bảo; các vị hứa hẹn toàn bộ thiên đường và thế giới, triết
học không hứa hẹn gì cả ngoài chân lý; các vị đòi hỏi tin tưởng tín ngưỡng của các vị, triết
học không đòi hỏi tin tưởng vào các kết luận của nó, nó đòi hỏi kiểm nghiệm những điều hoài
nghi; các vị doạ nạt, triết học an ủi. Và, thật thế, triết học biết cuộc sống khá đầy đủ để hiểu
rằng những kết luận của nó không bao dung sự khao khát hưởng lạc và lòng vị kỷ – của cả
thiên giới lẫn thế giới trần tục.
Ba hình thức cơ bản của thế giới quan có thể chia thành hai loại: Thế giới quan khoa
học và thế giới quan phản khoa học, trong đó, thế giới quan khoa học là thế giới phản ánh thế
giới và định hướng cho hoạt động của con người trên cơ sở tổng kết những thành tựu của quá
trình nghiên cứu khoa học, thực nghiệm khoa học và dự báo khoa học. Ở thế giới quan khoa
học, các quan điểm, quan niệm của con người về thế giới, về bản thân con người, về vị trí, vai
trò của con người trong thế giới không ngừng được bổ sung, hoàn thiện theo sự phát triển của
khoa học và cùng với sự bổ sung, hoàn thiện ấy, vai trò cải tạo thế giới thông qua hoạt động
thực tiễn của thế giới quan khoa học ngày càng được nâng cao.

2. Thế giới quan duy vật và lịch sử phát triển thế giới quan duy vật

2.1. Thế giới quan duy vật
Thế giới quan duy vật là thế giới quan thừa nhận bản chất của thế giới là vật chất, thừa
nhận vai trò quyết định của vật chất đối với các biểu hiện của đời sống tinh thần và thừa nhận
vị trí, vai trò của con người trong cuộc sống hiện thực.
Theo thế giới quan duy vật thì chỉ có một thế giới duy nhất là thế giới vật chất. Thế giới
vật chất không sinh ra, không bị mất đi, nó tồn tại vĩnh viễn, vô hạn, vô tận.
Thế giới quan duy vật cũng thừa nhận sự tồn tại của các hiện tượng tinh thần song mọi
biểu hiện của tinh thần đều có nguồn gốc từ vật chất. Vì vậy, trong mối qua hệ giữa vật chất
và tinh thần thì vật chất là cái có trước, tinh thần có sau và bị vật chất quyết định.
Thế giới quan duy vật khẳng định sự tồn tại hiện thực của con người và cùng với việc
thừa nhận vai trò quyết định cuả hoàn cảnh vật chất, thế giới duy vật nhấn mạnh tính năng
động, tính tích cực của con người trong cuộc sống.
Phân biệt giữa thế giới quan duy vật và thế giới quan duy tâm, V.I.Lênin cho rằng:
“Không trừ một trường hợp nào, đằng sau một đống thuật ngữ tinh vi, đằng sau cái mớ lộn
xộn những nghị luận uyên thâm kinh viện, là hai đường lối cơ bản, hai khuynh hướng cơ bản.
Những người duy vật cho rằng giới tự nhiên là cái có trước, tinh thần là cái có sau; nó đặt tồn
tại lên hàng đầu và tư duy vào hàng thứ hai. Còn những người duy tâm thì ngược lại”1.
Như vậy, theo V.I.Lênin, cơ sở quan trọng nhất để xác định một thế giới quan nào đó
thuộc duy vật hay duy tâm – cho dù duy tâm dưới bất kỳ hình thức nào (thô sơ, chất phác, tôn
giáo hay văn minh, triết học) – là xem thế giới quan đó quan niệm như thế nào về vị trí, vai
trò của vật chất, của ý thức trong mối quan hệ giữa chúng.
2.2. Lịch sử phát triển của thế giới quan duy vật
Kể từ khi triết học ra đời, sự phát triển của thế giới quan duy vật gắn liền với sự phát
triển của chủ nghĩa duy vật. Tương ứng với ba hình thức cơ bản của chủ nghĩa duy vật là Chủ
5


nghĩa duy vật chất phác, Chủ nghĩa duy vật siêu hình, Chủ nghĩa duy vật biện chứng là ba
hình thức cơ bản của thế giới quan: Thế giới quan duy vật chất phác, Thế giới quan duy vật
siêu hình và Thế giới quan duy vật biện chứng.

- Thế giới quan duy vật chất phác:
Thế giới quan duy vật chất phác là thế giới quan thể hiện trình độ nhận thức ngây thơ,
chất phác của những nhà duy vật
Thế giới quan duy vật chất phác thể hện rõ nét ở thời cổ đại. Đây là thời kỳ con người
đã thoát khỏi trạng thái mông muội nhưng mọi mặt của đời sống xã hội còn ở trình độ rất
thấp. Lao động đã từng bước được phân thành lao động trí óc và lao động chân tay song sản
xuất vật chất vẫn là hoạt động cơ bắp còn hoạt động tinh thần của những người lao động trí óc
mới chỉ tạo nên phôi thai của khoa học nên trong khi thừa nhận bản chất của thế giới là vật
chất, các nhà duy vật đã quan niệm vật chất là một hay một số chất đầu tiên sản sinh ra vũ trụ.
Ở phương Đông, phái Ngũ hành coi những chất đầu tiên ấy là Kim – Mộc – Thuỷ – Hoả
- Thổ; phái Nyaya – Vai’sêsika: những hạt không đồng nhất, bất biến, khác nhau về hình dáng
và khối lượng mà họ gọi là Anu; phái Lokayata: đất, nước, lửa, không khí; v.v.
Ở phương Tây, phái Milê cho rằng chất đầu tiên ấy đơn thuần là nước (quan điểm của
Talét), apeirôn (quan điểm của Anaximan) hay không khí (quan điểm của Anaximen); Hêraclit
bảo đấy là lửa; Lơxip và Đêmôcrit khẳng định là nguyên tử; v.v.
Những vấn đề về con người cũng được các nhà duy vật giải thích xuất phát từ những
chất mà họ coi là vật chất ấy: Con người là hiện thân của ngũ hành, là sản phẩm của khí, là sự
tương tác giữa âm – dương, là sự kết hợp các nguyên tử, v.v.
Với quan niệm về thế giới, về con người như vậy, nhìn chung thế giới quan duy vật chất
phác thời cổ đại có những bước tiến đáng kể so với các thế giới quan khác cùng tồn tại ở xã
hội đương thời song do hạn chế về lịch sử, thế giới quan duy vật chất phác còn nhiều hạn chế,
trong đó:
+ Nhận thức của các nhà duy vật mang nặng tính trực quan, phỏng đoán chứ chưa có
được những căn cứ khoa học vững chắc.
+ Quan niệm vật chất là một hay một số chất đầu tiên sản sinh ra vạn vật chứng tỏ các
nhà duy vật thời kỳ này đã đồng nhất vật chất với vật thể – một số dạng cụ thể của vật chất.
+ Việc đồng nhất vật chất với vật thể là một trong những nguyên nhân dẫn đến nhiều
hạn chế trong những lĩnh vực khác, như: Không hiểu được bản chất của các hiện tượng tinh
thần cũng như mối quan hệ giữa tinh thần với vật chất; không có cơ sở xác định những biểu
hiện của vật chất trong đời sống xã hội nên cũng không có cơ sở để đứng trên quan điểm duy

vật khi giải quyết những vấn đề về xã hội. Điều đó tất yếu dẫn đến duy vật không triệt để: khi
giải quyết những vấn đề về tự nhiên họ đứng trên quan điểm duy vật, còn khi giải quyết
những vấn đề về xã hội họ đã “trượt” sang quan điểm duy tâm”; v.v.
+ Thế giới quan duy vật thời cổ đại chỉ dừng lại ở việc giải thích thế giới chứ chưa đóng
được vai trò cải tạo thế giới.
Tuy còn nhiều hạn chế cả về trình độ nhận thức cũng như nội dung phản ánh nhưng thế
giới quan duy vật chất phác thời cổ đại đã có những đóng góp lớn lao vào quá trình phát triển
nhận thức. Điều ấy thể hiện: Sự ra đời của thế giới quan duy vật thời cổ đại đã đánh dấu bước
chuyển hoá từ giải thích thế giới dựa trên thần linh sang giải thích thế giới dựa vào giới tự
nhiên, nó định hướng cho con người nhận thức thế giới phải xuất phát từ chính bản thân thế
giới và nó đã đặt ra nhiều vấn đề - từ đó thế giới quan duy vật ở các giai đoạn sau tiếp tục phát
triển, hoàn thiện.
- Thế giới quan duy vật siêu hình
Thế giới quan duy vật siêu hình là thế giới quan duy vật được hình thành và phát triển
bằng phương pháp tư duy siêu hình.
Thế giới quan duy vật siêu hình biểu hiện rõ nét vào thời cận đại, vào thế kỷ thứ XVII –
XVIII ở các nước Tây Âu. Thời kỳ này phương thức sản xuất tư bản chủ nghĩa đã được xác
lập ở nhiều nước. Sự ra đời của phương thức sản xuất tư bản chủ nghĩa đòi hỏi khoa học tự
nhiên phải có những bước phát triển mới nhưng vào thế kỷ thứ XVII – XVIII hoá học còn ở
6


trong hình thức ấu trĩ, chủ yếu theo thuyết phlôgixtôn; sinh vật học ở trình độ phôi thai, cơ thể
của động, thực vật mới chỉ được nghiên cứu rất thô sơ và được giải thích bằng những nghiên
cứu thuần tuý máy móc; lịch sử phát triển của trái đất hoàn toàn chưa được biết đến v.v. Trong
tất cả các khoa học tự nhiên, chỉ có cơ học là về cơ bản đã đạt đến mức độ hoàn bị nên những
định luật cơ học được coi là duy nhất đúng đối với mọi hoạt động nhận thức. Điều này dẫn
đến sự thống trị của phương pháp tư duy siêu hình mà hầu hết các nhà duy vật ở Tây Âu đều
chịu ảnh hưởng. Những yếu tố biên chứng có xuất hiện trong học thuyết của các nhà duy vật
song nhìn chung thế giới quan của họ là thế giới quan duy vật siêu hình. Tiêu biểu cho thế

giới quan duy vật siêu hình thế kỷ thứ XVII – XVIII là thế giới quan của Bêcơn, Hốpxơ,
Lốccơ, Xpinôda, Đềcáctơ, La Metri, Điđrô, Hônbách, v.v.
Các nhà duy vật siêu hình trong khi phủ nhận vai trò của Đấng Sáng tạo, thừa nhận bản
chất của thế giới là vật chất đã phát triển tư tưởng coi vật chất là chất đầu tiên tạo ra vũ trụ
của các nhà duy vật thời cổ đại: Bêcơn, Đềcáctơ coi vật chất là “hạt”; Hốpxơ, La Metri, Điđrô
coi là “các vật thể riêng lẻ”, v.v. Nhìn chung, thế giới trong quan niệm của các nhà duy vật
siêu hình là vô số những sự vật cụ thể tồn tại cạnh nhau trong một không gian trống rỗng, vĩ
đại.
Các nhà duy vật siêu hình đề cao con người, đề cao các giá trị của con người song quan
niệm con người cũng chỉ như một cỗ máy: Hốpxơ hiểu trái tim của con người như chiếc lò xo,
thần kinh như những sợi chỉ còn các khớp xương như những bánh xe; Bêcơn coi ý thức của
con người là “linh hồn biết cảm giác” tồn tại trong óc và luôn chảy theo các dây thần kinh và
mạch máu; v.v. Không hiểu đúng về con người, tất yếu các nhà duy vật siêu hình cũng không
thể hiểu đúng về vị trí, vai trò của con người trong thế giới mà con người đang sống...
Thế giới quan duy vật siêu hình thời cận đại tuy góp phần chống thế giới quan duy tâm,
góp phần giúp con người đạt được một số hiệu quả trong nhận thức từng lĩnh vực hẹp song vì
phát triển tư tưởng về vật chất của các nhà duy vật thời cổ đại và phương pháp nhận thức là
phương pháp siêu hình nên ngoài những hạn chế mà các nhà duy vật thời cổ đại đã mắc phải,
các nhà duy vật thời cận đại còn mang nặng tư duy máy móc, không hiểu thế giới là một quá
trình với tính cách là lịch sử phát triển của vật chất trong các mối liên hệ đa dạng, phức tạp và
trong trạng thái vận động không ngừng, vĩnh viễn.
- Thế giới quan duy vật biện chứng:
Thế giới quan duy vật biện chứng là thế giới quan duy vật được hình thành và phát
triển bằng phương pháp tư duy biện chứng.
Thế giới quan này được C.Mác và Ph.Ăngghen xây dựng vào giữa thế kỷ thứ XIX,
V.I.Lênin và những người kế tục ông phát triển.
Sự ra đời của thế giới quan duy vật biện chứng là kết quả kế thừa tinh hoa các quan
điểm về thế giới trước đó, trực tiếp là những quan điểm duy vật của L.Phơbách và phép biện
chứng của F.Hêghen; là kết quả sử dụng tối ưu thành tựu của khoa học, trước hết là thành tựu
của Vật lý học và Sinh học. Ph.Ăngghen nhận định: Thời gian này (giữa thế kỷ thứ XIX) khoa

học tự nhiên đã phát triển và đạt được những kết quả rực rỡ, đã cung cấp những tài liệu mới
với số lượng chưa từng có, đến mức làm cho người ta không những có thể khắc phục hoàn
toàn tính siêu hình máy móc của thế kỷ XVIII, mà ngay bản thân khoa học tự nhiên, nhờ
chứng minh được những mối liên hệ tồn tại trong bản thân giới tự nhiên mà đã biến từ khoa
học kinh nghiệm chủ nghĩa thành khoa học lý luận và nhờ tổng hợp những kết quả đã đạt
được mà đã trở thành một hệ thống nhận thức duy vật về thế giới trong sự vận động, biến đổi
không ngừng của nó.
Sự ra đời của thế giới quan duy vật biện chứng còn là kết quả tổng kết sự kiện lịch sử
diễn ra ở các nước Tây Âu, khi phương thức sản xuất tư bản chủ nghĩa đã hình thành và đã
bộc lộ cả những mặt mạnh cũng như những mặt hạn chế của nó.
Nội dung, bản chất của chủ nghĩa duy vật biện chứng đem lại cho con người không chỉ
một bức tranh trung thực về thế giới mà còn đem lại cho con người một định hướng, một
phương pháp tư duy khoa học để con người tiếp tục nhận thức và cải tạo thế giới.

7


CHƯƠNG II - VAI TRÒ CỦA TOÁN HỌC ĐỐI VỚI SỰ PHÁT
TRIỂN CỦA THẾ GIỚI QUAN DUY VẬT
1. Vai trò của các ký hiệu toán học trong nhận thức khoa học
Như chúng ta đã biết rằng, trong lịch sử toán học, vào đầu thế kỷ thứ V, khi người ấn Độ
đưa ký hiệu vào để chỉ số 0 thì họ đã có thể xoá bỏ được hệ thống tính từng cấp và phát triển
hệ thống tính thập phân mà tính ưu việt của nó trong tính toán đã được hàng trăm triệu người
trên hành tinh chúng ta sử dụng hàng ngày. Đồng thời, khi nhà khoa học nổi tiếng người Đức
là Lépnít đưa ra ký hiệu vi phân và tích phân thì toán học đã thực sự đổi mới. Thật vậy, nếu
như trước đây lời giải của nhiều bài toán về tính diện tích, thể tích, cơ học, thiên văn học…
đòi hỏi những nỗ lực to lớn mà chỉ những nhà toán học lỗi lạc mới có thể giải được, thì khi
các ký hiệu của Lépnít xuất hiện, nhìn chung chúng đã được giải quyết, mặc dù đó là sự giải
quyết một cách máy móc. Như vậy, với những ký hiệu toán học, chúng ta có thể giải quyết
được những nhiệm vụ gắn liền với thực tiễn. Do ký hiệu toán học có nội dung khách quan

đích thực. Ở đây, vấn đề là ở chỗ, nội dung ấy được thể hiện như thế nào trong quá trình
nghiên cứu khoa học của chúng ta.
Theo quan điểm duy vật biện chứng, các ký hiệu toán học, trước hết được sử dụng để
ghi lại các khái niệm và các mệnh đề toán học. Chẳng hạn, trong số học các số tự nhiên, các
1, 2,3,...
ký hiệu
biểu thị đặc điểm về lượng của nhóm đối tượng chứa một, hai, ba,… đối
>, = , <
1< 2
tượng. Các ký hiệu
biểu diễn những sự tương quan, chẳng hạn
(1 bé hơn 2).
+,−, × , :
Đồng thời, người ta còn sử dụng đấu hiệu các phép tính số học như:
để biểu thị
những mối liên hệ có thể có giữa các số tự nhiên. Tất cả các ký hiệu nói trên cho phép ta diễn
đạt một cách hoàn toàn chính xác nhiều mệnh đề của số học các số tự nhiên. Ví dụ, ký hiệu
(4 × 6) − 10 = 7 × 2
biểu diễn một mệnh đề số học.
Trong toán học, vai trò của các ký hiệu rất giống với vai trò của tiếng nói thông thường
trong xã hội. Điều này được thể hiện ở chỗ, tiếng nói của các ký hiệu toán học cho phép các
nhà toán học trao đổi với nhau và trao đổi với những người khác về chân lý toán học, về việc
tổ chức nghiên cứu khoa học. Nhà toán học nổi tiếng người Nga - Lôbasépxki đã nhận định
rằng, cũng như tiếng nói thông thường có khả năng làm cho sự hiểu biết của chúng ta thêm
phong phú nhờ lĩnh hội được ý kiến của những người khác, tiếng nói của các ký hiệu toán học
là một phương tiện hoàn hảo hơn, chính xác và sáng sủa hơn để người này truyền cho người
kia những khái niệm mà họ lĩnh hội được, những chân lý mà họ tìm thấy. Nhưng ở đây, cần
phải thấy một điều đặc biệt quan trọng là, tiếng nói của các ký hiệu toán học không thể tồn tại
được nếu không có tiếng nói thông thường. Tiếng nói thông thường có nội dung phong phú
hơn tiếng nói của các ký hiệu toán học. Tất cả những mệnh đề toán học được diễn tả bằng

tiếng nói của ký hiệu đều có thể diễn tả bằng tiếng nói thông thường. Nhưng điều ngược lại
thì không đúng, mọi mệnh đề được diễn tả bằng tiếng nói thông thường không phải lúc nào
cũng có thể diễn tả bằng tiếng nói của các ký hiệu toán học. Tiếng nói của các ký hiệu toán
học chỉ là một công cụ bổ sung cho tiếng nói thông thường, nó được sử dụng trong toán học
và một phần trong các ngành khoa học khác mà ở đó, có ứng dụng toán học. Việc ký hiệu hoá
toán học không đơn thuần là một vấn đề hình thức, một cách viết tắt thuận lợi, mặc dù không
bao giờ được xem thường khía cạnh đó. Ngôn ngữ toán học cho phép ta nói ngắn gọn nhiều
điều mà nếu diễn tả bằng ngôn ngữ thông thường sẽ rất dài đòng, phức tạp.
Trong các tập Bản thảo toán học, Mác đã nghiên cứu riêng toán học và để lại nhiều tư
tưởng quý giá về các vấn đề mà chúng ta quan tâm. Trong đó, những tư tưởng của Mác về cái
gọi là "cuộc cách mạng trong phương pháp" có ý nghĩa đặc biệt quan trọng về mặt phương
pháp luận. Trong khi phân tích những quan niệm khác nhau về cơ sở của phép tính vi phân,
Mác đã khẳng định rằng, việc sử dụng các ký hiệu trở thành bí ẩn và khó hiểu nếu ngay từ đầu
8


chúng được coi là cái đã cho, đã có sẵn. Điều khẳng định của Mác đã xảy ra đối với các nhà
sáng lập phép tính vi phân - Niutơn và Lépnít cùng những người kế tục gần gũi các ông.
Trong khi tìm các đạo hàm và vi phân của hàm số, ngay từ đầu, họ đã coi số gia của đối số
như là các vi phân. Khi lấy vi phân một hàm số xác định y = f(x), một bộ phận nào đó được
bỏ đi coi như vô cùng nhỏ, nhưng nếu số hạng bỏ đi khác 0 thì việc bỏ nó là một phép toán
không hợp pháp; nếu có (dx) = 0 thì khi đó, cả (dy) cũng bằng 0 và đẳng thức của chúng ta
biến thành đồng nhất thức 0 = 0. Như vậy, số hạng bỏ đi đồng thời phải là 0 và không là 0. Lẽ
đương nhiên là ở đây, không có phép biện chứng nào cả. Trái lại, chính điều này đã đi đến chỗ
gán cho các vi phân những tính chất bí ẩn đặc biệt nào đó, khác với các tính chất của các đại
lượng thông thường. Vin vào đó, nhà triết học duy tâm Béccơly đã lấy cớ để gọi chúng một
cách châm biếm và hài hước là "bóng ma của những đại lượng chết".
Để vứt bỏ tấm màn bí ẩn ở các khái niệm và ký hiệu của phép tính vi phân, theo Mác,
cần phải làm cho ký hiệu đặc trưng đối với phép tính .vi phân không xuất hiện như là điểm
xuất phát, mà như là kết quả của quá trình hoạt động thực tế không chứa một chút gì là ký

hiệu. Mác cho rằng, điểm xuất phát phải nằm trong giới hạn của đại số thông thường mà chưa
yêu cầu những thuật toán đặc biệt của phép tính vi phân và các ký hiệu của nó. Ở đây, điều mà
chúng ta cần lưu ý là ở chỗ, Mác đã chỉ rõ những việc cần phải làm để tìm ra đạo hàm của
một hàm số xác định y = f (x i). Trước hết, Mác lập các số gia hữu hạn Δx và Δy. Trong khi
một số nhà triết học duy tâm, chẳng hạn như Alembécxơ, coi các số gia đó như những cái đã
tồn tại từ trước, bất luận sự biến đổi nào của các biến số, thì Mác, trái lại, coi chúng như là kết
quả biến đổi của các biến số.
Mác coi việc khử các số gia là công đoạn diễn ra do kết quả biến đổi ngược của các biến
số x và y, còn việc lấy vi phân một hàm số là một phép toán bao gồm cả công đoạn tính và
khử các số gia hữu hạn. Mác viết: "Lúc đầu là việc tính các số gia và sau đó là việc khử
chúng, như vậy sẽ dẫn đến không có gì hết. Tất cả những khó khăn trong việc hiểu phép vi
phân (cũng như trong việc hiểu phủ định của phủ định nói chung) chính là ở chỗ, làm sao thấy
được ở điểm nào, nó khác với thủ tục đơn giản như thế và vì vậy, nó dẫn đến kết quả thực tế
nào".
Như vậy, từ lập trường của chủ nghĩa duy vật biện chứng, chúng ta nhận thấy rằng,
trong toán học, người ta có khả năng sử dụng tiếng nói của ký hiệu chính là do đặc điểm về
đối tượng nghiên cứu của nó. Cụ thể là, toán học nghiên cứu những hình dạng và quan hệ của
các đối tượng trong thế giới hiện thực mà trong những giới hạn đã biết, chúng không phụ
thuộc vào nội dung thực tế của đối tượng. Ngày nay, trong toán học, nhất thiết chúng ta phải
dùng đến tiếng nói của các ký hiệu, bởi nhờ đó, ta có thể ghi lại một cách ngắn gọn và rõ ràng
các khái niệm và mệnh đề của các lý thuyết toán họe. Đồng thời, việc sử dụng các ký hiệu còn
cho phép phát triển được cả những phép tính và những thuật toán, tức là những cái cất lõi để
xây dựng nên các phương pháp và các mệnh đề toán học. Như vậy, về thực chất, việc sử dụng
các ký hiệu toán học là một thí nghiệm đã được lý tưởng hoá, chúng mô tả dưới dạng thuần
tuý những điều đã được thực hiện hay có thể thực hiện được một cách gần đúng hoặc chính
xác trong thực tế. Chính vì vậy mà việc sử dụng các ký hiệu toán học có khả năng phát hiện ra
các chân lý toán học mới. Tuy nhiên, chúng ta cần lưu ý rằng, tất cả những điều nói trên chỉ
có thể thực hiện được trong trường hợp hệ thống ký hiệu toán học đó thể hiện đúng đắn các
tính chất và tương quan cơ bản, xác định của thế giới hiện thực. Toán học nghiên cứu các
quan hệ về lượng và hình dạng không gian của các đối tượng trong thế giới đang tồn tại, có

nghĩa là nó nghiên cứu những cái không phụ thuộc vào nội dung vật chất của chúng.
Trên cơ sở đó, các đối tượng mà chúng ta đang nghiên cứu trong toán học, như số học,
đại số, hình học… và các liên hệ như cộng, trừ, nhân, chia… có thể thay thế được bằng những
ký hiệu mà ý nghĩa của chúng không hề bị xuyên tạc và thu hẹp lại. Điều này đã được nhiều
nhà toán học khẳng định, trong số đó có cả những nhà toán học duy tâm. Chẳng hạn, Lépnít
đã nhận xét rằng, cần phải quan tâm đến vấn đề làm cho những ký hiệu trở nên thuận tiện hơn
cho việc phát minh. Điều này thường xảy ra khi các ký hiệu diễn tả một cách ngắn gọn và

9


phản ánh một cách sâu sắc nhất thực chất của sự vật, khi đó việc làm của tư duy sẽ giảm đến
mức kỳ diệu.

2. Vai trò của toán học trong sự hình thành và phát triển thế giới quan
duy vật
Nhìn vào quá trình phát triển của toán học có thể chia lịch sử của nó làm ba thời kỳ lớn:
thời kỳ cổ đại hay toán học sơ cấp, toán học về các đại lượng bất biến (từ thế kỷ thứ V trước
công nguyên đến thế kỷ XVII), thời kỳ cổ điển hay toán học về các đại lượng biến đổi (từ thế
kỷ XVIII đến cuối thế kỷ XIX), thời kỳ hiện đại hay toán học về các vấn đề cấu trúc (từ cuối
thế kỷ XIX đến nay). Sự kế tiếp của mỗi thời kỳ tuân theo một logic nhất định phản ánh tiến
trình phát triển nội tại của toán học và của những nhân tố bên ngoài, trong đó có các quan
điểm thế giới quan khác nhau, tác động vào nó. Cũng như các tri thức khác, sự phát triển của
tri thức toán học mang tính biện chứng sâu sắc. Nó là quá trình vừa kế thừa vừa đổi mới về
chất giữa các thời kỳ. Vì vậy các tri thức toán học ở thời kỳ sau chung hơn, sâu sắc hơn, đa
dạng hơn thời kỳ trước và bao quát nó như trường hợp riêng. Vậy trong từng thời kỳ, toán học
đã góp phần hình thành luận chứng cho các thế giới quan duy vật nói chung và triết học biện
chứng nói riêng như thế nào?
Thời kỳ đầu, thời kỳ của toán học về các đại lượng bất biến, tức là các đại lượng lấy
những giá trị cố định. Trước hết, toán học đã đóng góp vào sự hình thành cơ sở của lôgic hình

thức, nhờ vậy tư duy có lập luận chính xác, chặt chẽ. Điều đó góp phần hình thành nên các
nguyên tắc của tư duy khoa học. Thí dụ từ quan hệ a=b, b=c suy ra a=c. Tuy nhiên, khái niệm
bằng nhau ở đây là bất biến, bất động, cố định.
Đối với các lĩnh vực tri thức khác, ở thời kỳ này mới chỉ có cơ học và thiên văn học là
tương đối phát triển. Toán học đã thông qua hai khoa học này góp phần vào cuộc cách mạng
của Copecních thay hệ địa tâm bằng hệ nhật tâm. Sự phát triển của một thế giới quan mới gắn
liền với cuộc cách mạng mà Copecních thực hiện đòi hỏi phải có một nền toán học mang
những tư tưởng mới về chất ra đời (đó là toán học về các đại lượng biến đổi ở thời kỳ cổ
điển). Tuy nhiên, ở thời kỳ này, các quan niệm của cơ học Niutơn chi phối hầu hết cách xem
xét các sự vật, hiện tượng của thế giới xung quanh. Do cơ học Niutơn lấy số lượng bất biến,
cố định của toán học làm chuẩn mực để tính toán khối lượng của nó, nên quan điểm này tạo
cơ sở cho hình thành chủ nghĩa duy vật siêu hình máy móc. Thế giới quan của chủ nghĩa duy
vật siêu hình máy móc đã ảnh hưởng lâu dài đến sự phát triển của toán học và các lĩnh vực
khác của khoa học tự nhiên. Mặt khác, những thành tựu trong sự phát triển của số học, hình
học cũng đã tạo ra mối liên hệ đầu tiên với những quan niệm của phép biện chứng ngây thơ cổ
đại. Chẳng hạn, vấn đề quan hệ giữa số thực và số ảo, giữa vô hạn và hữu hạn... Như vậy ở
thời kỳ này, mặc dù toán học có đóng góp vào sự hình thành và phát triển một số yếu tố biện
chứng, song nhìn chung nó chỉ dừng lại ở việc góp phần hình thành và củng cố thế giới quan
chủ nghĩa duy vật siêu hình máy móc. Do sự phát triển của thực tiễn và nhận thức, tất yếu dẫn
tới sự ra đời của toán học về các đại lượng biến đổi.
Ở thời kỳ này, các nhà kinh điển chú ý đến toán học, trước hết vì những tư tưởng về vận
động, về các mối liên hệ, được phát triển trong toán học sớm hơn ở các khoa học tự nhiên
thực nghiệm khác. F. Enghen đã đánh giá:“Đại lượng biến đổi của Đềcác đã đánh dấu một
bước ngoặt trong toán học. Nhờ đó mà vận động và biện chứng đã đi vào toán học và phép
tính vi phân và tích phân lập tức trở thành cần thiết.”
Thật vậy, trong lập luận của giải tính toán và phép tính vi phân, người ta đã dùng các
khái niệm như hàm số, giới hạn, liên tục, gián đoạn vô hạn, hữu hạn... Rõ ràng, toán học đã
nghiên cứu về sự vận động, về các mối liên hệ ở những khía cạnh rất quan trọng. Có thể nói
rằng, tư tưởng vận động, về liên hệ của toán học đã góp phần thay đổi về chất tư duy khoa
học. Ở thời kỳ trước cổ điển, lôgic hình thức và cơ học Niuton chịu sự chi phối của các khái

niệm, phạm trù bất biến cố định của toán học sơ cấp. Với tư tưởng vận động, liên hệ của toán
học, người ta có một quan niệm mềm dẻo hơn đối với các hình thức của tư duy nói chung và
của các phạm trù bất biến trong logic hình thức nói riêng. Ví dụ, để đo được độ dài của đường
cong, ta phải xem đường cong là giới hạn của những đường thẳng.... Vì vậy, tư tưởng vận
10


động, liên hệ của toán học là một trong các nguồn gốc đẻ ra tư duy biện chứng. Nó góp phần
hình thành bước đầu cơ sở khoa học của logic biện chứng. Còn đối với khoa học tự nhiên thì
sao?
Vào thời kỳ trước đó, do những điều kiện lịch sử nhất định, thế giới quan siêu hình máy
móc đang thống trị trong khoa học tự nhiên, sự ra đời và phát triển tư tưởng vận động, liên hệ
của toán học đã giáng một đòn mạnh mẽ vào thế giới quan siêu hình “mà điểm trung tâm là
quan niệm về tính bất di bất dịch tuyệt đối của tự nhiên”. Thật vậy, sự ra đời của phép tính vi
phân, giải tích toán học đã tạo cho các nhà khoa học một phương tiện mới trong nhận thức về
các hiện tượng, sự vật, quá trình trong tự nhiên. Nhờ đó, người ta mới phát hiện ra định luật
vạn vật hấp dẫn ở thế kỷ XVII, quy luật truyền sóng và truyền nhiệt ở thế kỷ XVIII. Sự ra đời
thuyết tương đối của Anhxtanh ở thế kỷ XIX chính là nhờ sự phát triển từ trước của hình học
phi Ơclít. Như vậy, toán học đã thông qua vật lý học, đóng góp vào cuộc cách mạng thế giới
quan, thay chủ nghĩa duy vật siêu hình máy móc dựa trên cơ học Niutơn (với đặc điểm là khối
lượng bất biến, không gian và thời gian tách biệt nhau) bằng chủ nghĩa duy vật biện chứng mà
sự ra đời của thuyết tương đối Anhxtanh và những lý thuyết khoa học hiện đại khác là ví dụ
(với đặc điểm là khối lượng, không gian và thời gian không tách rời nhau).
Một thành tựu quan trọng khác của toán học thời kỳ này là sự ra đời của tư tưởng thống
kê – xác suất. Tư tưởng thống kê – xác suất khẳng định sự tồn tại khách quan của cái ngẫu
nhiên. Thế giới không chỉ có những cái tất nhiên mà có cả những cái ngẫu nhiên. Ngẫu nhiên
và tất nhiên liên hệ chặt chẽ và bổ sung cho nhau. Tư tưởng thống kê- xác suất cho ta một
quan niệm mới mềm dẻo và chính xác hơn về sự phụ thuộc lẫn nhau, giữa các sự vật, hiện
tượng, quá trình. Nó vượt hơn hẳn quan điểm quyết định luận chặt chẽ coi sự phụ thuộc liên
hệ giữa các sự vật chỉ là đơn tại chặt chẽ và tính tất nhiên thống trị tuyệt đối trong giới tự

nhiên. Sự tồn tại cái ngẫu nhiên bổ sung vào bức tranh khoa học chung về thế giới.
Như vậy, các tư tưởng vận động, liên hệ và thống kê – xác suất đã góp phần hình thành
tư duy biện chứng và là cơ sở khoa học để luận chứng cho thế giới quan duy vật biện chứng.
Tuy nhiên, toán học thời kỳ này cũng mang những hạn chế nhất định. Nó chưa đáp ứng được
những nhu cầu của nền sản xuất từ cơ khí hoá chuyển sang nền sản xuất tự động hoá, của sự
phát triển khoa học từ giai đoạn phân tích, thực nghiệm sang khoa học liên ngành tổng hợp ở
trình độ lý thuyết. Những đòi hỏi ấy tất yếu dẫn toán học tới một thời kỳ phát triển mới – toán
học nghiên cứu các cấu trúc và thuật toán.
Trong giai đoạn hiện đại, thành tựu nổi bật của toán học thời kỳ này là tư tưởng cấu
trúc. Thực chất của tư tưởng này là cho phép ta tiếp cận một cách trừu tượng và khái quát các
đối tượng có bản chất rất khác nhau để vạcg ra quy luật chung của chúng. Nói theo ngôn ngữ
toán học, tức là có sự tương tự về cấu trúc hay sự đẳng cấu giữa các lĩnh vực có bản chất khác
nhau. Có thể nói rằng tư tưởng cấu trúc là một trong những cơ sở lý luận cho sự ra đời của các
khoa học tổng hợp như logic toán, điều khiển học, tin học, toán lý, toán sinh, toán kinh tế...
Về phương diện thực tiễn, trên cơ sở sự tương tự về cấu trúc giữa các quá trình diễn ra trong
giới tự nhiên vô sinh, sự sống và xã hội (tư duy) người ta đã chế tạo ra hệ thống máy tự động,
hoạt động theo cơ chế tương tự bộ não và các giác quan con người.
Như vậy cả về phương diện lý luận và thực tiễn, toán học hiện đại đóng vai trò nền tảng
trong quá trình nhất thể hoá các khoa học. Hơn nữa, tư tưởng cấu trúc của toánd học còn phản
ánh sâu sắc sự thống nhất vật chất của thế giới. Sự thống nhất của toán học với thế giới quan
triết học biểu hiện ở chỗ chúng xác nhận những tư tưởng cơ bản của chủ nghĩa duy vật: tư
tưởng về sự thống nhất vật chất của thế giới và tính có thể nhận thức được của thế giới đó.
Các khoa học khác như vật lý học, sinh học đã có những đóng góp quan trọng vào việc luận
chứng cho sự thống nhất này. Có thể nói rằng cùng với sự phát triển của khoa học và thực tiễn
các lý thuyết toán học ngày càng có khả năng đi sâu vào việc luận chứng cho tư tưởng về sự
thống nhất vật chất của thế giới. Chẳng hạn, cùng một phương trình có thể diễn tả sự phân
huỷ chất phóng xạ, sự sinh sản của vi khuẩn, sự tăng trưởng của nền kinh tế... Như vậy, tư
tưởng cấu trúc của toán học hiện đại góp phần quan trọng vào sự nhận thức những cơ sở nền
tảng của sự tổng hợp tri thức vốn chứa đựng nội dung thế giới quan, phương pháp luận sâu
11

sắc. Đồng thời nó là một trong những cơ sở khoa học để luận chứng cho thế giới quan duy vật
biện chứng về sự thống nhất vật chất của thế giới.
Những kết quả trên đây được củng cố vững chắc hơn khi xem xét ảnh hưởng của toán
học đối với sự phát triển của khoa học tự nhiên hiện đại, đặc biệt đối với những ngành tiếp
cận thế giới vi mô. Dựa vào sự tương tự về cấu trúc, người ta phát hiện ra mối liên hệ, quan
hệ và sự thống nhất giữa các lý thuyết vật lý khác nhau. Đặc biệt, trên cơ sở những lý thuyết
hình thức (trừu tượng) của toán học, người ta đã phát hiện ra những hạt mới trước khi chúng
được phát hiện nhờ thực nghiệm. Điển hình là việc phát hiện ra pozitron trong cơ học lượng
tử nhờ biểu diễn nó bằng một phương trình z căn bậc hai. Phương trình này lúc đầu cho ta căn
cứ để dự đoán ngoài electron còn tồn tại một hạt khác có một số tính chất vừa giống điện tử
nhưng lại vừa khác điện tử về dấu của điện tích. Đó là pozitron. Dự đoán này đã trở thành
hiện thực. Về sau các phản hạt của phần lớn các hạt cũng được tìm ra bằng cách tương tự như
pozitron. Khả năng vượt trước của toán học đã luận chứng, hoàn thiện, cụ thể hoá quan điểm
của chủ nghĩa duy vật về điện tử là vô cùng vô tận. Các cuộc cách mạng trong hoá học (hoá
học lượng tử), trong sinh học (lý thuyết di truyền), sinh học phân tử... đều dựa vào những
thành tựu của toán học hiện đại. Đối với khoa học nhân văn, khả năng hình thành toán kinh tế,
toán tâm lý, toán xã hội... sẽ góp phần củng cố thế giới quan duy vật biện chứng trong nhận
thức nhân văn và xã hội.
Như vậy, toán học hiện đại đóng vai trò nền tảng trong quá trình nhất thể hóa khoa học.
Nó góp phần quan trọng vào sự nhận thức những cơ sở nền tảng của sự tổng hợp tri thức vốn
chứa đựng nội dung thế giới quan, phương pháp luận sâu sắc. Đồng thời nó là một trong
những cơ sở khoa học để luận chứng cho thế giới quan duy vật biện chứng về sự thống nhất
vật chất của thế giới.
Như vậy ta có thể mạnh dạn khẳng định từ khi mới hình thành và trong quá trình phát
triển của mình, toán học luôn tạo ra cơ sở thế giới quan duy vật biện chứng bằng cách trực
tiếp hay gián tiếp.
Toán học thời kỳ đầu tức là đến thời kỳ toán học sơ cấp là cơ sở cho sự ra đời của chủ
nghĩa duy vật máy móc, siêu hình. Nó cũng góp phần khẳng định thế giới quan duy vật, chống

lại thế giới quan tôn giáo – kinh viện.
Sang thời kỳ toán học cao cấp, khi mà trọng tâm toán học chuyển sang nghiên cứu các
đại lượng biến đổi trước hết là tư tưởng vận động, toán học là một trong các nguồn gốc đẻ ra
tư duy biện chứng và là cơ sở khoa học để hình thành và luận chứng cho thế giới quan duy vật
biện chứng trong giới tự nhiên vô sinh.
Toán học hiện đại hoàn thiện sâu sắc thế giới quan duy vật biện chứng trong các lĩnh
vực tự nhiên, xã hội và tư duy. Nó góp phần củng cố, hoàn thiện và phát triển thế giới quan
duy vật biện chứng.

12


CHƯƠNG III – VAI TRÒ CỦA TRIẾT HỌC ĐỐI VỚI SỰ PHÁT
TRIỂN CỦA TOÁN HỌC
Mối quan hệ biện chứng giữa toán học và thế giới quan duy vật làm bộc lộ vai trò định
hướng to lớn của thế giới quan duy vật đối với toán học. Là người nghiên cứu toán học, hơn
hết, phải biết vận dụng triết học vào công tác chuyên môn, định hướng cho việc nghiên cứu,
giảng dạy toán học. Do thế giới quan và phương pháp luận của chủ nghĩa duy vật biện chứng
là khoa học, đúng đắn nhất, nên phần này sẽ sử dụng nó để kiến giải sự phát triển của toán
học qua đó rút ra ý nghĩa, phục vụ cho công tác nghiên cứu, giảng dạy toán học.

1. Tác động của thế giới quan duy vật đến sự phát triển của toán học
Sự hình thành, phát triển của triết học nói chung và thế giới quan duy vật nói riêng
không thể tách rời sự hình thành, phát triển của khoa học cụ thể. Einstein đã nhận xét: “Cái
khái quát của triết học cần phải dựa trên các kết quả khoa học. Tuy nhiên, mỗi khi đã xuất
hiện và được truyền bá rộng rãi, chúng thường ảnh hưởng đến sự phát triển của tư tưởng
khoa học khi chúng chỉ ra rất nhiều phương hướng phát triển có thể có”.
Thật vậy, triết học mà đặc biệt là thế giới quan duy vật đã tác động tích cực đến sự phát
triển của toán học, trước hết, nó dẫn đến một số khuynh hướng toán học.
Chẳng hạn, những tư tưởng triết học từ lâu đã khẳng định tính phức tạp trong giới tự

nhiên. Điều này dẫn đến toán học sau này có khuynh hướng đi sâu vào nghiên cứu hệ thống
phức tạp đó. Đặc biệt kể từ giai đoạn toán học hiện đại với tư tưởng về cấu trúc và sự phát
triển của xác suất thống kê, người ta càng thấy rõ những lĩnh vực trong đó không thể khẳng
( 0 ≤ p ≤ 1),
định “đúng, sai” mà chỉ có thể nói đến một xác suất đúng hay sai nào đó
chẳng
hạn như trong cơ học lượng tử, do lưỡng tính “sóng, hạt” nên không thể khẳng định vị trí của
một hạt ở một thời điểm xác định mà chỉ có thể nói đến xác suất để hạt ở vị trí đó. Từ 1965,
toán học mờ ra đời chính nhờ các khái niệm không gian, ánh xạ, hệ nhị phân mà hầu như mọi
sự vật đều có những tọa độ diễn tả ra bằng những dãy 0 và 1. Đó là lĩnh vực toán học chuyên
nghiên cứu về các tập hợp mờ tức là những tập hợp không có ranh giới rõ rệt vì không thể
khẳng định được một phần tử nào đó là thuộc tập hợp hay không mà chỉ có thể nói đến một
xác suất p để phần tử thuộc tập hợp. Điều này được ứng dụng rất nhiều trong kỹ thuật máy
tính điện tử.

2. Chủ nghĩa duy vật nói chung và chủ nghĩa duy vật biện chứng nói
riêng là cơ sở thế giới quan và phương pháp luận của toán học
Mỗi khoa học có thế giới quan và phương pháp luận riêng. Toán học được xem là khoa
học nghiên cứu về các quan hệ số lượng, hình dạng và logic trong thế giới khách quan hay là
khoa học nghiên cứu vế cấu trúc số lượng mà người ta có thể trang bị cho một tập hợp bằng
một hệ tiên đề. Triết học là khoa học về những quy luật chung nhất của sự vận động, phát
triển của tự nhiên, xã hội và tư duy.
Sau đây ta sẽ minh họa vai trò thế giới quan và phương pháp luận của triết học duy vật
biện chứng đối với việc nghiên cứu toán học thể hiện ở các nguyên lý, một số quy luật và cặp
phạm trù cơ bản.
2.1. Nguyên lý về mối liên hệ phổ biến
Nguyên lý về mối liên hệ phổ biến giúp cho các nhà toán học thấy rõ mối liên hệ, tác
động qua lại của tất cả các khái niệm, định lý, công thức toán học. Chúng không tồn tại một
cách độc lập mà liên hệ chặt chẽ, thống nhất, bổ sung cho nhau.
Nhìn ở một khía cạnh nhỏ nào đó, chẳng hạn việc định nghĩa một khái niệm, chứng

minh một định lý đều phải dựa trên các khái niệm, định lý đã có từ trước; giải một bài tập
hình học đôi khi cũng cần phải sử dụng các phép tính của đại số, các hàm số lượng giác…
Toán học càng phát triển, tất cả các chuyên ngành của toán học càng gắn bó khăng khít, liên
thông với nhau đến mức thật khó phân biệt ranh giới giữa chúng. Ví như, sự xuất hiện ngành

13


tôpô đại số - hình học, hình học vi phân là sự liên thông của hình học với các ngành giải tích,
đại số…
Nguyên lý về mối liên hệ phổ biến đòi hỏi chúng ta phải có một quan điểm toàn diện
khi nghiên cứu toán học. Quan điểm này phải được nhận thức, vận dụng bất kỳ lúc nào. Khi
giải một bài toán hình học, phải nhìn một điểm, một đường thẳng trong mối liên hệ với các
điểm, đường thẳng khác trong sự thống nhất với cả hình vẽ. Khi xét một bài toán có thể dùng
tất cả các phương pháp của đại số, hình học, lượng giác trong mối liên hệ thống nhất để tìm ra
lời giải tổng hợp…
2.2. Nguyên lý về sự phát triển
Nguyên lý về sự phát triển cho chúng ta thấy rằng sự phát triển một lý thuyết toán học
hay cả lĩnh vực toán học nói chung là một tiến trình khách quan, không phụ thuộc ý muốn cá
nhân nào. Đó là quá trình giải quyết những mâu thuẫn nảy sinh trong bản thân nội bộ toán học
và giải quyết những nhu cầu của thực tiễn.
Nguyên lý về sự phát triển đòi hỏi chúng ta phải có quan điểm lịch sử cụ thể trước các
vấn đề toán học. Chẳng hạn, nhiều học sinh sau khi được đọc nội dung và cách chứng minh
định lý Pythagore, định lý về tổng ba góc trong của một tam giác thì thấy quá đơn giản và coi
thường nó. Nhưng kì thực, việc phát minh ra chúng ở cái thời đại của ông quả thật là vĩ đại và
đã được áp dụng đến tận ngày nay.
2.3. Mâu thuẫn là động lực phát triển toán học
Trong khi phát triển nhận thức duy vật biện chứng về lịch sử, Mac và Ăng-ghen đã
chứng minh được khoa học, trong đó có toán học, không những phát sinh mà luôn phát triển
trên cơ sở vật chất nhất định, đó là thực tiễn đời sống, hoạt động sản xuất, và những vấn đề

của các khoa học khác.
Đi ngược lại lịch sử toán học, ta thấy nhu cầu so sánh các tập hợp người lao động và
công cụ lao động, phân chia sản phẩm săn bắn … nảy sinh số đếm, nhu cầu đo đạt ruộng đất ở
sông Nil sau mỗi trận lụt làm hình học hình thành và phát triển… Nhu cầu nghiên cứu vận
động, trước hết là vận động cơ học, làm nảy sinh phép tính vi phân rồi tích phân.
Mâu thuẫn trong nội bộ toán học thúc đẩy việc mở rộng và hoàn thiện toán học.
Tóm lại, toán học xuất hiện và phát triển không phải do nhu cầu nào khác, mà là nhằm
giải quyết những vấn đề thực tiễn đặt ra và đòi hỏi các công cụ từ toán học.
Đơn cử là việc ra đời số phức. Ví dụ khi giải phương trình bậc ba (x-1)(x 2+x+1) = 0 thì
ta có ngay nghiệm là 1. Và phương trình bậc hai có hệ số âm thì vô nghiệm. Tới đây thì ta
chưa thấy mâu thuẫn gì. Nhưng ta hãy xét phương trình sau:
x3 - x = 0
(*)
Rõ ràng phương trình trên có 3 nghiệm là: -1; 0; 1. Nhưng khi giải bằng phương pháp
Cardino ta thấy:
Đặt x = y + z với điều kiện y.z=1/3 thì (*) trở thành
y3 + z3 = 0
Đặt Y = y3 và Z = z3 thì ta có:
Y+Z=0 và Y.Z= 1/27
Do đó Y, Z là nghiệm phương trình X2+1/27 =0
Rõ ràng phương trình cuối này vô nghiệm nên phương trình (*) là vô nghiệm (mâu
thuẫn).
Chính mâu thuẫn này là cơ sở nghĩ đến việc chấp nhận căn bậc hai của số âm và làm
nảy sinh số phức.
Quy luật mâu thuẫn cũng đã góp phần thay đổi thế giới quan và định hướng phương
pháp luận cho các nhà toán học. Họ thấy rõ sự thống nhất biện chứng giữa những khuynh
hướng phát triển khoa học trái ngược nhau (chẳng hạn đặc biệt hóa và khái quát hoá), những
trường hợp khác nhau (chẳng hạn n ≤ 4 và n > 4)… để tìm ra con đường giải quyết mâu
thuẫn, thúc đẩy sự phát triển tiến lên của toán học.
Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn thông qua những bài báo và công trình nghiên cứu khoa học

của mình đều thừa nhận: chính tư duy biện chứng đã giúp ông rất nhiều trong nghiên cứu toán
14


học và ngược lại các kết quả nghiên cứu cũng đã củng cố rất nhiều thế giới quan duy vật biện
chứng ở ông.
Lịch sử toán học cũng đã chứng tỏ trước Lobasepxki có nhiều người tìm cách chứng
minh tiên đề Euclide bằng phản chứng. Họ phủ nhận tiên đề Euclide với hi vọng sẽ tìm ra
mâu thuẫn. Nhưng họ không tìm ra mâu thuẫn logic mà chỉ phát hiện ra những sự kiện kỳ
quái trái với trực giác và rút lui. Trái lại, Lobasepxki có những nhận thức về không gian nên
cho rằng những điều kỳ quái đó không tồn tại trong cuộc sống đời thường nhưng có thể tồn tại
trong vũ trụ bao la đã chứng minh sau này. Abel chứng minh sự không giải được bằng căn
thức của các phương trình đại số bậc

n>4

. Galois không chịu dừng ở đó nên cuối cùng đã

đưa ra tiêu chuẩn khiến ta thấy rõ mâu thuẫn mà thống nhất giữa 2 trường hợp

n>4

n ≤ 4

và

và kết quả là lý thuyết Galois ra đời.
Mâu thuẫn được giải quyết thì mâu thuẫn mới được hình thành làm cho toán học phát
triển không ngừng.
2.4. Cái chung - cái riêng; phủ định của phủ định là cơ sở các phát minh toán học

Các phát minh toán học là sự mở rộng cái riêng và là sự phủ định biện chứng.
Ví dụ trong không gian Topo (X,T), người ta đưa vào thêm khái niệm khoảng cách,
metric, ta được không gian Metric (X,d); đưa vào khái niệm chuẩn, được không gian định
.
chuẩn (X, ).
Phát minh toán học còn là sự phủ định biện chứng. Chẳng hạn, sự ra đời hình học
Lobasepxki- Bolya là sự phủ định tiên đề V của hình học Euclide, giữ lại các tiên đề khác.
Khi nhìn nhận ba góc độ mở rộng toán học có ý nghĩa vô cùng to lớn trong công tác
nghiên cứu toán học. Xin nêu lên một vài ví dụ:
Đối với mở rộng hoàn toàn. Những vấn đề đúng với cái riêng thì cũng đúng với cái
chung vừa được mở rộng nên không cần nghiên cứu lại. Chỉ nghiên cứu các vấn đề có ở cái
chung.
Ví dụ, những tính chất có trong tập số thực R cũng có trong tập số phức do vậy cần
nghiên cứu những tính chất trong tập số phức mà tập số thực không có- đó là những vấn đề
liên quan đến căn bậc chẵn của số ảo…
Đối với sự thu hẹp tương đối. Cần nghiên cứu những vấn đề trên cái riêng vừa được thu
hẹp. Ví dụ, trên không gian metric (X,d), những vấn đề đúng trong không gian Topo thì đúng
trong Metri, do đó cần nghiên cứu những cái liên quan đến metric d.
Đối với phủ định biện chứng, cần nghiên cứu những vấn đề liên quan đến cái mới vừa
được phủ định.
Ví dụ, hình học Lobasepxki, chỉ nghiên cứu những vấn đề liên quan tiên đề V’.
Một cái riêng có thể là trường hợp đặc biệt của nhiều cái chung khác nhau.
Ví dụ ta có thể xem hình thoi là trường hợp đặc biệt của hình bình hành nếu nhìn hình
thoi dưới góc độ có hai cặp cạnh đối song song, ta cũng có thể xem nó là tứ giác có hai đường
chéo vuông góc nếu nhìn nó dưới góc độ đường chéo.v.v…
Trong nghiên cứu và giảng dạy cần nhìn đối tượng dưới nhiều góc độ khác nhau. Đây là
yêu cầu rất quan trọng, qua đó rèn luyện óc sáng tạo vì mỗi góc độ sẽ mở ra một hướng
nghiên cứu khác nhau.
Một cái chung đem đặc biệt hoá từng bộ phận khác nhau, bằng những cách khác nhau
sẽ cho những cái riêng khác nhau.

Ví dụ, tứ giác đem đặc biệt hoá các tính chất khác nhau của cạnh và góc được hình
thang, hình bình hành, hình chữ nhật v.v…Cho một cạnh triệt tiêu hoặc một góc dần đến 180 0
được tam giác. v.v…
Qua nghiên cứu trên, xin mạnh dạn đề xuất quy trình của một mở rộng toán học gồm
chín bước sau:
1) Phân tích cái riêng cần mở rộng ra thành các bộ phận.
15


2) Nhìn các bộ phận theo nhiều góc độ khác nhau.
3) Lập các tổ hợp khác nhau về cách nhìn từng bộ phận, mỗi tổ hợp cho ta một cách
nhìn về cái riêng mà ta muốn mở rộng
4) Mỗi cách nhìn từng bộ phận cho ta một hướng mở rộng. Từ đó đề xuất các giả thuyết.
5) Bằng trực giác loại bỏ những giả thuyết sai (nếu có).
6) Đem ứng dụng những giả thuyết chưa loại bỏ vào một số trường hợp đặc biệt, nếu sai
thì loại bỏ tiếp.
7) Điều chỉnh, bổ sung giả thuyết, nếu cần có thể áp dụng lại bước 6.
8) Chứng minh các giả thuyết ở bước 7, nếu đúng thì có một mở rộng, nếu chưa chứng
minh được thì tiếp tục nghiên cứu (quay lại 7)
9) Nếu sau bước 7, tất cả giả thuyết đều bị bát bỏ thì không nên nản lòng, quay lại 4
(thậm chí 1) để tìm sai sót và tiếp tục tiến trình.
Ví dụ mở rộng định lý “ba đường trung tuyến của một tam giác đồng quy”.
Bước 1: Phân tích cái riêng thành các bộ phận.
1) Một tam giác
2) Ba trung tuyến
3) Quan hệ đồng quy của ba trung tuyến.
Bước 2: Nhìn dưới nhiều góc độ khác nhau.
1. Nhìn tam giác:
- Một tứ giác có một cạnh triệt tiêu.
- Một tứ giác có một góc 1800

- Một lục giác có ba cạnh khác không xen kẻ với ba cạnh bằng không
- Cái tương tự tứ diện trong không gian (cạnh tam giác là mặt tứ diện)
- Cái tương tự tam diện trong không gian (cạnh tam giác là mặt tam diện, đỉnh tam giác
là cạnh tam diện)
2. Nhìn trung tuyến. Trung tuyến là đường thẳng nối đỉnh tam giác với trung điểm cạnh
đối diện do đó khái niệm này ẩn ba khái niệm:
a) Đỉnh tam giác:
- Trung điểm của một cạnh bằng không
- Đỉnh tương tự cạnh tam diện.
b) Trung điểm một cạnh:
- Trọng tâm của cạnh; Trọng tâm hai đầu mút của cạnh; Tâm vòng tròn không chiều
trong không gian một chiều.
- Là cái tương tự phân giác trong của một góc (mặt tam diện)
c) Đường thẳng nối đỉnh với trung điểm cạnh đối diện: tương tự với mặt phẳng nối một
cạnh của tam diện với phân giác trong của mặt đối diện.
3) Nhìn sự đồng quy.

Định nghĩa 1: Ba đường thẳng AD, BE, CF gọi là “cắt nhau/S” nếu diện tích tam giác
MNL là S.
Do vậy, đồng quy là “cắt nhau/0”

16


k1 =

DB
EC
FA
; k2 =

; k3 =
DC
EA
FB

Định nghĩa 2: Gọi
, ta có “ba đường thẳng AD, BE, CF
gọi là “k-cắt nhau” nếu k1.k2.k3 = k.
Do vậy, đồng quy là “1- cắt nhau”
Bước 3: Phát biểu các dạng khác nhau của đinh lý theo các cách nhìn ở 1, 2, 3.
1) Trong một lục giác có ba cạnh bằng không xen kẻ với ba cạnh khác không thì các
đường thẳng nối trung điểm hai cạnh đối đồng quy.
2) Cho ba điểm D,E, F theo thứ tự chia cạnh BC,CA,AB theo tỉ lệ -1 thì đường thẳng
AD,BE,CF sẽ “1-cắt nhau”.
3) Trong một tam giác ba đường thẳng nối ba đỉnh theo thứ tự với ba trọng tâm của các
cạnh đối diện đồng quy.
4) Trong một tam giác, ba đường thẳng nối mỗi đỉnh với trọng tâm cạnh còn lại đồng
quy.
5) Trong mộ tam giác, ba đường thẳng nối mỗi đỉnh tam giác với tâm đường tròn không
chiều đối diện đồng quy.
Bước 4: Những giả thuyết mở rộng định lý.
1) Trong một lục giác,ba đường thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện đồng quy.
2) Nếu ba điểm D,E,F theo thứ tự chia các cạnh BC,CA,AB theo tỉ lệ k 1,k2,k3 thì ba
đường thẳng AD,BE,CF “ -k1k2k3 cắt nhau”.
3) Trong tứ diện, các đường thẳng nối bốn đỉnh theo thứ tự với trọng tâm của bốn mặt
đối diện đồng quy.
4) Trong tứ diện, các đường thẳng nối bốn đỉnh theo thứ tự với trọng tâm của chu vi bốn
mặt đồng quy.
5) Trong tứ diện, các đường thẳng nối bốn đỉnh với tâm vòng tròn ngoại tiếp bốn mặt tứ
diện đồng quy.

Sau đó, dùng kiến thức toán học để là những bước còn lại.
2.5. Thực tiễn và vấn đề chính xác hoá toán học
Thực tiễn là tiêu chí chính xác hoá toán học.
Con đường nhận thức theo triết học Mác- Lênin là “Từ trực quan sinh động đến tư duy
trừu tượng, từ tư duy trừu tượng trở về với thực tiễn” . Thực tiễn Là khâu cuối cùng và là tiêu
chí khách quan nhất để kiẻm chứng mọi tri thức khoa học, trong đó có toán học. Ở đây có
nhiều vấn đề cần xem xét:
Nếu lý thuyết toán học ra đơi phù hợp với nội bộ toán học (đã được thực tiễn kiểm
nghệm là đúng) hay phù hợp với thực tiễn cuộc sống, phù hợp với các khoa học khác, thì
không ngần ngạy gì, có thể khẳng định ngay là lý thuyết đó đúng.
Nhưng vấn đề đặt ra là lý thuyết ấy ra đời nội bộ toán học và các khoa học chưa thể trả
lời ngay nó đúng hay sai thì sao? Ở đây ta cần xem xét lại một tí, đừng vội chủ quan mà đánh
giá, hãy nhớ lại hình học Lobasepxki, khi mới ra đời có ai hiểu được? Vậy thì tiêu chuẩn đánh
giá là gì? Xin mạnh dạn khẳng định rằng: “một lý thuyết toán học dù có kỳ quặc đến đâu
chăng nữa đều có quyền tồn tại, miễn là nó được suy ra một cách chặt chẽ, phù hợp với
logic. Ta biết rằng logic chính là từ thực tiễn mà ra, nên phù hợp với logic sẽ hứa hẹn một
sự phù hợp với thực tiễn nào đó nhưng mà hiện nay chưa ai biết và rồi tương lai sẽ có
người biết”.
Một lý thuyết thật sự khoa học thì phải khách quan, có như vậy mới chính xác. Nếu có
hai hay nhiều lý thuyết nói về cùng một vấn đề thì lý thuyết nào diễn tả đúng đắn hơn thì
chính xác hơn.

17


CHƯƠNG IV – MỐI LIÊN MINH GIỮA TOÁN HỌC VÀ THẾ GIỚI
QUAN DUY VẬT BIỆN CHỨNG
1. Sự cần thiết của mối liên minh giữa toán học và thế giới quan duy vật
biện chứng
1.1. Toán học phải vận dụng tư duy lý luận

Những thành tựu mà toán học hiện đại đạt được đã buộc nó chuyển sang lĩnh vực lý
luận, triết học, buộc nó phải vận dụng tư duy lý luận và các nhà toán học dù muốn hay không
đều phải tiến tới các kết luận chung về mặt lý luận.
Những thành tựu của khoa học tự nhiên gần đây cho thấy bất kỳ nhà khoa học nào dù
muốn hay không đều phải tiến tới các kết luận chung về mặt lý luận. Nền lý luận vững chắc
của toán học cũng như tất cả các ngành khoa học khác chỉ có thể là triết học duy vật biện
chứng vì nó là phương pháp luận chung nhất của nhận thức khoa học.
Với ý nghĩa ấy, toán học muốn phát triển buộc phải vận dụng tư duy triết học duy vật
biện chứng vào quá trình nghiên cứu cũng như dạy và học toán học. Các nhà toán học cũng
phải là những nhà triết học thông thái.
Những nhà toán học dù có thái độ thế nào đi nữa thì họ cũng vẫn bị triết học chi phối.
Vì vậy, vấn đề là họ phải được trang bị một triết học duy nhất đúng đắn - triết học duy vật
biện chứng để được hướng dẫn một con đường đúng đắn đi tới đích một cách nhanh nhất. Các
nhà toán học phải liên hệ chặt chẽ, bắt tay góp sức cùng với các nhà duy vật chống lại những
quan điểm duy tâm sai lầm.
Mỗi khi toán học đạt được thành tựu nào đó, nó phải tiến tới các kết luận chung về lý
luận để minh họa, làm phong phú thêm, sâu sắc thêm những quan điểm triết học.
Theo F.Enggen, tư duy lý luận của mỗi thời đại, tức là kể cả tư duy lý luận của thời đại
chúng ta, là một sản phẩm lịch sử mang những hình thức rất khác nhau trong những thời đại
rất khác nhau, và do đó có một nội dung rất khác nhau. Thế cho nên cũng như bất kỳ khoa học
nào khác, khoa học về tư duy là một khoa học lịch sử, là khoa học về sự phát triển lịch sử của
tư duy con người. Điều đó có một ý nghĩa quan trọng ngay cả với việc ứng dụng thực tế tư
duy vào lĩnh vực kinh nghiệm. Bởi vì trước hết, lý luận về các quy luật của tư duy hoàn toàn
không phải là một chân lý vĩnh viễn một khi đã có là cứ mãi mãi không thay đổi.
1.2. Thế giới quan duy vật luôn luôn chi phối các nhà toán học
Dù những nhà toán học có thái độ như thế nào đi chăng nữa thì họ cũng vẫn bị triết học
chi phối. Vấn đề là ở chỗ, họ muốn bị chi phối bởi một thứ triết học sai lầm hay họ muốn
được hướng dẫn bởi một hình thái tư duy lý luận dựa trên sự hiểu biết về lịch sử tư tưởng và
những thành tựu của nó.
Những nhà khoa học tưởng rằng họ thoát khỏi triết học khi họ không để ý đến nó hoặc

phỉ báng nó. Nhưng vì rằng không có tư duy thì họ không thể tiến được một bước, và muốn tư
duy thì họ cần phải có những phạm trù logic, mà những phạm trù ấy thì họ tiếp thu một cách
không phê phán, hoặc trong cái ý thức chung, thông thường của những người gọi là có học
thức, cái ý thức bị thống trị bởi những tàn tích của những hệ thống triết học đã lỗi thời.
F.Enggen trong tác phẩm “Chống Đuyrinh”, NXB Sự thật, Hà Nội, 1960, tr.60 đã khẳng
định: “Một quan niệm vừa biện chứng vừa duy vật về tự nhiên đòi hỏi người ta phải thông
thạo toán học và khoa học tự nhiên”
Triết học muốn xây dựng các quan điểm của mình thì không được tồn tại một cách đơn
độc mà tài liệu của nó được phân bố trong các ngành khác nhau của khoa học trong đó có vai
trò quan trọng của toán học. Vì vậy, một chứng minh về mặt triết học có thể hiểu theo hai
nghĩa hoặc là đối chiếu những tiền đề triết học với các quy luật đã được xác định của các
ngành khoa học khác nhau hoặc là thể nghiệm việc vận dụng lý luận đó.
Do đó “một quan niệm vừa biện chứng, vừa duy vật về tự nhiên đòi hỏi người ta phải
thông thạo toán học và khoa học tự nhiên. Triết học không hề có quyền được tồn tại đơn độc.

18


Nó thu thập các tài liệu của mình từ trong các ngành khác nhau của khoa học thực chứng”
theo Nguyễn Hữu Vui, về mối quan hệ giữa triết học và khoa học tự nhiên, trang 196.
1.3. Sự liên minh giữa các nhà toán học và các nhà triết học duy vật biện chứng là
một yêu cầu cấp bách đồng thời là một tất yếu lịch sử của thời đại
Thế giới đang phát triển với một tốc độ như vũ bão đặt ra vô số vấn đề cần phải giải
quyết. Nhu cầu thực tiễn ấy đòi hỏi các ngành khoa học cũng phải phát triển kịp thời để đáp
ứng. Vì vậy, sự liên minh giữa các nhà toán học và các nhà triết học duy vật biện chứng là
một yêu cầu cấp bách đồng thời là một tất yếu lịch sử của thời đại.
Sự liên minh ấy cũng cho thấy rằng, một điều không kém phần quan trọng đó là những
đại biểu của các nhà toán học hiện đại cần phải có can đảm để bảo vệ và truyền bá chủ nghĩa
duy vật, chống những quan điểm triết học duy tâm chủ nghĩa và hoài nghi chủ nghĩa duy vật.
Nếu không làm tròn nhiệm vụ ấy một cách triệt để thì chủ nghĩa duy vật không thể đứng

vũng được. Các nhà bác học lớn cũng sẽ bất lực trong những kết luận và khái quát triết học
của họ vì khoa học tự nhiên đang tiến bộ nhanh, đang trải qua một thời kỳ đảo lộn cách mạng
sâu sắc trong tất cả mọi lĩnh vực, đến nỗi nó tuyệt đối không thể không cần đến những kết
luận triết học.
Theo V.I.Lênin, Về tác dụng của chủ nghĩa duy vật chiến đấu. Toàn tập, trang 33, nhà
xuất bản sự thật, Hà Nội, “…Chúng ta cần hiểu rằng nếu không có một cơ sở triết học vững
vàng, thì tuyệt nhiên không có khoa học tự nhiên nào hay chủ nghĩa duy vật nào có thể chống
nổi sự lấn bước của những tư tưởng tư sản và sự phục hồi của thế giới quan tư sản. Muốn
đương đầu được trong cuộc đấu tranh ấy và đưa nó đến thành công, nhà bác học phải là một
nhà duy vật hiện đại, một đồ đệ tự giác của chủ nghĩa duy vật mà Mác là người đại diện,
nghĩa là nhà bác học ấy phải là một nhà duy vật biện chứng”.
Không lúc nào trong thời đại chúng ta, mối quan hệ biện chứng giữa các ngành trí tuệ
lại khăng khít như vậy mà bề ngoài tưởng chừng như có vẻ rất khó hiểu. Ví dụ, có ai ngờ phép
đếm nhị phân lại liên quan chặt chẽ với dịch thuật thông qua máy tính.
Vấn đề quan trọng của triết học trong toán học là vấn đề quan hệ giữa cấu trúc toán học
rất trừu tượng và thực tiễn hiện thực.

2. Đòi hỏi áp dụng phương pháp duy vật biện chứng đối với việc nghiên
cứu, dạy và học toán học.
Đổi mới phương pháp dạy và học toán học đang là vấn đề được đặt ra cấp bách đối với
ngành giáo dục và được sự quan tâm của toàn xã hội. Đổi mới phương pháp dạy và học toán
cũng là một trong những vấn đề lớn vì chúng ta đều biết rằng toán là một môn học vô cùng
quan trọng đối với mọi học sinh và chiếm thời lượng lớn trong chương trình phổ thông.
Mặc dù bộ đã chỉnh lý sách giáo khoa và thay đổi phương pháp dạy nhưng cách dạy
toán phổ biến hiện nay đa phần giáo viên đưa kiến thức (khái niệm, định lý) rồi giải thích,
chứng minh; trò cố gắng tiếp thu nội dung khái niệm, nội dung định lý, hiểu chứng minh định
lý, cố gắng tập vận dụng các công thức, các định lý càng nhiều càng tốt. Nhiều học trò giỏi
thường thắc mắc không biết giả thiết và kết luận của các bài toán ở đâu mà ra, ai nghĩ ra đầu
tiên và làm thế nào mà nghĩ ra được. Nhà trường không hề dạy cho họ cách “phát hiện vấn
đề” để tự đề xuất ra các bài toán nên khi họ làm xong bài toán, chân trời của họ ít được mở

rộng.
Thay đổi cách dạy và học hiện nay là đặt người học ở vị trí trung tâm, tự mình phát hiện
ra vấn đề, giải quyết vấn đề và đánh giá kết quả đã đạt được. Có thế qua lao động tìm tòi, sáng
tạo ấy, không những tư duy của họ được phát triển mà họ còn có thêm lòng tự tin, sự hứng
thú, ham muốn tìm tòi sáng tạo. Giáo viên lúc này đóng vai trò hướng dẫn quá trình lao động
ấy. Nhưng thực tế thì thời gian không cho phép giáo viên thực hiện cách dạy học này.

19


CHƯƠNG V – VẬN DỤNG MỐI QUAN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ
THẾ GIỚI QUAN DUY VẬT BIỆN CHỨNG VÀO NGHIÊN CỨU VÀ
GIẢNG DẠY TOÁN HỌC
1. Vận dụng “mâu thuẫn” vào nghiên cứu và giảng dạy toán học
1.1. Trong công tác nghiên cứu toán học
Phát hiện và giải quyết mâu thuẫn. Nghiên cứu toán học không có nghĩa là tự bản thân
nhà toán học nghĩ ra điều gí đó mới lạ, mà vấn đề nghiên cứu phải bắt nguồn từ mâu thuẫnđó là những bài toán học mà thực tiễn cuộc sống đang đặc ra cũng như những vấn đề mà nội
bộ toán học đang bế tắc.
Nói như thế không có nghĩa là ngồi chờ thực tiễn cần gì, nội bộ toán học cần gì thì ta sẽ
giải quyết điều đó. Cần có cái nhìn biện chứng, tự thân phủ định và tạo mâu thuẫn trong toán
học.
Mâu thuẫn được giải quyết không có nghĩa là kết thúc nghiên cứu. Khi bài toán đặt ra
được giải quyết, dưới cái nhìn biện chứng không cho phép nhà toán học dừng lại mà phải tiếp
tục nghiên cứu. Khi đó có thể trả lời những câu hỏi sau:
1) Có cách nào giải quyết tối ưu hơn?
2) Có thể mở rộng hay không?
3) Nếu phủ định một hoặc một số kết quả trung gian thì có những hướng phát triển nào
khác?
4) Thu hẹp kết quả sẽ như thế nào? v.v…
1.2. Trong công tác giảng dạy toán học

Đổi mới phương pháp dạy học đang là vấn đề cấp thiết thật sự được nhiều người quan
tâm. Trong giảng dạy giáo viên cần tạo ra được mâu thuẫn đó là mâu thuẫn trong nội bộ nhận
thức của học sinh.
Việc học tập của học sinh là quá trình tái phát minh (reinvention) lại kiến thức đã có,
dưới sự dẫn dắt của người thầy, do đó giáo viên cần tạo mâu thuẫn qua đó tạo động cơ giúp
cho học sinh có nhu cầu tìm hiểu kiến thức và có nhu cầu tự tìm kiếm kiến thức. Ở đây xin
đưa ra phương pháp dạy học giải quyết vấn đề qua các bước sau:
Bước 1: Tạo tình huống gợi vấn đề (tạo mâu thuẫn trong nhận thức).H
Bước 2: Trình bày vấn đề và đặt mục tiêu giải quyết vấn đề.
Bước 3: Giải quyết vấn đề
Bước 4: Thể thức hoá vấn đề và kết luận.
Xin nêu ra một số phương pháp tạo vấn đề (tạo mâu thuẫn trong giảng dạy)
1) Quan sát thí nghiệm và hình thành dự đoán.
2) Lật ngược vấn đề
Ví dụ, sau khi học định lý “nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x 0 thì liên tục tại x0”.
Giáo viên lật ngược vấn đề: “nếu hàm số liên tục tại x0 thì nó có đạo hàm tại x0 không?”
3) Quy nạp tương tự
Trong tam giác vuông ABC, đường cao AH, ta có
1
1
1
=
+
2
2
AH
AB
AC 2
Trong tứ diện ABCD vuông tại A, đường cao AH (tứ diện tương tự tam giác là có đỉnh ít
1

1
1
1
=
+
+
2
2
2
AH
AB
AC
AD 2
nhất) ta có:
hay không?
4) Khái quát hoá.
5) Phát hiện sai lầm và nguyên nhân sai lầm.
6) Ví dụ và phản ví dụ....
20


2. Vấn đề mở rộng toán học trong giảng dạy
Trong giảng dạy, giáo viên cần tập cho học sinh làm quen với mở rộng toán học, qua đó
giúp học sinh làm quen với những mở rộng trong toán nói riêng và trong khoa học nói chung.
Ví dụ, xét về cân bằng lực, thì trung điểm đoạn thẳng tương tự trọng tâm tam giác và
tương tự trọng tâm tứ diện. Do đó có mở rộng sau:
Đoạn thẳng AB
→ Tam giác ABC
→ Tứ diện ABCD
(2 điểm)

(3 điểm)
(4 điểm)
x A + xB + xC
xA + xB
x A + xB + xC + xD



x
=
x
=
x
=
G
M
G




3
2
4



y
+
y

y
+
y
+
y
y A + y B + yC + yD

B
B
C
y = A
y = A
 yG =
G
 M

2
3

4

z A + zB + zC + z D

 zG =
4


3. Vận dụng nội dung và hình thức vào nghiên cứu và giảng dạy toán
học
Dựa vào mối liên hệ giữa nội dung và hình thức, chúng ta có thể áp dụng trong xây

dựng hệ thống bài tập.
Dưới một nội dung (bài tập), giáo viên có thể tìm ra nhiều hình thức khác nhau để diễn
tả nội dung đó. Sau đó, căn cứ vào tình hình của lớp mà lựa chọn hình thức cho phù hợp.
Ví dụ, từ nội dung: sin2x = 2.sinx.cosx (1) giáo viên có thể yêu cầu học sinh làm những
chứng minh sau:
1) sin4x = 4.sinx.cosx.cos2x (nhân hai vế cho 2cos2x)
sin8x = 8.sinx.cosx.cos2x.cos4x (nhân hai vế cho 2cos4x)
v.v….
sin2nx = 2n.sinx.cosx.cos2x.cos4x…..cos(nx)
(2)
2) Tính giá trị biểu thức:
A = sin10.sin20.sin40
(nhân 2 vế cho 2cos10 rồi áp dụng (1))
3) Giải phương trình:
sinx.cosx.cos2x.cos4x…..cos(nx) = 1/2n
(áp dụng (2))
v.v…..

4. Thực tiễn và vấn đề chính xác hoá toán học trong nghiên cứu và giảng
dạy
4.1. Trong nghiên cứu
Đối với những ai mới bắt đầu nghiên cứu toán học cũng đều có tâm lý lo sợ, sợ rằng vấn
đề đó có người làm rồi, sợ kết quả ấy có đúng không… chính vì thế rất ngần ngại, kết quả là
làm giảm sự sáng tạo. Vì vậy:
1) Muốn biết kết quả tìm ra như thế nào, không nhất thiết phải do bản thân chứng minh,
mà đôi khi phải do cộng đồng khoa học đánh giá.
2) Vấn đề có thể không mới, nhưng nếu kết quả rộng hơn thì thực tiễn sẽ chấp nhận.
4.2. Trong công tác giảng dạy
Nghiên cứu và giảng dạy tuy là hai lĩnh vực rất khác nhau, nhưng hổ trợ cho nhau.
Nghiên cứu sẽ giúp cho giảng dạy tốt hơn, và qua giảng dạy sẽ giúp kết quả nghiên cứu đi vào

thực tiễn. Do vậy, trong công tác giảng dạy, nhất là đối với học sinh phổ thông, cần chú ý:
1) Lý thuyết đi đôi với thực hành.
- Lý thuyết được giảng dạy cho các em theo hướng tái phát minh (reinvention) những
kiến thức mà nhân loại đã có, do đó, khi dạy, giáo viên cần chú ý rèn kỉ năng vận dụng thông
qua giải bài tập, qua đó tính đúng đắn của lý thuyết được các em tự kiểm chứng.

21


- Việc vận dụng vào thực tiễn ở trường phổ thông hiện nay chỉ dừng lại ở việc giải bài
tập, chưa có vận dụng vào lao động sản xuất, do đó, giáo viên cần tìm ví dụ và phản ví dụ một
cách sư phạm để giúp học sinh thấy được khả năng ứng dụng trong thực tế.
Ví dụ, khi học về giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, giáo viên cần liên hệ
trong thực tế như chia tài sản, chia ruộng.…
Khi học về hệ bất phương trình nhiều ẩn, giáo viên cần liên hệ bài toán tối ưu….
2) Từ thực tiễn mà xây dựng nên lý thuyết
Để thấy được vai trò của thực tiễn đặt ra đối với toán học, giáo viên cần xây dựng
hướng học tập quy nạp, đi từ yêu cầu thực tiễn mà xây dựng nên lý thuyết dựa vào những kiến
thức đã có.
Ví dụ, từ vấn đề thực tiễn là cần đo một đầm lầy rộng lớn, không thể kéo dây từ A đến
B, phương pháp gì để đo?

Giáo viên liên hệ, giải thích và đưa yêu cầu cho học sinh giải quyết. Bằng cách xây
dựng một tam giác....

22


KẾT LUẬN
Từ việc nghiên cứu các vấn đề trên, ta có thể rút ra một số vấn đề sau đây:

Toán học các đại lượng bất biến là cơ sở cho sự ra đời của chủ nghĩa duy vật máy móc,
siêu hình. Nó có ý nghĩa tích cực đối với sự phát triển của khoa học ở giai đoạn đầu tiên. Nó
cũng góp phần khẳng định thế giới quan duy vật, chống lại thế giới quan tôn giáo – kinh viện.
Toán học các đại lượng biến đổi, trước hết là tư tưởng vận động, là một trong các nguồn
gốc đẻ ra tư duy biện chứng và là cơ sở khoa học để hình thành và luận chứng cho thế giới
quan duy vật biện chứng trong giới tự nhiên vô sinh.
Toán học hiện đại hoàn thiện một cách sâu sắc thế giới quan duy vật biện chứng trong
các lĩnh vực tự nhiên, xã hội và tư duy. Nó góp phần củng cố hoàn thiện và phát triển thế giới
quan duy vật biện chứng.
Đồng thời cũng phải thấy rằng, mặc dù toán học mang tính độc lập tương đối của tư duy
trừu tượng và hình thức, thế giới quan duy vật biện chứng luôn luôn là thế giới quan khoa học
và phương pháp luận đúng đắn cho sự phát triển của toán học.
Vai trò định hướng của thế giới quan duy vật là vô cùng lớn và tác động trở lại của toán
học cũng không thể phủ nhận. Bài học rút ra cũng vô cùng phong phú và có giá trị cho bản
thân. Tuy còn nhiều vấn đề đọng lại chưa được giải quyết và sẽ tiếp tục được giải quyết sau
này, nhưng với kết quả bước đầu giúp cho bản thân có cái nhìn khác về triết học. Việc đưa
triết học vào giảng dạy là thật sự cần thiết và hữu dụng, không những trang bị thế giới quan và
phương pháp luận đúng đắn cải tạo thế giới mà còn phục vụ đắc lực cho công tác chuyên
môn.
Việc trang bị thế giới quan và phương pháp luận duy vật biện chứng là hết sức cần thiết,
không những giúp người học, người dạy có lập trường chính trị rõ ràng, có tư duy khoa học,
mà còn giúp giải đáp những câu hỏi đặt ra cho nhà nghiên cứu. Nắm vững tư duy biện chứng
giúp giáo viên có thể trả lời những câu hỏi, những băn khoăn của học sinh: “Toán học vì sao
ra đời? Tại sao lại có công thức này, công thức kia? Tại sao vấn đề này giống vấn đề kia?”....

23


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. PGS, TS. Đoàn Quang Thọ; PGS, TS. Trần Văn Thụy; TS. Phạm Văn Sinh; PGS,

TS. Đoàn Đức Hiếu; PGS, TS. Vũ Tình; TS. Nguyễn Thái Sơn; TS. Lê Văn Lực;
TS. Dương Văn Thịnh (2008), GIÁO TRÌNH TRIẾT HỌC (dùng cho học viên cao
học và nghiên cứu sinh không chuyên ngành Triết học), Nxb. Chính trị - hành chính,
Hà Nội, tr. 273-288.
2. Lê Văn Đoán (2007), VAI TRÒ CỦA CÁC KÝ HIỆU TOÁN HỌC TRONG NHẬN
THỨC KHOA HỌC, Tạp chí Triết học.
(Một số tài liệu tham khảo khác được dẫn từ các nguồn khác nhau trên internet không rõ
tên tác giả)

24