Các phương pháp tính tích phân và những vấn đề liên quan khi dạy học tích phân_unprotected

Header Page 1 of 166.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG
---------------------------------------

PHẠM NGỌC HIẾU

CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
VÀ NHỮNG VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KHI DẠY HỌC TÍCH PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội – Năm 2016

1

Footer Page 1 of 166.


Header Page 2 of 166.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG
---------------------------------------

PHẠM NGỌC HIẾU – C00445

CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
VÀ NHỮNG VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KHI DẠY HỌC TÍCH PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
CHUYÊN NGÀNH: PHƢƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
MÃ SỐ: 60 46 01 13

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC : TS VŨ ĐÌNH PHƢỢNG

Hà Nội – Năm 2016

2

Footer Page 2 of 166.

Thang Long University Library


Header Page 3 of 166.

LỜI CẢM ƠN
Luận văn đƣợc hoàn thành dƣới sự chỉ dẫn tận tình của thầy hƣớng dẫn
và sự trợ giúp của các thầy cô ở khoa Toán – Tin trƣờng Đại Học Thăng Long
Hà Nội.
Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo, TS Vũ Đình Phƣợng đã tận tình
giảng dạy, chỉ bảo và ủng hộ trong suốt quá trình làm luận văn của tôi.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng đào tạo cùng các thầy
cô ở khoa Toán – Tin Trƣờng Đại Học Thăng Long Hà Nội và các bạn học
viên lớp Cao Học Toán Bắc Giang đã giúp đỡ, động viên ủng hộ tôi trong
suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Tôi xin cảm ơn Ban Giám Hiệu, tổ chuyên môn Toán – Tin, các đồng
nghiệp Trƣờng trung học phổ thông Yên Dũng số 1 Bắc Giang đã tạo điều
kiện, giúp đỡ, động viên tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.

Tác giả

Phạm Ngọc Hiếu

3

Footer Page 3 of 166.


Header Page 4 of 166.

BẢN CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan về tính trung thực, hợp pháp của luận văn. Các kết
quả, số liệu trong luận văn là trung thực không sao chép ở các tài liệu khác.
Tác giả

Phạm Ngọc Hiếu

4

Footer Page 4 of 166.

Thang Long University Library


Header Page 5 of 166.

MỤC LỤC
Trang
Mở đầu…….………………………………………………………………...6

Chƣơng 1. HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN..………………………….8
1.5. Nguyên hàm…….……………….……………..……………………8
1.6. Tích phân…………………………………………………………...10
1.7. Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng……………………..14
1.8. Ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay…………………...14
Chƣơng 2. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN…………………..16
2.1. Phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng..................................................16
2.2. Phƣơng pháp đổi biến số..................................................................16
2.3. Phƣơng pháp tích phân từng phần.....................................................20
Chƣơng 3. MỘT SỐ VẤN ĐỀ THƢỜNG GẶP KHI DẠY TÍCH PHÂN..27
3.1. Dạng 1. Tính tích phân bằng công thức............................................27
3.2.Dạng 2. Tích Phân của các hàm số có mẫu chứa tam thức bậc hai....28
3.3. Dạng 3. Tích phân của hàm phân thức hữu tỉ....................................41
3.4. Dạng 4. Tích phân của hàm số lƣợng giác........................................56
3.5. Dạng 5. Tích phân của hàm số vô tỉ..................................................80
3.6. Dạng 6. Tích phân của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.................92
3.7. Dạng 7. Một số tích phân của hàm đặc biệt......................................94
3.8. Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng..................................96
3.9. Ứng dụng tích phân tính thể tích của khối tròn xoay......................101
3.10. Một số sai lầm thƣờng gặp khi giải toán tích phân.......................104
3.11. Giải bài toán tích phân bằng nhiều cách khác nhau......................108
3.12. Bài tập vận dụng………………………………………………....113
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ............................................................120
DANH MỤC SÁCH THAM KHẢO.........................................................121
5

Footer Page 5 of 166.


Header Page 6 of 166.

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Ở phổ thông thì nguyên hàm, tích phân là một mảng kiến thức rất quan
trọng trong chƣơng trình giải tích 12 nói riêng và trong toàn bộ chƣơng trình
toán phổ thông nói chung. Các bài toán về tích phân thƣờng xuyên xuất hiện
trong các đề thi Đại Học - Cao đẳng trƣớc đây và trong kì thi trung học phổ
thông Quốc Gia hiện nay.
Tuy nhiên trong nhiều năm dạy học tích phân tôi thấy học sinh thƣờng
rất khó tiếp cận kiến thức về nguyên hàm, tích phân. Thực tế tích phân ở phổ
thông không quá phức tạp mà do các em thiếu kĩ năng giải toán, qua đó dẫn
đến những sai lầm cơ bản. Hơn nữa mỗi một bài tập học sinh thƣờng chỉ tìm
ra một lời giải trong khi bài đó có nhiều cách giải và các cách giải đó có thể
áp dụng cho những bài toán khác.
Hiện nay, có rất nhiều tài liệu viết về đề tài nguyên hàm tích phân và các
tài liệu tham khảo đó đã đƣa ra đầy đủ các dạng toán, nhƣng chƣa chú trọng
tới những bài toán với nhiều các giải khác nhau, hệ thống bài tập từ dễ đến
khó, qua đó chƣa phát triển đƣợc năng lực cho mọi đối tƣợng học sinh trong
quá trình dạy học. Vì vậy tôi chọn đề tài: “Các phƣơng pháp tính tích phân và
những vấn đề liên quan khi dạy học tích phân’’
với mong muốn giúp học sinh tiếp cận các bài toán về tích phân một cách chủ
động và dễ dàng hơn.
2. Mục đích nghiên cứu
+ Hệ thống hoá lại kiến thức, dạng bài tập tích phân và các phƣơng pháp
giải.
+ Đƣa ra hệ thống bài tập để luyện thi Đại học và bồi dƣỡng học sinh
giỏi.
+ Xây dựng một số bài toán giải bằng nhiều cách khác nhau.
6

Footer Page 6 of 166.

Thang Long University Library


Header Page 7 of 166.

+Đƣa ra một số sai lầm thƣờng gặp của học sinh khi giải toán tích phân.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
+ Học sinh trung học phổ thông
+ Các dạng và phƣơng pháp giải tích phân dùng dể luyện thi trung học
phổ thông Quốc gia và bồi dƣỡng học sinh giỏi.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
+ Nghiên cứu lí luận.
+ Điều tra quan sát.
+ Thực nghiệm giảng dạy.
5. Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm 3 chƣơng:
Chƣơng 1. Hệ thống lại kiến thức cơ bản
+ Hệ thống các định nghĩa, định lí, tính chất của nguyên hàm, tích phân.
Chƣơng 2. Các phƣơng pháp tính tích phân
+ Trình bày lại các phƣơng pháp tính tích phân trong sách giáo khoa giải
tích 12.
+ Đƣa ra một số dạng tích phân giải bằng phƣơng pháp tích phân tƣng
phần thƣờng gặp.
Chƣơng 3. Một số vấn đề thƣờng gặp khi dạy học tích phân.
+ Đƣa ra một số dạng tích phân thƣờng gặp và phƣơng pháp giải.
+ Đƣa ra một số bài toán tích phân giải bằng nhiều cách khác nhau.
+ Đƣa ra một số sai lầm thƣờng gặp của học sinh khi giải toán tích phân.
+ Đƣa ra một số bài tập áp dụng.

7

Footer Page 7 of 166.


Header Page 8 of 166.

CHƢƠNG 1. HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1.NGUYÊN HÀM
1.1.1. Định nghĩa
Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F đƣợc gọi là nguyên hàm của f
trên K nếu F '  x  f  x với mọi x thuộc K.
1.1.2. Một số định lí
Định lí 1
Giả sử hàm số F là một nguyên hàm của hàm số f trên K. Khi đó
a) Với mỗi hằng số C, hàm số y = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f
trên K;
b) Ngƣợc lại, Với mỗi nguyên hàm G của f trên K thì tồn tại một hằng số C
sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K.
+ Từ định lí 1 ta thấy nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì mọi nguyên
hàm của f trên K đều có dạng F(x) + C với C  R . Vậy F(x) + C với C  R là
họ tất cả các nguyên hàm của f trên K, kí hiệu  f  x  dx .
Vậy

 f  x  dx  F  x   C,C  R.

Định lí 2
Nếu f,g là hai hàm số liên tục trên K thì
a)   f  x   g  x dx   f  x  dx   g  x  dx;

b)   f  x   g  x dx   f  x  dx   g  x  dx;

c) Với mọi số thực k  0 ta có:  kf  x  dx  k  f  x  dx.
1.1.3. Bảng tính nguyên hàm cơ bản
Hàm số f(x)

Họ nguyên hàm F(x)+C

a (hằng số)
x ,   1

ax + C
x 1
C
 1
8

Footer Page 8 of 166.

Thang Long University Library


Header Page 9 of 166.

1
x
ex
a x , a  0

ln x  C

ex  C
ax
C
ln a
 cos x + C
sin x + C
 cot x  C

sin x
cos x
1

sin 2 x
 1

   1
(ax  b) ,  
 a  0 


1
, a  0 
ax  b
eax b ,  a  0 

1 (ax  b)
a
 1



C

1
ln ax  b  C
a
1 ax b
e
C
a
1
 cos(ax  b)  C
a
1
sin(ax  b)  C
a
1
tan(ax  b)  C
a

sin  ax  b  , a  0 
cos  ax  b  , a  0 
1

, a  0 
cos (ax  b)
1
, a  0 
sin2 (ax  b)
2

1
 cot(ax  b)  C
a

1.1.4. Bổ đề 1.1
1
1.1.4.1. 
dx  ln x  x 2  a 2  C;
2
2
x a
1.1.4.2.

x

1
x2  a2

dx 

1 a  x 2  a 2
ln
 C , a  0;
a
x

b
1.1.4.3.  ln(ax  b)dx  ( x  )ln(ax  b)  x  C , a  0.
a

Chứng minh.

9

Footer Page 9 of 166.


Header Page 10 of 166.

1.1.4.1. Ta có



ln x  x  a  C



2

2

1
x a
2

2



/




x  x2  a2
x  x2  a2



x

1

x  a2 
x  x2  a2

1

2

x2  a2

dx  ln x  x 2  a 2  C.
/

 1 a  x 2  a 2
 1

1.1.4.2. Ta có
ln

C 
ln a  x 2  a 2  ln
 a

x
a





1 
x
1  1  x 2  a x 2  a 2  x 2  a 2



a  x 2  a 2 a  x 2  a 2
x  a  x x 2  a 2 a  x 2  a 2





a a  x 2  a 2
1 
1


a  x x 2  a 2 a  x 2  a 2  x x 2  a 2




















x



/









1 a  x 2  a 2

dx  ln
 C.
a
x
x x2  a2
1.1.4.3. Ta có
1

/


b

b a

x

ln(
ax

b
)

x


C

ln(
ax

b
)

x

 1  ln(ax  b)






a
a  ax  b



b
  ln(ax  b)dx  ( x  )ln(ax  b)  x  C.
a
1.2. TÍCH PHÂN
1.2.1. Định nghĩa
Cho hàm số f liên tục trên K và a,b là hai số bất kì thuộc K. Nếu F là một
nguyên hàm của hàm số f trên K thì hiệu số F(b) – F(a)
b

Đƣợc gọi là tích phân của hàm số f từ a đến b và kí hiệu là

 f ( x)dx.
a

b

Trong trƣờng hợp a < b, ta gọi

 f ( x)dx tích phân của f trên đoạn [a; b].
a

Ngƣời ta còn kí hiệu F  x a để chỉ hiệu số F(b) – F(a). Nhƣ vậy ta có
b

10

Footer Page 10 of 166.

Thang Long University Library


Header Page 11 of 166.

b



f  x dx  F  x a  F b  F a (Công thức NewTon – Leibniz).

b

a
1

1

Ví dụ 1.2.1.  x

2015

0

x 2016
1
dx 

.
2016 0 2016

1.2.2. Các tính chất của tích phân
Giả sử các hàm số f, g liên tục trên K và a, b, c là các số bất kì thuộc K.
Khi đó ta có:
a

1.2.2.1.

 f (x)dx  0;
a

b

1.2.2.2.

 f ( x)dx   f ( x)dx;

a
b

1.2.2.3.

a
b

c

b

 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x )dx;
a
b

a

c

b

b

a

a

1.2.2.4.   f ( x )  g( x ) dx   f ( x )dx   g( x )dx;
a
b

b

a

a

1.2.2.5.  k. f ( x )dx  k . f ( x )dx với k  R;
1.2.2.6. Tích phân của hàm số trên  a; b  cho trƣớc không phụ thuộc vào
biến số, nghĩa là :

b

b

b

a

a

a

 f ( x)dx   f (t)dt   f (u)du  ...;

1.2.2.7. Nếu f(x) liên tục trên  a; b  và f ( x )  0 x [a; b] thì

b

 f ( x )dx  0;
a

1.2.2.8. Nếu f(x) liên tục trên  a; b  , f ( x )  0 x [a; b] và f(x) không đồng
b

nhất bằng 0 trên [a; b] thì

 f ( x)dx  0;
a

1.2.2.9. Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên  a; b  và
f ( x )  g( x ) x  a;b thì

b

b

a

a

 f ( x)dx   g( x)dx;

11

Footer Page 11 of 166.


Header Page 12 of 166.

1.2.2.10. Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên  a; b  ,
f ( x )  g( x ) x  a;b và f  x  , g  x  không đồng nhất với nhau trên [a; b]
thì

b

b

a

a

 f ( x)dx   g( x)dx;

1.2.2.11. Nếu f(x) liên tục trên  a; b  và m  f ( x )  M ( m,M laø hai haèng soá)
b

thì m(b  a)   f ( x )dx  M (b  a);
a

1.2.2.12. Nếu hàm số f  x  liên tục trên [a; b] thì

b

b

a

a

 f  x  dx   f  x  dx.

1.2.2.13. Bổ đề 1.2.1. Nếu f ( x) chẵn và liên tục trên đoạn [-a; a] thì
a

a

a

0

 f ( x)dx  2 f ( x)dx.

Chứng minh.
a

Ta có:

0

a

a

0

 f  x  dx   f  x dx   f  x  dx

a

0

Tính I 

 f  x dx

a

Đặt x  u  dx  du, x  a  u  a , x  0  u  0.
a

a

a

0

0

 I   f  u  du   f  u  du   f  x  dx
0



a

a

a

0

 f  x  dx  2 f  x  dx.

1.2.2.14. Bổ đề 1.2.2. Nếu f ( x) chẵn và liên tục trên đoạn [-a, a] thì
a

a

f ( x)
a c x  1 dx  0 f ( x)dx.
Chứng minh:
Đặt x  u  dx  du, x  a  u  a , x  a  u  a.
a
a
a
a
a
f  x
f  u 
f u  u
f u  u
f u 

 x
dx   u
du   u
c du   u
c  1 du   u
du

c 1
c 1
c 1
c 1
c 1
a
a
a
a
a

12

Footer Page 12 of 166.

Thang Long University Library


Header Page 13 of 166.

f  x
dx;
cx  1

a

a



a

f  u  du  



a

a
a
a
a
f  x
f  x
 2 x
dx   f  u  du  2 f  u  du   x
dx  f  x  dx .
c

1
c

1
a

a
0
a
0
1.2.2.15. Bổ đề 1.2.3. Nếu f ( x) lẻ và liên tục trên đoạn [-a, a] thì
a

a

 f ( x)dx  0.

a

Chứng minh:
Đặt x  u  dx  du, x  a  u  a , x  a  u  a.
a



a

a

a

a

a

 f  x dx   f  u du    f u du    f  x dx;

a

a

a

 2  f  x dx  0 
a

a

 f  x dx  0.

a

1.2.2.16. Bổ đề 1.2.4. Nếu f ( x) xác định, liên tục trên R và
f  x  T   f  x  , x  R thì :

a T



T

f ( x)dx   f ( x)dx , ( a  R ).

a

0

Chứng minh:
a T

0

T

a T

a

a

0

T

 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx

Ta có:

a T

 f  x  dx

Tính

T

Đặt x  u  T  dx  du, x  T  u  0 , x  a  T  u  a.


a T

a

T

0

a

a

 f  x  dx   f u  T  du  f u  du   f  x  dx.

Vậy

0

0

a T

0

T

a

T

a

a

0

0

0

 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  f  x  dx.

1.2.2.17. Bổ đề 1.2.5. Nếu f ( x) liên tục trên đoạn [a; b] và thoả mãn:
ab
f (a  b  x)  f ( x), x [a;b] . Khi đó ta có  xf ( x)dx 
f ( x)dx.

2
a
a
Chứng minh:
b

13

Footer Page 13 of 166.

b


Header Page 14 of 166.

Đặt x  a  b  u  dx  du, x  a  u  b , x  b  u  a.
b

b

b

  xf  x dx    a  b  u  f  a  b  u  du    a  b  u  f u du
a

a

a

b

b

a

a

b

b

a

a

  a  b   f  u  du   uf  u du   a  b   f  x  dx   xf  x dx;

ab
 2 xf  x dx   a  b   f  x  dx   xf  x dx 
f  x  dx.

2
a
a
a
a
1.3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1.3.1. Diện tích hình thang cong
Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong giới
b

b

b

b

b

hạn bởi các đƣờng y  f  x  ,x  a,x  b và trục hoành là S   f  x  dx .

a

1.3.2. Diện tích hình phẳng
1.3.2.1. Trường hợp 1
Cho hai hàm số f  x  và g  x  liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình
phẳng giới hạn bởi các đƣờng y  f  x  , y  g  x  ,x  a,x  b là
b

S   f  x   g  x  dx .
a

1.3.2.2. Trường hợp 2
Cho hai hàm số f  x  và g  x  liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình
β

phẳng giới hạn bởi các đƣờng y  f  x  , y  g  x  là S   f  x   g  x  dx .
α

Trong đó ,  là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phƣơng trình
f  x  g  x , a  α  β  b .
1.4.ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÕN XOAY
1.4.1. Trƣờng hợp 1
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng
y  f ( x )  0 x   a;b , y  0 , x  a và x  b  a  b  quay quanh trục Ox
b

là V  π  f 2  x  dx .
a

1.4.2. Trƣờng hợp 2

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng

14

Footer Page 14 of 166.

Thang Long University Library


Header Page 15 of 166.

x  g( y )  0 y   c;d  , x  0 , y  c và y  d (c  d) quay quanh trục
d

Oy là V   g2 (y)dy .
c

1.4.3. Trƣờng hợp 3
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng
y  f  x  , y  g  x  , x  a và x  b ( a  b, f ( x )  0,g( x )  0 x   a; b  )
b

quay quanh trục Ox là V  π  f 2 ( x )  g 2 ( x ) dx .
a

1.4.4. Trƣờng hợp 4
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng
x  f  y ,x  g  y , y  c và
y  d (c  d, f(y)  0, g(y)  0 y   c; d ) quay quanh trục Oy là
d

V   f 2 (y)  g2 (y) dy .
c

15

Footer Page 15 of 166.


Header Page 16 of 166.

CHƢƠNG 2. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
2.1. PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƢƠNG ĐƢƠNG
Phƣơng pháp. Biến đổi tích phân sau đó sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản.
2

Ví dụ 2.1.1. Tính I  
1

x2  1
dx.
x

Giải:
2

2

1

1

 x2


1
 3
1 

I    x   dx    ln x  2  ln 2    ln1   ln 2.

 2

 2
 2
x
π
2

Ví dụ 2.1.2. Tính J   sin 2x 1  cos x dx.
0

Giải:
π
2

π
2



sin x  sin3x 
J    sin 2x  sin 2x cos x dx   sin 2x 
dx


2
0
0
π
2

π

1
1
cos 3x  2 5
  2 sin 2x  sin x  sin3x dx   cos 2x  cos x 
  .
2 0
2 
3  0 3
1

Ví dụ 2.1.3. Tính I   x x 2  1dx.
0

1

1

1 2
1 2
x  1dx 2  
x  1d  x 2  1 
Giải: I  
2
2
0
0

x

2

 1

3

1



3

2 2 1
.
3

0

2.2. PHƢƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
b

2.2.1. Dạng 1: Tính I   f [t(x)].t' (x)dx bằng cách đặt u  t  x  .
a

t (b )

b

Công thức đổi biến số dạng 1:

 f t ( x).t '( x)dx  
a

f (u )du.

t (a)

Cách thực hiện:
16

Footer Page 16 of 166.

Thang Long University Library


Header Page 17 of 166.

Bƣớc 1: Đặt u  t ( x)  du  t ' ( x)dx;

Bƣớc 2: Đổi cận: Khi x  b  u  t (b) . Khi x  a  u  t (a);
Bƣớc 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta đƣợc
b

t (b )

a

t (a)

I   f t ( x).t '( x)dx 



f (u )du. (Tiếp tục tính tích phân mới).

1

Ví dụ 2.2.1.1. Tính I   x 2 x 3  5dx.
0

Giải: Đặt u  x3  5  du  3x2dx, x  0  u  5 , x  1  u  6.
6

1
2
2
12 6  10 5
Từ đó đƣợc I   udu  u u  6 6  5 5 
.

35
9
9
9
5
6





Ví dụ 2.2.1.2. Tính các tích phân sau:
e2

1

a) A    2x  1 dx;

b) B  

5

e

0

2

c) C  
1

1

 2x  1

2

d) D 

dx;



 cos  3x 
π
3

Giải: a) Đặt u  2 x  1  dx 
3

2π
3

1
dx;
xln x
2π 
 dx.
3 

du
, x  0  u  1 , x  1  u  3.
2

3

1
u6
1
182
A   u 5 du 
  36  1 
.
21
12 1 12
3

b) Đặt u  ln x  du 

dx
, x  e  u  1, x  e2  u  2.
x

2

du
2
 lnu 1  ln 2  ln1  ln 2.
u
1

B

c) Đặt u  2 x  1  dx 

du
, x  1  u  1, x  2  u  3.
2

17

Footer Page 17 of 166.

.


Header Page 18 of 166.

3

3

1 du
1
1 1 1
C  2 
   .
21u
2u 1
6 2 3

d) Đặt u  3x 

1
D
3

2π
du
π
π
2π
4π
 dx  , x   u  , x 
u  .
3
3
3
3
3
3

4π
3

4π

3
1
1  4π
π  1

3
3
3
cosudu

sinu
  sin
 sin    


.

π
π
3
3
3
3  3 2
2 
3
3
3

Ví dụ 2.2.1.3. Tính các tích phân sau
1

a) I   e

1

4 x dx
.
x
x
4

2
0

b) I1  

e  1dx;

2x

x

0

Giải:

e x  1  u  e x  u 2  1  e x dx  2udu,
x  0  u  2 , x  1  u  e  1.

a) Đặt

e 1

I 2

 u

2

e 1

 1 u du  2

 u

2

2

 u5 u3 
 2  
5 3

4

 u 2  du

2
e1



2

 e  1  3e  2   4

3

15

2

b) Đặt u  2 x  du  2 x ln 2dx  2 x dx 

2

.

du
.
ln 2

Khi x  0  u  1 , khi x  1  u  2.
2
2
2
2
1
udu
1 u 2du
1
du 3
1
ln 9 1
3
I1 




ln
u

1

 .


3
3



1
ln 2 1 u 2  1 ln 2 1 u  1 3ln 2 1 u  1 3ln 2
ln8 3
u
b

2.2.2. Dạng 2: Tính I   f  x  dx bằng cách đặt x  φ  t  .
a

b

β

a

α

Công thức đổi biến số dạng 2: I   f ( x)dx   f (t ) '(t )dt.
Cách thực hiện:
Bƣớc 1: Đặt x  φ(t )  dx  φ' (t )dt;
Bƣớc 2: Đổi cận : Khi x  b  t   , khi x  a  t   ;
Bƣớc 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta đƣợc
18

Footer Page 18 of 166.

Thang Long University Library


Header Page 19 of 166.

b

β

a

α

I   f ( x)dx   f  φ(t ) φ '(t )dt , tiếp tục tính tích phân mới.

Ví dụ 2.2.2.1. Hãy tính các tích phân sau:
2

1

1
dx.
2
1

x
0

a) I   4  x dx;

b) J  

2

0

Giải:
 π π
a) Đặt x  2sin t với t    ;   dx  2cos tdt ,
 2 2
π
x  0 thì t  0 , x  2 thì t  .
2
π
2

π
2

π
2

π
2
0

I   4  4 sin t .2costdt  4  cos tdt  2  1  cos 2t  dt   2t  sin 2t   π
2

2

0

0

0

1
π
 π π
b) Đặt x  tan t với t    ;   dx 
dt , x  0  t  0 , x  1  t 
2
4
cos t
 2 2
π
4

π
4

π
1
1
π
4 
J 
dt

dt

t
.
0
0
1  tan 2 t cos 2 t
4
0



Ví dụ 2.2.2.2. Tính: I   x cos 2 xdx.
0

Giải:
Đặt x    t  dx  dt , x  0  t   , x    t  0.








I     t  cos   t  dt     t  cos tdt    cos tdt   t cos 2 tdt
2

2

0





2

0





1  cos 2t dt   x cos
2
0

2

xdx 

0





0





2 0

1  cos 2t dt  I ;




sin 2t 
2
2
 2 I   1  cos 2t dt   t 


I


.

20
2
2 0
2
4

2

sin 2 x
dx.
sin x  cos x
0

Ví dụ 2.2.2.3. Tính I  
Giải:

19

Footer Page 19 of 166.

0


Header Page 20 of 166.



1 2 sin 2 x
I
dx
2 0 sin  x   


4




3
Đặt x  t   dx  dt , x  0  t  , x   t  .
4
4
2
4

3
3


4 sin  2t 
1
1 4 cos 2t
2

I
dt



dt
sin t
2 
2  sin t
4



1
2

3
4




4
3
4

3
4

4

4

2sin t  1

1
dt  2  sin tdt 
sin t
2

2

4
3
4

dt

 sin t .

3
4

Tính A  2  sin tdt   2 cos t   2;


4

4

Tính
B

1
2

3
4





dt
1

sin t
2

4
3
4

3
4





sin tdt
1


sin 2 t

2

4

3
4

d cos t
1


2

2
 1  cos t

3
4

4

4

1 
1
1  cos t
 1


ln


d cos t  

2 2   1  cos t 1  cos t 
2 2 1  cos t
1

4

1 
2 1
2 1
1
 ln
ln
 ln

2 2
2 1
2 1 
2
1
Vậy I  A  B  2 
ln 2  1 .
2








d cos t
1  cos t 1  cos t 



3
4


4



2 1 ;



2.3. PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
2.3.1. Công thức tích phân từng phần
b

 u( x).v '( x)dx  u  x  v  x 
a

b
a

b

b

b

  v( x).u '( x)dx hay là  udv  uv a   vdu.
b

a

a

a

2.3.2. Cách thực hiện

20

Footer Page 20 of 166.

Thang Long University Library


Header Page 21 of 166.

u  u ( x)
du  u '( x)dx
Bƣớc 1: Đặt 


dv  v '( x)dx v  v( x)
b

b

Bƣớc 2: Thay vào công thức tích phân từng từng phần :  udv  uv a   vdu;
b

a

a

b

Bƣớc 3: Tính uv a và  vdu.
b

a
b

Chú ý: Giả sử cần tính tích phân

 f  x  g  x  dx ta thực hiện
a

Đặt u  f ( x ), dv  g( x )dx (hoặc ngƣợc lại) sao cho dễ tìm v( x ) và vi
b

phân du  u ( x )dx không quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân  vdu phải tính
/

a

đƣợc.
2.3.3. Dạng 1:

 f ( x )g(x)dx . Trong đó f ( x) là đa thức còn g(x) là một trong

các hàm: sin(ax  b),cos(ax  b),e( axb ) , m

( ax  b )

, a  0.

Phƣơng pháp giải.

u  f  x 
Đặt 
dv  g  x  dx
π
4

Ví dụ 2.3.3.1. Tính J   x sin xdx.
0

Giải:


u  x
du  dx

Đặt 





dv

sin
xdx



v  cos x
π

π
4

J  xcos x 04   cos xdx  
0

π
π 2
π 2
2
 sin x 04  

.
8

8
2



Ví dụ 2.3.3.2. Tính I   x 2 cos 2 2 xdx.
0

21

Footer Page 21 of 166.


Header Page 22 of 166.

Giải:
du  2 x
2

u  x


Đặt 
1
sin 4 x 
2
dv

cos
2

xdx


v  2  x  4 











1
sin 4 x 
3
1
 2 x sin 4 x 
I  x x
  x 2dx   x sin 4 xdx.
   x 
dx 
2
4 0 0
4 
2 0
40
2



x3
Tính A   x dx 
3
0





2

0

3
3

.



Tính B   x sin 4 xdx.
0

du  dx
u  x



Đặt 
cos 4 x
dv  sin 4 xdx v  

4






x cos 4 x
1
 sin 4 x

B
  cos 4 xdx   
 .
4
40
4
16 0
4
0
Vậy I 

3
2



3
3




16



3
6




16

.

Nhận xét: +) Trong dạng này nếu f  x  có bậc n thì ta phải sử dụng tích
phân từng phần n lần.
+) Ta phải đặt u  f  x  vì sau mỗi lần đặt bậc của f  x  giảm một đơn vị.
Nếu ta đặt ngƣợc lại thì bậc của f  x  tăng lên và nhƣ vậy tích phân thu đƣợc
phức tạp hơn tích phân ban đầu.
2.3.4. Dạng 2:



f  x g  xdx Trong đó f ( x) là hàm đa thức hoặc hàm phân

thức hữu tỉ còn g  x là một trong các hàm: ln  ax  b  ;log n  ax  b  , a  0 .

22

Footer Page 22 of 166.

Thang Long University Library


Header Page 23 of 166.

u  g  x 
Phƣơng pháp giải. Đặt 
dv  f  x  dx
e

Ví dụ 2.3.4.1. Tính J   xln xdx.
1

Giải:


1


du  dx



u  ln x 
x

Đặt 


2


x

dv  x

v


2


e

e

e

x2
x
e2 x 2
e2 e2 1 e2  1
J  ln x   dx  

   
.
2
2
2
4
2
4
4
4
1
1
1

3  ln x
dx (Đại Học-Khối B-2009).
( x  1 )2
1

3

Ví dụ 2.3.4.2. Tính I  
Giải:

3  ln x
dx
ln x
I 
dx  3


dx.
2
2
2
(
x

1)
(
x

1)
(
x

1)
1
1
1
3

3

3

3

dx
3
3



.
Tính A  3
2
(
x

1
)
(
x

1
)
4
1
1
3

3

ln x
dx.
2
(
x

1
)

1

Tính B  

1

u  ln x
du

dx


x
dx  
Đặt 
dv 
1
2

1  x  v   x  1

3
3
3
3
ln x
dx
ln 3
dx
dx

B


 
x  1 1 1 x( x  1)
4 1 x 1 x 1
3

ln 3
x
ln 3
3

 ln

 ln .
4
x 11
4
2

23

Footer Page 23 of 166.


Header Page 24 of 166.

Vậy I 

3 ln 3
3

 ln .
4 4
2

Nhận xét: Trong bài này ta đặt u  ln x vì u , 

1
từ đó ta thu đƣợc tích phân
x

của hàm phân thức hữu tỉ.
2.3.5. Dạng 3:  a mxn f  x dx,  a  0  . Trong đó f  x  là một trong các hàm
sin(k x  b),cos(k x  b) .

Phƣơng pháp giải.
mx  n

u  a
Đặt 
hoặc đặt
dv

f
x
dx







u  f  x 

mx  n

dv  a dx


2

Ví dụ 2.3.5. Tính I   e2 x cos3xdx.
0

Giải:
du  2e2 x dx
u  e

Đặt 

sin 3x
dv  cos3xdx v 
3

2x





sin 3x 2 2 2 2 x
I e

e sin 3xdx.
3 0 3 0
2x



sin 3x 2
e
Tính A  e
 .
3 0
3
2x


2

Tính B   e2 x sin 3xdx.
0

du  2e2 x dx
u  e2 x

Đặt 


cos3x
dv  sin 3xdx v  
3


24

Footer Page 24 of 166.

Thang Long University Library


Header Page 25 of 166.





cos3x
2 2 2x
1 2
B  e
  e cos3xdx   I .
3 0 30
3 3
2

2x

2

e 2 4
13
e 2
9  e 2 
 I  A  B     I  I     I     .
3
3 9 9
9
3 9
13  3 9 
Nhận xét: Trong trƣờng hợp này, ta phải tính tích phân từng phần hai lần sau
đó trở thành tích phân ban đầu. Từ đó suy ra kết quả tích phân cần tính.
2.3.6. Dạng 4:  x k f  x dx . Trong đó f  x  là một trong các hàm
cos  ln x  ,cos  log a x  ,sin  ln x  ,sin  log a x  .

Phƣơng pháp giải.

u  f  x 
Đặt 
k

dv  x dx
e

Ví dụ 2.3.6. Tính I   x 2 sin  ln x dx.
1

Giải:

1


du

cos  ln x  dx
u  sin  ln x  
x

Đặt 
3
2
v  x
dv  x dx

3
e

3

e

x
1
 I  sin  ln x    x 2 cos  ln x  dx
3
30
1
e

e

1
1
 0   x 2 cos  ln x  dx    x 2 cos  ln x  dx.
30
30
e

Tính A   x 2 cos  ln x  dx.
0

25

Footer Page 25 of 166.