Phương pháp lặp của bài toán chấp nhận tách tổng quát trong không gian Hilbert (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

HOÀNG TRUNG THÔNG

PHƯƠNG PHÁP LẶP
GIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH TỔNG QUÁT
TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số:

60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TS. NGUYỄN BƯỜNG

THÁI NGUYÊN - 2016


i

Mục lục
iii

Bảng ký hiệu
Mở đầu

1

Chương 1. Một số kiến thức bổ trợ

3

1.1

Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1
1.1.2

1.2

1.1.3 Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Hàm lồi và dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1
1.2.2

1.3

Tập lồi. Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Dưới vi phân hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Toán tử trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1
1.3.2

1.4

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Điểm bất động của ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . 13
1.4.1 Ánh xạ không giãn và điểm bất động . . . . . . . . . 13
1.4.2

Phương pháp lặp Mann tìm điểm bất động của ánh
xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Chương 2. Phương pháp lặp giải bài toán chấp nhận tách
tổng quát trong không gian Hilbert
2.1

17

Bài toán chấp nhận tách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1
2.1.2

Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18


ii

2.2

Phương pháp giải bài toán chấp nhận tách . . . . . . . . . . 22
2.2.1

Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.2
2.2.3

Sự hội tụ của phương pháp . . . . . . . . . . . . . . 27
Một ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Kết luận
Tài liệu tham khảo

40
41


iii

Bảng ký hiệu
Trong toàn luận văn, ta dùng những ký hiệu với các ý nghĩa xác định
trong bảng dưới đây:
N
tập số nguyên không âm
N∗
tập số nguyên dương
R
H

tập số thực
không gian Hilbert thực

C
∅

tập con đóng lồi của H
tập rỗng

∀x

mọi x

∃x
x, y

tồn tại x
tích vô hướng của hai véctơ x và y

x
xn → x

chuẩn của véctơ x
xn hội tụ mạnh đến x

xn
T

xn hội tụ yếu x

toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert

x

I
Jr

toán tử đồng nhất trong H
toán tử giải của T

P
lim supn→∞ xn

phép chiếu mêtric từ H lên T −1 0
giới hạn trên của dãy số {xn }

lim inf n→∞ xn

giới hạn dưới của dãy số {xn }

∂f

dưới vi phân của hàm lồi f


1

Mở đầu
Bài toán chấp nhận tách tổng quát đóng vai trò đặc biệt quan trọng
trong việc mô hình hóa nhiều bài toán ngược xuất hiện trong thực tế như

bài toán nén hình ảnh, chụp hình cộng hưởng từ, mạng nơ ron, khôi phục
ảnh. Một trong những phương pháp đã và đang được nhiều tác giả sử
dụng để giải bài toán chấp nhận tách là phương pháp chiếu trong đó cần
phải thực hiện phép chiếu mêtric lên các tập con lồi đóng của không gian
Hilbert. Tuy nhiên, việc tính ảnh của ánh xạ chiếu mêtric trên một tập lồi
đóng bất kỳ cũng không dễ thực thi. Do vậy, việc xây dựng các phương
pháp xấp xỉ điểm bất động để giải bài toán chấp nhận tách là hướng
nghiên cứu được nhiều nhà toán học quan tâm. Nhiều kết quả công bố
gần đây về phương pháp giải cho lớp bài toán này thường đòi hỏi tính liên
tục Lipschitz và hệ số Lipschitz của ánh xạ. Tuy nhiên trong thực hành
tính toán, việc tính hệ số Lipschitz thường khá phức tạp và tốn kém, dẫn
đến việc cần thiết phải cải tiến và loại bỏ điều kiện này để xây dựng các
phương pháp giải hiệu quả hơn.
Đề tài của luận văn là phương pháp lặp giải bài toán chấp nhận tách
tổng quát trong không gian Hilbert. Đây là một đề tài vừa có ý nghĩa về
mặt lý thuyết, đồng thời vừa có ý nghĩa thực tiễn cao. Nội dung của bản
luận văn được trình bày trong hai chương.
Chương 1: giới thiệu một cách hệ thống lại các định nghĩa, ví dụ và một
số tính chất quan trọng của không gian Hilbert thực.
Chương 2: trình bày phương pháp lặp giải bài toán chấp nhận tách tổng
quát trong không gian Hilbert, trình bày một số định lý hội tụ, các kết
quả cơ bản và áp dụng.
Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học – Đại học
Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS.TS. Nguyễn Bường.


2

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới thầy, người đã tận tình
hướng dẫn, giúp đỡ cho tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và

viết bản luận văn này.
Tác giả chân thành cảm ơn Lãnh đạo trường Đại học Khoa học – Đại
học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, cô giáo Nguyễn Thị
Thu Thủy cùng toàn thể các thầy cô trong trường đã giảng dạy và giúp
đỡ cho tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường.
Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K8A (khóa
2014–2016), bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã động viên, góp ý và cho
tác giả những nhận xét quý báu.
Xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 5 năm 2016
Tác giả luận văn

Hoàng Trung Thông


3

Chương 1

Một số kiến thức bổ trợ
Trong chương này, ta sẽ trình bày một số kiến thức được sử dụng trong
chương sau. Đó là nhắc lại các kiến thức cơ bản về không gian Hilbert,
các tính chất quan trọng của không gian Hilbert và giải tích lồi, trình bày
về dưới vi phân. Bên cạnh đó ta cũng sẽ nhắc lại một số toán tử trong
không gian Hilbert và phương pháp lặp Mann để tìm điểm bất động của
ánh xạ không giãn. Các kiến thức trong chương được tổng hợp từ các tài
liệu [1]–[6].
1.1
1.1.1

Không gian Hilbert
Định nghĩa

Định nghĩa 1.1.1 Cho không gian véctơ X trên trường số thực R. Tích
vô hướng xác định trong X là một ánh xạ
., . :X × X → R
(x, y) → x, y
thỏa mãn các điều kiện sau đây:
(i) x, x ≥ 0, với mọi x ∈ X, x, x = 0 ⇔ x = 0;
(ii) y, x = x, y , với mọi x, y ∈ X;
(iii) x + x , y = x, y + x , y với mọi x, x , y ∈ X;
(iv) λx, y = λ x, y với mọi x, y ∈ X, λ ∈ R.
Số x, y được gọi là tích vô hướng của hai véctơ x, y trong X.


4

Nhận xét 1.1.2 Từ định nghĩa suy ra với mọi x, y, z ∈ X, λ ∈ R:
(1) x, y + y = x, y + x, y ;
(2) x, λy = λ x, y ;
(3) x, 0 = 0.
Định nghĩa 1.1.3 Cặp (X, ., . ), trong đó X là một không gian tuyến
tính trên R, ., . là tích vô hướng trên X được gọi là không gian tiền
Hilbert thực.
Định lý 1.1.4 Mọi không gian tiền Hilbert X đều là không gian tuyến
tính định chuẩn, với chuẩn xác định bởi công thức
x =

x, x

(1.1)

Định nghĩa 1.1.5 Nếu X là không gian tiền Hilbert thực và đầy đủ đối
với chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng xác định bởi (1.1) thì X được gọi là
không gian Hilbert thực.
Định nghĩa 1.1.6 Cho H là không gian Hilbert. Dãy {xn } được gọi là
hội tụ mạnh tới phần tử x ∈ H, ký hiệu xn → x, nếu xn − x → 0 khi
n → ∞.
Định nghĩa 1.1.7 Dãy {xn } trong không gian Hilbert H được gọi là hội
tụ yếu tới phần tử x ∈ H, ký hiệu xn
với mọi y ∈ H.

x, nếu xn , y → x, y khi n → ∞

Chú ý 1.1.8
(a) Trong không gian Hilbert H, hội tụ mạnh kéo theo hội tụ yếu, nhưng
điều ngược lại không đúng.
(b) Mọi không gian Hilbert đều có tính chất Kadec-Klee, tức là nếu dãy
{xn } trong không gian Hilbert H thỏa mãn các điều kiện xn → x
và xn
x, thì xn → x khi n → ∞.
Định nghĩa 1.1.9 Cho C là tập con của không gian Hilbert H. Khi đó
C được gọi là:


5

(a) Tập đóng nếu mọi dãy {xn } ⊂ C thỏa mãn xn → x khi n → ∞, ta
đều có x ∈ C;
(b) Tập đóng yếu nếu mọi dãy {xn } ⊂ C thỏa mãn xn

ta đều có x ∈ C;

x khi n → ∞,

(c) Tập compact nếu mọi dãy {xn } ⊂ C đều có một dãy con hội tụ về
một phần tử thuộc C;
(d) Tập compact tương đối nếu mọi dãy {xn } ⊂ C đều có một dãy con
hội tụ;
(e) Tập compact yếu nếu mọi dãy {xn } ⊂ C đều có một dãy con hội tụ
yếu về một phần tử thuộc C;
(f) Tập compact tương đối yếu nếu mọi dãy {xn } ⊂ C đều có một dãy
con hội tụ yếu.
Nhận xét 1.1.10
(a) Mọi tập compact đều là tập compact tương đối, nhưng điều ngược lại
không đúng.
(b) Mọi tập đóng yếu đều là tập đóng, nhưng điều ngược lại không đúng.
Mệnh đề 1.1.11 Cho H là không gian Hilbert thực và C là một tập con
của H. Khi đó, ta có các khẳng định sau:
(a) Nếu C là tập lồi, đóng thì C là tập đóng yếu;
(b) Nếu C là tập bị chặn thì C là tập compact tương đối yếu.
Định nghĩa 1.1.12 Cho C là một tập con khác rỗng, lồi, đóng của không
gian Hilbert thực H. Ta biết rằng với mỗi x ∈ H, đều tồn tại duy nhất
một phần tử PC (x) ∈ C thỏa mãn
x − PC (x) = inf x − y
y∈C

Phần tử PC (x) được xác định như trên được gọi là hình chiếu của x lên
C và ánh xạ PC : H → C biến mỗi phần tử x ∈ H thành PC (x) được gọi
là phép chiếu mêtric từ H lên C.

6

Đặc trưng của phép chiếu mêtric được cho bởi mệnh đề dưới đây.
Mệnh đề 1.1.13 Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian
Hilbert thực H. Khi đó, ánh xạ PC : H → C là phép chiếu mêtric từ H
lên C khi và chỉ khi
x − PC (x), y − PC (x) ≥ 0 với mọi y ∈ C.
Nhận xét 1.1.14 Về phương diện hình học, với mọi y ∈ C, nếu ta gọi α
π
là góc tạo bởi các véc tơ x − PC (x) và y − PC (x), thì α ≤ .
2
1.1.2

Một số ví dụ

Ví dụ 1.1.15 Rn là không gian Hilbert thực với tích vô hướng
n

x, y =

λk α k
k=1

trong đó x = (λ1 , λ2 , . . . , λn ) và y = (α1 , α2 , . . . , αn ) và chuẩn cảm sinh
n

x

2

n

= x, x =

|αk |2 .

αk αk =
k=1

k=1

Ví dụ 1.1.16 Không gian
∞
2

l =

x = {xn }n ∈ R :

xn yn
k=1
∞

là không gian Hilbert với tích vô hướng x, y =

xn yn và chuẩn cảm
n=1

sinh

∞

|xn |2

x =
k=1

với mọi x = (xn )n∈N , y = (yn )n∈N ∈ l2 .


7

1.1.3

Một số tính chất

Định lý 1.1.17 (Bất đẳng thức Cauchy–Schwartz) Trong không gian tiền
Hilbert X, với mọi x, y ∈ X ta luôn có bất đẳng thức sau
| x, y |2 ≤ x, x . y, y

(1.2)

Chứng minh. Với y = 0 bất đẳng thức hiển nhiên đúng. Giả sử y = 0
khi đó với mọi số λ ∈ R ta đều có
x + λy, x + λy ≥ 0
tức là
x, x + λ y, x + λ x, y + |λ|2 y, y ≥ 0.
Chọn λ = −

x, y

ta được
y, y
x, x −

| x, y |2
≥ 0 ⇔ | x, y |2 ≤ x, x y, y .
y, y

Định lí được chứng minh.
Định lý 1.1.18 Giả sử {xn }n , {yn }n là hai dãy hội tụ đến a, b trong không
gian tiền Hilbert thực X. Khi đó
lim xn , yn = a, b .

n→∞

Chứng minh. Giả sử lim xn = a, lim yn = b trong không gian X. Ta sẽ
n→∞

n→∞

chứng minh lim xn , yn = a, b trong R.
n→∞

Thật vậy, ta có
| xn , yn − a, b | = | xn , yn + xn , b − xn , b − a, b |
≤ | xn , yn − b + xn − a, b |
≤ xn . yn − b + xn − a . b .


8

Vì dãy {xn }n hội tụ trong X nên tồn tại M > 0 sao cho xn ≤ M với
mọi n ∈ N. Khi đó ta có bất đẳng thức
| xn , yn − a, b | ≤ M xn . yn − b + xn − a . b .
Cho n → ∞ suy ra
lim xn , yn = a, b .

n→∞

Định lý được chứng minh.
Định lý 1.1.19 Với mọi x, y thuộc không gian tiền Hilbert X ta luôn có
đẳng thức hình bình hành sau
x+y

2

+ x−y

2

= 2( x

2

+ y 2 ).

(1.3)

Chứng minh. Với mọi x, y ∈ X, ta có
x+y

2

= x + y, x + y = x

2

+ y

2

+ x, y + y, x ,

x−y

2

= x − y, x − y = x

2

+ y

2

− x, y − y, x .

Cộng hai đẳng thức trên ta được đẳng thức (1.3).
Áp dụng đẳng thức hình bình hành cho hai véctơ x − y và x − z ta có
hệ quả sau:

Hệ quả 1.1.20 Giả sử X là không gian tiền Hilbert và x, y, z ∈ X. Khi
đó ta có đẳng thức Apollonius
2( x − y
1.2
1.2.1

2

+ x − z 2 ) = 4( x −

y+z
2

2

+ y − z 2 ).

Hàm lồi và dưới vi phân
Tập lồi. Hàm lồi

Định nghĩa 1.2.1 Cho H là một không gian Hilbert. Tập C ⊆ H được
gọi là tập lồi nếu ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ta có λx + (1 − λ)y ∈ C.
Định nghĩa 1.2.2 Một tập C ⊆ H được gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu
∀x ∈ C, ∀λ > 0 thì λx ∈ C.


9

C được gọi là nón có đỉnh tại x0 nếu C − x0 là nón có đỉnh tại 0.
Nón C có đỉnh tại x0 được gọi là nón lồi nếu C là một tập lồi, nghĩa

là ∀x, y ∈ C, ∀λ, µ > 0 thì λx + µy ∈ C.
Định nghĩa 1.2.3 Cho C = ∅ là tập lồi trong H và x ∈ C. Nón pháp
tuyến ngoài của C tại x ∈ C, nón đối cực và nón đối ngẫu của C là các
tập hợp lần lượt được kí hiệu và xác định bởi:
NC (x) := {w ∈ H : w, y − x ≤ 0, ∀y ∈ C};
C0 := {w ∈ H : w, x ≤ 0, ∀x ∈ C};
C+ := {w ∈∈ H : w, x ≥ 0, ∀x ∈ C}.
Định nghĩa 1.2.4
(i) Trên đồ thị của hàm f, kí hiệu là epif và được định nghĩa bởi công
thức
epif := {(x, r) ∈ C × R : f (x) ≤ r}.
(ii) Miền hữu hiệu của hàm f , kí hiệu domf và được định nghĩa bởi công
thức
domf := {x ∈ C : f (x) < +∞}.
Định nghĩa 1.2.5 Hàm f được gọi là chính thường nếu domf = ∅ và
f (x) > −∞ với mọi x ∈ C.
Định nghĩa 1.2.6 Hàm f được gọi là
(i) Lồi trên C nếu
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y),

∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0; 1].

(ii) Lồi ngặt trên C nếu
f (λx+(1−λ)y) < λf (x)+(1−λ)f (y),

∀x, y ∈ C, x = y, ∀λ ∈ (0; 1).

(iii) Lồi mạnh trên C với hệ số α > 0 nếu với ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0; 1) ta có
1
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − λ(1 − λ)α x − y 2 .

2


10

(iv) Lõm trên C nếu −f là hàm lồi trên C.
Nhận xét 1.2.7
(1) Nếu f là hàm lồi ngặt hay lồi mạnh trên C thì f là hàm lồi trên C.
(2) f là hàm lồi trên C nếu epif là tập lồi trong H × R.
(3) f là hàm lồi suy ra domf là tập lồi.
1.2.2

Dưới vi phân hàm lồi

Định nghĩa 1.2.8 Giả sử f là hàm lồi trên không gian Hilbert H.
(i) Phiếm hàm x∗ ∈ H được gọi là dưới đạo hàm của hàm f tại x ∈ H
nếu
x∗ , x − x ≤ f (x) − f (x) ∀x ∈ H.
(ii) Tập tất cả các dưới đạo hàm của f tại x được gọi là dưới vi phân của
hàm f tại x, kí hiệu là ∂f (x), một cách tương đương ta có
∂f (x) := {x∗ ∈ H ∗ : x∗ , x − x ≤ f (x) − f (x) ∀x ∈ H}.
(iii) Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x nếu ∂f (x) = ∅.
1.3

Toán tử trong không gian Hilbert

1.3.1

Toán tử đơn điệu

Định nghĩa 1.3.1 Cho H là một không gian Hilbert. Toán tử đơn trị
T : H → H, được gọi là toán tử đơn điệu nếu
T (x) − T (y), x − y ≥ 0,

∀x, y ∈ H.

Ví dụ 1.3.2 Cho toán tử đơn trị T xác định trên R cho bởi công thức
T (x) = x,

∀x ∈ R.

Khi đó T là toán tử đơn điệu vì với mọi x, y ∈ R, ta có
T (x) − T (y), x − y = x − y, x − y = x − y

2

≥ 0,

∀x, y ∈ R.


11

Định nghĩa 1.3.3 Toán tử đa trị T : H → 2H được gọi là toán tử đơn
điệu nếu
u − v, x − y ≥ 0,

∀x, y ∈ domT,

∀u ∈ T (x),

∀v ∈ T (y).

(1.4)

Ví dụ 1.3.4 Cho f : H → R ∪ {∞} là hàm lồi, chính thường. Ánh xạ
dưới vi phân ∂f : H → 2H của f là toán tử đơn điệu đa trị trên dom(∂f ).
Thật vậy, với mọi x, y ∈ dom(∂f ), u ∈ ∂f (x), v ∈ ∂f (y) ta có
u ∈ ∂f (x) ⇔ u, y − x ≤ f (y) − f (x),

∀y ∈ H,

v ∈ ∂f (y) ⇔ v, x − y ≤ f (x) − f (y),

∀x ∈ H.

Cộng vế với vế ta được
v, x − y − u, x − y ≤ 0
⇔ v − u, x − y ≤ 0 ⇔ u − v, x − y ≥ 0.
Vậy ∂f là toán tử đơn điệu đa trị.
Định nghĩa 1.3.5 Toán tử đơn điệu T : H → 2H được gọi là cực đại nếu
đồ thị Gr(T ) của T không là tập con thực sự của đồ thị của bất kì một
toán tử đơn điệu nào khác.
Ví dụ 1.3.6 Toán tử đa trị T : R → 2R cho bởi công thức


nếu x > 0
1
T (x) =
[0, 1] nếu x = 0



−x2 nếu x < 0
là toán tử đơn điệu cực đại.
Thật vậy, với mọi điểm M (x, y) ∈
/ Gr(T ) ta luôn tìm được điểm M0 (x0 , y0 ) ∈
−−→ −−→
Gr(T ) sao cho góc giữa hai véctơ OM và OM0 là góc tù, điều này có nghĩa
là
−−→ −−→
(x, y), (x0 , y0 ) = OM .OM0 < 0.
Do vậy T là toán tử đơn điệu cực đại.


12

1.3.2

Toán tử tuyến tính

Định nghĩa 1.3.7 Cho H1 , H2 là các không gian Hilbert. Một ánh xạ
A : H1 → H2 gọi là một ánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu:
1) A(x1 + x2 ) = Ax1 + Ax2 với mọi x1 , x2 ∈ H1 ;
2) A(αx) = αAx với mọi x ∈ H1 và với mọi số α.
Định nghĩa 1.3.8 Cho H1 , H2 là các không gian Hilbert. Một toán tử
A : H1 → H2 gọi là liên tục nếu xn → x0 luôn luôn kéo theo Axn → Ax0 .
Định nghĩa 1.3.9 Toán tử tuyến tính A : H1 → H2 gọi là bị chặn (giới
nội) nếu có một hằng số r > 0 để cho
(∀x ∈ H1 )

Ax ≤ r x

(1.5)

(để ý rằng chuẩn bên trái bất đẳng thức là chuẩn trong H2 , còn chuẩn
bên phải là chuẩn trong H1 ).
Định lý 1.3.10 Một toán tử tuyến tính A : H1 → H2 là liên tục khi và
chỉ khi nó bị chặn.
Chứng minh. Giả sử toán tử A liên tục. Trước hết ta chứng minh rằng
phải có một hằng số r để cho Ax ≤ r với mọi x có x = 1. Thật vậy,
nếu trái lại tức là
(∀n) (∃xn ) :

xn = 1, Axn > n,

xn
Axn
xn
ta có xn → 0 và Axn = A
=
> 1 trái với
n
n
n
giả thiết A liên tục. Vậy phải có r với tính chất trên.
x
Ax
Với mọi x = 0 ta có
= 1, cho nên
≤ r, do đó Ax ≤ r x .

x
x
Ngược lại, giả sử có hằng số r thỏa mãn công thức (1.5), và xn → x0 .
Ta có
thì lấy xn =

Axn − Ax0 = A(xn − x0 ) ≤ r xn − x0 → 0.
Vậy A liên tục tại x0 .
Số r ≥ 0 nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện (1.5) gọi là chuẩn của toán tử A
và được ký hiệu A . Như vậy:


13

1) (∀x ∈ H1 )

Ax ≤ A . x ;

2) Nếu (∀x ∈ H1 )
1.4
1.4.1

Ax ≤ r x thì A ≤ r.

Điểm bất động của ánh xạ không giãn
Ánh xạ không giãn và điểm bất động

Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng trong không gian Hilbert thực
H, T : C → H là một ánh xạ.
Định nghĩa 1.4.1 Ánh xạ T được gọi là

(i) Ánh xạ không giãn nếu
Tx − Ty ≤ x − y ,

∀x, y ∈ C.

(ii) Không giãn chặt nếu
Tx − Ty

2

≤ T x − T y, x − y ,

∀x, y ∈ C.

Ta thấy rằng nếu T là không giãn chặt thì T = (I + V )/2 với toán tử
không giãn V . Vì vậy toán tử không giãn chặt là một toán tử không giãn.
Chú ý rằng nếu T là không giãn thì tập điểm bất động của T , Fix(T ) là
đóng và lồi.
Bài toán 1.4.2 Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của không
gian Hilbert H, T : C → C là một ánh xạ không giãn.
Hãy tìm x∗ ∈ C : T (x∗ ) = x∗ .

(1.6)

Phần tử x∗ ∈ C thỏa mãn (1.6) được gọi là một điểm bất động của ánh
xạ T . Tập điểm bất động của T ký hiệu là Fix(T ).
Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian
Hilbert được cho bởi định lý dưới đây.
Định lý 1.4.3 Cho C là tập con lồi, đóng, bị chặn của không gian Hilbert
H và T : C → C là một ánh xạ không giãn. Khi đó, T có ít nhất một

điểm bất động.


14

Nhận xét 1.4.4 Từ tính lồi chặt của không gian Hilbert H và tính liên
tục của ánh xạ không giãn T , ta thấy nếu tập điểm bất động Fix(T ) khác
rỗng thì nó là tập lồi và đóng.
Vấn đề xấp xỉ điểm bất động của lớp ánh xạ không giãn là đề tài có
tính thời sự và thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học
trong và ngoài nước. Dưới đây, ta đề cập đến một số phương pháp xấp xỉ
tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn.
Chú ý 1.4.5 Nếu T : C → C là ánh xạ co, thì dãy lặp Picard xác định
bởi x0 ∈ C và xn+1 = T (xn ) hội tụ mạnh về điểm bất động duy nhất của
T . Tuy nhiên điều này không còn đúng đối với lớp ánh xạ không giãn.
Bổ đề 1.4.6 Giả sử T là ánh xạ không giãn trên tập con lồi, đóng, khác
rỗng C của không gian Hilbert H. Khi đó I − T là nửa đóng trên C, nghĩa
là nếu dãy {xn } ⊂ C hội tụ yếu tới x ∈ C và dãy {(I − T )xn } hội tụ mạnh
tới y thì (I − T )x = y.
Định nghĩa 1.4.7 Phép chiếu mêtric của H lên tập C, PC được xác định
bởi
PC x = arg min x − u ,
u∈C

∀x ∈ H,

có nghĩa PC x là điểm trong C với tính chất
x − PC x ≤ x − u ,

∀u ∈ C.

Ta thấy PC là không giãn chặt, đồng thời PC được đặc trưng bởi:
PC x ∈ C : x − PC x, u − PC x ≤ 0, ∀u ∈ C.
Bổ đề 1.4.8 Cho C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert H
và cho T : C → H là một ánh xạ không giãn từ C vào H. Nếu Fix(T ) = ∅,
thì Fix(T ) = Fix(PC T ).
Bổ đề 1.4.9 Cho T là một ánh xạ L-liên tục Lipschitz và η-đơn điệu
mạnh trên không gian Hilbert H. Khi đó, với µ ∈ (0, 2η/L2 ), λ ∈ (0, 1),
thì ta luôn có
T λ x − T λ y ≤ (1 − λτ ) x − y ,


15

1 − µ(2η − µL2 ) ∈ (0, 1) và T λ x = (I − λµT )x với mọi

trong đó τ = 1 −
x ∈ H.

Bổ đề 1.4.10 Cho dãy {xn } và {zn } là các dãy bị chặn trong không gian
Hilbert H sao cho
xn+1 = (1 − βn )xn + βn zn ,

n ≥ 1,

trong đó {βn } ⊂ [0, 1] thỏa mãn
0 < lim inf βn ≤ lim supβn < 1.
n→∞

n→∞

Nếu lim sup( zn+1 − zn − xn+1 n − xn ) ≥ 0, thì lim ||xn − zn || = 0.
n→∞

n→∞

Bổ đề 1.4.11 Cho {an } là dãy số thực không âm thỏa mãn điều kiện
an+1 ≤ (1 − bn )an + bn cn

với mọi n ≥ 1,

trong đó {bn }, {cn } là các dãy số thực dương thỏa mãn
∞

(i) bn ∈ [0, 1],

bn = ∞;
n=1

(ii) lim sup cn ≤ 0.
n→∞

Khi đó lim an = 0.
n→∞

1.4.2

Phương pháp lặp Mann tìm điểm bất động của ánh xạ
không giãn

Năm 1953, Mann W. R. đã nghiên cứu và đề xuất phương pháp lặp sau
x0 ∈ C là một phần tử bất kì
xn+1 = αn xn + (1 − αn )T (xn ), n ≥ 0

(1.7)

ở đây {αn } là một dãy số thực thỏa mãn α0 = 1, 0 < αn < 1, n ≥ 1,
∞

αn = ∞. Dãy lặp (1.7) được gọi là dãy lặp Mann. Mann W. R. đã
n=0

chứng minh rằng nếu dãy {αn } được chọn thỏa mãn

∞

αn = ∞, thì dãy
n=0

{xn } xác định bởi (1.7) sẽ hội tụ yếu tới một điểm bất động của ánh xạ


16

T . Chú ý rằng nếu H là không gian Hilbert vô hạn chiều thì dãy lặp (1.7)
chỉ cho sự hội tụ yếu.


17

Chương 2

Phương pháp lặp giải bài toán chấp
nhận tách tổng quát trong không
gian Hilbert
Chương này nghiên cứu bài toán chấp nhận tách tổng quát sinh bởi
ánh xạ lai ghép tổng quát và trình bày các phương pháp lặp để giải các
bài toán này. Cụ thể, một số định lý về sự hội tụ yếu của phương pháp với
việc sử dụng các ánh xạ trung bình và toán tử giải của các toán tử đơn
điệu cực đại. Phần cuối của chương nêu các áp dụng cho phương pháp lặp
Mann tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn và cho bài toán điểm cân
bằng. Các kiến thức của chương này được viết trên cơ sở tổng hợp từ các
tài liệu [7]–[13].
2.1
2.1.1

Bài toán chấp nhận tách
Phát biểu bài toán

Cho H là không gian Hilbert và C là một tập đóng lồi trong H. Toán
tử U : C → H được gọi là ngược đơn điệu mạnh (ism) nếu tồn tại hằng
số α > 0 sao cho
x − y, U x − U y ≥ α U x − U y 2 ,

∀x, y ∈ C

và những ánh xạ U như vậy được gọi là α − ism. Cho H1 , H2 là không
gian Hilbert. Cho D và Q tương ứng là hai tập lồi đóng khác rỗng của H1
và H2 . Cho A : H1 → H2 là một toán tử tuyến tính bị chặn. Khi đó bài

18

toán chấp nhận tách được phát biểu như sau:
Tìm điểm z ∈ H1 sao cho z ∈ D ∩ A−1 Q.

(2.1)

Cho ánh xạ Ai : H1 → 2H1 , 1 ≤ i ≤ m và Bj : H2 → 2H2 , 1 ≤ j ≤ n tương
ứng và toán tử tuyến tính bị chặn Tj : H1 → H2 , 1 ≤ j ≤ n.
Bài toán không điểm chung tách (xem [12]) được phát biểu như sau:
Tìm điểm z ∈ H1 sao cho z ∈

m

∩ A−1
i 0

i=1

∩

n

∩ Tj−1 (Bj−1 0)

j=1

(2.2)

−1
ở đây A−1
i 0 và Bj 0 là các tập không điểm của Ai và Bj tương ứng.

Đặt U = A∗ (I − PQ )A trong bài toán chấp nhận tách (2.1), ta có
U : H1 → H1 là toán tử ngược đơn điệu mạnh, ở đây A∗ là toán tử
đối ngẫu của A và PQ là phép chiếu mêtric từ H2 lên Q. Tiếp theo, nếu
D ∩ A−1 Q là khác rỗng, thì z ∈ D ∩ A−1 Q là tương đương với phương
trình sau:
z = PD (I − λA∗ (I − PQ )A)z

(2.3)

ở đây λ > 0 và PD phép chiếu mêtric từ H1 lên D.
2.1.2

Một số bổ đề bổ trợ

Ký hiệu N là tập các số nguyên dương, R là tập các số thực. Cho H là
không gian Hilbert với tích vô hướng ., . và chuẩn . tương ứng.
Bổ đề 2.1.1 Trong không gian Hilbert H ta có:
λx + (1 − λ)y

2

=λ x

2

+ (1 − λ y 2 ) − λ(1 − λ) x − y

2

+ y−u

2

(2.4)

2

(2.5)

với mọi x, y ∈ H, λ ∈ R và
2 x − y, u − v = x − v

2

− x−u

2

− y−v

với x, y, u, v ∈ H.
Định nghĩa 2.1.2 (xem [9]) Một không gian Hilbert H được gọi là thỏa


19

mãn điều kiện Opial, nếu
lim inf xn − u < lim inf xn − v
n→∞

với xn

n→∞

u và u = v

Đối với toán tử đơn điệu cực đại B ta có thể xây dựng một toán tử Jr
được xác định như sau
Jr ≡ (I + rB)−1 : H → D(B),
ở đây r > 0. Ta cũng biết rằng nếu B là toán tử đơn điệu cực đại thì toán
tử giải Jr là không giãn chặt và Fix(Jr ) = B −1 0 ≡ {x ∈ H : 0 ∈ Bx} với
mỗi r > 0.
Các bổ đề sau đóng vai trò quan trọng trong việc chứng minh các kết
quả cơ bản ở mục sau.
Bổ đề 2.1.3 ([11]; [12]) Cho H là một không gian Hilbert và B là một
toán tử đơn điệu cực đại trên H. Khi đó các đẳng thức sau đây là đúng
với mọi s, t > 0 và x ∈ H
s−t
Js x − Jt x, Js x − x ≥ Js x − Jt x
s
Js x − Jt x ≤

|s − t|
x − Js x
s

2

(2.6)

Bổ đề 2.1.4 Cho H là không gian Hilbert và cho E là một tập lồi đóng
khác rỗng của H. Cho {xn } là một dãy trong H. Nếu xn+1 −x ≤ xn −x
với mọi n ∈ N và x ∈ E thì {PE xn } hội tụ mạnh đến z ∈ E. Hơn thế nữa,
nếu {xn } hội tụ yếu đến x˜ ∈ E thì z = x˜.
Chứng minh. Cho n → ∞ trong bất đẳng thức
xn − PE xn , x˜ − PE xn ≤ 0,
ta nhận được
x˜ − z
vì vậy x˜ = z.

2

= x˜ − z, x˜ − z ≤ 0


20

Bổ đề 2.1.5 Cho H là không gian Hilbert và {xn } là dãy trong H. Khi
đó tồn tại một tập lồi đóng khác rỗng E ⊂ H thỏa mãn các tính chất
(i) Với mỗi x∗ ∈ E, tồn tại lim xn − x∗ ;
n→∞

(ii) Nếu dãy con {xnj } ⊂ {xn } hội tụ yếu đến x∗ , thì x∗ ∈ E.
Khi đó tồn tại x0 ∈ E sao cho xn

x0 .

Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert H và
f : C × C → R là một song hàm. Xét bài toán cân bằng sau: Tìm z ∈ C
sao cho
f (z, y) ≥ 0,

∀y ∈ C.

(2.7)

Tập tất cả các điểm z ∈ C sao cho (2.7) được thỏa mãn ký hiệu là EP (f ),
có nghĩa là:
EP (f ) = {z ∈ C : f (z, y) ≥ 0,

∀y ∈ C}.

Để giải bài toán cân bằng, ta giả thiết f thỏa mãn các tính chất sau:
(A1) f (x, x) = 0, ∀x ∈ C;
(A2) f đơn điệu, nghĩa là f (x, y) + f (y, x) ≤ 0 với mọi x, y ∈ C;
(A3) Với mọi x, y, z ∈ C, lim sup(tz + (1 − t)x, y) ≤ f (x, y);
t↓0

(A4) f (x, .) là lồi và nửa liên tục dưới với mọi x ∈ C.
Bổ đề 2.1.6 Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của H, f : C × C → R
là một song hàm thỏa mãn (A1)-(A4) , cho r > 0 và x ∈ H. Khi đó
∃z ∈ C sao cho
f (z, y) +

1
y − z, z − x ≥ 0

r

với mọi y ∈ C.
Bổ đề 2.1.7 Với r > 0, x ∈ H, xác định một toán tử giải Tr : H → C
của f xác định bởi
Tr x = {z ∈ C : f (z, y) +

1
y − z, z − x ≥ 0,
r

∀y ∈ C},

∀x ∈ H.


21

Khi đó ta có các kết luận sau:
(i) Tr là đơn trị;
(ii) Tr là không giãn chặt, nghĩa là với mọi x, y ∈ H,
Tr x − Tr y

2

≤ Tr x − Tr y, x − y ;

(iii) Fix(Tr ) = EP (f );
(iv) EP (f ) là tập đóng và lồi.
Định nghĩa 2.1.8 (xem [12]) Cho H là không gian Hilbert và C là một

tập con khác rỗng của H. Một ánh xạ T : C → H được gọi là lai ghép
tổng quát nếu tồn tại α, β ∈ R sao cho
α Tx − Ty

2

+ (1 − α) x − T y

2

≤ β Tx − y

2

2

+ (1 − β) x − y

(2.8)
với mọi x, y ∈ C. Ta gọi ánh xạ này là (α, β)-lai ghép tổng quát.
Lưu ý rằng lớp ánh xạ này chứa một số lớp các ánh xạ đã biết. Ví dụ,
lớp ánh xạ (1, 0)-lai ghép tổng quát là không giãn. Nó là ánh xạ co hẹp
khi α = 2 và β = 1, nghĩa là
2 Tx − Ty

2

≤ Tx − y

Nó cũng là lai ghép với α =

3 Tx − Ty

2

≤ x−y

2

+ T y − x 2,

∀x, y ∈ C.

3
1
và β = , nghĩa là
2
2
2

+ Tx − y

2

+ T y − x 2,

∀x, y ∈ C.

Ví dụ 2.1.9 Xét E = {x ∈ H : x ≤ 1}, D = {x ∈ H : x ≤ 2} và
C = {x ∈ H : x ≤ 3}. Xác định ánh xạ S : C → C bởi:
Sx =

0,

nếu x ∈ D,

PE x, nếu x ∈
/ D,

Ta thấy S là một ánh xạ co hẹp nhưng không liên tục.