Tính hữu hạn và tính ổn định tiệm cận của một số tập Iđêan nguyên tố (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

MÃ ĐỨC NGHỊ

TÍNH HỮU HẠN
VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN
CỦA MỘT SỐ TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

MÃ ĐỨC NGHỊ

TÍNH HỮU HẠN
VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN
CỦA MỘT SỐ TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ
Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 60.46.01.04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN HOÀNG

THÁI NGUYÊN - 2015

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung
thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng
mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các
thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Thái Nguyên, ngày 09 tháng 10 năm 2015
Người viết Luận văn
Mã Đức Nghị

i


Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ
NGUYỄN VĂN HOÀNG - Giảng viên Trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy,
người đã hướng dẫn tôi cách đọc tài liệu, nghiên cứu khoa học đúng đắn,
tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời gian, công sức hoàn
thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của: Viện
Toán học và Đại học Thái Nguyên những người đã tận tình giảng dạy và
khích lệ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập. Tôi xin cảm
ơn ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Khoa
Sau đại học, Sở GD&ĐT Hà Giang, Ban Giám hiệu trường THPT Thông
Nguyên, huyện Hoàng Su Phì, Hà Giang đã tạo mọi điều kiện thuận lợi,
giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập. Cuối cùng tôi xin cảm ơn bạn bè,
người thân đã giúp đỡ, động viên, ủng hộ tôi để tôi có thể hoàn thành tốt
khóa học của mình.
Thái Nguyên, ngày 09 tháng 10 năm 2015

Người viết Luận văn
Mã Đức Nghị

ii


Mục lục

Lời cảm ơn

ii

Mục lục

1

Mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị

4

1.1

Iđêan nguyên tố liên kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Môđun Ext . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Môđun đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4

Dãy chính quy và độ sâu của môđun . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.5

Vành và môđun phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Tính hữu hạn và ổn định tiệm cận của tập iđêan nguyên tố
liên kết của một số môđun

13

2.1

Tính hữu hạn của tập iđêan nguyên tố liên kết . . . . . . . . . . 13

2.2

Tính ổn định tiệm cận của tập iđêan nguyên tố liên kết . . . . . 22

2.3

Tính ổn định của tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối
đồng điều địa phương tại bậc d − 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Tài liệu tham khảo

33
1


Mở đầu
Cho (R, m) là vành giao hoán Noether địa phương, I là iđêan của R, và N
là R−môđun hữu hạn sinh. Năm 1992, C. Huneke [15] đã đưa ra giả thuyết
”Liệu rằng các môđun HIj (N ) chỉ có hữu hạn các iđêan nguyên tố liên kết với
mọi môđun hữu hạn sinh N và mọi iđêan I ?”. Một số câu trả lời khẳng định
được đưa ra bởi Huneke-R. Y. Sharp, và G. Lyubeznik cho các vành chính quy
địa phương đẳng đặc trưng. Sau đó, A. Singh [23] và M. Katzman [16] đã xây
dựng được các ví dụ về môđun hữu hạn sinh có một số môđun đối đồng điều
địa phương có vô hạn các iđêan nguyên tố liên kết. Bên cạnh đó, giả thuyết
này vẫn đúng trong nhiều trường hợp, chẳng hạn: Trong trường hợp môđun N
có chiều nhỏ hơn 4, T. Marley đã chỉ ra rằng AssR (HIj (N )) là tập hữu hạn với
mọi j . M.Brodmann-A.Faghani chứng minh rằng AssR (HIt (N )) là tập hữu hạn
nếu HIj (N ) là hữu hạn sinh với mọi j < t. Tiếp đó, K. Khashyarmanesh - Sh.
Salarian [17] chứng minh được rằng nếu Supp HIj (N ) là tập hữu hạn với mọi

j < t thì Ass HIt (N ) là tập hữu hạn. Năm 2005, L.T. Nhàn [22] đã định nghĩa
khái niệm dãy chính quy suy rộng, và đặc trưng được số nguyên t nhỏ nhất để
Supp HIt (N ) là tập vô hạn, số t đó là độ dài của dãy chính quy suy rộng cực đại
của N trong I và Ass(HIj (N ) là hữu hạn. Gần đây N.T. Cường - N.V. Hoàng
đã thu được kết quả mới về tính hữu hạn cho tập các iđêan nguyên tố liên kết
của một số môđun đối đồng điều địa phương, cụ thể là các định lý sau:
Định lý 1. (Cường - Hoàng [8, Theorem 1.1]) Cho (R, m) là vành địa phương
Noether, I là một iđêan của R và N là R-môđun hữu hạn sinh. Cho k ≥ −1 là
một số nguyên và r = depthk (I, N ). Nếu r < ∞ và x1 , . . . , xr là một N -dãy từ
chiều > k trong I , thì với mọi số nguyên j ≤ r, tập hợp AssR (HIj (N ))≥k là hữu
hạn. Hơn nữa, với mọi l ≤ r ta có
AssR (HIj (N ))≥k =
j≤l

AssR (N/(x1 , . . . , xj )N )≥k ∩ V (I).
j≤l

2


Mục tiêu thứ nhất của luận văn là trình bày lại một cách chi tiết chứng
minh Định lý 1 của Cường - Hoàng như đã nêu trên và trình bày chi tiết một
số hệ quả của nó.
Một vấn đề khác đã được M. Brodmann nghiên cứu năm 1979, đó là nghiên
cứu tính ổn định tiệm cận của tập các iđêan nguyên tố liên kết Ass(N/I n N )
khi n đủ lớn. Tiếp đó bài toán đã được mở rộng và được nghiên cứu bởi nhiều
nhà toán học khác, chẳng hạn: L. Melkersson [20], Melkersson - P. Schenzel
[21], Cường - Hoàng - P.H. Khánh [9]. Và gần đây Cường - Hoàng [8] và Hoàng
- Khánh [14] đã chứng minh được một số kết quả mới về tính ổn định của tập
iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương trong một số

điều kiện nhất định, đó là các định lý sau:
Định lý 2. (Cường - Hoàng [8, Theorem 1.2]) Cho (R, m) là vành địa phương
Noether và I là một iđêan của R. Lấy R = ⊕n≥0 Rn là một đại số phân bậc chuẩn
hữu hạn sinh trên R0 = R và N = ⊕n≥0 Nn là một R-môđun phân bậc hữu hạn
sinh. Với mỗi số nguyên k ≥ −1, gọi r là giá trị ổn định của depthk (I, Nn ). Khi
đó với mỗi số nguyên l ≤ r tập hợp j≤l AssR (HIj (Nn ))≥k là ổn đinh với n đủ
lớn.
Định lý 3. (Hoàng - Khánh [14]) Cho (R, m) là vành địa phương Noether, I, J
là hai iđêan của R và M là R−môđun hữu hạn sinh. Cho R = ⊕n≥0 Rn một đại
số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên R0 = R và N = ⊕n≥0 Nn là một môđun
phân bậc hữu hạn sinh. Lấy Ln để kí hiệu cho R−môđun Nn hoặc R−môđun
M/J n M . Khi đó với mỗi số nguyên không âm l tập hợp j≥l SuppR (HIj (Ln )) là
ổn định với n đủ lớn. Đặc biệt, tập hợp AssR (HId−1 (Ln )) ∪ {m} là ổn định với n
đủ lớn, trong đó d là giá trị ổn định của dim Ln .
Mục tiêu thứ hai của luận văn là trình bày lại chi tiết chứng minh cho Định
lý 2 và Định lý 3 nêu trên. Luận văn được chia làm hai chương. Chương 1
dành để trình bày những kiến thức chuẩn bị cần thiết bao gồm: iđêan nguyên
tố liên kết, môđun Ext, môđun đối đồng điều địa phương, dãy chính quy và
độ sâu của môđun, vành và môđun phân bậc. Chương 2 là chương chính của
luận văn gồm ba mục tương ứng dành để chứng minh chi tiết cho các định lý:
Định lý 1, Định lý 2, và Định lý 3.

3


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Chương này nhằm giới thiệu một số kiến thức chuẩn bị phục vụ cho chứng
minh các kết quả ở những chương sau. Trong chương này ta luôn giả thiết R

là vành giao hoán Noether và M là R−môđun.

1.1

Iđêan nguyên tố liên kết

Định nghĩa 1.1.1. (Iđêan nguyên tố liên kết) Một iđêan nguyên tố p của R
được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu có một phần tử 0 = x ∈ M sao
cho Ann(x) = p. Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu là
AssR (M ) hoặc Ass(M ).

Sau đây là một số tính chất của các tập iđêan nguyên tố liên kết.
Mệnh đề 1.1.2. (i) Cho p ∈ Spec(R). Khi đó p ∈ AssR (M ) nếu và chỉ nếu M
có một môđun con đẳng cấu với R/p.
(ii) Nếu p là phần tử tối đại của của tập tất cả các iđêan của R có dạng Ann(x)
(với 0 = x ∈ M ), thì p ∈ AssR (M ). Vì R là vành Noether nên M = 0 khi và chỉ
khi AssR (M ) = 0. Hơn nữa, tập ZD(M ) tất cả các ước của không của M là hợp
của tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M .
(iii) Cho 0 → M → M → M → 0 là dãy khớp các R−môđun. Khi đó
AssR M ⊆ AssR M ⊆ AssR M ∪ AssR M .
4


(iv) AssR (M ) ⊆ SuppR (M ) và mỗi phần tử tối thiểu của tập SuppR (M ) đều
thuộc vào tập AssR (M )
(v) Nếu M là R−môđun hữu hạn sinh thì AssR (M ) là tập hữu hạn. Hơn
nữa AssR (M ) ⊆ V (Ann M ) và mỗi phần tử tối thiểu của V (Ann M ) đều thuộc
AssR (M ). Vì thế

Ann(M ) là giao các iđêan nguyên tố liên kết của M .

(vi) AssRp (Mp ) = {qRp | q ∈ AssR (M ), q ⊆ p}.

1.2

Môđun Ext

Định nghĩa 1.2.1. Một giải xạ ảnh của R−môđun M là một dãy khớp
... → P2 → P1 → P0 → M → 0

của các R−môđun, trong đó Pi là R−môđun xạ ảnh với mọi i.
Chú ý 1.2.2. Giải xạ ảnh của một R−môđun M luôn tồn tại. Thật vậy, giả
sử Y là một hệ sinh của M , gọi P0 = ⊕y∈Y Ry , với Ry = R là R−môđun tự do
trên Y . Khi đó ta có toàn cấu ϕ : P0 → M cho bởi ϕ(ay )y∈Y = Σy∈Y ay y . Đặt
K1 = Ker ϕ. Lấy Y1 là hệ sinh của K1 và P1 là R−môđun tự do sinh bởi Y1 .

Khi đó ta có một toàn cấu tự nhiên f1 : P1 → K1 . Đặt µ1 = j1 f1 , trong đó
j1 : K1 → P0 là phép nhúng tự nhiên từ K1 vào P0 . Dễ thấy Im µ1 = Ker ϕ. Đặt
K2 = Ker µ1 . Bằng lập luận tương tự ta có một toàn cấu f2 : P2 → K2 sao cho
K2 là môđun tự do và Im µ2 = Ker µ1 trong đó µ2 = j2 f2 với j2 : K2 → P1 là

phép nhúng tự nhiên. Cứ tiếp tục quá trình này ta thu được một dãy khớp
µ2

µ1

ϕ

... −→ P1 −→ P0 −
→M →0

trong đó Pi là môđun tự do. Vì mỗi môđun tự do là xạ ảnh nên mỗi dãy khớp
trên là xạ ảnh của M .
Định nghĩa 1.2.3. Cho N là R−môđun. Xét hàm tử Hom(−, N ) là phản biến,
khớp trái. Cho M là R−môđun, lấy giải xạ ảnh của M
f2

f1

f0

µ

... −→ P2 −→ P1 −→ P0 −
→ M → 0.

5


Tác động hàm tử Hom(−, N ) vào dãy khớp trên ta có phức
f0∗

f1∗

f2∗

0 → Hom(P0 , N ) −→ Hom(P1 , N ) −→ Hom(P2 , N ) −→ ...
∗ . Môđun này không phụ thuộc vào việc
Khi đó ExtiR (M, N ) = Ker fi∗ / Im fi−1

chọn giải xạ ảnh của M .
Sau đây là một số tính chất cơ bản của môđun Ext.
Mệnh đề 1.2.4.
(i) Nếu M là xạ ảnh thì ExtiR (M, N ) = 0 với mọi i

1.

(ii) Ext0R (M, N ) ∼
= Hom(M, N ).
(iii) Nếu 0 → N → N → N → 0 là dãy khớp ngắn thì tồn tại các đồng cấu
nối ExtnR (M, N ) → Extn+1
R (M, N ) với mọi n

0 sao cho ta có dãy khớp dài

0 → Hom(M, N ) → Hom(M, N ) → Hom(M, N ) → Ext1R (M, N )
→ Ext1R (M, N ) → Ext1R (M, N ) → Ext2R (M, N ) → ...

(iv) Nếu 0 → N → N → N → 0 là dãy khớp ngắn thì tồn tại các đồng cấu
nối ExtnR (N , M ) → Extn+1
R (N , M ) với mọi n

0 sao cho ta có dãy khớp dài

0 → Hom(N , M ) → Hom(N, M ) → Hom(N , M ) → Ext1r (N , M )
→ Ext1R (N, M ) → Ext1R (N , M ) → Ext2R (N , M ) → ...

Từ Chú ý 1.2.2 và từ Định nghĩa môđun Ext ta có kết quả sau.
Hệ quả 1.2.5. Nếu M, N là môđun hữu hạn sinh trên R thì ExtiR (M, N ) cũng
là hữu hạn sinh với mọi i.

Kết quả sau đây cho ta tính chất giao hoán giữa môđun Ext và hàm tử địa
phương hóa.
Mệnh đề 1.2.6. Nếu S là tập đóng nhân của R thì
S −1 (ExtnR (M, N )) ∼
= ExtnS −1 R (S −1 M, S −1 N ).

Đặc biệt, ta có (ExtnR (M, N ))p ∼
= ExtnRp (Mp , Np ) với mọi p ∈ Spec R.
6


1.3

Môđun đối đồng điều địa phương

Môđun đối đồng điều địa phương được định nghĩa bởi A. Grothendieck (vào
những năm 1960). Ngày nay chúng đã trở thành công cụ quan trọng trong
Hình học đại số, Đại số giao hoán. Trước hết ta giới thiệu về hàm tử I−xoắn.
Định nghĩa 1.3.1. (Hàm tử I−xoắn) Cho I là iđêan của R. Với mỗi R−môđun
M, ta định nghĩa ΓI (M ) =

n≥0 (0 :M

I n ), dễ thấy nó là môđun con của M .

Nếu f : M → N là đồng cấu các R−môđun thì ta có đồng cấu cảm sinh
f ∗ : ΓI (M ) → ΓI (N ) cho bởi f ∗ (m) = f (m). Khi đó ΓI (−) là một hàm tử hiệp

biến, tuyến tính, khớp trái từ phạm trù các R−môđun đến phạm trù các R−
môđun. ΓI (−) được gọi là hàm tử I− xoắn.

Bổ đề 1.3.2. Cho I là iđêan của R. Giả sử M là môđun hữu hạn sinh trên R.
Khi đó các phát biểu sau đây là đúng.
(i) ΓI (M ) = 0 nếu và chỉ nếu I ⊆ ZD(M ), trong đó
ZD(M ) = {a ∈ R | tồn tại 0 = m ∈ M sao cho am = 0}.

(ii) Ass(ΓI (M )) = Ass(M ) ∩ V (I) và Ass(M/ΓI (M )) = Ass(M ) \ V (I).
Định nghĩa 1.3.3. i) (Môđun nội xạ) Một R−môđun M được gọi là nội xạ
nếu với mọi đơn cấu f : N → N và mọi đồng cấu g : N → M , luôn tồn tại đồng
cấu h : N → M sao cho g = h ◦ f .
ii) (Giải nội xạ) Một giải nội xạ của R−môđun M là một dãy khớp
µ

f0

f1

f2

0→M −
→ E0 −→ E1 −→ E2 −→ · · ·

trong đó Ei là các R−môđun nội xạ với mọi i ≥ 0.
Chú ý 1.3.4. Giải nội xạ của một R−môđun M luôn tồn tại.
Định nghĩa 1.3.5. (Môđun đối đồng điều địa phương) Cho M là R−môđun
và I là iđêan của R. Lấy giải nội xạ của M
µ

f0

f1

f2

0→M −
→ E0 −→ E1 −→ E2 −→ · · ·

7


Tác động hàm tử I−xoắn vào dãy khớp trên ta được phức
f0∗

f1∗

f2∗

0 → ΓI (E0 ) −→ ΓI (E1 ) −→ ΓI (E2 ) −→ · · ·
∗
(với mọi i ≥ 0) được gọi là môđun đối đồng
Khi đó HIi (M ) = Ker fi∗ / Im fi−1

điều địa phương thứ i của M đối với giá là iđêan I .
Tiếp theo ta xét một số tính chất.
Mệnh đề 1.3.6. Cho M là một R−môđun. Khi đó các phát biểu sau là đúng.
(i) ΓI (M ) ∼
= HI0 (M ).
(ii) Nếu M là nội xạ thì HIi (M ) = 0 với mọi i ≥ 1.
(iii) Nếu 0 → M → M → M → 0 là dãy khớp ngắn thì tồn tại các đồng cấu
nối HIn (M ) → HIn+1 (M ) với mọi n ≥ 0 sao cho ta có dãy khớp dài
0 → ΓI (M ) → ΓI (M ) → ΓI (M ) → HI1 (M )

→ HI1 (M ) → HI1 (M ) → HI2 (M ) → · · ·

Kết quả sau đây cho ta tính chất giao hoán giữa đối đồng điều địa phương
và hàm tử địa phương hóa.
Mệnh đề 1.3.7. Nếu S là tập đóng nhân của R thì S −1 HIn (M ) ∼
= HSn−1 I (S −1 M ).
n (M ) với mọi iđêan nguyên tố p của R.
Đặc biệt, (HIn (M ))p ∼
= HIR
p
p

Hệ quả 1.3.8. Với mỗi p ∈ Spec(R), ta có p ∈ Ass HIn (M ) nếu và chỉ nếu
n (M ).
pRp ∈ Ass HIR
p
p

1.4

Dãy chính quy và độ sâu của môđun

Trước hết ta giới thiệu khái niệm dãy chính quy.
Định nghĩa 1.4.1. (Dãy chính quy) Cho R là vành giao hoán Noether và M
là R−môđun hữu hạn sinh khác 0. Phần tử a ∈ R được gọi là phần tử M −chính
quy nếu a không là ước của 0 trong M (tức là, ax = 0 với mọi 0 = x ∈ M ).
Một dãy các phần tử a1 , . . . , an ∈ R được gọi là một M −dãy chính quy (hay
M −dãy) nếu
8

(1) M/(a1 , . . . , an )M = 0 và
(2) ai là phần tử M/(a1 , . . . , ai−1 )M −chính quy, với mọi i = 1, . . . , n.
Chú ý 1.4.2. Cho M là R−môđun hữu hạn sinh.
i) Dãy các phần tử (a1 , . . . , an ) ∈ R được gọi là M −dãy chính quy nghèo nếu nó
chỉ thỏa mãn điều kiện (2) trong định nghĩa trên.
ii) Độ dài của một M −dãy là số phần tử của dãy đó. Một M −dãy không có
phần tử nào gọi là M −dãy có độ dài 0.
iii) a ∈ R là phần tử M −chính quy nghèo nếu và chỉ nếu a ∈
/ p với mọi
p ∈ AssR M .
iv) a1 , . . . , an ∈ R là M − dãy chính quy khi và chỉ khi M/(a1 , . . . , an )M = 0 và
ai ∈
/ p với mọi p ∈ AssR M/(a1 , . . . , ai−1 )M với i = 1, . . . , n.

Mệnh đề 1.4.3. (xem [19, Định lý 16.1 và Bài tập 6.3]) Giả sử (R, m) là vành
giao hoán địa phương Noether và M là môđun hữu hạn sinh trên R. Khi đó,
nếu a1 , . . . , ak ∈ m là M −dãy thì
i) an1 1 , . . . , ank k cũng là M −dãy với mọi số nguyên dương n1 , . . . , nk , và
ii) AssR (M/(an1 1 , . . . , ank k )M ) = AssR (M/(a1 , . . . , ak )M ).
Định nghĩa 1.4.4. (M −dãy chính quy tối đại) Cho M là R−môđun hữu hạn
sinh khác 0. Lấy I là iđêan của R sao cho M = IM và a1 , . . . , an là M −dãy
chính quy trong I . Ta nói rằng a1 , . . . , an là M −dãy chính quy tối đại trong I
nếu không tồn tại phần tử an+1 ∈ I sao cho a1 , . . . , an , an+1 là M −dãy chính
quy.
Mệnh đề 1.4.5. Cho M là R−môđun hữu hạn sinh khác 0. Lấy I là iđêan của
R sao cho M = IM . Với mỗi số nguyên dương n cho trước, khi đó các mệnh

đề sau là tương đương:
i) Tồn tại a1 , . . . , an ∈ I là một M −dãy.

ii) ExtjR (R/I, M ) = 0 với mọi j < n.
9


Định nghĩa 1.4.6. (Độ sâu của môđun) Cho M là R−môđun hữu hạn sinh
khác 0. Lấy I là iđêan của R sao cho M = IM . Khi đó mọi M −dãy chính
quy trong I đều có thể mở rộng thành M −dãy chính quy tối đại trong I . Các
M −dãy chính quy tối đại của M trong I đều có cùng độ dài n, đó là số thỏa

mãn điều kiện
ExtjR (R/I, M ) = 0, ∀j < n và ExtnR (R/I, M ) = 0.

Ta đặt n = depth(I, M ) và gọi là độ sâu của M trong I . Nếu M = IM thì ta
quy ước depth(I, M ) = ∞.
Trong trường hợp (R, m) là vành địa phương, thì độ sâu của M trong m là
depth(m, M ) còn được gọi là độ sâu của M và kí hiệu là depth M .

Kết quả sau đây là đặc trưng qua tính không triệt tiêu của môđun đối đồng
điều địa phương và môđun Ext.
Mệnh đề 1.4.7. Giả sử I là iđêan của R và M là R−môđun hữu hạn sinh.
Khi đó
depth(I, M ) = inf{i | HIi (M ) = 0} = inf{i | ExtiR (R/I, M ) = 0}.

Tiếp theo ta giới thiệu một số mở rộng của khái niệm dãy chính quy. Đó
là khái niệm dãy lọc chính quy được định nghĩa bởi N.T. Cường - N.V. Trung
- P. Schenzel [11], và khái niệm dãy chính quy suy rộng được định nghĩa bởi
L.T. Nhàn [22].
Định nghĩa 1.4.8. (xem [11]) Cho (R, m) là vành giao hoán địa phương
Noether và M là R−môđun hữu hạn sinh. Một dãy các phần tử x1 , . . . , xr
của m được gọi là một dãy lọc chính quy của M nếu xi ∈

/ p với mọi
p ∈ Ass(M/(x1 , . . . , xi−1 )M ) \ {m} với mọi i = 1, . . . , r.
Định nghĩa 1.4.9. (xem [22]) Cho (R, m) là vành giao hoán địa phương
Noether và M là R−môđun hữu hạn sinh. Một dãy các phần tử x1 , . . . , xr
của m được gọi là một dãy chính quy suy rộng của M nếu xi ∈
/ p với mọi
p ∈ Ass(M/(x1 , . . . , xi−1 )M ) mà dim(R/p) > 1 với mọi i = 1, . . . , r.
Tiếp theo ta nhắc lại khái niệm chiều của môđun.
10


Chú ý 1.4.10. Ta gọi một dãy các iđêan nguyên tố p0 ⊂ p1 ⊂ . . . ⊂ pn (trong
đó với mọi i ta có pi = pi+1 ) là một dãy các iđêan nguyên tố có độ dài là n. Ta
nói chiều (Krull) của vành R, kí kiệu là dim R, là cận trên của các độ dài của
các dãy iđêan nguyên tố trong R. Khi M là R−môđun, ta nói chiều môđun M ,
kí hiệu là dim M , là cận trên của các số n sao cho có một dãy các iđêan nguyên
tố có độ dài n trong tập Supp M . Trong trường hợp M là R−môđun hữu hạn
sinh thì Supp M = V (AnnR M ), do đó
dim M = sup{dim(R/p) | p ∈ Ass M } = dim(R/ Ann M ).

Kết quả sau đây chỉ ra rằng chiều của một môđun có thể đặc trưng thông
qua tính triệt tiêu và không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương.
Mệnh đề 1.4.11. Cho I là iđêan của R và M = 0 là R−môđun hữu hạn sinh.
Khi đó
(i) HIi (M ) = 0 với mọi i ≥ dim M .
(ii) Nếu (R, m) là vành giao hoán địa phương Noether thì
i
dim M = sup{i | Hm
(M ) = 0}.

1.5

Vành và môđun phân bậc

Định nghĩa 1.5.1. (i) Một vành phân bậc A là một vành giao hoán (A, +, .)
thỏa mãn các tính chất A =

n≥0 An

(tức là, nhóm A là tổng trực tiếp của họ

các nhóm con An của nhóm cộng (A, +)), và An Am ⊆ An+m với mọi n, m ∈ N.
Khi đó, mỗi phần tử a ∈ An được gọi là phần tử thuần nhất bậc n. Ta quy ước
phần tử 0 có bậc tùy ý.
(ii) Cho A =

n≥0 An

là vành phân bậc và M là một A−môđun. Ta nói M là

A−môđun phân bậc nếu thỏa mãn các điều kiện M =

n≥0 Mn

(như là các

nhóm cộng) và An Mm ⊆ Mn+m với mọi n, m ∈ N. Khi đó, mỗi phần tử x ∈ Mn
gọi là phần tử thuần nhất (hay phần tử phân bậc) có bậc là n. Cho N là một
môđun con của A−môđun phân bậc M , khi đó N được gọi là môđun con thuần
nhất (hay môđun con phân bậc) của M nếu N =

11

n≥0 (Mn

∩ N ).


Chú ý 1.5.2. Giả sử A =

n≥0 An

là vành phân bậc. Khi đó

i) A0 là một vành con của A. Thật vậy, vì hiển nhiên có (A0 , +) là nhóm con
của nhóm A và A0 A0 ⊆ A0 ; và ngoài ra nếu 1 = a0 + a1 + . . . + an với ai ∈ Ai thì
với mỗi i ta có
ai = 1ai = ai a0 + ai a1 + . . . + ai an .

Do biểu diễn duy nhất của tổng trực tiếp ta suy ra ai = ai a0 . Do đó
1 = a0 + a1 + . . . + an = a0 a0 + a1 a0 + . . . + an a0
= (a0 + a1 + . . . + an )a0 = 1a0 = a0 ∈ A0 .

ii) An là A0 −môđun với mọi n ≥ 0 (vì A0 An ⊆ An ).
iii) Đặc biệt A có cấu trúc tự nhiên là một A0 −đại số (vì có đồng cấu vành
f : A0 →

n≥0 An

= A, a0 −→ a0 + 0 + . . . + 0 + . . .). Nếu tồn tại hữu hạn phần

tử a1 , . . . , an ∈ A1 sao cho A = A0 [a1 , ..., an ] thì ta nói A là A0 −đại số phân bậc
chuẩn hữu hạn sinh, trong trường hợp này A là ảnh đồng cấu của vành đa thức
n biến trên A0 . Do đó nếu A0 là vành Noether thì theo Định lí cơ sở Hilbert,

ta suy ra vành đa thức trên A0 là vành Noether. Vì thế A là vành Noether.

12


Chương 2

Tính hữu hạn và ổn định tiệm cận
của tập iđêan nguyên tố liên kết
của một số môđun
Chương này nhằm chứng minh chi tiết các kết quả chính của luận văn (các
Định lý 1, 2 và 3 như đã nêu ở phần Mở đầu). Trong cả chương này, ta luôn
giả thiết (R, m) là vành giao hoán địa phương Noether với iđêan cực đại duy
nhất là m; cho I, J là hai iđêan của R và M, N là các R−môđun hữu hạn sinh.
Hơn nữa, ta giả thiết R =

n≥0 Rn

trên R0 = (R, m), và giả sử N =

là đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh

n≥0 Nn

là R−môđun phân bậc hữu hạn sinh.

Nội dung của chương này được viết dựa trên bài báo [8] và một phần bài
báo [14].

2.1

Tính hữu hạn của tập iđêan nguyên tố liên kết

Với S là tập con của Spec(R) và với số nguyên k ≥ −1, ta đặt
S≥k = {p ∈ S | dim(R/p) ≥ k}

và
S>k = {p ∈ S | dim(R/p) > k}.

13


Năm 2008, M. Brodmann-L.T. Nhàn đã định nghĩa khái niệm N −dãy từ chiều
> k trong bài báo [4] như sau.

Định nghĩa 2.1.1. (xem [4]) Cho số nguyên k ≥ −1. Một dãy các phần
tử x1 , . . . , xr ∈ m được gọi là một N −dãy từ chiều > k nếu xi ∈
/ p với mọi
p ∈ AssR (N/(x1 , . . . , xi−1 )N )>k với mọi i = 1, . . . , r.
Chú ý 2.1.2. Trong [4], họ cũng chứng minh rằng mọi N -dãy từ chiều > k cực
đại trong I đều có cùng độ dài. Độ dài chung đó được kí hiệu là depthk (I, N )
(khi dim(N/IN ) ≤ k thì quy ước depthk (I, N ) = ∞). Theo [4, Lemma 2.4] ta có
depthk (I, N ) = inf{i | dim Supp(HIi (N )) > k}.

Chú ý rằng depth−1 (I, N ) chính là độ sâu depth(I, N ) của N trong I ; depth0 (I, N )
chính là độ sâu lọc f-depth(I, N ) định nghĩa bởi R. Lu¨ - Z. Tang [18] và

depth1 (I, N ) chính là độ sâu suy rộng gdepth(I, N ) định nghĩa bởi L.T. Nhàn

[22].
Kết quả chính thứ nhất của luận văn này là định lý sau của Cường-Hoàng
trong [8, Theorem 1.1].
Định lý 2.1.3. (Định lý 1) Cho (R, m) là vành Noether địa phương, I là
iđêan của R và N là R−môđun hữu hạn sinh. Cho số nguyên k ≥ −1 và
r = depthk (I, N ). Nếu r < ∞ và x1 , . . . , xr là một N -dãy từ chiều > k trong

iđêan I , thì với mọi số nguyên j ≤ r ta có tập AssR (HIj (N ))≥k là hữu hạn. Hơn
nữa, ta có đẳng thức
AssR (HIj (N ))≥k =
j≤l

AssR (N/(x1 , . . . , xj )N )≥k ∩ V (I)
j≤l

với mọi l ≤ r.
Để chứng minh Định lý 2.1.3 ta cần một số kiến thức chuẩn bị sau đây:
Chú ý 2.1.4. i) Nếu x1 , . . . , xr là N -dãy từ chiều > k thì x1 /1, . . . , xr /1 là
Np −dãy chính quy với mọi p ∈ (Supp N )>k mà p ⊇ (x1 , . . . , xr ).

ii) Nếu x1 , . . . , xr là một N -dãy từ chiều > k , thì xn1 1 , . . . , xnr r cũng là N -dãy từ
chiều > k với mọi n1 , . . . , nr ∈ Z+ .
14


Thực vậy, ta chỉ cần chứng minh xν1 , . . . , xr cũng là N -dãy từ chiều > k với
mọi ν ∈ Z+ . Ta tiến hành quy nạp theo ν . Giả sử ν > 1 và xν−1
1 , x2 , . . . , xn là

N -dãy từ chiều > k . Vì x1 là N -dãy từ chiều > k , nên rõ ràng xν1 cũng vậy. Lấy
i > 1, giả sử tồn tại p ∈ Ass(N/(xν1 , . . . , xi−1 )N )>k sao cho xi ∈ p. Khi đó ta cũng

có p ∈ (Supp N )>k và p ⊇ (x1 , . . . , xi ). Suy ra x1 /1, . . . , xi /1 là Np −dãy chính quy
(theo giả thiết và theo ý trên của chú ý này) và pRp ∈ AssRp (N/(xν1 , . . . , xi−1 )N )p .
Từ đó theo Mệnh đề 1.4.3 ta suy ra xν1 /1, . . . , xi /1 cũng là Np −dãy chính quy.
Do đó xi /1 ∈
/ pRp , điều này mâu thuẫn với xi ∈ p. Vậy xν1 , x2 , . . . , xn là N -dãy
từ chiều > k với mọi ν ∈ Z+ .
Bổ đề 2.1.5. ([9, Lemma 2.3]) Cho số nguyên k ≥ −1. Khi đó
depthk (I, N ) = inf{depthk−i (Ip , Np ) | p ∈ SuppR (N/IN )≥i }

với mọi 0 ≤ i ≤ k + 1, ở đây để tiện lợi ta quy ước inf(∅) = ∞.
Tiếp theo ta nhắc lại một số kiến thức về lớp môđun đối đồng điều địa
phương suy rộng được định nghĩa bởi J. Herzog năm 1970 trong [13].
Định nghĩa 2.1.6. (xem [13]) Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng thứ
j của hai môđun M và N đối với giá là iđêan I , kí hiệu là HIj (M, N ), xác định

bởi công thức
HIj (M, N ) = lim ExtjR (M/I n M, N ).
−→

(Lưu ý rằng

HIj (N )

=

n
j

lim ExtR (R/I n , N ).
−→n

j
Do đó HIj (R, N ) ∼
= HI (N ), tức là khái

niệm môđun đối đồng điều địa phương suy rộng là một mở rộng của khái niệm
môđun đối đồng điều địa phương).
Sau đây là một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng.
Bổ đề 2.1.7. (xem [1, Proposition 5.5]) Đẳng thức sau là đúng
depth(IM , N ) = inf{i | HIi (M, N ) = 0},

trong đó IM = AnnR (M/IM ) là iđêan linh hóa tử của R−môđun M/IM .
Bổ đề 2.1.8. (xem [6, Theorem 2.4]) Đặt r = depth(IM , N ). Giả sử r < ∞ và
x1 , . . . , xr là một N −dãy chính quy trong iđêan IM . Khi đó
AssR HIr (M, N ) = AssR N/(x1 , . . . , xr )N ∩ V (IM ).
15


Bổ đề 2.1.9. (xem [7, Lemma 2.1]) Nếu ΓIM (N ) = N hoặc I ⊆ Ann(M ), thì
j
HIj (M, N ) ∼
= ExtR (M, N ) với mọi j ≥ 0.

Áp dụng các tính chất trên, bây giờ ta sẽ phát biểu và chứng minh một kết
quả tổng quát hơn Định lý 1, đó là định lý sau đây cho môđun đối đồng điều
địa phương suy rộng.
Định lý 2.1.10. (Cường-Hoàng [8, Theorem 3.1]) Cho (R, m) là vành Noetherian địa phương, I là iđêan của R và M, N là các R−môđun hữu hạn sinh. Lấy
k ≥ −1 là số nguyên và r = depthk (IM , N ). Nếu r < ∞ và x1 , . . . , xr là một

N -dãy từ chiều > k trong iđêan IM , khi đó với bất kì số nguyên l ≤ r ta luôn

có đẳng thức
AssR (HIj (M, N ))≥k =
j≤l

AssR (N/(x1 , . . . , xj )N )≥k ∩ V (IM ).
j≤l

Do đó AssR (HIj (M, N ))≥k là tập hữu hạn với mọi j ≤ r.
Chứng minh. Lấy l là số nguyên sao cho 0 ≤ l ≤ r. Với mỗi iđêan nguyên tố
p∈

j
j≤l AssR (HI (M, N ))≥k ,

ta luôn có số nguyên j0 ≤ l sao cho

p ∈ AssR (HIj0 (M, N )) và p ∈
/ AssR (HIj (M, N )) với mọi j < j0 .
Giả sử rằng p ∈
/ AssR (N/(x1 , . . . , xj )N ) với mọi j < j0 . Khi đó pRp ∈
/
AssRp ((N/(x1 , . . . , xj )N )p ), với mọi j < j0 . Do đó
AssRp ((N/(x1 , . . . , xj )N )p ) = AssRp ((N/(x1 , . . . , xj )N )p )≥1

với mọi j < j0 . Từ giả thiết của x1 , . . . , xr suy ra x1 , . . . , xj0 là N −dãy từ chiều
> k . Mặt khác ta lại có p ∈ Supp(N/IM N )≥k . Do đó ta suy ra x1 /1, . . . , xj0 /1

là một dãy lọc chính quy của Np theo Bổ đề 2.1.5. Từ đó dẫn đến một

kết quả mạnh hơn rằng x1 /1, . . . , xj0 /1 là một dãy chính quy của Np trong
(IM )p , và do vậy depth((IM )p , Np ) ≥ j0 . Lại vì p ∈ AssR (HIj0 (M, N )), nên
HIj0 (M, N )p = 0. Do đó depth((IM )p , Np ) ≤ j0 theo Bổ đề 2.1.7, và vì vậy ta

thu được depth((IM )p , Np ) = j0 . Điều đó cùng với Bổ đề 2.1.8 dẫn đến
AssRp (HIj0 (M, N )p ) = AssRp ((N/(x1 , . . . , xj0 )N )p ) ∩ V ((IM )p ).
16


Do đó p ∈ AssR (N/(x1 , . . . , xj0 )N ) ∩ V (IM ). Suy ra ta đã chứng minh được một
bao hàm thức sau
AssR (HIj (M, N ))≥k ⊆
j≤l

AssR (N/(x1 , . . . , xj )N )≥k ∩ V (IM ).
j≤l

Ngược lại, lấy tùy ý phần tử p ∈

j≤l AssR (N/(x1 , . . . , xj )N )≥k

∩ V (IM ), khi đó

tồn tại số nguyên e ≤ l sao cho
p ∈ AssR (N/(x1 , . . . , xe )N ) và p ∈
/ AssR (N/(x1 , . . . , xj )N ) với mọi j < e.
Do đó pRp ∈
/ AssRp ((N/(x1 , . . . , xj )N )p ) với mọi j < e. Khi đó ta có
AssRp ((N/(x1 , . . . , xj )N )p ) = AssRp ((N/(x1 , . . . , xj )N )p )≥1

với mọi j < e. Vì thế x1 /1, . . . , xe /1 là một dãy chính quy của Np trong iđêan
(IM )p , và do đó depth((IM )p , Np ) ≥ e. Lưu ý rằng vì p ∈ AssR (N/(x1 , . . . , xe )N ),

dẫn đến depth((IM )p , (N/(x1 , . . . , xe )N )p ) = 0. Từ đó ta suy ra được rằng
depth((IM )p , Np ) = e. Kéo theo p ∈ AssR (HIe (M, N )) theo Bổ đề 2.1.8. Từ đó

suy ra bao hàm sau được chứng minh
AssR (HIj (M, N ))≥k ⊇
j≤l

AssR (N/(x1 , . . . , xj )N )≥k ∩ V (IM ).
j≤l

Vậy ta đã chứng minh được đẳng thức sau với mọi 0 ≤ l ≤ r
AssR (HIj (M, N ))≥k =
j≤l

AssR (N/(x1 , . . . , xj )N )≥k ∩ V (IM ).
j≤l

Rõ ràng tập ở vế phải là tập hữu hạn, từ đó ta suy ra tính hữu hạn của tập
hợp AssR (HIj (M, N ))≥k với mọi j ≤ r.
Chứng minh Định lý 1 (hay Định lý 2.1.3). Định này được suy ra trực
tiếp từ Định lý 2.1.10 bằng cách thay thế M bởi R.
Chú ý 2.1.11. Ở đây, thay vì chứng minh trực tiếp Định lý 1, Cường-Hoàng
đã chuyển sang chứng minh ở dạng tổng quát hơn. Điều đó là vì từ Định lý
2.1.10 dẫn đến khá nhiều hệ quả thú vị khác ngoài Định lý 1. Chẳng hạn, kết
quả [4, Proposition 2.6] chỉ ra rằng nếu x1 , . . . , xr là một N -dãy từ chiều > k
hoán vị được (tức là mọi hoán vị của x1 , . . . , xr cũng là N −dãy từ chiều > k ) thì
17

tập hợp

n1
nr
n1 ,...,nr ∈N AssR (N/(x1 , . . . , xr )N )≥k

là một tập hữu hạn. Dưới đây,

như một áp dụng của Định lý 2.1.10 ta có thể chứng minh kết quả này mà
không cần giả thiết "hoán vị được" của dãy x1 , . . . , xr là N −dãy từ chiều > k .
Hệ quả 2.1.12. Cho số nguyên k ≥ −1 và x1 , . . . , xr là một N -dãy từ chiều
> k (không nhất thiết hoán vị được). Khi đó
n

AssR (N/(xn1 1 , . . . , xj j )N )≥k =
j≤r

AssR (N/(x1 , . . . , xj )N )≥k
j≤r

với mọi n1 , . . . , nr ∈ Z+ . Đặc biệt, ta suy ra rằng
n

AssR (N/(xn1 1 , . . . , xj j )N )≥k
n1 ,...,nr ∈Z+ j≤r

là một tập hữu hạn.
Chứng minh. Lấy n1 , . . . , nr là các số nguyên dương, khi đó xn1 1 , . . . , xnr r cũng là

một N -dãy từ chiều > k theo Chú ý 2.1.4. Với mỗi số nguyên i mà 0 ≤ i ≤ r, ta
đặt Ii = (x1 , . . . , xi ). Vì mọi p ∈ AssR (N/(xn1 1 , . . . , xni i )N ) đều thỏa mãn p ⊇ Ii ,
nên với bất kì bộ r số nguyên dương n1 , . . . , nr ta đều có
AssR (N/(xn1 1 , . . . , xni i )N )≥k = AssR (N/(xn1 1 , . . . , xni i )N )≥k ∩ V (Ii ),

Từ đó kết hợp với Định lý 2.1.3 ta suy ra rằng
n

AssR (HIji (N ))≥k =
i≤r

AssR (N/(xn1 1 , . . . , xj j )N )≥k ∩ V (Ii )
i≤r

j≤i

j≤i
n

AssR (N/(xn1 1 , . . . , xj j )N )≥k

=
j≤r

với mọi bộ r số nguyên dương n1 , . . . , nr . Rõ ràng tập ở vế trái không phụ thuộc
vào n1 , . . . , nr . Do đó
n

AssR (N/(xn1 1 , . . . , xj j )N )≥k =
j≤r

AssR (N/(x1 , . . . , xj )N )≥k
j≤r

với mọi n1 , . . . , nr ∈ Z+ . Đặc biệt ta suy ra tính hữu hạn của tập hợp sau đây
n

AssR (N/(xn1 1 , . . . , xj j )N )≥k ,
n1 ,...,nr ∈Z+ j≤r

đó là điều cần chứng minh.
18


Nếu ta thay k = 1 trong Hệ quả 2.1.12, thì ta sẽ thu được hệ quả sau đây.
Hệ quả 2.1.13. Lấy x1 , . . . , xr là một dãy chính quy suy rộng của N . Khi đó
n

AssR (N/(xn1 1 , . . . , xj j )N ) ∪ {m} =
j≤r

AssR (N/(x1 , . . . , xj )N ) ∪ {m}
j≤r

với mọi n1 , . . . , nr ∈ Z+ . Đặc biệt, ta có
n

AssR (N/(xn1 1 , . . . , xj j )N )
n1 ,...,nr ∈Z+ j≤r

là một tập hữu hạn.
Lưu ý một kết quả [22, Theorem 3.1] nói rằng "nếu x1 , . . . , xr " là một dãy
chính quy suy rộng của N , thì

n1 ,...,nr ∈Z+

Ass(N/(xn1 1 , . . . , xnr r )N ) là một tập

hữu hạn". Như vậy, rõ ràng Hệ quả 2.1.13 chứa đựng cả Theorem 3.1 của [22].
Hệ quả 2.1.14. Lấy k là số nguyên mà k ≥ −1. Đặt r = depthk (Ann(M ), N ).
Nếu r < ∞ và x1 , . . . , xr là một N -dãy từ chiều > k trong iđêan

Ann(M ), khi

đó với mọi số nguyên l ≤ r ta có
AssR (ExtjR (M, N ))≥k =
j≤l

AssR (N/(x1 , . . . , xj )N )≥k ∩ V (Ann(M )).
j≤l

Chứng minh. Đặt I =

Ann(M ). Khi đó ta thấy

IM =
=

Ann(M/IM ) =
Ann(M ) +

=

Ann(M ) + I

Ann(M )

Ann(M )

=

Mặt khác I ⊆ IM

Ann(M ) = I.
√
√
⊆ IM . Do đó IM = IM = I . Từ đó kết hợp với Chú ý 2.1.2

ta suy ra được
r = depthk (Ann(M ), N ) = depthk (

Ann(M ), N )

= depthk (I, N ) = depthk (IM , N ).

19


Mặt khác rõ ràng x1 , . . . , xr là một N -dãy từ chiều > k trong IM . Hơn nữa,
j
theo Bổ đề 2.1.9, ta có ExtjR (M, N ) ∼

= HAnn(M ) (M, N ); trong khi đó
j
j
HAnn(M
(M, N ) ∼
= H√
)

Ann(M )

(M, N ) = HIj (M, N ).

j
Suy ra ExtjR (M, N ) ∼
= HI (M, N ). Do đó hệ quả được suy ra từ Định lý 2.1.10.

Chú ý 2.1.15. Lấy các số nguyên j ≥ 0 và t > 0. Lấy a = (a1 , . . . , as ) kí hiệu
cho dãy các phần tử của R và t = (t1 , . . . , ts ) là bộ s số nguyên dương. Với mỗi
iđêan I của R ta đặt
T j (I t , N ) = AssR (ExtjR (R/I t , N )), và
T j (at , N ) = AssR (ExtjR (R/(at11 , . . . , atss ), N )).

Khi đó ta thu được các quan hệ sau đây giữa các tập hợp nêu trên.
Hệ quả 2.1.16. Cho k ≥ −1 là số nguyên, I là một iđêan của R và
r = depthk (I, N ). Nếu r < ∞ và x1 , . . . , xr là một N -dãy từ chiều > k trong
√
iđêan I , thì với bất kì hệ các phần tử sinh a1 , . . . , as của I và bất kì số nguyên
l ≤ r, ta luôn có
T j (I t , N )≥k =
j≤l

T j (at , N )≥k

AssR (N/(x1 , . . . , xj )N )≥k ∩ V (I) =
j≤l

j≤l

với mọi t ∈ Z+ và mọi t ∈ (Z+ )s . Đặc biệt, với mọi số nguyên j ≤ r, ta suy
ra rằng các tập hợp

t∈Z+

T j (I t , N )≥k và

t∈(Z+ )s

T j (at , N )≥k được chứa trong

tập hữu hạn
AssR (N/(x1 , . . . , xi )N )≥k ∩ V (I).
i≤j

Chứng minh. Vì

√
√
It =
I =

(at11 , . . . , atss ) với mọi số nguyên dương

t, t1 , . . . , ts , nên áp dụng Hệ quả 2.1.14 (khi M = R/I t và M = R/(at11 , . . . , atss ))

ta thu được rằng
AssR (ExtjR (R/I t , N ))≥k =
j≤l

AssR (N/(x1 , . . . , xj )N )≥k ∩ V (I) và
j≤l

AssR (ExtjR (R/(at11 , . . . , atss ), N ))≥k =
j≤l

AssR (N/(x1 , . . . , xj )N )≥k ∩ V (I)
j≤l

với mọi l ≤ r, và do đó hệ quả được chứng minh.
20


Chú ý 2.1.17. Kết quả chính của M. Brodmann - L.T. Nhàn trong [4,
Theorems 1.1 và 1.2] nói rằng với số nguyên không âm r đã cho, nếu
dim Supp(HIi (N )) ≤ k với mọi i < r, thì các tập
T j (at , N )≥k

T j (I t , N )≥k và
t∈Z+

chứa trong tập hữu hạn

t∈(Z+ )s
i≤j

AssR (ExtiR (R/I, N )) với mọi j ≤ r. Hơn nữa, nếu

x1 , . . . , xr là một N -dãy từ chiều > k hoán vị được và đồng thời là một dãy
I -lọc chính quy trong I hoán vị được, thì các tập này được chứa trong tập hữu

hạn sau
AssR (N/(x1 , . . . , xj )N )≥k+1 ∪

AssR (N/(x1 , . . . , xi )N )k ,

(*)

i≤j

trong đó
AssR (N/(x1 , . . . , xi )N )k = {p ∈ AssR (N/(x1 , . . . , xi )N ) | dim R/p = k}.
j
j
j
Thực vậy, vì H√
(N ) ∼
= HI (N ) nên dim Supp(H√I (N )) ≤ k với mọi j < r. Do
I

√

đó depthk ( I, N ) ≥ r, do đó tồn tại N −dãy từ chiều > k là x1 , . . . , xr trong
iđêan

√
I . Vì thế ta áp dụng được Hệ quả 2.1.16 vào tình huống giả thiết

của [4, Theorem 1.1]. Ta thấy rằng đẳng thức trong Hệ quả 2.1.16 không phụ
thuộc vào t và t, nên với bất kì j ≤ r ta thấy các tập
t∈(Z+ )s

t∈Z+

T j (I t , N )≥k và

T j (at , N )≥k được chứa trong tập hợp hữu hạn sau
AssR (ExtiR (R/I, N ))≥k .

T i (I, N )≥k =
i≤j

i≤j

Điều này chứng tỏ rằng Hệ quả 2.1.16 chứa đựng cả kết quả Định lý 1.1 của
[4]. Hơn nữa, lấy p ∈ T j (I t , N )≥k ∪ T j (at , N )≥k với t ∈ Z+ , t ∈ (Z+ )s và j ≤ r
nào đó. Nếu dim(R/p) = k thì p thuộc vào tập (∗) theo Hệ quả 2.1.16. Nếu
dim(R/p) ≥ k + 1 thì depth(Ip , Np ) = r. Vì thế trong trường hợp này ta có j = r,
và do đó p ∈ T r (I, N ). Vì Extr (R/I, N ) ∼
= H r (R/I, N ) theo Bổ đề 2.1.9, nên
R

I

ta thu được từ Bổ đề 2.1.8 rằng p ∈ Ass(N/(x1 , . . . , xr )N )≥k+1 . Vì vậy Hệ quả
2.1.16 cũng bao trùm cả Địnhl ý 1.2 của [4] cho các vành địa phương mà không
cần giả thiết rằng x1 , . . . , xr đồng thời là N -dãy từ chiều > k hoán vị được và
là dãy I -lọc chính quy hoán vị được trong I .
21