Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 tỉnh phú thọ năm học 2016 2017(có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

PHÚ THỌ
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2016-2017
Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
(Đề thi có 03 trang)

Thí sinh làm bài (cả phần trắc nghiệm khách quan và phần tự luận) ra tờ giấy thi.
A. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm)
Câu 1. Biểu thức

5 − 3x
6 − x2 − x

có nghĩa khi nào?

5
5
< x < 2.
C. x < −3 hoặc x > 2. D. −3 < x ≤ .
3
3
x x − 4 x + 4 x − 45
x +2
−
Câu 2. Cho biểu thức Q =

( x ≥ 0; x ≠ 25 ).
x − 2 x − 15
x +3
Tìm giá trị nhỏ nhất của Q.
2
7
A. .
B. .
C. 2.
D. 3.
3
3
Câu 3. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = ( 2m − 3) x + 4m − 3 . Gọi h là
khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng (d) . Tìm giá trị lớn nhất của h.
A. 2 3.
B. 13.
C. 15.
D. 5.
Câu 4. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A ( −2;3 ) ; B ( −4; −4 ) ; C ( 5; −1) . Tính diện tích
tam giác ABC .
A. 30,5.
B. 28,5.
C. 42.
D. 38.
2
1
2
Câu 5. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba đường thẳng ( d1 ) : x − y = ;
3
2

3
−1
1
( d 2 ) : y = x − ; ( d3 ) : ( 2m + 3) x − 3my = 0 . Tìm m để ba đường thẳng đã cho đồng quy.
3
2
−1
−2
1
3
.
.
A.
B. .
C. .
D.
2
2
2
3
Câu 6. Cho Parabol (P): y = x 2 và đường thẳng (d) có phương trình y = 2 ( m − 2 ) x + 5m − 16 .
Tìm giá trị của m để (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung.
16
16
A. m < .
B. 3 < m < .
5
5
16
16

C. m < −4 hoặc m > .
D. m > .
5
5
2
2
Câu 7. Gọi ( x0 ; y0 ) là nghiệm của phương trình x + 9 y − 4 x + 7 = 2 y ( 3 x − 7 ) sao cho y0
đạt giá trị lớn nhất . Tính tổng x0 + y0 .
−5
−3
.
.
A. −4 .
B.
C.
D. −5 .
2
2
Câu 8. Tìm m để phương trình x 2 − (m + 4) x + m + 3 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2 là độ dài hai
cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 26 .
A. m = −8 hoặc m = 2 .
B. m = 2 .
C. m = −8 .
D. m = 8 hoặc m = −2 .
A. −3 ≤ x ≤ 2 .

B.

Trang 1/3

Câu 9. Cho hình thang ABCD (AB//CD) có AB = 2,5 cm; AD = 3,5 cm; BD = 5 cm và
·
·
. Tính tổng BC+DC.
DBC
= DAB
A. 17 (cm) .
B. 19 (cm).
C. 20 (cm).
D. 22 (cm).
Câu 10. Cho tam giác ABC vuông tại A đường phân giác AD, ( D ∈ BC ) . Đẳng thức nào
sau đây đúng ?
A.

1
AB

+

1
AC

=

3
AD

.

B.

Câu 11. Cho tam giác

( D ∈ AC ; E ∈ AB ) . Gọi

1
AB

+

1
AC

=

2
AD

. C.

1
AB

+

1
AC

=

1
AD

·
nhọn ABC có BAC
= 300 , kẻ

.

D.

1
AB

+

1
AC

=

2
AD

.

hai đường cao BD, CE

S ; S ' lần lượt là diện tích ∆ABC , ∆ADE . Tính tỉ số

S'
S

.

3
1
1
3
.
B. .
C. .
D.
.
4
4
2
2
Câu 12. Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH ⊥ BC , HD ⊥ AB, HE ⊥ AC
( H ∈ BC , D ∈ AB, E ∈ AC ) . Đẳng thức nào sau đây đúng ?
A. AD. AB = AE. AC .
B. BD.BA = CE.CA.
C.
D. BD.BA = AH .
AD.DB + AE.EC = AH .
Câu 13. Cho tam giác nhọn ABC có ·ABC > ·ACB , kẻ đường cao AH, trung tuyến AM
( M , H ∈ BC ) . Đẳng thức nào sau đây đúng ?
cot C - cot B
cot B - cot C

·
·
=
.
=
.
A. tan HAM
B. tan HAM
2
2
tan C - tan B
cos C - cos B
·
·
=
.
=
.
C. tan HAM
D. tan HAM
2
2
Câu 14. Cho đường tròn tâm O, đường kính AB =2R . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
OA, OB. Qua M kẻ dây cung CD, qua N kẻ dây cung EF sao cho CD//EF (C, F cùng thuộc
·
nửa đường tròn đường kính AB) và CMO
= 300 . Tính diện tích tứ giác CDEF theo R.
A.

2

2

R 2 15
R 2 13
R 2 15
3R 2 15
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
8
4
4
8
Câu 15. Cho đường tròn tâm O, đường kính AB=2R. Điểm M thuộc tia đối của tia AB, qua
M kẻ tiếp tuyến MC với đường tròn (O) ( C là tiếp điểm), kẻ CH vuông góc với AB ( H ∈ AB )
biết MA = a; MC = 3a ( a > 0). Tính CH theo a.
12a
9a
8a
14a
A.
.
B.
.

C.
.
D.
.
5
5
5
5
Câu 16. Một ngọn hải đăng ở vị trí A cách bờ biển (là đường thẳng) một khoảng
AH = 3 (km) . Một người gác hải đăng muốn từ vị trí A trở về vị trí B trên bờ biển (HB = 24
(km)), bằng cách chèo thuyền với vận tốc 3 (km/h) tới vị trí M trên bờ (M nằm giữa H và B)
sau đó từ M chạy bộ dọc theo bờ biển đến B với vận tốc gấp bốn lần vận tốc chèo thuyền.
Biết tổng thời gian di chuyển từ A về đến B hết 3 giờ 20 phút. Tính khoảng cách MB ?
A
3km

M

H

B
HB=24km

A. 12 (km).

B. 16 (km).

B. PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm)
Câu 1 (3,0 điểm)

C. 18 (km) .

Trang 2/3

D. 20 (km).


a) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1 . Chứng minh rằng
a −b b−c c −a
+
+
=0.
1 + c 2 1 + a 2 1 + b2
b) Chứng minh rằng nếu a.b = 3 thì hai phương trình sau: (a 3 + a ) x + a 2 y + a 4 + 1 = 0;
(b3 + b) x + b 2 y + b 4 + 1 = 0 (a,b là các tham số) không có nghiệm nguyên chung.
Câu 2 (3,5 điểm)
a) Giải phương trình

2 x + 3 − x + 1 = 1.

 x3 + x 2 y = 3x 2 + 5 xy + y 2 + 4 x + y
b) Giải hệ phương trình 
.
3 x − y + 1 = x + 1.
Câu 3 (4,0 điểm). Cho đường tròn (O; R ) và điểm A cố định trên (O; R ) . Gọi M, N là các
¼ của
giao điểm của hai đường tròn (O; R ) và ( A; R ) ; H là điểm thay đổi trên cung nhỏ MN
đường tròn ( A; R ) . Đường thẳng qua H và vuông góc với AH cắt (O; R ) tại B, C. Kẻ
HI ⊥ AB ( I ∈ AB ), HK ⊥ AC ( K ∈ AC ) .
a) Chứng minh rằng IK luôn vuông góc với một đường thẳng cố định và AB. AC = 2 R 2 .

b) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích ∆AIK khi H thay đổi.
Câu 4 (1,5 điểm). Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P = 2(a 2b + b 2c + c 2 a ) + (a 2 + b 2 + c 2 ) + 4abc.
.......................HẾT.......................
Họ và tên thí sinh: ................................................................... SBD: ..................
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2016-2017
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

Trang 3/3
Hướng dẫn chấm có 05 trang


I.
Một số chú ý khi chấm bài
- Đáp án chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách. Khi chấm thi giám khảo
cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25
điểm.
- Thí sinh làm bài theo cách khác với đáp mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm
tương ứng với thang điểm của đáp án.
- Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số.
II.
Đáp án – thang điểm
1. Phần trắc nghiệm khách quan

Câu 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16
Đáp
A,
án
D C B B A D A B A B A
A C A D
C
đúng
Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5
2. Phần tự luận
Nội dung

Điểm

Câu 1. (3,0 điểm)
a) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1 . Chứng minh rằng
a −b b−c c −a
+
+
=0
1 + c 2 1 + a 2 1 + b2
Ta có 1 + a 2 = ab + bc + ca + a 2 = (a + b)(a + c ).

Tương tự
1 + b 2 = ab + bc + ca + b 2 = (b + a )(b + c );
1 + c = ab + bc + ca + c = (c + a )(c + b).
a −b
a −b
1
1
=
=
−
Suy ra
.
2
1+ c
(c + a )(c + b) c + b c + a
b−c
b−c
1
1
=
=
−
;
2
1+ a
(a + b)(a + c) a + c a + b
c−a
c−a
1
1

=
=
−
.
2
1+ b
(b + a )(b + c) b + a b + c
a −b b−c c −a
1
1
1
1
1
1
+
+
=
−
+
−
+
−
= 0.
Vậy
1 + c2 1 + a2 1 + b2 c + b c + a a + c a + b b + a b + c
b) Chứng minh rằng nếu a.b = 3 thì hai phương trình: (a 3 + a ) x + a 2 y + a 4 + 1 = 0 (1);
2

0,25
0,25

2

(b + b) x + b y + b + 1 = 0 (2) (a,b là các tham số) không có nghiệm nguyên chung.
Giả sử (1) và (2) có nghiệm nguyên chung ( x0 ; y0 ) , ta có
(a 3 + a ) x0 + a 2 y0 + a 4 + 1 = 0 (3) ; (b3 + b) x0 + b 2 y0 + b 4 + 1 = 0 (4)
Vì a, b ≠ 0 ta có
3

1,5

2

4

Trang 4/3

0,25

0,25

0,5
1,5
0,25
0,25


Nội dung

Điểm

(3) ⇔ a + x0 a + y0 a + x0 a + 1 = 0
4

3

2

2

1  
1
1
1



⇔  a 2 + 2 ÷+  a + ÷x0 + y0 = 0 ⇔  a + ÷ + x0  a + ÷+ y0 − 2 = 0;
a  
a
a
a



(4) ⇔ b 4 + x0b3 + y0b 2 + x0b + 1 = 0
2

1 
1

1
1



⇔  b 2 + 2 ÷+  b + ÷x0 + y0 = 0 ⇔  b + ÷ + x0  b + ÷+ y0 − 2 = 0.
b  
b
b
b



1
1
Suy ra t1 = a + ; t2 = b + là hai nghiệm của phương trình bậc hai (ẩn t)
a
b
t 2 + x0t + y0 − 2 = 0 .
Theo định lí Viet:
1
1

a+b

a
+
b
+
= − x0

a + a + b + b = − x0

ab
⇔

1
1



 a + ÷ b + ÷ = y0 − 2
 a + b + ab + 1 = y − 2.
0
 b a

a 
b
ab
Vì a.b = 3 nên
9 2
3
 2

2
9 2
 2
2
a + b + 2ab = 16 x0
a + b = − 4 x0
 a + b = x0 − 6

⇒
⇒
16

a
b
16
16
2
2
2
2
 + =y −
a + b = ab( y − )  a + b = 3 y − 16.
0
0
0

3
3
 b a

9 2
x0 − 6 = 3 y0 − 16 ⇒ 9 x02 = 48 y0 − 160 (4) . Điều này vô lí vì VT(4) chia hết
Suy ra
16
cho 3 nhưng VT(4) không chia hết cho 3.
Vậy nếu a.b = 3 thì hai phương trình (1), (2) không có nghiệm nguyên chung.
Câu 2 (3,5 điểm)
a) Giải phương trình 2 x + 3 − x + 1 = 1 (1)

Điều kiện: x ≥ −1.
Ta có:
(1) ⇔ 2 x + 3 = x + 1 + 1
⇔ 2x + 3 = x + 2 + 2 x + 1
⇔ 2 x +1 = x +1
 x ≥ −1
⇔
2
4( x + 1) = x + 2 x + 1
 x ≥ −1
⇔ 2
x − 2x − 3 = 0
x = 3
⇔
.
 x = −1

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = −1; x = 3 .
 x3 + x 2 y = 3x 2 + 5 xy + y 2 + 4 x + y (1)
b) Giải hệ phương trình 
.
(2)
3 x − y + 1 = x + 1
Trang 5/3
Điều kiện x ≥ 0; y ≥ −1 . Ta có:

0,25

0,25

0,5

2,0
0,5

0,5

0,5

0,5

1,5
0,25


Nội dung
(1) ⇔ y − ( x − 5 x − 1) y − ( x − 3 x − 4 x) = 0
2

2

3

Điểm

2

⇔ ( y + x + 1)( y − x 2 + 4 x) = 0
 y = x2 − 4x
⇔

 y + x +1 = 0
Từ (2) ⇒ 3 x =

y +1 + x +1 ≥ 1 ⇒ x > 0 ⇒ y + x +1 > 0 y + x +1 > 0 .

Vậy ta có (1) ⇔ y = x 2 − 4 x .
Thay y = x 2 − 4 x vào (1) ta có 3 x − x 2 − 4 x + 1 = x + 1 (3) .
Vì x = 0 không là nghiệm của (3) nên
1
1
(3) ⇔ x +
+ x+ −4 =3
x
x
1
1
(t ≥ 2) ⇒ x + = t 2 − 2 . Phương trình trên trở thành:
Đặt t = x +
x
x
t ≤ 3
5
t + t2 − 6 = 3 ⇔ t2 − 6 = 3 − t ⇔  2
⇔
t
=
2
2
t − 6 = (3 − t )
x = 4

1 25
17
2
− 2 ⇔ x − x +1 = 0 ⇔ 
Suy ra x + =
.
x = 1
x 4
4
4

1 −15
).
Từ đó suy ra hệ phương trình đã cho có hai nghiệm: (4;0);( ;
4 16
Câu 3. Cho đường tròn (O; R ) và điểm A cố định trên (O; R ) . Gọi M, N là các giao
¼ của
điểm của hai đường tròn (O; R ) và ( A; R ) ; H là điểm thay đổi trên cung nhỏ MN
đường tròn ( A; R ) . Đường thẳng qua H và vuông góc với AH cắt (O; R ) tại B, C. Kẻ
HI ⊥ AB ( I ∈ AB), HK ⊥ AC ( K ∈ AC ) .

0,25

0,25

0,25

0,25
0,25

4,0

N

A
K
J
t

I

O
C

M
B

H

A'

a) Chứng minh rằng IK luôn vuông góc với một đường thẳng cố định và
AB. AC = 2 R 2 .
Ta có ·AIH = 900 ; ·AKH = 900 . Vì ·AIH + ·AKH = 1800 nên tứ giác AIHK nội tiếp.
Kẻ tiếp tuyến At của đường tròn (O; R) tại A.
·
 ·ACB + HAC
= 900
⇒ ·ACB = ·AHK (1)
Ta có:  ·

0
·
 AHK + HAC = 90
Trang 6/3
Ta lại có: ·AHK = ·AIK (do tứ giác AIHK nội tiếp) (2)

2,5
0,5
0,5
0,5


Nội dung

Điểm

1
·
BAt
= ·ACB (cùng bằng sđ »AB ) (3).
2
·
Từ (1), (2), (3) suy ra: BAt
= ·AIK ⇒ At P IK .
Mặt khác OA ⊥ At ⇒ IK ⊥ OA . Vậy IK luôn vuông góc với đường thẳng cố định OA.

0,5

Gọi J là giao điểm của AO và IK; A’ là điểm đối xứng với A qua O.
0

Ta có: ∆ACH ∼ ∆AA ' B ·AHC = ·ABA ' = 90 ; ·ACH = ·AA ' B .

(

)

0,25

AC AH
=
⇒ AB. AC = AH . AA ' = 2 R. AH = 2 R 2 .
AA ' AB
b) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích ∆AIK khi H thay đổi.
⇒

Ta có ∆AKH ∼ ∆AHC ⇒

0,25
1,5

AK AH
=
⇒ AK . AC = AH 2 .
AH AC

0,25

Gọi S , S ' lần lượt là diện tích các tam giác ABC và AIK.
Ta có ∆AIK : ∆ACB ⇒

0,25

AI AK IK
AJ
=
=
=
, suy ra:
AC AB BC AH

1
2
2
S ' 2 AJ .IK
AJ IK  AK   AK . AC 
AH 4
AH 2 1
=
=
.
=
=
= .
÷ =
÷ =
S 1 AH .BC AH BC  AB   AB. AC  ( AH .2 R ) 2 4 R 2 4
2
1
1
R

R
R2
Suy ra S ' = .S = AH .BC = .BC ≤ .2 R =
.
4
8
8
8
4
R2
Vậy giá trị lớn nhất của tam giác AIK bằng
, đạt khi H ≡ O.
4
Câu 4. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức P = 2(a 2b + b 2c + c 2 a ) + (a 2 + b 2 + c 2 ) + 4abc .
Ta có:
ab + bc + ca = (a + b + c )(ab + bc + ca ) = (a 2b + b 2c + c 2 a ) + (ab 2 + bc 2 + ca 2 ) + 3abc
Suy ra
a 2 + b 2 + c 2 = (a + b + c ) 2 − 2(ab + bc + ca ) = 1 − 2(ab + bc + ca )

0,5

0,25
0,25
1,5

0,25

= 1 − 2 ( a 2b + b 2c + c 2 a ) + (ab 2 + bc 2 + ca 2 ) + 3abc 
Do đó:

P = 2(a 2b + b 2c + c 2 a ) + 1 − 2 (a 2b + b 2c + c 2a ) + (ab 2 + bc 2 + ca 2 ) + 3abc  + 4abc

0,25

= 1 − 2(ab + bc + ca + abc)
Không mất tính tổng quát có thể giả sử a ≤ b ≤ c .
Suy ra
a (a − b)(b − c) ≥ 0 ⇒ (a 2 − ab)(b − c) ≥ 0

0,25

2

2

2

⇒ a 2b − a 2c − ab 2 + abc ≥ 0 ⇒ ab 2 + ca 2 ≤ a 2b + abc
Do đó
ab 2 + bc 2 + ca 2 + abc = (ab 2 + ca 2 ) + bc 2 + abc ≤ (a 2b + abc ) + bc 2 + abc = b(a + c )2
Với các số dương x, y, z ta luôn có:
2
2
2
1
x + y + x − 3 3 xyz = 3 x + 3 y + 3 z  3 x − 3 y + 3 y − 3 z + 3 z − 3 x  ≥ 0


2

(

)(

) (

3

 x+ y+z
Suy ra x + y + z ≥ 3 xyz ⇒ xyz ≤ 
÷ (*)7/3
3 Trang


3

) (

)

0,25
0,25


Nội dung
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z .
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có
3
a+c a+c 


3
b+ 2 + 2 ÷
4
 a + c  a + c 
 a+b+c
2
b(a + c) = 4b 
÷ = 4
÷
÷≤ 4 
÷ =
3
3
 2  2 

 27

÷


4 19
Suy ra P = 1 − 2(ab 2 + bc 2 + ca 2 + abc) ≥ 1 − 2b(a + c) 2 ≥ 1 − 2. =
27 27
19
1
Vậy MinP =
. P đạt giá trị nhỏ nhất khi a = b = c = .
27
3
……….Hết………..

Trang 8/3

Điểm

0,25