Sáng kiến kinh nghiệm: Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ cấp THCS

Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ trong trờng phổ thông cấp
THCS
mục lục
a . mở đầu................................................................................................
Trang 2
1/ Lí do chọn đề tài .....................................................................................
Trang 2
2/ Mục đích nghiên cứu đề tài ...................................................................
Trang 2
3/ Phạm vi nghiên cứu...............................................................................
Trang 3
4/ Phơng pháp nghiên cứu........................................................................
Trang 3
b . Nội dung đề tài..............................................................................
Trang 4
1/ Cơ sở lý luận............................................................................................
Trang 4
2/ Tình hình thực tiễn.................................................................................
Trang 4
3/ Nội dung và phơng pháp tiến hành.....................................................
Trang 5
3.1 Khái niệm phơng trình vô tỉ...............................................................
Trang 5
3.2 Phơng pháp chung..............................................................................
Trang 5
3.3 phơng pháp giải phơng trình vô tỉ cơ bản......................................
Trang 5
a. Phơng pháp nâng lên luỹ thừa ............................................................
Trang 5
b. Phơng pháp đa về pt chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ..............
Trang 8

c. Phơng pháp đặt ẩn phụ .......................................................................
Trang 10
d. Phơng pháp đa về phơng trình tích ...............................................
Trang 13
e. Phơng pháp đa về hệ phơng trình ..................................................
Trang 16
g. Phơng pháp bất đẳng thức...................................................................
Trang 18
h.Phơng pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số..................................
Trang 20
i. Phơng pháp sử dụng dấu = ở BĐTkhông chặt .............................
Trang 21
k. Một số PP khác.......................................................................................
Trang 23
4/ Kết quả.....................................................................................................
Trang 24
c . kết luận ...........................................................................................
Trang 26
d - tài liệu tham khảo ...................................................................
Trang 27
a. mở đầu .
1. Lí do chọn đề tài :
Toán học là môn học có ứng dụng trong hầu hết trong tất cả các ngành khoa
học tự nhiên cũng nh trong các lĩnh vực khác của đời sống xã hội.
Vì vậy toán học có vị trí đặc biệt trong việc phát triển và nâng cao dân trí
.Toán học không chỉ cung cấp cho học sinh (ngời học )những kiến thức cơ
Phạm Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hóa
1
Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ trong trờng phổ thông cấp
THCS

bản,những kĩ năng tính toán cần thiết mà còn là điều kiện chủ yếu rèn luyện kĩ
năng t duy logic,một phơng pháp luận khoa học .
Trong việc dạy học toán thì việc tìm ra phơng pháp dạy học và giải bài tập
toán đòi hỏi ngời giáo viên phải chọn lọc hệ thống, sử dụng đúng phơng pháp dạy
học góp phần hình thành và và phát triển t duy của học sinh .Đồng thời thông qua
việc học toán học sinh đợc bồi dỡng và rèn luyện về phẩm chất đạo đức, các thao
tác t duy để giải bài tập toán , đặc biệt là giải phơng trình vô tỉ .
Hiện nay ngay từ lớp 7 học sinh đợc hoàn thiện việc mở rộng tập số hữu tỉ Q
thành tập số thực R .Trong khi đó giáo viên khi dạy phơng trình vô tỉ thì ít khai
thác phân tích đề bài , mở rộng bài toán mới, dẫn đến học sinh khi gặp bài toán về
giải phơng trình vô tỉ là lúng túng hoặc cha biết cách giải hoặc giải đợc nhng cha
chặt chẽ mà còn mắc nhiều sai lầm về tìm tập xác định, khi nâng lên luỹ thừa, đa
biểu thức ra ngoài dấu giá trị tuyệt đối .
Vì vậy phát triển năng lực t duy cho học sinh thông qua việc giải phơng
trình vô tỉ là cần thiết cho nên tôi xin đợc trình bày một phần nhỏ để khắc phục
tình trạng trên về giải phơng trình vô tỉ góp phần nâng cao chất lợng học môn toán
của học sinh ở trờng THCS.
2. Mục đích nghiên cứu của đề tài
- Trang bị cho học sinh một số kiến thức về giải phơng trình vô tỉ nhằm nâng cao
năng lực học môn toán,giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động sáng tạo và là
công cụ giải quyết những bài tập có liên quan đến phơng trình vô tỉ.
- Gây đợc hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong SGK , sách tham khảo giúp
học sinh giải đợc một số bài tập .
- Giải đáp đợc những thắc mắc, sữa chữa đợc những sai lầm hay gặp khi giải ph-
ơng trình vô tỉ trong quá trình dạy học .
- Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phơng pháp cơ bản và áp
dụng thành thạo các phơng pháp đó để giải bài tập .
Phạm Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hóa
2
Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ trong trờng phổ thông cấp

THCS
- Thông qua việc giải phơng trình vô tỉ giúp học sinh thấy rõ mục đích của việc
học toán và học tốt hơn các bài tập về phơng trình vô tỉ .Đồng thời góp phần nâng
cao chất lợng giáo dục .
3. Phạm vi nghiên cứu- Đối t ợng nghiên cứu :
Phát triển năng lực, t duy của học sinh thông qua các bài toán giải phơng
trình vô tỉ đối với học sinh THCS.
Đề tài áp dụng đối với học sinh THCS chủ yếu là học sinh khối 9 trong các
giờ luyện tập ,ôn tập cuối kì ,cuối năm và cho các kì thi ở trờng ,thi vào cấp 3.
4. Các ph ơng pháp nghiên cứu và tiến hành :
4.1. Ph ơng pháp nghiên cứu :
Tham khảo thu thập tài liệu
Phân tích,tổng kết kinh nghiệm .
Kiểm tra kết quả chất lợng học sinh .
4.2.Ph ơng pháp tiến hành :
Thông qua các dạng phơng trình vô tỉ cơ bản đa ra phơng pháp giải và khắc
phục những sai lầm hay gặp , các dạng bài tập tự giải .
b- nội dung đề tài
1/ Cơ sở lý luận:
Trong đề tài đợc đa ra một số phơng trình vô tỉ cơ bản phù hợp với trình độ
của học sinh THCS.
Phạm Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hóa
3
Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ trong trờng phổ thông cấp
THCS
Trang bị cho học sinh một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ cơ bản áp dụng để
làm bài tập .
Rút ra một số chú ý khi làm từngphơng pháp .
Chọn lọc một số bài tập hay gặp phù hợp cho từng phơng pháp giải , cách
biến đổi.

Vận dụng giải các bài toán có liên quan đến phơng trình vô tỉ .
Tôi hi vọng đề tài này sẽ giúp ích cho học sinh ở trờng THCS trong việc học
và giải phơng trình vô tỉ. Qua đó các em có phơng pháp giải đúng, tránh đợc tình
trạng định hớng giải bài toán sai hoặc còn lúng túng trong việc trình bày lời giải,
giúp học sinh làm việc tích cực hơn đạt kết quả cao trong kiểm tra.
2/ Tình hình thực tế
2.1. Kết quả:
Qua kết quả khảo sát, kiểm tra trớc khi áp dụng đề tài với 40 học sinh tôi
thấy kết quả tiếp thu về giải phơng trình vô tỉ nh sau:
Điểm dới 5 Điểm 5 - 6 Điểm 7 - 8 Điểm 9 - 10
SL % SL % SL % SL %
20 50% 14 35% 5 12,5% 1 2,5%
2.2 . Nguyên nhân của thực tế trên:
Đây là dạng toán tơng đối mới lạ và khó với học sinh, học sinh cha đợc
trang bị các phơng pháp giải , nên việc suy luận còn hạn chế và nhiều khi không có
lối thoát dẫn đến kết quả rất thấp và đặc biệt đối với học sinh trung bình các em
càng khó giải quyết.
3/ Nội dung và ph ơng pháp tiến hành
3.1. Khái niệm ph ơng trình vô tỉ
3.1.1. Khái niệm: Phơng trình vô tỉ là phơng trình chứa ẩn trong dấu căn .
3.1.2. Các ví dụ :
Phạm Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hóa
4
Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ trong trờng phổ thông cấp
THCS
a)
11
=
x

b)
2173
=++
xx
c)
3
+
xx
1
2
+
xx
=3
d)
4
1
1
1
1
3
3 2
3 2
3
=
+




x

x
x
xx
3. 2.Ph ơng pháp chung :
Để giải phơng trình chứa dấu căn ta tìm cách khử dấu căn .
Cụ thể : - Tìm ĐKXĐ của phơng trình .
- Biến đổi đa phơng trình về dạng đã học.
- Giải phơng trình vừa tìm đợc .
- So sánh kết quả với ĐKXĐ rồi kết luận nghiệm .
3.3. Một số ph ơng pháp giải ph ơng trình vô tỉ cơ bản:
a. Ph ơng pháp nâng lên luỹ thừa (Bình ph ơng hoặc lập ph ơng hai vế
ph ơng trình ):
a.1. Các ví dụ :
* Giải phơng trình dạng :
)()( xgxf
=
Ví dụ 1: Giải phơng trình :
11
=+
xx
(1)
ĐKXĐ : x+1

0

x

-1
Với x

-1 thì vế trái của phơng trình không âm .Để phơng trình có nghiệm thì
x-1

0

x

1.Khi đó phơng trình (1) tơng đơng với phơng trình :
x+1 = (x-1)
2


x
2
-3x= 0


x(x-3) = 0



=
=
3
0
x
x

Chỉ có nghiệm x =3 thoả mãn điều kiện x

1
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x =3 .
Phạm Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hóa
5
Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ trong trờng phổ thông cấp
THCS
Ví dụ 2: Giải phơng trình:
131
=+
xx


xx
=
131
ĐKXĐ :





013
01
x
x

13
1
x
x


1

13

x
(2)
Bình phơng hai vế của (1) ta đợc :

2
)13(1 xx
=

017027
2
=+
xx
Phơng trình này có nghiệm
10
1
=
x
và

17
2
=
x
.Chỉ có
10
1
=
x
thoã mãn (2) .
Vậy nghiệm của phơng trình là
10
=
x
* Giải phơng trình dạng :
)()()( xgxhxf
=+
Ví dụ 3: Giải phơng trình:
121
=+
xx

xx
++=
211
(1)
ĐKXĐ:
02
01
+

x
x



2
1


x
x


12

x
Bình phơng hai vế của phơng trình (1) ta đợc :

xxx
++++=
22211


01
2
=+
xx
Phơng trình này có nghiệm
2

51

=
x
thoã mãn (2)
Vậy nghiệm của phơng trình là
2
51

=
x
Ví dụ 4: Giải phơng trình:
3
1
+
x
27
3
=+
x
(1)
Lập phơng trình hai vế của (1) ta đợc:

82).7)(1(371
3
=++++
xxxx


(x-1) (7- x) = 0

x =-1
x =7 (đều thoả mãn (1 )).
Vậy
7;1
==
xx
là nghiệm của phơng trình .
Phạm Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hóa
6
(1)
Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ trong trờng phổ thông cấp
THCS
* Giải phơng trình dạng :
=+
)()( xhxf
)(xg
Ví dụ5: Giải phơng trình
1
+
x
-
7

x
=
x

12

1
+
x
=
x

12
+
7

x
(1)
ĐKXĐ:
121
7
12
1
07
012
01

+
x
x
x
x
x
x
x
Bình phơng hai vế ta đợc: x- 4 = 2
)7)(12(

xx
(3)
Ta thấy hai vế của phơng trình (3) đều thoã mãn (2) vì vậy bình phơng 2 vế của ph-
ơng trình (3) ta đợc :
(x - 4)
2
= 4(- x
2
+ 19x- 84)

5x
2
- 84x + 352 = 0
Phơng trình này có 2 nghiệm x
1
=
5
44
và x
2
= 8 đều thoả mãn (2) .
Vậy x
1
=
5
44
và x
2
= 8 là nghiệm của phơng trình.
* Giải phơng trình dạng :
=+
)()( xhxf
)(xg
+
)(xq
Ví dụ 6: Giải phơng trình :
1
+
x

+
10
+
x
=
2
+
x
+
5
+
x
(1)
ĐKXĐ :







+
+
+
+
05
02
010
01
x

x
x
x












5
2
10
1
x
x
x
x
x -1 (2)
Bình phơng hai vế của (1) ta đợc :
x+1 + x+ 10 + 2
)10)(1(
++
xx
= x+2 + x+ 5 + 2

)5)(2(
++
xx

2+
)10)(1(
++
xx
=
)5)(2(
++
xx
(3)
Phạm Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hóa
7
Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ trong trờng phổ thông cấp
THCS
Với x

-1 thì hai vế của (3) đều dơng nên bình phơng hai vế của (3) ta đợc
)10)(1(
++
xx
= 1- x
Điều kiện ở đây là x

-1 (4)
Ta chỉ việc kết hợp giữa (2) và (4)

1
1
x
x
x = 1 là nghiệm duy nhầt của phơng trình (1).
a.2. Nhận xét :
Phơng pháp nâng lên luỹ thừa đợc sử dụng vào giải một số dạng phơng trình
vô tỉ quen thuộc, song trong quá trình giảng dạy cần chú ý khi nâng lên luỹ thừa
bậc chẵn
Với hai số dơng a, b nếu a = b thì a
2n
= b
2n
và ngợc lại (n= 1,2,3.....)
Từ đó mà chú ý điều kiện tồn tại của căn, điều kiện ở cả hai vế của phơng trình đó
là những vấn đề mà học sinh hay mắc sai lầm, chủ quan khi sử dụng phơng pháp
này.
Ngoài ra còn phải biết phối hợp vận dụng phơng pháp này với cùng nhiều
phơng pháp khác lại với nhau .
a.3. Bài tập áp dụng:
1.
4
2

x
= x- 2

2.
41
2
++
xx
= x+ 1
3.
x

1
+
x
+
4
=3
4.
3
45
+
x
-
3
16

x
=1
5.
x

1

=
x

6
-
)52(
+
x
6.
3
1

x
+
3
2

x
=
3
32 x
7.
x
+
yx
+
=
1

x

+
4
+
x
b. Ph ơng pháp đ a về ph ơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối :
b.1. Các ví dụ :
Ví dụ1: Giải phơng trình:
416249
2
+=+
xxx
(1)
Phạm Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hóa
8
Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ trong trờng phổ thông cấp
THCS
ĐKXĐ:



+
+
04
016249
2
x
xx

4
0)43(
2
x
xx
x 4
Phơng trình (1)


43

x
= -x + 4






=
+=
443
443
xx
xx

=
=
0
2
x
x
Với x= 2 hoặc x = 0 đều là nghiệm của phơng trình (đều thoả mãn x

4 ).
Ví dụ 2 : Giải phơng trình :
44
2
=
xx
+
168
2
+
xx
= 5
ĐKXĐ:

x
R
Phơng trình tơng đơng :
2

x
+
4

x
= 5
Lập bảng xét dấu :
x 2 4
x- 2 - 0 + +
x- 4 - - 0 +
Ta xét các khoảng :
+ Khi x < 2 ta có (2)

6-2x =5


x = 0,5(thoả mãn x

2)
+ Khi 2

x

4 ta có (2)

0x + 2 =5 vô nghiệm
+ Khi x > 4 ta có (2)

2x 6 =5

x =5,5 (thoả mãn x > 4 )
Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm là x = 0,5 và x = 5,5
Ví dụ 3 : Giải phơng trình:
314
+
xx
+
816
+
xx
= 1
ĐKXĐ: x

1
Phơng trình đợc viết lại là :

414)1(
+
xx
+
916)1( + xx
= 1

2
)21(

x
+

2
)31(

x
= 1
Phạm Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hóa
9
Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ trong trờng phổ thông cấp
THCS



21

x
+
31

x
=1 (1)
- Nếu 1

x < 5 ta có (1)

2-
1

x
+ 3 -
1

x
= 1


1

x
=2

x= 5 không thuộc khoảng đang xét
- Nếu 5

x

10 thì (1)

0x = 0 Phơng trình có vô số nghiệm
- Nếu x> 10 thì (1)

-5 = 1 phơng trinh vô nghiệm
Vậy phơng trình có vô số nghiệm : 5

x

10
b.2. Nhận xét :
Phơng pháp đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối đợc sử
dụng giải một số dạng phơng trình vô tỉ quen thuộc nh trên song trong thực tế cần
lu ý cho học sinh :

-áp dụng hằng đẳng thức
2
A
=
A
- Học sinh thờng hay mắc sai lầm hoặc lúng túng khi xét các khoảng giá trị của ẩn
nên giáo viên cần lu ý để học sinh tránh sai lầm .
b.3. Bài tập áp dụng :
1.
96
2
+
xx
+
2510
2
++
xx
= 8
2.
12
2
++
xx
+
44
2
+
xx
=

44
2
++
xx
3.
143
++
xx
+
168
+
xx
= 5
4.
5233
++
xx
+
522

xx
= 2
2
c.Ph ơng pháp đặt ẩn phụ:
c..1. Các ví dụ :
Ví dụ 1 : Giải phơng trình: 2x
2
+ 3x +
932
2

++
xx
=33
ĐKXĐ :

x

R
Phơng trình đã cho tơng đơng với: 2x
2
+ 3x +9 +
932
2
++
xx
- 42= 0 (1)
Đặt 2x
2
+ 3x +9 = y > 0 (Chú ý rằng học sinh thờng mắc sai lầm không đặt điều
kiện bắt buộc cho ẩn phụ y)
Ta đợc phơng trình mới : y
2
+ y 42 = 0

y
1
= 6 , y
2
= -7 .Có nghiệm y =6 thoả mãn y> 0
Phạm Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hóa

10
Một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ trong trờng phổ thông cấp
THCS
Từ đó ta có
932
2
++
xx
=6

2x
2
+ 3x -27 = 0
Phơng trình có nghiệm x
1
= 3, x
2
= -
2
9
Cả hai nghiệm này chính là nghiệm của phơng trình đã cho.
Ví dụ 2 : Giải phơng trình:
x
+
4
x
= 12
ĐKXĐ : x

o

Đặt
4
x
= y

0

x
= y
2
ta có phơng trình mới
y
2
+ y -12 = 0 phơng trình có 2 nghiệm là y= 3 và y = - 4 (loại)

4
x
= 3

x = 81 là nghiệm của phơng trình đã cho.
Ví dụ 3: Giải phơng trình:
1
+
x
+
x

3
-
)3)(1( xx

+
= 2 (1)
ĐKXĐ :




+
03
01
x
x






3
1
x
x
-1 x 3
Đặt
1
+
x
+
x

3
= t

0

t
2
= 4 + 2
)3)(1( xx
+


)3)(1( xx
+
=
2
4
2

t
(2) .thay vào (2) ta đợc
t
2
2t = 0

t(t-2) = 0



=

=
2
0
t
t
+ Với t = 0 phơng trình vô nghiệm.
+Với t = 2 thay vào (2) ta có :
)3)(1( xx
+
= 0

x
1
= -1; x
2
= 3 (thoả
mãn)
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x
1
= -1và x
2
= 3
Ví dụ 4: Giải phơng trình : 5
1
3
+
x
= 2( x
2
+ 2)

Ta có
1
3
+
x
=
1
+
x
1
2
+
xx
Đặt
1
+
x
= a

0 ;
1
2
+
xx
= b

0 và a
2
+ b
2

= x
2
+ 2
Phơng trình đã cho đợc viết là
5ab = 2(a
2
+ b
2
)


(2a- b)( a -2b) = 0




=
=
02
02
ba
ba
Phạm Đình Sơn - Trờng THCS Thiệu Phú -Thiệu Hóa
11