Phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LÂM THỊ THOA

PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN
TẬP NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LÂM THỊ THOA

PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN
TẬP NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số:

60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS. TS. PHẠM NGỌC ANH

Thái Nguyên - 2015


i

Mục lục

Mục lục

ii

Lời cảm ơn

iii

Danh sách ký hiệu

iv

Mở đầu

1

1

Kiến thức chuẩn bị

4

1.1

Tập lồi, hàm lồi, nón pháp tuyến và phép chiếu . . . . . . .

4

1.1.1

Tập lồi và hàm lồi

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2

Nón pháp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.3

Phép chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2

Hàm đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3

Bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.3.1

Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.3.2

Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân 16

1.4

1.5

Bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.4.1

Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.4.2

Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng . . . . . . .

17

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19


ii
2

Phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên
tập nghiệm của bài toán cân bằng

20

2.1

Phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân . .

21

2.2

Phương pháp chiếu giải bài toán cân bằng . . . . . . . . . .

26

2.3

Ứng dụng giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập

2.4

nghiệm của bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

Kết luận

42

Tài liệu tham khảo

43


iii

Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thiện tại Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Phạm Ngọc Anh (Học
viện Bưu chính Viễn thông) đã trực tiếp hướng dẫn tận tình và động viên tác
giả trong suốt thời gian nghiên cứu và viết luận văn.
Trong quá trình học tập và nghiên cứu, thông qua các bài giảng, các buổi
hội thảo seninar, tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ cũng như những
ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô Trường Đại học Khoa học Thái
Nguyên, Học viện Bưu chính Viễn thông, các bạn học viên lớp cao học toán
K7Y. Tác giả xin chân thành cảm ơn!
Xin gửi tới lời cảm ơn sâu sắc tới Ban Lãnh đạo Trường Đại học Hải
Dương, các đồng nghiệp trong khoa Toán Kinh tế - Kỹ thuật đã luôn bên cạnh
động viên, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả học tập và nghiên cứu.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thân,
những người đã luôn khuyến khích và động viên tác giả trong suốt quá trình
nghiên cứu và làm luận văn.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót và
hạn chế, tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của thầy cô
và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Thái Nguyên, 2015

Lâm Thị Thoa
Học viên Cao học Toán K7D,
Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên


iv

Danh sách ký hiệu
không gian Hilbert thực

H
x

chuẩn của véc tơ x

x, y

tích vô hướng của hai véc tơ x và y

R ∪ {±∞} = R

tập số thực mở rộng

A×B

tích Đề - Các của hai tập hợp A và B

A∩B

tập hợp A giao với tập hợp B

A⊂B

tập A là con thực sự của tập B

A⊆B

tập A là con của tập B

I

ánh xạ đồng nhất

domf

miền hữu dụng của f

epif

tập trên đồ thị hàm f

argmin{f (x) : x ∈ C}

tập các điểm cực tiểu của hàm f

∂f (x)

dưới vi phân của hàm lồi f tại x

δC

hàm chỉ trên C

NC (x)

nón pháp tuyến của điểm x trên tập C

dC (x)

hàm khoảng cách từ x đến tập C

xn → x

dãy {xn } hội tụ mạnh tới x

xn

dãy {xn } hội tụ yếu tới x

x


v
lim sup

giới hạn trên

lim inf

giới hạn dưới

P rC (x)

hình chiếu của x lên C

EP (f, C)

bài toán cân bằng

Sol(f, C)

tập nghiệm bài toán cân bằng

V I(F, C)

bài toán bất dẳng thức biến phân

Sol(F, C)

tập nghiệm bài toán bất dẳng thức biến phân

F ix

bài toán điểm bất động

F ix(S)

tập điểm bất động của ánh xạ S


1

Mở đầu
Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển là bài toán tìm một điểm x∗ ∈ C
sao cho
F x∗ , x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ C,
trong đó, C là một tập con, lồi, đóng, khác rỗng của một không gian Hilbert
thực H và một ánh xạ F : H → H, thường được goi là ánh xạ giá. Bài toán
này, kí hiệu bởi V I(F, C), là một bài toán cơ bản trong lí thuyết tối ưu. Bởi

vậy, khá nhiều bài toán tối ưu khác cố thể được chuyển về bài toán V I(F, C).
Bài toán này cũng được nghiên cứu mở rộng trong các thập kỉ gần đây, ví dụ
như trong hai số sách được viết bởi Facchinei và Pang (xem [8]) và các bài
báo nghiên cứu khác. Bài toán bất đẳng thức biến phân được phát triển và trở
thành một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu và giải bài toán cân bằng trong
nhiều lĩnh vực khác nhau như kinh tế tài chính, kỹ thuật, vận tải, lí thuyết trò
chơi... (xem [7]). Gần đây, bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc là
tập nghiệm của bài toán cân bằng cũng là một đề tài được nhiều người quan
tâm nghiên cứu vì vai trò quan trọng của nó trong lí thuyết toán học và trong
ứng dụng thực tế.
Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của bài toán này là việc
xây dựng các phương pháp giải. Có rất nhiều phương pháp giải khác nhau
như: phương pháp dựa trên kỹ thuật hàm chắn, phương pháp dựa trên cách
tiếp cận điểm bất động... Song ở góc độ ứng dụng, phương pháp chiếu có
thể coi là một phương pháp khá đơn giản, hữu hiệu trong lý thuyết tối ưu nói


2
chung và trong việc giải bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán cân
bằng nói riệng. Hơn nữa, phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến
phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng là khá đơn giản và hữu hiệu với
rất nhiều các thuật toán hiện có. Vì vậy, đề tài luận văn "Phương pháp chiếu
giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân
bằng" trình bày về một phương pháp chiếu gần đây là cần thiết và có ý nghĩa
khoa học về thuật toán và ứng dụng.
Hiện nay có khá nhiều phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân
trên tập nghiệm của bài toán cân bằng như phương pháp đạo hàm tăng cường
mở rộng cho bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp, phương pháp điểm
gần kề xấp xỉ và các phương pháp khác (xem [6]). Trong luận văn này, tôi
trình bày một phương pháp khá hiệu quả được đề xuất bởi nhóm các tác giả

Hiên - Vương - Strodiot trong bài báo "On extragradient - viscosity methods
for solving equilibrium and fixed point problems in a Hilbert space", Phan
Tu Vuong, Jean Jacques Strodiot and Van Hien Nguyen, Vol. 64, No. 2, pp.
429-451, Optimization, 2015.
Luận văn gồm hai chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Nội dung gồm các kiến thức cơ bản về tập lồi, hàm lồi, nón pháp tuyến và
phép chiếu trên một không gian Hilbert thực. Nhắc lại một số định nghĩa mở
rộng về tính đơn điệu của một ánh xạ F và một song hàm f . Phát biểu bài
toán và trình bày một số kết quả về sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm của bài
toán bất đẳng thức biến phân, bài toán cân bằng.
Chương 2: Ứng dụng giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm
bài toán cân bằng.
Nội dung chương 2 trình bày phương pháp chiếu hai lần để giải bài toán
bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng trong một không gian Hilbert


3
thực. Đặc biệt là ứng dụng phương pháp chiếu để giải bài toán bất đẳng thức
biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng.

Thái Nguyên, ngày 20 tháng 11 năm 2015
Lâm Thị Thoa
Email:


4

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Một số kiến thức cơ bản trong giải tích lồi, bài toán bất đẳng thức biến
phân, bài toán cân bằng và sự tồn tại nghiệm của nó trong không gian Hilbert
thực được sử dụng trong chương 2 sẽ được nhắc lại trong chương này.

1.1
1.1.1

Tập lồi, hàm lồi, nón pháp tuyến và phép chiếu
Tập lồi và hàm lồi
Cho H là không gian Hilbert thực có tích vô hướng được kí hiệu là

·, · và chuẩn tương ứng được kí hiệu là · .
Tập C ⊆ H được gọi là tập lồi nếu với mọi a, b ∈ C và λ ∈ [0, 1] ta có
λa + (1 − λ)b ∈ C.
Cho ∅ = C ⊂ H và hàm f : C → R ∪ {+∞, −∞}. Khi đó, các tập hợp
domf : = {x ∈ C : f (x) < +∞};
epif : = {(x, α) ∈ C × R : f (x) ≤ α}
lần lượt được gọi là miền hữu dụng và tập trên đồ thị của f . Hàm f được gọi
là chính thường trên C nếu
domf = 0, f (x) > −∞, ∀x ∈ C.


5
Định nghĩa 1.1.1. Cho C là một tập con, lồi và khác rỗng của H và hàm
f : C → R ∪ {+∞}. Khi đó,
(i) Hàm f được gọi là hàm lồi trên C, nếu
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1].
(ii) Hàm f được gọi là lồi chặt trên C, nếu
f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, x = y, ∀λ ∈ (0, 1).

(iii) Hàm f được gọi là lồi mạnh trên C với hệ số β > 0, nếu
1
f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y) − βλ(1 − λ) x − y 2 , ∀x, y ∈ C,
2
∀λ ∈ (0, 1).
(iv) Hàm f được gọi là tựa lồi trên C, nếu
f (λx + (1 − λ)y) ≤ max{f (x), f (y)}, ∀x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1].
(v) Hàm f được gọi hàm lõm trên C, nếu −f là hàm lồi trên C.
Ví dụ 1.1.1. Với mọi x ∈ H, hàm f xác định bởi f (x) =
là hàm lồi mạnh với hệ số β =

1
2

1
2

x 2 . Khi đó, f

trên H.

Giải. Với mọi x, y ∈ H, λ ∈ [0, 1], ta có
λf (x)+(1 − λ)f (y) − f (λx + (1 − λ)y) =
x
=λ

+ (1 − λ)

2
x

=λ

2

2

2

+ (1 − λ)
2

− (1 − λ)

y
2

y

2

−

2
y
2

λx + (1 − λ)y
2

2
2

−λ

x
2

2

− λ(1 − λ) x, y

2

2


6
λ(1 − λ)
=
( x
2
λ(1 − λ)
=

2

2

+ y

x−y

2

− 2 x, y )

2

= λ(1 − λ)β x − y 2 ,

trong đó β =

1
2

. Theo định nghĩa, hàm f (x) =

1
2

x

2

lồi mạnh với hệ số

1
β= .
2

Định nghĩa 1.1.2. Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H và một
ánh xạ F : C → R. Ánh xạ F được gọi là
a) nửa liên tục dưới tại x ∈ C nếu với mọi dãy {xk } ⊂ C hội tụ mạnh đến
x thì
lim inf F (xk ) ≥ F (x);
k→∞

b) nửa liên tục trên tại x ∈ C nếu với mọi dãy {xk } ⊂ C hội tụ mạnh đến
x thì
lim sup F (xk ) ≥ F (x);
k→∞

Ta nói F là nửa liên tục dưới (nửa liên tục trên) trên C nếu F nửa liên tục
dưới (nửa liên tục trên) tại mọi x ∈ C.

Ví dụ 1.1.2. Xét hàm một biến trên tập X = (−∞, 1]

 x2 nếu x < 1
f (x) =
 2 nếu x = 1
Dễ thấy epif ⊂ H là tập lồi. Do đó, f là hàm lồi trên X. Hàm f là liên tục
trên (−∞, 1). Tại x = 1, hàm f là nửa liên tục trên.


7
Định nghĩa 1.1.3. Cho C là một tập con, lồi và khác rỗng của H và hàm
f : C → R ∪ {+∞}. Một véctơ p ∈ C được gọi là dưới đạo hàm của hàm f
tại x0 ∈ C, nếu
p, x − x0 ≤ f (x) − f (x0 ), ∀x ∈ C.
Tập hợp tất cả các dưới đạo hàm của hàm f tại x0 được gọi là dưới vi phân

của hàm f tại x0 , kí hiệu là
∂f (x0 ) := {p ∈ C : p, x − x0 ≤ f (x) − f (x0 ), ∀x ∈ C}.
Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x0 , nếu ∂f (x0 ) = ∅. Hàm f được gọi
là khả dưới vi phân trên miền C, nếu f khả dưới vi phân tại mọi điểm x ∈ C.

1.1.2

Nón pháp tuyến
Cho C = ∅ là một tập con trong H. Tập C được gọi là nón nếu
∀λ > 0 ∀x ∈ C ⇒ λx ∈ C.

Một tập con C trong H được gọi là nón lồi nếu nó vừa là nón vừa là tập lồi.
Định nghĩa 1.1.4. Cho C ⊆ H là một tập lồi và x ∈ C. Nón pháp tuyến
ngoài của C tại x là tập hợp
NC (x) := {w ∈ H : w, y − x ≤ 0, ∀y ∈ C}.
Véc tơ w ∈ NC (x) được gọi là véc tơ pháp tuyến ngoài tại điểm x của C.
Hiển nhiên, 0 ∈ NC (x) và dùng định nghĩa ta có NC (x) là một nón lồi
đóng.
Ví dụ 1.1.3. Cho C là một tập con, lồi và khác rỗng của H. Xét hàm chỉ

0
nếu x ∈ C
δC (x) :=
 +∞ nếu x ∈
/ C.


8
Khi đó, với x0 ∈ C ta có δC (x0 ) = 0 và
∂δC (x0 ) = {w ∈ H : w, x − x0 ≤ δC (x) − δC (x0 ), ∀x ∈ C}

= {w ∈ H : w, x − x0 ≤ δC (x), ∀x ∈ C}
= {w : w, x − x0 ≤ 0, ∀x ∈ C}
= NC (x0 ).
Nếu x ∈
/ C thì δC (x) = +∞ nên bất đẳng thức này luôn đúng. Vậy, dưới vi
phân của hàm chỉ của một tập lồi C khác ∅ tại một điểm x0 ∈ C chính là
nón pháp tuyến ngoài của C tại x0 .

1.1.3

Phép chiếu
Cho C là một tập con, lồi, đóng, khác rỗng của H. Phép chiếu metric

hay còn gọi là phép chiếu trực giao của một điểm x ∈ H lên C, kí hiệu
P rC (x), được xác dịnh bởi
P rC (x) = argmin{ x − y : y ∈ C}.
Theo định nghĩa, hình chiếu vuông góc P rC (x) của x trên C là nghiệm
của bài toán quy hoạch toàn phương lồi mạnh, có dạng:


1

2
min
x−y :y ∈C .
2

Ví dụ 1.1.4. Cho C = {(x1 , x2 ) ∈ R2 : x21 + x22 ≤ 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0}. Hãy
xác định phép chiếu P rC (x) với mọi x ∈ R2 .
Giải.

9

Phép chiếu của điểm x trên tập lồi C
Bằng hình vẽ, ta dễ thấy rằng, với mỗi x = (x1 , x2 ) ∈ R2 , P rC (x) được
xác định bởi














P rc (x) =















{x}

với x ∈ C

{(min{1, x1 }, 0)}

với x1 ≥ 0, x2 < 0

{(0, min{1, x2 })}

với x1 ≤ 0, x2 > 0

{(0, 0)}


x1

,

x21 + x22

với x1 ≤ 0, x2 ≤ 0



x2

với x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x = (0, 0).
x21 + x22 

Nếu tồn tại P rC (x), thì x − P rC (x) được gọi là khoảng cách từ điểm x đến
C và được kí hiệu bởi dC (x). Khi đó, ta có tính chất hàm khoảng cách sau:
Tính chất 1.1.5. Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H. khi đó,
hàm số dC (x) : H → R là hàm lồi.
Dùng định nghĩa trên, ta chứng minh được các tính chất sau:
Tính chất 1.1.6. Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng. Khi đó, với mọi
x ∈ H, y ∈ C, các tính chất sau là tương đương.
(i) y = P rC (x);
(ii) x − y ∈ NC (y);


10
z−y

(iii)

2

≤ z−x

2

− x − y 2 , ∀z ∈ C.

Tính chất 1.1.7. i) Với mỗi x ∈ H, P rC (x) luôn tồn tại và duy nhất;

ii) x − P rC (x), y − P rC (x) ≤ 0, ∀x ∈ H, y ∈ C;
iii) P rC (x) − P rC (y) ≤ x − y , ∀x, y ∈ H;
iv) P rC (x) − P rC (y)
v) P rC (x)−P rC (y)
vi) P rC (x) − y

1.2

2

2

2

≤ P rC (x) − P rC (y), x − y , ∀x, y ∈ H;

≤ x−y 2 − P rC (x)−x+y−P rC (y) 2 , ∀x, y ∈ H;

≤ x−y

2

− P rC (x) − x 2 , ∀x ∈ H, y ∈ C.

Hàm đơn điệu
Để thấy được tính đơn điệu suy rộng của bài toán cân bằng và bài toán

bất đẳng thức biến phân, trong mục này ta sẽ nhắc lại định nghĩa của ánh xạ
đơn điệu F trong bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C) và song hàm
đơn điệu của bài toán cân bằng EP (f, C).

Định nghĩa 1.2.1. Cho C là một tập con, lồi, khác rỗng của không gian H và
một ánh xạ F : C → H. Ánh xạ F được gọi là
a) đơn điệu mạnh trên C với hệ số β > 0, nếu
F (x) − F (y), x − y ≥ β x − y 2 , ∀x, y ∈ C;
b) đơn điệu chặt trên C, nếu
F (x) − F (y), x − y > 0, ∀x, y ∈ C, x = y;
c) đơn điệu trên C, nếu
F (x) − F (y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ C;
d) γ− giả đơn điệu mạnh trên C, nếu với mỗi x, y ∈ C,
F (y), x − y ≥ 0 ⇒ F (x), x − y ≥ γ x − y 2 ;


11
e) giả đơn điệu trên C, nếu
F (y), x − y ≥ 0 ⇒ F (x), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ C;
f) γ− tựa đơn điệu mạnh trên C, nếu
F (y), x − y > 0 ⇒ F (x), x − y ≥ γ x − y 2 , ∀x, y ∈ C;
g) liên tục Lipschitz trên C với hằng số L > 0, nếu
F (x) − F (y) ≤ L x − y , ∀x, y ∈ C.
Nếu 0 ≤ L < 1 thì ánh xạ F được gọi là ánh xạ co.
Ví dụ 1.2.1. Cho
C := {x ∈ H :
ở đây 0 <

x ≤ α, F (x) = (β − x )x}, ∀x ∈ H,

β

< α < β. Khi đó, F là giả đơn điệu mạnh với hằng số γ = β −α
2

trên C và F không đơn điệu trên C.

Giải. Giả sử F (x), y − x ≥ 0. Từ x ∈ C hay x

≤ α < β suy ra

x, y − x ≥ 0. Khi đó, ta có
F (y), y − x = (β − y ) y, y − x
≥ (β − y )( y, y − x − x, y − x )
≥ (β − α) y − x

2

= γ y − x 2.
Như vậy, F là giả đơn điệu mạnh với hằng số γ > 0 trên C. Nhưng F lại
không đơn điệu mạnh, thậm chí F không đơn điệu trên C. Thật vậy, chọn hai


12
phần tử trong C là x =

β
2 , 0, 0, . . . , 0

∈ C và y = (α, 0, 0, . . . , 0). Khi đó,

ta có


3

β
F (x) − F (y), x − y =  − α < 0.
2
Như vậy, F không đơn điệu trên C.
Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H. Ánh xạ S : C → C
được gọi là:
i) ánh xạ không giãn, nếu
Sx − Sy ≤ x − y , ∀x, y ∈ C;
ii) ánh xạ tựa không giãn, nếu F ix(S) = φ và
Sx − x∗ ≤ x − x∗ , ∀(x, x∗ ) ∈ C × F ix(S);
iii) ánh xạ giả co chặt, nếu tồn tại L ∈ [0, 1) sao cho ∀x, y ∈ C
Sx − Sy

2

≤ x−y

2

+ L (I − S)x − (I − S)y 2 ;

iv) ánh xạ tựa giả co chặt, nếu tồn tại β ∈ [0, 1) sao cho
Sx − x∗

2

≤ x − x∗

2

+ β x − Sx 2 , ∀(x, x∗ ) ∈ C × F ix(S).

Định nghĩa 1.2.2. Cho S : C → C là một ánh xạ không giãn. Một điểm
x ∈ C được gọi là điểm bất động của ánh xạ S, nếu Sx = x. Kí hiệu F ix(S)
là tập các điểm bất động của S
Định lí 1.2.1. Giả sử tồn tại β ∈ [0, 1) sao cho ánh xạ S : H → H là β−
giả co chặt và nửa đóng tại 0. Nếu S là giả co chặt thì tập điểm bất động tại
F ix(S) là tập đóng và lồi.
Ta nhắc lại một vài định nghĩa về tính đơn điệu của một song hàm f cho
bài toán cân bằng.


13
Định nghĩa 1.2.3. Song hàm f : C × C → R còn được gọi là
i) γ− đơn điệu mạnh trên C, nếu tồn tại hằng số γ > 0 sao cho
f (x, y) + f (y, x) ≤ −γ x − y 2 , ∀x, y ∈ C;
ii) đơn điệu chặt trên C, nếu bất kì x, y ∈ C và x = y sao cho
f (x, y) + f (y, x) < 0;
iii) đơn điệu trên C, nếu
f (x, y) + f (y, x) ≤ 0, ∀x, y ∈ C;
iv) tựa đơn điệu mạnh trên C, nếu
f (x, y) > 0 ⇒ f (y, x) ≤ 0, ∀x, y ∈ C;
v) giả đơn điệu trên C, nếu
f (x, y) ≥ 0 ⇒ f (y, x) ≤ 0, ∀x, y ∈ C;
vi) giả đơn điệu chặt trên C, nếu bất kì x, y ∈ C và x = y
f (x, y) ≥ 0 ⇒ f (y, x) < 0;
vii) liên tục kiểu Lipschitz trên C với hằng số c1 > 0 và c2 > 0, nếu
f (x, y) + f (y, z) ≥ f (x, z) − c1 x − y

2

− c2 y − z 2 , ∀x, y, z ∈ C.

Ta xét một vài ví dụ minh họa về tính chất đơn điệu của song hàm f .
Ví dụ 1.2.2. Cho tập C1 := {x ∈ R : x ≤ −2}, C2 := {x ∈ R : x ≤ 0} và
song hàm f : C × C → R xác định bởi
f (x, y) = (2 + x2 )(x − y).
Khi đó, f là đơn điệu mạnh trên C1 và đơn điêu chặt trên C2 . Nhưng, f không
đơn điệu mạnh trên C2 .


14
Giải. Với mọi x, y ∈ C1 , ta có
f (x, y) + f (y, x) = (2 + x2 )(x − y) + (2 + y 2 )(y − x)
= (x + y)(x − y)2
≤ −4(x − y)2 .
Như vậy, f là đơn điệu mạnh trên C1 với hằng số β = 4. Bằng cách làm tương
tự, ta cũng có
f (x, y) + f (y, x) = (x + y)(x − y)2 < 0 ∀x, y ∈ C2 , x = y,
và do đó f là ánh xạ đơn điệu chặt trên C2 . Nhưng, f không đơn điệu mạnh
trên C2 . Thật vậy, giả sử ngược lại rằng f là đơn điệu mạnh trên C2 với hệ số
β > 0. Khi đó, ta có
f (x, y) + f (y, x) ≤ −β(x − y)2 , ∀x, y ∈ C2 .
Hay
(x + y)(x − y)2 ≤ −β(x − y)2 , ∀x, y ∈ C2 .
Suy ra
x + y ≤ −β, ∀x, y ∈ C2 .
Thay x = 0 ∈ C2 , y = −

β
2

∈ C2 vào bất đẳng thức trên, ta nhận được

β
− ≤ −β. Điều này là mâu thuẫn. Như vậy, f không đơn điệu mạnh trên C2 .
2
Ví dụ 1.2.3. Xét song hàm f : R × R → R xác định bởi

 x(y − x) nếu x, y ∈ [0, +∞)
f (x, y) =
0
nếu x, y ∈
/ [0, +∞) hoặc y ∈
/ [0, +∞).
Khi đó, f đơn điệu trên C := R. Nhưng, f không đơn điệu chặt trên C.


15
Giải. Để chứng minh f là đơn điệu trên C, ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Với x, y ∈ [0, +∞), ta có f (x, y) + f (y, x) = 0 ≤ 0.
Trường hợp 2: Với x ∈
/ [0, +∞) hoặc y ∈
/ [0, +∞), ta có f (x, y) + f (y, x) =
−(x − y)2 ≤ 0. Như vậy, f là đơn điệu trên C.
Mặt khác, f là không đơn điệu chặt trên C. Vì với mọi x = 0 và x, y ∈
[0, +∞), f (x, y) + f (y, x) = 0.
Ví dụ 1.2.4. Xét song hàm f : R × R → R xác định bởi
f (x, y) = x2 (y − x).

Khi đó, f là giả đơn điệu trên C := R\{0}. Nhưng f không đơn điệu trên C.
Giải. Giả sử với mọi x, y ∈ R và f (x, y) = x2 (y − x) ≥ 0. Vì xy = 0 nên
suy ra y ≥ x và f (y, x) = y 2 (x − y) ≤ 0. Vậy f là giả đơn điệu trên R.
Mặt khác, với mọi x = y và x, y ∈ (−∞, 0), ta có
f (x, y) + f (y, x) = x2 (y − x) + y 2 (x − y) = −(x + y)(x − y)2 > 0.
Vậy, f không đơn điệu trên R.
Nhận xét: Cho C là một tập con, khác rỗng của H và ánh xạ F : C → H.
Giả sử song hàm f : C × C → R xác định bởi f (x, y) := F (x), y − x với
mọi x, y ∈ C. Bằng định nghĩa, ta dễ dàng chỉ ra rằng các khái niệm về tính
đơn điệu của f và các khái niệm đơn điệu tương ứng của F là tương đương
(ví dụ song hàm f đơn điệu mạnh tương ứng với ánh xạ F là đơn điệu mạnh).

1.3
1.3.1

Bài toán bất đẳng thức biến phân
Phát biểu bài toán
Cho C là một tập con, lồi, đóng, khác rỗng của H và hàm F : C → H.

Khi đó, bài toán bất đẳng thức biến phân, viết tắt V I(F, C), được phát biểu
dưới dạng:


16
Tìm x∗ ∈ C sao cho F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C.
Tập nghiệm của bài toán V I(F, C) được kí hiệu là Sol(F, C). Như thường lệ,
F được gọi là ánh xạ giá. Một biểu diễn hình học của bài toán bất đẳng thức
biến phân V I(F, C) có dạng: x∗ ∈ C là một nghiệm của bài toán V I(F, C)
khi và chỉ khi góc tại bởi véctơ F (x∗ ) và véctơ y − x∗ là góc nhọn hoặc vuông
với mọi y ∈ C.

1.3.2

Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân
Sự tồn tại nghiệm của bài toán V I(F, C) được thể hiện trong các định

lý sau:
Định lí 1.3.1. Cho C là một tập con lồi, compact và khác rỗng của một không
gian Hilbert thực H và một ánh xạ liên tục F : C → H. Khi đó, bài toán bất
đẳng thức biến phân V I(F, C) có nghiệm.
Định lí 1.3.2. Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của một không
gian Hilbert thực H và một ánh xạ liên tục F : C → H. Khi đó, bài toán bất
đẳng thức biến phân V I(F, C) có nghiệm khi và chỉ khi tồn tại R > 0 sao
cho bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C ∩ B(0, R)) có một nghiệm xR
thỏa mãn xR < R.
Hệ quả 1.3.1. Cho C là một tập lồi, đóng và khác rỗng của một không gian
H và một ánh xạ liên tục F : C → H thỏa mãn điều kiện bức hay tồn tại
x0 ∈ C sao cho
F (x) − F (x0 ), x − x0
x − x0

→ +∞ khi x → +∞, x ∈ C.

Khi đó, bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C) có nghiệm.


17

1.4

Bài toán cân bằng
Có thể nói cân bằng là một sự phát triển tiếp tục của tối ưu hóa và

bất đẳng thức biến phân. Bài toán bất đẳng thức biến phân là một trường hợp
riêng của bài toán cân bằng. Về mặt lí thuyết, như sự tồn tại nghiệm, nhiều
kết quả cơ bản và quan trọng đã đạt được cho bài toán cân bằng tổng quát trên
các không gian trừu tượng. Tuy nhiên, về mặt tính toán, các kết quả còn hạn
chế. Trong mục này ta trình bày một số kiến thức cơ bản: Phát biểu bài toán
và nêu một số kết quả cơ bản về sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm, tính chất
tập nghiệm bài toán cân bằng.
Bài toán cân bằng EP (f, C) và bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C)
có mối quan hệ ràng buộc xác định bởi hệ thức
f (x, y) = F x, y − x , ∀x, y ∈ C.

1.4.1

Phát biểu bài toán
Cho C là một tập con, lồi, đóng, khác rỗng của không gian H và một

song hàm f : C × C → R thoả mãn f (x, x) = 0 với mọi x ∈ C. Bài toán
cân bằng, viết tắt là EP (f, C), được phát biểu như sau:
Tìm x∗ ∈ C sao cho f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C.
Ta kí hiệu tập nghiệm của bài toán EP (f, C) là Sol(f, C).

1.4.2

Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng
Bây giờ ta sẽ nhắc lại một số kết quả quan trọng về sự tồn tại nghiệm

và tính duy nhât nghiệm của bài toán cân bằng.

Định lí 1.4.1. Cho C là một tập lồi, đóng khác rỗng của H và song hàm cân
bằng f : C × C → R có các tính chất: f (x, .) là hàm tựa lồi nửa liên tục


18
dưới trên C, ∀x ∈ C; f (., y) là hàm tựa lõm, nửa liên tục trên trên C. Giả sử
một trong hai điều kiện dưới đây đúng
i) Tồn tại một tập hữu hạn N ⊆ C sao cho tập
C N :=

x ∈ C| min f (x, y) ≥ 0
y∈N

là compact.
ii) Tồn tại một tập hữu hạn M ⊆ C sao cho tập
DM :=

x ∈ C| max f (x, y) ≤ 0
x∈M

là compact.
Khi đó, bài toán EP (f, C) có nghiệm.
Hệ quả 1.4.1. Cho C là một tập con, lồi, đóng, khác rỗng của H và f :
C × C → R ∪ {+∞} là một song hàm sao cho f (., y) là nửa liên tục trên
với mỗi y ∈ C và f (x, .) là hàm tựa lồi x ∈ C. Giả sử rằng ít nhất một trong
các giả thiết sau được thỏa mãn:
i) C là tập compact,
ii) Điều kiện bức: Tồn tại một tập con compact, khác rỗng W của C sao
cho với mọi x ∈ C\W , tồn tại y ∈ W để f (x, y) < 0.
Khi đó, bài toán cân bằng EP (f, C) sẽ có nghiệm.

Tính đơn điệu của song hàm f qui định cấu trúc tập nghiệm của bài toán
cân bằng EP (f, C) được trình bày chi tiết trong mệnh đề dưới đây.
Mệnh đề 1.4.1. Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H và một
song hàm f : C × C → R ∪ {+∞} thỏa mãn f (x, x) = 0 với mọi x ∈ C.
i) Nếu f giả đơn điệu chặt thì bài toán EP (f, C) có nhiều nhất một
nghiệm.