Giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm bài toán cân bằng (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
—————o0o—————

NGUYỄN DOÃN MINH

GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
TRÊN TẬP NGHIỆM BÀI TOÁN CÂN BẰNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
—————o0o—————

NGUYỄN DOÃN MINH

GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
TRÊN TẬP NGHIỆM BÀI TOÁN CÂN BẰNG

Ngành: Toán giải tích
Mã số: 8 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học
GS.TSKH. NGUYỄN XUÂN TẤN

Thái Nguyên, năm 2019


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi
dưới sự hướng dẫn trực tiếp của GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn.
Các tài liệu trong luận văn là trung thực. Trong quá trình nghiên cứu,
tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng
và biết ơn.
Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ công trình nào.

Thái Nguyên, ngày 30 tháng 04 năm 2019
Tác giả

NGUYỄN DOÃN MINH

XÁC NHẬN

XÁC NHẬN

CỦA KHOA CHUYÊN MÔN

CỦA CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

GS.TSKH. NGUYỄN XUÂN TẤN

i


Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn.
Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến
GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn về sự hướng dẫn hiệu quả, tận tình chỉ
bảo và động viên tôi trong suốt thời gian nghiên cứu vừa qua.
Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo - Bộ phận Sau Đại học, Ban
chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm Thái
Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy
và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu
khoa học.
Xin chân thành cảm ơn Trường THCS Phú Lâm cùng các đồng nghiệp
đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn
thành bản luận văn này.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì
vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn
học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi
trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.

Thái Nguyên, ngày 30 tháng 04 năm 2019
Tác giả

NGUYỄN DOÃN MINH

ii


Mục lục
Lời mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị

4

1.1

Không gian Hilbert và một số tính chất . . . . . . . . . . .

5

1.2

Bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3

Bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2 Một số phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân
trên tập nghiệm bài toán cân bằng

27

2.1

Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp . . . . . . . . . .

28

2.2

Bài toán bất đẳng thức biến phân trên ràng buộc điểm bất
động tách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.3

Bài toán cân bằng hai cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.4

Bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài
toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

Kết luận

40

Tài liệu tham khảo

41

iii


Lời mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Từ những năm 1950, Nikaido và Isoda đã đưa ra khái niệm cân bằng
trong toán học, sau đó năm 1958 John Nash đưa ra khái niệm cân bằng
trong trò chơi không hợp tác, năm 1972 Ky Fan đã chứng minh sự tồn tại
nghiệm của một bất đẳng thức, người ta gọi là bài toán cân bằng kiểu Ky
Fan. Từ năm 1994 Blum và Oettli đã phát biểu bài toán cân bằng một cách
ngắn gọn như sau:
Cho C là tập hợp cân bằng trong H , f : C × C → H , f (u, u) = 0.
Bài toán tìm u∗ ∈ C sao cho f (u∗ , u) ≥ 0, ∀u ∈ C , bài toán này được gọi
là bài toán cân bằng, u∗ được gọi là điểm cân bằng, hàm f được gọi là song
hàm. Bài toán này bao gồm các bài toán khác trong lý thuyết tối ưu như
những trường hợp đặc biệt. Sau đó các nhà toán học đã phát biểu bài toán
này cho trường hợp véctơ và trường hợp liên quan đến ánh xạ đa trị.
Trong thực tế nhiều khi ta gặp trường hợp giải bài toán này trên tập
nghiệm của bài toán khác, những bài toán như vậy được gọi là bài toán cấp
hai. Mục đích của luận văn này là viết một tổng quan về sự tồn tại nghiệm
của bài toán bất đẳng thức biến phân cũng như bài toán cân bằng và xây
dựng một số thuật toán để giải bài tài toán bất đẳng thức biến phân trên
tập nghiệm bài toán cân bằng.
Chính vì vậy với mong muốn tìm hiểu nhiều hơn về vấn đề trên, cùng
với sự gợi ý giúp đỡ nhiệt tình của GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn, tôi
chọn đề tài: "Giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm
bài toán cân bằng" làm luận văn thạc sỹ của mình.

1


2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích mà đề tài đặt ra là nghiên cứu một số phương pháp giải bài
toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng.
(i) Đề tài nghiên cứu chỉ ra phương pháp đạo hàm tăng cường giải bài
toán BV I(F, G, C) với điểm mới là sử dụng tính chất co của ánh xạ

Tλ = I − λF với λ > 0, F là ánh xạ giá đơn điệu mạnh và liên tục
Lipschitz, ánh xạ G đơn điệu mạnh ngược, theo P.N. Anh.
(ii) Kết hợp giữa phương pháp dưới đạo hàm kết hợp kỹ thuật điểm bất
động đưa ra thuật toán để giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên
tập nghiệm của bài toán cân bằng V IEP (F, f, C) với ánh xạ giá F
đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz, song hàm f giả đơn điệu thỏa
mãn điều kiện tiền đơn điệu chặt.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Với các mục đích đặt ra như trên, trong đề tài này chúng tôi nghiên
cứu các nội dung sau về phương pháp giải bài toán V IEP (F, f, C):
(i) Nghiên cứu xây dựng phương pháp ánh xạ nghiệm để giải bài toán cân
bằng trên giả thiết song hàm f là giả co chặt, đồng thời chứng minh
được tính tựa không giãn và tựa co của ánh xạ nghiệm:

S(u) = argmin λf (u, v) +

1
v−u
2

2

: v ∈ C , ∀u ∈ C.

(ii) Nghiên cứu xây dựng thuật toán giải bài toán bất đẳng thức biến phân
trên tập nghiệm bài toán cân bằng với giả thiết song hàm f giả đơn
điệu, liên tục Lipschitz và hàm giá F liên tục Lipschitz, đơn điệu mạnh.

4. Phương pháp nghiên cứu
Thu thập tài liệu và các kết quả liên quan tới các bài toán bất đẳng
thức biến phân, bài toán cân bằng, các phương pháp giải các bài toán trên,
2


để chỉ ra được những điểm mạnh của những phương pháp mới giải bài toán
tìm nghiệm của bài toán V IEP (F, f, C), đưa ra các thuật toán mới được
tạo bởi các dãy lặp khá đơn giản với điều kiện của song hàm f đơn điệu
mạnh và ánh xạ giá F đơn điệu, đồng thời chứng minh sự hội tụ mạnh của
các dãy này về một nghiệm của bài toán V IEP (F, f, C).

5. Dự kiến kết quả nghiên cứu
Đề tài là một tổng quan về những kiến thức liên quan tới các kết quả
về phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm bài
toán cân bằng.
Đề tài được chia thành các chương.
Chương 1 Viết về những kiến thức cơ bản của lý thuyết không gian
Hilbert. Các tính chất liên tục, lồi của ánh xạ. Một số định lý tồn tại nghiệm
của bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng.
Chương 2 Viết về một số thuật toán giải bài toán bất đẳng thức

biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng.

3


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Khi phát biểu một bài toán, người ta phải quan tâm bài toán được
đặt ra ở đâu. Tức là phải quan tâm tới không gian của bài toán. Vậy trước
hết ta phải nhắc lại một số kiến thức liên quan tới không gian, sau đó tới
một số tính chất của chúng.
Một không gian tuyến tính thực (phức) cùng với một hàm ·, · song
tuyến tính thực (phức), đối xứng thỏa mãn điều kiện

u, u ≥ 0, ∀u ∈ H,

u, u = 0 ⇔ u = 0,

được gọi là không gian tiền Hilbert thực (phức).
Trong không gian tiền Hilbert ta định nghĩa được chuẩn của u ∈ H
như sau: u =

u, u , ta dễ dàng chứng minh được đây là một chuẩn

trên H và từ chuẩn này ta định nghĩa được khoảng cách giữa hai điểm u, v
như sau: ρ(u, v) = u − v ; khi ấy H, ρ trở thành không gian định chuẩn.
Nếu H đầy đủ với chuẩn này thì không gian với tích vô hướng được
gọi là không gian Hilbert. Ta dễ dàng nhận thấy trong không gian Hilbert

H , cấu trúc tôpô và cấu trúc đại số tương đương nhau, tức là các phép tính
đại số liên tục với tôpô sinh bởi metric.
Tiếp theo ta đưa vào khái niệm ánh xạ trong không gian Hilbert.
Cho H1 , H2 , H3 là không gian Hilbert, phép chuyển T chuyển một
phân tử từ H1 vào H2 được gọi là một ánh xạ (hay một toán tử), ta có thể
phân loại các ánh xạ đưa vào cấu trúc tôpô và cấu trúc đại số.
(i) T (αu + βv) = αT (u) + βT (v) với α, β ∈ R, u, v ∈ H1 thì T được gọi
4


là ánh xạ tuyến tính; ngược lại T được gọi là ánh xạ phi tuyến;
(ii) T được gọi là liên tục nếu u → u thì T (u) → T (u);
(iii) T có đồ thị đóng thì được gọi là ánh xạ đóng;
(iv) T chuyển từ tập giới nội thành tập compact tương đối (A ⊂ H1 , T A
là compact) thì T được gọi là ánh xạ compact.
Tiếp theo ta nêu một số tính chất của ánh xạ.
(i) Cho T1 , T2 liên tục (đóng, compact) thì T1 + T2 cũng liên tục (đóng,
compact);
(ii) Cho T là liên tục (đóng, compact) và α ∈ R thì αT cũng là liên tục
(đóng, compact);
(iii) Cho T1 : H1 → H2 , T2 : H2 → H3 ; T1 , T2 liên tục (đóng, compact) thì

T1 .T2 cũng liên tục.
1.1

Không gian Hilbert và một số tính chất
Trong phần này ta nhắc lại định nghĩa không gian Hilbert, một số

khái niệm cơ bản thuộc không gian Hilbert như tính trực giao, hình chiếu,
toán tử compact và toán tử bị chặn.

Định nghĩa 1.1 Cho H là một không gian tuyến tính thực. Tích vô hướng
xác định trên H là một ánh xạ được xác định như sau:

·, · : H × H → R,
(u, v) → u, v ;
thỏa mãn các điều kiện sau:
(a) u, v = v, u , ∀u, v ∈ H;
(b) u + v, t = u, t + v, t , ∀u, v, t ∈ H;
(c) λu, v = λ u, v , ∀λ ∈ R, ∀u, v ∈ H;
(d) u, u ≥ 0, ∀u ∈ H,

u, u = 0 ⇔ u = 0.
5


u, v được gọi là tích vô hướng của hai véctơ u và v .
Nếu H là không gian tuyến tính định chuẩn với u =

u, u với

mọi u ∈ H thì H được gọi là không gian tiền Hilbert.
Nếu không gian tiền Hilbert là đầy đủ thì nó được gọi là không gian
Hilbert.
Trong luận văn này ta thống nhất ký hiệu H là một không gian Hilbert
và ta chủ yếu làm việc trên không gian Hilbert thực H .
Ta nói hai véctơ u và v của một không gian Hilbert H trực giao với
nhau, và ký hiệu u ⊥ v , nếu u, v = 0. Ta ký hiệu tích vô hướng ·, · và
chuẩn tương ứng được xác định bởi u =

u, u với mọi u ∈ H . Ta định

nghĩa ánh xạ trong không gian Hilbert, cho H1 , H2 là không gian Hilbert,
phép chuyển một phần tử của H1 vào H2 được gọi là một ánh xạ, ta phân
loại một số lớp ánh xạ như sau:
Định nghĩa 1.2 Ánh xạ T : H → H được gọi là ánh xạ compact nếu với
mọi dãy {un } bị chặn trong H , dãy {Aun } chứa dãy con hội tụ.
Sau đây ta nêu một số phép tính của ánh xạ:
i) Cho T1 : H → H, T2 : H → H là ánh xạ compact trong không gian
Hilbert H thì T1 + T2 là ánh xạ compact.
ii) Với α ∈ R, T là ánh xạ compact trong không gian Hilbert H thì αT là
ánh xạ compact.
iii) Cho T là ánh xạ compact trong không gian Hilbert H và K là toán tử
bị chặn trên H . Khi đó T K và KT là ánh xạ compact.
Định nghĩa 1.3 Một dãy {uk } ∈ H được gọi là hội tụ mạnh đến u∗ ∈ H
nếu uk − u∗ → 0 khi k → ∞, ký hiệu uk → u.
Tương tự, một dãy {uk } ∈ H được gọi là hội tụ yếu đến u∗ ∈ H nếu

u, uk − u∗ → 0 với mọi u ∈ H khi k → ∞, ký hiệu uk

u.

Định lý 1.1 ([6]) Giả sử H là không gian Hilbert thực, cho dãy {uk } và

u∗ ∈ H . Khi đó, ta có
6


i) Nếu uk → u, thì uk

u;

u∗ và uk → u∗ trong H , thì uk → u∗ ;

ii) Nếu uk

iii) Nếu không gian Hilbert thực H là hữu hạn chiều, thì sự hội tụ mạnh và
hội tụ yếu là tương đương;
iv) Mọi dãy con bị chặn trong không gian Hilbert H đều chứa dãy con hội
tụ yếu.
Theo định nghĩa chuẩn, ta có tính chất quan trọng sau.
Bổ đề 1.1 Với mỗi u, v ∈ H , ta có
(i) u − v

2

= u

2

− v
2

(ii) t(u) + (1 − t)v

2

− 2 u − v, v ;

=t u

2

+ (1 − t) v

2

− t(1 − t) u − v 2 , ∀t ∈ [0, 1].

Cho C là một tập con, lồi, đóng, khác rỗng của H . Hình chiếu của
một điểm u ∈ H trên C , ký hiệu P rC (u) là một điểm thuộc C và gần điểm

u nhất, được xác định bởi
P rC (u) = argmin{ u − v : v ∈ C}.

(1.1)

Phép chiếu xác định bởi (1.1) có các tính chất sau:
Bổ đề 1.2 Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của H . Khi đó,
(i) u − P rC (u), v − P rC (u) ≤ 0, ∀v ∈ C, u ∈ H ;
(ii) P rC (u) − P rC (v), u − v ≥ P rC (u) − P rC (v) 2 , ∀u, v ∈ H ;
(iii) u − P rC (u)

2

≤ u−v

2

− v − P rC (u) 2 , ∀u ∈ H, v ∈ C ;

(iv) P rC (u) − P rC (v)

2

≤ u − v 2 , ∀u, v ∈ H ;

(v) P rC (u) − P rC (v)

2

≤ u−v

2

− P rC (u) − u + v − P rC (v) 2 ,

∀u, v ∈ H ;
(vi) u − P rC (u − v)
(vii) t − P rC (u − v)

2
2

≤ v , ∀u, v ∈ H ;
≤ u−t

2

− 2 u − t, v + 5 v 2 , ∀u, t ∈ C, v ∈ H.

Phép chiếu P rC trong không gian Hilbert đóng vai trò quan trọng
trong việc xây dựng Thuật toán giải bài toán bất đẳng thức biến phân.
7


1.2

Bài toán bất đẳng thức biến phân

1.2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân

Cho C là tập con, lồi, đóng, khác rỗng của một không gian Hilbert
thực H và ánh xạ F : C → H . Bài toán bất đẳng thức biến phân xác định
bởi C và F , ký hiệu V I(F, C), là bài toán tìm u∗ ∈ C sao cho

F (u∗ ), u − u∗ ≥ 0, ∀u ∈ C.
Tập nghiệm của bài toán được ký hiệu S(F, C). Ánh xạ F được gọi là ánh
xạ giá..
a, Trong trường hợp đặc biệt C = H , bài toán V I(F, C) quy được
viết dưới dạng bài toán giải phương trình phi tuyến

F (u) = 0.
b, Khi C là một nón lồi trong H thỏa mãn λu ∈ C với mọi λ ∈ R+
và u ∈ C . Từ u∗ ∈ C , ta có

F (u∗ ), λu∗ − u∗ , ∀λ ∈ R+ ,
F (u∗ ), u∗ = 0.

và do đó:

(1.2)

Ngược lại, nếu u∗ ∈ C thỏa mãn (1.2) và F (u∗ ) ∈ C ∗ = {v ∈ H :

v, u ≥ 0, ∀u ∈ C}, thì u∗ ∈ S(F, C). Như vậy, bài toán V I(F, C) được
phát biểu dưới dạng bài toán tìm điểm u∗ thỏa mãn

u∗ ∈ C, F (u∗ ) ∈ C ∗ , F (u∗ ), u∗ = 0.
Bài toán này thường được gọi là bài toán bù phi tuyến trong không
gian Hilbert thực H.
Để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến
phân và bài toán cân bằng, ta cần một số tính chất của toán tử trong không
gian Hilbert, ta có
Định nghĩa 1.4 Cho C là một tập con khác rỗng của H . Một ánh xạ

F : C → H được gọi là
8


(a) đơn điệu mạnh với hằng số γ > 0 trên C , nếu

F (u) − F (v), u − v ≥ γ u − v 2 , ∀u, v ∈ C;
(b) đơn điệu trên C , nếu

F (u) − F (v), u − v ≥ 0, ∀u, v ∈ C;
(c) giả đơn điệu trên C , nếu

F (v), u − v ≥ 0 ⇒ F (u), u − v ≥ 0, ∀u, v ∈ C;
(d) đơn điệu mạnh ngược trên C với hằng số β > 0, nếu

F (u) − F (v), u − v ≥ β F (u) − F (v) 2 , ∀u, v ∈ C;
(e) liên tục Lipschitz với hằng số L > 0 trên C , nếu

F (u) − F (v) ≤ L u − v , ∀u, v ∈ C.
Theo định nghĩa trên, nếu F đơn điệu mạnh ngược với hằng số β > 0
thì F liên tục Lipschitz với hằng số L =

1
β

và đơn điệu trên C , và quan hệ

(a) ⇒ (b) ⇒ (c). Nhưng chiều ngược lại là không đúng trong trường hợp
tổng quát. Chẳng hạn như F : C → R xác định bởi F (u) = u2 là giả đơn
điệu nhưng không đơn điệu trên C = R, là đơn điệu, nhưng không đơn điệu
mạnh trên C = [0, 1].
Mệnh đề 1.1 Điểm u∗ ∈ C là một nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến
phân V I(F, C) khi và chỉ khi

u∗ = P rC (u∗ − λF (u∗ )),
trong đó λ là một hằng số dương bất kỳ.
Chứng minh. Cho λ > 0. Theo định nghĩa của phép chiếu P rC và

u∗ = P rC (u∗ − λF (u∗ )), ta có
u∗ − λF (u∗ ) − u∗ , u − u∗ ≤ 0 ∀u ∈ C;
và do đó − λF (u∗ ), u − u∗ ≤ 0 ∀u ∈ C. Vậy, u∗ ∈ S(F, C).
9


1.2.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân

Sau đây ta nêu một số định lý về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất
đẳng thức biến phân.
Định lý 1.2 Cho C ⊂ H là tập lồi, đóng. Khi đó v = PC (u) nếu và chỉ
nếu v ∈ C sao cho

u − v, w − v ≤ 0, ∀w ∈ C.
Hệ quả 1.1 Cho C ⊂ H là tập lồi, đóng và F : C → H . Thì u∗ nghiệm
đúng của V I(F, C). khi và chỉ khi

u∗ = PC (u∗ − λF (u∗ )) với mỗi λ > 0.
Chứng minh. Với λ > 0 là một vô hướng. Từ định lý 1.2, u∗ = PC (u∗ −

λF (u∗ )) khi và chỉ khi u∗ ∈ C và
u∗ − λF (u∗ ) − u∗ , u − u∗ ≤ 0, ∀u ∈ C.
Điều này tương đương với u∗ ∈ C và

F (u∗ ), u − u∗ ≥ 0, ∀u ∈ C,
hay u∗ ∈ Sol(F, C).
Trong bài toán bất đẳng thức V I(F, C), với mỗi u ∈ C và λ > 0 xét
ánh xạ FCnat : C → C xác định bởi

FCnat (u) = u − PC (u − λF (u)).
Ánh xạ FCnat thường được gọi là ánh xạ giá tự nhiên của F trên C . Mối
quan hệ giữa nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C) và
ánh xạ giá tự nhiên FCnat được trình bày trong kết quả dưới đây.
Mệnh đề 1.2 Một điểm u∗ là một nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến
phân V I(F, C) nếu và chỉ nếu nó là không điểm của ánh xạ FCnat , hay

0 = FCnat (u∗ ).

Chứng minh. Theo định nghĩa nghiệm của bài toán bất đẳng thức
biến phân V I(F, C) và λ > 0, ta có

λF (u∗ ), v − u∗ ≥ 0, ∀v ∈ C.
10


hay

u∗ − [u∗ − λF (u∗ )] , v − u∗ ≥ 0, ∀v ∈ C.
Mà u − PC (u), v − PC (u) ≤ 0, ∀v ∈ C, u ∈ H nên bất đẳng thức

này tương đương với

u∗ = PC (u∗ − λF (u∗ )),
hay u∗ là không điểm của ánh xạ giá tự nhiên FCnat .
Định lý 1.3 Cho C là môt tập con, lồi, compact và khác rỗng của không
gian Hilbert thực H , và một ánh xạ liên tục F : C → H . Khi đó bài toán
bất đẳng thức biến phân V I(F, C) có nghiệm.
Chứng minh. Ta có, với mỗi u ∈ H thì PC (u) tồn tại và duy nhất,
ánh xạ PC còn được gọi là ánh xạ không giãn trên C . Do vậy, với mỗi λ > 0,
phép chiếu PC (I − λF ) : C → C là một ánh xạ liên tục. Từ C là một tập
lồi, compact khác rỗng và PC (I − λF ) liên tục, tồn tại duy nhất không điểm

u∗ ∈ C của ánh xạ giá tự nhiên FCnat sao cho 0 = FCnat (u∗ ).
Với mỗi u = u∗ − λF (u∗ ), ta có

v − PC (u∗ − λF (u∗ )), u∗ − λF (u∗ ) − PC (u∗ − λF (u∗ )) ≤ 0, ∀v ∈ C.
Kết hợp điều này với PC (I − λF )(u∗ ) = u∗ suy ra

v − u∗ , u∗ − λF (u∗ ) − u∗ ≤ 0.
Với giả thiết λ > 0, ta có

F (u∗ ), v − u∗ ≥ 0, ∀v ∈ C.
Vậy u∗ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C).

Sol(F, C) là ký hiệu tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân
V I(F, C). Thông qua các giả thiết đơn điệu của hàm giá F , việc giải bài
toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C) rất gần với việc giải bài toán sau
(ký hiệu DV I(F, C)):
Tìm u∗ ∈ C sao cho F (u), u − u∗ ≥ 0, ∀u ∈ C.
Bài toán này thường được gọi là bài toán đối ngẫu của bài toán bất đẳng
thức biến phân V I(F, C). Ta ký hiệu tập nghiệm của bài toán DV I(F, C)
11


là Sol(F, C)∗ . Khi đó tính chất của tập nghiệm Sol(F, C) và mối quan hệ
của nó với tập nghiệm Sol(F, C)∗ như nhau.
Định lý 1.4 Cho C là một tập lồi, đóng, giới nội trong không gian Hilbert
H và F : C → H ∗ là ánh xạ đơn điệu và liên tục trên các không gian con
hữu hạn chiều. Khi ấy tập nghiệm của Bất đẳng thức biến phân (1.1) khác
rỗng, lồi và đóng. Nếu ngoài ra T là đơn điệu chặt thì (1.1) có tính duy nhất
nghiệm.
Để chứng minh định lý 1.4 thì ta cần bổ đề sau về tính chất ánh xạ
đơn điệu và một bổ đề về tồn tại nghệm của bất đẳng thức trong không
gian hữu hạn chiều.
Bổ đề 1.2 (Minty, 1962). Cho tập C, không gian H và ánh xạ F như ở
Định lý 1.4. Khi ấy u∗ ∈ C thỏa mãn F (u∗ ), v − u∗ ≥ 0, ∀v ∈ C khi và
chỉ khi F (v), v − u∗ ≥ 0, ∀v ∈ C.
Bổ đề 1.3 (Hartman – Stampacchia). Cho D là một tập lồi, compact

trong không gian Rn và F : D → (Rn )∗ là một ánh xạ liên tục. Khi ấy tồn
tại sao cho:

F (u∗ ), v − u∗ ≥ 0, ∀v ∈ D.
Chứng minh. Do có thể đồng nhất (Rn )∗ với Rn , nghĩa là có thể đồng nhất

F (u) ∈ (Rn )∗ với ΠF (u) ∈ Rn nên việc chứng minh tương đương với việc
chỉ ra sự tồn tại của u∗ ∈ D sao cho ΠF (u∗ ), v − u∗ ≥ 0, ∀v ∈ D, hay

u∗ , v − u∗ ≥ u∗ − ΠF (u∗ ), v − u∗ , ∀v ∈ D.
Với v ∈ Rn gọi là PD V là hình chiếu của V trên D.
Ta có ánh xạ PD (I − ΠF ) : D → D là liên tục tục (I là ánh xạ đồng nhất).
Do đó theo Định lý điểm bất động Brouwer ánh xạ PD (I − ΠF ) có điểm
bất động, nghĩa là có u∗ ∈ D sao cho u∗ = PD (I − ΠF )(u∗ ).
Theo tính chất của hình chiếu trực giao ta có

u∗ , v − u∗ ≥ (I − ΠF )(u∗ ), v − u∗ , ∀v ∈ D, hay
u∗ , v − u∗ ≥ (u∗ − ΠF )(u∗ ), v − u∗ , ∀v ∈ D.
12


Bổ đề được chứng minh.
Chứng minh định lý 1.4
Ở đây ta chỉ nêu ý chính của chứng minh (một số kết quả tổng quát
hơn với cách chứng minh tương tự (đối với bất đẳng thức biến phân giả đơn
điệu) được chứng minh chi tiết ở phần sau).
Đặt S(v) = {u : F u, v − u ≥ 0}, ∀v ∈ C.
Ta có S(v) đóng yếu trong tập compact yếu C và họ tập {S(v) : v ∈

C} có tính chất giao hữu hạn. Tính chất này được chỉ ra nhờ dùng Bổ đề

1.3 để chứng minh bất đẳng thức biến phân sau có nghiệm:

uM ∈ C ∩ M : F (uM ), v − uM ≥ 0, ∀v ∈ ∩M,
trong đó M ⊂ B là một không gian con hữu hạn chiều của B với C ∩M = ∅.
Do đó

v∈C

S(v) = ∅1 , nghĩa là (1.1) có nghiệm. Tính lồi, đóng của

tập nghiệm suy ra từ Bổ đề 1.2.

1.3

Bài toán cân bằng
Cho C là tập con, lồi, khác rỗng trong không gian Hilbert thực H và

song hàm f : C × C → R thỏa mãn f (u, u) = 0 với mọi u ∈ C . Bài toán
cân bằng, ký hiệu là EP (f, C), được phát biểu như sau:
Tìm u∗ ∈ C sao cho F (u∗ , v) ≥ 0, ∀v ∈ C.
Tập nghiệm của bài toán EP (f, C) ký hiệu là Sol(f, C).
Ta nhắc lại một số định nghĩa của song hàm f . Song hàm f : C ×C →

R được gọi là
(i) γ - đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại hằng số γ > 0 sao cho

f (u, v) + f (v, u) ≤ −γ u − v 2 , ∀, v ∈ C;
(ii) đơn điệu chặt trên C nếu bất kỳ u, v ∈ C và u = v sao cho

f (u, v) + f (v, u) < 0;

13


(iii) đơn điệu trên C nếu

f (u, v) + f (v, u) ≤ 0, ∀u, v ∈ C;
(iv) γ - giả đơn điệu mạnh trên C nếu

f (u, v) ≥ 0 suy ra f (v, u) ≤ −γ u − v 2 , ∀u, v ∈ C;
(v) giả đơn điệu trên C nếu

f (u, v) ≥ 0 suy ra f (v, u) ≤ 0, ∀u, v ∈ C;
(vi) giả đơn điệu chặt trên C nếu bất kỳ u, v ∈ C và u = v

f (u, v) ≥ 0 suy ra f (v, u) < 0;
(vii) liên tục kiểu Lipschitz trên C với hằng số c1 > 0 và c2 > 0 nếu

f (u, v) + f (v, t) ≥ F (u, t) − c1 u − v

2

− c2 v − t 2 , ∀u, v, t ∈ C.

Từ định nghĩa trên, dễ dàng ta có quan hệ sau:

(i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (v) ⇐ (iv).
Trong trường hợp tổng quát, các chiều ngược lại nói chung là không đúng.
1.3.1 Các trường hợp riêng của bài toán cân bằng

Bài toán cân bằng có dạng đơn giản tuy nhiên nó bao hàm một lớp

các bài toán quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác. Nó mang đến một cách
nhìn tương đối tổng quát về các bài toán khác nhau bắt nguồn từ nhiều
lĩnh vực nghiên cứu khác nhau, hợp nhất chúng trong một thể thống nhất.
Sau đây ta xét mối quan hệ giữa bài toán EP (f, C) với các bài toán thường
gặp.
Bài toán tối ưu

Cho C là tập con, lồi, đóng và khác rỗng của H và F : C → R là
hàm lồi và nửa liên tục dưới. Bài toán tối ưu, ký hiệu (OP ), là bài toán:
Tìm u∗ ∈ C sao cho F (u∗ ) ≤ F (v), ∀v ∈ C.
14


Bằng cách đặt f (u, v) = F (v) − F (u) với mọi u, v ∈ C . Theo định nghĩa,

u∗ là nghiệm của bài toán (OP ) nếu và chỉ nếu u∗ là nghiệm của bài toán
EP (f, C).
Bài toán bù phi tuyến

Cho C ⊂ H là một nón lồi và đóng,

C ∗ = {u ∈ H : u, v ≥ 0, ∀v ∈ C},
là nón đối ngẫu của nón C và một ánh xạ liên tục S : C → H . Bài toán bù
phi tuyến, ký hiệu (C, P ) là bài toán:
Tìm u∗ ∈ C sao cho S(u∗ ) ∈ C ∗ và S(u∗ ), u∗ = 0.
Với mọi u, v ∈ C , đặt f (u, v) = S(u), v − u . Khi đó, bài toán (C, P ) sẽ
tương đương với bài toán EP (f, C).
Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị

Cho C ⊂ H là một tập lồi, đóng, khác rỗng và T : C → 2H là một

ánh xạ đa trị, nửa liên tục trên sao cho T (u) là tập compact khác rỗng với
mọi u ∈ C . Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị, ký hiệu M V I(T, C),
là bài toán : Tìm điểm u∗ ∈ C và w∗ ∈ T (u∗ ) sao cho

w∗ , u − u∗ ≥ 0, ∀u ∈ C.
Với mỗi u, v ∈ C , bằng cách đặt

f (u, v) = max{ w, v − u : w ∈ T (u)}.
Khi đó, u∗ là nghiệm của bài toán M V I(T, C) khi và chỉ khi u∗ là nghiệm
của bài toán EP (f, C).
Trong trường hợp ánh xạ giá T của bài toán M V I(T, C) là đơn trị,
bài toán này sẽ trở về bài toán bất đẳng thức biến phân thông thường.

15


Bài toán điểm bất động

Cho C ⊂ H là một tập lồi, đóng, khác rỗng và T : C → 2H là một
ánh xạ đa trị, nửa liên tục trên sao cho T (u) là tập con, lồi, compact khác
rỗng của C với mọi u ∈ C . Bài toán điểm bất động, ký hiệu F ix(T ), là bài
toán:
Tìm điểm u∗ ∈ C sao cho u∗ ∈ T (u∗ ).
Đặt f (u, v) = max u − w, v − u với mọi u, v ∈ C . Khi đó u∗ là nghiệm
w∈T (u)

của bài toán F ix(T ) khi và chỉ khi u∗ là nghiệm của bài toán EP (f, C).
Bài toán điểm yên ngựa

Cho C1 , C2 ⊆ H là các tập con, lồi, đóng, khác rỗng và f : C1 × C2 →

R. Một điểm (u∗1 , u∗2 ) được gọi là điểm yên ngựa của f nếu (u∗1 , u∗2 ) ∈ C =
C1 × C2 và
F (u∗1 , v2 ) ≤ F (u∗1 , u∗2 ) ≤ f (v1 , u∗2 ), ∀(v1 , v2 ) ∈ C1 × C2 .
. Xét ánh xạ F : C × C → R

F (u, v) = f (v1 , u2 ) − f (u1 , v2 ),
trong đó u = (u1 , u2 ), v = (v1 , v2 ). Khi đó, điểm u∗ = (u∗1 , u∗2 ) là điểm yên
ngựa nếu và chỉ nếu

F (u∗ , v) ≥ 0, ∀v = (v1 , v2 ) ∈ C.
Như vậy, u∗ là nghiệm của bài toán EP (f, C)
Chú ý: Giả sử song hàm f : C × C → R xác định bởi f (u, v) =

F (u), v − u với mọi u, v ∈ C . Bằng định nghĩa, ta dễ chỉ ra rằng các khái
niệm về tính đơn điệu của f và các khái niệm về tính đơn điệu tương ứng
của F (ví dụ song hàm f đơn điệu mạnh tương ứng với ánh xạ F là đơn
điệu mạnh) là tương đương.

16


1.3.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng

Trong mục này, tôi trình bày một số kết quả cơ bản về sự tồn tại, tính
duy nhất nghiệm và tính chất nghiệm của bài toán cân bằng. Trước hết ta
nhắc lại một số định nghĩa cơ bản sau.
Cho tập C là tập con, lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert
thực H và một ánh xạ F : C → R. Ánh xạ F được gọi là

• Nửa liên tục dưới tại u ∈ C nếu với mọi dãy {uk } ∈ C hội tụ mạnh
đến u thì

lim inf F (uk ) ≥ F (u).
k→∞

• Nửa liên tục trên tại u ∈ C nếu với mọi dãy {uk } ∈ C hội tụ mạnh đến
u thì
lim sup F (uk ) ≤ F (u).
k→∞

Khi đó ta có F là nửa liên tục dưới (nửa liên tục trên) trên C nếu F nửa
liên tục dưới (nửa liên tục trên) tại mọi u ∈ C .

• Lồi trên C nếu với mọi u, v ∈ C và λ ∈ [0, 1] thì
F (λu + (1 − λ)v) ≤ λF (u) + (1 − λ)F (v).
• Lồi chặt trên C nếu với mọi u, v ∈ C, u = v và λ ∈ (0, 1) thì
F (λu + (1 − λ)v) < λF (u) + (1 − λ)F (v).
• Lồi mạnh trên C nếu tồn tại α > 0 để với mọi u, v ∈ C và λ ∈ [0, 1] thì
1
F (λu + (1 − λ)v) ≤ λF (u) + (1 − λ)F (v) − α(1 − α) u − v 2 .
2
• Đồng bức trên C nếu tồn tại α ∈ R để tập mức {u ∈ C|F (u) ≤ α} là
tập compact.
Để trình bày các kết quả một cách thuận lợi, chúng ta xét một số tính chất
của song hàm f : C × C → R như sau:
(A1) f (u, ·) nửa liên tục dưới với u ∈ C ,
17

(A2) f (u, ·) tựa lồi với mỗi u ∈ C ,
(A3) f (·, v) nửa liên tục trên với mỗi v ∈ C .
Trong [5] Blum và Oettli đã chứng minh sự tồn tại nghiệm cho bài
toán cân bằng, trong đó f = g + h , g thỏa mãn điều kiện đơn điệu và tính
nửa liên tục trên theo biến thứ nhất, h không cần đơn điệu nhưng phải thỏa
mãn điều kiện mạnh hơn theo tính liên tục trên.
Khi g = 0 ta suy ra được kết quả của Ky Fan,
Khi h = 0 ta suy ra được kết quả của Browder Minty.
Trước hết ta nêu lại một số khái niệm sau:
Cho C, H là hai tập lồi, C ⊂ H , nhân của tập C đối với tập H , ký
hiệu CoreH C , được định nghĩa:

u ∈ CoreH C ⇔ u ∈ C, C ∩ (u, v] = ∅ ∀v ∈ H \ C,
hiển nhiên CoreH H = H
Định lý 1.5 ([5]) Giả thiết các điều kiện i → iv dưới đây được thỏa mãn.
(i) H là không gian Hilbert, C là tập lồi, đóng, khác rỗng;
(ii) g : H × H → R có các tính chất:

g(u, u) = 0, ∀u ∈ H;
g(u, v) + g(v, u) ≤ 0, ∀u, v ∈ H;
∀u, v ∈ H : t ∈ [0, 1] → g(tv + (1 − t)u, v) là nửa liên tục trên tại
t = 0 và nửa liên tục dưới đối với biến thứ 2.
(iii) h : H × H → R có các tính chất sau:

h(u, u) = 0, ∀u ∈ H;
h là nửa liên tục trên theo biến thứ nhất;
h là lồi theo biến thứ hai.
(iv) ∃ C ⊂ K là lồi, compact, khác rỗng sao cho ∀u ∈ C \ CoreH C,

∃v ∈ CoreH C sao cho g(u, v) + h(u, v) ≤ 0.

Khi ấy ∃ u ∈ C : g(u, v) + h(u, v) ≥ 0 ∀v ∈ K.
18


Mệnh đề 1.3 ([7]) Cho f thỏa mãn các giả thiết (A2), (A3). Giả sử
rằng ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) C là tập bị chặn;
(ii) Tồn tại một tập con bị chặn, khác rỗng W ⊂ C sao cho với mọi

u ∈ C \ W , tồn tại v ∈ W sao cho f (u, v) < 0. Khi đó, bài toán
EP (f, C) có nghiệm.
1.3.3 Ánh xạ nghiệm

Bài toán cân bằng EP (f, C) với nhiều ứng dụng trực tiếp như lý
thuyết trò chơi không hợp tác, mô hình cân bằng Nash-Counot, thị trường
điện, các vấn đề về mạng và các lĩnh vực khác. Trong thời gian gần đây, nhiều
nhà khoa học đã nghiên cứu các phương pháp giải bài toán EP (f, C), hầu
hết các phương pháp này đều xây dựng dựa trên nguyên lý điểm bất động
của ánh xạ nghiệm S(u). Với mỗi r > 0, P.L.Combettes và S.A. Hirstoaga
giới thiệu ánh xạ nghiệm Sr : H → C của bài toán EP (f, C) như sau:

Sr (u) =

v ∈ C : f (v, t) +

1
t − v, v − u ≥ 0, ∀t ∈ C .
r

(1.3)

Ở đây, song hàm f thỏa mãn các điều kiện sau
(i) f đơn điệu;
(ii) với mỗi u, v, t ∈ C, lim f (kt + (1 − k)u, v) ≤ f (u, v);
k→0

(iii) với mỗi u ∈ C, v → f (u, v) là hàm lồi và nửa liên tục dưới, khi đó với
mọi u ∈ H , tồn tại v ∈ C thỏa mãn

f (v, t) +

1
t − v, v − u ≥ 0, ∀t ∈ C.
r

Hơn nữa, ánh xạ Sr : H → C được định nghĩa bởi (1.3) là ánh xạ đơn trị
và thỏa mãn tính đơn điệu mạnh ngược

Sr (u) − Sr (v)

2

≤ Sr (u) − Sr (v), u − v , ∀u, v ∈ H,

19


và u∗ ∈ C là nghiệm của bài toán EP (f, C) nếu và chỉ nếu nó là điểm bất
động của ánh xạ Sr .
Đặt f (u, v) = F (u), v − u với mọi u, v ∈ C , ở đây ánh xạ F :

C → H . Khi đó, bài toán EP (f, C) được viết dưới dạng bài toán bất đẳng
thức biến phân V I(F, C). Trong nghiên cứu, K. Taji và M. Fukushima đã
giới thiệu một ánh xạ nghiệm S : C → C của bài toán V I(F, C). Ánh xạ
nghiệm được xác định với mọi u ∈ C, S(u) là nghiệm duy nhất của bài toán
toàn phương lồi mạnh

min

F (u), v − u +

1
v − u, G(v − u) : v ∈ C
2

∀u ∈ C,

ở đây G là ma trận vuông, xác định dương cấp n. Khi đó u∗ ∈ C là nghiệm
của bài toán V I(F, C) nếu và chỉ nếu u∗ là điểm bất động của ánh xạ S .
Dựa trên ý tưởng của K. Taji và M. Fukushima, chúng tôi giới thiệu
một ánh xạ nghiệm mới khi giải bài toán cân bằng EP (f, C) trong không
gian Hilbert thực H . Khi đó, chúng tôi sẽ nghiên cứu tính chất của ánh xạ
nghiệm S(u) như là tính co, tính không dãn và tính co chặt dưới giả thiết
song hàm f đơn điệu bằng cách lựa chọn các tham số chính quy phù hợp.
Ký hiệu tập các điểm bất động F ix(S) của ánh xạ S . Nhắc lại định
nghĩa một số tính chất của ánh xạ S . Ánh xạ S : C → C được gọi là
(i) không dãn, nếu

S(u) − S(v) ≤ u − v , ∀u, v ∈ C;
(ii) tựa không dãn, nếu F ix(S) = ∅ và

S(u) − u∗ ≤ u − u∗ , ∀(u, u∗ ) ∈ C × F ix(S);
(iii) tựa co, nếu F ix(S) = ∅ và tồn tại β ∈ (0, 1) thỏa mãn

S(u) − u∗ ≤ β u − u∗ , ∀(u, u∗ ) ∈ C × F ix(S);
(iv) nửa co, nếu F ix(S) = ∅ và tồn tại β ∈ [0, 1) thỏa mãn

S(u) − u∗

2

≤ u − u∗

2

+ β u − S(u) 2 , ∀(u, u∗ ) ∈ C × F ix(S).
20