Chọn điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức

PP Điểm rơi

/>
Ch n i m r i

Bài toán chọn lọc:

ai
l.

co
m

Bản chất ñiểm rơi là chọn những hệ số phù hợp cho quá trình sử dụng bất ñẳng thức ñược thuận
lợi và dấu bằng có thể xảy ra. Để rơi thành công thì chúng ta cần biết 1 số ñiều:
• Thông thường dấu bằng xảy ra với những biến có vai trò như nhau sẽ bằng nhau. Biến có vai trò
như nhau thì khi ñổi chỗ vị trí của biến bài toán không thay ñổi. VD: Cho a + b + 2c = 4 .Tìm
Min M = a 3 + b3 + 3c 4 thì a,b là các biến có vai trò như nhau.
• Do dấu bằng của BĐT Cô-si xảy ra tại các biến bằng nhau nên ta thường sử dụng pp tách: Tách
a a
a
a thành m số: a = + + .... + , tách a m = a.a...a
m m
m
• Hệ số phụ thuộc vào các yếu tố sau :
+Dấu bằng của BĐT
+Mục ñích của BĐT (hạ bậc, khử biến, tạo giả thiết,…)
+Tỉ lệ hệ số trong biểu thức cần tìm cực trị và giả thiết
• Dấu bằng thường xảy ra trùng với dấu bằng ở các BĐT trong giả thiết (nếu có)
• Ta chỉ cần chọn hệ số

1 2 3
+ +
a b c
Tư duy: Rất ñơn giản là từ giả thiết mà CS ta có a m b n c p ≤ ? .Rồi CS M sao cho cũng tạo ra
ñược ở mẫu a mbn c p .Nhưng nói là vậy còn làm thì sao ?
Bài giải:
1
1
1
Để M dễ nhìn ta ñặt a = , b = , c = giả thiết sẽ thành 2 x + 8 y + 21z ≤ 12 xyz và
x
y
z
M = x + 2 y + 3z
x y
Giờ thì rơi z = = sẽ có
m n

hi
eu
vg
hy
@
gm

Cho a, b, c > 0 và 21ab + 2bc + 8ca ≤ 12 . Tìm min M =

1

  x  2 m  y 8 n

 2 m +8 n +21
x
 y
12 xyz ≥ 2 x + 8 y + 21z = 2m   + 8n   + 21z ≥ (2m + 8n + 21)      z 21 


m
n
 m   n 

⇒ x 21+8 n y 21+ 2 m z 2 m +8 n ≥ ?
1

  x  m  y  2n  m+ 2n +3
x
 y
Đến lượt M rồi M = x + 2 y + 3 z = m   + 2 n   + 3 z ≥ (m + 2n + 3)      z 3 
 m   n 

m
n


Bài toán sẽ thành công khi m : 2n : 3 = (21 + 8n) : (21 + 2m) : (2 m + 8n) . Ta sẽ viết thành
2 m2 + 8mn = 24n + 63
2n
3
2m 2 − 63
m
=

=
→ 2
⇒n=
.
21 + 8n 21 + 2m 2m + 8n
8(3 − m)
16n + 4mn = 6m + 63
2

 2m2 − 63 
2m 2 − 63
= 6m + 63 . Giờ thì ñừng có ñâm ñầu
Thế vào thằng thứ 2 sẽ có 16 
 + 4m
8(3 − m)
 8(3 − m) 

vào giải mà lấy FX sẽ cho ngay m =

9
15
→ n = . Từ ñây ta cũng tìm ra ñược
2
8

5
2
x = 3, y = , z =
4
3

Important Note: Haizz! Đọc xong lời giải trên cũng thấy ñau cả ñầu, nhưng ñừng lo, mục ñích
cuối cùng của bài viết cũng chỉ là ñể các bạn làm ñược các bài dễ hơn hoặc bằng ở trên thì tác
giả ñã mừng lắm rồi !



PP Điểm rơi

//mathisthinking.tk/

I.Tính chất hạ bậc
• Hạ bậc ñơn biến CS m biến x m và m-n hằng số α

(x

m

+ x m + ... + x m ) + (α + α + ... + α ) ≥ m m α m − n x n

ax m + bx n = x m + x m + ... + x m + y n + y n + ... y n ≥ (a + b) a +b x am y bn

am
)
bn

co
m

• Hạ bậc ña biến CS a biến x m và b biến y n sẽ tạo ra ñơn thức tích xy có tỉ lệ bậc là

ai
l.

Nhận xét:
-Hạ bậc cho phép ta mô tả f (a, b, c...) từ g (a, b, c...) trong ñó bậc của g lớn hơn f
-Điểm rơi giúp ta chọn m,n, α
Chú ý:
-Hai dạng nêu trên chỉ mang tính tiêu biểu còn trong quá trình làm bài xin nhớ cho nguyên tắc:
Mỗi số ñều có thể tách thành m số như nhau và CS cùng hệ số α (ña thức bậc không) ->khi ñó bậc sau
CS sẽ thay ñổi.
VD1.Cho a, b, c > 0, a + b + c = 3 Tìm Min M = a 3 + 64b 3 + c3
Do a,c có vai trò như nhau nên ta giả sử dấu bằng xảy ra tại a = c = m, b = n ⇒ 2m + n = 3 (*) .Khi ñó
a 3 + m3 + m3 ≥ 3m 2 (a )
a 3 + m3 + m3 ≥ 3m 2 (c)

|=>ñể dùng ñược giải thiết thì hê số của a,b,c bằng nhau tức

hi
eu
vg
hy
@
gm

| 3m 2 = 64.3n 2 (**)
| Từ (*) và (**) rút thế ta có m=24/17 và n=3/17

64b3 + 64n3 + 64n 3 ≥ 64.3n 2 (b)

VD2.Cho a, b, c > 0, 2a + 4b + 3c 2 = 13 Tìm Min M = a 2 + b 2 + c3

Giả sử dấu bằng xảy ra tại a = m, b = n, c = p ⇒ 2m + 4n + 3 p 2 = 13 (*) .Ta CS như sau
a 2 + m 2 + ≥ 2 m( a )

b 2 + n 2 + ≥ 2 n (b )

=> ñể dùng ñược giải thiết thì

c 3 + p 3 + p 3 ≥ 3 p 2 (b)

2m 2n 3 p 2
(**)
=
=
2
4
3

Xử lý (*) và (**) bằng tính chất dãy tỉ số bằng nhau có

2m 4n 3 p 2 13
=
=
= ⇒ m = 1, n = 2, p = 1
2
8
3
13

VD3.Cho a, b > 0, a 2 + b 5 = 5 .Tìm Min M = a 3 + b 6

Giả sử dấu bằng xảy ra tại a = m, b = n ⇒ m2 + n 5 = 5(*) .Ta CS như sau

 3
m3 3m2 2
≥
−
+
a
(a )
 a + a + m ≥ 3m (a )
3m 2 6 n5

2
2
=
(**)
⇔
=>ñể dùng ñược GT thì
 6
6
6
6
6
6
5
5
6
5

2
5
b + b + b + b + b + m ≥ 6 n (b )
b 6 ≥ − m + 6n (b5 )

5
5
20
25
Từ (*) và (**) ta có thể rút thế ñể có m 2 = , n 5 =
9
9
VD4. Cho a, b > 0, a 2b 3 = 2011 Tìm Min M = a 7 + b 5
3

3

3

2

2

Ta khoan quan tâm ñến dấu bằng mà hãy ñem CS m số a 7 và n số b5 như sau:

a7 a7
a 7 b 5 b5
b5
a 7 m b5 n
7m 2

+ + ... + + + + ... + ≥ (m + n) m + n m n =>ñể dùng ñược giải thiết thì
= nên ta
m m
m n n
n
m n
5n 3
a 7 b5
=
và a 2 b3 = 2011 (luôn có a và b ñó !)
chọn m=10 và n=21. Dấu bằng xảy ra khi
10 21
16
VD5. Cho a 2 + b 2 + c 2 + ab = 4 Tìm Max M = ab + bc + ca
25



PP Điểm rơi

//mathisthinking.tk/

Giống như VD1 dấu bằng xảy ra tại a=b. Ta CS như sau:
=>Ta ñã làm xong quá trình mô tả các biến
a 2 + b 2 ≥ 2(ab )
nhưng thế là chưa ñủ vì các biến còn
a 2 + mc 2 ≥ 2 m(ac) mang theo mình hệ số. Lần lượt nhân các
b 2 + mc 2 ≥ 2m(bc) BĐT với x,y,z,t ta sẽ có hệ thức
ab ≥ (ab)

co
m

 x(a 2 + b 2 ) ≥ 2 x(ab )

2
2
 y (a + mc ) ≥ 2my(ac)
 2
2
 z (b + mc ) ≥ 2mz (bc)
tab ≥ t ( ab )


50 2
16
, a + b 2 + c 2 + ab = 4 .Thôi tự giải tiếp nhé.
41
25

hi
eu
vg
hy
@
gm

Có m rồi thì dấu bằng còn chi là khó khi a = b = c

ai

l.

Giờ thì sẽ cần có
t
 x + y x + z m( y + z )
=
=
=
= 1 (nhìn vào GT)  y = z

⇒
1
1
1
16
/
25

t = 16 / 25
 2 x + t = 2 my = 2mz ( Look at M)
 x + y 2my
 x = 9 / 50
 1 = 1 = 1 
⇒
⇒  y = 41/ 50
2 x + 16 = 2my
m = 50 / 41


25

II.Tính khử kiểu tích
A
Xét phân số
B
•

•

Khử nội phân số: ta phân tích B thành nhân tử và tách A làm các thừa số sao cho sau CS
A + A2 + ... ? ? A1. A2 ...
có ñược ñiều mình muốn 1
≥
B1 .B2 ...
B1 .B2 ...
Khử mở rộng: phân tích B thành nhân tử rồi cộng cả phân số với các nhân tử của B sao
A
cho CS có ñược ñiều mình muốn
+ B1 + B2 ... ≥ ? ? A
B1.B2 ...

Nhận xét:

-Việc nhìn nhận B1 , B2 ... khá dễ dàng
-Điểm rơi giúp ta chọn hệ số cho các biến ñem CS sau cho phù hợp

VD1.Cho x,y,z>0 thoả mãn x + y + z = ✸ CMR:

x 

+

y 

y  +✽ z  +✽

+

z 
x  +✽

≥

✹
✾

−

✭x

✷

+ y ✷ + z ✷✁
✂✄

.

Vai trò x,y,z như nhau nên dấu bằng khi chúng bằng nhau và bằng 1.
Ta phân tích bài toán ñể tìm biến CS nhé :
x 

 

y +✽

Nhưng

=

x 
✷

( y + ✂✁( y − ✂ y + ✹✁

x 

 

y +✽

=

✶

✾

, (y+2)=3, ( y ☎ − ✂ y + ✹✁ =3 nên ta sẽ làm như sau

Làm tương tự có VT≥
VD2.CMR

nên ta sẽ chọn thêm 2 biểu thức ( y + ✂✁✱ ( y ☎ − ✂ y + ✹✁ ñể thực hiện.

✷
✶✵( x + y + z✁ − ( x

+ y✷ + z✷ ✁ − ✶✽

✂✄

=

✷
✶✂ − ✭ x

x 
 

y +✽

+

y+✂

+ y✷ + z✷ ✁
✂✄

✂✄

+

y✷ − ✂ y + ✹
✂✄

≥

x
✸

(Ẹnoy!)

a 4 b3 c 2
+ + ≥ 2a + b với a, b, c > 0
b 2 c ca a



co
m

PP Điểm rơi
//mathisthinking.tk/
Nhìn vai trò a,b,c không hề như nhau nhưng hãy cứ thử cho a=b=c ta ñược dấu bằng.
Nếu ñược thế thì cùng thử liều xem
a4
+ b + b + c ≥ 4a
b 2c
b3
a 4 b3 c 2
+ c + a ≥ 3b

⇒ 2 + + ≥ 2 a + b .Bài này xoáy thật !
ca
b c ca a
2
c
+ a ≥ 2c
a
16c 2 1
a2
b2
+
+
≥ (64c − a − b) với a, b, c > 0
b+c c+a a+b 9
Nhìn ñi: a,b có vai trò như nhau nên ta sẽ ñăt a=b=mc thì dấu bằng xảy ra tại
(mc) 2 (mc )2
16c 2
1
2m 2 8 2
+
+
≥ (64c − mc − mc) ⇔
+ = (32 − m)
mc + c c + mc mc + mc 9
m +1 m 9
Nhét vào Fx570ES sẽ cho ra m=2.Và khi ñó ta sẽ làm như sau:
2
a
4
4

+ (b + c ) ≥ a
3
b+c 9
2
b
a2
b2
4
4
16c 2 1
+ (a + c) ≥ b ⇒
+
+
≥ (64c − a − b)
c+a 9
3
b+c c+a a+b 9
16c 2
+ (a + b ) ≥ 8c
a+b

hi
eu
vg
hy
@
gm

ai
l.

VD3.CMR

VD4.Cho x,y>0 x+y=4 Tìm Min M = 2 x + 3 y +

6 10
+
x y

6
 x + mx ≥ 2 6m
 mx 2 = 6
6
10
=> Dấu bằng xảy ra tại  2
Ta CS như sau 
⇒
+
= 4(*)
10
m
n
ny
10
=


 + ny ≥ 2 10 y
 y
Và phần còn lại của M là (2 − m) x + (3 − n) y ñể giải quyết ñược cần 2 − m = 3 − n hay n = m + 1 (**)

Từ (*) và (**) ta có

6
10
+
= 4 nhét và máy tính ñi sẽ cho m=3/2 -> n=5/2
m
m +1

VD5.Cho a ≥ 2 Tìm Min M = a +

1
a2

Có dấu bằng là a=2 rồi thì cứ thế mà làm M =

3
1 a a 3
1 9
a + 2 + + ≥ .2 + 3 3 2 =
a
4
8 8 4
8
4

y
9 2
)

VD6. Tìm Min M = (1 + x)(1 + )(1 +
x
y

Ta sẽ CS 1+x bằng cách tách ✆ thành a số và x thành b số. Khi ñó sẽ tạo ra

y
y
có thể khử khi CS (1 + ) bằng cách tách ✆ ra a số và
ra b số tức tạo ra
x
x

a +b

a+b

xb . Và thằng này chỉ
yb
.Nếu làm như vậy
xb

2

1 x y
9 
9

dấu bằng xảy ra tại = =
⇒ y = x 2 ⇒ M = (1 + x)(1 + )  = (10 + x + ) 2 Thế này thì x chỉ có

a b xb
x 
x

thể bằng 3 và y sẽ là 9. Lời giải chuẩn như sau
2


3
3
3 2
33 
x x x
y
y
y
x3
y3
4
) ≥ 4 4 3 .4 4
.4
M = (1 + + + )(1 + + + )(1 +
+
+

 = 256
3 3 3
3x 3x 3x
3
(3 x)3  ( y )3 

y
y
y



PP Điểm rơi

//mathisthinking.tk/

xyz
(1 + 3 x)( x + 8 y )( y + 9 z )( z + 6)
Ta sẽ CS mỗi thừa số của tích như sau
VD7.Cho x,y,z>0 Tìm Min M =

(1 + 3 x) tách ✝ thành a số ✞x thành b số sẽ tạo ra biến

a+b

x b và dấu bằng tại

1 3x
=
a b

4

a +b

x a y b . Dấu

co
m

Để khử ñược x (bậc1) ở từ thì ( x + 8 y ) tách x thành a số và ✟ y thành b số sẽ tạo ra biến
x 8y
bằng tại =
a b
Lập luận tương tự có

1 3x x 8 y y 9 z z 6
a 1
y
x z
1
3
a 1
 1 
=
=
=
= ⇒ =
=
=
= ⇒  =
⇒ x = 2, y = , z = 1, =
2
a b a b a b a b
b 3 x 9 z 8 y 6  3 x  3.9.8.6
b 6

Ta có 1 − x 2 = 1 − x . 1 + x + x 2 nên cần tìm m,n sao cho

ai
l.

Lời giải hoàn chỉnh như sau
3x
3x
8y
8y
9z
9z
(1 + + ... + )( x +
+ ... + )( y + + ... + )( z + 1 + ... + 1) ≥ 7 4 xyz
6
6
6
6
6
6
2
x −x+3
VD8.Tìm Min M =
1 − x3

hi
eu
vg
hy

@
gm

m(1 − x) + n(1 + x + x 2 ) = x 2 − x + 3 = nx 2 + (n − m) x + m + n ⇒ n = m − n =

Bài toán ñược giải như sau M =

x2 − x + 3
1 − x3

=

2(1 − x) + (1 + x + x 2 )
1 − x3

m+n
⇒ m = 2, n = 1 .
3

≥2 2

4
CMR M = x + y + z ≥ 1
3
3
Ta sẽ ñi cm BĐT sau x + y + z ≥ ( x + xy + 3 xyz) .Để CS ta cần tách x làm 3 số, y làm 2 số như sau
4
1
1
x x y x x

 ( x)
+2
x + y + z = + + + + + z ≥
( xy ) + 3 3 ( 3 xyz) .Ta sẽ có ñược hệ sau
a b d  c e
bd
ce
 a
VD9.Cho x + xy + 3 xyz =

4

a=

1
3
1
1 3

= 33
= (look VP )
 = 2
1
3

a
bd
ce 4
⇔  = ( )2 và


8
 1 + 1 + 1 = 1 + 1 = 1 (cách tách)
 bd
1 3
 a b c d e
1
 ce = ( 4 )


1 1
 d + e = 1

1 + 1 = 1
 b c 4

3

(3 / 8) 2
16
4
1
+ c   = 1 .Nhờ Fx570ES cho c=16 rồi thế là b = ,e=4, d =
1/ 4 − 1/ c
3
3
4
1
1
4
Lời giải sau khi có dấu bằng x +

x.4 y + 3 x.4 y.16z ≤ ( x + y + z )
2
4
3

Rút thế lung tung ta sẽ có

III.Tính khử kiểu tổng
Ta thường tách từ Am thành m biến A rồi dùng ñiểm rơi chọn hệ số phù hợp cho các biến
VD1.Cho x ∈ [0;2] Tìm Max M = x3 (2 − x)5




PP Điểm rơi
//mathisthinking.tk/
Để khử ñược hết x ta phân tích M ra các thừa số x bậc 1 và chọn hệ số cho chúng như sau
m+ n
5(2 − x) 
 3
x
+

3 5 m = 3
x x x (2 − x) (2 − x) (2 − x) (2 − x) (2 − x)  m
n
M= . .
≤
 ⇒ = ⇒
m m m n

n
n
n
n
m+n
m n n = 5





co
m

VD2. Cho x ∈ [0;1] Tìm Max M = 13 x 2 − x 4 + 9 x 2 + x 4

13
9
13 mx 2 + (1 − x 2 ) 9 nx 2 + (1 + x 2 )
mx 2 (1 − x 2 ) +
nx 2 (1 + x 2 ) ≤ .
+ .
m
n
m
2
n
2
Để dấu bằng xảy ra và khử hết biến x thì
 m2 x 2 = 1 − x 2

m 2 + 1 = n 2 − 1

Lại nhờ Fx cho ta
2
2
2
2
13(1
−
)
9(
+
3)
m
m
13(1 − m ) 9(n + 1)

1
3
=
⇔ 13(1 − m 2 ) 9(n 2 + 1) ⇒
=

m
n
m
=
m2 + 2 m = 2 , n = 2



m
n

n2 x 2 = 1 + x

IV.Bài toán khó
1.Dùng các phép thử ñơn giản tìm dấu bằng

ai
l.

Ta làm như sau

3 9 1
+ + ≥ 5 (a=2,b=3,c=4)
a 2b c
1
1
1
8
121
≥
(a=3,b=4,c=2)
VD2:Cho a, b, c > 0, ab ≥ 12, bc ≥ 8 CMR M = a + b + c + 2( + + ) +
ab bc ca abc 12
a 3 2b3 32c3
VD3:CMR
+
+
≥ 22a − 12b − 24c với a, b, c > 0 (a=2b=4c)

bc ca
ab
VD4:Cho (a 2 + a + 2)(b + 1) 2 (c 2 + 3c) = 64 Tìm Max M = a 3b 4 c5 (a=b=c=1)

hi
eu
vg
hy
@
gm

VD1:Cho a, b, c > 0, a + 2b + 3c ≥ 20 CMR M = a + b + c +

VD5:Cho a = max {a, b, c} Tìm Min M =

a
b
c
+ 2 1 + + 3 3 1 + (a=b=c)
b
c
a

2.Giả thiết lừa

VD1:Cho 0 < x ≤ 2 Tìm Min x1995 +

1

x

2011

Đã là lừa thì cứ làm bình thường mà tách x1995 ra 2011 số còn

a ≥ 4, b ≥ 2, c ≥ 1995

VD2:Cho 

a + b + c = 2011

1

x

2011

ra 1995 số

Tìm Max M = abc

Bài toán này thì không ñơn giản. Nếu nhìn vào bài toán ta sẽ thấy cả 3 biến khác biệt nhau rất nhiều.
Tuy nhiên hãy xem ñến 1995 dường như ñặc biệt hơn cả 4 và 2. Ta có thể dự rằng dấu bằng tại a=b=8
và c=1995. Khi ñó
 8.2011 + 1987(a + b) 
8M = [8(2011 − a − b)] (1995 − b)(1995 − a ) ≤ 
≤ 159603

3



V.Vài c✠ m nh✫ n nhỏ

*1.Cho x ∈ [0;1] CMR

t 2 − 2t + 3 + t 2 + 4t + 6 ≤ 2 + 11




PP Điểm rơi

//mathisthinking.tk/
Dấu bằng khi t=1 nhưng nếu ta CS sẽ có
2 t 2 − 2t + 3
11 t 2 + 4t + 6
t 2 − 2t + 3
t 2 + 4t + 6
.1 + 11.
.1 ≤
(
+ 1) +
(
+ 1)
2
11
2
2
2
11

2 + 11
2
11 2  2 11
2
=(
+
−
)t + 
 t +
2
4
22
2 
 11

co
m

t 2 − 2t + 3 + t 2 + 4t + 6 = 2.

Nhưng tam thức bậc 2 ñó max tại t=-1 ?????
….. =>Qua bài toán này tôi muốn nói rằng không phải bất cứ khi nào có dấu bằng cũng có thể làm
ñược. Bài toán trên bình phương lên rồi xét hiệu sẽ có ñáp án !
*2.Cho x,y>0 và x + y = 1 Tìm Min S = 3 1 + 2 x 2 + 2 40 + 9 y 2

Ta sẽ dùng B.C.S như sau S = (a 2 + b 2 )(1 + 2 x 2 ) + (c 2 + d 2 )(40 + 9 y 2 ) ≥ a + 2bx + 2 10c + 3dy

hi
eu
vg

hy
@
gm

ai
l.

 a 2 + b 2 = 9; c 2 + d 2 = 4  a = 1


 1 2 x 2 40 9 y 2
b = 2 / 3
Việc chọn a,b,c,d thỏa mãn  2 = 2 ; 2 = 2 ⇒ 
b
c
d
a
c = 2 10
x + y = 1
d = 2


…..=> Như vậy khi ñã nắm ñược nguyên lý hoạt ñộng của pp này ta có thể dùng nó với mọi loại BĐT
chứ không riêng gì CS. Sau ñây sẽ là một vài ví dụ
PP phân phối lại
5b 3 − a 3 5c 3 − b 3 5a 3 − c3
Cho a,b,c>0 CMR
+
+
≤ a +b+c

ab + 3b 2 bc + 3c 2 ca + 3a 2
5b 3 − a 3
a + b 5b 3 − a 3
Không thể lấy
nên
ta
nghĩ
ñến
việc
tìm
m,n
ñể
ma
nb
−
+
−
≥0
4
ab + 3b 2
ab + 3b 2
Cũng có nghĩa là (ma + nb )(ab + 3b 2 ) − (5b 3 − a 3 ) = a 3 + ma 2b + (3m + n )ab 2 + (3n − 5)b3 ≥ 0

 f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d
thì f ( x) ≥ 0 ✧x ⇔ 3ax12 + 2bx1 + c = 0
Kiến thức bổ trợ: Cho 
=
f
(
x

)
0

1
a
Chia cho b3 và ñặt x = ⇒ f ( x) = x 3 + mx 2 + (3m + n) x + (3n − 5) ≥ 0 .Dấu bằng lại xảy ra tại x = 1 nên
b
 f (1) = 1 + m + (3m + n) + (3n − 5) = 0  m = −1
ta có hệ 
⇔
3 + 2m + (3m + n ) = 0
n = 2

5b3 − a 3
a

≥ 0 ⇔ f ( x) = x3 − x 2 − x + 1 = ( x − 1)( x 2 + 1) ≥ 0  x = 
2
b
ab + 3b

❈hú ý: Đây là một kĩ thuật khá mạnh trong chứng minh các bài toán phân thức có bậc vừa phải.Kiến
thức bổ sung chính là ñạo hàm bậc nhất của các hàm ña thức tuy nhiên không cần hiều gì về nó bạn
chỉ cần nhớ là với hàm ña thức bậc 4 ta sẽ ñi xét 4ax3 + 3ax 2 + 2bx + c = 0 .Các bậc nhỏ hơn thì coi
như hệ số bậc lớn bằng 0.
Sau khi ñọc xong bài toán trên chúng ta sẽ có cái nhìn tổng quát hơn khá nhiều cho các bài báo
“Hành trình ñi ñến bài toán tổng quát” (THTT số 371 tháng 8/2008) và “Một phương pháp chứng
minh bất ñẳng thức”(THTT số 403 tháng 1/1011)
Trở lại bài toán ta có (−a + 2b) −

Bài t p cho pp iểm r i

 a, b, c > 0

2
2
2
1. Cho 
47 Tìm Min M = 3a + 4b + 5c
 a + b + c = 12
2. Cho a+b+c=2011. Tìm Max M = a 4b 2 c1995




PP Điểm rơi

//mathisthinking.tk/
1
2
2c + + d +
c
d
3. Cho 0 < b ≤ a ≤ 4, a + b ≤ 7, 2 ≤ c ≤ 3 ≤ d Tìm Min M =
a2 + b2
4. Cho a,b,c>0 và a 2 b + b 2 c + c 2 a = 1 .Tìm Min M = 2(a 3 + b 3 ) + c 3
a 2 b 2 4c 2
+ +
≥ a + 3b
b

c
a
6. Cho a,b,c,d>0 và c+d=4, 4a 2 + b 2 = 2 . Tìm Max M=2ac+bd+cd
a3
b3
c2
b
+
+
≥ a+
7. CMR Với a,b,c>0 thì
2
b (c + a ) c ( a + b ) b + c
2
2
2
2
8. Tìm Max M = ( x + z )( y + t ) biết x + y + 2 z + 2t = 1
11
7 

+ 4 1 + 2 
2x
 x 

10. Tìm Max M = 2 x + 1 − 4 x − x 2
11. Biết x, y ≥ 0, z ≥ 60, x + y + z = 100 . Tìm Max M = xyz
x+ y
12. Cho x, y, z ≥ 0 và x + y + z = 1 Tìm Min M =
xyz

ai
l.

9. Tìm Min M = x +

co
m

5. CMR Với a,b,c>0 thì

13. Tìm cực trị M = x(99 + 101 − x 2 )
14. Cho x, y, z ≥ 0 và 3 x 2 + 4 y 2 + 5 z 2 = xyz Tìm Min M = 3 x + 2 y + z

hi
eu
vg
hy
@
gm

 a, b > 0
a
b

15. Cho 
1 Tìm Min M = 32 + 1999
b
a
1 ≥ a + b

3a 4b 5c
16. Cho 3 x 2 + 2 y 2 + z 2 ≤ 1 .Tìm Tìm Min M =
+ +
bc ca ab

Bài t p rèn luy n k n ng sử d ng ô-si

LT3:Cho 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 4 .Tìm max M = (3 − x)(4 − y )(2 x + 3 y )
LT4:Cho ba số dương a, b, c thoả a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh:
a
b
c
3 3
+
+
≥
2
2
2
2
2
2
2
b +c
c +a
a +b
2010 2011
+
LT5:Cho x ∈ [0;1] Tìm Min M =
a

1− a
ab a + b
+
LT6: Tìm Min M =
a+b
ab
b2 + c 2
1 1
LT7: Cho a,b,c>0 và a 2 ≥ b 2 + c 2 Tìm Min M =
+ a2 ( 2 + 2 )
2
a
b c
LT10: Tìm Min M =

LT11: Min M = 2a +

2009 + 2010 1 − x 2 + 2011
1 − x2

32
với a>b>0
(a − b)(2b + 3)2

a3
b3
c2
a+b+c
+
+

≥
b (c + 2a ) c(a + 2b) a (b + 2c)
3
1
4
+
LT16: Cho x,y,z>0 và xy+yz+zx=3 Tìm Min M =
xyz ( x + y)( y + z )( z + x)
2
3
LT17: Tìm Max M = x (1 − x ) với 0LT15: CMR Với a,b,c>0 thì




hi
eu
vg
hy
@
gm

ai
l.

co
m

PP Điểm rơi

//mathisthinking.tk/
Tác giả ñã tham khảo quá nhiều tài liệu nên không thể nhớ rõ. Mọi thông tin ñóng góp xin gửi về