Định lý rolle trong hình học phẳng

✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈

◆●❯❨➍◆ ❚❍➚ ❉×❒◆● ❑■➋❯

✣➚◆❍ ▲Þ ❘❖▲▲❊
❱⑨ ▼❐❚ ❙➮ ⑩P ❉Ö◆●
▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ✲ ✷✵✶✵
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈

◆●❯❨➍◆ ❚❍➚ ❉×❒◆● ❑■➋❯

✣➚◆❍ ▲Þ ❘❖▲▲❊
❱⑨ ▼❐❚ ❙➮ ⑩P ❉Ö◆●
❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ P❍×❒◆● P❍⑩P ❚❖⑩◆ ❙❒ ❈❻P
▼❶ ❙➮✿ ✻✵✳✹✻✳✹✵

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

◆❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝✿
●❙✳❚❙❑❍✳ ◆●❯❨➍◆ ❱❿◆ ▼❾❯

❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ✲ ✷✵✶✵
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




✐

▼ö❝ ❧ö❝
▼ð ✤➛✉
✶ ✣à♥❤ ❧þ ❘♦❧❧❡ ✈➔ ♠ët sè ♠ð rë♥❣

✶✳✶ ✣à♥❤ ❧þ ❘♦❧❧❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✷ ✣à♥❤ ❧þ ▲❛❣r❛♥❣❡ ✈➔ ✣à♥❤ ❧þ ❈❛✉❝❤② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✸ ✣à♥❤ ❧þ ❘♦❧❧❡ tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ ✈æ ❤↕♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷ ❑❤↔♦ s→t t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ❤➔♠ sè

✷✳✶ ❍➔♠ ✤ç♥❣ ❜✐➳♥✱ ♥❣❤à❝❤ ❜✐➳♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷ ❍➔♠ ❧ç✐✱ ❧ã♠ ❦❤↔ ✈✐ ❜➟❝ ❤❛✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳✶ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ ❧ç✐✱ ❤➔♠ ❧ã♠ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳✷ ✣ë ❣➛♥ ✤➲✉ ✈➔ s➢♣ t❤ù tü ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝

✳
✳
✳
✳

✳
✳

✳
✳

✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✸ ▼ët sè ù♥❣ ❞ö♥❣ ✤à♥❤ ❧þ ❘♦❧❧❡ tr♦♥❣ ✤↕✐ sè

✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✸✳✶ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ sü tç♥ t↕✐ ✈➔ ❜✐➺♥ ❧✉➟♥ sè ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✸✳✷ ●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➔ ❜➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✸✳✸ ❙ü ♣❤➙♥ ❜è ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✈➔ ✤↕♦ ❤➔♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✸✳✹ ▼ët ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ❚❛②❧♦r✲●♦♥t❝❤❛r♦✈✳

✸✳✺ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹ ❇➔✐ t➟♣ ❜ê s✉♥❣
❑➳t ❧✉➟♥
❉❛♥❤ ♠ö❝ ❝→❝ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥
❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên



✶
✹

✹
✼
✶✵

✶✶
✶✶
✶✸
✶✸
✶✽

✷✸
✷✸
✸✺
✹✷
✹✽
✺✵

✻✶
✻✺
✻✼
✻✽





ỵ ởt số rở ừ ỵ ỵ r
ỵ ỵ tr ởt ổ
ỵ q trồ tr tr tr ữỡ tr t ờ
ử ừ ỵ tr ữỡ tr t r ồ
ờ tổ rt ú t t
ữỡ tr số ừ ữỡ tr tr ởt
ự t tự t ỹ tr ừ số tr
t s ồ s ờ tổ t ự ử
ừ ỵ ữ ữủ tr ởt tố ừ
ợ s t ỵ tữ õ ử t ừ
t ồ s t ồ
s ọ õ t ổ t ởt t
ỳ tự ỡ ỏ õ t ởt tố t
q õ s t ró ỡ t ự ử rt ú ừ
ỵ ỵ r ởt số ỵ rở t
ụ ữợ ử ỵ t
t tỏ ỳ ớ ở tũ tứ t ử
t tứ õ t ỵ tự s t ỳ t ợ r
ụ ỳ t q t t s t tử t tr
q tr ự t t t trữớ ờ tổ
ử ử ớ õ t t t

ỗ ố ữỡ
ữỡ ỵ ởt số rở

S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn





ở ữỡ tr ởt ỡ t
ỵ tr tr ũ ởt số q q trồ ỵ
tt ỡ s ử t ự ử ỳ ữỡ
s
ữỡ st t t ỡ ừ số
ữỡ tr ởt số ự ử trỹ t ừ ỵ
ỵ r tr st t t rt ỡ q
trồ ừ số tr ữỡ tr t P õ t ỗ
t t ỗ ó ừ số
ữỡ ởt số ự ử ỵ tr số
ở trồ t ừ ú tổ ự ử
ừ ỵ ỵ rở tr t ữỡ
tr số ừ ữỡ tr ự t tự
sỹ ố ừ tự t ồ ữủ
ỹ ồ tứ t ừ t ồ s ọ ố t
ỹ ố t ởt số t t tỹ s t ố
ợ ộ t ữỡ ử t õ ữ r ỳ
t ợ ớ ở t s t t ớ
ữỡ t ờ s
ữỡ ợ t ởt số t t ữủ s
ỹ ồ ữù ộ õ ữợ ử

ỳ tự t ữủ tứ ữỡ trữợ
t t ử t
ữủ t ữợ sỹ ữợ ồ ừ
t ữủ tọ ỏ t ỡ
t s s tợ ữớ rt t t
tr ổ tr tử tự qỵ ụ ữ
ự ồ t tr sốt q tr ồ t
ự t
ữủ tọ ỏ t ỡ t
Pỏ t s ồ ừ trữớ ồ
S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn




✸
❤å❝ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ ❝ò♥❣ q✉þ t❤➛② ❝æ ❣✐→♦ ✤➣ t❤❛♠ ❣✐❛ ❣✐↔♥❣
❞↕② ✈➔ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❝❤♦ ❧î♣ ❈❛♦ ❤å❝ ❚♦→♥ ❑✷✳
❚→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ❯❇◆❉ ❚➾♥❤✱ ❙ð ●✐→♦ ❞ö❝ ✈➔ ✣➔♦
t↕♦ ❚➾♥❤ ❈❛♦ ❇➡♥❣✱ ❇❛♥ ❣✐→♠ ❤✐➺✉ ✈➔ t➟♣ t❤➸ ❝→♥ ❜ë ❣✐→♦ ✈✐➯♥ ❚r÷í♥❣
❚❍P❚ ❉➙♥ të❝ ◆ë✐ tró ❚➾♥❤ ❈❛♦ ❇➡♥❣ ✤➣ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤♦ t→❝ ❣✐↔ ❝â
❝ì ❤ë✐ ✤÷ñ❝ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳
❚→❝ ❣✐↔ ❝ô♥❣ ①✐♥ ✤÷ñ❝ ❝↔♠ ì♥ sü q✉❛♥ t➙♠✱ ❣✐ó♣ ✤ï ♥❤✐➺t t➻♥❤ ❝õ❛
❝→❝ ❜↕♥ ❤å❝ ✈✐➯♥ ❈❛♦ ❤å❝ ❚♦→♥ ❑✶✱ ❑✷✱ ❑✸ tr÷í♥❣ ✣❍❑❍ ✲ ✣❍❚◆ ✤è✐
✈î✐ t→❝ ❣✐↔ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤♦❛ ❤å❝✳
✣➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✱ t→❝ ❣✐↔ ✤➣ t➟♣ tr✉♥❣ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥
❝ù✉ ❦❤♦❛ ❤å❝ ♠ët ❝→❝❤ ♥❣❤✐➯♠ tó❝ tr♦♥❣ s✉èt ❦❤â❛ ❤å❝✱ ❝ô♥❣ ♥❤÷ r➜t
❝➞♥ t❤➟♥ tr♦♥❣ ❦❤➙✉ ❝❤➳ ❜↔♥ ▲❛❚❡①✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥ ❞♦ ❝á♥ ❤↕♥ ❝❤➳ ✈➲ t❤í✐
❣✐❛♥✱ ❦❤↔ ♥➠♥❣ ✈➔ ❤♦➔♥ ❝↔♥❤ ❣✐❛ ✤➻♥❤ ♥➯♥ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ t❤ü❝ ❤✐➺♥
❦❤æ♥❣ tr→♥❤ ❦❤ä✐ ♥❤ú♥❣ t❤✐➳✉ sât✱ t→❝ ❣✐↔ r➜t ♠♦♥❣ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ sü ❝❤➾

❜↔♦ ❝õ❛ q✉þ t❤➛② ❝æ ✈➔ ♥❤ú♥❣ ❣â♣ þ ❝õ❛ ❜↕♥ ✤å❝ ✤➸ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷ñ❝ ❤♦➔♥
t❤✐➺♥ ❤ì♥✳

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ t❤→♥❣ ✵✾ ♥➠♠ ✷✵✶✵✳
◆❣÷í✐ t❤ü❝ ❤✐➺♥
◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❉÷ì♥❣ ❑✐➲✉

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên






ữỡ
ỵ ởt số rở
r ữỡ ú tổ ợ t ở ỵ ởt
số rở ừ ỵ ởt số q
q trồ ụ ữủ tr t ủ ử
t ữủ tr tr ữỡ t t

ỵ
ỡ s ừ ỵ ỹ ỵ ỡ t ừ r
strss ố ợ tử r f tử tr
[a, b] t õ t tr ợ t tr ọ t tr õ
ỵ rt ỹ tr ừ r
g(x) tr (a, b) t ỹ tr ỹ ỹ t t ởt
tr õ t t õ

ỵ ỵ sỷ f tử tr [a; b]

õ t ồ x (a; b) f (a) = f (b) t tỗ t t t
ởt c (a; b) s f (c) = 0

ự

f tử tr [a; b] t ỵ rstrss
f t tr ỹ tr ỹ t tr [a; b] tự

S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn





tỗ t x1 , x2 (a; b) s
f (x1 ) = min f (x) = m, f (x2 ) = max f (x) = M.
[a;b]

[a;b]

õ
a) m = M. f (x) = const tr [a; b] õ f (x) = 0 ợ
ồ x (a; b) c t tr õ
b) m < M õ f (a) = f (b) t t ởt tr
x1 , x2 s ổ trũ ợ út ừ [a; b] sỷ
x1 (a; b) t ỵ rt t 0 t
ỵ ữủ ự

t

ỵ õ s ổ ỏ ú tr
(a; b) õ c t õ f (c) ổ tỗ t t

3
f (x) = 2 x2 , x [1; 1] t f (x) tọ f (x)
2

tử tr (1; 1) f (1) = f (1) t f (x) =
33x
ró r t x0 = 0 (1; 1) ổ tỗ t số ổ
t ừ ừ ỵ
tử tr [a; b] ố ợ f (x) ụ ổ
t t f (x) tử tr (a; b) t


1, x = 0,
f (x) =
x, 0 < x 1.
é x = 0 õ ró r ổ tỗ t x0 (0, 1)
f (x0 ) = 0.
ị ồ ừ ỵ ữủ t
t tr ỗ t ừ số y = f (x), x [a; b] tỗ t
M (c; f (c)), c (a; b) t t t õ s s ợ trử Ox

q số f (x) õ tr (a; b) ữỡ
tr f (x) = 0 õ n t tở (a; b) t ữỡ
S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn

tr f (x) = 0 õ t t n 1 t tở (a; b).
Pữỡ tr f (k) (x) = 0 õ t t n k t tở
(a; b) ợ k = 1, 2, . . . , n

ự

sỷ ữỡ tr f (x) = 0 õ n t
tở (a; b) ữủ s tự tỹ x1 < x2 < ã ã ã < xn õ
ử ỵ n 1 [x1 ; x2 ], [x2 ; x3 ], . . . , [xn1 ; xn ] t
ữỡ tr f (x) = 0 õ t t n 1 tở n 1
(x1 ; x2 ), (x2 ; x3 ), . . . , (xn1 ; xn ) ồ n 1 õ 1 , 2 , . . . , n1
t t õ
f (1 ) = f (2 ) = ã ã ã = f (n1 ) = 0.
tử ử ỵ n 2 (1 ; 2 ), . . . , (n2 ; n1 )
t ữỡ tr f (x) = 0 õ t t n 2 tr (a; b).
tử ỵ tr s k ữợ ữỡ tr f (k) (x) = 0 õ t t
n k t tr (a; b).

q sỷ số f (x) tử tr [a; b] õ
tr (a; b) õ ữỡ tr f (x) = 0 õ ổ q
n 1 t tr (a; b) t ữỡ tr f (x) = 0 õ
ổ q n t tr õ

ự

sỷ ữỡ tr f (x) = 0 õ ỡ n
t tr (a; b) n + 1 t t t

q 1.1 ữỡ tr f (x) = 0 õ t t n tở (a; b)
tr ợ tt ữỡ tr f (x) = 0 õ ổ q n
tr (a; b)
t t t ởt rở ừ ỵ

q số f (x) t ỗ tớ t t s


f (x) õ n (n 1) tử tr
[a; b].

f (x) õ n + 1 tr (a; b).
S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn





f (a) = f (a) = ã ã ã = f (n) (a) = 0, f (b) = 0.
õ tỗ t b1 , b2 , . . . , bn+1 t tở (a; b)s

f (k) (bk ) = 0, k = 1, 2, . . . , n + 1.

ự

ứ tt f (a) = f (b) = 0, t ỵ tỗ
t b1 (a; b) s f (b1 ) = 0, t ủ ợ f (a) = 0, s
r tỗ t b2 (a; b1 ) (a; b) s f (b2 ) = 0. t ủ ợ
f (a) = 0 t tử ử ỵ t õ f (b3 ) = 0 ợ
b3 (a; b2 ) (a; b).

tử ữ ữợ tự n tỗ t bn (a; bn1 ) (a; b)
s f (n) (bn ) = 0, t ủ ợ f (n) (a) = 0, s r tỗ t
bn+1 (a; bn ) (a; b) s f (n+1) (bn+1 ) = 0.
ữ tỗ t t b1 , b2 , . . . , bn+1 tr (a; b)
s
f (k) (bk ) = 0, k = 1, 2, . . . , n + 1.
ớ ỳ q ỵ tr t ởt ổ
ử rt t t ố ợ t ữỡ
tr ự số ừ ữỡ tr tr ởt
õ ự ử s ữủ tr tt tr ữỡ s

ỵ r ỵ
t t t ởt số ỵ q t tt ợ ỵ

ỵ ỵ r sỷ f tử tr
õ t ồ tr (a; b). õ tỗ t t
t ởt c (a; b) s

[a; b]

f (b) f (a) = f (c)(b a).

ự



t ử


F (x) = f (x) x,

S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn





tr õ số ữủ ồ s F (a) = F (b) tự s
f (a) a = f (b) b.

õ õ
=

f (b) f (a)
.
ba



ó r F (x) tử tr [a; b], õ tr
(a; b) F (a) = F (b), õ t ỵ tỗ t c (a; b) s
F (c) = 0. ứ t õ F (x) = f (x) õ
F (c) = 0 f (c) = 0 f (c) = .

tr tứ t õ f (c) =

f (b) f (a)
,
ba

f (b) f (a) = f (c)(b a).

ổ tự ữủ ồ ổ tự số ỳ r

t

t ữủ ỵ r ữ ởt q ừ ỵ
ữ ỵ ừ tự ởt
trữớ ủ r ừ ỵ r ự ợ tt f (a) = f (b)
ị ồ f (x) t ừ
ừ ỵ r t tr ỗ t ừ số y = f (x) tỗ t
t t ởt M (c; f (c)) s t t ợ ỗ t t õ
s s ợ AB õ A(a; f (a)) B(b; f (b))

q sỷ f : [a; b] R tử f (x) = 0 ợ
ồ x (a; b) õ f = const tr [a; b].

ự

t sỷ x0 (a; b) ởt ố õ
ỏ x tý ỵ ừ (a; b) t [x0 ; x] [x; x0 ] trồ
tr (a; b) t f õ õ õ tử ỡ
tr ử ỵ r t õ
f (x) f (xo ) = f (c)(x x0 ), c (xo ; x).
S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn




✾

◆❤÷♥❣ t❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t f (x) = 0 ✈î✐ ♠å✐ x ∈ (a; b) ♥➯♥ f (c) = 0 ✈î✐ ♠å✐
c ∈ (x0 ; x)✳ ❱➻ t❤➳ t❛ ❝â f (x) = f (x0 )✱ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ♥➔② ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ r➡♥❣
❣✐→ trà ❝õ❛ ❤➔♠ f (x) t↕✐ ✤✐➸♠ ❜➜t ❦ý x ∈ (a; b) ❧✉æ♥ ❧✉æ♥ ❜➡♥❣ ❣✐→ trà
❝õ❛ ❤➔♠ t↕✐ ♠ët ✤✐➸♠ ❝è ✤à♥❤✳ ❉♦ ✈➟②✱ f = const tr➯♥ ✤♦↕♥ [a; b].

❍➺ q✉↔ ✶✳✺✳ ◆➳✉ ❤❛✐ ❤➔♠ f (x) ✈➔ g(x) ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ ✤ç♥❣ ♥❤➜t ❜➡♥❣
♥❤❛✉ tr➯♥ ♠ët ❦❤♦↔♥❣ t❤➻ ❝❤ó♥❣ ❝❤➾ s❛✐ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ❜ð✐ ❤➡♥❣ sè ❝ë♥❣✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

❚❤➟t ✈➟②✱ t❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t t❛ ❝â
[f (x) − g(x)] = f (x) − g (x) = 0.

❚❤❡♦ ❤➺ q✉↔ ✶✳✹ t❤➻ f (x) − g(x) = C (C = const) ❤❛② f (x) = g(x) + C ✳

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✸ ✭ ✣à♥❤ ❧þ ❈❛✉❝❤②✮✳ ●✐↔ sû ❝→❝ ❤➔♠ f, g ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ✤♦↕♥

✈➔ ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ t↕✐ ♠å✐ ✤✐➸♠ tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣ (a; b), ♥❣♦➔✐ r❛ g (x) = 0
✈î✐ ♠å✐ x ∈ (a; b). ❑❤✐ ✤â tç♥ t↕✐ ➼t ♥❤➜t ♠ët ✤✐➸♠ c ∈ (a; b) s❛♦ ❝❤♦

[a; b]

f (b) − f (a) f (c)
=
.
g(b) − g(a)
g (c)

✭✶✳✹✮

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

❚r÷î❝ ❦❤✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤à♥❤ ❧þ t❛ ♥❤➟♥ ①➨t r➡♥❣ ❝æ♥❣
t❤ù❝ ✭✶✳✹✮ ❧✉æ♥ ❝â ♥❣❤➽❛✱ tù❝ ❧➔ g(b) = g(a)✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ♥➳✉ g(b) = g(a)
t❤➻ ❤➔♠ sè g(x) t❤♦↔ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝õ❛ ✤à♥❤ ❧þ ❘♦❧❧❡ ✈➔ ❞♦ ✤â
tç♥ t↕✐ c ∈ (a; b) s❛♦ ❝❤♦ g (c) = 0✱ ♥❤÷♥❣ ✤✐➲✉ ♥➔② tr→✐ ✈î✐ ❣✐↔ t❤✐➳t
g (x) = 0, ∀x ∈ (a; b). ❇➙② ❣✐í t❛ ①➨t ❤➔♠ ♣❤ö
F (x) = f (x) − λg(x),

✭✶✳✺✮

tr♦♥❣ ✤â sè λ ✤÷ñ❝ ❝❤å♥ s❛♦ ❝❤♦ F (a) = F (b)✱ tù❝ ❧➔
f (a) − λg(a) = f (b) − λg(b).

✣➸ ❝â ✤✐➲✉ ✤â t❛ ❝❤➾ ❝➛♥ ❧➜②
λ=

f (b) − f (a)
.
g(b) − g(a)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

✭✶✳✻✮





F (x) t ồ ừ ỵ õ c (a; b)

s F (c) = 0. t tứ t õ F (x) = f (x) g (x)
F (c) = 0 f (c) g (c) = 0 =

f (c)
.
g (c)



ứ t t ữủ
f (b) f (a) f (c)
=
.
g(b) g(a)
g (c)

ổ tự ữủ ồ ổ tự số ỳ

t ỵ r trữớ ủ r ừ ỵ
ợ tt g(x) = x.

ỵ tr ổ
r ử t t rở ừ ỵ r ổ
ỡ s ừ rở ỹ ỵ
r tr ừ tử tr [a, b]
tr tr min f (x), max f (x) .
[a,b]

[a,b]

ỵ sỷ số f (x) tử tr [a; +) õ

tr (a; +) x+
lim f (x) = f (a). õ tỗ t c (a; +) s
f (c) = 0

ự

f (x) = f (a) ợ ồ x > a t c ởt số t

ý ợ ỡ a
sỷ tỗ t b > a s f (b) = f (a) f (b) > f (a) ồ
à ởt số tỹ t ý tở (f (a); f (b)), t ỵ
tỗ t (a; b) s f () = à lim f (x) = f (a) < à tỗ
x+

t d > b s f (d) < à. f (x) tử tr [a; +) t
ỵ tỗ t (b; d) s f () = à = f (), õ
t ỵ tỗ t c (; ) s f (c) = 0.

S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn






ữỡ
st t t ỡ ừ
số

t ỗ t ỗ ó ừ số ỳ
ỡ tr ữỡ tr t P ỵ r õ
ởt trỏ q trồ tr ự ỵ t t ỡ
tr ữỡ tr r tr ữỡ ú tổ ụ
ở s tự tỹ t ỹ
t t ừ õ t õ ữủ rt tú ố ợ ởt số
t t tự tr t

ỗ
ứ s t sỷ ử I(a; b) R
ởt tr ố t ủ (a; b), [a; b), (a; b] [a; b] ợ a < b.

sỷ số f (x) tr t I(a; b) R

t
ợ ồ x1, x2 I(a; b) x1 < x2 t õ f (x1) f (x2) t t
õ r f (x) ởt ỡ t tr I(a; b).
t ự ợ ồ x1, x2 I(a; b) x1 < x2 t õ
f (x1 ) < f (x2 ) t t õ r f (x) ởt ỡ t tỹ sỹ
S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn




✶✷

tr➯♥ I(a; b).
◆❣÷ñ❝ ❧↕✐✱ ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐ x1, x2 ∈ I(a; b) ✈➔ x1 < x2✱ t❛ ✤➲✉ ❝â f (x1) ≥
f (x2 ) t❤➻ t❛ ♥â✐ r➡♥❣ f (x) ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❣✐↔♠ tr➯♥ I(a; b).
✣➦❝ ❜✐➺t✱ ❦❤✐ ù♥❣ ✈î✐ ♠å✐ ❝➦♣ x1, x2 ∈ I(a; b) ✈➔ x1 < x2✱ t❛ ✤➲✉ ❝â

f (x1 ) > f (x2 ) t❤➻ t❛ ♥â✐ r➡♥❣ f (x) ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❣✐↔♠ t❤ü❝ sü
tr➯♥ I(a; b).
◆❤ú♥❣ ❤➔♠ ✤ì♥ ✤✐➺✉ t➠♥❣ t❤ü❝ sü tr➯♥ I(a, b) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ ✤ç♥❣
❜✐➳♥ tr➯♥ I(a; b) ✈➔ ❤➔♠ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❣✐↔♠ t❤ü❝ sü tr➯♥ I(a; b) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔
❤➔♠ ♥❣❤à❝❤ ❜✐➳♥ tr➯♥ I(a; b).
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❣✐↔✐ t➼❝❤✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ✤➣ ❜✐➳t ✤➳♥ ❝→❝ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ✤➸
♥❤➟♥ ❜✐➳t ✤÷ñ❝ ❦❤✐ ♥➔♦ t❤➻ ♠ët ❤➔♠ sè ❦❤↔ ✈✐ ❝❤♦ tr÷î❝ tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣
(a; b) ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ✤ì♥ ✤✐➺✉ tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ ✤â✳ ❙❛✉ ✤➙② ❝❤ó♥❣ t❛ s➩ ❞ò♥❣
✤à♥❤ ❧þ ▲❛❣r❛♥❣❡ ✤➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤à♥❤ ❧þ ✈➲ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ ❝õ❛ t➼♥❤ ✤ì♥
✤✐➺✉ ❝õ❛ ❤➔♠ sè✳ ✣➙② ❧➔ ♠ët ✤à♥❤ ❧þ r➜t q✉❛♥ trå♥❣ tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
❣✐↔✐ t➼❝❤ ❧î♣ ✶✷✲ ❚❍P❚✳

✣à♥❤ ❧þ ✷✳✶✳ ❈❤♦ ❤➔♠ sè y = f (x) ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ (a; b).

✐✮ ◆➳✉ f (x) > 0 ✈î✐ ♠å✐ x ∈ (a; b) t❤➻ ❤➔♠ sè y = f (x) ✤ç♥❣ ❜✐➳♥
tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ ✤â✳
✐✐✮ ◆➳✉ f (x) < 0 ✈î✐ ♠å✐ x ∈ (a; b) t❤➻ ❤➔♠ sè y = f (x) ♥❣❤à❝❤
❜✐➳♥ tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ ✤â✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

▲➜② ❤❛✐ ✤✐➸♠ x1 , x2 (x1 < x2 ) tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ (a; b)✳ ❱➻
f (x) ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ (a; b) ♥➯♥ f (x) ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ [x1 ; x2 ] ✈➔ ❝â
✤↕♦ ❤➔♠ tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣ (x1 ; x2 ).
⑩♣ ❞ö♥❣ ✤à♥❤ ❧þ ▲❛❣r❛♥❣❡ ❝❤♦ ❤➔♠ sè y = f (x) tr➯♥ [x1 ; x2 ]✱ ❦❤✐ ✤â
∃c ∈ (x1 ; x2 ) s❛♦ ❝❤♦
f (x2 ) − f (x1 ) = f (c)(x2 − x1 ).
i) ◆➳✉ f (x) > 0 tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ (a; b) t❤➻ f (c) > 0✱ ♠➦t ❦❤→❝ x2 −x1 > 0
♥➯♥ f (x2 ) − f (x1 ) > 0 ❤❛② f (x2 ) > f (x1 ), s✉② r❛ ❤➔♠ f (x) ✤ç♥❣ ❜✐➳♥
tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ (a; b)✳

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên





ii) f (x) < 0 tr (a; b) t f (c) < 0 t x2 x1 > 0
f (x2 ) f (x1 ) < 0 f (x2 ) < f (x1 ), s r f (x)
tr (a; b)

ỵ rở ừ ỵ sỷ số y = f (x) õ
tr (a; b) f (x) 0 f (x) 0 tự
r t ởt số ỳ tr (a; b) t f (x) ỗ
tr õ

ự t ỡ sỷ r f (x) 0

tr (a; b) f (x) = 0 t x1 (a, b) t õ f (x) ỗ tr
tứ (a, x1 ) (x1 , b) tử tr (a, x1 ] [x1 , b) õ
ụ ỗ tr (a, x1 ] [x1 , b). ứ õ s r õ ỗ tr
(a, b).

ỗ ó
t ừ ỗ ó


số f (x) ữủ ồ ỗ tr t I(a; b) R ợ
ồ x1, x2 I(a; b) ợ ồ số ữỡ , õ tờ + = 1 t
õ
f (x1 + x2 ) f (x1 ) + f (x2 ).

tự tr r x1 = x2 t t õ
f (x) ỗ tỹ sỹ t tr I(a; b).
số f (x) ữủ ồ ó tr t I(a; b) R ợ
ồ x1, x2 I(a; b) ợ ồ số ữỡ , õ tờ + = 1 t
õ
f (x1 + x2 ) f (x1 ) + f (x2 ).



tự tr r x1 = x2 t t õ
f (x) ó tỹ sỹ t tr I(a; b).
S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn






t x1 < x2 t x = x1 + x2 ợ ồ số ữỡ

, õ tờ + = 1 tở (x1 ; x2 )
=

x2 x
x x1
; =
.

x2 x1
x2 x1

ỵ f (x) số tr I(a; b) t f (x) ỗ
tr I(a; b) f (x) ỡ t tr I(a; b)

ự

sỷ f (x) ỗ tr I(a; b) õ ợ x1 < x < x2
(x, x1 , x2 I(a; b)) t õ
x x1
x2 x
> 0;
> 0
x2 x1
x2 x1

x2 x
x x1
+
= 1.
x2 x1 x2 x1

t
x2 x
x x1
f (x1 ) +
f (x2 )
x2 x1
x2 x1

f (x) f (x1 ) f (x2 ) f (x)


.
x x1
x2 x
f (x)



r x x1 t t ữủ
f (x1 )

f (x2 ) f (x1 )
.
x2 x1



ữỡ tỹ tr x x2 t t ữủ
f (x2 ) f (x1 )
f (x2 ).
x2 x1



ứ t ữủ f (x1 ) f (x2 ) tự số f (x)
ỡ t
ữủ sỷ f (x) số ỡ t x1 < x < x2
(x, x1 , x2 I(a; b)). ỵ r tỗ t x3 , x4 ợ x3 (x1 ; x)

x4 (x; x2 ) s
f (x) f (x1 )
= f (x3 ),
x x1
f (x2 ) f (x)
= f (x4 ).
x2 x
S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn





f (x3 ) f (x4 )
f (x)

f (x) f (x1 ) f (x2 ) f (x)

, t õ
x x1
x2 x
x2 x
x x1
f (x1 ) +
f (x2 ).
x2 x1
x2 x1

ự f (x) ỗ tr I(a; b).

ỵ f (x) tr I(a; b) t f (x) ỗ ó tr
I(a; b)

f

tr I(a; b).

(x) 0 (f (x) 0)

ự

trỹ t tứ ỵ 2.3
s t t ỗ ó tự số
õ ổ ờ tr I(a; b).

q số y = f (x) ỗ ó tr I(a; b) t ữỡ
tr f (x) = 0 õ ổ q tở I(a; b).

ự

t sỷ số y = f (x) ỗ ó tr
I(a; b), tự f (x) > 0 f (x) < 0 tr I(a; b). õ số f (x)
ổ ỗ tr I(a; b), ữỡ tr f (x) = 0
õ ổ q tr I(a; b). õ t q 1.2
ữỡ tr f (x) = 0 õ ổ q tr õ

t ợ q ú t õ t ởt ổ ử ỳ
ử t ữỡ tr ự sỹ tỗ t
ừ ữỡ tr ú tổ s ợ t ữỡ
tổ q ử ử t tr ữỡ s

ỵ



t tự rt
I(a; b), k = 1, 2, . . . , n} t

số

{xk , yk

x1 x2 ã ã ã xn , y1 y2 ã ã ã yn

S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn




✶✻

✈➔




x1 ≥ y1 ,







x + x 2 ≥ y1 + y2 ,

 1
···





x1 + x2 + · · · + xn−1 ≥ y1 + y2 + · · · + yn−1 ,




x + x + · · · + x = y + y + · · · + y .
1
2
n
1
2
n

❑❤✐ ✤â✱ ù♥❣ ✈î✐ ♠å✐ ❤➔♠ ❧ç✐ t❤ü❝ sü f (x) tr➯♥ I(a; b)✱ t❛ ✤➲✉ ❝â
f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn ) ≥ f (y1 ) + f (y2 ) + · · · + f (yn ).

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

❚r÷î❝ ❤➳t t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝

f (x1 ) ≥ f (y1 ) + f (y1 )(x1 − y1 ), ∀x1 , y1 ∈ I(a; b).

✭✷✳✻✮

❉➜✉ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ x1 = y1 .
❚❤➟t ✈➟②✱ t❛ ❝â
✭✷✳✻✮ ⇔ f (x1 ) − f (y1 ) ≥ f (y1 )(x1 − y1 ).

✭✷✳✼✮

❚❛ ①➨t ✸ tr÷í♥❣ ❤ñ♣✳
i) ◆➳✉ x1 = y1 t❤➻ t❛ ❝â ❞➜✉ ✤➥♥❣ t❤ù❝✱ ❞♦ ✤â ✭✷✳✼✮ ✤ó♥❣✳
ii) ◆➳✉ x1 > y1 t❤➻ x1 − y1 > 0 ♥➯♥
✭✷✳✼✮ ⇔

f (x1 ) − f (y1 )
≥ f (y1 ).
x1 − y 1

✭✷✳✽✮

❚❤❡♦ ✤à♥❤ ❧þ ▲❛❣r❛♥❣❡ t❤➻ ✭✷✳✽✮ ⇔ f (x1 ) ≥ f (y1 ) ✈î✐ y1 < x1 < x1 . ❇➜t
✤➥♥❣ t❤ù❝ ♥➔② ❧✉æ♥ ✤ó♥❣ ✈➻ f (x) ❧➔ ❤➔♠ ✤ç♥❣ ❜✐➳♥ ❞♦ f (x) > 0 ✭t❤❡♦
❣✐↔ t❤✐➳t✮✱ ✈➻ t❤➳ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✻✮ ✤ó♥❣✳
iii) ◆➳✉ x1 < y1 t❤➻ x1 − y1 < 0 ♥➯♥
✭✷✳✼✮ ⇔

f (x1 ) − f (y1 )

≤ f (y1 ).
x1 − y 1

✭✷✳✾✮

❚❤❡♦ ✤à♥❤ ❧þ ▲❛❣r❛♥❣❡ t❤➻ ✭✷✳✾✮ ⇔ f (x1 ) ≤ f (y1 ) ✈î✐ x1 < x1 < y1 . ❇➜t
✤➥♥❣ t❤ù❝ ♥➔② ❧✉æ♥ ✤ó♥❣ ✈➻ f (x) ❧➔ ❤➔♠ ✤ç♥❣ ❜✐➳♥ ❞♦ f (x) > 0 ✭t❤❡♦
❣✐↔ t❤✐➳t✮✱ ✈➻ t❤➳ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✻✮ ✤ó♥❣✳
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên





ữỡ tỹ t ự ữủ
f (xi ) f (yi ) + f (yi )(xi yi ), xi , yi I(a; b), i = 1, 2, . . . , n.

ữ t õ
f (x1 ) f (y1 ) + f (y1 )(x1 y1 ),
f (x2 ) f (y2 ) + f (y2 )(x2 y2 ),
...........................
f (xn ) f (yn ) + f (yn )(xn yn ).

õ
n

n

f (xi )
i=1

n



f (yi )(xi yi )

f (yi ) +
i=1
n

f (xi )
i=1

t

n

i=1
n

f (yi )
i=1

f (yi )(xi yi ).



i=1

n

f (yi )(xi yi ).
i=1

ỷ ử ờ ự ợ ai = f (yi ) bi = (xi yi ) t ữủ
n

n1

f (yi )(xi yi ) =
i=1

[f (yi ) f (yi+1 )][(x1 + x2 + ã ã ã + xn1 ) (y1 + y2 + ã ã ã
i=1

+ yn1 )] + f (yn )[(x1 + x2 + ã ã ã + xn ) (y1 + y2 + ã ã ã + yn )].

ứ tt t õ f (yi ) f (yi+1 ) 0 f (y) ỗ
(x1 + x2 + ã ã ã + xn1 ) (y1 + y2 + ã ã ã + yn1 ) 0,
(x1 + x2 + ã ã ã + xn ) (y1 + y2 + ã ã ã + yn ) = 0.

t

n

f (yi )(xi yi ) 0.
i=1

ứ t t ữủ
n

n

f (xi )
i1

f (yi ) 0,
i1

S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn