Ôn tập hình học phẳng Vecter và tọa độ trong hình học phẳng

Huỳnh Bửu Tính
1
V
V
E
E
C
C
T
T
O
O
R
R


V
V
À
À


T
T
Ọ
Ọ
A
A


Đ

Đ
Ộ
Ộ


T
T
R
R
O
O
N
N
G
G


M
M
Ặ
Ặ
T
T


P
P
H
H
Ẳ

Ẳ
N
N
G
G
j
)
)



1. Tọa độ vector.
Định nghĩa: ( ; )axy axiy=⇔=+
GG
GG
Cho Khi đó
11 2 2
( ; ), ( ; ).uxyvxy==
GG
+
1212
(;uv x xy y±= ± ±
GG
+
11
.(;ku kx ky=
G
+ cùng phương ⇔ ∃k ≠ 0:
v

,uv
GG
ku=
GG
⇔ x
1
y
2
− x
2
y
1
= 0
+
12
12
x
x
uv
yy
=
⎧
=⇔
⎨
=
⎩
GG

+
12 12

.uv xx yy=+
GG
+
22
11
||uxy=+
G

+
m
12 12
2222
1122
cos( , )
.
xx yy
uv
x
yxy
+
=
++
GG

+
.0uv uv⊥⇔ =
GG GG
2. Tọa độ của điểm.
Định nghĩa:
(; )

M
xy OM xi yj⇔=+
JJJJG
GG

Cho các điểm A(x
A
;y
A
), B(x
B
;yB
B
B
)
). Khi đó
+
(;
BABA
A
Bxxyy=− −
JJJG

+
22
|| ( )( )
BA BA
A
BAB xx yy== − +−
JJJG

+ Điểm M(x;y) chia đoạn AB theo tỷ số k ≠ 1 ⇔
.
M
AkMB=
J
JJG JJJG

⇔
1
1
AB
AB
x
kx
x
k
y
ky
y
k
−
⎧
=
⎪
⎪
−
⎨
−
⎪

=
⎪
−
⎩

Đặc biệt: Khi k = −1, thì M là trung điểm đoạn AB

;
22
ABAB
x
xy y
M
++
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

+ A, B, C thẳng hàng ⇔ ,
A
BAC
JJJGJJJG
cùng phương
+
()
.
cos cos ,
.
A
BAC

AABAC
A
BAC
==
JJJG JJJG
JJJG JJJG

+ Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC

;
33
ABCABC
x
xxyyy
G
++ ++
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

+ H là trực tâm của tam giác ABC
⇔
.0
.0
AH BC
BH AC
⎧
=
⎪
⎨

=
⎪
⎩
JJJG JJJG
JJJG JJJG
+ I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
⇔
22
22
A
IBI
A
ICI
⎧
=
⎪
⎨
=
⎪
⎩

Huỳnh Bửu Tính
2
+ Tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

AB
AB
ax bx cx
x
abc

ay by cy
y
abc
++
⎧
=
⎪
⎪
++
⎨
++
⎪
=
⎪
++
⎩
C
C

+ Tọa độ tâm đường tròn bàng tiếp góc A

AB
AB
ax bx cx
x
abc
ay by cy
y
abc
−++

⎧
=
⎪
⎪
++
⎨
−++
⎪
=
⎪
++
⎩
C
C

+ Tọa độ chân đường phân giác trong của tam giác ABC

BC
BC
bx cx
x
bc
by cy
y
bc
+
⎧
=
⎪
⎪

+
⎨
+
⎪
=
⎪
+
⎩

+ Tứ giác ABCD là hình bình hành ⇔
A
DBC=
J
JJG JJJG
.
+ Diện tích tam giác ABC

22
2
11
.(.)( )( )( )(
22
ABC B A C A C A B A
S ABAC ABAC x xy y x xy y
Δ
=−=−−−−
JJJG JJJG JJJG JJJG
)−

Chú ý. Cho điểm M(x;y). Khi đó

− M
1
(−x;−y) đối xứng với M qua gốc tọa độ O
− M
2
(x;−y) đối xứng với M qua trục hoành
− M
3
(−x;y) đối xứng với M qua trục tung
− M
4
(y;x) đối xứng với M qua đường phân giác y = x
− M
5
(−y;−x) đối xứng với M qua đường phân giác y = − x
Bài tập.
Bài 1. Cho tam giác có trung điểm các cạnh lần lượt là M(1;4), N(3;0), P(−1;1).
Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác đó.
Bài 2. Cho hai điểm A(−3;2) và B(4;3). Tìm tọa độ của
1. Điểm M trên trục Ox sao cho tam giác MAB vuông tại M.
2. Tìm điểm N trên trục Oy sao cho NA = NB.
Bài 3. Cho ba điểm A(−1;1), B(3;1), C(2;4).
1. Tính góc A và diện tích của tam giác ABC.
2. Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC.
Chứng minh
3.
I
HIG=
JJJGJJG

Bài 4. Cho hình thoi ABCD biết A(3;1), B(−2;4) và giao điểm I của hai đường chéo nằm trên Ox.
Xác định tọa độ hai đỉnh C và D.
Bài 5. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông ABCD trong mỗi trường hợp sau
1. Biết A(2;−1) và B(−1;3).
2. Biết A(3;0) và C(−4;1).
Bài 6. Cho ba điểm A(3;1), B(0;7) và C(5;2).
1. Chứng minh ABC là tam giác vuông.
2. M là điểm thay đổi trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Chứng minh trọng tâm G của tam giác MBC luôn thuộc một đường tròn cố định.
Bài 7. Cho A(2;1), B(3;−1), C(−2;3).
1. Tìm tọa độ điểm D trên Oy để ABDC là hình thang có hai đáy AB và CD.
2. Tìm tọa độ điểm hình chiếu H của A trên BC.

Huỳnh Bửu Tính
3
P
P
H
H
Ư
Ư
Ơ
Ơ
N
N
G
G


T

T
R
R
Ì
Ì
N
N
H
H


Đ
Đ
Ư
Ư
Ờ
Ờ
N
N
G
G


T
T
H
H
Ẳ
Ẳ
N

N
G
G



1. Phương trình của đường thẳng.
1.1. Dạng tổng quát.
Δ: Ax + By + C = 0, A
2
+ B
2
≠ 0
Đường thẳng qua điểm M(x
0
;y
0
), có phương trình
Δ: A(x − x
0
) + B(y − y
0
) = 0, A
2
+ B
2
≠ 0
Nếu Δ qua gốc tọa độ O, thì Δ: Ax + By = 0, A
2
+ B

2
≠ 0.
Ví dụ. Cho tam giác ABC đều. Biết A(3;2) và B(1;1).
1. Viết phương trình đường trung trực của cạnh AB.
2. Tìm tọa độ đỉnh C.
1.2. Dạng tham số.
Đường thẳng Δ đi qua điểm M(x
0
;y
0
), vector chỉ phương
(;) 0uab
=
≠
G
G
.
Δ:
0
0
,
x
xat
yy bt
=+
⎧
⎨
=+
⎩
t là tham số thực.

Ví dụ. Cho đường thẳng Δ đi qua điểm M(2;−1) và có vectơ chỉ phương
(3;4)u =−
G
.
Tìm điểm N ∈ Δ sao cho tam giác OMN vuông tại O.
1.3. Dạng chính tắc.
Đường thẳng Δ đi qua điểm M(x
0
;y
0
), vector chỉ phương
(;) 0uab
=
≠
G
G
.
Δ:
00
x
xyy
ab
−−
=

Đường thẳng đi qua hai điểm A(x
A
;y
A
) và B(x

B
;y
B
)

:
AA
BA B
A
x
xyy
AB
x
xyy
−−
=
−−

Ví dụ. Cho tam giác ABC biết A(2;3), B(−1;2) và C(1;4).
1. Viết phương trình đường trung tuyến AM.
2. Viết phương trình đường thẳng d qua điểm B và vuông góc với AM.
1.4. Phương trình đoạn chắn.
Đường thẳng Δ chắn trên Ox tại A(a;0) và Oy tại B(0;b) (ab ≠ 0), có phương trình
Δ:
1
xy
ab
+=

Ví dụ. Viết phương trình đường thẳng qua M(3;2), cắt tia Ox tại A, tia Oy tại B sao cho

1. OA + OB = 12.
2. S
ΔOAB
= 12 đvdt. B
1.5. Đường thẳng có hệ số góc.
Δ: y = kx + b
− Nếu Δ qua M(x
0
,y
0
), hệ số góc k thì Δ: y − y
0
= k(x − x
0
).
− Giả sử k
1
, k
2
lần lượt là hệ số góc của hai đường thẳng d
1
, d
2
và α là góc giữa hai đường thẳng đó.
Khi đó
21
21
tg
1
kk

kk
α
−
=
+
, α ≠ 90
°
.
Ví dụ. 1. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm M(−2;3) và hợp với trục hoành một góc 60
°
.
2. Cho đường thẳng d: x − 2y + 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng Δ qua gốc tọa độ O và hợp với
đường thẳng d một góc α biết tgα =
1
3
.
Chú ý. Cho đường thẳng Δ: Ax + By + C = 0. Khi đó
(i) Δ
1
// Δ ⇒ Δ
1
: Ax + By + C
1
= 0, C
1
≠ C.
(ii) Δ
2
⊥ Δ ⇒ Δ
2

: Bx − Ay + C
2
= 0.
Huỳnh Bửu Tính
4
Ví dụ. Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB: 2x − y + 5 = 0, đường thẳng AD qua gốc tọa độ O và tâm hình chữ
nhật là I(4;5). Viết phương trình các cạnh còn lại.
2. Hình chiếu của điểm trên đường thẳng.
Cho đường thẳng Δ và điểm M. Khi đó hình chiếu H của điểm M trên Δ được xác định như sau
(1) Lập phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với Δ,
(2) H = d ∩ Δ.
Ví dụ. Cho đường thẳng Δ: x + 2y + 3 = 0 và điểm M(2;5).
Tìm tọa độ hình chiếu H của M trên Δ. Từ đó suy ra điểm N đối xứng với điểm M qua Δ.
Chú ý.
(i) H là hình chiếu của điểm M trên Δ ⇔
.
.0
H
MH u
Δ
∈Δ
⎧
⎪
⎨
=
⎪
⎩
JJJJGJJG

(ii) A đối xứng với B qua Δ ⇔

.AB u
I
Δ
⎧
0
=
⎪
⎨
∈Δ
⎪
⎩
J
JJGJJG
, trong đó I là trung điểm AB.
Ví dụ. Cho điểm M(3;5) và đường thẳng Δ:
12
23
x
t
y
t
=+
⎧
⎨
=
−−
⎩
. Gọi N là điểm di động trên Δ.
Xác định tọa độ điểm N để đoạn MN ngắn nhất.
3. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.

Cho hai đường thẳng Δ
1
: A
1
x + BB
1
y + C
1
= 0 và Δ
2
: A
2
x + B
2
B y + C
2
= 0.
(1)
11 11 11
22 22 22
,,
xy
A
BBCC
DD D
A
A
BBCC
===
A

− Δ
1
cắt Δ
2
⇔ D ≠ 0
⇒ Tọa độ giao điểm là
;
y
x
D
D
I
D
D
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

− Δ
1
// Δ
2
⇔
0
00
xy
D
DD
=

⎧
⎨
≠∨ ≠
⎩
− Δ
1
≡ Δ
2
⇔ D = Dx = D
y
= 0
(2) Nếu A
2
BB
2
C
2
≠ 0, thì
−
111
12
222
// .
A
BC
A
BC
ΔΔ⇔ = ≠

−

111
12
222
.
A
BC
A
BC
Δ≡Δ⇔ = =

− Δ
1
cắt Δ
2

11
22
.
A
B
A
B
⇔≠

Chú ý. Cho hai đường thẳng d
1
: y = k
1
x + b
1

và d
2
: y = k
2
x + b
2
. Khi đó
(i) d
1
// d
2
⇔
12
12
kk
bb
=
⎧
⎨
≠
⎩
(ii) d
1
≡ d
2
⇔
12
12
kk
bb

=
⎧
⎨
=
⎩
(iii) d
1
cắt d
2
⇔ k
1
≠ k
2

d
1
⊥ d
2
⇔ k
1
k
2
= −1
Ví dụ. 1. Tìm m để hai đường thẳng d
1
: 2x − y + m + 2 = 0 và d
2
: (m − 1)x + y − 1 = 0 cắt nhau tại một điểm trên
parabol (P): y = 2x
2

.
Huỳnh Bửu Tính
5
2. Cho điểm I(−2;0) và hai đường thẳng d
1
: 2x − y + 5 = 0, d
2
: x + y − 5 = 0. Viết phương trình đường
thẳng d đi qua điểm I và cắt hai đường thẳng d
1
, d
2
lần lượt tại A, B sao cho 2
I
AIB
=
J
JGJJG
.
4. Chùm đường thẳng.
Giả sử hai đường thẳng Δ
1
: A
1
x + BB
1
y + C
1
= 0 và Δ
2

: A
2
x + B
2
B y + C
2
= 0 cắt nhau tại điểm I. Khi đó, tập
hợp tất cả các đường thẳng đi qua điểm I được gọi là chùm đường thẳng tâm I.
Phương trình chùm đường thẳng:
m( A
1
x + BB
1
y + C
1
) + n(A
2
x + B
2
B y + C
2
) = 0, m
2
+ n
2
≠ 0.
Ví dụ. 1. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm M(2;−1) và giao điểm của hai đường thẳng
d
1
: 3x + 5y − 7 = 0 và d

2
: x − 3y + 1 = 0.
2. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua giao điểm của hai đường thẳng
d
1
: 2x − y + 1 = 0 và d
2
: x − 2y − 3 = 0
đồng thời chắn trên hai trục tọa độ những đoạn bằng nhau.
5. Góc giữa hai đường thẳng.
Cho hai đường thẳng Δ
1
: A
1
x + BB
1
y + C
1
= 0 và Δ
2
: A
2
x + B
2
B y + C
2
= 0. Đặt . Khi đó
n
12
(, )α= Δ Δ

12 12
2222
11 22
||
cos
.
AA BB
A
BAB
+
α=
++

Ví dụ. 1. Tính góc giữa hai đường thẳng d
1
: x + 3y − 8 = 0 và d
2
: 2x + y − 4 = 0.
2. Cho hai đường thẳng d
1
: x + (2m − 1)y + 2m
2
+ 1 = 0 và d
2
: (m − 1)x + my + 3m − 4 = 0.
Định m để góc giữa hai đường thẳng d
1
và d
2

bằng 45
°
.
Chú ý.
(i) 0
°
≤ α ≤ 90
°
(ii)
12
12
//
0
ΔΔ
⎡
α= ⇔
⎢
Δ≡Δ
⎣
D
(iii) α = 90
°
⇔ Δ
1
⊥ Δ
2
⇔ A
1
A
2

+ BB
1
B
2
B = 0
(iv) Hai đường thẳng Δ
1
và Δ
2
(không vuông góc với nhau) có hệ số gốc lần lượt k
1
và k
2
. Khi đó

12
12
tg
1
kk
kk
−
α=
+

6. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng.
Cho đường thẳng Δ: Ax + By + C = 0 và điểm M(x
0
;y
0

). Khi đó

00
22
||
(;)
A
xByC
dM
AB
++
Δ=
+

Chú ý. Cho hai đường thẳng song song Δ
1
: Ax + By + C
1
= 0 và Δ
2
: Ax + By + C
2
= 0. Khi đó
12 12 1
21
22
(, ) ( , ),
||
ddMM
CC

AB
ΔΔ = Δ ∀ ∈Δ
−
=
+
1

Ví dụ. Cho đường thẳng Δ: 3x − 4y + 8 = 0 và điểm A(−3; 1).
1. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng Δ.
2. Tìm trên trục hoành điểm M sao cho d(M,Δ) = 3.
3. Viết phương trình đường thẳng d song song với Δ và cách Δ một khoảng bằng 2.
7. Phân giác của góc giữa hai đường thẳng.
− Cho hai đường thẳng Δ
1
: A
1
x + BB
1
y + C
1
= 0 và Δ
2
: A
2
x + B
2
B y + C
2
= 0. Khi đó, tập hợp tất cả các điểm
có cùng khoảng cách đến Δ

1
và Δ
2
là

11 1 2 2
22 22
11 22
2
A
xByC AxByC
AB AB
++ ++
=±
++
(
*
)
Nếu Δ
1
và Δ
2
cắt nhau, thì (
*
) là phương trình phân giác của góc giữa hai đường thẳng Δ
1
và Δ
2
.
− Gọi D, E lần lượt là chân đường phân giác trong và ngoài hạ từ A của tam giác ABC. Khi đó

Huỳnh Bửu Tính
6

D
BABE
AC
B
D
CEC
=− =−
JJJG JJJG
JJJG JJJG
và

,
BC B
DD
bx cx by cy
xy
bc bc
C
+
+
==
+
+
;

,
BC B C

EE
bx cx by cy
xy
bc bc
−−
==
−−

Ví dụ. Cho hai đường thẳng Δ
1
: 3x + 5y − 10 = 0 và Δ
2
: 3x + 5y + 8 = 0.
1. Viết phương trình đường thẳng Δ cách đều Δ
1
và Δ
2
.
2. Viết phương trình đường thẳng Δ
3
đối xứng với Δ
1
qua Δ
2
.
8. Bài tập cơ bản.
Bài 1. Viết phương trình các đường trung trực của tam giác ABC biết M(−1;1), N(1;9), P(9;1) là các trung điểm
của ba cạnh tam giác.
Bài 2. Cho tam giác ABC biết A(1;−1), B(−2;1), C(3;5).
1. Viết phương trình đường thẳng chứa trung tuyến BM của tam giác ABC.

2. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với trung tuyến BM.
Bài 3. Cho hình bình hành ABCD có AB: 3x − y − 2 = 0, BC: x + y − 2 = 0 và tâm I(3;1).
Viết phương trình đường thẳng chứa hai cạnh AD và CD.
Bài 4. Cho đường thẳng Δ:
22
12
x
t
y
t
=− −
⎧
⎨
=+
⎩
và điểm M(3;1).
1. Tìm điểm A trên Δ sao cho 13.AM =
2. Tìm điểm B trên Δ sao cho MB ngắn nhất.
Bài 5. Một cạnh của tam giác có trung điểm là M(−1;1). Hai cạnh kia nằm trên các đường thẳng
d
1
: x + 6y + 3 = 0 và d
2
:
2
x
t
y
t
=−

⎧
⎨
=
⎩
.
Lập phương trình cạnh thứ ba của tam giác đó.
Bài 6. Cho tam giác ABC có BC:
1
12
xy−−
=
−
3
, các trung tuyến BM: 3x + y − 7 = 0 và CN: x + y − 5 = 0. Viết
phương trình các cạnh AB và AC.
Bài 7. Xác định các giá trị của m để góc giữa hai đường thẳng
2
12
x
mt
y
t
=
+
⎧
⎨
=−
⎩
và 3x + 4y + 12 = 0 bằng 45
0

.
Bài 8. Cho đường thẳng d: 3x − 4y − 12 = 0.
1. Tính diện tích của tam giác mà d hợp với hai trục tọa độ.
2. Viết phương trình đường thẳng d
/
đối xứng với d qua trục Ox.
3. Viết phương trình đường thẳng d
//
đối xứng với d qua điểm I(−1;1).
Đs. 1. S = 6 (đvdt) 2. 3x + 4y − 12 = 0 3. 3x − 4y + 26 = 0.
Bài 9. Cho hai đường thẳng d: (m + 1)x − 2y + m + 1 = 0 và d
/
: mx − 3y + 1 = 0.
1. Định m để hai đường thẳng cắt nhau. Tìm tọa độ giao điểm M.
2. Tìm số nguyên m để tọa độ giao điểm là số nguyên.
Đs. 1. m ≠ − 3,
(
)
2
31 1
33
;
mm
mm
M
−− −+
++
2. m ∈ {−11;−7;−5;−4;−2;−1;1;5}.
Bài 10. Cho tam giác ABC có trung điểm của AB là M(1;3), trung điểm của AC là N(−3;1). Điểm A thuộc trục
Oy và BC qua gốc tọa độ O.

1. Viết phương trình BC.
2. Tìm tọa độ A và viết phương trình đường cao BH.
Đs. A(0;5), BC: x − 2y = 0 và BH: 3x + 4y − 10 = 0.
Bài 11. Cho điểm M(3;3). Viết phương trình đường thẳng qua điểm I(2;1), cắt tia Ox và Oy tại A và B sao cho
tam giác MAB vuông tại M.
Đs. x + 2y − 4 = 0 và x + y − 3 = 0.
Bài 12. Cho tam giác ABC có BC: 2x − y − 4 = 0 và hai đường cao BH: x + y − 2 = 0, CK: x + 3y + 5 = 0. Viết
phương trình các cạnh còn lại của tam giác.
Đs. AB: 3x − y − 6 = 0, AC: x − y − 3 = 0.
Huỳnh Bửu Tính
7
Bài 13. Cho hình chữ nhật ABCD có AB: 2x − y − 1 = 0, AD qua M(3;1) và tâm
1
2
(1;)I − . Viết phương trình các
cạnh AD, BC và CD.
Đs. AB: x + 2y − 5 = 0, BC: x + 2y + 5 = 0, CD: 2x − y + 6 = 0.
Bài 14. Cho tam giác ABC có
1
2
(;0M − ) là trung điểm AB và H(1;3), K(−1;1) lần lượt là chân đường cao hạ từ
đỉnh B và C (B có hoành độ dương).
1. Viết phương trình cạnh AB.
2. Tìm tọa độ A, B, C.
Đs. 1. AB: 2x + y + 1 = 0 2. A(−2;3), B(1;−3), C(3;3).
Bài 15. Cho tam giác ABC đều có đỉnh A(3;−5) và trọng tâm G(1;1).
1. Viết phương trình cạnh BC.
2. Viết phương trình cạnh AB và AC.
Đs. BC: x − 3y + 12 = 0, AB:
(6 5 3) 3 3 15 3 0xy+−++=

, AC:
(6 53) 3 3153 0xy
−
−+− =

Bài 16. Cho hình thoi ABCD có A(−2;3), B(1;−1) và diện tích hình thoi bằng 20.
1. Tìm tọa độ đỉnh D biết nó có hoành độ dương.
2. Tính bán kính đường tròn nội tiếp hình thoi.
Đs. D(3;3)
Bài 17. Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(2;2), AB: x − 2y − 3 = 0 và AB = 2AD và y
A
> 0.
1. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc K của I lên AB.
2. Tìm tọa độ A và B.
Đs. K(3;0), A(7;2), B(−1;−2).
Bài 18. Cho hình thoi có phương trình ba cạnh là 5x − 12y − 5 = 0, 3x + 4y = 0, 5x − 12y + 21 = 0. Viết phương
trình cạnh còn lại.
Đs. 3x + 4y ± 10 = 0.
Bài 19. Viết phương trình bốn cạnh của hình vuông biết bốn cạnh lần lượt đi qua bốn điểm M(0;2), N(5;−3),
P(−2;−2) và Q(2;−4).
Đs. x − 3y − 2 = 0, 3x + y + 12 = 0, x − 3y − 4 = 0, 3x + y + 2 = 0
hoặc 7x − y − 2 = 0, x + 7y − 16 = 0, 7x − y + 12 = 0, x + 7y − 26 = 0
9. Bài tập tổng hợp và nâng cao.
Bài 1. Phương trình hai cạnh của một tam giác là 5x − 2y + 6 = 0 và 4x + 7y − 21 = 0.
Viết phương trình cạnh thứ ba biết trực tâm trùng với gốc tọa độ O.
Bài 2. Cho tam giác ABC biết A(1;3), hai đường trung tuyến lần lượt là d
1
: y − 1 = 0 và d
2
: x − 2y + 1 = 0.

Tìm tọa độ đỉnh B và C.
Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A có trọng tâm
41
33
;(G ), BC: x − 2y − 4 = 0 và BG: 7x − 4y − 8 = 0.
Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
Bài 4. Cho điểm A(0;2) và đường thẳng d: x − 2y − 1 = 0.
Tìm trên đường thẳng d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại B và AB = 2BC.
Bài 5. Cho hai đường thẳng d
1
: x + y + 5 = 0 và d
2
: x + 2y − 7 = 0 và điểm A(2;3).
Tìm điểm B trên d
1
và điểm C trên d
2
sao cho tam giác ABC có trọng tâm G(2;0).
Bài 6. Cho tam giác ABC có A(0;0), B(2;4), C(6;0) và các điểm M trên cạnh AB, N trên cạnh BC, P và Q trên
cạnh AC sao cho MNPQ là hình vuông.
Tìm tọa độ các điểm M, N, P, Q.
Bài 7. Cho đường thẳng Δ: x − y + 2 = 0 và hai điểm A(1;−2), B(2;1).
Tìm điểm M ∈ Δ sao cho
1. MA + MB nhỏ nhất.
2. |MA − MB| lớn nhất.
Bài 8. Viết phương trình các cạnh của hình bình hành ABCD biết tâm I(1;6) và các điểm M(3;0), N(6;6), P(5;9),
Q(−5;4) lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA.
Bài 9. Cho hai điểm A(−2;2), B(1;3) và đường thẳng d: 2x + 3y − 4 = 0.
Tìm trên đường thẳng d điểm M sao cho |MA − MB| lớn nhất.
Huỳnh Bửu Tính

8
Bài 10. Cho điểm A(−1;3) và đường thẳng Δ: x − 2y + 2 = 0.
Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D của hình vuông ABCD, biết rằng B, C nằm trên Δ và C có các tọa độ
dương.
Bài 11. Cho A(10;5), B(15;−5), D(−20;0) là ba đỉnh của một hình thang cân ABCD.
Tìm tọa độ đỉnh C biết AB // CD.
Bài 12. Cho các điểm I(1;1), M(−2;2) và N(2;−2).
Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD sao cho I là tâm hình vuông, M nằm trên cạnh AB và N
nằm trên cạnh CD.
Bài 13. Cho hai đường thẳng d
1
: x − y = 0 và d
2
: 2x + y − 1 = 0.
Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết A ∈ d
1
, C ∈ d
2
và B, D ∈ Ox.
Bài 14. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, biết A(−1;4) và trung điểm của BC là M(3;1).
Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.
Bài 15. Cho tam giác ABC cân tại A biết AB: 2x − y + 3 = 0, BC: x + y − 1 = 0.
Viết phương trình cạnh AC biết nó qua gốc tọa độ O.
Bài 16. Cho hình vuông ABCD biết AB: 3x + 5y − 29 = 0 và tâm I(6;0).
Viết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh còn lại của hình vuông ABCD.
Bài 17. Cho các đường thẳng d
1
: x + y + 3 = 0, d
2
: x – y – 4 = 0, d

3
: x – 2y = 0.
Tìm toạ độ điểm M nằm trên đường thẳng d
3
sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d
1
bằng hai
lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d
2
.
ờng thẳng Δ
m
: (m − 2)x + (m − 1)y + 2m − 1 = 0 và hai điểm A(2;3), B(1;0). Bài 18. Cho đư
1. Chứng minh rằng Δ
m
luôn đi qua một điểm cố định với mọi m.
2. Xác định m để Δ
m
có ít nhất một điểm chung với đoạn thẳng AB.
3. Tìm m để khoảng cách từ A đến đường thẳng Δ
m
là lớn nhất.
Bài 19. Cho hình chữ nhật ABCD biết rằng tâm )1;(
2
1
−
I , AB: x − 2y = 0 và AB = 2AD.
Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD.
Bài 20. Cho đường thẳng Δ: 5x − 12y + 32 = 0 và hai điểm A(1;−1), B(5;−3).
Tìm tọa độ điểm M sao cho M cách Δ một khoảng bằng 4 và cách đều hai điểm A, B.

Bài 21. Cho đường thẳng Δ: x.cosα − y + sinα + 2cosα = 0.
Xác định α để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến Δ đạt giá trị lớn nhất.
Bài 22. Cho ba điểm A(−6;−3), B(−4;3), C(9;2).
1. Viết phương trình đường thẳng d chứa đường phân giác trong kẻ từ A của tam giác ABC.
2. Tìm điểm P trên đường thẳng d sao cho tứ giác ABPC là hình thang.
Bài 23
. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(2;−1), đường cao và đường phân giác trong kẻ lần
lượt từ đỉnh B và C là 3x − 4y + 27 = 0, x + 2y − 5 = 0.
Bài 24. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết C(4;−1), đường cao và đường trung tuyến kẻ từ một
đỉnh có phương trình tương ứng là 2x − 3y + 12 = 0, 2x + 3y = 0.
Bài 25. Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC biết C(4;3), đường phân giác trong và đường trung tuyến
kẻ từ một đỉnh lần lượt là x + 2y − 5 = 0, 4x + 13y − 10 = 0.
Bài 26. Cho tam giác ABC biết A(2;−3), trung tuyến m
B:
10x + 3y − 12 = 0 và trung trực của cạnh BC là
d: x − 3y + 7 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C.
Bài 27. Cho A(1;3) và đường cao BH: 2x − 3y − 10 = 0.
1. Giả sử BC: 5x − 3y − 34 = 0. Tìm tọa độ B, C.
2. Giả sử AB: 5x + y − 8 = 0 và tam giác ABC cân tại C. Tìm B, C.
Bài 28
. Cho hai đường thẳng d
1
: 2x − y − 1 = 0, d
2
: x + y − 5 = 0 và điểm P(−2;−1). Gọi I là giao điểm của d
1
và
d
2
. Viết phương trình đường thẳng Δ qua điểm P và cắt cả hai đường thẳng d

1
, d
2
lần lượt tại A, B sao cho
1. P là trung điểm AB.
2. IA = AB (A, B ≠ I).
Bài 29
. Cho hình thang cân ABCD (AD // BC) biết đỉnh A(1;3), BC: x − 5 = 0 và tâm đường tròn nội tiếp hình
thang là I(3;−1). Tìm tọa độ B, C, D.
Huỳnh Bửu Tính
9
Đ
Đ
Ư
Ư
Ờ
Ờ
N
N
G
G


T
T
R
R
Ò
Ò
N

N



1. Định nghĩa.
− Cho điểm I cố định và số thực dương R. Khi đó, tập hợp (C) = {M | IM = RR} là đường tròn tâm I, bán
kính R.
− Cho AB cố định, AB = a > 0. Khi đó, tập hợp (C) = {M | }
n
90AMB =
D
là đường tròn tâm I (trung điểm
AB), bán kính
.
2
a
R =
2. Phương trình đường tròn.
Dạng 1. Đường tròn (C) tâm I(a;b), bán kính R có phương trình là
(C): (x − a)
2
+ (y − b)
2
= R
2
Nếu I ≡ O, thì (C): x
2
+ y
2
= R

2
.
Dạng 2
. Cho đường cong
(C): x
2
+ y
2
− 2ax − 2by + c = 0, với a
2
+ b
2
− c > 0.
Khi đó (C) là đường tròn tâm I(a;b), bán kính
.
22
cbaR −+=

Ví dụ 1. Xác định tọa độ tâm và bán kính của các đường tròn sau
1. (C
1
): x
2
+ y
2
− 4x + 2y − 4 = 0.
2. (C
2
): 2x
2

+ 2y
2
− 4x + 3y = 0.
Ví dụ 2. Viết phương trình đường tròn (C) trong mỗi trường hợp sau
1. AB là đường kính của (C), với A(−1;2) và B(3;2).
2. (C) ngoại tiếp tam giác ABC, với A(1;2), B(2;−1) và C(1;1).
3. (C) đi qua hai điểm A(−1;2), B(3;1) và tâm I thuộc đ ờng thẳng d: 2x − 3y + 1 = 0. ư
Chú ý.
(i) (C) tiếp xúc Ox ⇔ R = |b|.
(ii) (C) tiếp xúc Oy ⇔ R = |a|.
(iii) (C) tiếp xúc với Ox và Oy ⇔ R = |a| = |b|.
⇒ tâm I thuộc đường phân giác y = x hoặc y = − x.
Ví dụ 3. Viết phương trình của đường tròn (C)
1. Đi qua điểm A(2;−1) và tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy.
2. Tiếp xúc với trục hoành tại A(−1;0) và qua B(3;2).
3. Phương tích của một điểm đối với một đường tròn.
Cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
− 2ax − 2by + c = 0 và điểm M(x
0
;y
0
) cố định.
Đặt F(x,y) = x
2
+ y
2
− 2ax − 2by + c. Khi đó phương tích của điểm M đối với đường tròn (C) là

22
00
(, )
()
M
M
IRFxy
C
ρ
=−=
= x
0
2
+ y
0
2
− 2ax
0
− 2by
0
+ c.
Nhận xét.
(i) F(x
0
,y
0
) > 0 ⇔ M nằm ngoài (C).
(ii) F(x
0

,y
0
) = 0 ⇔ M ∈ (C).
(iii) F(x
0
,y
0
) < 0 ⇔ M nằm trong (C).
Ví dụ 1. Cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
− 4x + 8y − 5 = 0 và điểm A(−1;0).
1. Xét vị trí tương đối của điểm A đối với đường tròn (C).
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) qua kẻ từ A.
Ví dụ 2. Cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
− 4x − 6y − 12 = 0. Gọi I là tâm và R là bán kính của (C). Tìm điểm M
thuộc đường thẳng d: 2x − y + 3 = 0 sao cho MI = 2R.
4. Trục đẳng phương của hai đường tròn.
Cho hai đường tròn không đồng tâm
(C
1
): x
2
+ y
2
− 2a

1
x − 2b
1
y + c
1
= 0 và (C
1
): x
2
+ y
2
− 2a
2
x − 2b
2
y + c
2
= 0.
Khi đó, trục đẳng phương của (C
1
) và (C
2
) là một đường thẳng có phương trình
Δ: 2(a
1
− a
2
)x + 2(b
1
− b

2
)y + c
2
− c
1
= 0.
Huỳnh Bửu Tính
10
ế
0
)
Chú ý.
(i) Trục đẳng phương vuông góc với đường nối tâm I
1
I
2
.
(ii) Nếu (C
1
) ∩ (C
2
) = {A,B}, thì AB là trục đẳng phương.
(iii) Nếu (C
1
) ∩ (C
2
) = {H}, thì tiếp tuyến chung tại H là trục đẳng phương.
Ví dụ. Cho hai đường tròn
(C
1

): x
2
+ y
2
− 2x + 2y − 7 = 0
(C
2
): x
2
+ y
2
+ 4x − 6y − 3 = 0
Viết phương trình đường thẳng đi qua các giao điểm của (C
1
) và (C
2
).
5. Vị trí tương đối giữa đường thẳng với đường tròn.
Cho đường tròn (C) tâm I, bán kính R và đường thẳng Δ. Khi đó
(i) d(I,Δ) > R ⇔ Δ ∩ (C) = ∅
(ii) d(I,Δ) = R ⇔ Δ ∩ (C) = H , Δ được gọi là tiếp tuyến của (C), H là tiếp điểm. { }
(iii) d(I,Δ) < R ⇔ Δ ∩ (C) = A B{ , }
Chú ý. Cho đường tròn (C) có tâm I(a;b) và bán kính R.
(i) N u biết tiếp điểm T(x
0
;y
0
), thì tiếp tuyến của (C) là đường thẳng qua T và vuông góc với
có phương trình là
0

(;TI a x b y=− −
JJG
Δ: (a − x
0
)(x − x
0
) + (b − y
0
)(y − y
0
) = 0.
(ii) Nếu không biết tiếp điểm, thì dùng điều kiện sau để giải
Δ là tiếp tuyến của đường tròn (C) ⇔ d(I,Δ) = R.
Ví dụ. Cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
− 4x − 2y − 4 = 0 và đường thẳng d: (m + 1)x − 2y + 1 = 0.
1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(−1;1) ∈ (C).
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng Δ: 12x + 5y − 10 = 0.
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ điểm N(−1;2).
4. Chứng minh d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm giá trị nhỏ nhất của AB.
6. Vị trí tương đối giữa các đường tròn.
Cho hai đường tròn (C
1
) = (I
1
,R
1
) và (C

2
) = (I
2
,R
2
). Khi đó
(i) (C
1
) và (C
2
) cắt nhau tại hai điểm phân biệt ⇔ |R
1
− R
2
| < I
1
I
2
< R
1
+ R
2

(ii) (C
1
) tiếp xúc với (C
2
) ⇔
12 1 2
12 1 2

||II R R
II R R
=−
⎡
⎢
=+
⎣
(tieáp xuùc trong)
(tieáp xuùc ngoaøi)
(iii) (C
1
) và (C
2
) không cắt nhau ⇔
12 1 2
12 1 2
||(loàng nhau)
(ngoaøi nhau)
II R R
II R R
<−
⎡
⎢
>+
⎣
Ví dụ. 1. Cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
− 2x − 2y + 1 = 0 và đường thẳng d: x − y + 3 = 0. Tìm tọa độ điểm M

nằm trên d sao cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C), tiếp xúc ngoài với đường
tròn (C).
2. Cho đường tròn (C
1
): x
2
+ y
2
− 12x − 4y + 36 = 0. Viết phương trình đường tròn (C
2
) tiếp xúc với Ox,
Oy và tiếp xúc ngoài với (C
1
).
3. Cho hai đường tròn (C
1
): x
2
+ y
2
= 1 và (C
2
): (x − 2)
2
+ (y − 3)
2
= 4. Viết phương trình tiếp tuyến
chung trong của hai đường tròn.
4. Cho hai đường tròn (C
1

): x
2
+ y
2
− 2x − 2y − 2 = 0 và (C
2
): x
2
+ y
2
− 8x − 4y + 16 = 0.
4.1. Chứng minh hai đường tròn (C
1
) và (C
2
) cắt nhau. Viết phương trình đường thẳng đi qua các giao
điểm của (C
1
) và (C
2
).
4.2. Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C
1
) và (C
2
).
Bài tập.
Bài 1. Cho phương trình x
2
+ y

2
+ 2mx − 2my + 3m
2
− 4 = 0 (1)
1. Định m để (1) là phương trình một đường tròn.
2. Tính bán kính của đường tròn (1) biết nó tiếp xúc với đường thẳng Δ: 2x − y = 0.
Bài 2
. Cho A(2;0) và B(0;1). Chứng minh tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện MA
2
− MB
2
= MO
2
là một đường
tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn ấy.
Huỳnh Bửu Tính
11
Bài 3. Lập phương trình đường tròn (C) trong mỗi trường hợp sau
1. Tâm I ∈ d: x + y − 3 = 0, tiếp xúc trục hoành và có bán kính R = 1.
2. (C) qua hai điểm A(2;1), B(3;4) và tiếp xúc với đường thẳng d: x + 2y − 2 = 0.
3. (C) tiếp xúc với đường thẳng d: 3x + y + 1 = 0 tại điểm A(1;−4) và qua điểm B(5;2).
4. Tâm I ∈ d: x − 6y − 10 = 0 và tiếp xúc đồng thời với d
1
: 3x + 4y + 5 = 0, d
2
: 4x − 3y − 5 = 0.
5. Tâm I(2;−4) và cắt đường thẳng d: 3x + 4y − 5 = 0 tạo thành dây cung có độ dài bằng 8.
6. Tiếp xúc với đường thẳng 3x − 4y − 31 = 0 tại điểm A(1;−7) và có bán kính R = 5.
7. Qua A(4;2) và tiếp xúc với hai đường thẳng d
1

: x − 3y − 2 = 0, d
2
: x − 3y + 18 = 0.
8. Tâm I(2;−1) và tiếp xúc ngoài với đường tròn (C
/
): (x − 5)
2
+ (y − 3)
2
= 9.
Bài 4. Cho điểm A(1;−1), đường thẳng d: x + 2y − 15 = 0 và đường tròn (C): (x + 1)
2
+ (y − 3)
2
= 5.
1. Viết phương trình đường tròn (C
1
) đối xứng với đường tròn (C) qua điểm A.
2. Viết phương trình đường tròn (C
2
) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng d.
Bài 5. Cho đường tròn (C): (x − 2)
2
+ (y + 1)
2
= 4. Tìm trên trục tung Oy điểm M sao cho từ đó kẻ được hai tiếp
tuyến đến (C) sao cho hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau.
Bài 6
. 1. Cho hai đường thẳng d
1

: 4x − 3y − 12 = 0, d
2
: 4x + 3y − 12 = 0. Xác định tâm và bán kính của đường
tròn nội tiếp (C) của tam giác có các cạnh lần lượt nằm trên trục tung Oy, d
1
và d
2
.
2. Cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh BC:
33xy 0
−
−=
; A, B thuộc trục hoành và bán kính đường
tròn nội tiếp r = 2. Tìm tọa độ A, B, C.
Bài 7. Cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
+ 2x − 4y − 4 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến Δ của đường tròn (C)
1. Δ vuông góc với đường thẳng d: 8x + 6y − 9 = 0.
2. Δ song song với đường thẳng d: 3x + 4y − 2 = 0.
3. Δ đi qua điểm A(3;5).
4. Δ hợp với đường thẳng d: x − 2y + 3 = 0 một góc 45
°
.
Bài 8. Cho A(1;1), B(4;−3) và đường thẳng d: x − 2y − 1 = 0.
1. Tìm điểm C ∈ d sao cho d(C,AB) = 6.
2. Viết phương trình đường tròn (T) qua A, B và có tâm thuộc đường thẳng d.
Bài 9. Cho đường thẳng d: x − y + 1 = 0 và đường tròn (C): x
2

+ y
2
+ 2x − 4y = 0. Tìm M ∈ d sao cho qua M kẻ
được hai tiếp tuyến với đường tròn tại A và B thỏa
n
3
.AMB
π
=

Bài 10. Cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
− 2x = 0. Từ M(5;1) kẻ hai tiếp tuyến MT
1
và MT
2
đến (C).
Viết phương trình đường thẳng T
1
T
2
.
Bài 11
. Cho hai đường tròn (C): x
2
+ y
2
= 1 và (C

m
): x
2
+ y
2
− 2(m + 1)x + 4my − 5 = 0.
1. Định m để (C
m
) tiếp xúc với (C).
2. Chứng minh rằng các đường tròn của họ (C
m
) tiếp xúc với (C) cắt nhau. Viết phương trình tiếp tuyến
chung của các đường tròn ấy.
Bài 12
. Cho đường thẳng Δ: x + 1 = 0 và Δ
/
: x − 1 = 0 cắt Ox lần lượt tại A và B. Gọi M và N là hai điểm di động
trên Δ và Δ
/
có tung độ là m và n sao cho mn = 4.
1. Viết phương trình đường thẳng AN và BM.
2. Chứng minh giao điểm I của AN và BM thuộc một đường tròn cố định.

Huỳnh Bửu Tính
12
Đ
Đ
Ư
Ư
Ờ
Ờ
N
N
G
G


E
E
L
L
Í
Í
P
P



1. Định nghĩa
Cho hai điểm F

1
, F
2
cố định sao cho F
1
F
2
= 2c, c > 0. Khi đó
M ∈ (E) ⇔ MF
1
+ MF
2
= 2a (a > c)
F
1
, F
2
: các tiêu điểm,
F
1
F
2
= 2c: tiêu cự
2. Phương trình của elíp
Các yếu tố
Dạng chính tắc
(E):
22
22
1

xy
ab
+=, a > b, c
2
= a
2
− b
2
Dạng không chính tắc
(E):
22
22
1
xy
ba
+=, a > b, c
2
= a
2
− b
2
Trục lớn, trục nhỏ Ox, Oy Oy, Ox
Độ dài trục lớn, trục nhỏ 2a, 2b 2a, 2b
Tiêu điểm
F
1
(−c;0), F
2
(c;0) F
1

(0;−c), F
2
(0;c)
Đỉnh
A
1
(−a;0), A
2
(a;0), BB
1
(0;−b), B
2
B (0;b) A
1
(0;−a), A
2
(0;a), BB
1
(−b;0), B
2
B (b;0)
Tâm sai
c
e
a
=
< 1
c
e
a

=
< 1
Đường chuẩn
a
x
e
=±

a
y
e
=
±

Bán kính qua tiêu điểm
MF
1
= a + ex
MF
2
= a − ex
MF
1
= a + ey
MF
2
= a − ey
Phương trình cạnh hình chữ
nhật cơ sở
x = ± a, y = ± b x = ± b, y = ± a

Hình vẽ


3. Tiếp tuyến của elip. Cho (E):
−
b

−c
c
b
O
B
1
F
1
F
2
B
2
a
A
2
x
A
−a
y

1
−a
−

c
ca
b
−
b
OA
1
F
1
F
2
A
2
B
2
B
1
y
x
22
22
1
xy
+=
αβ

a. Tiếp tuyến tại điểm M(x
0
;y
0

) ∈ (E) là Δ:
00
22
1
xx yy
+
=
αβ

b. Đường thẳng Δ: Ax + By + C = 0 tiếp xúc với (E) khi và chỉ khi α
2
A
2
+ β
2
B
2
= C
2
c. Đường thẳng qua hai tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ A(x
A
;y
A
) đến (E) là Δ:
22
1
AA
xx yy
+=
αβ

4. Tính chất
M ∈ (E) ⇔
(,)
i
i
MF
e
dM
=
Δ
, ∀i = 1,2.
5. Bài tập.
Bài 1
. Cho (E): 9x
2
+ 25y
2
= 225.
1. Xác định tiêu điểm, tâm sai và khoảng cách giữa hai đường chuẩn.
2. Tìm điểm M ∈ (E) sao cho
n
12
90 .FMF =
D
3. Cho A(x
0
;y
0
) ∈ (E). Chứng minh rằng

0000
22 22
( 4) ( 4) 10.xyxy
−
++ + +=
Huỳnh Bửu Tính
13
Bài 2. Lập phương trình của (E) biết
1. Hai đỉnh trên một trục có tọa độ (0;−2), (0;2) và một tiêu điểm F(1;0).
2. (E) qua hai điểm M(1;−2) và
3
2
(;5N − ).
Bài 3
. Lập phương trình của (E) biết
1. (E) có một đỉnh trên trục lớn là A(−5;0) và tiếp xúc với d:
43 5 40 0xy
+
−=.
2. (E) tiếp xúc với cả hai đường thẳng d
1
: 3x − 2y − 20 = 0 và d
2
: x + 6y − 20 = 0.
3. Trục lớn trên Oy, điểm M ∈ (E) có y
M
= 3,
1
52MF = và
2

2MF = .
Bài 4
. Cho (E): 3x
2
+ 4y
2
− 48 = 0.
1. Viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm của đường thẳng d đi qua điểm I(−2;1), có hệ số góc
1
2
k = với (E)
2. Tìm M ∈ (E) sao cho
1
2
3
5
.
MF
MF
=
Bài 5
. Viết phương trình tiếp tuyến của elip.
1. Tại các giao điểm của (
E): x
2
+ 4y
2
= 25 với đường thẳng d: x + 2y − 7 = 0.
2. (E): 9x
2

+ 25y
2
= 225, biết tiếp tuyến song song đường thẳng d: 4x + 5y − 7 = 0.
3. (E): 4x
2
+ y
2
− 36 = 0, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: 3x − 4y − 1 = 0.
Tìm tọa độ tiếp điểm.
4. (
E): 4x
2
+ y
2
− 4 = 0, biết tiếp tuyến lập với trục hoành một góc 60
°
.
5. (E): 4x
2
+ 9y
2
− 36 = 0, biết tiếp tuyến đi qua điểm M(3;−4).
6. (E): 5x
2
+ 18y
2
− 90 = 0, biết khoảng cách từ gốc tọa độ O đến tiếp tuyến bằng 3.
Bài 6
. Cho (E): 8x
2

+ 18y
2
= 144 và điểm M di động trên (E). Tìm M sao cho
1. Tiếp tuyến của (
E) tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích nhỏ nhất.
2. Tiếp tuyến của (
E) tại M tạo với hai trục tọa độ một đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất.
Bài 7
. 1. Viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của hai elíp
(
E
1
): 4x
2
+ 9y
2
= 36 và (E
2
): x
2
+ 16y
2
= 16.
2. Từ
I(−6;5) kẻ hai tiếp tuyến đến (E): x
2
+ 3y
2
= 12. Viết phương trình đường tròn tâm I tiếp xúc với
đường thẳng qua hai tiếp điểm của (

E).
Bài 8
. Cho elip (E):
22
1
16 5
xy
+= và hai điểm A(−3;0), B(−1;1).
1. Lập phương trình các tiếp tuyến của (
E) song song với đường thẳng AB. Tìm tọa độ các tiếp điểm.
2. Cho điểm
M di động trên (E). Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác MAB.
Bài 9
. Cho elip (E): 9x
2
+ 25y
2
= 225.
1. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm
M(1;1) và cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho M là trung
điểm của
AB.
2. Tìm trên (
E) hai điểm A, B sao cho tam giác OAB vuông cân tại O.
Bài 10
. Cho elip (E):
22
1
25 16
xy

+= và điểm
16
5
(3; )A
−
. Gọi Δ là tiếp tuyến kẻ từ A của (E). Tìm hai điểm P và Q
trên Δ sao cho mỗi tiêu điểm của (
E) nhìn đoạn PQ dưới một góc 90
°
.
Bài 11
. Cho điểm C(2;0) và (E):
2
2
1.
4
x
y
+= Xác định tọa độ hai điểm A, B ∈ (E) sao cho thỏa mãn một trong
các điều kiện sau
1. Tam giác
ABC đều.
2.
CA = CB và tam giác ABC có diện tích lớn nhất.
3. Tam giác
ABC vuông cân tai C.
4. Tam giác
ABC vuông tại C và có diện tích lớn nhất.

Huỳnh Bửu Tính
14
H
H
Y
Y
P
P
E
E
B
B
O
O
L
L



1. Định nghĩa
Cho hai điểm
F
1
, F
2
cố định sao cho F
1
F

2
= 2c, c > 0. Khi đó
M ∈ (H) ⇔ |MF
1
− MF
2
| = 2a (a > 0, a < c)

F
1
, F
2
: các tiêu điểm

F
1
F
2
= 2c: tiêu cự
2. Phương trình chính tắc

22
22
1
xy
ab
−=, c
2
= a
2

+ b
2
− Trục thực trên Ox có độ dài 2a, trục ảo trên Oy có độ dài 2b
− Tiêu điểm F
1
(−c;0), F
2
(c;0)
− Đỉnh trên trục thực A
1
(−a;0), A
2
(a;0)
− Tâm sai
c
e
a
=
> 1− Đường chuẩn Δ:
a
x
e
=
±
− Bán kính qua tiêu điểm
+
x > 0
MF
1
= a + ex

MF
2
= − a + ex
+
x < 0
MF
1
= − a − ex
MF
2
= a − ex
− Phương trình đường tiệm cận
b
yx
a
=±

− Phương trình cạnh hình chữ nhật cơ sở: x = ± a, y = ± b
3. Tiếp tuyến của hypebol. Cho hypebol (H):
22
22
1
xy
ab
−
=
a. Tiếp tuyến tại điểm M(x
0
;y

0
) ∈ (H) là

Δ:
00
22
1
xx yy
ab
−=

b. Đường thẳng
Δ: Ax + By + C = 0 tiếp xúc với (H) khi và chỉ khi

a
2
A
2
− b
2
B
2
= C
2
(C ≠ 0)
c. Đường thẳng qua hai tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ
A(x
A
;y
A

) đến (H) là

Δ:
22
1
AA
xx yy
ab
−=

4. Tính chất
M ∈ (H) ⇔
(,)
i
i
MF
e
dM
=
Δ
, ∀i = 1,2.
5. Bài tập.
Bài 1
. Cho (H): 9x
2
− 16y
2
= 144.
1. Tìm tọa độ các đỉnh, tiêu điểm, tính tâm sai.
2. Viết phương trình đường tròn (C) đường kính F

1
F
2
và tìm giao điểm của (C) với (H).
3. Viết phương trình chính tắc của elip (E) có cùng tiêu điểm với (H) và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở
của (H).
Bài 2
. Lập phương trình chính tắc của (H).
1. (H) tiếp xúc với d: x −
3 y − 1 = 0 tại điểm M(4; 3).
2. Tiêu cự
42
, hai tiệm cận vuông góc với nhau.
−
c
−
a O a c
F
1
A
1
A
2
F
2
y =
y
b
a
x

y =
x
−
b
a
x
Huỳnh Bửu Tính
15
3. (H) qua hai điểm (4; 6), ( 6; 1). AB
−

4. (H) tiếp xúc với hai đường thẳng d
1
: 5x − 6y + 8 = 0 và d
2
: 5x + 8y + 6 = 0.
5. Phương trình các tiệm cận
1
2
y
x=± và phương trình một tiếp tuyến là 5x − 6y − 8 = 0.
6. (H) qua M(6;4) và mỗi tiệm cận tạo với trục hoành một góc 30
°
.
7. (H) qua N(4;3) và
n
12
90 .FNF =
D

Bài 3
. Viết phương trình tiếp tuyến của (H).
1. (H): x
2
− 4y
2
= 20, tại các giao điểm với đường thẳng x − 3y = 0.
2. (H): 4x
2
− 5y
2
− 20 = 0, song song với đường thẳng d: 3x + 2y − 1 = 0.
Bài 4
. Viết phương trình tiếp tuyến Δ của (H): 9x
2
− 16y
2
= 144 trong mỗi trường hợp sau
1. Δ qua điểm A(4;−9). Tìm tọa độ tiếp điểm.
2. Δ // d:
221xy−+=0. Tìm tọa độ tiếp điểm.
3. Δ hợp với d: 3x + 2y + 5 = 0 một góc 45
°
.
Bài 5
. Cho họ đường cong
22
22
(): 1
25

m
xy
C
mm
+
−
=, m ∉ {0,±5}.
1. Tùy theo m, hãy xác định khi nào (C
m
) là elip và khi nào là hypebol.
2. Giả sử A(1;a) (a ≠ 0). Chứng minh với mỗi điểm A luôn có 4 đường cong của họ (C
m
) đi qua. Hỏi
trong bốn đường cong đó có bao nhiêu elip và bao nhiêu hypebol.
Bài 6
. Cho (H): 2x
2
− y
2
= 6.
1. Tìm điểm M ∈ (H) sao cho MF
2
= 2MF
1
.
2. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm I(2;1) và cắt (H) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho I là
trung điểm AB.
Bài 7
. Cho
22

(): 1
16 9
xy
H −=.
1. Gọi I là trung điểm đoạn OF
1
. Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (H) và qua điểm I.
2. Tìm điểm M ∈ (H) sao cho M nhìn đoạn F
1
F
2
dưới một góc vuông.
Bài 8
. Cho (H) có hai tiêu điểm F
1
(−3;0), F
2
(3;0) và đường chuẩn có phương trình
1
3
x =±
.
1. Lập phương trình chính tắc của (
H).
2. Tìm
A, B trên (H) sao cho tam giác OAB đều.
Bài 9
. Cho hypebol (H): 5x
2
− 4y

2
= 20 và đường thẳng d: 2x − y + m = 0.
1.
Định m để d cắt (H) tại hai điểm M, N phân biệt.
2.
Tìm tập hợp trung điểm I của MN.
3.
Gọi P, Q lần lượt đối xứng với M, N qua O. Định m để tứ giác MNPQ là hình thoi.















Huỳnh Bửu Tính
16
P
P
A
A
R

R
A
A
B
B
O
O
L
L


1. Định nghĩa.
Cho điểm
F và đường thẳng Δ cố định, F ∉ Δ. Khi đó
M ∈ (P) ⇔ MF = d(M,Δ)

F: tiêu điểm

MF: bán kính qua tiêu
2. Phương trình chính tắc.

Phương trình chính tắc y
2
= 2px y
2
= − 2px x
2
= 2py x
2
= − 2py

Trục đối xứng
Ox Ox Oy Oy
Tiêu điểm
F(
2
p
;0) F(−
2
p
;0) F(0;
2
p
) F(0;−
2
p
)
Bán kính qua tiêu
MF = x +
2
p
MF = x −
2
p
MF = y +
2
p
MF = y −
2
p

Đường chuẩn
Δ: x = −
2
p
Δ: x =
2
p
Δ: y = −
2
p
Δ: y =
2
p


Tâm sai e = 1.
3. Tiếp tuyến của parabol.
1. Tiếp tuyến tại điểm
M(x
0
;y
0
) ∈ (P)
+ (
P): y
2
= ± 2px: y
0
y = ± (x
0

+ x)
+ (
P): x
2
= ± 2py: x
0
x = ± (y
0
+ y)
2. Điều kiện tiếp xúc của đường thẳng
Δ: Ax + By + C = 0 với (P)
+ (
P): y
2
= ± 2px: pB
2
= ± 2AC
+ (
P): x
2
= ± 2py: pA
2
= ± 2BC
4. Bài tập.
Bài 1
. Cho (P): x
2
= 2y và d: 2mx − 2y + 1 = 0.
1. Chứng minh
d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N.

2. Tính góc tạo bởi các tiếp tuyến tại
M và N của (P).
Bài 2
. 1. Cho (P) có đỉnh tại gốc tọa độ và đi qua điểm (2;2 2).A Đường thẳng d đi qua
5
2
(;1)I cắt (P) tại M,
N sao cho IM = IN. Tìm tọa độ M và N.
2. Cho (
P): y
2
= 64x và đường thẳng Δ: 4x + 3y + 46 = 0. Gọi M, N lần lượt là hai điểm di động trên (P)
và
Δ. Xác định M, N để MN ngắn nhất.
3. Lập phương trình chính tắc của (
P) có trục đối xứng Ox, biết rằng (P) chắn trên d: x + 2y = 0 một
đoạn có độ dài
45.
Bài 3
. Cho (P): y
2
= 2x.
1. Tìm điểm
M ∈ (P) sao cho MF = 2.
2. Tìm
A, B ∈ (P) sao cho ΔOAB đều.
3. Cho
A, B là hai điểm di động trên (P) sao cho AB = 4. Tìm tập hợp trung điểm H của đoạn AB.
Bài 4
. Cho (P): y

2
= x. và điểm I(0;2). Tìm tọa độ hai điểm M, N ∈ (P) sao cho
4.
I
MIN=
J
JJG JJG

Bài 5
. Cho (P): y
2
= 8x.
1.
Viết phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm A(2;4).
2.
Viết phương trình tiếp tuyến của (P) qua điểm B(−2;3).
3.
Viết phương trình tiếp tuyến của (P) vuông góc với đường thẳng d: 3x + 2y − 7 = 0.
Bài 6
. Cho (P): x
2
= 2y và điểm
15 27
88
(;).A
1.
Viết phương trình đường thẳng đi qua
1
2
(1;)B

−
và vuông góc với tiếp tuyến của (P) tại B.
2.
Tìm tất cả các điểm M trên (P) sao cho AM vuông góc với tiếp tuyến của (P) tại M.
Bài 7
. Cho parabol (P): y = x
2
− 2x + 3 và đường thẳng d cùng phương với đường thẳng y = 2x sao cho d cắt (P)
tai hai điểm phân biệt
A, B.
1.
Viết phương trình đường thẳng d khi hai tiếp tuyến của (P) tại A và B vuông góc.
2.
Viết phương trình đường thẳng d khi AB = 40.