CHINH PHỤC CHUYÊN đề TÍCH PHÂN

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

CHUYÊN ĐỀ 4. TÍCH PHÂN
Bài 2. TÍCH PHÂN
A - KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa
Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F là một nguyên hàm của f trên [a; b]. Hiệu số
F (b) − F ( a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b] của hàm số
b

∫ f ( x)dx.

f ( x ) ) kí hiệu là

a

b

Ta dùng kí hiệu F ( x) a = F (b) − F (a ) để chỉ hiệu số F (b) − F ( a) .
b

b

∫ f ( x)dx = F ( x) a = F (b) − F (a ) .

Vậy

a
b

Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi

∫

b

f ( x)dx hay

a

∫ f (t )dt. Tích phân
a

đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.
Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì tích phân
b

∫ f ( x)dx

là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) , trục Ox và hai

a
b

đường thẳng x = a, x = b. Vậy S = ∫ f ( x )dx.
a

2. Tính chất của tích phân
a

1.

∫

b

2.

f ( x)dx = 0

a

∫

b

c

a

b

b

b
b

f ( x)dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx ( a < b < c ) 4.

a

5.

∫
a

c

3.

a

f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx
b

∫ k. f ( x)dx = k.∫ f ( x)dx (k ∈ ℝ)
a

b

a

b

∫ [ f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx .
a

a

a

B - KỸ NĂNG CƠ BẢN
Một số phương pháp tính tích phân
Dạng 1. Tính tích phân theo công thức
Ví dụ 1: Tính các tính phân sau:
1

dx
a) I = ∫
.
3
0 (1 + x )

1

x
b) I = ∫
dx .
x +1
0

1

2x + 9
c) I = ∫
dx .
x+3
0

1

x
dx .
2
0 4− x

d) I = ∫

Hướng dẫn giải
1

1

dx
d(1 + x)
1
=∫
=−
3
3
(1 + x )
(1 + x)
2(1 + x ) 2
0
0

a) I = ∫

1

0

3
= .
8

Chủ đề 4.2 – Tích phân
Cần file Word vui lòng liên hệ:

1|THBTN
Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
1

b) I = ∫
0

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

1

x
1 

1
dx = ∫  1 −
 dx = ( x − ln( x + 1) ) 0 = 1 − ln 2 .

x +1
x
+
1

0

1

1

1
2x + 9
3 

dx = ∫  2 +
 dx = ( 2 x + 3ln( x + 3) ) 0 = 3 + 6ln 2 − 3ln 3 .
x+3
x + 3
0
0

c) I = ∫

(

)

2
1

1
x
1 d 4− x
1
1 3
d) I = ∫
dx = − ∫
= − ln | 4 − x 2 | = − ln .
2
2
0
2 0 4− x
2
2 4
4− x
0
1

Bài tập áp dụng
1

1

1) I = ∫ x ( x − 1) dx .
3

4

2) I = ∫

5

0

0
1

(

)

2 x + 3 x + 1 dx .

16

3) I = ∫ x 1 − x dx .

dx

4) I = ∫

0

x+9 − x

0

.

Dạng 2. Dùng tính chất cận trung gian để tính tích phân

Sử dụng tính chất

b

b

b

a

a

a

∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx

để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

2

Ví dụ 2: Tính tích phân I = ∫ | x + 1| dx .
−2

Hướng dẫn giải
 x + 1,
− x − 1,

Nhận xét: x + 1 = 

−1 ≤ x ≤ 2

− 2 ≤ x < −1

2

−1

2

−2

−2

−1

.

Do đó I = ∫ | x + 1| dx = ∫ | x + 1| dx + ∫ | x + 1| dx
−1

−1

2

2

 x2

 x2

= − ∫ ( x + 1) dx + ∫ ( x + 1) dx = −  + x  +  + x  = 5

 2
 −2  2
 −1
−2
−1

Bài tập áp dụng
3

2

1) I = ∫ | x 2 − 4 | dx .

2) I = ∫ | x 3 − 2 x 2 − x + 2 | dx .

−4

−1

π
3

3) I = ∫ | 2 − 4 | dx .
x

4) I =

0

2

∫π 2 | sin x | dx .

−

π

5) I = ∫ 1 + cos 2 xdx .
0

2

Dạng 3. Phương pháp đổi biến số
1) Đổi biến số loại 1
Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số u = u ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn
[a; b] và α ≤ u ( x ) ≤ β . Giả sử có thể viết f ( x) = g (u ( x))u ′( x), x ∈ [a;b], với g liên tục trên
đoạn [α ; β ]. Khi đó, ta có
b

I = ∫ f ( x)dx =
a

u (b )

∫

g (u )du.

u (a)

π
2

Ví dụ 3: Tính tích phân I = ∫ sin 2 x cos xdx .
0

Chủ đề 4.2 – Tích phân
Cần file Word vui lòng liên hệ:

2|THBTN
Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN
Hướng dẫn giải

Đặt u = sin x. Ta có du = cos xdx. Đổi cận: x = 0 ⇒ u (0) = 0; x =

π 
⇒ u   = 1.
2
2

π

π
2

1

0

0

1

1
3

1
3

Khi đó I = ∫ sin 2 x cos xdx = ∫ u 2 du = u 3 = .
0

Bài tập áp dụng
1

1) I = ∫ x x + 1dx .
2

1

e

2) I = ∫ x x + 1dx .

0

0

e2

1 + ln x
dx .
x

3) I = ∫

3

1

4) I = ∫
e

dx
.
2 x 2 + ln x

Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân

Dấu hiệu

Có thể đặt

Ví dụ
I=∫

3

x 3 dx
. Đặt t = x + 1
x +1

1

Có

2

Có (ax + b) n dx

t = ax + b

I = ∫ x( x + 1) 2016 dx . Đặt t = x + 1

3

Có a f ( x ) dx

t = f ( x)

I =∫4

4

Có

f ( x)dx

dx
và ln x
x

t=

f ( x)

0
1

0

e tan x +3
dx . Đặt t = tan x + 3
0 cos 2 x
e ln xdx
I =∫
. Đặt t = ln x + 1
1 x (ln x + 1)
π

t = ln x hoặc biểu thức
chứa ln x

t = e x hoặc biểu thức

I =∫

ln 2 2 x

e

3e x + 1dx . Đặt t = 3e x + 1

5

Có e dx

6

Có cos xdx

t = sin x

I = ∫ 2 sin 3 x cos xdx . Đặt t = sin x

7

Có sin xdx

t = cos x

I =∫

8

dx
Có
cos 2 x

t = tan x

I =∫4

9

Có

dx
sin 2 x

t = cot x

I = ∫π4

x

0

chứa e x

π

0

π

0

sin 3 x
dx Đặt t = 2cos x + 1
2cos x + 1

π

π

1
1
dx = ∫ 4 (1 + tan 2 x)
dx
0 cos 4 x
0
cos 2 x
Đặt t = tan x
π
6

π

ecot x
ecot x
dx = ∫π4
dx . Đặt t = cot x
1 − cos 2 x
2sin 2 x

6

2) Đổi biến số loại 2

Cho hàm số f ( x ) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [ a; b]. Giả sử hàm số x = ϕ (t) có đạo hàm và
liên tục trên đoạn [α ; β ] sao cho ϕ (α ) = a,ϕ ( β ) = b và a ≤ ϕ (t ) ≤ b với mọ i t ∈[α ; β ]. Khi đó:
b

∫

β

f ( x )dx = ∫ f (ϕ (t ))ϕ ′(t )dt.

a

α

Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng
π π
1. a 2 − x 2 : đặt x =| a | sin t; t ∈ − ; 
 2 2

|a|
 π π
; t ∈  − ;  \ {0}
sin t
 2 2

2.

x 2 − a 2 : đặt x =

3.

 π π
x 2 + a 2 : x = a tan t ; t ∈  − ; 
 2 2

Chủ đề 4.2 – Tích phân
Cần file Word vui lòng liên hệ:

3|THBTN
Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
a+x
hoặc
a−x

4.

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

a−x
: đặt x = a.cos 2t
a+x

Ví dụ 4: Tính các tích phân sau:

1

1

dx
.
2
0 1+ x

a) I = ∫ 1 − x 2 dx .

b) I = ∫

0

Hướng dẫn giải

a) Đặt x = sin t ta có dx = cos tdt. Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t =
π

π

1

2

2

0

0

0

π
2

.

π

Vậy I = ∫ 1 − x 2 dx = ∫ cos t dt = ∫ cos tdt = sin t |02 = 1.
b) Đặt x = tan t , ta có dx = (1 + tan 2 t ) dt . Đổi cận: khi x = 0 ⇒ t = 0 ; khi x = 1 ⇒ t =

π
4

.

π
1

π

4
dx
π
=
dt = t |04 = .
∫

2
4
1+ x
0
0

Vậy I = ∫

Dạng 4. Phương pháp tính tích phân từng phần
Định lí : Nếu u = u ( x ) và v = v( x ) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [a; b] thì
b

b

b

∫ u ( x)v′( x)dx = ( u( x)v( x) ) a − ∫ u′( x)v( x)dx ,
a

a

b

b

b

a

a

a

b
∫ udv = uv |a −∫ vdu . Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính I = ∫ P( x).Q( x)dx

hay

Dạng
hàm

P ( x ) : Đa thức

sin ( kx )
Q ( x) : 
cos ( kx )

* u = P ( x)
* dv là Phần còn lại
Cách
của biểu thức dưới
đặt
dấu tích phân

P ( x ) : Đa thức
P ( x ) : Đa thức

P ( x ) : Đa thức

Q ( x ) : e kx

Q ( x ) : ln ( ax + b )

* u = P ( x)
* dv là Phần còn
lại của biểu thức
dưới dấu tích
phân

* u = ln ( ax + b )
* dv = P ( x ) dx

 1
 sin 2 x
Q ( x) : 
 1
 cos 2 x
* u = P ( x)
* dv là Phần còn lại
của biểu thức dưới
dấu tích phân

Thông thường nên chú ý: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”.
Ví dụ 5: Tính các tích phân sau:
π
2

a) I = ∫ x sin xdx.

1

e−1

b) I =

0

c) I = ∫ x ln (1 + x 2 ) dx

∫ x ln( x + 1)dx .
0

0

Hướng dẫn giải
u = x
 du = dx
⇒
.
 dv = sin xdx
v = − cos x

a) Đặt 

π
2

Do đó I = ∫ x sin xdx = ( − x cos x )
0

π
π

|02

2

π

+ ∫ cos xdx = 0 + sin x |02 = 1.
0

Chủ đề 4.2 – Tích phân
Cần file Word vui lòng liên hệ:

4|THBTN
Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

1

du =
dx

u = ln( x + 1) 
x +1

b) Đặt 
⇒
2
dv = xdx
v = x − 1

2
e−1

I=

∫
0

=

e −1

e−1


x2 − 1
1
e 2 − 2e + 2 1  x 2
x ln( x + 1)dx = ln( x + 1)
−
(
x
−
1)d

x
=
−  − x

∫
2 0
2 0
2
2 2



e−1
0

e 2 − 2e e 2 − 4e + 3 e 2 − 3
−
=
.
2
4
4

2x

u = ln (1 + x 2 ) du = x 2 + 1 dx
c) Đặt 
⇒
.
v = 1 ( x 2 + 1)

dv = xdx

2
1

Ta có: I =

1

1

1 2
1
1
x + 1) ln ( x 2 + 1) − ∫ xdx = ln 2 − x 2 = ln 2 − .
(
2
2 0
2
0
0

Bài tập áp dụng
π
1

1) I = ∫ (2 x + 2)e x dx .
0

2

2) I = ∫ 2 x.cos xdx .
0

2π

3) I =

∫
0

x
x 2 .sin dx .
2

Chủ đề 4.2 – Tích phân
Cần file Word vui lòng liên hệ:

1

4) I = ∫ ( x + 1)2 e 2 x dx .
0

5|THBTN
Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

C - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
THÔNG HIỂU – NHẬN BIẾT
Câu 1.

Cho hai hàm số f , g liên tục trên đoạn [a; b] và số thực k tùy ý. Trong các khẳng định sau,
khẳng định nào sai?
A.

b

b

b

a

a

a

∫ [ f ( x) + g ( x) ] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx .
b

a

Câu 2.

a

a

b

∫ f ( x)dx = −∫ f ( x)dx .

B.

b

C. ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx .

b

b

b

a

a

∫ xf ( x)dx = x∫ f ( x)dx .

D.

a

Cho hàm số f liên tục trên ℝ và số thực dương a . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào
luôn đúng?

a

A.

∫

a

f ( x)dx = 0 .

B.

∫

a

a

f ( x )dx = 1 .

∫

C.

a

a

D.

f ( x)dx = F (a ) .

a

∫ f ( x)dx = f (a) .
a

1

Câu 3.

Tích phân ∫ dx có giá trị bằng
0

A. −1 .

B. 1 .

C. 0 .

D. 2 .

a

Câu 4.

Cho số thực a thỏa mãn

∫e

x +1

dx = e 2 − 1 , khi đó a có giá trị bằng

−1

A. 1 .
Câu 5.

B. −1 .

x π
D. f ( x ) = sin  +  .
4 2

Trong các tích phân sau, tích phân nào có giá trị khác 2 ?
e2

A.

1

B. ∫ 2dx .

∫ ln xdx .
1

Câu 7.

D. 2 .

Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có tích phân từ 0 đến π đạt giá trị bằng 0 ?
A. f ( x) = cos 3x .
B. f ( x) = sin 3x .
x π
C. f ( x) = cos  +  .
4 2

Câu 6.

C. 0 .

0

A. f ( x) = e .

B. f ( x) = cos x .

D.

0

Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào thỏa mãn
x

2

π

C. ∫ sin xdx .

∫ xdx .
0

1

2

−1

−2

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ?

C. f ( x) = sin x .

D. f ( x ) = x + 1 .

5

Câu 8.

dx
có giá trị bằng
2 x

Tích phân I = ∫
A. 3ln 3 .

B.

1
ln 3 .
3

C. ln

5
.
2

D. ln

2
.
5

π
2

Câu 9.

Tích phân I = ∫
π

dx
có giá trị bằng
sin x

3

A.

1 1
ln .
2 3

B. 2 ln 3 .

C.

1
ln 3 .
2

Chủ đề 4.2 – Tích phân
Cần file Word vui lòng liên hệ:

1
D. 2 ln .
3

6|THBTN
Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

0

x
− 

2
Câu 10. Nếu ∫  4 − e  dx = K − 2e thì giá trị của K là

−2 
A. 12, 5 .
B. 9 .
C. 11 .
1

Câu 11. Tích phân I = ∫
0

1
dx có giá trị bằng
x −x−2
2

2 ln 2
.
3

A.

D. 10 .

B. −

2 ln 2
.
3

C. −2 ln 2 .

D. 2 ln 2 .
5

5

∫

Câu 12. Cho hàm số f và g liên tục trên đoạn [1;5] sao cho

f ( x)dx = 2 và

∫ g ( x)dx = −4 . Giá trị
1

1
5

∫ [ g ( x) − f ( x)] dx là

của

1

A. −6 .

B. 6 .

C. 2 .

D. −2 .
3

3

Câu 13. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;3] . Nếu

∫

f ( x)dx = 2 thì tích phân

∫ [ x − 2 f ( x)] dx có giá
0

0

trị bằng
A. 7 .

B.

5
.

2

C. 5 .

D.

5

Câu 14. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;6] . Nếu

∫

3

f ( x)dx = 2 và

1

∫

5

f ( x)dx = 7 thì

1

trị bằng
A. 5 .
B. −5 .
C. 9 .

Câu 15. Trong các phép tính sau đây, phép tính nào sai?
3
−2
3
−2
1
x
x
(
)
A. ∫ e dx = e 1 .
B. ∫ dx = ( ln x ) −3 .
x
1
−3
2π

C.

2π

∫ cos xdx = ( sin x ) π

1
.
2

∫ f ( x)dx có giá
3

D. −9 .

2

2

 x2

D. ∫ ( x + 1) dx =  + x  .
 2
1
1

.

π

Câu 16. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] có một nguyên hàm là hàm F trên đoạn [a; b] . Trong

các phát biểu sau, phát biểu nào sai ?
b

A.

∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) .
a

B. F ′( x ) = f ( x) với mọ i x ∈ (a; b) .
b

C.

∫ f ( x)dx = f (b) − f (a) .
a
b

D. Hàm số G cho bởi G ( x) = F ( x) + 5 cũng thỏa mãn

∫ f ( x)dx = G(b) − G(a) .
a

Câu 17. Xét hàm số f liên tục trên ℝ và các số thực a , b , c tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng
định nào sai?
A.
C.

b

b

a

b

c

b

a

c

c

b

a

a

c

c

b

b

c

c

a

a

c

a

a

b

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx .
∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx .

B.
D.

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx .
∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx .

Chủ đề 4.2 – Tích phân
Cần file Word vui lòng liên hệ:

7|THBTN
Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

Câu 18. Xét hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [ a; b ] . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
b

A. Nếu m ≤ f ( x) ≤ M ∀x ∈ [a; b] thì m(b − a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (a − b) .
a
b

B. Nếu f ( x ) ≥ m ∀x ∈ [a; b] thì

∫ f ( x)dx ≥ m(b − a) .
a
b

C. Nếu f ( x ) ≤ M ∀x ∈ [a; b] thì

∫ f ( x)dx ≤ M (b − a) .
a
b

D. Nếu f ( x ) ≥ m ∀x ∈ [a; b] thì

∫ f ( x)dx ≥ m(a − b) .
a

Câu 19. Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [a; b] sao cho g ( x) ≠ 0 với mọ i x ∈ [a; b] . Xét các

khẳng định sau:
b

I.

b

b

∫ [ f ( x) + g ( x) ] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx .

a

a
b

II.

b

∫ [ f ( x) − g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx − ∫ g ( x)dx .
a

III.

a
b

a

a

b

b

b

a

a

a

∫ [ f ( x).g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx.∫ g ( x)dx .
b

b

IV.

∫
a

f ( x)
dx =
g ( x)

∫ f ( x)dx
a
b

.

∫ g ( x)dx
a

Trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định sai?
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .

D. 4 .

3

Câu 20. Tích phân

∫ x( x − 1)dx

có giá trị bằng với giá trị của tích phân nào trong các tích phân dưới

0

đây?
2

A. ∫ ( x 2 + x − 3) dx .
0

ln 10

3π

B. 3 ∫ sin xdx .

∫

C.

π

D. ∫ cos(3 x + π )dx .

e 2 x dx .

0

0

0

Câu 21. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
b

A. Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [ a; b ] , sao cho

∫ f ( x)dx ≥ 0 thì

f ( x) ≥ 0 ∀x ∈ [a; b] .

a
3

∫ f ( x)dx = 0 .

B. Với mọ i hàm số f liên tục trên đoạn [−3;3] , luôn có

−3

b

C. Với mọ i hàm số f liên tục trên ℝ , ta có

∫

a

f ( x )dx = ∫ f ( x )d(− x ) .

a

b
5

D. Với mọ i hàm số f liên tục trên đoạn [1;5] thì

2

∫ [ f ( x )]
1

Chủ đề 4.2 – Tích phân
Cần file Word vui lòng liên hệ:

3
f ( x )]
[
dx =

3

5

.
1

8|THBTN
Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

Câu 22. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
1

A. Nếu f là hàm số chẵn trên ℝ thì ∫ f ( x )dx =
0
0

1

−1
1

0

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx

B. Nếu

∫ f ( x)dx = 0 thì

C. Nếu

0

∫ f ( x)dx .
−1

thì f là hàm số chẵn trên đoạn [−1;1] .

f là hàm số lẻ trên đoạn [−1;1] .

−1
1

∫ f ( x)dx = 0 thì

D. Nếu

f là hàm số chẵn trên đoạn [−1;1] .

−1

Câu 23. Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số y = x 6 sin 5 x trên khoảng (0; +∞) . Khi đó
2

∫x

6

sin 5 xdx có giá trị bằng

1

A. F (2) − F (1) .

B. − F (1) .

C. F (2) .

D. F (1) − F (2) .
b

Câu 24. Cho hàm số f liên tục trên ℝ và hai số thực a < b . Nếu

∫ f ( x)dx = α

thì tích phân

a
b
2

∫ f (2 x)dx

có giá trị bằng

a
2

A.

α
2

B. 2α .

.

C. α .

D. 4α .

Câu 25. Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số y = x3 sin 5 x trên khoảng (0; +∞) . Khi đó tích phân
2

∫ 81x

3

sin 5 3 xdx có giá trị bằng

1

A. 3 [ F (6) − F (3)] .

B. F (6) − F (3) .

C. 3 [ F (2) − F (1)] .

D. F (2) − F (1) .

2

Câu 26. Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [0; 2] thỏa mãn

∫ f ( x)dx = 6 .

Giá trị của tích phân

0

π 2

∫

f (2 sin x) cos xdx là

0

A. −6 .

B. 6 .
e

Câu 27. Bài toán tính tích phân I = ∫
1

C. −3 .

D. 3 .

ln x + 1 ln x
dx được một học sinh giải theo ba bước sau:
x

I. Đặt ẩn phụ t = ln x + 1 , suy ra dt =

1
dx và x = 1 ⇒ t = 1 ; x = e ⇒ t = 2
x

2

e

II. I = ∫
1
2

ln x + 1 ln x
dx = ∫ t ( t − 1) dt
x
1
2

2 


III. I = ∫ t ( t − 1) dt =  t 5 −  = 1 + 3 2 .
t 1

1
Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?
A. Bài giải đúng.
B. Sai từ Bước II.
C. Sai từ Bước I.
Chủ đề 4.2 – Tích phân
Cần file Word vui lòng liên hệ:

D. Sai ở Bước III.
9|THBTN
Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
π 3

Câu 28. Xét tích phân I =

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

sin 2 x

∫ 1 + cos x dx . Thực hiện phép đổi biến

t = cos x , ta có thể đưa I về dạng

0

nào sau đây
π

π

4

4

2t
A. I = − ∫
dt .
1+ t
0

1

1

2t
C. I = −∫
dt .
1 1+ t

2t
B. I = ∫
dt .
1+ t

0

2t
dt .
1 1+ t

D. I = ∫

2

2

Câu 29. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [a; b] . Trong các bất đẳng thức sau, bất đẳng thức nào
luôn đúng?
b

A.
C.

∫

b

b

∫

a

a

a

a

b

b

b

b

a

a

∫

f ( x ) dx ≥

a

∫

b

f ( x ) dx ≥ ∫ f ( x ) dx .

f ( x ) dx >

B.

f ( x)dx .

∫ f ( x)dx .

D.

∫ f ( x ) dx > ∫

a

f ( x ) dx .

Câu 30. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?
1

1

1

A. ∫ sin(1 − x)dx = ∫ sin xdx .
0

B. ∫ (1 + x ) x dx = 0 .

0

0

π 2

π

1

x
C. ∫ sin dx = 2 ∫ sin xdx .
2
0
0

∫x

D.

2017

(1 + x)dx =

−1

2
.
2019

Câu 31. Cho hàm số y = f ( x ) lẻ và liên tục trên đoạn [−2; 2] . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào
luôn đúng?
A.

C.

2

2

−2
2

0
0

−2

−2

2

∫ f ( x)dx = 2∫ f ( x)dx .

∫ f ( x)dx = 0 .

B.

∫ f ( x)dx = 2 ∫ f ( x)dx .

−2
2

2

−2

0

∫ f ( x)dx = −2∫ f ( x)dx .

D.

Câu 32. Một học sinh được chỉ định lên bảng làm 4 bài toán tích phân. Mỗi bài giải đúng được 2,5
điểm, mỗ i bài giải sai (sai kết quả hoặc sai bước tính nguyên hàm) được 0 điểm. Học sinh đã
giải 4 bài toán đó như sau:
Bài
Đề bài
Bài giải của học sinh
1

∫e

1

x2

xdx

0
1

1
∫0 x 2 − x − 2 dx

2

π

∫ sin 2 x cos xdx

3

1

1 + (4 − 2e) ln x
dx
x
1

∫

=
0

e −1
2

1
1
2
[
]
d

x
=
ln
x
−
x
−
2
= ln 2 − ln 2 = 0
0
∫0 x 2 − x − 2

Đặt t = cos x , suy ra dt = − sin xdx . Khi x = 0 thì t = 1 ; khi
x = π thì t = −1 . Vậy
−1

2t 3
∫0 sin 2 x cos xdx = 2∫0 sin x cos xdx = −2 ∫1 t dt = 3
π

π

2

e

4

1

1

0

e

2

1

1 x2 ( 2 ) e x
x
e
x
d
x
=
e d x =
∫0
2 ∫0
2
2

1

2

=
−1

4
3

e

1 + (4 − 2e) ln x
dx = ∫ [1 + (4 − 2e) ln x ] d ( ln x )
∫1
x
1
e

=  x + (4 − 2e) ln 2 x  1 = 3 − e

Số điểm mà học sinh này đạt được là bao nhiêu?
A. 5,0 điểm.
B. 2,5 điểm.
C. 7,5 điểm.
Chủ đề 4.2 – Tích phân
Cần file Word vui lòng liên hệ:

D. 10,0 điểm.
10 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

Câu 33. Cho hai hàm số liên tục f và g liên tục trên đoạn [a; b] . Gọi F và G lần lượt là một nguyên
hàm của f và g trên đoạn [a; b] . Đẳng thức nào sau đây luôn đúng?
b

A.

b

∫ f ( x)G( x)dx = [ F ( x) g ( x)] − ∫ F ( x)G( x)dx .
a

a
b

B.

b

a

b

a
b

∫ f ( x)G( x)dx = [ f ( x) g ( x)] − ∫ F ( x) g ( x)dx .
a

a
b

D.

a
b

∫ f ( x)G( x)dx = [ F ( x)G ( x) ] − ∫ F ( x) g ( x)dx .
a
b

C.

b

b

a
b

∫ f ( x)G( x)dx = [ F ( x)G ( x) ] − ∫ f ( x) g ( x)dx .
a

a

a

0

Câu 34. Tích phân I =

∫ xe

−x

dx có giá trị bằng

−2

A. −e 2 + 1 .

B. 3e2 − 1 .

C. −e 2 − 1 .

D. −2e 2 + 1 .

b

Câu 35. Ta đã biết công thức tích phân từng phần

b

b

∫ F ( x) g ( x)dx = [ F ( x)G( x)] a − ∫ f ( x)G( x)dx , trong
a

a

đó F và G là các nguyên hàm của f và g . Trong các biến đổi sau đây, sử dụng tích phân

từng phần ở trên, biến đổi nào là sai?
e

e

 x2
 1e
(
)
A. ∫ ln x xdx =  ln x  − ∫ xdx , trong đó F ( x) = ln x , g ( x) = x .
 2
1 2 1
1
1

1

1

B. ∫ xe dx = ( xe x ) 0 − ∫ e x dx , trong đó F ( x) = x , g ( x ) = e x .
x

0

0

π

C.

π

0

0
1

1

D.

π

∫ x sin xdx = ( x cos x ) 0 − ∫ cos xdx , trong đó F ( x) = x , g ( x) = sin x .
1 x +1
 2 x+1 
2
x +1
x
2
d
x
=
x
−
dx , trong đó F ( x) = x , g ( x) = 2 x +1 .

 ∫
∫0
 ln 2  0 0 ln 2

π

Câu 36. Tích phân



π

∫ x cos  x + 4  dx có giá trị bằng
0

A.

(π − 2 ) 2
.
2

B. −

(π − 2) 2
.
2

C.

(π + 2 ) 2
.
2

D. −

(π + 2) 2
.
2

Câu 37. Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn [0; 2] . Biết rằng
2

F (0) = 0 , F (2) = 1 , G (0) = −2 , G (2) = 1 và
giá trị bằng
A. 3 .

B. 0 .

2

∫ F ( x) g ( x)dx = 3 . Tích phân

∫ f ( x)G ( x)dx

0

0

C. −2 .

có

D. −4 .

Câu 38. Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn [1; 2] . Biết rằng

F (1) = 1 , F (2) = 4 , G (1) =
giá trị bằng
11
A.
.
12

3
, G (2) = 2 và
2

B. −

145
.
12

2

∫

f ( x )G ( x)dx =

1

C. −

11
.
12

Chủ đề 4.2 – Tích phân
Cần file Word vui lòng liên hệ:

67
. Tích phân
12
D.

2

∫ F ( x) g ( x)dx

có

1

145
.
12

11 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN
b

Câu 39. Cho hai số thực a và b thỏa mãn a < b và

∫ x sin xdx = π ,

đồng thời a cos a = 0 và

a
b

b cos b = −π . Tích phân ∫ cos xdx có giá trị bằng
a

A.

145
.
12

B. π .
e

C. −π .

D. 0 .

1 − ln x
dx . Đặt u = 1 − ln x . Khi đó I bằng

2x

Câu 40. Cho tích phân: I = ∫
1
0

0

A. I = ∫ u 2 du .

B. I = − ∫ u 2 du .

1

0

1

u2
du . D. I = − ∫ u 2 du .
1 2
0

C. I = ∫

1
2

x2
Câu 41. Tích phân I = ∫ 2

dx có giá trị bằng
1 x − 7x + 12
A. 5 ln 2 − 6 ln 3 .

B. 1 + 2 ln 2 − 6 ln 3 .

C. 3 + 5 ln 2 − 7 ln 3 .

D. 1 + 25 ln 2 − 16 ln 3 .

2

Câu 42. Tích phân I = ∫ x 5 dx có giá trị là:
1

A.

19
.
3

B.

32
.
3

C.

16

.
3

D.

21
.
2

C.

1
.
8

D. 12 .

1

xdx
bằng
( x + 1)3
0

Câu 43. Tích phân I = ∫
1
A. − .
7

B.

1
.
6

π
2

Câu 44. Cho tích phân I = ∫ (2 − x) sin xdx . Đặt u = 2 − x, dv = sin xdx thì I bằng
0

π

π

2

π

A. −(2 − x) cos x 02 − ∫ cos xdx .

π

0

0

π
π

2

B. −(2 − x) cos x 02 + ∫ cos xdx .
π

2

π

C. (2 − x) cos x 02 + ∫ cos xdx .

2

D. (2 − x) 02 + ∫ cos xdx .

0

0

1

Câu 45. Tích phân

x7
∫0 (1 + x2 )5 dx bằng

2

3

1 (t − 1)3
A. ∫ 5 dt .
21 t
4

Câu 46. Tích phân I =

3

∫ x( x
1

A. ln

3
.
2

(t − 1)3
B. ∫ 5 dt .
t
1
1
4

+ 1)

2

1 (t − 1)3

C. ∫ 4 dt .
21 t

4

3 (t − 1)3
D. ∫ 4 dt .
21 t

dx bằng

B.

1 3
ln .
3 2

C.

1 3
ln .
5 2

Chủ đề 4.2 – Tích phân
Cần file Word vui lòng liên hệ:

D.

1 3
ln .

4 2

12 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

2

2

0

0

Câu 47. Cho hai tích phân I = ∫ x 3dx , J = ∫ xdx . Tìm mố i quan hệ giữa I và J
A. I . J = 8 .

B. I .J =

32
.
5

C. I − J =

128

.
7

D. I + J =

64
.
9

a

Câu 48. Cho số thực a thỏa mãn ∫ e x +1dx = e 4 − e 2 , khi đó a có giá trị bằng
1

A. −1 .

B. 3.

C. 0 .

D. 2.

2

Câu 49. Tích phân ∫ ke x dx (với k là hằng số ) có giá trị bằng
0

B. e 2 − 1 .

2

A. k (e − 1) .
Câu 50.

D. e 2 − e .

C. k (e 2 − e) .

Với hằng số k , tích phân nào sau đây có giá trị khác với các tích phân còn lại ?
1

2
3

2

A. ∫ k (e 2 − 1)dx .

C. ∫ 3ke3 x dx .

B. ∫ ke x dx .

0

2
3

0

D. ∫ ke 2 x dx .

0

0

Câu 51. Với số thực k , xét các phát biểu sau:
1

1

(I) ∫ dx = 2 ;

∫ kdx = 2k ;

(II)

(III) ∫ xdx = 2 x ;

−1

−1

Số phát biểu đúng là
A. 4.

1

1

(IV) ∫ 3kx 2 dx = 2k .

0

−1

B. 3.

C. 1.

D. 2.
5

Câu 52. Cho hàm số f và g liên tục trên đoạn [1;5] sao cho

∫

5

f ( x )dx = −7 và

1

∫ g ( x)dx = 5

và

1

5

∫ [ g ( x) − kf ( x)] dx = 19 . Giá trị của k

là:

1

A. 3 .

B. 6 .

C. 2.

D. −2 .

5

Câu 53. Cho hàm số f liên tục trên ℝ . Nếu ∫ 2 f ( x )dx = 2 và
B. −6 .

5

1

3

∫ f ( x)dx = 7 thì ∫ f ( x)dx có giá trị bằng

1

A. 5 .

3

C. 9 .

D. −9 .

2

Câu 54. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;3] . Nếu

∫

2

f ( x)dx = 4 và tích phân

1

∫ [ kx − f ( x)] dx = −1
1

giá trị k bằng
A. 7 .

B.

5
.
2

C. 5 .

D. 2.

e

Câu 55. Tích phân ∫ (2 x − 5) ln xdx bằng
1

e

e

A. − ( x − 5 x) ln x − ∫ ( x − 5)dx .
1
2

1

e

e

C. ( x 2 − 5 x ) ln x − ∫ ( x − 5)dx .
1

e

e

B. ( x − 5 x ) ln x + ∫ ( x − 5)dx .
1
2

1

e

e

D. ( x − 5) ln x 1 − ∫ ( x 2 − 5 x)dx .

1

Chủ đề 4.2 – Tích phân
Cần file Word vui lòng liên hệ:

1

13 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

0

Câu 56. Nếu

∫ (5 − e

−x

) dx = K − e2 thì giá trị của K là:

−2

A. 11.

B. 9 .

C. 7.

D. 12, 5 .

π
2

Câu 57. Cho tích phân I = ∫ 1 + 3cos x .sin xdx .Đặt u = 3cos x + 1 . Khi đó I bằng
0
3

A.

2

2

2 2
u du .
3 ∫1

B.
e

Câu 58. Tích phân I = ∫
1

2 2
u du .
3 ∫0

C.

2 3
u .
9 1

3

D. ∫ u 2 du .
1

8ln x + 1
dx bằng
x

A. −2 .

B.

13
.
6

3
C. ln 2 − .
4

3
D. ln 3 − .
5

C. 7.

D. 12, 5 .

C. 7.

D. 4.

C. −2 .

D. 5.

5

Câu 59. Tích phân

∫x

2

− 2 x − 3dx có giá trị bằng

−1

A. 0.

B.

64
.
3

2

Câu 60. Tìm a để ∫ (3 − ax)dx = −3 ?
1

A. 2.

B. 9 .
5

Câu 61. Nếu ∫ k 2 ( 5 − x3 ) dx = −549 thì giá trị của k là
2

A. ±2 .

B. 2.
3

x2 − x + 4
Câu 62. Tích phân ∫
dx bằng
x +1
2
A.

1
4
+ 6 ln .
3
3

B.

2

Câu 63. Tìm m để ∫ (3 − 2 x) 4 dx =
m

A. 0.

1
4
+ 6 ln .

2
3

1

1
4
− ln .
2
3

D.

1
4
+ ln .
2
3

122
?
5

B. 9 .

Câu 64. Giá trị của tích phân

C.

5

∫ ( 2 x + 1)

C. 7.

D.2.

2
C. 60 .
3

2
D. 30 .
3

dx là

0

1
A. 30 .
3

1
B. 60 .
3

VẬN DỤNG THẤP
π
3

Câu 65. Tích phân I = ∫ sin 2 x tan xdx có giá trị bằng
0

3
A ln 3 − .
5

B. ln 2 − 2 .

3
C. ln 2 − .
4

Chủ đề 4.2 – Tích phân
Cần file Word vui lòng liên hệ:

3
D. ln 2 − .
8

14 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

π

2

Câu 66. Tích phân I = ∫ cos 2 x cos 2 xdx có giá trị bằng
0

A.

−5π
.
8

π
.
2

B.

C.

3π
.
8

D.

π
.
8

π

4sin 3 x
dx có giá trị bằng
+
1
cos
x
0
B. 3.
2

Câu 67. Tích phân I = ∫
A. 4.

1
2

1

Câu 68. Giá trị của tích phân I = ∫

1 − x2
π
B. .
4

C. 2.

D. 1.

dx là

0

A.

π
.
6

C.

π
.
3

D.

π
.
2

1

dx
là
1 + x2
0

Câu 69. Giá trị của tích phân I = ∫

AI =

π
.
2

B. I =
3 −1

∫

Câu 70. Giá trị của tích phân I =

0

5π
A. I =
.
12

3π
.
4

C. I =

π
.
4

D. I =

5π
.
4

C. I =

3π
.
12

D. I =

π
.
12

dx
là
x + 2x + 2
2

B. I =

π
.
6

1

Câu 71. Tích phân I = ∫ x 2 x 3 + 5dx có giá trị là
0

A.

4
10
6−
3.
3
9

B.

4
10
7−
5.
3
9

C.

4
10
6−
5.
3
9

D.

2
10
6−
5.
3
9

2

Câu 72. Tích phân

∫

4 − x 2 dx có giá trị là

0

π
A. .
4

B.

π
.
2

C.

π
.
3

D. π .

1

Câu 73. Tích phân I = ∫ x x 2 + 1dx có giá trị là
0

A.

3 2 −1
.
3

B.

2 2 −1
.
3

C.

2 2 −1
.
2

D.

3 2 −1
.
2

C.

3
.
28

D.

9
.
28

C.

16 − 10 2
.
4

D.

16 − 11 2
.
3

0

Câu 74. Tích phân I = ∫ x 3 x + 1dx có giá trị là
−1

A. −

9
.
28

B. −

3
.
28

1

x 2 dx
là
(
x
+
1)
x
+
1
0

Câu 75. Giá trị của tích phân I = ∫
A.

16 − 10 2
.
3

B.

16 − 11 2
.
4

Chủ đề 4.2 – Tích phân
Cần file Word vui lòng liên hệ:

15 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

1

6

Câu 76. Giá trị của tích phân I = ∫ x 5 (1 − x3 ) dx là

0

A.

1
.
167

1
.
168

B.

C.

1
.
166

D.

1
.
165

C.

52
.

5

D.

51
.
5

C.

π
− 3+2.
3

D.

π
− 3+2.
2

3

2x2 + x −1
dx là
x +1
0

Câu 77. Giá trị của tích phân I = ∫
A.

53
.
5

54
.
5

B.
1

3− x
dx là
1+ x

Câu 78. Giá trị của tích phân I = ∫
0

A.

π
− 2 +2.
2

π
− 2 +2.
3

B.
1

Câu 79. Giá trị của tích phân

∫x
0

4x + 2
dx là
+ x +1

2

A. ln 2 .

B. ln 3 .
2

Câu 80. Giá trị của tích phân

dx

∫ (2 x − 1)

2

C. 2 ln 2 .

D. 2 ln 3 .

là

1

A

1
.
2

1
.
3

B.
3

Câu 81. Giá trị của tích phân

0

B. 3 + 6 ln
4

(1 +

0

1
.
2

Câu 83. Giá trị của tích phân: I = ∫
0

1
 2100 − 1 .
900

D.

C. −3 + 6 ln

1 + 2x

)

2

2
.
3

( 7 x − 1)99
( 2 x + 1)101

B.

3
.
2

3
D. −3 + 3ln .
2

dx là

1
B. 2 ln 2 − .
3
1

A.

3
.
2

x +1

Câu 82. Giá trị của tích phân: I = ∫
A. 2 ln 2 −

1
.
4

x−3
dx là
x +1 + x + 3

∫ 3.

3
A. 3 + 3ln .
2

C.

C. 2 ln 2 −

1
.
4

1
D. ln 2 − .
2

dx là

1
 2101 − 1 .
900

C.

1
 299 − 1 .
900

D.

1
 298 − 1 .
900

2

x 2001
Câu 84. Tích phân I = ∫
dx có giá trị là
2 1002
1 (1 + x )
1001

1  4 
A.
 
2002  5 

1001

1  4 
C.
 
1001  5 

1001

1
− 
2

1001

1
− 
2

1002

1
− 
2

1002

1
− 
2


.


1  4 
B.
 
2002  5 


.


1  4 
D.
 
1001  5 

Chủ đề 4.2 – Tích phân
Cần file Word vui lòng liên hệ:

1002


.


1002


.


16 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

2π
3



∫ cos  3x −
π

Câu 85. Giá trị của tích phân

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

2π 
 dx là
3 

3

3
.
3

A. −

2
.
3

B. −

C. −

2 3
.
3

D. −

.

D.

2 2
.
3

π
2

Câu 86. Giá trị của tích phân I = ∫ cos 2 x cos 2 xdx là
0

A.

π
6

B.

.

π

C.

.

8

π
4

π
2

.

π

x sin x
dx là
1 + cos 2 x
0

Câu 87. Giá trị của tích phân: I = ∫
A.

π2
2

B.

.

π2
6

C.

.

π2
8

.

D.

π2
4

.

π
2

Câu 88. Giá trị tích phân J = ∫ ( sin 4 x + 1) cos xdx là
0

A.

2
.
5

B.

3
.
5

4
.
5

D.

6
.
5

C. ln 2 .

D.

1
ln 2 .
2

D.

1
ln 2 .
3

C.

π
2

Câu 89. Giá trị tích phân I = ∫
π

sin x − cos x
dx là
1 + sin 2 x

4

3
A. ln 2 .
2

B.

1
ln 3 .
2

π

2

sin x
dx là
1
+
3cos
x
0

Câu 90. Giá trị tích phân I = ∫
A.

2
ln 2 .
3

B.

2
ln 4 .
3

C.

1
ln 4 .
3

2

Câu 91. Giá trị của tích phân I = 2∫ 6 1 − cos 3 x .sin x.cos5 xdx là
1

A.

21
.
91

B.

12
.
91

C.

21
.
19

D.

12
.
19

C.

5
.
8

D.

7
.
8

C.

1
.
2

D.

1
.
6

π
4

cos x
dx là
3
(sin
x

+
cos
x
)
0

Câu 92. Giá trị của tích phân I = ∫
A.

1
.
8

B.

3
.
8

π
2

Câu 93. Giá trị của tích phân I =

sin xdx

∫ ( sin x + cos x )

3

là

0

A

1
.
4

B.

1
.
3

Chủ đề 4.2 – Tích phân
Cần file Word vui lòng liên hệ:

17 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

π
2

Câu 94. Giá trị của tích phân I = ∫ cos 4 x sin 2 xdx là
0

A. I =

π
32

B. I =

.

π
16

C. I =

.

π
8

.

D. I =

π
4

.

π
2

Câu 95. Giá trị của tích phân I = ∫ (sin 4 x + cos 4 x)(sin 6 x + cos 6 x )dx là
0

A. I =

32
π.
128

B. I =

33
π.
128

C. I =

31
π.
128

D. I =

30
π.
128

π
4

sin 4 x

Câu 96. Giá trị của tích phân I = ∫

sin 6 x + cos 6 x
1
B. .
3

dx là

0

A.

4
.
3

C.

2
.
3

D.

5
.
3

π

xdx
là
sin x + 1
0

Câu 97. Giá trị của tích phân I = ∫
A. I =

π
4

B. I =

.

π
2

C. I =

.

π

3

.

D. I = π .

π

sin 2007 x
dx là
2007
2007
sin
x
+
cos
x
0
2

Câu 98. Giá trị của tích phân I = ∫
A. I =

π
2

B. I =

.

π
4

C. I =

.

3π
.
4

D. I =

5π
.
4

π
2

Câu 99. Giá trị của tích phân ∫ cos11 xdx là
0

A.

250
.
693

B.

254
.
693

C.

252
.
693

D.

256
.
693

C.

63π
.
512

D.

65π
.
512

π

2

Câu 100. Giá trị của tích phân ∫ sin10 xdx là
0

A.

67π
.
512

B.

61π
.
512

1

dx
là
1 + ex
0

Câu 101. Giá trị của tích phân I = ∫

 2e 
A. ln 
.
 e +1 

 e 
B. ln 
.
 e +1 
ln 5

Câu 102. Giá trị của tích phân I =

∫

e 2 x dx

ex −1
10
B.
.
3

 e 
C. 2ln 
.
 e +1 

 2e 
D. 2ln 
.
 e +1 

là

ln 2

A.

5
.
3

C.

20
.
3

Chủ đề 4.2 – Tích phân
Cần file Word vui lòng liên hệ:

D.

2
.
3

18 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

ln 2

∫

Câu 103. Giá trị của tích phân I =

e x − 1dx là

0

4 −π
.
3

A.

4 −π
.
2

B.
ln 3

ex

∫

Câu 104. Giá trị của tích phân I =

(e

0

A. 2 2 − 1 .

B.
e2

Câu 105. Giá trị của tích phân I = ∫
e

A. 2 ln 3 .

x

3

+ 1)

3
.
32

ln 2

Câu 107. Cho M =

∫

0

∫e

e 2 x dx

−1 + ex − 2
ln 2
B. 2ln3 – 1.

5−π
.
2

C.

32
.
3

D. 2 2 + 1 .

x

C. ln 2 .

D. 2 ln 2 .

C. ln 3 − 1 .

D. ln 2 − 1 .

là

2e 3 x + e 2 x − 1
dx . Giá trị của e M là
3x
2x
x
e + e − e +1

7
.
4

A.

D.

dx
là
x ln x

ln 3

A. 2 ln 2 − 1 .

5−π
.
3

dx là

B. ln 3 .

Câu 106. Giá trị của tích phân: I =

C.

B.

9
.
4

C.

11
.
4

D.

5
.
4

B.

3 3 5 3 4 

3 − 2 .

8

C.

3 3 4 3 5 
3 − 2 .

8

D.

3 3 4 3 4 
3 − 2 .

8

e

ln x 3 2 + ln 2 x
Câu 108. I = ∫
dx .
x
1

A

3 3 5 3 5 
3 − 2 .


8

VẬN DỤNG CAO
2π

Câu 109. Tích phân I =

∫

1 + sin xdx có giá trị bằng

0

A. 4 2 .

B. 3 2 .

C.

2.

D. − 2 .

Câu 110. Cho hàm số f liên tục trên ℝ thỏa f ( x ) + f (− x) = 2 + 2 cos 2 x , với mọ i x ∈ ℝ . Giá trị của
π
2

tích phân I =

∫

f ( x)dx là

−π
2

A. 2.

B. −7 .

C. 7.

D. −2 .

Câu 111. Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ và f ( x) + f (− x) = cos 4 x với mọ i x ∈ ℝ . Giá trị của tích phân
π
2

I=

∫

f ( x)dx là

−π
2

A. −2 .

B.

3π
.
8

3
C. ln 2 − .
4

Chủ đề 4.2 – Tích phân
Cần file Word vui lòng liên hệ:

3
D. ln 3 − .
5

19 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

1

ln(1 + x )
dx là
2

1
+
x
0

Câu 112. Giá trị của tích phân I = ∫
A. I =

π
8

B. I =

ln 3 .

π
4

π

C. I =

ln 2 .

8

D. I =

ln 3 .

π
8

ln 2 .

Câu 113. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và thỏa f (− x) + 2 f ( x ) = cos x . Giá trị của tích phân
π
2

I=

∫π

−

f ( x)dx là

2

A. I =

1
.
3

B. I =

4
.
3

2
.
3

C. I =

D. I = 1 .
2

Câu 114. Tìm hai số thực A , B sao cho f ( x) = A sin π x + B , biết rằng f ′(1) = 2 và

∫ f ( x)dx = 4 .
0

 A = −2

A. 
2.
B
=
−

π

A = 2

B. 
2.
B

=
−

π
2

Câu 115. Giá trị của a để đẳng thức

∫ a

 A = −2

C. 
2 .
B
=

π
4

2

+ (4 − 4a ) x + 4 x  dx = ∫ 2 xdx là đẳng thức đúng
3

1

A. 4.

Câu 116. Giá trị của tích phân I = ∫

0

A.

π
4a

2

B. 3.
a

C. 5.

D. 6.

dx
(a > 0) là
x + a2
2

B.

.

2

A = −
D. 
π.

 B = 2

π2
4a

C. −

.

π2
4a

D. −

.

π
4a

.

π
3

cos x
dx là
2 + cos 2 x

Câu 117. Giá trị của tích phân I = ∫
0

A.

π
4 2

B.

.

π
2 2

C.

.

4π
.
2

D.

−π
.
2

1

dt

. Tích phân nào sau đây có giá trị bằng với giá trị của tích phân đã cho.
1+ t 2
x

Câu 118. Cho I = ∫
x

1
x

x

dt
.
2
1 1+ t

dt
.
2
1 1+ t

A. − ∫

1
x

dt
.
2

1 1+ t

B. ∫

dt
.
2
1 1+ t

C. ∫

D. − ∫

π
2

Câu 119. Giá trị của tích phân I = ∫
π

1
ln(sin x )dx là
sin 2 x

6

A. − 3 ln 2 + 3 +

π
3

.

B. 3 ln 2 + 3 −

π
3

.

C. − 3 ln 2 − 3 −

π
3

. D. − 3 ln 2 + 3 −

π
3

.

2

Câu 120. Giá trị của tích phân I = ∫ min {1, x 2 } dx là
0

A. 4 .

4
B. .

3

C.

3
.
4

Chủ đề 4.2 – Tích phân
Cần file Word vui lòng liên hệ:

3
D. − .
4

20 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
−3

Câu 121. Giá trị của tích phân I =

dx
là
1− x

∫x

−8

2
A. ln .
3

B. 2 .
a

Câu 122. Biế t I = ∫
1

A. 2.

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

C. − ln 2 .

D. 2 ln 2 .

1
x 3 − 2ln x
̣ ̉ a a là
dx = + ln 2 . Giá tri cu
2
x
2
B. ln 2 .
C. π .
π

π

2

2

D. 3.

sin 2 x
dx . Khẳng định nào sau đây là sai ?
(sin x + 2)2
0

Câu 123. Cho I1 = ∫ cos x 3sin x + 1dx , I 2 = ∫
0

A. I1 =

14
.
9

3 3
C. I 2 = 2 ln + .
2 2

B. I1 > I 2 .

3 2

D. I 2 = 2 ln − .
2 3

m

Câu 124. Tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn

∫ ( 2 x + 5) dx = 6 là
0

A. m = 1, m = −6 .

B. m = −1, m = −6 .

C. m = −1, m = 6 .

D. m = 1, m = 6 .
π

2
sin 2 x
a cos x
b cos x
+
Câu 125. Cho hàm số h( x) =
. Tìm để h( x) =
và tính I = ∫ h( x )dx
(2 + sin x) 2
(2 + sin x )2 2 + sin x
0

2
3
+ 2 ln .
3
2
1
3
C. a = 2, b = 4; I = − + 4 ln .
3
2

2
3
B. a = 4, b = −2; I = − − 2 ln .
3
2
1
3
D. a = −2, b = 4; I = + 4 ln .
3
2

A. a = −4, b = 2; I =

Câu 126. Giá trị trung bình của hàm số y = f ( x ) trên [ a; b ] , kí hiệu là m ( f ) được tính theo công thức
b

m( f ) =

A.

4

π

1
f ( x ) dx . Giá trị trung bình của hàm số f ( x ) = sin x trên [ 0; π ] là
b − a ∫a

B.

.

3

π

C.

.

1

π

D.

.

2

π

.

π
1

2

4
dx
Câu 127. Cho ba tích phân I = ∫
, J = ∫ ( sin 4 x − cos 4 x ) dx và K = ∫ ( x 2 + 3x + 1) dx . Tích phân
3x + 1
0
0
−1

nào có giá trị bằng
A. K.

21
?
2

B. I.

C. J.

a

Câu 128. Với 0 < a < 1 , giá trị của tích phân sau

∫x

2

0

A. ln

a−2
− ln 2 .
2a − 1

B. ln

a−2
− ln 2 .
a −1

D. J và K.

dx
là:
− 3x + 2

C. ln

a−2
− ln 2 .
2 ( a − 1)

D. ln

a−2
− ln 2 .
2a + 1

D. −

2 3
.
3

1

4 x3
dx = 0 . Khi đó giá trị của 144m 2 − 1 bằ ng
4
2
( x + 2)
0

Câu 129. Cho 2 3m − ∫
A.

−2
.

3

B. 4 3 − 1 .

C.

2 3
.
3

Chủ đề 4.2 – Tích phân
Cần file Word vui lòng liên hệ:

21 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

Câu 130. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm liên tục trên ( a; b ) , đồng thời thỏa mãn

f (a) = f (b) . Lựa chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau
b

A.

∫ f '( x).e

b

f ( x)

B.

dx = 2 .

a

f ( x)

dx = 1 .

a

b

C.

∫ f ′( x).e

∫ f ′( x).e

b

f (x)

D.

dx = −1 .

a

∫ f ′( x).e

f (x)

dx = 0 .

a
5

Câu 131. Kết quả phép tính tích phân I = ∫
1

2

dx
có dạng I = a ln 3 + b ln 5 (a, b ∈ ℤ) . Khi đó
x 3x + 1

2

a + ab + 3b có giá trị là
A. 1.
B. 5.

C. 0.

D. 4.

π
2

n

Câu 132. Với n ∈ ℕ, n ≥ 1 , tích phân I = ∫ (1 − cos x ) sin xdx có giá trị bằng
0

A.

1
.
2n

B.

1
.
n −1

C.

1
.
n +1

D.

1
.
n

π
2

Câu 133. Với n ∈ ℕ, n > 1 , giá trị của tích phân

∫
0

A. −

π
4

B.

.

π
4

n

n

sin x
dx là

cos x + n sin x
C.

.

3π
.
4

D. −

3π
.
4

2017 π

∫

Câu 134. Giá trị của tích phân

1 − cos 2 x dx là

0

A. 3034 2 .

B. −4043 2 .

C. 3043 2 .

D. 4034 2 .

C. 2 ln 2 − 1 .

D. −2 ln 3 − 1 .

π
2
 (1 + sin x)1+ cos x
Câu 135. Giá trị của tích phân ∫ ln 
 1 + cos x
0
A. 2 ln 3 − 1 .
B. −2 ln 2 − 1 .


 dx là


b

Câu 136. Có mấy giá trị của b thỏa mãn ∫ (3x 2 − 12 x + 11)dx = 6
0

A. 4.

B. 2.
b

Câu 137. Biết rằng ∫ 6dx = 6 và
0

A. 5.

A. 2π .

D. 3.

a

∫ xe dx = a , ( a ≠ 0 ). Khi đó biểu thức b
x

2

+ a 3 + 3a 2 + 2a có giá trị bằng

0

B. 4.
a

Câu 138. Biết rằng

C. 1.

C. 7.

D. 3.

bπ

dx
B
∫0 x 2 + a 2 = A , ∫0 2dx = B (với a, b > 0 ). Khi đó giá trị của biểu thức 4aA + 2b bằng

B. π .

C. 3π .

Chủ đề 4.2 – Tích phân
Cần file Word vui lòng liên hệ:

D. 4π .

22 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

D - ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – ĐÁP ÁN

1
D

2
A

3
B

4
A

5
A

6
A

7
C

8
C

9
C

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
D B A D B B C C D B C

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
C A A A B D D D C B B A B C C D C A D B
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

D A C A A D A B A D B C B D C A C B B D
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
A B A C D D C A C D C D B A D B B C D B
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
C C A A A B D D D C B B C A B C D B D C
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
A C B B C B C D A A B D C D B A A C D B
121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138
A A C A A D A B A D B C B D C D C A
II –HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.

Chọn D.

Câu 2.

Chọn A.

Câu 3.

Chọn B.

Câu 4.

Chọn A.
a

Ta có

a

x +1
x +1
a +1
∫ e dx = e −1 = e − 1 .
−1

Vậy yêu cầu bài toán tương đương e a+1 − 1 = e2 − 1 ⇔ a = 1 .
Câu 5.

Chọn A.
Tính tích phân cho từng hàm số trong các đáp án:
π

π

•

1
∫0 cos 3xdx = 3 sin 3x 0 = 0 ,
π

π

•

1
2
∫0 sin 3xdx = − 3 cos 3x 0 = 3 ,
π

π

•

x π
x π
∫0 cos  4 + 2  dx = 4sin  4 + 2  0 = 2 ( 2 − 2) ,
π

π

x π
x π
• ∫ sin  +  dx = −4cos  +  = 2 2 .
4 2
4 2 0
0
Vậy chọn f ( x) = cos 3x .
Câu 6.

Chọn A.
Dù giải bằng máy tính hay làm tay, ta không nên thử tính lần lượt từng đáp án từ A đến D, mà
nên chọn các tích phân đơn giản để thử trướC. Ví dụ
1

2

x2
Ta có: ∫ 2dx = 2 x = 2 ; ∫ xdx =

2
0
0
1
0

2

0

π

π

= 2 ; ∫ sin xdx = − cos x 0 = 2 nên nhận
0

Chủ đề 4.2 – Tích phân
Cần file Word vui lòng liên hệ:

e2

∫ ln xdx .
1

23 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017

Câu 7.

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

Chọn C.
Cách 1: Phương pháp tự luận
Tính lần lượt từng tích phân (cho đến khi nhận được kết quả đúng), ta được:
1

•

∫ sin xdx = − cos x
−1
1

•

2

= 0 = ∫ sin xdx (thỏa mãn)
−2

∫ cos ddx = sin x

−1
1

•

1

−1

1
−1

2

∫ cos xdx = sin x

= 2sin1 , và

2
−2

= 2sin 2 (không thỏa mãn)

−2

∫ e dx = e
x

x 1
−1

2

−1

= e − e , và

−1

∫ e dx = e
x

x 2
−2

= e 2 − e −2 (không thỏa mãn)

−2
2 1

1

( x + 1)
• ∫ ( x + 1)dx =
= 2 , và
2
1
−
−1
Vậy ta nhận đáp án f ( x) = sin x .

2

( x + 1) 2
(
x
+

1)
dx
=
∫
2
−2

2

= 4 (không thỏa mãn)
−2

Cách 2: Phương pháp tự luận
a

Ta đã biết nếu f là hàm số lẻ và liên tục trên ℝ thì

∫

f ( x )dx = 0 với mọ i số thực a . Trong

−a

các lựa chọn ở đây, chỉ có hàm số y = f ( x) = sin x là lẻ, nên đó là đáp án của bài toán.
Cách 3: Phương pháp trắc nghiệm
Thực hiện các phép tính sau trên máy tính (đến khi thu được kết quả bằng 0 thì ngưng)
Phép tính
Kết quả
Phép tính
1

2

∫ sin xdx − ∫ sin xdx

1

2

∫ e dx − ∫ e dx
x

0

x

−1

−2

−1

1

2

1

2

−1

−2

−1

−2

∫ cos xdx − ∫ cos xdx

≠0

−2

∫ ( x + 1)dx − ∫ ( x + 1)dx

≠0

≠0

Vậy ta nhận đáp án f ( x) = sin x .
Câu 8.

Chọn C.
Cách 1: Phương pháp tự luận
5

5
dx
5

= ln x 2 = ln 5 − ln 2 = ln .
2
2 x
Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm
Bước 1: Dùng máy tính như hình bên, thu được giá trị
0,91629...

I =∫

Bước 2: Lấy e0,91629... cho kết quả

5
2

chọn ln

5
.
2

Cách 3: Phương pháp trắc nghiệm
Thực hiện các phép tính sau trên máy tính (đến khi thu được kết quả bằng 0 thì ngưng)
Phép tính

Kết quả

5

dx
5

− ln
2
2 x

∫

0

5

dx 1
∫2 x − 3 ln 3

Phép tính

Kết quả

dx
− 3ln 3
2 x

≠0

5

∫
5

≠0

dx
2
− ln
5
2 x

∫

Chủ đề 4.2 – Tích phân
Cần file Word vui lòng liên hệ:

≠0

24 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4


CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
Câu 9.

CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN

Chọn C.
Cách 1: Phương pháp tự luận
π
x
 2x
cos + sin 2 

2

dx
2
2  dx = 1  cot x + tan x  dx
I =∫
=∫

∫  2
x
x
2
2

π sin x
π
π
2sin cos
3
3
3
2
2
π

π

2

2

π

x
x2 
2
2  1
3

= ln sin − ln cos  =  ln
− ln
− ln − ln

 = ln 3.
2
2π  2
2   2
2 

3

Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm
Bước 1: Dùng máy tính như hình bên, thu được giá trị
0,549306...

Bước 2: Lấy e0,549306... cho kết quả 1, 732050808... ≈ 3
chọn

1
ln 3 .
2

Cách 3: Phương pháp trắc nghiệm
Thực hiện các phép tính sau trên máy tính (đến khi thu được kết quả bằng 0 thì ngưng)
Phép tính
Kết quả
Phép tính
Kết quả
π

π

2

2

dx 1
∫π sin x − 2 ln 3
3

3

π

π
2

2

dx
∫π sin x − 2 ln 3

dx

1

− 2 ln
∫
3
π sin x

0

dx

1

≠0

1

− ln
∫
2 3
π sin x

≠0

≠0

3

3

Nhận xét: Ở bài này cách làm bằng máy tính có vẻ nhanh hơn.
Câu 10. Chọn D.
Phương pháp tự luận
0

0

K = ∫ ( 4 − e − x /2 ) dx + 2e = ( 4 x + 2e − x / 2 ) −2 + 2e = 2 − ( −8 + 2e ) + 2e = 10 .
−2

Phương pháp trắc nghiệm
0

Dùng máy tính tính

∫ (4 − e

− x/ 2

) dx + 2e như hình

−2

bên, thu được giá trị K = 10 .
Câu 11. Chọn B.
Phương pháp tự luận
1
1

1
1
1
1
1  1
1 
1
2 ln 2
∫0 x 2 − x − 2 dx = ∫0 ( x − 2)( x + 1) dx = 3 ∫0  x − 2 − x + 1 dx = 3 [ln x − 2 − ln x + 1 ] 0 = − 3 .

Học sinh có thể áp dụng công thức

1

1

∫ ( x − a)( x − b) dx = a − b ln

x−a
+ C để giảm một bước
x −b

tính:
1

I =∫
0

1

1
1
1 x−2
dx = ∫
dx = ln
2
x −x−2
( x − 2)( x + 1)
3 x +1
0

Chủ đề 4.2 – Tích phân
Cần file Word vui lòng liên hệ:

1

=−
0

2ln 2
.
3
25 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTNBTN-CD4