Phương trình của đường tròn trong mặt phẳng Oxy

Bài 3: Phương trình của đường tròn trong mặt phẳng Oxy
A. Lí thuyết :
1. Phương trình đường tròn :
Đường tròn tâm I(a ; b), bán kính R có phương trình :

 Dạng 1 :
 Dạng 2 :

( x − a) 2 + ( y − b) 2 = R2
x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0

Trong đó :

R = a 2 + b2 − c

, điều kiện :

a 2 + b2 − c > 0

2. Vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn (C):




d ( I ; d ) > R ⇔ d ∩ (C ) = φ

d ( I ; d ) = R ⇔ d ∩ (C ) = { A}

d không có điểm chung với (C).
d tiếp xúc với (C).

d ( I ; d ) < R ⇔ d ∩ (C ) = { A; B}

d cắt (C) tại hai điểm phân biệt.

3. Phương trình trục đẳng phương của hai đường tròn không đồng tâm có dạng :
x 2 + y 2 − 2a1 x − 2b1 y + c1 = x 2 + y 2 − 2a2 x − 2b2 y + c2

4. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại M(x0 ;y0) có dạng :
x0 x + y0 y − a ( x0 + x ) − b( y0 + y ) = 0

B. Bài tập điển hình : (Giáo viên trực tiếp giải)
1.Tìm tâm và bán kính của đường tròn có phương trình sau :
a)
b)
c)

( x − 2) 2 + ( y + 1) 2 = 4
( x + 3) 2 + ( y − 1) 2 = 3
x2 + y 2 − 4 x − 6 y − 3 = 0


d)
e)
f)
g)
h)

x2 + y 2 + 4 x − 6 y + 2 = 0
2x2 + 2 y 2 − 5x + 4 y + 1 = 0
7 x2 + 7 y2 − 4x + 6 y − 1 = 0

x2 + y2 − 2x − 1 = 0
x2 + y2 = 1

2. Viết phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau :
a) (C) có tâm I(1 ;-3) và bán kính R=7.
b) (C) có tâm I(1;3) đi qua điểm A(3;1).
c) (C) có đường kính AB với A(1;1) , B(7;5).
d) (C) có tâm I(-2;0) và tiếp xúc với d: 2x + y – 1 = 0.
e) (C) đi qua 3 điểm M(1;-2), N(1 ;2), P(5 ;2).
f) (C) có tâm là giao điểm của đường thẳng d1 : x – 3y +1 = 0 với đường thẳng d2 : x = -4
đồng thời tiếp xúc với đường thẳng d3 : x + y -1 = 0.
3. Cho đường tròn (T) : x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0.
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (T) tại A(-1 ;0).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (T), biết tiếp tuyến đó // d : 2x – y = 0.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (T), biết tiếp tuyến đó vuông góc với d’ : 4x – 3y + 1
= 0.
d) Viết phương trình tiếp tuyến của (T), biết tiếp tuyến đi qua B(3 ;-11).
e) Tìm m để đường thẳng d : x + (m – 1)y + m = 0 tiếp xúc với đường tròn (T).
4. Xét vị trí tương đối của các đường thẳng sau với đường tròn (C) : x2 + y2 – 2x - 2y - 2
= 0.


a) d1 : x + y = 0.
b) d2 : y + 1 = 0.

c) d3 : 3x + 4y +5 = 0.

5. Tìm trục đẳng phương của hai đường tròn :
(C1) : x2 + y2 – 2x + y – 1 = 0.
(C2) : x2 + y2 + 3x - 4y – 3 = 0.

6. Cho hai đường tròn có phương trình :
(Tm) : x2 + y2 – 2mx +2(m+1)y – 1 = 0.
(Cm) : x2 + y2 – x + (m – 1)y + 3 = 0.
a) Tìm trục đẳng phương của hai đường tròn theo tham số m.
b) Chứng tỏ rằng khi m thay đổi, trục đẳng phương luôn đi qua một điểm cố định.
7. Lập phương trình đường tròn qua A(1 ;-2) và các giao điểm đường thẳng d: x – 7y +
10 = 0 với đường tròn (C) : x2 + y2 – 2x + 4y – 20 = 0.
8. Viết phương trình đường tròn có tâm là giao điểm của hai đường thẳng d1 : x – 3y + 1 =
0 và
d2 : x + 4 = 0 đồng thời tiếp xúc với đường thẳng d : x + y – 1 = 0.
9. Viết phương trình đường tròn đi qua M(2 ;1) đồng thời tiếp xúc với hai trục tọa độ.
10. Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng d : 4x + 3y – 2 = 0 và tiếp
xúc với hai đường thẳng d1 : x + y + 4 = 0, d2 : 7x – y + 4 = 0.
11. Cho (Cm) : x2 + y2 – 2mx – 4(m – 2)y – m + 6 = 0.
a) Tìm m để (Cm) là đường tròn.
b) Tìm quỹ tích tâm I của đường tròn.


12. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn:
(T1) : x2 + y2 – 1 = 0.
(T2) :

( x − 4) 2 + ( y − 3) 2 = 16

.

13. Viết phương trình đường tròn (T), biết (T) đi qua hai điểm A(-1 ;2) ; B(-2 ;3) và có
tâm ở trên đường thẳng d : 3x – y + 10 = 0.
14. Cho điểm M(2 ;4) và đường tròn (C) : x2 + y2 – 2x - 6y + 6 = 0.
a) Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C).

b) Viết phương trình đường thẳng d qua M, cắt đường tròn tại hai điểm A, B sao cho M
là trung điểm của AB.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với d.

15. Cho đường tròn (C) :

( x − 1) 2 + ( y + 3) 2 = 25

a) Tìm giao điểm A, B của đường tròn với trục ox.
b) Gọi B là điểm có hoành độ dương, viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại B.
c) Viết phương trình đường thẳng d qua O cắt (C) tạo thành một dây cung có độ dài bằng
AB.
16. Cho điểm A(8 ;-1) và đường tròn (C) : x2 + y2 – 6x - 4y + 4 = 0.
a) Tìm tâm và bán kính của (C).
b) Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ A.
c) Gọi M, N là các tiếp điểm, tìm độ dài đoạn MN.
17. Cho hai đường tròn :
(C1) : x2 + y2 – 2x + 4y - 4 = 0
(C2) : x2 + y2 + 4x - 4y - 56 = 0


a) Tìm tâm và bán kính của (C1) và (C2).
b) Chứng minh (C1) và (C2) tiếp xúc nhau.
c) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2).

18. Trong mp Oxy cho điểm A(-1 ;1) và đường thẳng d : x – y + 1 -

2

= 0. Viết phương

trình đường tròn qua A, qua gốc O và tiếp xúc với d.
C:Bài tập vận dụng :
1. Viết phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:
a) (C) có tâm I(2;1) và bán kính R =

7

b) (C) có tâm I(0;2) và đi qua điểm A(3; 1).
c) (C) có đường kính AB với A(1; 3) và B(5; 1).
d) (C) có tâm I(1; -2) và tiếp xúc với đường thẳng

∆ : x − y = 0.

e) (C) ngoại tiếp tam giác ABC với A(1; 2), B(5; 2), C(1; -3).
f) (C) có tâm là giao điểm của đường thẳng d: x – 2y – 3 = 0 với trục Ox đồng thời tiếp
xúc với đường thẳngd/: 2x + 3y + 7 = 0.
2. Xét vị trí tương đối của các đường thẳng sau với đường tròn (C): (x – 3)2 + (y – 2)2 = 4.
a)

∆1 : x − 1 = 0

b)

∆2 : x − 2 = 0

c)

∆3 : 2x + y − 1 = 0

.

3. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (T): x2 +y2 = 4 trong mỗi trường hợp sau:
a) Biết tiếp điểm A(0; 2).
b) Biết tt song song
c) Biết tt vuông góc

∆ : 3 x − y + 17 = 0

∆/ : x − 2 y + 2 = 0

d) Biết tt đi qua M(2; 2).


e) Biết tt tạo với trục Ox một góc

450

f) Tìm m để đường thẳng d : x +my – 1 = 0 Tiếp xúc đường tròn (T).
4. Cho đường tròn (T) : x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0. Viết pttt của (T) biết tiếp tuyến đó :
a) Tiếp xúc với đương tròn tại A(-1 ; 0).
b) Vuông góc với đường thẳng d: x + 2y = 0.
c) Song song với đường thẳng d/: 3x - 4y – 9 = 0.
d) Đi qua B(3; -11).
e) Tìm m để đường thẳng

∆ : x + (m − 1) y + m = 0

có điểm chung với (T).

-------------  -------------

ĐỀ THI CÓ LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Oxy
1. ĐH KA 2004 :


Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(0 ; 2), B(

− 3;−1)

. Tìm tọa độ trực tâm và tọa độ

tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác OAB.
2. ĐH KB 2004:
Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(1; 1), B(4; -3). Tìm điểm C thuộc đường thẳng x
– 2y – 1 = 0 sao cho khoảng cách từ C đến AB bằng 6.
3. ĐH KD 2004:
Trong mặt phẳng Oxy cho
tọa độ trọng tâm G của

∆ABC

∆ABC

có các đỉnh A(-1; 0), B(4; 0), C(0; m) với

m≠0

. Tìm

theo m. Xác định m để tam giác GAB vuông tại G.

4. ĐH KA 2005:Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng d1: x – y = 0 , d2: 2x + y – 1
= 0. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết

A ∈ d1; C ∈ d 2

và B, D thuộc trục

hoành.
5. ĐH KB 2005:
Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(2; 0), B(6; 4). Viết phương trình đường tròm
(C) tiếp xúc với trục hoành tại A và khoảng cách từ tâm I của (C) đến điểm B bằng 5.
6. ĐH KD 2005:

Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E):

x2 y2
+
=1
4
1

và điểm C(2; 0). Tìm tọa độ các điểm A,

B thuộc (E), biết rằng hai điểm A, B đối xứng nhau qua trục hoành và tam giác ABC là
tam giác đều.
7. ĐH KA 2006:
Trong mặt phẳng Oxy cho các đường thẳng: d1: x + y + 3 = 0, d2: x – y – 4 = 0, d3: x –
2y = 0. Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M đến

đường thẳng d1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2.
8. ĐH KB 2006:


Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x - 6y + 6 = 0 và điểm M(-3; 1).
Gọi T1, T2 là các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C). Viết phương trình T1T2.
9. ĐH KD 2006 :
Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) : x2 + y2 - 2x - 2y + 1 = 0 và đường thẳng d :
x – y + 3=0.
Tìm tọa độ điểm M nằm trên d sao cho đường tròn tâm M ó bán kính gấp đôi bán kính
đường tròn (C), tiếp xúc ngời với (C).
10. ĐH KA 2007 :
Trong mặt phẳng Oxy cho

∆ABC

có A(0; 2), B(-2;-2), C(4;-2). Gọi H là chân đường cao

kẻ từ B; M và N lâng lượt là trung điểm của AB và BC. Viết phương trình đường tròn đi
qua ba điểm H, M, N.
11. ĐH KB 2007:
Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2; 2) và các đường thẳng: d1: x + y – 2 = 0 ; d2: x +
y – 8 = 0. Tìm tọa độ các điểm B thuộc d1, C thuộc d2 sao cho tam giác ABC vuông cân
tại A.
12. ĐH KD 2007:
Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): (x – 1)2 + (y + 2)2 = 9 và đường thẳng d: 3x
– 4y + m = 0
Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB
tới C (A, B là các tiếp điểm) sao cho tam giác PAB đều.
13. ĐH KA 2008:

Trong mặt phẳng Oxy, hãy viết phương trình chính tắc của elip (E) biết rằng (E) có tâm

sai bằng

5
3

và hình chữ nhật cơ sở của (E) có chu vi bằng 120.

14. ĐH KB 2008:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết
rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H(-1;-1), đường phân giác


trong của góc A có phương trình: x – y + 2 = 0 và đường cao kẻ tưg B có phương trình:
4x + 3y – 1 = 0.
15. ĐH KD 2008:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P) : y2 = 16x và điểm A(1;4). Hai
điểm phân biệt B, C (B và C khác A) di động trên (P) sao cho góc BAC bằng 90 0. Chứng
minh rằng đường thẳng BC luôn đi qua một điểm có định.
16. ĐH KA 2009:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6;2) là giao
điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm M(1;5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm
E của cạnh CD thuộc đường thẳng

∆ : x + y − 5 = 0.

Viết phương trình đường thẳng AB.

17. ĐH KB 2009:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 2)2 + y2 =

4
5

và hai đường thẳng

∆1 : x − y = 0 ∆ 2 : x − 7 y = 0.

,

Xác định tọa độ tâm K và tính bán kính

của đường tròn (C1); biết đường tròn (C1) tiếp xúc với các đường thẳng

∆1 , ∆ 2

và tâm K

thuộc đường tròn (C).
18. ĐH KD 2009:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M(2;0) là trung điểm của
cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao đỉnh A lần lượt có phương trình là 7x – 2y –
3 = 0 và 6x – y – 4 = 0. viết phương trình đường thẳng AC.
19. ĐH KA 2010: (chuẩn).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1:
3 x − y = 0.

3x + y = 0

và d2:

Gọi (T) là đường trong tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B và C sao cho


tam giác ABC vuuon tại A. viết phương trình của (T), biết tam giác ABC có diện tích

bằng

3
2

và điểm A có hoành độ dương.

20. ĐH KA 2010: (nâng cao).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6;6),
đường thẳng đi qua trung điểm I, J của các cạnh AB và AC có phương trình x + y – 4 = 0.
Tìm tọa độ của các đỉnh B và C, biết điểm E(1;-3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của
tam giác đã cho.
21. ĐH KB 2010: (chuẩn).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C(-4;1),
phân giác trong của góc A có phương trình x + y – 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng
BC biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương.
22. ĐH KB 2010: (nâng cao).

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2;

3

) và elip (E):

x2 y 2

+
=1
3
2

. Gọi F1

và F2 là các tiêu điểm của (E) (F1 có hoành độ âm) M là giao điểm có tung độ dương của
đường thẳng AF1 với (E); N là điểm đối xứng của F2 qua M. Viết phương trình đường
tròn ngoại tiếp tam giác ANF2.
23. ĐH KD 2010: (chuẩn).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3;-7), trực tâm là
H(3;-1), tâm đường tròn ngoại tiếp là I(-2;0). Xác định tọa độ đỉnh C, biết C có hoành độ
dương.
24. ĐH KD 2010: (nâng cao).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(0;2) và
gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên

∆

khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH.

∆

là đường thẳng đi qua O.

. Viết phương trình đường thẳng

∆

, biết


25. ĐH KA 2011: (chuẩn).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆: x + y + 2 = 0 và đường tròn (C): x2
+ y2 – 4x – 2y = 0. Gọi I là tâm của (C), M là điểm thuộc ∆. Qua M kẻ các tiếp tuyến MA
và MB đến (C) (A và B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện
tích bằng 10.
26. ĐH KA 2011: (nâng cao).

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E) :

x2 y 2
+
=1
4
1

. Tìm tọa độ các điểm A và B

thuộc (E), có hoành độ dương sao cho tam giác OAB cân tại O và có diện tích lớn nhất.
27. ĐH KB 2011: (chuẩn).
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng ∆ : x – y – 4 = 0 và d : 2x – y – 2
= 0. Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng ∆
tại điểm M thỏa mãn OM.ON = 8.
28. ĐH KB 2011: (nâng cao).

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B

1 

 ;1÷
2 

. Đường tròn nội tiếp

tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại các điểm D, E, F. Cho D
(3; 1) và đường thẳng EF có phương trình y – 3 = 0. Tìm tọa độ đỉnh A, biết A có tung
độ dương.
29. ĐH KD 2011: (chuẩn).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(-4; 1), trọng tâm G(1; 1) và
đường thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương trình x − y − 1 = 0. Tìm tọa độ
các đỉnh A và C
30. ĐH KD 2011: (nâng cao).


Trong mặt phẳng tỏa độ Oxy, cho điểm A(1; 0) và đường tròn (C) : x2 + y2 − 2x + 4y −
5 = 0. Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt (C) tại điểm M và N sao cho tam giác AMN
vuông cân tại A.