đường thẳng và đường tròn trong mạt phẳng oxy

Chỉ dùng cho HS có ý thức tự học Hình học phẳng Oxy
Chủ đề: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
Oxy
Một số kiến thức cần phải nhớ
• Cho hai điểm
( ) ( )
; , ;
A A B B
A x y B x y
. Tọa độ của véctơ
( )
;
B A B A
AB x x y y= − −
uuur
.
• Đường thẳng
d
đi qua điểm
( )
0 0
;M x y
và có véctơ pháp tuyến là
( )
;n a b=
r
. Khi đó đường thẳng
d
có phương trình là:
( ) ( )
0 0

0a x x b y y− + − =
.
• Đường thẳng
d
đi qua điểm
( )
0 0
;A x y
và có hệ số góc là
k
. Khi đó
d
:
( )
0 0
y k x x y= − +
.
• Phương trình đường thẳng
d
đi qua hai điểm
,A B
là :
( ) ( ) ( ) ( )
0
B A A B A A
y y x x x x y y− − − − − =
.
• Cho vécto
( ) ( )
1 1 2 2

; , ;u x y v x y= =
r r
. Khi đó :
1 2
1 2

x x
u v
y y
=

= ⇔

=

r r
.
• Cho vécto
( ) ( )
1 1 2 2
; , ;u x y v x y= =
r r
. Khi đó ta có các công thức tìm tọa độ sau đây:

( )
1 2 1 2
;u v x x y y+ = + +
r r

( )

1 2 1 2
;u v x x y y− = − −
r r

( )
1 1
. ;k u kx ky=
r
• Cho vécto
( ) ( )
1 1 2 2
; , ;u x y v x y= =
r r
. Khi đó: vécto
u
r
cùng phương vécto
v
r

⇔

1 2
1 2
x kx
y ky
=


=


.
Công thức tọa độ trung điểm của đoạn thẳng
Gọi
I
là trung điểm của đoạn thẳng
AB
Khi đó tọa độ của điểm
( )
;
I I
I x y
với
và
2 2
A B A B
I I
x x y y
x y
+ +
= =

Công thức tính tọa độ trọng tâm của tam giác
Gọi
G
là trọng tâm của tam giác
ABC
Khi đó tọa độ của trọng tâm
( )
;

G G
G x y
, với
và
3 3
A B C A B C
G G
x x x y y y
x y
+ + + +
= =
Chú ý 1
Điểm
( )
;0M Ox M x∈ ⇔
Điểm
( )
0;M Oy M y∈ ⇔
BT1. Viết phương trình đường thẳng
d
đi qua điểm
( )
2;3A −
và có véctơ pháp tuyến
( )
4; 5n = −
r
.
BT2. Viết phương trình đường thẳng
d

đi qua điểm
( )
2; 3A −
và có hệ số góc
2k =
.
BT3. Viết phương trình đường thẳng
d
đi qua hai điểm
( )
1;2A −
và
( )
3;1B −
.
BT4. Cho hai điểm
( )
1;2A
và
( )
2;3B −
. Hãy viết phương trình của đường thẳng
d
đi qua
A
và vuông
góc với
AB
.
- 1 -

ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG
Chỉ dùng cho HS có ý thức tự học Hình học phẳng Oxy
Gợi ý:
Tọa độ của véctơ
( )
;
B A B A
AB x x y y= − −
uuur
Đường thẳng
d
nhận véctơ nào làm véctơ pháp tuyến?
Chú ý 2
• Cho
: 0d ax by c+ + =
và điểm
( )
0 0
;M x y
. Khi đó,
d
đi qua điểm
M

0 0
0ax by c⇔ + + =
.
• Đường thẳng
d
có véctơ pháp tuyến là

( )
;n a b=
r
thì
d
có véctơ chỉ phương là
( )
;u b a= −
r
và
ngược lại (nghĩa là một đường thẳng nếu biết được véctơ pháp tuyến thì tìm được véctơ chỉ phương
và ngược lại)
• Nếu đường thẳng
: 0d ax by c+ + =
thì đường thẳng
d
có véctơ pháp tuyến là
( )
;n a b=
r
.
? Véctơ pháp tuyến và véctơ chỉ phương của một đường thẳng có mối quan hệ hình học với nhau như thế
nào.
BT5. Cho đường thẳng
:3 2 0d x y m+ + =
. Tìm
m
để đường thẳng
d
đi qua điểm

( )
1; 2A −
. (hoặc tìm
m

để điểm
A
thuộc đường thẳng
d
)
BT6. Cho đường thẳng
d
có phương trình là:
3 2 2 0x y− + + =
. Đường thẳng
d
có đi qua các điểm sau
đây hay không:
( ) ( ) ( ) ( )
1;1 , 2;3 , 4;10 , 2; 1A B C D− −
?
BT7. Tìm véctơ pháp tuyến, véctơ chỉ phương và tọa độ một điểm của đường thẳng
: 3 2 0d x y− + + =
.
Chú ý 3
• Nếu
d
có véctơ pháp tuyến là
( )
;n a b=

r
thì phương trình của
d
có dạng
0ax by m+ + =
.
• Nếu
'd d
⊥
và
': 0d ax by c+ + =
thì phương trình của
d
có dạng
0bx ay m− + + =
.
• Nếu
'd dP
và
': 0d ax by c+ + =
thì phương trình của
d
có dạng
0ax by m+ + =
.
BT8. Cho tam giác
ABC
, biết
( ) ( ) ( )
1;4 , 2; 1 , 6; 3A B C− − −

.
Viết phương trình của các cạnh
, ,AB BC CA
, đường cao
AH
và trung tuyến
AM
.
Gợi ý:
Đường cao
AH
nhận véctơ nào làm véctơ pháp tuyến? (phải nắm vững khái niệm véctơ pháp tuyến của
đt)
Hãy tìm tọa độ trung điểm
M
, từ đó đưa về dạng bài tập 3?
BT9. Cho hai điểm
( )
1;3A
và
( )
3; 1B −
. Viết phương trình của đường thẳng
d
đi qua trung điểm
I
của
đoạn thẳng AB và vuông góc với AB.
Gợi ý:
Nhớ lại công thức tọa độ trung điểm của đoạn thẳng để tìm được tọa độ trung điểm

I
của đoạn thẳng AB?
Dựa vào điều kiện nào để tìm được véctơ pháp tuyến của đường thẳng
d
?
BT10. Cho hai điểm
( )
1; 2M − −
,
( )
3;4N −
. Viết phương trình đường thẳng là đường trung trực của
MN
.
Gợi ý:
Hãy nhớ lại khái niệm đường trung trực của một đoạn thẳng?
BT11. Viết pttq của đường thẳng
'd
đi qua
( )
2;1A −
và song song với đường thẳng
:3 2 5 0d x y+ − =
.
Hướng dẫn:
- 2 -
Chỉ dùng cho HS có ý thức tự học Hình học phẳng Oxy
:3 2 5 0d x y+ − =
.
'd

song song với
d

⇒
dạng phương trình của
':3 2 0d x y m+ + =
.
'd
đi qua
( )
2;1A −

⇒

( )
3. 2 2.1 0 4m m− + + = ⇔ =
.
Vậy phương trình đường thẳng
':3 2 4 0d x y+ + =
.
BT12. Viết phương trình của
'd
đi qua điểm
( )
2;1A −
và vuông góc với đường thẳng
:3 2 5 0d x y+ − =
.
Hướng dẫn:
:3 2 5 0d x y+ − =

.
'd
vuông góc với
d

⇒
dạng phương trình của
': 2 3 0d x y m− + + =
.
'd
đi qua
( )
2;1A −

⇒

( )
2. 2 3.1 0 7m m− − + + = ⇔ = −
.
Vậy phương trình đường thẳng
': 2 3 7 0d x y− + − =
.
Chú ý 4
Cho hai đường thẳng
, 'd d
có véctơ pháp tuyến lần lượt là
, 'n n
r ur
. Khi đó :
' . ' 0d d n n⊥ ⇔ =

r ur
.
BT13. Hai đường thẳng
: 2 3 1 0d x y+ − =
và
':3 2 5 0d x y− + =
có vuông góc với nhau hay không?
BT14. Tìm
m
để hai đường thẳng
: 2 0d mx y+ + =
và
': 0d x y m− + =
vuông góc với nhau.
Chú ý 5
• Cho đường thẳng
:d y kx b= +
. Khi đó đường thẳng
d
có hệ số góc là
k
.
• Cho hai đường thẳng
, 'd d
có hệ số góc lần lượt là
, 'k k
. Khi đó
' . ' 1d d k k⊥ ⇔ = −
.
BT15. Hai đường thẳng

:3 4 0d x y+ − =
và
1
': 1
3
d y x= −
có vuông góc với nhau hay không ?
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách từ điểm
( )
0 0
;M x y
và đường thẳng
: 0ax by c∆ + + =
là :
( )
0 0
2 2
. .
,
a x b y c
d M
a b
+ +
∆ =
+
Lưu ý: Muốn tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng thì đường thẳng đó phải có phương
trình ở dạng tổng quát.
BT17. Tính khoảng cách từ điểm
( )

1; 1A −
đến các đường thẳng sau:
1
:3 4 5 0x y∆ + + =
;
2
: 3 4 2 0x y∆ − + + =
;
3
: 6 8 3 0x y∆ + − =
.
Góc giữa hai đường thẳng
Cho đường thẳng
1
d
có véctơ pháp tuyến là
( )
1 1 1
;n a b=
ur

2
d
có véctơ pháp tuyến là
( )
2 2 2
;n a b=
uur
Gọi
ϕ

là góc giữa hai đường thẳng
1
d
và
2
d
. Khi đó ta có công thức
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
cos
.
a a b b
a b a b
ϕ
+
=
+ +
Lưu ý:
• Từ công thức trên ta có nhận xét: Để xác định được góc giữa hai đường thẳng thì chúng ta phải
biết được véctơ pháp tuyến của mỗi đường thẳng.
• Do vậy hai đường thẳng có thể phương trình chưa biết nhưng ta biết được véctơ pháp tuyến
của chúng thì hoàn toàn xác định được góc giữa hai đường thẳng đó.
- 3 -
Chỉ dùng cho HS có ý thức tự học Hình học phẳng Oxy
BT19. Tìm góc giữa các cặp đường thẳng sau:
a)
: 2 0d x y+ − =
và
': 2 3 5 0d x y+ − =

b)
: 2 0d x y+ − =
và
': 2 2 3 0d x y+ − =
.
BT20. Cho tam giác
ABC
, biết phương trình của đường thẳng
: 3 11 0AB x y− + =
, đường cao
:3 7 15 0AH x y+ − =
, đường cao
:3 5 13 0BH x y− + =
. Tìm tọa độ các đỉnh
,A B
và phương trình của hai
cạnh còn lại.
BT21. Cho tam giác
ABC
có
( )
2;3A −
và hai đường trung tuyến:
2 1 0x y− + =
và
4 0x y+ − =
. Hãy
viết phương trình tổng quát của ba đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác.
BT22. Cho các điểm
( ) ( ) ( )

1; 6 , 5;2 , 3; 4M N P− − −
là trung điểm các cạnh
, ,AB BC CA
của tam giác
ABC
.
a) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác
ABC
.
b) Lập phương trình các đường thẳng là trung trực các cạnh của tam giác
ABC
.
BT23. Viết phương trình của đường thẳng
d
đi qua điểm
( )
2;5A
và cách đều hai điểm
( ) ( )
1;2 , 5;4B C−
.
Gợi ý: Có hai trường hợp xảy ra
TH1.
d
đi qua
A
và trung điểm
I
của đoạn thẳng
BC

.
TH2.
d
đi qua
A
và song song với
BC
.
d
d
D
B
C
A
B
C
A
BT24. Tính bán kính của đường tròn có tâm là điểm
( )
1;5I
và tiếp xúc với đt
: 4 3 1 0d x y− + =
.
BT25. Cho đường thẳng
d
có phương trình là:
3 2 0x y− + + =
. Tìm điểm
M
thuộc đường thẳng

d
sao
cho:
6OM =
(
O
là gốc tọa độ).
BT26. Cho đường thẳng
d
có phương trình là:
3 2 0x y− + + =
và điểm
( )
2;1A −
. Tìm điểm
M
thuộc
đường thẳng
d
sao cho:
6AM
=
.
BT27. Cho đường thẳng
d
có phương trình là:
3 2 0x y− + + =
và điểm
( )
2;1A −

. Tìm điểm
M
thuộc
đường thẳng
d
sao cho khoảng cách giữa hai điểm
A
và
M
là ngắn nhất.
BT28. Cho hai điểm
( )
1;3A
và
( )
3; 1B −
. Tìm tập hợp các điểm
M
sao cho
M
cách đều hai điểm
A
và
B
.
- 4 -
Chỉ dùng cho HS có ý thức tự học Hình học phẳng Oxy
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
Đường tròn
( )

C
có tâm
( )
;I a b
và bán kính
R

⇒

( ) ( ) ( )
2 2
2
:C x a x b R− + − =
• Nếu
IM R>
thì qua M kẻ được hai tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn đã cho.
• Nếu
IM R=
thì qua M chỉ kẻ được một tiếp tuyến đến đường tròn.
• Nếu
IM R<
thì qua M không kẻ được tiếp tuyến nào tới đường tròn.
BT29. Tìm tọa độ tâm
I
và bán kính
R
của đường tròn
( ) ( ) ( )
2 2
: 2 1 9C x y− + + =

.
BT30. Tìm tọa độ tâm
I
và bán kính
R
của đường tròn
2 2
( ) : 4 6 1 0C x y x y+ + − − =
.
BT31. Lập phương trình đường tròn
( )C
có tâm
( )
1;2I −
và đi qua điểm
( )
2; 2M −
.
BT32. Lập phương trình đường tròn
( )C
có tâm
( )
1;2I −
và tiếp xúc đường thẳng
:3 4 1 0x y∆ − + =
.
BT33. Lập phương trình đường tròn
( )C
có đường kính
AB

, biết
( )
1; 1A −
và
( )
7;9B −
.
BT34. Lập phương trình đường tròn
( )C
đi qua ba điểm không thẳng hàng
( ) ( ) ( )
1;2 , 5;2 , 1;3A B C
.
Gợi ý BT34: gọi phương trình đường tròn
2 2
( ) : 2 2 0C x y ax by c+ − − + =
. (giải hệ tìm được
, ,a b c
)
Chú ý 6
• Nếu
d
có véctơ pháp tuyến là
( )
;n a b=
r
thì phương trình của
d
có dạng:
0ax by m+ + =

.
• Nếu
'd d
⊥
và
': 0d ax by c+ + =
thì phương trình của
d
có dạng:
0bx ay m− + + =
.
• Nếu
'd dP
và
': 0d ax by c+ + =
thì phương trình của
d
có dạng:
0ax by m+ + =
.
Ngoài ra phải có các kiến thức nền tảng vững chắc như: Trung điểm của đoạn thẳng, đường trung tuyến,
đường cao của tam giác, đường phân giác, đường trung trực, công thức tính khoảng cách giữa hai điểm,
- 5 -
Chỉ dùng cho HS có ý thức tự học Hình học phẳng Oxy
khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, điểm thuộc các trục tọa độ, các tính chất của tam giác đặc
biệt, tính chất của hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông, phải nắm được các quan hệ hình học…
BT35. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho tam giác
ABC

∆
có đỉnh
A
thuộc đường thẳng
: 4 2 0d x y− − =
, cạnh
BC
song song với
d
. Phương trình đường cao
: 3 0BH x y+ + =
, trung điểm của
cạnh
AC
là
( )
1;1M
. Tìm tọa độ các đỉnh
, ,A B C
.
Hướng dẫn 1:
d
M
H
B
C
A
Cạnh
AC
vuông góc

BH

⇒
dạng phương trình của cạnh
AC
Cạnh
AC
đi qua trung điểm
M

⇒
phương trình của cạnh
AC
Đỉnh
A
thuộc đường thẳng
d
và đường thẳng
AC

⇒
tìm được tọa độ đỉnh
A
M
là trung điểm của
AC

⇒
tìm tọa độ đỉnh
C

thông qua
A
và
M
BC
song song với
d

⇒
dạng phương trình cạnh
: 4 0BC x y m− + =
C
thuộc
BC

⇒
?
⇒

?m
=
⇒
phương trình cạnh
BC

⇒
tọa độ đỉnh
B
là giao điểm của
BC

với
BH
.
BT36. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho tam giác
ABC
cân tại
B
, với
( ) ( )
1; 1 , 3;5A C−
. Điểm
B

nằm trên đường thẳng
: 2 0d x y− =
. Viết phương trình các đường thẳng
,AB BC
.
Hướng dẫn 2:
Gọi I là trung điểm của AC
⇒
tọa độ điểm I (vì sao tìm được?)
- 6 -
Chỉ dùng cho HS có ý thức tự học Hình học phẳng Oxy
Phương trình đường thẳng
d'
qua I và vuông góc AC (viết được, vì sao?)
B là giao điểm của d và

d'
(vì sao ta có điều này? Hãy chú ý tới giả thiết tam giác
ABC
cân tại
B
)
⇒

phương trình các đường thẳng
,AB BC
.
BT37. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho tam giác
ABC
có đỉnh
( )
2;1A
, đường cao qua đỉnh B có
phương trình d
1
:
3 7 0x y− − =
và đường trung tuyến qua đỉnh
C
có phương trình d
2
:
1 0x y+ + =
. Xác

định tọa độ của
B
và
C
.
Hướng dẫn 3:
Cạnh AC vuông góc d
1
(vì sao?)
⇒
dạng phương trình của cạnh AC
Cạnh AC đi qua đỉnh A
⇒
phương trình của cạnh AC
C là giao điểm của AC với d
2
(vì sao?)
⇒
tọa độ đỉnh C
Gọi M là trung điểm cạnh AB
⇒
điểm M thuộc d
2
(vì sao?)
⇒
dạng tọa độ của điểm
( )
; 1M m m− −
⇒
Tọa độ

( )
2 2; 2 4B m m− − −
(vì sao? Phải chú ý tới M là trung điểm của AB)
B thuộc đường thẳng d
1

⇒
tọa độ đỉnh B thỏa mãn phương trình đường thẳng d
1

⇒

m
= ?
⇒
tọa độ B.
BT38. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho tam giác
ABC
cân tại đỉnh
A
có trọng tâm
4 1
;
3 3
G
 
 ÷
 

,
phương trình đường thẳng
: 2 4 0BC x y− − =
và phương trình đường thẳng BG:
7 4 8 0x y− − =
. Tìm tọa độ
các đỉnh A, B, C.
Hướng dẫn 4:
- 7 -
Chỉ dùng cho HS có ý thức tự học Hình học phẳng Oxy
•
B BC BG= ∩

⇒
tọa độ đỉnh
B
• Tam giác
ABC
cân tại đỉnh
A
⇒
AG
vuông góc BC
⇒
dạng phương trình
đường thẳng AG
• Đường thẳng AG đi qua G
⇒
phương
trình đường thẳng AG

• M là trung điểm BC
⇒
tọa độ M là giao
của AG với BC
• M là trung điểm BC
⇒
tìm tọa độ đỉnh C
thông qua tọa độ B và M
•
⇒
tọa độ A (phải chú ý tới tính chất của
tọa độ trọng tâm tam giác 3G = A+B+C)
BT39. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho tam giác
ABC
có trọng tâm
( )
2;0G −
, biết phương trình
các cạnh AB, AC theo thứ tự là
4 14 0, 2 5 2 0x y x y+ + = + − =
. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
Hướng dẫn 5:
A
G
B
C
M
A AB AC= ∩

⇒
tọa độ đỉnh
A
M là trung điểm của cạnh BC
⇒
tìm tọa độ trung điểm M thông qua tọa độ A và G ( với 3G = A + 2M)
B thuộc AB
⇒
tọa độ điểm là :
( )
; 4 14B b b− −
.
C thuộc đường thẳng AC
⇒

2 2
;
5
c
C c
−
 
 ÷
 
M là trung điểm của cạnh BC
⇒
hệ thức liên hệ giữa
,b c
(nhớ tới biểu thức tọa độ trung điểm của đoạn

thẳng)
⇒
giải hệ, tìm được
,b c
⇒
tọa độ các đỉnh B, C.
BT40. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, tìm điểm A thuộc trục hoành và điểm B thuộc trục tung sao
cho A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng
: 2 3 0d x y− + =
.
Hướng dẫn 6:
A thuộc trục hoành
⇒

( )
;0A a
B thuộc trục tung
⇒

( )
0;B b
A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng
d
⇒
AB vuông góc với
d
(tích vô hướng
. 0

d
AB u =
uuur uur
) và
trung điểm
;
2 2
a b
I
 
 ÷
 
thuộc đường thẳng
d

⇒
hệ phương trình 2 ẩn
,a b
?
- 8 -
Chỉ dùng cho HS có ý thức tự học Hình học phẳng Oxy
BT41. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình
chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm
( )
1; 1H − −
, đường phân giác trong của góc A có
phương trình
: 2 0d x y− + =

và đường cao kẻ từ B có phương trình
': 4 3 1 0d x y+ − =
.
Hướng dẫn 7
Viết phương trình đường thẳng
1
d
đi qua điểm H và vuông góc đường thẳng d.
Gọi I là giao điểm của d và d
1

⇒
tọa độ điểm I
Gọi M là điểm sao cho I là trung điểm của MH
⇒
tọa độ điểm M
M thuộc cạnh AC (vì sao? Chú ý tới các tính chất của đường phân giác)
Cạnh AC vuông góc với d’
⇒
dạng phương trình cạnh AC
Cạnh AC đi qua điểm M
⇒
phương trình cạnh AC
Tọa độ điểm
A AC d= ∩
Cạnh AB đi qua 2 điểm A và H
⇒
phương trình cạnh AB
Tọa độ đỉnh
'B AB d

= ∩
Đường thẳng CH vuông góc với AB
⇒
dạng phương trình của CH
Đường thẳng CH đi qua H
⇒
phương trình CH
Tọa độ đỉnh
C AC CH= ∩
.
BT42. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho các đường thẳng
1 2 3
: 3 0, : 4 0, : 2 0d x y d x y d x y+ + = − − = − =
. Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng
3
d
sao cho
khoảng cách từ M đến đường thẳng
1
d
bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng
2
d
.
Hướng dẫn 8:
- 9 -
Chỉ dùng cho HS có ý thức tự học Hình học phẳng Oxy
M thuộc d

3

⇒

;
2
a
M a
 
 ÷
 
Khoảng cách từ M đến đường thẳng
1
d
bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng
2
d
⇒
?
⇒
?
BT43. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, xét tam giác ABC vuông tại A, phương trình đường thẳng BC
là
3 3 0x y− − =
, các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ
trọng tâm G của tam giác ABC.
Hướng dẫn 9:
B

thuộc trục hoành, đường thẳng
BC
là
3 3 0x y− − =

⇒
tọa độ của B
A
thuộc trục hoành
⇒

( )
;0A a
Tam giác
ABC∆
vuông tại
A
⇒

C
thuộc đường thẳng đi qua
A
và vuông góc với trục hoành tại
A
là
đường thẳng
x a=

⇒
hoành độ điểm

C
bằng bao nhiêu ?
C
thuộc đường thẳng
BC

⇒

( )
; 3 3C a a −
Tâm đường tròn nội tiếp
( )
;2I n
hoặc
( )
; 2I n −
, vì sao?
I
là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
ABC
∆

⇒

( ) ( )
,0 ,I x I BC
d d=
=
( )
,I AC

d
⇒

,n a

⇒
tọa độ
, ,A B C

⇒
G
BT44. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho hình chữ nhật ABCD có tâm
1
;0
2
I
 
 ÷
 
, phương trình
đường thẳng AB là
2 2 0x y− + =
và AB = 2AD. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng đỉnh A có
hoành độ âm.
Hướng dẫn 10:
- 10 -
Chỉ dùng cho HS có ý thức tự học Hình học phẳng Oxy
I

k
D
B
C
A
Đường thẳng d vuông góc AB
⇒
dạng phương trình của d
Đường thẳng d đi qua I
⇒
phương trình của d
K là giao của d với AB
⇒
tọa độ điểm K
⇒
độ dài đoạn IK
Đỉnh
1
; 1
2
A a a
 
+
 ÷
 
và AK = 2IK, chú ý tới đỉnh A có hoành độ âm
⇒

?a
=

K là trung điểm AB
⇒
tọa độ B
I là trung điểm BD
⇒
tọa độ D
⇒
tọa độ C
BT45. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho tam giác
ABC
vuông cân tại
A
. Biết
( )
1; 1M −
là trung
điểm cạnh BC và
2
;0
3
G
 
 ÷
 
là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
Hướng dẫn 11:
Tam giác ABC là tam giác gì?

Cạnh BC vuông góc với GM (vì sao?)
Hãy tìm tọa độ đỉnh A thông qua M,G (chú ý do tính chất trọng tâm nên:
2AG GM=
uuur uuuur
)
Tính độ dài đoạn AM
Phương trình cạnh BC đi qua M và có véctơ pháp tuyến
GM
uuuur
Điểm B thuộc đường thẳng BC
⇒
dạng tọa độ đỉnh B
AM = BM
⇒
tọa độ B
⇒
tọa độ C
BT46. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho hai đường thẳng
1
: 0d x y− =
và
2
:2 1 0d x y+ − =
. Tìm
tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc
1
d
, đỉnh C thuộc

2
d
và các đỉnh B, D thuộc trục
hoành.
Hướng dẫn 12:
- 11 -
Chỉ dùng cho HS có ý thức tự học Hình học phẳng Oxy
Do đường chéo BD thuộc trục hoành
⇒
đường chéo AC là đường thẳng song song với trục tung
⇒
A, C
nằm trên đường thẳng
x a=
Tọa độ đỉnh
( )
;A a a
, tâm của hình vuông là
( )
;0I a
, tọa độ đỉnh
( )
;1 2C a a−
và
2
C d∈

⇒

1 2 0a a

+ − =
⇒

1a
=
.
⇒
tọa độ I, A, C
⇒
tọa độ B, D
BT47. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho tam giác
ABC
có đỉnh
( )
2;2A
.
Viết phương trình các cạnh của tam giác, biết rằng các đường cao kẻ từ B và C có phương trình lần lượt là
d
1
:
9 3 4 0x y− − =
và d
2
:
2 0x y+ − =
.
Hướng dẫn 13:
Viết phương trình cạnh AC qua A và vuông góc

1
d
.
Viết phương trình cạnh AB qua A và vuông góc
2
d
.
1
B AB d= ∩
.
2
C AC d= ∩
.
- 12 -
Chỉ dùng cho HS có ý thức tự học Hình học phẳng Oxy
Viết phương trình cạnh BC.
BT48. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho tam giác
ABC
với một cạnh có trung điểm là
( )
1;1M −
,
hai cạnh còn lại có phương trình là AB:
2 0x y+ − =
và AC:
2 6 3 0x y+ + =
. Tìm tọa độ các đỉnh
, ,A B C

.
Hướng dẫn 14:
Khẳng định điểm
M
không thuộc hai đường thẳng trên.
M
là trung điểm cạnh
BC
Tọa độ đỉnh
A
là giao điểm của
AB
và
AC
Đỉnh
B
thuộc đường thẳng
AB

⇒

( )
;2B b b−
Đỉnh
C
thuộc đường thẳng
AC

⇒

1 1
;
3 2
C c c
 
− −
 ÷
 
M
là trung điểm
BC

⇒
hệ thức giữa hai ẩn
,b c

⇒

, ?b c =

⇒
tọa độ
, B C
.
BT49. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho hai đường thẳng
1 2
: 2 5 3 0, : 3 7 0d x y d x y− + = − − =
.

Viết phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của
1 2
,d d
và:
a) Vuông góc với đường thẳng
1
:4 1 0x y∆ + − =
;
b) Song song với đường thẳng
2
:3 4 1 0x y∆ + − =
.
Hướng dẫn 15:
Tìm tọa độ giao điểm I của 2 đường thẳng d
1
, d
2
.
a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm I vuông góc với đường thẳng
1
:4 1 0x y∆ + − =
.
b) Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua giao điểm I và song song với đường thẳng
2
:3 4 1 0x y∆ + − =
.
BT50. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm
( )
6;2I
. Điểm

( )
1;5M

thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng
: – 5 0d x y+ =
. Viết
phương trình đường thẳng AB.
(A - 2009 theo chương trình chuẩn)
Hướng dẫn:
- 13 -
Chỉ dùng cho HS có ý thức tự học Hình học phẳng Oxy
( )
;5E e e−
Lấy
N
sao cho
I
là trung điểm của
MN

⇒
tìm được tọa độ điểm
N
Điểm
N
thuộc cạnh
CD
(vì sao?)
IE
vuông góc

EN

⇒
?
⇒

?e =
Phương trình cạnh
AB
là đường thẳng đi qua điểm
M
và vuông góc với
IE
.
Kết quả :
: 4 19 0AB x y− + =
.
BT51. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có
( )
2;0M
là trung điểm của cạnh AB.
Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình
1
: 7 – 2 – 3 0d x y =
và
2
: 6 – – 4 0d x y =
. Viết phương trình đường thẳng AC.
(D – 2009 theo chương trình chuẩn)
Hướng dẫn:

• A = d
1

∩
d
2
(vì sao?)
⇒
tọa độ đỉnh A
• M là trung điểm của cạnh AB
⇒
tìm được
tọa độ đỉnh B thông qua tọa độ A, M.
• Cạnh BC đi qua B và vuông góc đường cao
d
2

⇒
phương trình cạnh BC
• I là giao điểm của cạnh BC với d
1

⇒
I sẽ là
trung điểm của cạnh BC
⇒
tọa độ điểm I
• Tính được tọa độ đỉnh C thông qua tọa độ B
và I
• Cạnh AC đi qua 2 điểm A, C đã biết tọa độ

⇒
phương trình cạnh AC.
KQ:
:3 – 4 5 0AC x y + =
.
BT52. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho đường thẳng
: 1 2 0d x y− + − =
và điểm
( )
1;1A −
. Viết
phương trình đường tròn
( )
C
đi qua điểm A, gốc tọa độ O và tiếp xúc với đường thẳng d.
Hướng dẫn 2.1:
Đường tròn
( )
C
có phương trình dạng :
( ) ( )
2 2
2
x a y b R− + − =
.
- 14 -
II. Phương trình đường tròn và các bài toán liên quan
Chỉ dùng cho HS có ý thức tự học Hình học phẳng Oxy

Đường tròn
( )
C
đi qua điểm A
⇒
tọa độ điểm A phải thỏa mãn phương trình đường tròn
⇒
?
Đường tròn
( )
C
đi qua gốc tọa độ O
⇒
?
Đường tròn
( )
C
tiếp xúc với đường thẳng d
⇒

Ta đi giải hệ 3 ẩn
, ,a b R
.
BT53. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho đường tròn
( )
2 2
: 12 4 36 0C x y x y+ − − + =
. Viết phương

trình đường tròn
( )
'C
tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy đồng thời tiếp xúc ngoài với đường tròn
( )
C
.
Hướng dẫn 2.2:
Hãy cho biết tọa độ tâm của đường tròn tiếp xúc với 2 trục tọa độ ?
Tâm I’ có dạng I’(a;a) hoặc I’(a;-a)
Hãy tìm tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn
( )
C
Đường tròn
( )
'C
tiếp xúc ngoài với đường tròn
( )
C
⇒
I I’ = R + R’
BT54. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho đường tròn
( )
2 2
: 8 6 21 0C x y x y+ − + + =
và đường
thẳng
: 1 0d x y+ − =

. Xác định tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD ngoại tiếp
( )
C
, biết
A d
∈
.
Hướng dẫn 2.3:
• Hãy tìm tọa độ tâm
I
và bán kính
R
của đường tròn
( )C
• Tâm I của đường tròn
( )
C
thuộc đường thẳng d (vì sao?)
• Khi đó hình vuông ABCD ngoại tiếp đường tròn thì
đường chéo AC là d và đường chéo BD là đường thẳng đi
qua I và vuông góc với d (vì sao ?)
•
???A d∈ ⇒
• Đường tròn có R = 2
⇒
IA =
2 2

⇒
tọa độ điểm A

(nhớ đến điều kiện là điểm A thuộc đường thẳng d)
⇒
tọa
độ các đỉnh còn lại.
BT55. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho tam giác ABC có
( ) ( ) ( )
0;2 , 2; 2 , 4; 2A B C− − −
. Gọi H là
chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Viết phương trình đường
tròn đi qua các điểm H, M, N.
Hướng dẫn 2.4:
Tọa độ các trung điểm M, N dễ dàng tìm được
Phương trình đường cao BH đi qua điểm B và vuông góc AC
H = BH
∩
AC
⇒
tọa độ điểm H
Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm H, M, N (tương tự bài tập sách giáo khoa HH10 cơ bản)
BT56. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn
( )
2 2
: 4 4 6 0C x y x y+ + + + =
và đường thẳng
: – 2 3 0d x my m+ + =
, với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C ). Tìm m để đường thẳng d
cắt đường tròn (C ) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất.
(A - 2009 theo chương trình nâng cao)

Hướng dẫn 2.5:
- 15 -
Chỉ dùng cho HS có ý thức tự học Hình học phẳng Oxy
Phải có điều kiện cho tham số
m
để đường thẳng
d
cắt đường tròn
( )C
tại hai điểm phân biệt
⇒
?
Tam giác IAB có 2 cạnh IA = IB = R =
2

⇒
S
ABC
=
·
1
. . .sin AIB
2
IA IB
Diện tích lớn nhất khi:
·
sin 1AIB =

⇒

·
0
90AIB =

⇒
tam giác AIB vuông tại I
A, B thuộc d
⇒

( )
2 3 ;A m ma a− −
và
( )
2 3 ;B m mb b− −
, cần kết hợp với
,A B
thuộc đường tròn và tam
giác
AIB∆
vuông tại
I
để từ đó tìm được ba ẩn
, ,a b m
.
Kết quả :
0m
=
hoặc
8
15

m =
.
BT57. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn
( ) ( )
2
2
: – 1 1C x y+ =
. Gọi I là tâm của (C
). Xác định tọa độ điểm M thuộc (C ) sao cho góc
·
0
IMO 30=
(O là gốc tọa độ)
(D - 2009 theo chương trình nâng cao)
Hướng dẫn:
Từ giả thiết:
·
0
30IMO =

⇒

( )
0
, 30MI MO =
uuur uuuur

⇒

( )

3
cos ,
2
MI MO =
uuur uuuur
.
Gọi điểm
( )
;M a b
M
thuộc đường tròn (C )
⇒

( )
2
2
1 1a b− + =
(1)
Tâm
( )
1;0I
, gốc tọa độ
( )
0;0O
và
( )
1;MI a b= −
uuur
,
( )

;MO a b=
uuuur
( )
3
cos ,
2
MI MO =
uuur uuuur

⇔

( )
( )
2
2 2 2
1 . .
3
2
1 .
a a b b
a b a b
− +
=
− + +
(2)
Từ (1), (2) ta tìm được
,a b

⇒
tọa độ điểm

M
cần tìm.
Kết quả : M
3 3
;
2 2
 
±
 ÷
 ÷
 
.
BT58. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn
( )
2
2
4
( ) : 2
5
C x y− + =
và hai đường thẳng
1 2
: 0, : 7 0.x y x y∆ − = ∆ − =
Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính của đường tròn
1
( )C
biết đường tròn
1
( )C
tiếp xúc với các đường thẳng

1 2
,∆ ∆
và tâm K thuộc đường tròn (C ).
(B - 2009 theo chương trình chuẩn)
Hướng dẫn:
( ) ( )
2 2
2
1
( ) :C x a y b R− + − =
Hãy khai thác ba điều kiện sau:
Tâm K thuộc đường tròn (C )
⇒
?
Đường tròn
1
( )C
tiếp xúc với đường thẳng
1
∆

⇒
?
Đường tròn
1
( )C
tiếp xúc với đường thẳng
2
∆

⇒
?
Từ đó đưa ra được một hệ phương trình gồm ba ẩn
, ,a b R

⇒
đường tròn cần tìm (hỏi gì phải trả lời cái
đó?)
Kết quả:
8 4 2 2
; ,
5 5 5
K R
 
=
 ÷
 
BT59. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh
( )
1;4A −
và các đỉnh B,
C thuộc đường thẳng
: – – 4 0x y∆ =
. Xác định toạ độ các điểm B, C, biết diện tích tam giác ABC bằng
- 16 -
Chỉ dùng cho HS có ý thức tự học Hình học phẳng Oxy
18.
(B - 2009 theo chương trình nâng cao)
Hướng dẫn:
Gọi

I
là trung điểm cạnh
BC

⇒
tọa độ
I
tìm được
7 1
;
2 2
I
−
 
 ÷
 
.
1
.
2
a
S BC h=

⇒

2
a
S
BC
h

=
=
4 2
(chú ý: h
a
chính là khoảng cách từ đỉnh
A
đến đường thẳng
BC
)
( )
; 4B b b −
,
( )
7 ;3C b b− −
(vì sao?)
4 2BC =

⇒

?b
=

⇒
tọa độ đỉnh
,B C
.
Kết quả:
11 3 3 5
; , ;

2 2 2 2
B C
   
−
 ÷  ÷
   
hoặc
11 3 3 5
; , ;
2 2 2 2
C B
   
−
 ÷  ÷
   
A - 2010
Theo chương trình Chuẩn
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng
1
: 3 0d x y+ =
và
2
: 3 0d x y− =
. Gọi (T) là đường
tròn tiếp xúc với
1
d
tại A, cắt
2
d

tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình
của (T), biết tam giác ABC có diện tích bằng 32 và điểm A có hoành độ dương.
KQ: Đường tròn
2
2
1 3
( ) : 1
2
2 3
T x y
 
 
+ + + =
 ÷
 ÷
 
 
.
Theo chương trình Nâng cao
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6); đường thẳng đi qua trung điểm
của các cạnh AB và AC có phương trình
4 0x y+ − =
. Tìm toạ độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1; −3)
nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho.
KQ:
(0; 4)
( 4;0)
B
C
−



−

hoặc
( 6;2)
(2; 6)
B
C
−


−

.
B - 2010
Theo chương trình Chuẩn
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C(− 4; 1), phân giác trong góc A có
phương trình
5 0x y+ − =
. Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và
đỉnh A có hoành độ dương.
KQ:
(4;1)A
,
(4;7)B
và
:3 4 16 0BC x y− + =
.
D - 2010

Theo chương trình Chuẩn
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3; −7), trực tâm là H(3; −1), tâm đường tròn
ngoại tiếp là I(−2; 0). Xác định tọa độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương.
KQ:
( )
2 65;3C − +
.
Theo chương trình Nâng cao
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0; 2) và Δ là đường thẳng đi qua O. Gọi H là hình chiếu vuông
góc của A trên Δ. Viết phương trình đường thẳng Δ, biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH.
KQ:
( )
: 5 1 2 5 2. 0x y∆ − − − =
hoặc
( )
: 5 1 2 5 2. 0x y∆ − + − =
.
A – 2011
Chuẩn:
- 17 -
Chỉ dùng cho HS có ý thức tự học Hình học phẳng Oxy
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng
: 2 0x y∆ + + =
và đường tròn
( )
2 2
: 4 2 0C x y x y+ − − =
.
Gọi I là tâm của
( )

C
, M là điểm thuộc
∆
. Qua M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến
( )
C
(A, B là các tiếp
điểm). Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10.
KQ:
( )
2; 4M −
và
( )
3;1M −
D – 2011
Chuẩn:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh
( )
4;1B −
, trọng tâm
( )
1;1G
và đường thẳng chứa
phân giác trong của góc A có phương trình
1 0x y− − =
. Tìm tọa độ các đỉnh A và C.
KQ:
( )
4;3A
và

( )
3; 1C −
Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua phân giác trong của góc A
⇒
B’ thuộc cạnh AC
( )
1; 2H − −
Tìm được tọa độ điểm
( )
' 2; 5B −
Gọi M là trung điểm của AC
Ta có
7
2 ;1
2
BG GM M
 
= ⇒ ⇒
 ÷
 
uuur uuuur
Đường thẳng AC chính là đường thẳng đi qua hai điểm B’ và M
⇒

: 4 13 0AC x y− − =
A là giao của AC và phân giác
⇒

( )
4;3A

M là trung điểm AC
⇒

( )
3; 1C −
Nâng cao:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm
( )
1;0A
và đường tròn
( )
2 2
: 2 4 5 0C x y x y+ − + − =
. Viết phương
trình đường thẳng
∆
cắt
( )
C
tại hai điểm M và N sao cho tam giác
AMN
vuông cân tại A.
KQ:
: 1y∆ =
hoặc
: 3y∆ = −
A – 2012
Chuẩn:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, N là trung điểm
của cạnh CD sao cho CN = 2ND. Giả sử

11 1
;
2 2
M
 
 ÷
 
và đường thẳng AN có phương trình
2 3 0x y− − =
.
Tìm tọa điểm A.
KQ:
( )
1; 1A −
hoặc
( )
4;5A
B – 2012
- 18 -
Chỉ dùng cho HS có ý thức tự học Hình học phẳng Oxy
Chuẩn:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các đường tròn
( )
2 2
1
: 4C x y+ =
,
( )
2 2
2

: 12 18 0C x y x+ − + =
và đường
thẳng
: 4 0d x y− − =
. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc
( )
2
C
, tiếp xúc với d và cắt
( )
1
C
tai hai
điểm A và B sao cho AB vuông góc với d.
KQ:
( ) ( ) ( )
2 2
: 3 3 8C x y− + − =
D – 2012
Chuẩn:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD. Các đường thẳng AC và AD lần lượt có phương
trình là
3 0x y+ =
và
4 0x y− + =
; đường thẳng BD đi qua điểm
1
;1
3
M

 
−
 ÷
 
. Tìm tọa độ các đỉnh của
hình chữ nhật ABCD.
KQ:
( )
3;1A −
,
( )
1; 3B −
,
( )
3; 1C −
,
( )
1;3D −
Nâng cao:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng
: 2 3 0d x y− + =
. Viết phương trình đường tròn có tâm
thuộc d, cắt trục Ox tại A và B, cắt trục Oy tại C và D sao cho AB = CD = 2.
KQ:
( ) ( ) ( )
2 2
: 1 1 2C x y+ + − =
hoặc
( ) ( ) ( )
2 2

: 3 3 10C x y+ + + =
Cao đẳng – 2009
Chuẩn:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có
( )
1; 2C − −
, đường trung tuyến kẻ từ A và đường cao
kẻ từ B lần lượt có phương trình là
5 9 0x y+ − =
và
3 5 0x y+ − =
. Tìm tọa độ các đỉnh A và B.
KQ:
( )
1;4A
và
( )
5;0B
Nâng cao:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các đường thẳng
1
: 2 3 0x y∆ − − =
và
2
: 1 0x y∆ + + =
. Tìm tọa độ
điểm M thuộc đường thẳng
1
∆
sao cho khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng

2
∆
bằng
1
2
.
KQ:
( )
1; 1M −
hoặc
1 5
;
3 3
M
 
− −
 ÷
 
Cao đẳng – 2010 (không ra hình học phẳng Oxy)
Cao đẳng – 2011
Chuẩn:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng
: 3 0d x y+ + =
. Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua
điểm
( )
2; 4A −
và tạo với đường thẳng

d
một góc bằng
0
45
.
KQ:
: 4 0y∆ + =
hoặc
: 2 0x
∆ − =
Nâng cao:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình các cạnh là
: 3 7 0, : 4 5 7 0, :3 2 7 0AB x y BC x y CA x y+ − = + − = + − =
. Viết phương trình đường cao kẻ từ đỉnh A của
tam giác ABC.
KQ:
:5 4 3 0AH x y− + =
Cao đẳng – 2012
Chuẩn
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn
( )
2 2
: 2 4 1 0C x y x y+ − − + =
và đường thẳng
: 4 3 0d x y m− + =
.
Tìm
m
để
d

cắt
( )
C
tại hai điểm A, B sao cho
·
0
AIB 120=
, với I là tâm của (C).
- 19 -
Chỉ dùng cho HS có ý thức tự học Hình học phẳng Oxy
KQ:
7m =
hoặc
3m = −
Nâng cao
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC. Các đường thẳng BC, BB’, B’C’ lần lượt có
phương trình là y – 2 = 0, x – y + 2 = 0, x – 3y + 2 = 0; với B’, C’ tương ứng là chân các đường cao kẻ từ
B, C của tam giác ABC. Viết phương trình các đường thẳng AB, AC.
KQ:
: 2 2 0AB x y− + =
và
: 2 0AC x y+ + =
BÀI TẬP TỔNG HỢP HÌNH HỌC PHẲNG
BT1. Cho đường thẳng d không cắt đường tròn (C) tâm I và bán kính R. (chỉ yêu cầu nêu cách giải)
a) Tìm điểm
( )
M C∈
sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d là nhỏ nhất
- 20 -
Chỉ dùng cho HS có ý thức tự học Hình học phẳng Oxy

b) Tìm điểm
( )
N C∈
sao cho khoảng cách từ N đến đường thẳng d là lớn nhất
c) Tìm điểm
E d
∈
sao cho khoảng cách EI là nhỏ nhất.
d) Viết phương trình đường thẳng
∆
sao cho
∆
vuông góc với d và
∆
cắt (C) tại hai điểm A, B sao
cho AB lớn nhất.
e) Viết phương trình đường thẳng
∆
sao cho
∆
song song với d và
∆
cắt (C) tại hai điểm A, B sao
cho AB lớn nhất.
f) Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm I lên đường thẳng d. Tọa độ điểm H?
g) Gọi M là điểm thuộc d. Hai tiếp tuyến qua M tiếp xúc với (C) tại hai điểm A, B. Tìm tọa độ của M
để tứ giác MAIB là hình vuông.
h) Gọi M là điểm thuộc d. Hai tiếp tuyến qua M tiếp xúc với (C) tại hai điểm A, B. Tìm tọa độ của M
để tam giác ABM là tam giác đều.
i) Gọi M là điểm thuộc d. Hai tiếp tuyến qua M tiếp xúc với (C) tại hai điểm A, B. Tìm tọa độ của M

để tứ giác MAIB có diện tích bằng …
j) Gọi M là điểm thuộc d. Hai tiếp tuyến qua M tiếp xúc với (C) tại hai điểm A, B. Tìm tọa độ của M
để tứ giác MAIB có chu vi bằng …
BT2. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho đường thẳng
: 2 0x y∆ + + =
và đường tròn
( )
2 2
C : 4 2 0x y x y+ − − =
. Gọi
I
là tâm của
( )
C
, M là điểm thuộc
∆
. Qua M kẻ các tiếp tuyến MA và
MB đến
( )
C
(A và B là các tiếp điểm).
a) Tìm tọa độ của điểm M để tứ giác MAIB có diện tích bằng 10.
b) Tìm tọa độ của điểm M để tam giác MAB là tam giác đều.
c) Tìm tọa độ của điểm M để tam giác MAB là tam giác vuông.
d) Tìm tọa độ của điểm M để tứ giác MAIB có chu vi bằng
6 5
.
e) Tìm tọa độ của điểm M để tam giác IAB là tam giác đều.

f) Tìm tọa độ của điểm M để tam giác IAB là tam giác vuông.
g) Tìm tọa độ của điểm M để tam giác IAB có diện tích lớn nhất.
BT3. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho đường tròn
( )
2 2
C : 2 6 6 0x y x y+ − − + =
và điểm
( )
M 3;1−
. Qua
M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến
( )
C
(A và B là các tiếp điểm). Viết phương trình đường thẳng AB.
BT4. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho đường tròn
( )
2 2
C : 2 6 6 0x y x y+ − − + =
có tâm là I và điểm
( )
M 3;1−
. Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với IM và cắt đường tròn tại hai điểm A, B sao cho
AB 2 3=
.
? Nêu PP viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm không thẳng hàng (đường tròn ngoại tiếp tam giác)
BT5. Trong mặt phẳng

Oxy
, cho đường hai đường thẳng
1
: 2 0d x y+ − =
và
2
: 8 0d x y+ − =
, điểm
( )
M 2;2
. Tìm tọa độ điểm
1
A d∈
và
2
B d∈
sao cho tam giác
MAB
vuông cân tại M.
- 21 -
Chỉ dùng cho HS có ý thức tự học Hình học phẳng Oxy
BT6. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho tam giác ABC biết hình chiếu vuông góc của điểm C trên đường
thẳng AB là điểm
( )
H 1; 1− −
, đường phân giác trong của góc A có phương trình
2 0x y− + =
và đường

cao kẻ từ B có phương trình
4 3 1 0x y+ − =
. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác A, B, C.
BT7. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho đường tròn
( )
2 2
C : 4 4 6 0x y x y+ + + + =
có tâm là I và đường
thẳng
: 2 3 0x my m∆ + − + =
. Tìm
m
để đường thẳng
∆
cắt
( )
C
tại hai điểm A và B sao cho diện tích
tam giác IAB lớn nhất.
BT8. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho hình chữ nhật ABCD có điểm
( )
I 6;2
là giao điểm của hai đường
chéo AC và BD. Điểm
( )
M 1;5

thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng
: 5 0x y∆ + − =
. Viết phương trình đường thẳng AB.
BT9. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho đường tròn
( )
2 2
16
C : 4 0
5
x y x+ − + =
và hai đường thẳng
1
: 0x y∆ − =
,
2
: 7 0x y∆ − =
. Đường tròn
( )
1
C
tiếp xúc với hai đường thẳng
1 2
,∆ ∆
và có tâm thuộc
đường tròn
( )
C
. Viết phương trình đường tròn

( )
1
C
.
BT10. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho tam giác ABC cân tại A biết
( )
A 1;4−
và hai đỉnh còn lại thuộc
đường thẳng
: 4 0x y∆ − − =
, diện tích tam giác ABC bằng 18. Tìm độ các đỉnh B và C.
BT11. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho tam giác ABC có
( )
M 2;0
là trung điểm của cạnh AB. Đường
trung tuyến qua đỉnh A có phương trình
7 2 3 0x y− − =
và đường cao qua đỉnh A có phương trình là
6 4 0x y− − =
. Viết phương trình đường thẳng AC.
BT12. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho đường tròn
( )
2 2
C : 2 0x y x+ − =

có tâm là I. Tìm tọa độ điểm
M thuộc
( )
C
sao cho
·
0
IMO 30=
(O là gốc tọa độ)
BT13. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho tam giác ABC vuông tại A, đường thẳng BC có phương trình là
3. 3 0x y− − =
, đỉnh A và B thuộc trục hoành, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 2. Tìm
tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
BT14. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho hình chữ nhật ABCD có điểm
1
I ;0
2
 
 ÷
 
là giao điểm của hai
đường chéo AC và BD, phương trình đường thẳng
AB: 2 2 0x y− + =
và
AB 2AD=
. Tìm tọa độ các đỉnh

của hình chữ nhật biết rằng đỉnh A có hoành độ âm.
BT15. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho hai điểm
( )
A 2;0
và
( )
B 6;4
. Viết phương trình đường tròn
( )
C
tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của
( )
C
đến điểm B bằng 5.
BT16. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho hai đường thẳng
1
: 0d x y− =
và
2
: 2 1 0d x y+ − =
. Tìm tọa độ
các đỉnh của hình vuông ABCD biết đỉnh A thuộc
1
d
, đỉnh C thuộc
2

d
và các đỉnh B, D thuộc trục hoành.
BT17. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng (d
1
):
7 17 0x y− + =
, (d
2
):
5 0x y+ − =
.
- 22 -
Chỉ dùng cho HS có ý thức tự học Hình học phẳng Oxy
Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) tạo với (d
1
), (d
2
) một tam giác cân tại giao điểm của
(d
1
), (d
2
).
BT18. Giải hệ phương trình
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
2 2 6 0
2 2 6

a b a b
a a b b
− − + + =



− + = − + +


BT19. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho đường tròn
( )
2 2
C : 2 4 4 0x y x y+ − + − =
và
:3 4 0d x y m− + =
.
Tìm
m
để trên
d
có duy nhất điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới
( )
C
(A, B là các
tiếp điểm) sao cho tam giác ABC đều.
BT20. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho tam giác ABC có trọng tâm

4
G ;1
3
 
 ÷
 
và
( )
M 1;1
là trung điểm
của cạnh BC, đường cao
BH : 7 0x y+ − =
. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
BT21. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho tam giác ABC có đường cao
AH : 6 0x y+ − =
và G là trọng
tâm của tam giác biết rằng
: 2 1 0BG x y− + =
và
: 1 0CG x
− =
. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
BT22. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho đường tròn
( )
2 2
C : 2 4 2 0x y x y+ − + + =

. Đường tròn
( )
C'
có
tâm
( )
I' 5;1
cắt đường tròn
( )
C
tại hai điểm M, N sao cho
MN 5=
. Viết phương trình đường tròn
( )
C'
.
BT23. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho tam giác ABC vuông cân tại A, biết rằng các đỉnh B và C thuộc
đường thẳng
: 7 31 0d x y+ − =
, điểm
5
N 1;
2
 
 ÷
 
thuộc đường thẳng AC, điểm
( )

M 2; 3−
thuộc đường
thẳng AB. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
BT24. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, gọi A, B là các giao điểm của đường thẳng (d) : 2x – y – 5 = 0
và đường tròn
( )
2 2
' : 20 50 0C x y x+ − + =
. Hãy viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm A, B,
C(1; 1).
BT25. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng
3
2
, A(2; –3), B(3; –2),
trọng tâm của ∆ABC nằm trên đường thẳng (d): 3x – y –8 = 0. Viết phương trình đường tròn đi qua 3
điểm A, B, C.
BT26. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn đi qua
(2; 1)A −
và tiếp xúc với
các trục toạ độ.
BT27. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng
3
2
, A(2;–3), B(3;–2).
Tìm toạ độ điểm C, biết điểm C nằm trên đường thẳng (d): 3x – y – 4 = 0.
BT28. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(−2, 0) và phương trình các
cạnh AB, AC theo thứ tự là: 4x + y + 14 = 0;
2 5 2 0x y+ − =
. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
BT29. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(

1
2
; 0) . Đường thẳng
chứa cạnh AB có phương trình x – 2y + 2 = 0, AB = 2AD. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, D, biết đỉnh A
- 23 -
Chỉ dùng cho HS có ý thức tự học Hình học phẳng Oxy
có hoành độ âm .
BT30. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD biết M(2;1); N(4; –2); P(2;0); Q(1;2)
lần lượt thuộc cạnh AB, BC, CD, AD. Hãy lập phương trình các cạnh của hình vuông.
BT31. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(0; 2) và đường thẳng d: x – 2y + 2 = 0. Tìm trên d
hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại B và AB = 2BC.
BT32. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
– 6x + 5 = 0. Tìm điểm M thuộc
trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến của (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 60
0
.
BT33. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình
( ) ( )
2 2
1 2 9x y− + + =
và
đường thẳng d: x + y + m = 0. Tìm m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ được hai
tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông.
BT34. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(2;–3), B(3;–2), tam giác ABC có diện tích bằng
3
2
; trọng tâm G của ∆ABC nằm trên đường thẳng (d): 3x – y – 8 = 0. Tìm bán kính đường tròn nội tiếp

∆ABC.
BT35. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình
1
: 1 0d x y+ + =
. Phương trình đường cao vẽ từ B là d
2
:
2 2 0x y− − =
. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ
từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.
BT36. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng d: x – 4y –2
= 0, cạnh BC song song với d, phương trình đường cao BH: x + y + 3 = 0 và trung điểm của cạnh AC là
M(1; 1). Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
BT37. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho
ABC∆
có cạnh AC đi qua điểm M(0;– 1). Biết AB =
2AM, phương trình đường phân giác trong AD: x – y = 0, phương trình đường cao CH: 2x + y + 3 = 0.
Tìm tọa độ các đỉnh của
ABC
∆
.
BT38. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 0). Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua
M và cắt hai đường thẳng (d
1
): x + y + 1 = 0, (d
2
): x – 2y + 2 = 0 lần lượt tại A, B sao cho MB = 3MA.
BT39. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(3;1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M
cắt các tia Ox, Oy tại A và B sao cho
3OA OB+

nhỏ nhất.
BT40. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 4 điểm A(1;0), B(–2;4), C(–1;4), D(3;5). Tìm toạ độ điểm
M thuộc đường thẳng
:3 5 0x y∆ − − =
sao cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích bằng nhau.
BT41. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng ∆
1
:
3 4 5 0x y+ + =
; ∆
2
:
4 3 5 0x y− − =
.
Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng d: x – 6y – 10 = 0 và tiếp xúc với ∆
1
, ∆
2
.
BT42. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các điểm M
1
(155; 48), M
2
(159; 50), M
3
(163; 54), M
4
(167;
58), M
5

(171; 60). Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(163; 50) sao cho đường thẳng đó gần
các điểm đã cho nhất.
BT43. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho parabol (P): y
2
= 8x. Giả sử đường thẳng d đi qua tiêu
điểm của (P) và cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ tương ứng là x
1
, x
2
. Chứng minh: AB = x
1
+ x
2
+ 4.
- 24 -
Chỉ dùng cho HS có ý thức tự học Hình học phẳng Oxy
BT44. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn
( ) ( ) ( )
2 2
: 1 1 25C x y− + + =
và điểm M(7; 3).
Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt sao cho MA = 3MB.
BT45. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết A(1;0),
B(0;2) và giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng y = x. Tìm tọa độ các đỉnh C và D.
BT46. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác có phương trình hai cạnh là 5x – 2y + 6 = 0 và
4 7 21 0x y+ − =
. Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác, biết rằng trực tâm của nó trùng với gốc tọa
độ O.
BT47. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng
: 3 4 0d x y− − =

và đường tròn
( )
2 2
: 4 0C x y y+ − =
. Tìm M thuộc
d
và N thuộc (C) sao cho chúng đối xứng qua điểm A(3;1).
BT48. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2) và cắt
đường tròn (C) có phương trình
( ) ( )
2 2
2 1 25x y− + + =
theo một dây cung có độ dài bằng 8.
BT49. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ∆ABC biết: B(2; –1), đường cao qua A có phương trình
1
:3 4 27 0d x y− + =
, phân giác trong góc C có phương trình d
2
: x + 2y – 5 = 0. Tìm toạ độ điểm A.
BT50. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng
1
: 2 5 0d x y− + =
và
2
:3 6 7 0d x y+ − =
. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P( 2; –1) sao cho đường thẳng đó cắt hai
đường thẳng d
1
và d
2

tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d
1
, d
2
.
BT51. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho
∆
ABC có đỉnh A(1;2), phương trình đường trung tuyến
BM:
2 1 0x y+ + =
và phân giác trong CD:
1 0x y+ − =
. Viết phương trình đường thẳng BC.
BT52. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d
1
: x + y + 5 = 0, d
2
: x + 2y – 7= 0 và
tam giác ABC có A(2; 3), trọng tâm là điểm G(2; 0), điểm B thuộc d
1
và

điểm C thuộc d
2
. Viết phương
trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
BT53. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các
đỉnh: A(–2;3),
1
;0 , (2;0)

4
B C
 
 ÷
 
.
BT54. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(2;–3), B(3;–2), ∆ ABC có diện tích bằng
3
2
;
trọng tâm G của
∆
ABC thuộc đường thẳng (d): 3x – y – 8 = 0. Tìm bán kính đường tròn nội tiếp ∆ ABC.
BT55. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn
( )
2 2
1
: 2 2 2 0C x y x y+ − − − =
,
( )
2 2
2
: 8 2 16 0C x y x y+ − − + =
.
BT56. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I thuộc
đường thẳng
: 3 0d x y− − =
và có hoành độ
9
2

I
x =
, trung điểm của một cạnh là giao điểm của
d
và trục
Ox. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật.
BT57. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
– 4y – 5 = 0. Hãy viết phương
- 25 -