Đánh giá cận trên, dưới và xấp xỉ tính hệ số dẫn của vật liệu nhiều thành phần và đa tinh thể (TT)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------

NGUYỄN VĂN LUẬT

ĐÁNH GIÁ CẬN TRÊN, DƯỚI VÀ XẤP XỈ
TÍNH HỆ SỐ DẪN CỦA VẬT LIỆU
NHIỀU THÀNH PHẦN VÀ ĐA TINH THỂ
Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật
Mã sỗ: 62 52 01 01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT

Hà Nội - 2017


Công trình được hoàn thành tại: Học viện Khoa học và Công nghệ Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam.

Người hướng dẫn khoa học 1: PGS.TSKH Phạm Đức Chính
Người hướng dẫn khoa học 2: TS Nguyễn Trung Kiên

Phản biện 1: GS.TS Hoàng Xuân Lượng
Phản biện 2: PGS.TS Trần Minh Tú
Phản biện 3: TS Trần Thanh Tuấn

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp

Học viện, họp tại Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm
Khoa học và Công nghệ Việt Nam vào hồi … giờ ….’, ngày ..…
tháng ..… năm 201….

Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Học viện Khoa học và Công nghệ
- Thư viện Quốc gia Việt Nam


DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ

1. Pham, D.C., Vu, L.D., Nguyen, V.L (2013), Bounds on the ranges
of the conductive and elastic properties of randomly
inhomogeneous materials. Philosophical Magazine 93, 2229-2249.
2. Nguyen Trung Kien, Nguyen Van Luat, Pham Duc Chinh (2013),
Estimating effective conductivity of unidirectional transversely
isotropic composites. Tạp chí Cơ học Việt Nam (Vietnam Journal of
Mechanics), 203-213, Volume 35..
3. Nguyen Van Luat, Nguyen Trung Kien (2015), FFT-simulations
and multi-coated inclusion model for macroscopic conductivity of
2D suspensions of compound inclusions. Tạp chí Cơ học Việt Nam
(Vietnam Journal of Mechanics), 169-176, Volume 37.
4. Nguyễn Văn Luật,Vương thị Mỹ Hạnh, Phạm Đức Chính (2012),
Đánh giá hệ số dẫn đa tinh thể hỗn độn. Hội nghị Cơ học toàn quốc
lần thứ IX, Hà Nội 8-9/12/2012.
5. Nguyễn Văn Luật, Nguyễn Trung Kiên, Phạm Đức Chính (2013),
Các đánh giá bậc ba và mô phỏng số FFT cho hệ số dẫn một số vật
liệu nhiều thành phần. Hội nghi Cơ học vật rắn biến dạng lần thứ
XI, TP Hồ Chí Minh 7-9/11/2013.
6. Nguyễn Trung Kiên, Nguyễn Văn Luật (2015), Xấp xỉ hệ số dẫn

vật liệu composite ba pha dạng quả cầu lồng nhau. Hội nghị Cơ học
vật rắn biến dạng lần thứ XII, Đà Nẵng 8/2015.


MỞ ĐẦU
Cơ sở khoa học và ý nghĩa của luận án
Vật liệu nhiều thành phần hay vật liệu không đồng nhất nói chung và vật
liệu đa tinh thể hỗn độn là những vật liệu được sử dụng chủ yếu trong các lĩnh
vực khoa học, kỹ thuật và đời sống hiện nay. Vì vậy việc nghiên cứu các tính
chất của các loại vật liệu này là rất cần thiết và có tính thời sự cho việc ứng
dụng thực tế. Khác với vật liệu thuần nhất vật liệu không đồng nhất có cấu
trúc vi mô khác nhau giữa các thành phần trong đó và sự tương tác giữa chúng
là rất phức tạp. Vật liệu nhiều thành phần về mặt vi mô có cấu tạo các thành
phần khác nhau nhưng về mặt vĩ mô là đồng nhất.
Hướng nghiên cứu trong luận án tập trung vào việc tìm các tính chất dẫn vĩ
mô (dẫn nhiệt, điện, thấm từ, tán xạ....) của vật liệu nhiều thành phần và đa
tinh thể hỗn độn. Các tính chất dẫn này có vai trò đặc biệt quan trọng trong
việc chế tạo vật liệu và ứng dụng các vật liệu tổ hợp trong kỹ thuật. Ví dụ như
các loại vật liệu nền polyme cốt sợi, hạt, tấm được sử dụng rất nhiều trong các
lĩnh vực hàng không, công nghiệp ô tô, hàng hải, vi điện tử, bảng mạch điện tử,
dân dụng... khi gia cố các loại cốt sợi khác nhau như sợi thủy tinh, cacbon, kim
loại... dẫn đến các tính chất cơ-lý như tính dẫn điện, dẫn nhiệt, độ từ thẩm,
tán xạ... khác nhau. Để ứng dụng được trong thực tế thì cần xác định được các
tính chất dẫn này. Trong kỹ thuật hiện nay thường sử dụng các đánh giá của
Wiener, Voigt, Reuss và Hill là lấy trung bình cộng số học và trung bình cộng
điều hòa làm giá trị hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu tổ hợp. Tuy nhiên khi các hệ
số dẫn thành phần khác nhau nhiều thì các đánh giá này cho kết quả xấp xỉ
không chính xác. Luận án đã xây dựng được các đánh giá trên, dưới của hệ số
dẫn vĩ mô tốt hơn các đánh giá trước đây cho phép tìm ra được các hệ số dẫn
vĩ mô của vật liệu tổ hợp chính xác hơn. Các kết quả đó cũng giúp cho việc

thiết kế các loại vật liệu tổ hợp mới theo các tính chất dẫn phù hợp với yêu
cầu thực tế đặt ra.

Đối tượng của luận án
Các hệ số dẫn vĩ mô (hệ số dẫn hiệu quả) như hệ số dẫn nhiệt, điện, tán xạ,
từ thẩm, điện môi, thấm nước... của vật liệu đẳng hướng nhiều thành phần và
đa tinh thể hỗn độn.

1


Mục tiêu của luận án
Xây dựng các đánh giá trên, dưới cho hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu tổ hợp
nhiều thành phần và đa tinh thể hỗn độn.
Áp dụng kết quả đánh giá mới cho một số mô hình vật liệu cụ thể. Sử dụng
công cụ số dựa trên phép biến đổi Fourier nhanh (FFT) như một cách tính
chính xác thay cho thực nghiệm để so sánh với đánh giá mới tìm được cho một
số mô hình vật liệu có cấu trúc tuần hoàn.

Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp giải tích và phương pháp số.

• Phương pháp giải tích (phương pháp theo đường hướng biến phân) dựa
trên nguyên lý biến phân (nguyên lý năng lượng cực tiểu) và nguyên lý
biến phân đối ngẫu (nguyên lý năng lượng bù cực tiểu). Từ đó xây dựng
các biên trên, biên dưới cho hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu.
• Phương pháp số sử dụng phương pháp biến đổi Fourier nhanh để đưa ra
thuật toán lặp và sử dụng chương trình Matlab để tính cho một số mô hình
vật liệu có cấu trúc tuần hoàn trong khuôn khổ của phương pháp FFT.
Kết quả FFT được coi như một cách tính chính xác để so sánh với kết quả

đánh giá theo đường hướng biến phân.

Những đóng góp của luận án
• Xây dựng được đánh giá mới bao gồm cận trên và cận dưới hệ số dẫn vĩ
mô của vật liệu nhiều thành phần.
• Xây dựng được đánh giá mới bao gồm cận trên và cận dưới hệ số dẫn vĩ
mô của vật liệu đa tinh thể hỗn độn.
• Áp dụng các đánh giá mới cho một số mô hình vật liệu nhiều thành phần
đã biết thông tin bậc ba về hình học pha. Kết quả cho thấy đánh giá mới
tốt hơn (gần hơn với kết quả chính xác) so với các đánh giá đã công bố
trước đó.
• Sử dụng phương pháp FFT để tính cho một số mô hình vật liệu có cấu trúc
tuần hoàn nhằm mục đích so sánh với đánh giá mới tìm được. Bên cạnh
đó cũng bước đầu xây dựng được thuật toán và chương trình số như một
hướng đi trong bài toán đồng nhất hóa vật liệu.
2


Các kết quả chính của luận án đã được công bố trên các tạp chí bao gồm: quốc
tế (01 bài SCI), tạp chí quốc gia (02 bài trên Vietnam Journal of Mechanics)
và tuyển tập các báo cáo hội nghị quốc gia (03 báo cáo hội nghị).

Cấu trúc của luận án
Nội dung của luận án bao gồm:
Chương 1: Tổng quan
Trình bày về lịch sử quá trình đánh giá hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu trong
đó đưa ra các kết quả nổi bật đã được công bố trước đây.
Chương 2: Đánh giá biến phân cận trên, dưới hệ số dẫn của vật
liệu đẳng hướng nhiều thành phần trong không gian d chiều
Đi sâu vào trình bày chi tiết để xây dựng được đánh giá trên, dưới cho hệ số

dẫn vĩ mô của vật liệu đẳng hướng nhiều thành phần. Sử dụng kết quả đánh
giá mới áp dụng cho một số mô hình vật liệu đã biết thông tin bậc ba hình học
pha và có so sánh với các đánh giá trước đây.
Chương 3: mô phỏng số FFT và so sánh với các đánh giá cho một
số mô hình vật liệu
Xây dựng thuật toán số FFT để tính toán hệ số dẫn vĩ mô cho một số mô
hình vật liệu tổ hợp trong giới hạn của phương pháp là vật liệu có cấu trúc
tuần hoàn có so sánh với kết quả đánh giá ở chương 2.
Chương 4: Đánh giá hệ số dẫn cho vật liệu đa tinh thể hỗn độn
trong không gian d chiều
Sử dụng nguyên lý năng lượng cực tiểu và nguyên lý năng lượng bù cực tiểu
để xây dựng đánh giá trên, dưới cho vật liệu đa tinh thể hỗn độn. Trong đó đưa
ra các trường khả dĩ có chứa thông tin hình học pha của vật liệu, tổng quát
hơn trường khả dĩ của Hashin-Shtrikman và Pham D.C. Áp dụng vào cho một
số loại đa tinh thể có trong tự nhiên cho thấy kết quả đánh giá mới tốt hơn các
đánh giá đã công bố trước đó.
Kết luận chung
Trình bày các kết quả chính đã thu được trong luận án và các hướng nghiên
cứu cứu tiếp theo.

3


Chương 1

TỔNG QUAN
1.1

MỞ ĐẦU

Tính chất cơ-lý của vật liệu có nhiều vấn đề cần nghiên cứu nhưng trong
luận án này tác giả đề cập đến một phần trong các tính chất đó là các hệ số
dẫn vĩ mô của vật liệu bao gồm nhiều dạng:
Hệ số dẫn nhiệt C là tenxơ bậc hai đặc trưng cho khả năng dẫn nhiệt
của vật liệu, nói chung là khác nhau cho các hướng khác nhau đối với vật liệu
dị hướng, được biểu diễn thông qua phương trình truyền nhiệt Fourier

J(x) = −C(x) · E(x)

(1.1)

trong đó E = ∇T (x) là vectơ gradient nhiệt, T (x) là trường nhiệt độ, dòng
nhiệt J thỏa mãn phương trình cân bằng nhiệt:

∇·J=0

(1.2)

Điều kiện biên có thể là cho trước trường nhiệt độ T(x) = T0 (x), hoặc dòng
nhiệt J(x).n(x) = q 0 (x) trên toàn phần hoặc một phần biên vật thể, n(x)
là pháp tuyến ngoài trên biên, T 0 (x) và q 0 (x) là các giá trị cho trước. Trong
trường hợp vật liệu đẳng hướng ta có C = CI, trong đó I là tenxơ bậc hai đơn
vị và C là giá trị vô hướng thể hiện hệ số dẫn đẳng hướng. Từ các phương trình
(1.1) và (1.2) ta nhận được phương trình Laplace:

∆T = 0.

(1.3)

Trong luận án này các mặt tiếp xúc giữa các thành phần được giả thiết là lý

tưởng nghĩa là các hàm số T(x) và J(x) · n(x) là liên tục qua mặt tiếp xúc,
n(x) là pháp tuyến tại mặt tiếp xúc.
Hệ số tán xạ D đặc trưng cho khả năng lan truyền của dòng vật chất (đổi
hướng lan truyền của dòng vật chất khi đi qua một đơn vị độ dày), có thể được
4


xác định thông qua định luật lan truyền Fick:

J = −D · ∇φ

(1.4)

trong đó J là dòng lan truyền thỏa mãn phương trình cân bằng (1.2), φ là mật
độ vật chất
Hệ số dẫn điện c thỏa mãn định luật Ohm

J(x) = −c(x)E(x) = −c(x) · ∇φ(x)

(1.5)

trong đó J là trường dòng điện thỏa mãn phương trình cân bằng (1.2), φ là
trường điện thế.
Hệ số thấm nước k được xác định thông qua định luật Darcy

k
q(x) = − · ∇P (x)
η

(1.6)

trong đó P là áp lực nước, η là hệ số nhớt của nước, q là trường dòng ( tỉ lệ
với tốc độ thấm v và độ rỗng của môi trường vật chất ρ , q = ρv) thỏa mãn
phương trình cân bằng ∇ · q = 0
Hệ số điện môi (thấm điện)
đặc trưng cho tính chất điện của môi
trường điện môi được xác định qua phương trình:

D(x) = · E(x)

(1.7)

trong đó D là vectơ dịch chuyển điện từ thỏa mãn phương trình cân bằng
∇ · D = 0, E là trường điện từ
Tất cả các tính dẫn trên đều có cấu trúc toán học chung, đều dẫn tới thỏa
mãn phương trình Laplace và các kết quả đều có thể sử dụng chung với các
chỉnh lý tương ứng cho từng trường hợp cụ thể. Từ đây về sau để cho đồng
nhất chúng ta sẽ sử dụng ngôn ngữ của bài toán dẫn nhiệt. Để đánh giá hệ số
dẫn hiệu quả vĩ mô của vật liệu tổ hợp không đồng nhất chỉ cần đánh giá trên
phần tử đặc trưng V (RVE: Representative Volume Element) của vật liệu đó
Trong luận án này tác giả sử dụng phương pháp năng lượng hay phương
pháp theo đường hướng biến phân, đó là xác định hệ số dẫn hiệu quả thông
qua việc tìm cực trị của các phiếm hàm năng lượng trên V. Đặc điểm của bài
toán tính chất vĩ mô là các thông tin hình học pha của vật liệu rất hạn chế nên
trong phần lớn các trường hợp khó xác định chính xác một tính chất nào đó
của vật liệu tổ hợp mà chỉ có thể tìm được đánh giá cận trên và dưới đối với
tính chất đó. Nguyên lý năng lượng cực tiểu để tìm đánh giá trên cho vật liệu
5

đẳng hướng vĩ mô n pha

C ef f E0 · E0 = inf

E · C · Edx

E =E0

(1.8)

V

và nguyên lý năng lượng bù cực tiểu (nguyên lý biến phân đối ngẫu) để tìm
đánh giá dưới
−1

J · C−1 · Jdx

(C ef f ) J0 · J0 = inf 0

(1.9)

J =J

V

trong đó E trong (1.8) là vectơ gradient của một hàm liên tục (nhiệt, điện, điện
môi, thấm từ...) trên V, E0 là vectơ hằng cho trước, • là trung bình trên V,

• =

1
V

•dx. Trường dòng J trong (1.9) thỏa mãn điều kiện cân bằng:
V

∇·J=0
Hệ số dẫn C(x) liên kết trường gradient E và trường dòng J

J(x) = C(x)E(x)
C(x) = Cα khi x ∈ Vα ,

α = 1, . . . , n

(1.10)
(1.11)

Điểm nổi bật của phương pháp theo đường hướng biến phân là trường khả dĩ
lựa chọn (E, J) chỉ cần thỏa mãn một số phương trình cơ học nhất định nào
đó, nếu như phiếm hàm (1.8) hoặc (1.9) đạt cực trị thì sẽ thỏa mãn hoàn toàn
các phương trình cơ học còn lại. Với mỗi cách chọn trường khả dĩ đều cho được
kết quả đánh giá tương ứng, vì vậy bằng cách xây dựng khéo léo các trường
khả dĩ với đầy đủ tới mức có thể các thông tin về cấu trúc hình học của vật
liệu ta sẽ cho ra đánh giá tốt nhất gần với các giá trị thực.

1.2

LỊCH SỬ TIẾP CẬN ĐỒNG NHẤT HÓA VÀ QUÁ TRÌNH
ĐÁNH GIÁ HỆ SỐ DẪN CỦA VẬT LIỆU

Vào năm 1892, Maxwell [35] và Rayleigh [67] đã tìm ra được lời giải tiệm cận
cho hệ số dẫn của hỗn hợp dạng nền cốt liệu với pha nền là chủ đạo (vM 1)
và tỷ lệ nhỏ các hạt cốt liệu cầu (vI
1) sắp xếp theo trật tự lập phương tuần
hoàn.
2CM + CI + 2vI (CI − CM )
C ef f = CM ·
(vI
1)
(1.12)
2CM + CI − vI (CI − CM )
Wiener (1912-[77]), Voigt (1928- [75]), Reuss (1929-[68]) đã đưa ra các công
thức trung bình cộng số học (Voigt) và trung bình công điều hòa (Reuss) để
6


tính xấp xỉ các tính chất vĩ mô của các loại vật liệu tổ hợp n thành phần và đa
tinh thể hỗn độn với hình học pha và tỷ lệ thể tích bất kỳ ở các pha. Đối với
hệ số dẫn của vật liệu đẳng hướng (tổng theo α chạy từ 1 tới n):

C ef f

vα Cα = CV

hoặc C ef f

α

α

−1

vα
Cα

= CR

(1.13)

Cho vật liệu đa tinh thể ta có các trung bình tương ứng Hill (1952-[27])

Cef f = C = CV I hoặc Cef f = C−1
ef f

trong đó C

=C

ef f

I,

CV =

1
d

d

Ci ,

CR =

i=1

1
d

−1

= CR I

(1.14)

−1

d
i=1

Ci−1

với d là số chiều của không gian, I là ma trận đơn vị, Ci (i = 1, 2, ..., d) là
các hệ số dẫn chính của đơn tinh thể cơ sở.
Nguyên lý năng lượng cực trị lần đầu tiên được đề xuất bởi Hill (1952-[27])
trong nghiên cứu tính chất hiệu quả của vật liệu đa tinh thể và chọn trường
khả dĩ hằng số, ông đã chứng minh được tính chất hiệu quả luôn nằm giữa
trung bình cộng số học CV và trung bình cộng điều hòa CR , đối với hệ số dẫn
của vật liệu tổ hợp đẳng hướng n thành phần và vật liệu đa tinh thể hỗn độn:

CV ≤ C ef f ≤ CR

(1.15)

Nghiên cứu tiếp theo đã để lại dấu ấn quan trọng trong cơ học vật liệu là của
Hashin-Shtrikman (1963-[24])(HS), đã xây dựng tính chất hiệu quả dựa trên
nguyên lý biến phân riêng dẫn tới trường khả dĩ phân cực (polarization fields).
Kết quả HS đã tìm ra đánh giá hệ số dẫn vĩ mô cho vật liệu tổ hợp tốt hơn các
đánh giá trước đó của Voigt, Reuss, Hill, Wiener. Đánh giá của HS được coi là
một trong những thành tựu chính của cơ học vật liệu.
Phạm D.C (1996-[83]) xuất phát từ các nguyên lý năng lượng cực tiểu đã
nói trên (không phải từ các nguyên lý HS), trong khi tìm trường khả dĩ đã
xây dựng được các trường khả dĩ phân cực dạng HS cho vật liệu tổ hợp đẳng
hướng. Từ đó nhận được các đánh giá mới tốt hơn đánh giá của HS nhờ xuất
hiện thành phần nhiễu chứa thông tin bậc ba hình học pha của vật liệu Aαβ
γ
βγ
ϕαγ
ij ϕij dx,

Aαβ
γ =

α
ϕαγ
ij = ϕ,ij −

Vγ

1

vγ

ϕα,ij dx

(1.16)

Vγ

Một hướng nghiên cứu hiện nay cũng thường được sử dụng trong lĩnh vực đồng
nhất hóa vật liệu đó là các phương pháp số sẽ được đề cập ở chương 3.
7


Chương 2

ĐÁNH GIÁ BIẾN PHÂN CẬN
TRÊN, DƯỚI HỆ SỐ DẪN CỦA
VẬT LIỆU ĐẲNG HƯỚNG NHIỀU
THÀNH PHẦN TRONG KHÔNG
GIAN d CHIỀU
2.1

Đánh giá trên

Xây dựng đánh giá trên cho hệ số dẫn vĩ mô C ef f sử dụng nguyên lý năng
lượng cực tiểu trong (1.8), với trường khả dĩ mở rộng so với trường phân cực
của Hashin-Shtrikman có dạng
n

Ei =

Ei0

aα Ej0 ϕα,ij

+

với i, j = 1, ..., d

(2.1)

α=1

trong đó E0 là vectơ hằng cho trước, aα là các hệ số vô hướng tự do, ϕα hàm
thế điều hòa là tích phân của hàm Green trên pha α.
Đặt (2.1) vào (1.8) rút gọn ta nhận được biểu thức năng lượng

1
1
2
aα Cα vα +
aα aβ Cγ Aαβ
WE = CE·Edx = Ei0 Ei0 CV +
γ + 2
d α
d
d
α,β,γ

V



a2γ Cγ vγ  ,
γ

(2.2)
Phiếm hàm năng lượng WE phụ thuộc vào các hệ số aα , Cα , vα và tham số bậc
ba hình học pha của vật liệu Aαβ
γ . Để tìm được đánh giá trên tốt nhất ta đi
tìm cực tiểu phiếm hàm bằng phương pháp nhân tử Lagrange với ràng buộc từ
điều kiện trung bình trong (1.8). Từ đó nhận được biểu thức năng lượng

WE = Ei0 Ei0 [CV +

1
d

aα Cα vα ] = Ei0 Ei0 [CV − v c · A−1
c · vc ],
α
8

(2.3)


n
1
vα Cα
;

với vc = [v1 (C1 − CR ), v2 (C2 − CR ), ..., vn (Cn − CR )] , v c =
d
α=1
1
n
Ac = Acαβ α,β=1 , Acαβ =
Cγ [Aαβ
Cδ−1 vα CR Aδβ
γ −
γ ] + Cα vα δαβ
d
γ
δ
T

Từ (1.8), (2.3) xây dựng được biểu thức đánh giá trên có dạng
U
βγ
C ef f ≤ CV − v c · A−1
c · vc = CA {Cα }, {vα }, {Aα }

2.2

(2.4)

Đánh giá dưới

Sử dụng nguyên lý năng lượng bù cực tiểu (1.9) với trường khả dĩ có dạng
n

Ji =

Ji0

aα Jj0 (ϕα,ij − δij Iα (x)),

+

(2.5)

α=1

trong đó aα là các hệ số vô hướng tự do, ϕα là hàm thế điều hòa, Iα (x) là hàm
chỉ số pha, J0 là vectơ hằng cho trước. Tương tự như đánh giá trên, đặt (2.5)
vào (1.9) rút gọn và sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange ta nhận được biểu
thức năng lượng

¯ −1
J · C−1 · Jdx = Ji0 Ji0 [CR−1 − v¯ c · A
¯c ]
c ·v

WJ =

(2.6)

V

1−d
[v1 (C1−1 − CV−1 ), v2 (C2−1 − CV−1 ), ..., vn (Cn−1 − CV−1 )]T

d
n
1
−
d
−1
¯ c = A¯cαβ n
vα Cα
, A
v¯ c =
α,β=1
d
α=1
1
1 −1
(1 − d)2 −1
−1 αβ
−1
δβ
=
C A − CV vα
Cγ Cδ Aγ +
Cα vα δαβ
2
d γ γ γ
d
d
γ,δ

với v

¯c =

A¯cαβ

Từ (1.9), (2.6) xây dựng được biểu thức đánh giá dưới có dạng

¯ −1
Cef f ≥ [CR−1 − v¯ c · A
¯c ]−1 = CAL {Cα }, {vα }, {Aβγ
c ·v
α } ,
2.3

(2.7)

Áp dụng tính toán hệ số dẫn (HSD) vĩ mô cho một số mô
hình vật liệu

Các đánh giá cận trên, dưới HSD vĩ mô (2.4), (2.7) chứa các hệ số dẫn thành
phần Cα , tỷ lệ thể tích vα của các pha, và thông tin bậc ba hình học pha Aβγ
α .
khi áp dụng ở chương này chỉ xem xét các mô hình đã biết thông tin hình học
bậc ba của vật liệu.
9


2.3.1

Mô hình quả cầu lồng nhau

1. Quả cầu lồng nhau hai pha
Các khoảng trống được lấp đầy bằng các quả cầu lồng nhau đồng dạng
nhưng kích thước thay đổi tới vô cùng bé. Có thể coi quả cầu bên trong là pha
cốt liệu (pha 1) quả cầu lồng bên ngoài là pha nền (pha 2), thông tin hình học
bậc ba của vật liệu Aβγ
α được biểu diễn phụ thuộc vào một thông số ζα được
xác định chính xác (Pham D.C, 1997-[50]):
22
12
A11
α = Aα = −Aα =

d−1
v1 v2 ζα ,
d

(a)

α = 1, 2; ζ1 = 0; ζ2 = 1.

(2.8)

(b)

Hình 2.1: (a) mô hình quả cầu lồng nhau 2 pha. (b) Đánh giá HSD vĩ mô quả cầu lồng nhau 2 pha: pha cốt
liệu C1 = 2, pha nền C2 = 20, trong không gian 2 chiều

Hình 2.2: Đánh giá HSD vĩ mô quả cầu lồng nhau 2 pha: pha cốt liệu C1 = 2, pha nền C2 = 20, trong không
gian 3 chiều

Trên các hình 2.1 b; hình 2.2 cho kết quả chính xác cận trên, dưới của đánh
giá mới trùng nhau và trùng với cận trên của HS.
10


2. Quả cầu lồng nhau ba pha
Quả cầu lồng nhau 3 pha (hình 2.3a): Từ trong ra ngoài là các pha 1,2,3
tương ứng. Kết quả đánh giá được thể hiện trên các hình 2.3b, 2.4 với cận trên
và dưới trùng nhau cho kết quả chính xác và nằm trong các đánh giá trước đó
của Wiener-Voigt-Reuss, HS.

(a)

(b)

Hình 2.3: (a) mô hình quả cầu lồng nhau 3 pha. (b) Đánh giá HSD vĩ mô quả cầu lồng nhau 3 pha: 2 pha
cốt liệu C1 = 1, C2 = 5, pha nền C3 = 20, trong không gian 2 chiều

Hình 2.4: Đánh giá HSD vĩ mô quả cầu lồng nhau 3 pha: 2 pha cốt liệu C1 = 20, C2 = 5, pha nền C3 = 1,
trong không gian 3 chiều

2.3.2

Mô hình vật liệu đối xứng ba pha

Vật liệu tổ hợp đối xứng 3 pha trong không gian d chiều, pha i có tỉ lệ
thể tích của là vi và hệ số dẫn Ci , i = 1, 2, 3. Giả định trong không gian 3
chiều C1 = 1, C2 = 5, C3 = 20; Tỉ lệ thể tích của các pha v1 = 0.1 → 0.9.

v2 =

d−1
d (1

− v1 ), v3 = d1 (1 − v1 ). Kết quả đánh giá HSD trên hình 2.5 (d=3)
11


cho thấy đánh giá mới (2.4),(2.7) cho kết quả tốt hơn các đánh giá trước đó
của Voigt-Reuss và HS.

(a)

(b)

Hình 2.5: (a) Vật liệu tổ hợp đẳng hướng đối xứng. (b) Đánh giá HSD vĩ mô vật liệu dối xứng 3 pha
C1 = 1, C2 = 5, C3 = 20 trong không gian 3 chiều

2.3.3

Mô hình vật liệu tổ hợp hai pha dạng nền, cốt liệu tròn

Xem xét hai mô hình có cốt liệu là các quả cầu cùng kích cỡ sắp xếp ngẫu
nhiên không chồng lấn và chồng lấn. Thông tin hình học bậc ba của các mô
hình này được xác định bởi Torquato (2002). Giả sử hệ số dẫn pha nền C1 = 5,
pha cốt liệu (C2 = 15), tỉ lệ thể tích v1 = 1 − v2 .

(a)

(b)

Hình 2.6: Mô hình quả cầu cùng kích cỡ phân bố ngẫu nhiên trong không gian 3 chiều. (a) Quả cầu không
chồng lấn ngẫu nhiên. (b) Quả cầu chồng lấn ngẫu nhiên

12


Hình 2.7: Kết quả đánh giá HSD cho vật liệu 2 pha trong không gian 3 chiều có cấu trúc quả cầu ngẫu nhiên
không chồng lấn với pha nền C1 = 5, pha cốt liệu C2 = 15

Hình 2.8: Kết quả đánh giá HSD cho vật liệu 2 pha trong không gian 3 chiều có cấu trúc quả cầu ngẫu nhiên
chồng lấn với pha nền C1 = 5, pha cốt liệu C2 = 15

2.4

Kết luận

Sử dụng nguyên lý năng lượng cực tiểu và nguyên lý năng lượng bù cực
tiểu trong đó đưa vào trường khả dĩ mở rộng (có nhiều hệ số tự do hơn) so với
trường khả dĩ phân cực của Hashin-Shtrikman. Từ đó tìm được đánh giá mới
cho các HSD vĩ mô của vật liệu nhiều thành phần trong không gian d chiều.
Mô hình bài toán được xây dựng tổng quát trong không gian d chiều nên
kết quả đánh giá áp dụng được cho các mô hình không gian khác nhau.
Kết quả áp dụng vào các mô hình cụ thể cho thấy tính hiệu quả của phương
pháp theo đường hướng biến phân, thể hiện bằng đánh giá mới cho kết quả tốt
hơn các đánh giá trước đó của Wiener-Voigt-Reuss và Hashin-shtrikman.
Kết quả nghiên cứu trong chương này đã được công bố trên các tạp chí khoa
học [1], [2] trong mục các công trình đã công bố của luận án.
13

Chương 3

MÔ PHỎNG SỐ FFT VÀ SO SÁNH
VỚI CÁC ĐÁNH GIÁ CHO MỘT
SỐ MÔ HÌNH VẬT LIỆU
Mục đích chính của luận án là sử dụng phương pháp FFT như một cách tính
chính xác thay cho thực nghiệm nhằm so sánh với kết quả đánh giá ở chương
2, để làm rõ kết quả chính xác luôn nằm trong đánh giá trên và đánh giá dưới.
Bên cạnh đó do trong trường hợp các pha có hệ số dẫn khác nhau nhiều thì
khoảng cách giữa cận trên, dưới là khá lớn, vì vậy để trong một số trường hợp
đảm bảo việc xác định HSD vĩ mô chính xác hơn thì FFT có thể xem như công
cụ bổ trợ cho việc xác định. Phương pháp biến đổi Fourier nhanh (FFT)trong
cơ học vật liệu được đề xuất đầu tiên bởi Moulinec và Suquet (1994-[38]). Ưu
điểm của phương pháp so với phương pháp số khác (phần tử hữu hạn FEM) là
không phải chia lưới và giải các hệ phương trình tuyến tính mà dựa trên thuật
toán tính lặp, điều này làm cho thời gian tính toán giảm đi rất nhiều so với
phương pháp FEM theo Michel(1999-[41]). Hạn chế của FFT là chỉ áp dụng
hạn chế trong một số mô hình vật liệu đặc biệt như vật liệu có cấu trúc tuần
hoàn.

3.1

Phương pháp biến đổi Fourier nhanh (FFT)

Xét vật liệu có cấu trúc tuần hoàn như hình 3.1. Do tính chất tuần hoàn
nên có thể xét một phần tử đặc trưng V (unit cell) bao gồm pha nền (M) và
cốt liệu (I). Nội dung chính của phương pháp là dựa trên các phương trình
đã biết, điều kiện cân bằng và phép biến đổi Fourier đối với trường gradient
E, trường dòng J, hệ số dẫn C(x) để thiết lập được phương trình tích phân

Lippmann-Schwinger đối với bài toán không đồng nhất và sử dụng toán tử
14


Hình 3.1: Mô hình vật liệu tuần hoàn và phần tử đặc trưng

Green tuần hoàn. Từ đó rút ra thuật toán số để xác định hệ số dẫn của vật
liệu nhiều thành phần có cấu trúc tuần hoàn:
Bước i=1 : E1 (ξ) = 0 ∀ξ = 0;

E1 (0) = E0

J1 (ξ) = C(ξ) ∗ E1 (ξ)
Bước i :

Ei (ξ) và Ji (ξ) đã biết
kiểm tra điều kiện hội tụ

Ei+1 (ξ) = Ei (ξ) − Γ0 (ξ).Ji (ξ)
Ji+1 (ξ) = C(ξ) ∗ Ei+1 (ξ)
Điều kiện hội tụ được xác định bằng biểu thức sau:

Ji+1 (ξ) − Ji (ξ)
Ji (ξ)
với

3.2
3.2.1

< ,

(3.1)

là sai số cho trước ( = 10−3 trong luận án này).

Áp dụng phương pháp số FFT cho một số mô hình vật liệu
Mô hình vật liệu hai pha đẳng hướng ngang

Với hai mô hình vật liệu nền, cốt liệu tròn có các cấu trúc: hình vuông
(square), hình lục giác (hexagonal) (hình 3.2), giả sử hệ số dẫn pha nền (matrix)

CM = 1, pha cốt liệu (inclusion) CI = 10, tỉ lệ thể tích vI = 0.1 → 0.9; vM =
1 − vI . Kết quả tính toán sử dụng phương pháp số FFT được cho bởi các hình
3.3, 3.4 tương ứng cho thấy kết quả FFT nằm trong đánh giá mới ở chương 2.

(a)

(b)

Hình 3.2: Mô hình vật liệu hai pha đẳng hướng ngang đối với hệ số dẫn. (a) Cốt liệu tròn sắp xếp dạng hình
vuông. (b) Cốt liệu tròn sắp xếp dạng hình lục giác

15


Hình 3.3: Kết quả FFT hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu hai pha có cốt liệu sắp xếp dạng hình vuông trong không
gian 2 chiều, CM = 1, CI = 10

Hình 3.4: Kết quả FFT hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu hai pha có cốt liệu sắp xếp dạng hình lục giác trong
không gian 2 chiều, CM = 1, CI = 10

3.2.2

Mô hình vật liệu hai pha gồm các quả cầu sắp xếp tuần hoàn

Giả sử CM = 1, CI = 10. Kết quả tính được biểu diễn trên các hình 3.5; 3.6
và 3.7. Các giá trị hệ số dẫn vĩ mô xác định theo phương pháp biến đổi Fourier
đều nằm giữa đánh giá trên và dưới được thiết lập ở chương 2.

16


(a)

(b)

Hình 3.5: Mô hình vật liệu tuần hoàn trong không gian 3 chiều. (a) Cấu trúc của vật liệu có cốt liệu hình
tròn sắp xếp dạng lập phương đơn giản. (b)Kết quả số FFT với CM = 1, CI = 10

(a)

(b)

Hình 3.6: Mô hình vật liệu tuần hoàn trong không gian 3 chiều. (a) Cấu trúc của vật liệu có cốt liệu hình
tròn sắp xếp dạng lập phương tâm khối. (b)Kết quả số FFT với CM = 1, CI = 10

(a)

(b)

Hình 3.7: Mô hình vật liệu tuần hoàn trong không gian 3 chiều. (a) Cấu trúc của vật liệu có cốt liệu hình
tròn sắp xếp dạng lập phương tâm mặt. (b)Kết quả số FFT với CM = 1, CI = 10

17


3.2.3

So sánh FFT giữa các mô hình vật liệu ba pha có cấu trúc tuần hoàn
trong không gian hai chiều

Hình 3.8: So sánh kết quả FFT hệ số dẫn vĩ mô giữa các mô hình tuần hoàn có pha cốt liệu là quả cầu lồng
nhau 2 pha sắp xếp dạng hình vuông, hình lục giác và sắp xếp ngẫu nhiên cho trường hợp CM = 1, CI2 = 20,
CI1 = 5

3.3

Kết luận

Trong chương này của luận án đã trình bày thuật toán số FFT để xác định
hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu nhiều thành phần có cấu trúc tuần hoàn. Mục
đích chính của việc sử dụng phương pháp FFT là đưa ra một công cụ để tính
chính xác HSD vĩ mô của một số mô hình vật liệu trong giới hạn của phương
pháp nhằm so sánh với kết quả đánh giá ở chương 2.
Quan sát kết quả so sánh giữa các mô hình trên đồ thị ta có thể nhận thầy
khi tỉ lệ thể tích của các hạt cốt liệu từ nhỏ đến trung bình thì các mô hình đều
cho kết quả gần như trùng nhau và trùng với giới hạn HS, khi tỉ lệ thể tích các
hạt cốt liệu tăng lên thì các mô hình có xu hướng tách khỏi HS do ảnh hưởng
tương tác giữa các cốt liệu trong khoảng cách gân nhưng phân bố khác nhau
Khi so sánh giữa các mô hình có sử dụng FFT sát với trường hợp quả cầu

lồng nhau (cận trên, dưới trùng nhau) cho thấy sự phù hợp và đáng tin cậy
của phương pháp FFT. Kết quả tính FFT đều nằm trong các đánh giá trước
đó của HS và kết quả đánh giá biến phân ở chương 2.
Các kết quả của chương này đã được công bố trên các công trình khoa học
[2],[3],[5],[6] trong mục các công trình đã công bố của luận án.

18


Chương 4

ĐÁNH GIÁ HỆ SỐ DẪN CHO VẬT
LIỆU ĐA TINH THỂ HỖN ĐỘN
TRONG KHÔNG GIAN d CHIỀU
Cách thực hiện cũng giống như trong chương 2 là tiếp cận theo đường hướng
năng lượng giúp chúng ta xác định được biên trên và biên dưới của hệ số dẫn
vĩ mô.

4.1

Đánh giá trên

Để xây dựng đánh giá trên cho vật liệu đa tinh thể ta đưa vào trường khả dĩ
gradient E mở rộng từ trường phân cực Hashin-Shtrikman (tổng lặp theo chỉ
số Latinh i,j):
n

Ei =

Ei0

aαj ϕα,ij

+

với i, j = 1...d

(4.1)

α=1

trong đó aαi là các hệ số tự do, ϕα là hàm thế điều hòa.
Vật liệu đa tinh thể hỗn độn với các đơn tinh thể là dị hướng nên các hệ số
dẫn thành phần là tenxơ bậc hai với các hệ số dẫn chính C1 , C2 , ..., Cd trong
không gian d chiều. Ngoài ra các đơn tinh thể phân bố ngẫu nhiên theo mọi
hướng nên về mặt vĩ mô có thể coi là vật liệu đẳng hướng, ngẫu nhiên hoàn
toàn nên có thể xác định được các tham số bậc ba hình học pha của vật liệu
Aαβ
γ Pham D.C(1994). Từ đó đặt (4.1) vào (1.8) rồi rút gọn ta được biểu thức
đánh giá

C ef f ≤ C U e (C1 , ..., Cd , e1 )
d

ec
1
1
1
)CV − 2 + 2 (
)−1 .

= (1 −
de0
de0 e0 i=1 e0 Ci + ec
19

(4.2)


trong đó

C1 + ... + Cd
1
d−2
, e0 = + 2
e1 ,
d
d d +d−2
d−1
d−2
− e1 2
CV , 0 ≤ e1 ≤ (d − 1)/d
d
d +d−2

CV =
ec =

(4.3)

Do đó rút ra được đánh giá trên cho hệ số dẫn hiệu quả vĩ mô:

C ef f ≤ C U (C1 , ..., Cd ) =
4.2

max

0≤e1 ≤(d−1)/d

C U e (C1 , ..., Cd , e1 ) .

(4.4)

Đánh giá dưới

Để xây dựng đánh giá dưới cho hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu đa tinh thể hỗn
độn ta dùng nguyên lý năng lượng bù cực tiểu (1.9) với trường khả dĩ mở rộng
từ trường phân cực HS có dạng:
n

Ji =

Ji0

aαj (ϕα,ij − δij Iα ) (i = 1, ..., d)

+

(4.5)

α=1

với

Iα (x) =

1 x ∈ Vα
0 x ∈ Vα

Đặt (4.5) vào (1.9) rồi rút gọn ta được biểu thức đánh giá

C ef f ≥ C Le (C1 , · · · , Cd , e1 )

(1 − d)2 ec (1 − d)2
(1 − d)2
−1

CR −
+
=
1−
de0
de02
e02

d

i=1

(4.6)


−1 −1

1
e0 Ci−1 + ec



,

trong đó

(1 − d)2
e1 (d − 2)
d−1
e1 (d − 2) −1
e0 =
+ 2
, ec = (
− 2
)C
d
d +d−2
d
d +d−2 R
Từ đó rút ra được biểu thức đánh giá dưới cho hệ số dẫn hiệu quả của vật liệu
đa tinh thể hỗn độn:
C ef f ≥ C L (C1 , ..., Cd ) =

4.3

min

0≤e1 ≤(d−1)/d

C Le (C1 , ..., Cd , e1 )

(4.7)

Áp dụng đánh giá một số trường hợp cụ thể

Các đánh giá cận trên, dưới (4.4), (4.7) phụ thuộc vào các hệ số dẫn chính theo
các chiều của tinh thể trong hệ tọa độ Descartes.
20


1. Trường hợp không gian hai chiều (d=2)
Trong không gian hai chiều có 2 hệ số dẫn chính là C1 , C2 . Giả sử C2 nhận
các giá trị khác nhau tăng dần C2 =1; 1.5; 2; 2.5; 3; 3.5; 4; 4.5; 5 và C1 cố định,

C1 = 1. Kết quả đánh giá được thể hiện trên hình vẽ 4.1.

Hình 4.1: Đánh giá hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu đa tinh thể hỗn độn trong không gian 2 chiều

2. Trường hợp không gian ba chiều (d=3)
Trong không gian ba chiều có ba hệ số dẫn chính C1 , C2 , C3 . Giả sử C3 nhận
các giá trị khác nhau tăng dần C3 =2; 3 ; 3.5; 4; 4.5; 5; 5.5; 6; 6.5; 7; 7.5; 8 và
các hệ số cố định C1 = 5, C2 = 10.

Hình 4.2: Đánh giá hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu đa tinh thể hỗn độn trong không gian 3 chiều, với C3 =2;
3 ; 3.5; 4; 4.5; 5; 5.5; 6; 6.5; 7; 7.5; 8 và các hệ số cố định C1 = 5, C2 = 10

.

3. Các bảng đánh giá HSD một số vật liệu đa tinh thể (d=2)
Trong mục này này dựa trên kết quả đánh giá mới có thể đưa ra đánh giá
các hệ số dẫn vĩ mô cho một số loại vật liệu đa tinh thể có trong tự nhiên, các số
liệu hệ số dẫn chính trong không gian hai chiều C1 , C2 dựa trên các tài liệu của
21


Landolt-Bornstein,(1982-[32]), Touloukian (1970-[79]). Để đánh giá tính chính
U
−C L
xác có thể dựa trên thông số độ rộng s = C
C U +C L .
Bảng 4.1: Hệ số dẫn nhiệt (đơn vị 10−1 W cm−1 K −1 ) của một số loại đa tinh
U
L
U
L
thể trong đó so sánh biên Hill (CH
, CH
), Hashin-Shtrikman (CHS
, CSH
) và biên
đánh giá mới (C U , C L ).

Crystal
Ga
Se
Tb

Te
Bi
Tm
Lu
TiO2
Ho
Sn

U
U
L
L
C1
C2
CH
CSH
CU
CL
CSH
CH
s
8.83 4.06 6.445 6.072 6.003 5.971 5.903 5.562 0.002
0.130 0.452 0.291 0.256 0.246 0.238 0.229 0.201 0.016
0.95 1.48 1.125 1.188 1.186 1.185 1.182 1.157 0.000
0.208 0.396 0.302 0.289 0.287 0.286 0.284 0.272 0.001
0.915 0.528 0.721 0.698 0.695 0.694 0.691 0.669 0.000
1.41 2.42 1.915 1.856 1.848 1.846 1.838 1.781 0.000
1.38 2.32 1.850 1.797 1.790 1.788 1.781 1.730 0.000
0.621 1.04 0.830 0.807 0.804 0.803 0.800 0.777 0.000
1.39 2.20 1.795 1.753 1.749 1.748 1.743 1.703 0.000

7.42 5.15 6.285 6.191 6.182 6.180 6.172 6.080 0.000

Bảng 4.2: Hệ số dẫn điện (đơn vị M Sm−1 ) của một số loại đa tinh thể trong
đó so sánh biên Hill (cUH , cLH ), Hashin-Shtrikman (cUHS , cLSH ) và biên đánh giá
mới (cU , cL ).

Crystal
c1
c2
cUH
cUSH
cU
cL
cLSH
cLH
Ga
6.25 1.98 4.115 3.675 3.561 3.475 3.367 3.007
Sc
1.56 4.21 2.885 2.637 2.580 2.544 2.490 2.276
Lu
1.47 3.27 2.370 2.226 2.199 2.185 2.159 2.028
Tm
1.23 2.51 2.370 2.149 2.095 2.060 2.009 1.821
Ho
1.07 1.83 1.450 1.406 1.400 1.398 1.392 1.350
Os
11.1 17.5 14.300 13.978 13.942 13.932 13.896 13.583
Dy
0.96 1.44 1.200 1.178 1.176 1.175 1.173 1.152
U

4.23 2.77 3.500 3.431 3.423 3.422 3.415 3.347
Sn
11.09 7.69 9.390 9.248 9.236 9.233 9.220 9.082
Ru
15.12 19.45 17.285 17.157 17.149 17.148 17.140 17.013

22