hướng dẫn sử dụng MAPLE 2017

I. TÊN CƠ SỞ YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN: Trường trung
học phổ thông bình minh
II. TÁC GIẢ SÁNG KIẾN: Lã Duy Tiến
III.TÊN SÁNG KIẾN – LĨNH VỰA ÁP DỤNG:
-Tến sáng kiến: Ứng dụng Maple trong dạy và học toán
-Lĩnh vự áp dụng: Giáo dục
IV. NỘI DUNG SÁNG KIẾN
1.Giải pháp cũ thường làm

Hiện nay công nghệ thông tin đã trở thành một công cụ không thể thiếu
được trong cuộc sống nói chung và nghành giáo dục nói riêng. Là một giáo viên
bên cạnh việc trau dồi nghiệp vụ chuyên môn thì việc học tập công nghệ mới,
biết vận dụng công nghệ thông tin là một vấn đề cần thiết để bài dạy trở nên sinh
động, hiệu quả hơn. Tuy nhiên do nhiều điều khác nhau, muốn học tập, cập nhật
những công nghệ mới đó chúng ta chỉ còn cách tự mầy mò và tự học. Tài liệu
này tôi muôn giới thiệu đến quý thầy cô phần mềm giải toán phục vụ đặc lực
cho công việc dạy và và toán : phần mềm “ Maple “
2.Giải pháp mới cải tiến
Mục tiêu của bài viết nhằm giúp người đọc hiểu rõ các chức năng và ứng
dụng của phần mêm Maple ( giải phương trình, giải hệ phương trình, vẽ đồ thị
hàm số,…), đồng thời giới thiệu sơ qua cách sử dụng một số chức năng cơ bản
của nó. Phần cuối bài viết tôi xin được giới thiệu một số ví dụ minh hoạ cụ thể
cho việc dùng Maple để giải toán. Tôi tin rằng nếu bạn nắm biết được nó thì nó
sẽ là một trở thành một công cụ giúp ích rất nhiều trong quá trình học tập toán,
cũng như giảng dạy bộ môn toán.
Với phương pháp tự tìm tòi tự nghiên cứu, bài viết này không tránh khỏi
nhiều sai sót. Rất mong được sự cổ vũ, góp ý của các đọc giả !
Chân thành cảm ơn!

1

A. CÁC PHÉP TOÁN ĐƠN GIẢN
Kích hoạt vào file chạy Maple ta có giao diện như sau:

Sau dấu [ > dùng đề nhập dữ liệu, kết thúc mỗi câu lệnh ta dùng dấu “;” và ấn
enter để thực hiện lệnh đó, nếu chưa muốn thực hiện lệnh đó thì thay dấu “;”
bằng dấu “:”.
Phím enter sau dấu “;” dùng để thực hiện các câu lệnh ngay trước nó.
1.Các phép toán thông thường.
Biểu thức toán
Trong Mapble
x+y
x+y;
x-y
x-y;
x.y
x*y;
x:y
x/y;
sqrt(x);
x
1
surd(x,n);
xn
x^n;
xn.
exp(x);
ex.
ln(x);
ln(x)

log[a](b);
log a b
x
abs(x);
x:=a;
Gán giá trị a cho x
infinity
∞
realrange(a,b);
[a;b]
realrange(a,open(b));
[a;b)
a<=b;
a≤b
a>=b;
a≥b
Ví dụ 1: Nhập biểu thức:
xy 2 − 5 x + y + 3 7 − x − y + log 3 7 .
2


trong maple như sau:

2.Hàm evalf[k]( A); dùng để đổi số A thành dạng số thực đúng( hoặc
gần đúng) đến k chữ số.
5 −1234
Ví dụ 2:
viết gần đúng đến 6 chữ số là:
;
6 321

3.Một số phép toán khác:
+Phân tích số N ra thừa số nguyên tố: ifactor( N); factor( f(x));ph©n tÝch
®a thøc f(x) thµnh nh©n tö
+Ước chúng lớn nhất của hai số a,b: gcd(a,b);
+Bội chung nhỏ nhất của hai số a,b: lcm(a,b);
+Tìm số dư khi chia a cho b: irem( a,b);
+Tìm thương nguyên khi chia a cho b: iquo( a,b); ví dụ iquo(7,3) cho kết
quả là 2.
+Kiểm tra số N có là số nguyên tố không: isprime( N);
+Tìm số nguyên tố đứng sau số N cho trước: nextprime( N);
+Tìm số nguyên tố đứng trước số N cho trước: prevprime( N);
3


+Tìm số nguyên đứng ngay sau số a: Round(a)
+Tìm phần nguyên của a: Trunc(a)
+Kí tự % là biến nhớ lưu động, lưu dữ các kết quả tính toán gần nhất( giống
phím Ans trong máy tính)
+Trong Maple có sự phân biệt chữ hoa và chữ thường. Nếu chữ đầu các lệnh ta
nhập bằng chữ in hoa thì máy hiển thị ra biểu thức tính toán đã nhập , không đưa
ra kết quả.
Muốn hiện kết quả ta dùng lệnh value( %).
4.Đơn giản biểu thức:
-Để rút gọn một biểu thức ta dùng lệnh simplify.
-Cú pháp: simplify( f(x), x);
-Để tối giản một phân thức ta dùng lệnh normal ( f(x), x);
(Nếu không sợ nhầm lẫn về biến x thì ta có cú pháp rút gọn:

normal( f(x) ); simplify( f(x) );

sort(collect( f(x),x) thu gọn biểu thức f theo biến x
Ví dụ 3: Đơn giản các biểu thức:
x3 − y 3
.
A = cos x + sin x + 2cos x − 2sin x − cos 2 x ; B = 2
x + x − y − y2
đối với biểu thức A ta dùng lệnh simplify:
5

4

2

2

simplify( cos(x)^5+ sin(x)^4+2*cos(x)^2-cos(2*x) );
đối với biểu thức B ta dùng lệnh Normal
normal( (x ^3- y^3)/( x^2+x-y-y^2) );

( có thể dùng lệnh simplify cho biểu thức B)
Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức sau:
a
b
c
+
+
S=
(a − b)(a − c) (b − c)(b − a ) (c − a )(c − b)
chuyên 08)

(Kì thi tuyển sinh vào khối

4


Cho kt qu S=0;
5.Khai triển biểu thức
Ta dùng lệnh expand( biểu thức); để khai triển biểu thức
ví dụ để khai triển biểu thức ( x 2 2 x + 2) 2 .( x 2) ra đa thức bậc 5 theo biến x la
làm nh sau:

+ví dụ để khải triển đa thức 2 biến x, y: f(x,y) =
( x y )3 + ( x y + 1) 2 (2 x + y + 1)
ta nhập nh sau:

6.Phộp gỏn bin nh
gỏn giỏ tr a cho bin x ta vit x: = a;
gỏn giỏ tr y bng biu thc ca f(x), ta vit y: = f(x)
Mun tr li giỏ tr ban u cho bin ta ỏnh restart;
2
+ví dụ: ta có mối quan hệ: y = x 1 và cần khai triển biểu thức
2
2
f ( x) = ( x y ) + ( x + y ).(2 x y + 2)
Ta làm nh sau:

5


(1 y ) x 2 + 2 y 2 = x + 2 y + 3xy

+ứng dụng: giải hệ sau:
y + 1 + x 2 + 2 y 2 = 2 y x
đặt a = y + 1 , bình phơng hai vế; cho maple khai triển nhanh nh sau

2a 4 4a 3 3a 2 + 4a + 2
2(2a 2 a 2)
T đây ta nhập vào máy để maple khai triển pt1 theo ẩn a nh sau:
Từ đây ta rút thế x qua a : x =

Tóm lại bây giờ ta cần giải quyết phơng trình bậc 6:
=0
đối với phơng trình này ta có thể dùng chức năng phân tích đa thức thành nhân tử
Với cú pháp: factor( đa thức);

6


®Õn ®©y coi nh c©u hÖ ph¬ng tr×nh ®· ®îc gi¶i quyÕt
7.Chức năng convert(Dùng để tách một biểu thức ra làm nhiều biểu
thức):
a) convert biểu thức
Cú pháp: convert( biểu thức,parfrac,biến );
Nếu không sợ nhầm lẫn về biến thì có thể rút gọn: convert( biểu thức,

parfrac);
2x2 − x + 3
Ví dụ 5: Convert biểu thức
như sau
x4 − 1

2x2 − x + 3
x −1
1
3
=
+
−
Ta có kết quả :
.
4
2
x −1
2( x +) x − 1 2( x + 1)
b)convert dùng để đổi đơn vị đo góc
*Đổi góc A độ thành dạng radian: convert( A,units, degrees,radians);
*Đổi góc α ra dian sang đơn vị độ: convert( α , units,radians,degrees);
7.Chức năng seires
Series( f(x), x=x0) dùng để khai triển taylor f(x) tại x=x0
Ví dụ 6:với hàm số x4-3x3+2x2-1 khai triển taylor tại x=1.
Nhập: series( x^4-3*x^3+2*x^2-1, x=1);

7


Kết quả : x4-3x3+2x2-1=(x-1)4+(x-1)3-(x-1)2-1

B. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VỚI :
solve ; fsolve; rsolve và dsovle
1.Giải thích chức năng solve:
*solve là chức năng để giải phương trình trên trường số phức

*Cú pháp : solve( phương trình , biến_1, biến-2`)
Ví dụ 7 : Giải phương trình: x4+4x3-34x2-8x+64.=0
Ta nhập như sau:
solve(x^4+4*x^3-34*x^2-8*x+64=0,x);
Có thể nhập tắt: solve(x^4+4*x^3-34*x^2-8*x+64); ( khi vế trái =0 và trong
phương trình không sợ nhầm lẫn về biến)

Nghiệm của phương trình là: 4,-8, - 2 , 2 .
2.Giải thích chức năng fsolve:
*Khi cần nghiệm của phương trình trên trường số thực ta dùng lệnh fsolve
*Cú pháp: fsolve(phương trình , biến_1,biến_2,`);
Ví dụ 8:Giải phương trình x4+x2-13x+6=0.
Ta nhập như sau: fsolve(x^4+x^2-13*x+6);

8


Nghiệm 2 là nghiệm chính xác, nghiệm 0.4837523009 là nghiệm gần đúng của
phương trình .
3.Chức năng slove để giải bất phương trình
Cú pháp: solve( Bất phương trình, biến);
Ví dụ 9 :Giải bất phương trình x 2 + 56 x + 80 < x − 2 .

* Chú ý: RealRange(5,Open(14)) =[5;14).
4.Chức năng solve để giải hệ phương trình
Giả sử cần giải một hệ gồm n phương trình PT1, PT2,`PTn.
Cú pháp:

solve( {PT1, PT2,`,PTn});
Ví dụ 10:Giải hệ:

 x + y − 3z − 4t + 5k = 1
 2 x − 3 y + z − t + k = −1

4 x − y − z − t − k = 3
x − y − z − t − k = 9

9 x + y + 2 z − 5t + 7k = 21

9


5.Chức năng solve để giải hệ bất phương trình
Để giải một hệ gồm các bất phương trình : bpt1,bpt2,..bptn
Cú pháp : solve( {bpt1, bpt2,..bptn});
Ví dụ 11: Giải hệ bất phương trình
 x 2 − 3x − 10 ≥ 0

x − 2 > 0
 x 2 − 3x − 10 < ( x − 2) 2


Đáp số [5;14).

6.Chức năng rsolve để giải phương trình hàm.
Ví dụ 12 : Tìm hàm số f(x) biết
f(1)=1, f(2)=4, f(x)=2f(x-1)+3f(x-2);
Ta nhập như sau:

10

7.Chức năng dsolve để giải phương trình đạo hàm riêng.
Ví dụ 13: giải phương trình : y(x)-2y’(x)+ y”(x) =0
ta nhập như sau: dsovle( y(x)-2*diff( y(x),x)+diff(y(x),x,x));

Kết quả hàm số cần tìm là: y(x)=C1.ex+ C2.xex.

C.HÀM SỐ VÀ GIÁ TRỊ HÀM SỐ
1.Nhập hàm số
Để có hàm số f(x)= x4+x3-14x2-2x+24
Ta làm như sau: f(x):=x->x^4-x^3-14*x^2-2*x+24;

Ta có thể tiến hành tính giá trị khi x = a, viết f(a); hoặc tính đạo hàm cấp 2, cấp
3.., nguyên hàm cho f(x) (xem chương nguyên hàm , tích phân bên dưới)
Để có hàm số hai biến số f(x,y) ta làm tương tự, ví dụ muốn thành lập hàm
f(x,y)=2xy-x3-y2 ta làm như sau:

f:= (x,y)->2*x*y-x^3-y^2;
11


Có thể tính giá trị f khi cho x = a, y = b: f(a,b);..
2.Phân tích đa thức thành nhân tử:
Nếu hàm số có nghiệm hữu tỉ ta có thể phân tích hàm số đó thành nhân tử theo
cú pháp sau:
factor( f(x) );
Ví dụ 14: factor( x^2-1) cho kết quả (x+1)(x-1)
Ví dụ 15: Đối với hàm f(x)= 3x4-22x3+57x2-62x+24 .

vậy: 3x4-22x3+57x2-62x+24=(x-1)(x-2)(x-3)(3x-4).
ifactor( a ) để phân tích a thành tích các thừa số nguyên tố:
Ví dụ: ifactor(24); cho kết quả 24=(2)3.3
3.Khai triển một hàm số ta dùng cú pháp expand( f(x));
Ví dụ 16 : khai triển (2x+y)7.

12


4. Tính giá trị hàm f(x) tại giá trị x=x0.
Cú pháp: eval( f(x), x=x0).
Ví dụ 17 tính giá trị hàm số f(x)= 3x4-22x3+57x2-62x+24, tại x=9; tại x=a.

5.Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một hàm số
*Cú pháp: maximize( f(x)) để tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên R
minimize( f(x) ) để tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) trên R
maximize( f(x), x=a..b) để tìm giá trị lớn nhất của f(x) trên [a;b]
minimize( f(x), x=a..b) để tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) trên [a;b]
ví dụ 18 : maximize( -x^2-2*x-5);

D. ĐẠO HÀM-TÍCH PHÂN
1.Đạo hàm
Cú pháp: diff( f(x) ,x) ;
Tính đạo hàm của hàm số f(x) theo biến số x.
Ví dụ 19 :Tính đạo hàm của hàm số
a)f(x)= 34-22x3+57x2-62x+24;
3
b)f(x)= x − 2 + ln( x 4 + 3 x) .
x

13


c)với f(x)=

x−

3
+ ln( x 4 + 3 x) , tính f’(10)
2
x

d) Tìm f”(x) của hàm số f(x)= 3x4-22x3+57x2-62x+24;
Cú pháp diff( f(x),x,x) để tìm f”(x)
2.Tích phân:
a) Nguyên hàm của hàm số f(x) được cho theo cú pháp:

int( f(x),x);
Ví dụ 20: Tính nguyên hàm của hàm số f(x)=

x−

3
+ ln( x 4 + 3 x)
2
x
14


b

b) Tích phân: Tích phân

∫ f ( x)

có cú pháp:

a

int( f(x), x=a..b);

nếu a hoặc b bằng ∞ thì ta thay bằng infinity.
4

4
3
2
Ví dụ 21: Tính tích phân ∫ (3x − 22 x + 57 x − 62 x + 24)dx .
1

4

4
3
2
Kết quả tích phân : ∫ (3x − 22 x + 57 x − 62 x + 24)dx =
1

+∞

Ví dụ 22: Tính

1

∫x

2

153
.
10

dx.

1

15


*Cũng có thể tính tích phân nhiều lớp theo cú pháp trên
2 7

Ví dụ 23:Tính

∫ ∫ ( xy − x

2

)dxdy

1 3

E. GIỚI HẠN
Trong Maple ta có thể tính giới hạn các dạng:
lim
f ( x)
limit (f(x), x=a);
x →a
lim
f ( x)
x →∞

limit ( f(x), x=infinity);

lim f ( x)

limit( f(x), x=a, right);

lim f ( x)

limit( f(x) , x=a, left);

x →a +
x →a −

Ví dụ 24: Tính các giới hạn:
3x 2 − 3x + 2 ;
2− x
x2 − 1 ;
lim

lim
lim
2
x →∞
x →1
−x +1
x − 1 x →2 x 2 − 4
+

−

16


F. TỔNG-TÍCH
1.Lệnh sum( Biểu thức theo phụ thuộc biến n, n=a..b) dùng để tính
tổng khi n chạy từ a đến b.
15
1
Ví dụ 25 : tính ∑ 2
1 k
Nhập: sum( 1/k^2, k=1..15);

1 1
1
Ví dụ 26 : tính S=1 + + + ... + n + ...
3 9
3
Ta nhập như sau: sum( 1/3^n, n=0..infinity);
2.Lệnh product( Biểu thức phụ thuộc n, n=a..b);

của biểu thức phụ thuộc n khi n chạy từ a đến b.
8
1 1 1 1
Ví dụ 27 tính ∏ 2 = . ...
2 4 64
n =1 n
Ta nhập: product( 1/n^2, n=1..8);

dùng để tính tích

17


Nếu ta dung lệnh Product thì máy hiện ra biểu thức được nhập vào mà chưa đưa
ra kết quả.
Muốn hiện kết quả ta dùng lệnh value(%) như ở trên.

G. ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1.Khởi tạo các hàm vẽ đồ thị:
Trước khi vẽ đồ thị ta cần khởi tạo các hàm vẽ đồ thị như sau:

with(plots); with(plottools);
2.Đồ thị 2D( không gian 2 chiều)
*) Cú pháp : plot( f(x), x=a..b, các thủ tục khác);
để vẽ đồ thị của hàm số f(x) giới hạn khi x ∈ [a;b].
Các thủ tục khác như:
color=[mầu ] ->đặt mầu cho đồ thị.
thicknees=a ->đặt nét vẽ cho đồ thị( nét to hay bé) (nếu không có thủ tục
này máy tự mặc định a=1)
titile= “nhãn của đồ thị” nếu muốn đặt tên (nhãn) cho đồ thị.

numpoints=b ->đặt độ mịn cho đồ thị. (nếu không có thủ tục này máy tự mặc
đinh b=1000).
Ví dụ 28: Vẽ đồ thị hàm số y=x.sinx trên [-3;3]

*) Có thể vẽ hai đồ thị y=f(x) và y=g(x) trên cùng một hệ trục theo cú pháp:

plot( {f(x), g(x) }, x=a..b}
18


Ví dụ 29: Vẽ đồ thị hàm y=xsinx màu đỏ; đồ thị hàm ex-2x màu xanh với tiêu
đề : “y=xsinx và y=ex-2x” trên cùng một hệ trục như sau:

3.Đồ thị 3D ( Trong không gian 3 chiều)
Cú pháp: plot3d( f(x,y), x=a..b,y=c..d);
Ví dụ 30:Vẽ đồ thị hàm z= 9 − x 2 − y 2 ( đây là một nửa hình cầu bán kính R=,
tâm O(0;0;0)

19


(có thể đưa chuột vào vùng đồ thị để xoay đồ thị theo các hướng)
4.Đồ thị của hàm ẩn:
Đối với không gian 2 chiều ta có cú pháp:

implicitplot( phương trình ,x=a..b, y=c..d);
Đối với không gian 3 chiều ta có cú pháp:

Implicitplot3d( phương trình,x=a..b,y=x..d,z=e..f)

Ví dụ 31: vẽ đồ thị các hàm số

x2 y 2 z
x + y = 4;
+ + =4
2
3 4
2

2

20


5.Sự vân động của đồ thị hàm số phụ thuộc tham số:
Đối với đồ thị 2D cú pháp:

animate( hàm số có tham số t, x=a..b, t=c..d);
Đối với đồ thị 3D cú pháp:

Animate3D( hàm số có tham số t, x=a1..a2, y=b1..b2, t=t1..t2);
Ví dụ 32 : Sự vận động của parabol y= tx2 khi t=-5 -> 5.
2
2 y
Sự vần động của đồ thị hàm z=x + . khi t chạy từ 1 đến 4.
t

21

Các nút:
(xuất hiện khi ta đưa chuột
vào hình vẽ) dùng để chạy trương trình và điều khiển tốc độ chạy khi t biến
thiên
Chú ý: Việc vẽ đồ thị tốt có thể giúp ta dự đoán cực trị cho hàm hai biến
hoặc ba biến, từ đó giúp ta dự đoán điểm rơi cho các bài toán bắt đẳng thức.

H. VÉCTƠ-MA TRẬN- MẢNG
1.Vectơ r
*Nhập vectơ v (a;b;c) : v:=< a | b | c >;
r r
*Cộng hai vectơ u + v : u+v;
22


r
*k nhân với vectơ v : k*v;
r r
*Tích vô hướng u . v : u.v;
r
r
*Góc giữa hai vectơ u và v : VectorAngle(u,v);
r r
*Tích có hướng u ^ v : u &x v;
2.Ma trận
*Khởi tạo các hàm trong gói đại số tuyến tính: with(LinearAlgebra);
*Nhập ma trận
 a1 b1 



ví dụ 33: nhập ma trận sau:M=  a2 b2 
 a3 b3 
cách 1: nhập theo dòng: M:=< <a1| b1>,<a2 | b2 >, <a3 | b3 > >;
cách 2: nhập theo cột:
M:=< <a1,a2,a3> | <b1,b2,b3> >;
*Cộng hai ma trận: A+B;
*Cộng ma trận Avới một số a: a+A;
*nhân ma trận A với một số k: k.A;
*Nhân hai ma trận A và B: A.B;
*Luỹ thừa n ma trận A: A^n;
*Ma trận nghịch đảo( đối với các ma trận vuông): MatrixInverse(A);
*Định thức của ma trân A: Determinant(A);
3.Mảng
a)mảng một chiều
*Khai báo a:=array(1..n);
*Truy nhập vào phần tử thứ i của mảng: a[i];
b)Mảng nhiều chiều
*Khai báo a:=array( 1..n,1..n,..,1..n) ( có m số 1) để khai báo mảng n dòng m
cột
Ví dụ 34 r
r
r r r r r
r r
Nhập vectơ v (1;2;3) , u (-3,4,5). Tính 2 v , 3 u + v , ( u , v ), , tích có hướng u ^ v ,
r r r
v , u .v

23

 1 −2 3 
 4 −1 6 

÷

÷
Ví dụ 35 : Nhập ma trận A =  4 1 2 ÷ và ma trận: B =  3 7 1 ÷
 6 −9 13 ÷
 4 −6 −4 ÷




2
-1
Thực hiện các phép toán: 2A; A+B; B ; Det(A); tìm A .

24


M. HÀM VÀ THỦ TỤC HÀM.
1.Lệnh for
*Cú pháp1( nếu m>n): for i from m to n do công việc1; cv2;..công việc k end
do;
*Cú pháp 2( nếu mTrong trường hợp n=1 ta rút gọn: for i to n do cv1,cv2..cvk end do;
Ví dụ 36: Thành lập dãy số phibônaxi (un) với
u1 = 1, u2 = 1

un = un −1 + un− 2 (n ≥ 3)

Viết ra 30 số hạng đầu dãy phibonaxi.
Nhập như sau:
u:=array(1..30);
u[1]:=1;u[2]:=1
for i to 30 do u[i]:=u[i-1]+u[i-2] end do;
2.Lệnh if
*cú pháp: if <đkiện > then <cviệc1> else <cviệc2> end if;
*Cú pháp rút gọn: if <đkiện > then <cviệc> end if;
3.Chương trình con
Cú pháp:
Tên chương trình:=proc( các biến)
<thân chương trình>
end proc;
Ví dụ 37: Lập hàm để kiểm tra một số có là số chính phương hay không

25