VLTK NHÓM 1 TUẦN 8

BÀI TẬP VẬT LÍ THỐNG KÊ TUẦN 8
Bài 1. Ở độ cao nào nhiệt độ 00C, áp suất không khí giảm đi 3 lần?
Bài giải
Giả sử không khí là khí lí tưởng,áp dụng công thức phong vũ biểu ta
có (với t=00C, T=t+273)

P ( z ) = P0e

−

mgz
kbT

Vì áp suất không khí giảm đi 3 lần nên

1
P ( z ) = P0
3
mgz

−
P( z )
1
→
= e kbT = (*)
P0
3

Mđvc
= 29 m ⇒
Với:

kk

= 4,816.10
g −23 ( ) = 4,816.10
kg−26 (

)

1
23
1 đvC= 6,022.10

Lấy logarit 2 vế của phương trình (*)
ln

1
mgz
4,816 .10 −26.9,8.z
=−
⇔ − ln 3 = −
= −1,25.10 −4 z
− 23
3
k bT
1,38.10 .273

⇒ z = 8.8km

Bài 2 .Biết phân tử lượng của không khí là M=29 đvc. Dựa vào công

thức phong vũ biểu. Tính tỷ số của phân tử trong V0= 1cm3 với số hạt toàn
phần là n0 ở T=273K, ở độ cao lần lượt là 1km,10 km và 80 km.
Bài giải
Ta có

n ( z ) = n0e

−

mgz
kbT

n ( z ) = n0e

−

mgz
kbT

mgz

−
n( z )
⇒
= e kbT
n0



= 29 m ⇒

 Mđvc
Trong đó 

kk

=

29
= 4,816.10
g −23 ( ) = 4,816.10
kg−26 (
23
6, 023.10

)

g = 9,8m / s 2
kb = 1,38.10−23

Với

T = 273K

J/độ

*Trường hợp Z1=1km=103m
−
n ( z1 )
=e
n0

4,816.10−26.9,8.103
1,38.10−23.273

= 0,8822

*Trường hợp Z2=10km=104m
−
n ( z2 )
=e
n0

4,816.10−26.9,8.104
1,38.10−23.273

= 0, 2858

*Trường hợp Z3=80km=8.104m
−
n ( z3 )
=e
n0

4,816.10−26.9,8.8.10 4
1,38.10−23.273

= 4, 45.10−5

Bài 3 .Tính độ cao trung bình của cột không khí ( xem trường lực của trái
đất là đều, cột không khí tương đương KLT trong V0= 1cm3 tại P=1at )

Bài giải
Độ cao của cột không khí chỉ phụ thuộc vào thế năng trọng trường
của hệ

n ( z ) = n0e

−

mgz
kbT

g = 9,8m / s 2
kb = 1,38.10 −23

Với

T = 273K

J/độ

1atm=98066,5 Pa=98066,5N/m2


PV 98065 ,5.10 −3
PV = nRT ⇒ n =
=
= 0.04322mol
RT
8,31.273
n0 = nN A= 0.04322.6,023.10 23 = 2,603.10 22 hat

m=

29
− 23
− 26
=
4
.
816
.
10
g
=
4
,
816
.
10
kg
6.022.10 23

Công thức tính độ cao trung bình của cột không khí là
∞

z = ∫Z .n0 .e

−

mgz
kbT

0

∞

Tính

I = ∫Z .e

∞

dz = n0 ∫Z .e

−

mgz
kbT

dz = n0 .I

0

−

mgz
kbT

dz

0

u = z ⇒ du = dz

mgz
mgz
−
−



k
T
k bT
dz ⇒ v = − B e kbT
dv = e
 mg 
Đặt: 
mgz ∞

 kbT  − kbT
e
I = − z.
mg



0

mgz

∞

 kbT  − kbT
e dz
+ ∫ 
mg

0
∞

 k T  k T  − mgz

k BT
b
b
 −
e
I = 0 + 

mg
mg



 0
2

k T 
I = − b  (0 − 1)
 mg 

k T 
I =  b 
 mg 
Vậy ta có

2

2

2

− 23
 k bT 
.273 
22  1,38.10
 = 1,658.1030 m
 = 2,603.10 
z = n0 
−26
 mg 
 4,816 .10 .9,8 

Bài tập thêm: T ích phân trạng thái và các hàm nhiệt động của khí lí tưởng.


Xét khối khí lí tưởng chứa trong thể tích V.
Vì khí lí tưởng là không ngừng tương tác nên bên trong thể tích V các hạt
chuyển động tự do.
Nhưng đặt khối khí này trong trường trọng lực U

0
U ( x, y , z ) = 
∞ đối với X ở trong V
đối với X ở ngoài V
Đối với khí lí tưởng hàm Hamiltonian bằng tổng các năng lượng của các
hạt riêng lẻ:
N
 p2

H = ∑  k +Uk ( x) ÷
k =1  2m


Bởi vì các hạt độc lập với nhau, ta có thể viết tích phân trạng thái của N hạt
dưới dạng sau

Z0 =

1
 H ( X , a) 
exp
−
dx
∫


N! x
θ



 1 N  pk2
 
1
⇔ Z0 =
exp
−
+
U

∑

k ÷ dx
∫
N! x
 θ k =1  2m
 
+∞

 1  Pk2
 
1 
=
+ U k ( xk , yk , zk ) ÷ dpk x .dpk y .dpk z .dx.dy.dz 
 ∫ exp − 
N !  −∞
θ
2
m




 
1
= Z kN .
N!

Với Zk là tích phân trạng thái đối với 1 hạt

N


 1  Pk2
 
Z k = ∫∫∫ ∫ ∫∫ exp − 
+ U k ÷ dpkx .dpk y .dpkz .dx.dy.dz
 θ  2m
 
−∞
Do tính chất độc lập của các hình chiếu px,py,pz nên:
(2)=>
+∞

(2)

2
2
+∞
+∞
+∞

 Pk2x 
 −U ( x, y, z ) 
 Pk y 
 Pkz 
Z k = ∫ exp −
 dpkx . ∫ exp −
 dpk y . ∫ exp −
 dpkz .∫ ∫ ∫ exp 
 dx.dy.dz
2
m
θ
2
m
θ
2
m
θ
θ






−∞
−∞
−∞
−∞







(3)
+∞

Trị số của tích phân Poatxong
+∞

∫e

− ax 2

−∞

π
dx =
a

 pk2
∫−∞ exp  − 2mθ

Áp dụng
+∞

 
π
dp

=
= 2π mθ

÷
1/
2
m
θ
 

Dạng của thế năng.
+∞

 −U ( x, y, z ) 
exp
1.dxdydz = V
∫−∞ ∫ ∫  θ dxdydz = ∫∫
∫
X
(3) ⇔ Z k = ( 2π mθ )3V
Do tích phân trạng thái của toàn bộ hệ là

z0 = ( 2π mθ )3 N V N

1
(4)
N!

Ta có:

log( N (1 + 4 N (1 + 2 N ))) log(π )
log N ! ≈ N log N − N +
+
6
2

Hay

ln N !≈ N ln N

ln Z 0 =

3N
(ln 2π + ln m + ln θ ) + N ln V − ln N !
2
(6)


Nhân 2 vế của (6) với

(−θ )

, ta được:

 3N
ψ = −θ .ln Z 0 = −θ 
( ln 2π + ln m + ln θ ) + N ln V − N ln N 
 2

3


= − Nθ  ( ln 2π + ln m + ln θ ) + ln V − ln N 
2


Phương trình trạng thái khí lí tưởng

3
∂[ − θ N ( ln(2π mθ ) + ln V − ln N )]
−∂Ψ
2
p=
=
∂V
∂V
−∂Ψ −∂ (−θ N ln V )
1
⇔ p=
=
= θ N.
∂V
∂V
V
θ = KT
(7)
Phương trình claperon-Mendeleep

p=

NKT

V (8)

(7) và (8) suy ra θ = KT
Với K=1,38.10^-23 J/độ là hằng số Bô-xơ-man
Áp dụng biểu thức của năng lượng tự do ta có thể tính entropy của khí lí
tưởng theo công thức

3
S = kNlnV + kNlnT + S 0
2
Ở đây trong hằng số tùy ý S0 có chứa các số hạng
3
3

kNln
(2
π
km
)
+
kN
−
kN
ln
N
 2
2


Bây giờ ta có thể tính nội năng và nhiệt dung Cv của một mol khí lí tưởng

đơn nguyên tử:


U = ψ + TS
= −kT [ N ln V +

3
3
3
3
N (ln T + ln 2π km) − N ln N ] + T [kN ln V + kN ln T + kN ln 2π km + kN − kN ln N ]
2
2
2
2

3
3
kNT = RT .
2
2
3
 ∂U 
Cv = 
÷ = R
 ∂T V 2
=

Như vậy, trong trường hợp khí lí tưởng, xuất phát từ phân bố chính tắc ta
đã tìm được các hàm nhiệt động cơ bản và phương trình trạng thái.