Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 thành phố hồ chí minh năm học 2016 2107(có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỒ HỒ CHÍ MINH
_________________

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
CẤP THÀNH PHỐ
KHÓA THI NGÀY 20/3/2017
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
(Không kể thời gian phát đề)

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 01 trang)
Bài 1. (3 điểm)

Cho ba số a, b, c thỏa các điều kiện a − b = 7, b − c = 3.
a 2 + b2 + c2 − ab − bc − ca
Tính giá trị của biểu thức P =
.
a 2 − c2 − 2ab + 2bc
Bài 2. (3 điểm)
Giải phương trình: (2x −1) x + 3 = x 2 + 3
Bài 3. (3 điểm)

{

x(y −1) + y(x +1) = 6
Giải hệ phương trình: (x −1)(y +1) = 1
Bài 4. (4 điểm)
2y
x

1. Cho 2 số thực dương x, y thỏa điều kiện 1+ x + 1+ y =1 . Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức P = xy2
2. Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình: (x + y)(x + 2y) = x + 5
Bài 5. (5 điểm)
1. Cho tam giác nhọn ABC có H là trực tâm.Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AH
Đường phân giác trong góc A cắt MN tại K. Chứng minh rằng AK vuông góc với HK.
2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi AH, AD lần lượt là đường cao, đường
phân giác trong của tam giác ABC (H, D ∈ BC). Tia AD cắt (O) tại E, tia EH cắt (O) tại
F và tia FD cắt (O) tại K. Chứng minh rằng AK là đường kính của (O).
Bài 6. (2 điểm)
Trong tuần, mỗi ngày Nam chỉ chơi một môn thể thao. Nam chạy ba ngày một tuần nhưng
không bao giờ chạy trong hai ngày liên tiếp. Vào thứ Hai, anh ta chơi bóng bàn và hai ngày
sau đó anh ta chơi bóng đá. Nam còn đi bơi và chơi cầu lông, nhưng không bao giờ Nam
chơi cầu lông sau ngày anh ta chạy hoặc bơi.Hỏi ngày nào trong tuần Nam đi bơi?

HẾT


GỢI Ý
Bài 1. • Từ a − b = 7, b − c = 3 ⇒ a − c = 10, ta có:
2(a 2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) (a − b) + (b − c)2 + (c − a)2
79
=
= ... =
40
2(a 2 − c2 − 2ab + 2bc)
2[(a − b)2 − (b − c)2 ]
Bài 2. • Điều kiên: x ≥ –3
• (2x −1) x + 3 = x 2 + 3 (1) ⇔ 2x x + 3 − x + 3 = x 2 + 3 ⇔ x 2 + 3 − 2x x + 3 + x + 3 = 0
• P=

⇔ (x 2 − 2x x + 3 + x + 3) − (x − x + 3) = 0 ⇔ (x − x + 3) 2 − (x − x + 3) = 0 ⇔ (x − x + 3)(x − x + 3 −1) = 0
1+ 13 3 + 17 


⇔ x − x + 3 = 0 ⇔  x + 3 = x ⇔ ... • Tập nghiệm của (1) là S = 
;
2 
 x − x + 3 −1 = 0  x + 3 = x −1
 2

{

{

{

{

x(y −1) + y(x +1) = 6 ⇔ xy − x + xy + y = 6 ⇔ 3xy = 8
⇔ 3x(−3y) = −24 nên 3x và
Bài 3. (x −1)(y +1) = 1
xy + x − y = 2
3xy + 3x − 3y = 6
3x + (−3y) = −2

{
{




X
=
4

2
– 3y là nghiệm của phương trình X + 2X – 24 = 0 ⇔ … ⇔  X = −6 ⇔ 



x = 4
3x = 4
 3
−3y = −6 y = 2
⇔  x = −2

3x = −6
 −4
−3y = 4
y = 3


2y
x
Bài 4. 1. • Với x, y > 0, ta có: 1+ x + 1+ y =1 ⇔ x + xy + 2y + 2xy =1+ xy + x + y ⇔ y + 2xy = 1 .
• Áp dụng bđt Cauchy, ta có 1 = y + 2xy ≥ 2 y.2xy = 2 2xy2 ⇒1 ≥ 8xy2 ⇒ P = xy2 ≤

1
8

1 y = 2xy
1
• P = 8 ⇔  y + 2xy = 1 ⇔ ... ⇔ x = y = 2
 x; y > 0
2. • (x + y)(x + 2y) = x + 5 ⇔ x 2 + 3xy + 2y2 − x − 5 = 0 ⇔ 4x 2 +12xy + 8y2 − 4x − 20 = 0
⇔ (2x)2 + 2.2x(3y −1) + (3y −1)2 − y2 + 6y − 21 = 0 ⇔ [2x + (3y −1)]2 − (y − 3) 2 =12
⇔ (2x + 2y + 2)(2x + 4y − 4) =12 ⇔ (x + y +1)(x + 2y − 2) = 3
• Với x, y nguyên ta có bảng sau:
x + 2y – 2
1
3
–1
–3
3
1
–3
–1
x +y+1
–2
2
2
–2
y–3
1
5
5
1
y
1
–5

–9
–3
x
A

Bài 5. 1.Chứng minh rằng AK vuông góc với HK.
• Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC
có tâm là M.
• Chứng minh tứ giác AFHE nội tiếp đường tròn đường kính AH
·
có tâm là N. Cho đường tròn (N) cắt NM tại K’ ⇒ AK'H
= 900
⇒ AK’ ⊥ HK.
• NM là đường trung trực của dây chung FE mà K'∈ NM
B
·
·
·
·
⇒ K’F = K’E ⇒ K'FE
mà K'FE
và
= K'EF
= K'AE
·
·
·
·
(do tứ giác AFK’E nội tiếp)⇒ K'AE
K'EF

= K'AF
= K'AF
⇒ AK’ là phân giác trong góc A mà AK là phân giác trong góc

E

N
F
H

D

K'≡ K

M

C


A(gt) và K'; K ∈ NM ⇒ K' ≡ K ⇒ AK ⊥ HK(đpcm).

A

2. Chứng minh rằng AK là đường kính của (O).
·
·
·
·
·
·

·
·
• BHF
= HBE
+ HEB
= CAE
+ FAB
= BAD
+ FAB
= FAD
·
·
·
⇒ tứ giác AFHD nội tiếp ⇒ AFD
= AHD
= 900 ⇒ AFK
= 900

F
O

·
mà AFK
là góc nội tiếp của đường tròn (O) ⇒ AK là đường kính
của (O) (đpcm).

B

H

D

C

• Xét tiếp các trường hợp: H ≡ B , H ≡ C , H ở ngoài cạnh BC.
Bài 6. Vào thứ Hai, anh ta chơi bóng bàn và hai ngày sau đó anh ta chơi bóng đá.

E

K

• Nếu 0 ngày sau đó anh ta chơi bóng đá thì ngày chơi bóng đá là thứ Hai.
• Nếu 1 ngày sau đó anh ta chơi bóng đá thì ngày chơi bóng đá là thứ Ba.
• Đề bài cho hai ngày sau đó anh ta chơi bóng đá nên ngày chơi bóng đá là thứ Tư.
Suy ra 3 ngày chạy chỉ là: 1) thứ Ba, thứ Năm, thứ Bảy. Khi đó ngày chơi cầu lông là thứ Sáu hoặc
Chủ Nhật(không xảy ra vì đều sau ngày chạy)
2) thứ Ba, thứ Năm, Chủ Nhật. Khi đó ngày chơi cầu lông là thứ Sáu(không xảy ra vì sau
ngày chạy thứ Năm) hoặc thứ Bảy (không xảy ra vì khi đó sau ngày bơi thứ Sáu)
Hoặc 3) thứ Ba, thứ Sáu, Chủ Nhật. Khi đó ngày chơi cầu lông là thứ Năm và ngày bơi là thứ
Bảy(thỏa điều kiện của đề bài). Vậy thứ Bảy trong tuần Nam đi bơi.

Có gì sai sót, kính mong Thầy Cô và các bạn thông cảm.