HINH KHONG GIAN 12 2017 TRAC NGHIEM LUONG VAN HUY

Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 – Face : Lương Văn Huy
PHẦN 1:LÝ THUYẾT
I. TỈ SỐ GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG

AB
AC
(ĐỐI chia HUYỀN) 2. cos  =
(KỀ chia HUYỀN)
BC
BC
AB
AC
A
3. tan  =
(ĐỐI chia KỀ) 4. cot  =
(KỀ chia ĐỐI)
AC
AB
1. sin  =

II. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
1. BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pitago)
2. AB2 = BH.BC
3. AC2 = CH.BC
4. AH2 = BH.CH

5. AB.AC = BC.AH

III. ĐỊNH LÍ CÔSIN
1. a2 = b2 + c2 – 2bccosA
IV. ĐỊNH LÍ SIN

6.

1
1
1


AH 2 AB2 AC 2

2. b2 = a2 + c2 – 2accosB

N

M

b)

AM AN

MB NC

C

A

V. ĐỊNH LÍ TALET
MN // BC

AM AN MN



;
AB AC BC

H

3. c2 = a2 + b2 – 2abcosC

a
b
c


 2R
sin A sin B sin C

a)



B

B

C

A

VI. DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG

1. Tam giác thường:
1
1
abc
* S  AH .BC  ab sinC  p( p  a)( p  b)( p  c) 
 pr.
2
2
4R

h

* p là nủa chu vi, R bán kính đường tròn ngoãi tiếp ,
r là bán kính đường tròn nọi tiếp.

B

H

C

2. Tam giác đều cạnh a:

a 3
a) Đường cao: h =
;
2

a2 3
b) S =

4

c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực
3. Tam giác vuông:
a) S =

1
ab (a, b là 2 cạnh góc vuông)
2

b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền
4. Tam giác vuông cân (nửa hình vuông):
a) S =

1 2
a (2 cạnh góc vuông bằng nhau)
2

b) Cạnh huyền bằng a 2
A

5. Nửa tam giác đều:
a) Là tam giác vuông có một góc bằng 30o hoặc 60o
B

60 o

30 o

C

CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH TRONG KHÔNG GIAN – LTĐH 2017 – GV : LƯƠNG VĂN HUY

1


Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 – Face : Lương Văn Huy

a 3
a2 3
b) BC = 2AB
c) AC =
d) S =
2
8
1
6. Tam giác cân: a) S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)
2
b) Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực
7. Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước)
8. Hình thoi:

S=

1
d1.d2 (d1, d2 là 2 đường chéo)
2

9. Hình vuông: a) S = a2
b) Đường chéo bằng a 2

10. Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)
11.Hình Thang: S= ½.h.(đáy lớn + đáy bé)
12. Đường tròn: a) C = 2  R (R: bán kính đường tròn)
b) S =  R2 (R: bán kính đường tròn)
VII. CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC
1. Đường trung tuyến: G: là trọng tâm của tam giác
a) Giao điểm của 3 đường trung tuyến của tam giác gọi là trọng tâm
b) * BG =

A

2
1
BN; * BG = 2GN; * GN = BN
3
3

N

M

G
2. Đường cao:
B
Giao điểm của của 3 đường cao của tam giác gọi là trực tâm
P
3. Đường trung trực:
Giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
4. Đường phân giác:
Giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác là tâm đường

tròn nội tiếp tam giác
S
VIII. Công thức thể tích:

C

1. Thể tích khối chóp:
1
V= B.h
3
B: Diện tích đa giác đáy.
h: Độ dài đờng cao.

C
A

B’

H
A’

D’

2. Thể tích khối lăng trụ:
V=B.h
B: Diện tích đa giác đáy.
h: Độ dài đờng cao.

C’

B
A

C

H
D
S

3. Tỷ số thể tích:

B'
A'

Cho khối chóp S.ABC.
A'SA, B'SB, C'SC

C'
C

A

CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH TRONG KHÔNG GIAN – LTĐH 2017 –BGV : LƯƠNG VĂN HUY

2


Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 – Face : Lương Văn
Huy
S

VS . ABC
SA.SB.SC

VS . A ' B 'C ' SA '.SB '.SC '

M

C
VS . ABM SA.SB.SM SM


VS . ABC
SA.SB.SC
SC
A
IX: Đường cao Đa giác lồi
B
A/ Đường cao hình chóp.
1/ Chóp có cạnh bên vuông góc đương cao chính là cạnh bên.
2/Chóp có hai mặt bên vuông góc đáy đường cao là giao tuyến của hai mặt bên vuông góc đáy.
3/ Chóp có mặt bên vuông góc đáy đường cao nằm trong mặt bên vuông góc đáy.
4/Chóp đều đường cao từ đỉnh đến tâm đa giác đáy.
5/ Chóp có hình chiếu vuông góc của một đỉnhlên xuống mặt đáy thuộc cạnh mặt đáy đường cao là từ đỉnh tới
hình chiếu.
*GV tự vẽ hình cho học sinh khi dạy.
B/ Đường cao của lăng trụ.
1/ Lăng trụ đứng đường cao là cạch bên.
2/ Lăng tru xiên đường cao từ một đỉnh tới hình chiếu của nó thuộc cạch nằm trong mặt đáy.
*GV tự vẽ hình cho học sinh khi dạy.
X: Góc

1/ Góc giữa hai đường thẳng đưa về góc hai đường thẳng cắt nhau.
*GV tự vẽ hình cho học sinh khi dạy.
2/ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng ban đầu và hình chiếu của nó lên mặt phẳng.
3/ Góc giữa hai mặt phẳng là góc góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góa với hai mặt phẳng đó.
*. Góc  giữa đt d và mp(  ): d cắt (  ) tại O và A d
d

* MSC, ta có:

 AH  ()
ˆ =
Nếu 
thì góc giữa d và (  ) là  hay AOH
 H  ( )

A

O


d'


H

* Góc giữa 2 mp(  ) và mp(  ):



()  ()  AB


Nếu  FM  AB;EM  AB
 EM  (),FM  ()


F

E

B

M


A

XI:Khoảng cách:
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng
d ( M , a)  MH
d ( M ,( P ))  MH
trong đó H là hình chiếu của M trên a hoặc (P).
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song
d(a,(P)) = d(M,(P)) trong đó M là điểm bất kì nằm trên a.
d((P),(Q) = d(M,(Q)) trong đó M là điểm bất kì nằm trên (P).
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
 Đường thẳng  cắt cả a, b và cùng vuông góc với a, b được gọi là đường vuông góc chung của a, b.
 Nếu  cắt a, b tại I, J thì IJ được gọi là đoạn vuông góc chung của a, b.
 Độ dài đoạn IJ được gọi là khoảng cách giữa a, b.
CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH TRONG KHÔNG GIAN – LTĐH 2017 – GV : LƯƠNG VĂN HUY

3


Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 – Face : Lương Văn Huy
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó
với mặt phẳng chứa đường thẳng kia và song song với nó.
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng
song song lần
lượt chứa hai đường thẳng đó.
*GV tự vẽ hình cho học sinh khi dạy.

ˆ =
thì góc giữa (  ) và (  ) là  hay EMF

Phần 2: Dạng toán và Phương pháp giải toán và bài tập vận dụng
Dạng 1: Tính thể tích của đa diện lồi:
1/ Phương pháp:
+ X ác định đường cao và tính độ dài đường cao.
+ Xác định mặt đáy và tích diện tích mặt đáy.
+ Thay vào công thức thể tích của khối đa diện lồi.
V
Chú ý: + V  V1  V2 ; V  kV ' ; V  1
V2
I : BÀI TẬP TỰ LUẬN:
Bài 1: Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a
A
HD: * Đáy là  BCD đều cạnh a. H là trọng tâm của đáy
* Tất cả các cạnh đều đầu bằng a

1

1
a2 3
* Tính: V = Bh = SBCD . AH * Tính: SBCD =
3
3
4
(  BCD đều cạnh a)
* Tính AH: Trong  V ABH tại H :

D

B
H

a

2
a 3
AH2 = AB2 – BH2 (biết AB = a; BH = BM với BM =
)
3
2
a3 2
ĐS: V =
12

M
C

S

Bài 2: Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều cạnh a
HD: * Đáy ABCD là hình vuông cạnh a. H là giao điểm của 2 đường chéo
* Tất cả các cạnh đều đầu bằng a

1
1
Bh = SABCD . SH * Tính: SABCD = a2
3
3
* Tính AH: Trong  V SAH tại H:
* Tính: V =

A

D
a

a 2
B
SH2 = SA2 – AH2 (biết SA = a; AH =
)
2
a3 2
a3 2
ĐS: V =
. Suy ra thể tích của khối bát diện đều cạnh a. ĐS: V =
6
3

H
C

CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH TRONG KHÔNG GIAN – LTĐH 2017 – GV : LƯƠNG VĂN HUY

4


Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 – Face : Lương Văn Huy
Bài 3: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a
A
a) Tính thể tích của khối lăng trụ
’
’
b) Tính thể tích khối tứ diện A BB C
HD: a) * Đáy A’B’C’ là  đều cạnh a . AA’ là đường cao
* Tất cả các cạnh đều bằng a
* VABC.ABC = Bh = SABC .AA’

a2 3 ’ ’ ’
* Tính: SABC =
(A B C là  đều cạnh a) và AA’ = a
4
3
a 3
1
a3 3
ĐS: VABC.ABC =
b) VABBC = VABC.ABC ĐS:
4

3
12

B
C

B'

A'
C'

( khối lăng trụ đứng có tất cả các cạnh bằng nhau được chia thành 3 tứ diện bằng nhau)


Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A B C , đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, C = 600, đường chéo
BC’
của mặt bên (BCC’B’) hợp với mặt bên (ACC’A’) một góc 300.
a) Tính độ dài cạnh AC’
b) Tính thể tích lăng trụ
HD: a) * Xác định  là góc giữa cạnh BC’ và mp(ACC’A’)
’

’

’

+ CM: BA  ( ACC’A’)
 BA  AC (vì  ABC vuông tại A)
 BA  AA’ (ABC.A’B’C’ lăng trụ đứng)

B'

C'
A'



3

+  = BC A = 300
* Tính AC’: Trong  V BAC’ tại A (vì BA  AC’)

AB
AB
= AB 3
 AC’ =
AC
tan 30 0
B
6
AB
0
* Tính AB: Trong  V ABC tại A, ta có: tan60 =
A
AC
ĐS: AC’ = 3a
 AB = AC. tan600 = a 3 (vì AC = a).
1
1
a2 3

’
b) VABC.ABC = Bh = SABC .CC
* Tính: SABC = AB.AC = .a 3 .a =
2
2
2
’
’
’2
’2
2
2
’
* Tính CC : Trong  V ACC tại C, ta có: CC = AC – AC = 8a  CC = 2a 2
tan300 =

C

ĐS: VABC.ABC = a3 6
Bài 5: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a và điểm A’ cách đều các
điểm A, B, C. Cạnh bên AA’ tạo với mp đáy một góc 600. Tính thể tích của lăng trụ.
A'
HD: * Kẻ A’H  (ABC)
C'
’
* A cách đều các điểm A, B, C nên H là trọng tâm của  ABC đều cạnh a


* Góc giữa cạnh AA’ và mp(ABC) là  = A A H = 600
* Tính: VABC.ABC = Bh = SABC .A’H

* Tính: SABC

a2 3
=
(Vì  ABC đều cạnh a)
4

B'

6
A

C

CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH TRONG KHÔNG GIAN – LTĐH 2017 – GV : LƯƠNG VĂN HUY
a

H
N
B

5


Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 – Face : Lương Văn Huy
* Tính A’H: Trong  V AA’H tại H, ta có:

AH
2
 A’H = AH. tan600 = AN. 3 = a

AH
3
a3 3
ĐS: VABC.ABC =
4
tan600 =

Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác
vuông tại A, AC = a, BC = 2a và AA’ = 3a.
Tính thể tích của lăng trụ
HD: * Đường cao lăng trụ là AA’ = 3a
* Tính: VABC.ABC = Bh = SABC .AA’

B'

C'

A'

3a

1
* Tính: SABC = AB.AC (biết AC = a)
2
* Tính AB: Trong  V ABC tại A, ta có:

2a
B

C

a

AB2 = BC2 – AC2 = 4a2 – a2 = 3a2
ĐS: VABC.ABC

A

3a3 3
=
2


Bài 7: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, góc A = 600. Chân đường vuông góc hạ
từ
B’ xuống đáy ABCD trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy. Cho BB’ = a.
a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy
D'
C'
b) Tính thể tích hình hộp
HD: a) Gọi O là giao điểm của 2 đướng chéo AC và BD
B'
* B’O  (ABCD) (gt)
A'


* Góc giữa cạnh bên BB’ và đáy (ABCD) là  = B BO


* Tính  = B BO : Trong  V BB’O tại O, ta có:
cos  =

a

OB OB
=
BB
a

D
6



0

+  ABD đều cạnh a (vì A = 60 và AB = a)  DB = a

C

A



O
a

B

1
a

1
 OB = DB = . Suy ra: cos  =   = 600
2
2
2
a2 3 a2 3
b) * Đáy ABCD là tổng của 2  đều ABD và BDC  SABCD = 2.
=
4
2
2
a 3 ’
* VABCD.ABCD = Bh = SABCD .B’O =
.B O
2
a 3
3a3
* Tính B’O: B’O =
(vì  B’BO là nửa tam giác đều) ĐS:
2
4
Bài 8: Cho tứ diện đều S.ABC có cạnh a. Dựng đường cao SH
a) Chứng minh: SA  BC
b) Tính thể tích của hình chóp
HD: a) Gọi M là trung điểm của BC

S

B

A

H
M
CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH TRONG KHÔNG GIAN – LTĐH 2017 – GV : LƯƠNG
VĂN
HUY
a
C

6


Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 – Face : Lương Văn Huy
* CM: BC  SH (SH  mp( ABC))
BC  AM
 BC  mp(SAM). Suy ra: SA  BC (đpcm)
b) * Tất cả các cạnh đều bằng a

1
1
a2 3
* Tính: VS.ABC = Bh = SABC .SH * Tính: SABC =
3
3
4
2
2
* Tính SH: Trong  V SAH tại H, ta có: SH = SA – AH2
2

a 3
a3 2
(biết SA = a; AH = AM mà AM =
vì  ABC đều cạnh a). ĐS: VS.ABC =
3
2
12
Bài 9: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a. Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy một
góc 600. Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA.
a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.DBC và S.ABC
b) Tính thể tích của khối chóp S.DBC
HD: a) Hạ SH  (ABC)  H là trọng tâm của  ABC đều cạnh a
Gọi E là trung điểm của BC


* Góc tạo bởi cạnh bên SA với đáy (ABC) là  = SA E = 600
S

V
SD SB SC SD
* Tính: S.DBC 
. .

VS.ABC SA SB SC SA
* Tính SD: SD = SA – AD
* Tính SA: SA = 2AH (vì  SAH là nửa tam giác đều)

D

2

a 3
và AH = AE mà AE =
vì  ABC đều cạnh a.
60

3
2
A
2a 3
H
Suy ra: SA =
3
B
AE
a 3
* Tính AD: AD =
( vì  ADE là nửa tam giác đều). Suy ra: AD =
2
4
5a 3
V
SD 5
* Suy ra: SD =
. ĐS: S.DBC 

12
VS.ABC SA 8

C
a

E

a2 3
* Tính: SABC =
(vì  ABC đều cạnh a)
4
SH
a3 3
0
0
* Tính SH: Trong  V SAH tại H, ta có: sin60 =
 SH = SA.sin60 = a. Suy ra: VS.ABC =
SA
12
V
5
5a 3 3
* Từ S.DBC  . Suy ra: VS.DBC =
VS.ABC 8
96
1
1
1
Cách 2: * Tính: VS.DBC = Bh = SDBC.SD
* Tính: SDBC = DE.BC
3
3
2
DE
3a

3a 2
0
* Tính DE: Trong  V ADE tại D, ta có: sin600 =
DE
=
AE.sin60
=
.
Suy
ra:
S
=

DBC
AE
4
8
1
1
b) Cách 1: * Tính VS.ABC = Bh = SABC.SH
3
3

CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH TRONG KHÔNG GIAN – LTĐH 2017 – GV : LƯƠNG VĂN HUY

7


Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 – Face : Lương Văn Huy
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên (SAB) là tam giác đều và

vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm của AB
S
a) Chứng minh rằng: SH  (ABCD)
b) Tính thể tích hình chóp S.ABCD
HD: a) * Ta có: mp(SAB)  (ABCD)
* (SAB)  (ABCD) = AB;
* SH  (SAB)
* SH  AB ( là đường cao của  SAB đều)
Suy ra: SH  (ABCD) (đpcm)
b) * Tính: VS.ABCD

* Tính: SABCD = a2
ĐS: VS.ABCD

A

1
1
= Bh = SABCD.SH
3
3
* Tính: SH =

B

H
D
a
a 3
(vì  SAB đều cạnh a)

2

C

a3 3
=
6

Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) tạo với
đáy
một góc 600. Tính thể tích của khối chóp đó.
HD: * Hạ SH  (ABC) và kẻ HM  AB, HN  BC, HP  AC


S

* Góc tạo bởi mặt bên (SAB) với đáy (ABC) là  = SMH = 600
* Ta có: Các  vuông SMH, SNH, SPH bằng nhau (vì có chung 1 cạnh
góc vuông và 1 góc nhọn bằng 600)
* Suy ra: HM = HN = HP = r là bán kính đường tròn nội tiếp  ABC

1
1
Bh = SABC .SH
3
3
* Tính: SABC = p(p  a)(p  b)(p  c)
* Tính: VS.ABC =

A

P

7a

C

60


6a
p(p  AB)(p  BC)(p  CA) (công thức Hê-rông)
H
N
M
5a  6a  7a
5a
 9a Suy ra: SABC = 6 6a2
* Tính: p =
2
B
SH
0
0
* Tính SH: Trong  V SMH tại H, ta có: tan60 =
 SH = MH. tan60
MH
S
2a 6
* Tính MH: Theo công thức SABC = p.r = p.MH  MH = ABC =

Suy ra: SH = 2a 2
3
p

=

ĐS: VS.ABC = 8a

3

3

CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH TRONG KHÔNG GIAN – LTĐH 2017 – GV : LƯƠNG VĂN HUY

8


Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 – Face : Lương Văn Huy
II -CÔNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH
Yêu cầu : Nhớ được công thức về thể tích, diện tích xung quanh, toàn phần của các khối , hình. Kỹ
năng tính góc, khoảng cách,tỉ lệ thể tích…
Các hình đặc biệt
1) Hình chóp tam giác đều cạnh đáy bằng , cạnh bên có
độ dài

Hình vẽ
S

a 2 3b 2  a 2
V 

12

2) Đặc biệt, hình tứ diện đều cạnh đáy bằng



C

A

a3 2
12
3) Hình chóp tam giác đều cạnh đáy bằng , góc giữa

G

V

B

a 3 tan α
12
4) Hình chóp tam giác đều cạnh đáy bằng , góc giữa mặt
cạnh bên và mặt đáy là α  V 

a 3 tan α
24
5) Hình chóp tam giác đều cạnh đáy bên bằng , góc giữa
bên và mặt đáy là α  V 

b3 3 sin α cos 2 α
cạnh bên và mặt đáy là β  V 
4
6) Hình chóp có các mặt (SAB), (SBC), (SCA) đôi một
vuông góc với nhau. Diện tích các tam giác SAB, SBC,
2S1S 2 S3
SCA lần lượt là S1 , S2 , S3 . Khi đó V 
3

A

S

C

B

7) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với ABC , hai
mặt phẳng SAB và SBC vuông góc với nhau,

S
α β

3

b sin 2 β.tan α
 α, 
BSC
ASB  β.  V 
12

C

A

B

CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH TRONG KHÔNG GIAN – LTĐH 2017 – GV : LƯƠNG VĂN HUY

9


Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 – Face : Lương Văn Huy
8) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a.
Gọi P là mặt phẳng đi qua A song song với BC và vuông
góc với SBC , góc giữa P với mặt phẳng đáy là 

S

F
N

3

V

a cot α
24

E

α

C

A
G

M
B

9) Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình
vuông cạnh bằng a, và cạnh bên bằng b.

a 2 4b 2  2a 2
6
10) Hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a 
a3 2
V
6
11) Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình
vuông cạnh bằng a, và góc giữa cạnh bên và mặt đáy
a 3 tan α 2
bằng α thì V 
6
12) Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy bằng a, và góc
giữa mặt bên và mặt đáy bằng β

S

 V

A

D
O

B

C

a 3 tan α
6
13) Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy bằng a, và góc
V 

3
2
  γ  V  a tan γ  1
SAB
6
14) Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có bên bằng b, và góc
4a3 tan β
giữa mặt bên và mặt đáy là β  V 
3 (2  tan 2 β )3

15) Khối tám mặt đều có đỉnh là tâm các mặt củ hình lập
a3
phương cạnh a  V 
6
16) Khối tám mặt đều cạnh a . Nối t của các mặt bên ta

được khối lập phương  Thể tích khối lập phương
3

a 2
2a 3 2
là V  
.
 
27
 3 

CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH TRONG KHÔNG GIAN – LTĐH 2017 – GV : LƯƠNG VĂN HUY

10


Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 – Face : Lương Văn Huy
III - BÀI TẬP VẬN DỤNG VÀ VẬN DỤNG CAO – DÀNH CHO LỚP ÔN VÒNG 2
Câu 1. Các đường chéo của các mặt của một hình hộp chữ nhật bằng a, b, c . Thể tích của khối hộp đó là:
(b 2  c 2  a 2 )(c 2  a 2  a 2 )(a 2  b 2  c 2 )
(b 2  c 2  a 2 )(c 2  a 2  a 2 )(a 2  b 2  c 2 )
.
B. V 
.
8
8
C. V  abc .
D. V  a  b  c .
Câu 2. Cho khối đa diện đều n mặt có thể tích V và diện tích mỗi mặt của nó bằng S . Khi đó, tổng các khoảng
cách từ một điểm bất kì bên trong khối đa diện đó đến các mặt của nó bằng

nV
V
3V
V
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
S
nS
S
3S
Câu 3. Một hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh , góc nhọn 600 và đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo
A. V 

nhỏ của hình hộp. Thể tích của khối hộp đó là

a3 3
a3 6
.
D.
.
2
2
Câu 4. Một hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b . Thể tích của khối chóp đó là:
A. a 3 .

B. a3 3 .

C.

a 2 3b 2  a 2
a 2 3b 2  a 2
a 2 3b 2  a 2
A.
.
B.
.
C.
.
D. a 2 3b 2  a 2 .
4
12
6
Câu 5. Một hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a , cạnh bên bằng b và tạo với mặt phẳng đáy một góc
 . Thể tích của khối chóp có đáy là đáy của lăng trụ và đỉnh là một điểm trên đáy còn lại là
3 2
3 2
3 2
3 2
a b sin  .
a b sin  .
a b cos  .
a b cos  .
A.
B.

C.
D.
12
4
12
4
Câu 6. Một hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh a , các mặt bên tạo với đáy một góc  . Thể tích của
khối chóp đó là
a3
a3
a3
a3
A.
sin  .
B.
tan  .
C.
cot  .
D.
tan  .
2
2
6
6
Câu 7. Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, cạnh bên
SC tạo với mặt phẳng  SAB  một góc 300 . Thể tích của khối chóp đó là

a3 3
a3 2
a3 2

a3 2
.
B.
.
C.
.
D.
.
3
4
2
3
Câu 8. Cho hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' có AB  a , AD  2 a và AA’  3a . Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ
diện ACB D .
a 3
a 14
a 6
a 3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
2
2
2
4

Câu 9. Cho hình chóp S .ABC có  SAB  ,  SAC  cùng vuông góc với đáy, cạnh bên SB tạo với đáy một góc 600 ,
đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA  BC  a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SB , SC .
Tính thể tích của khối đa diện ABMNC ?
a3 3
a3 3
a3 3
a3 3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
4
6
24
8
Câu 10. Tính thể tích của một khối nón có góc ở đỉnh là 90 0 , bán kính hình tròn đáy là a ?
πa 3
πa 3
πa 3
a3
A. 3 .
B. 2 .
C. 4 .
D. 3 .
A.

CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH TRONG KHÔNG GIAN – LTĐH 2017 – GV : LƯƠNG VĂN HUY

11


Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 – Face : Lương Văn Huy
Câu 11. Người ta muốn thiết kế một bể cá bằng kính không có nắp với thể tích 72 dm 3 và chiều cao là 3 dm .
Một vách ngăn (cùng bằng kính ở giữa, chia bể cá thành hai ngăn, với các kính thước a, b (đơn vị dm ) như
hình vẽ.

Tìm a, b để bể cá tốn ít nghuyên liệu nhất (tính cả tấm kính ở giữa, coi bề dày các tấm kính như nhau và
không ảnh hưởng đên thể tích của bể).
A. a  24, b  24 .
B. a  3, b  8 .
C. a  3 2, b  4 2 .
D. a=4, b=6.
Câu 12. Cho chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C với CA  CB  a ; SA  a 3 , SB  a 5
và SC  a 2 . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S .ABC ?
a 11
a 11
a 11
a 11
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

6
2
3
4
Câu 13. Cho hình chóp S .ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA  a 3 .
Tính thể tích khối chóp.
a3
a3
a3
a3
A.
.
B. .
C.
.
D.
.
12
2
4
6
Câu 14. Cho hình trụ có hai dường tròn đáy lần lượt là  O  ,  O’ . Biết thể tích khối nón có đỉnh là O và đáy là
hình tròn  O’ là a 3 , tính thể tích khối trụ đã cho?
A. 2a 3 .
B. 4a 3 .
C. 6a 3 .
D. 3a 3 .
Câu 15. Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a diện tích xung quanh mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S .ABC .

5a 2
5a 2
πa 2
5πa 2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
3
6
3
12
Câu 16. Cho hình chóp S .ABC có  SAB  ,  SAC  cùng vuông góc với đáy, cạnh bên SB tạo với đáy một góc
600 , đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA  BC  a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của
SB , SC . Tính thể tích của khối đa diện ABMNC ?

a3 3
a3 3
a3 3
a3 3
.
B.
.
C.
.
D.

.
4
6
24
8
Câu 17. Cho hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' có AB  a , AD  2 a và AA’  3a . Tính bán kính R mặt cầu ngoại
tiếp tứ diện ACB D .
a 3
a 14
a 6
a 3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
2
2
2
4
Câu 18. Xét hình chóp S .ABC thỏa mãn SA  a , SB  2 a , SC  3a với a là hằng số dương cho trước. Tìm giá
trị lớn nhất của thể tích khối chóp S .ABC ?
A. 6a 3 .
B. 2a 3 .
C. a 3 .
D. 3a 3 .
A.

CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH TRONG KHÔNG GIAN – LTĐH 2017 – GV : LƯƠNG VĂN HUY

12


Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 – Face : Lương Văn Huy
Câu 19. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A’ lên
mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC
a 3
bằng
. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
4
a3 3
a3 3
a3 3
a3 3
A.. V 
B. V 
C. V 
D. V 
3
24
12
6
Câu 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2 2 , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy
và SA=3. Mặt phẳng    qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB;SC;SD lần lượt tại các điểm M,N,P.
Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP.
64 2
125

32
108
A. V 
B. V 
C. V 
D. V 
3
6
3
3
Câu 21. Một công ty dự kiến chi 1 tỷ đồng để sản xuất các thùng đựng sơn hình trụ có dung tích 5 lít. Biết rằng
chi phí để làm mặt xung quanh của thùng đó là 100.000 đ/m2.Chi phí để làm mặt đáy là 120.000 đ/m2.Hãy
tính số thùng sơn tối đa mà công ty đó sản xuất được.(Giả sử chi phí cho các mối nối không đáng kể).
A.12525 thùng
B.18209 thùng C. 57582 thùng
D. 58135 thùng.
Câu 22. Cho hình nón có độ dài đường sinh l  2a , góc ở đỉnh của hình nón 2  600 . Tính thể tích V của khối
nón đã cho:
a 3
a 3 3
A. V 
B. V 
C. V  a 3 3
D. V  a 3
3
2
Câu 23. Cho mặt cầu (S) bán kính R. Một hình trụ có chiều cao h và bán kính đáy r thay đổi nội tiếp mặt cầu.
Tính chiều cao h theo R sao cho diện tích xung quanh của hình trụ lớn nhất.
R
R 2

A. h 
B.h=R
C. h  R 2
D. h 
2
2
Câu 24. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh A. Biết SA  ( ABC ) và SA  a 3 . Tính thể
tích V của khối chóp S.ABC.
a3
a3
3a 3
a3 3
A. V  .
B. V 
C. V 
D. V 
4
2
4
3
0 
0


Câu 25. Cho hình chóp S.ABC có ASB  CSB  60 , ASC  90 , SA  SB  SC  a. Tính khoảng cách d từ A đến
mặt phẳng (SBC).
2a 6
a 6
A. d  2a 6.
B. d  a 6.

C. d 
D. d 
.
.
3
3
Câu 26. Cho hình trụ có đường cao h = 5cm, bán kính đáy r = 3cm. Xét mặt phẳng (P) song song với trục của
hình trụ, cách trục 2cm. Tính diện tích S của thiết diện của hình trụ với mặt phẳng (P).
A. S  5 5cm2 . B. S  10 5cm2 .
C. S  6 5cm2 .
D. S  3 5cm2 .
Câu 27. Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông
bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x (cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một
cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.

CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH TRONG KHÔNG GIAN – LTĐH 2017 – GV : LƯƠNG VĂN HUY

13


Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 – Face : Lương Văn Huy
A. x 6.
B. x 3.
C. x 2.
D. x 4.
Câu 28. Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A'B'C'D', biết AC' a 3 .
1
3 6 a3
A. V  a 3
C. V  3 3 a 3

D. V  a 3
B. V 
3
4
Câu 29. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy và SA 2a . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
3
a3 2
a3 2
a3 2
C.
V

a
2
A. V 
B. V 
D. V 
6
4
3
Câu 30. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc với nhau; AB 6a, AC 7a và AD
4a. Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm các cạnh BC, CD, DB. Tính thể tích V của tứ diện AMNP.
7a 3
28a 3
B. V  14a3
D. V  7 a 3
A. V 
C. V 
3

3
Câu 31. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2a . Tam giác SAD cân tại S và mặt bên
4
(SAD) vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng a 3
3
Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng (SCD).
2
4
8
3
A. h  a
B. h  a
C. h  a
D. h  a
3
3
3
4
Câu 32. Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB a và AC 3a. Tính độ dài đường sinh l của hình
nón, nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB.
A. l  a
D. l  2a
C. l  a 3
B. l  a 2
Câu 33. Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước
50cm 240cm, người ta làm các thùng đựng
nước hình trụ có chiều cao bằng 50cm, theo hai
cách sau (xem hình minh họa )
Cách 1 : Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung
quanh của thùng.

Cách 2 : Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm
bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung
quanh của một thùng.
Kí hiệu V1 là thể tích của thùng gò được theo
cách 1 và V2 là tổng thể tích của hai thùng gò
được theo cách 2. Tính tỉ số
A.

V1 1

V2 2

V1
V2

B.

V1
1
V2

C.

V1
2
V2

D.

V1

4
V2

Câu 34. Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB 1 và AD 2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD
và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN, ta được một hình trụ. Tính diện tích toàn phần Stp của
hình trụ đó.
A. Stp  4

B.

Stp  2

C. Stp  6

D. Stp  10

CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH TRONG KHÔNG GIAN – LTĐH 2017 – GV : LƯƠNG VĂN HUY

14


Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 – Face : Lương Văn Huy
Câu 35. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
5
5 15
5 15
4 3
D. V 
A. V 

B. V 
C. V 
3
18
54
27
Câu 36.
Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD có cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo với đáy một góc 45 . Thể
tích V khối chóp S .ABCD là:
a3
a3
a3
1
A. V  .
B. V  .
C. V  .
D. V  a 3 .
2
9
6
24
A
B
I
Câu 37.
Cho hình chữ nhật ABCD và nửa đường tròn đường kính AB như hình
vẽ. Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB, CD . Biết AB  4; AD  6 . Thể tích
V của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên quanh trục IJ là:
56
104

40
88
A. V   .
B. V 
.
C. V   .
D. V   .
3
3
3
3
D
C
J
Câu 38.
Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay ngoại tiếp tứ diện đều cạnh a là:
 a2
2 a 2
 3a 2
2 3a 2
A. S xq 
.
B. S xq 
.
C. S xq 
.
D. S xq 
.
3
3

3
3
  60 , 
Câu 39.
Cho hình chóp S . ABC có 
ASB  CSB
ASC  90 , SA  SB  a; SC  3a . Thể tích V của
khối chóp S . ABC là:
a3 2
a3 2
a3 6
a3 6
A. V 
.
B. V 
.
C. V 
.
D. V 
.
4
12
6
18
Câu 40.
Khi cắt mặt cầu S  O, R  bởi một mặt kính, ta được hai nửa mặt cầu và hình tròn lớn của mặt kính
đó gọi là mặt đáy của mỗi nửa mặt cầu. Một hình trụ gọi là nội tiếp nửa mặt cầu S  O, R  nếu một đáy của
hình trụ nằm trong đáy của nửa mặt cầu, còn đường tròn đáy kia là giao tuyến của hình trụ với nửa mặt cầu.
Biết R  1 , tính bán kính đáy r và chiều cao h của hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu S  O, R  để khối trụ có
thể tích lớn nhất.

3
6
6
3
6
3
3
6
A. r 
, h
.
B. r 
,h
. C. r 
,h
. D. r 
, h
.
2
2
2
2
3
3
3
3
Câu 41.
Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B , AB  a . Cạnh bên SA vuông góc với
mp ( ABC ) và SC hợp với đáy một góc bằng 60 . Gọi ( S ) là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC . Thể
tích của khối cầu ( S ) bằng:

5 2 a 3
8 2 a 3
4 2 a 3
2 2 a 3
.
B.
.
C.
.
D.
.
3
3
3
3
M O N
Câu 42. Một bình đựng nước dạng hình nón (không đáy) đựng đầy nước. Biết rằng A
chiều cao của bình gấp 3 lần bán kính đáy của nó. Người ta thả vào đó một khối
16
trụ và đo dược thể tích nước tràn ra ngoài là
dm 3 . Biết rằng một mặt của
9
I
khối trụ nằm trên mặt trên của hình nón, các điểm trên đường tròn đáy còn lại đều
P
Q
thuộc các đường sinh của hình nón (như hình vẽ) và khối trụ có chiều cao bằng
đường kính đáy của hình nón. Diện tích xung quanh S xq của bình nước là:

A.

9 10
A. S xq 
dm 2 .
2

B

S

2

2

B. S xq  4 10 dm . C. S xq  4 dm .

3
D. S xq 
dm 2 .
2

CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH TRONG KHÔNG GIAN – LTĐH 2017 – GV : LƯƠNG VĂN HUY

15


Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 – Face : Lương Văn Huy
Câu 43. Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , SA  ( ABCD ) . Gọi M là trung điểm BC .
  120, SMA
  45 . Khoảng cách từ D đến mặt phẳng  SBC  bằng:

Biết BAD
a 6
a 6
a 6
a 6
.
B.
.
C.
.
D.
.
6
3
5
4
Câu 44. Mỗi hình dưới gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó)

A.

(a)
(b)
(c)
(d)
Số đa diện lồi là:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Câu 45. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , cạnh BC  a 2 , cạnh bên SA

vuông góc với mặt phẳng đáy, mặt bên  SBC  tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng 450 . Thể tích
6V
bằng:
a3
3
2
1
3
A.
B.
C.
D.
2
2
2
2
Câu 46. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có AB  a 3, AD  AA '  a , O là giao
điểm của AC và BD . Thể tích khối chóp OA ' B ' C ' D ' là x , thể tích khối chóp
OBB ' C ' là y . Giá trị x  y là:

khối chóp S . ABC bằng V . Giá trị

5a 3 3
5a 3 3
7a 3 3
5a 3 3
B.
C.
D.
8

4
12
12
Câu 47. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều, mặt
a3
bên SCD là tam giác vuông cân tại S . Thể tích khối chóp S . ABCD là V . Tỉ số
gần nhất giá trị
V
nào dưới đây:
A. 6,5
B. 7
C. 7,5
D. 8
Câu 48. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 4 , mặt bên SAB là tam giác đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh
SD, CD, BC . Thể tích khối chóp S . ABPN là x , thể tích khối tứ diện CMNP là y . Giá trị x, y
không thoả mãn bất đẳng thức nào dưới đây:
A. x 2  2 xy  y 2  154
B. x 2  2 xy  2 y 2  143

A.

C. x 2  xy  y 4  135
D. x 2  xy  y 4  145
Câu 49. Người ta cắt một cái nêm từ hình trụ tròn có bán kính là 4 bằng hai mặt phẳng. Một mặt phẳng
vuông góc với trục hình trụ, một mặt phẳng khác cắt mặt phẳng đầu tiên tại một góc 300 dọc theo
đường kính của hình trụ. Tìm thể tích của cái nêm.
CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH TRONG KHÔNG GIAN – LTĐH 2017 – GV : LƯƠNG VĂN HUY

16

Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 – Face : Lương Văn Huy
128 3
123 3
128 3
125 3
A.
B.
C.
D.
19
18
9
18
Câu 50. Một chiếc hộp hình trụ được dùng để chứa 1 lít dầu. Tìm kích thước hình trụ sao cho chi phí về
kim loại dùng để sản xuất chiếc hộp là tối thiểu.
A. Chiều cao gấp hai lần bán kính
B. Chiều cao gấp ba lần bán kính
C. Chiều cao gấp hai lần đường kính
D. Chiều cao gấp ba lần đường kính
Câu 51. Cho hình hộp đứng ABCD.A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD là hình vuông cạnh 15cm
và đường chéo BD ' hợp với đáy ABCD một góc 300.
Thể tích khối hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' gần nhất giá trị nào trong các giá trị sau?
A. 2736cm 3
B. 2750cm 3
C. 2756cm 3
D. 2765cm 3
Câu 52. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB  2a , AD  a . Hình chiếu vuông góc
của S lên mặt phẳng  ABCD  là trung điểm H của AB. SC tạo với đáy một góc bằng 300 . Thể

V
gần giá trị nào nhất trong các giá trị sau:
a3
A. 0,5
B. 1
C. 1,5
D. 2
Câu 53. Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  , hai mặt phẳng

tích khối chóp S . ABCD là V thì tỉ số

 SBC  vuông góc với nhau,

 SAB  và

  45o , 
SB  a 3 , BSC
ASB  30o . Thể tích khối chóp SABC là V . Tỉ số

a3
bằng:
V
8
6
4
8
A.
B.
C.
D.

3
3
3
3
Câu 54. Cho khối lăng trụ tam giác ABC. A ' B ' C ' và điểm P thuộc cạnh AA ' , điểm Q thuộc cạnh BB ' ,
PA QB '

điểm R thuộc cạnh CC ' sao cho
. Thể tích khối lăng trụ đó bằng V , hãy tính thể tích
PA ' QB
khối chóp tứ giác R. ABQP
V
V
2
3
A.
B.
C. V
D. V
2
3
3
4
a 6
Câu 55. Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng
. Gọi O là tâm
3
của đáy ABC . Khẳng định nào sau đây đúng khi nói về mặt cầu ngoại tiếp S . ABC ?
A. Mặt cầu có tâm O và bán kính R 

a 3
3

B. Mặt cầu có tâm O và bán kính R 

C. Mặt cầu có tâm là trung điểm của SO và bán kính R 

a 6
6

a 3
D. Mặt cầu có tâm là trung điểm
6

a 3
2
Câu 56. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A,
  600 . Đường chéo BC ' của mặt bên  BC ' C ' C  tạo với mặt phẳng  AA ' C ' C  một
AC  12cm, ACB

của SO và bán kính R 

góc 300 . Thể tích của khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' gần nhất giá trị nào trong các giá trị sau:
A. 4233cm 3
B. 1441cm 3
C. 1414cm 3
D. 1141cm 3
CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH TRONG KHÔNG GIAN – LTĐH 2017 – GV : LƯƠNG VĂN HUY

17

Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 – Face : Lương Văn Huy
Câu 57. Cho ABCD là hình vuông cạnh a , gọi M là trung điểm AB . Qua điểm M dựng đường thẳng
a 5
. Thể tích khối chóp S . ADCM , khối
3
1
1
2
chóp S .BCM và khối chóp S .BCD lần lượt là x, y, z. Giá trị 2  2  2  150 :
x
y
z
A. 8,04
B. 8, 40
C. 8,14
D. 8,41
Câu 58. Cho khối lăng trụ tam giác ABC, A ' B ' C ' có thể tích bằng V . Xét điểm P thuộc đoạn BB ' sao
PB 1
QC 1
cho
 , điểm Q thuộc đoạn CC ' sao cho
 . Tính thể tích của khối chóp tứ giác
BB ' 2
CC ' 4
A. BCQP
3V
V
V

V
A.
B.
C.
D.
8
5
6
4
4a 3
Câu 59. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ', khoảng cách từ C ' đến  A ' BD  bằng
. Thể tích
3
khối lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' bằng:
A. 5a 3
B. 3a 3
C. 8a 3
D. 9a 3
Câu 60. Cho hình hộp chữ nhật có AB  a, AD  a 2 , AA '  a 3 . Gọi O, O ' lần lượt là tâm của ABCD
và A ' B ' C ' D ' . Khẳng định nào sau đây sai khi nói về mặt cầu ngoại tiếp ABCD. A ' B ' C ' D ' ?

vuông góc  ABCD  và trên đó lấy điểm S sao cho SM 

A. Mặt cầu có tâm là trung điểm OO '
C. Mặt cầu có diện tích S  6 a 2

a 6
2
D. Mặt cầu có thể tích là V  6 a 3 6

B. Mặt cầu có bán kính R 

Câu 61. Cho hình lập phương có cạnh bằng a và T là hình trụ ngoại tiếp hình lập phương đã cho. Gọi
V
V1 ,V2 lần lượt là thể tích của khối lập phương và khối trụ. Tỉ số k  1 bằng:
V2
3
1
2
2
A. k 
B. k 
C. k 
D. k 
2
2
3

Câu 62. Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng a và góc giữa một mặt bên và mặt đáy
bằng 600 . Thể tích của khối nón N có đỉnh là S và đáy là hình tròn nội tiếp tam giác ABC bằng:
2 a 3
4 a 3
 a3
 a3
A.
B.
C.
D.
81
45

72
36
3a 3
Câu 63. Cho hình chóp lục giác đều S . ABCDEF có cạnh đáy bằng a và thể tích V 
. SO là đường
2
cao của hình chóp. Mặt cầu  S  có tâm I ở trên SO , tiếp xúc với đáy ABCDEF và đi qua S . Diện
tích của mặt cầu  S  bằng:

3 a 2
2 a 2
D.
2
3
Câu 64. Cho khối hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có AB  4cm, BC  8cm, AA '  6cm .
Lấy E, F lần lượt là trung điểm của BC và CD. Mặt phẳng  A ' EF  chia khối hộp thành hai phần.
A. 2 a 2

B. 3 a 2

C.

Gọi x  cm 3  là thể tích phần nhỏ, y  cm3  là thể tích phần lớn. Giá trị 5 x  7 y là:
A. 514

B. 541

C. 544

D. 545

CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH TRONG KHÔNG GIAN – LTĐH 2017 – GV : LƯƠNG VĂN HUY

18


Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 – Face : Lương Văn Huy
Câu 65. Cho tứ diện đều ABCD cạnh 2a . Thể tích khối nón ngoại tiếp tứ diện theo a bằng:
8 a 3 6
 a3 3
 a3 6
C.
D.
27
27
18
2
2
a 10
a 5
Câu 66. Cho tứ diện ABCD có SBCD 
, SACD 
. Gọi ha , hb lần lượt là khoảng cách từ A , B
2
2
đến mặt đối diện. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
h

h


h

A. a  cos
B. a  sin
C. a  tan D.
hb
4
hb
6
hb
3
ha

 cot
hb
6

A.

 a3 6
12

B.

Câu 67. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' . Tỉ số thể tích của khối tứ diện ACDD ' và khối hộp
ABCD. A ' B ' C ' D ' bằng:
1
1
1
1

A.
B.
C.
D.
2
3
4
6
Câu 68. Cho khối lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Gọi O ' là tâm A ' B ' C ' D ' và thể tích khối O '. ABCD
2a 3 2
bằng
. Thể tích của khối lập phương theo a bằng:
3
3a 3
2a 3
a3 2
3
A.
B. 2a 2
C.
D.
2
2
3
Câu 69. Cho tứ diện ABCD có thể tích V . Xét điểm P thuộc cạnh AB , điểm Q thuộc cạnh BC , điểm R
PA
QB
RB
 2,
 3,

 4 . Thể tích của khối tứ diện BPQR là:
thuộc cạnh BD sao cho
PB
QC
RD
V
V
V
V
A.
B.
C.
D.
5
4
3
6
Câu 70. Một tấm kim loại dạng hình hộp chữ nhật dày a cm , đáy là hình vuông cạnh b cm . Người ta
khoan thủng tấm kim loại đó bởi 4 lỗ khoan dạng hình trụ mà tâm của mặt 4 lỗ khoan trên một
V
mặt đáy tạo thành hình vuông. Cho biết đường kính lỗ khoan là c  mm  . Tính tỉ số thể tích
(V là
V1
thể tích tấm kim loại, V1 là thể tích 4 lỗ khoan).

b2
b2
c2
c2
.100

B.
.1000
C.
.100
D.
.1000
 c2
 c2
 b2
 b2
Câu 71. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB  c, AC  b . Thể tích của khối tròn xoay sinh ra bởi phần tô
đậm quay quanh đường thẳng AH bằng:
A.

A.

20 a 3 3
217

B.

23 a 3 3
 b2 c 2
C.
216
b2  c 2

D.

 b2 c 2

3 b2  c 2

CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH TRONG KHÔNG GIAN – LTĐH 2017 – GV : LƯƠNG VĂN HUY

19


Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 – Face : Lương Văn Huy
Câu 72. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 2a . Thể tích khối
nón N có đỉnh là S và đáy là hình tròn nội tiếp ABCD bằng:

 a3
3 a 3
 a3
2 a 3
B.
C.
D.
4
8
6
5
Câu 73. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a . Gọi H là trung điểm AB, biết SH
vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết góc giữa SC và (ABCD) bằng 600
a3
a3
2a3 15
4a3 15
A. VS . ABCD 
B. VS . ABCD 

C. VS . ABCD 
D. VS . ABCD 
3
3
6
3
Câu 74. Cho khối chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật; AD  2a; AB  a . Gọi H là trung điểm AD, biết
SH vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết góc giữa SD và (ABCD) bằng
450
2a 3
a3
a3 3
A. VS . ABCD 
B. VS . ABCD  a 3 3
C. VS . ABCD 
D. VS . ABCD 
2
3
3
Câu 75. Cho khối chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật. SA   ABCD  ; AC  2 AB  4a . Tính thể tích
A.

khối chóp S.ABC biết rằng góc giữa mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng 300
4a 3
8a 3
2a3 3
4a 3 6
A. VS . ABCD 
B. VS . ABCD 
C. VS . ABCD 

D. VS . ABCD 
9
9
3
9
0
Câu 76. Cho khối chóp S.ABC có ABCD là hình thoi, cạnh bằng a 3 ; SA   ABCD  ; BAD  120 . Tính
thể tích khối chóp S.ABC biết rằng góc giữa mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng 600
3a 3 3
a3 3
a3 6
a3 6
A. VS . ABCD 
B. VS . ABCD 
C. VS . ABCD 
D. VS . ABCD 
8
6
8
4
Câu 77. Cho khối chóp S.ABC có ABCD là hình thoi, AC  6a; BD  8a . Hai mặt phẳng  SAC  và (SBD)
cùng vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 300 . Tính thể tích khối chóp
S.ABCD
32a3
32a 3 3
16a 3 3
A. VS . ABCD 
B. VS . ABCD 
C. VS . ABCD 
5

5
5
3
32a
D. VS . ABCD 
15
Câu 78. Cho tứ diện ABCD có hai măt ABC, BCD là các tam giác đều cạnh a và nằm trong các mặt phẳng
vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện ABCD là:
3a 3
a3
a3
3a 3
A.
B.
C.
D.
8
4
8
4
Câu 79. Cho hình chóp đều S.ABC có đáy bằng a, góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 600.
Gọi A’; B’; C’ tương ứng là các điểm đối xứng của A; B; C qua S. Thể tích của khối bát diện có các mặt:
ABC; A’B’C’; A’BC; B’CA; C’AB; AB’C’; BC’A’; CA’B’ là
3a 3
2 3a 3
4 3a 3
A. 2 3a 3
B.
C.
D.

2
2
3
Câu 80. Cho hình trụ có các đường tròn đáy là (O) và (O’), bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Các điểm
A; B lần lượt thuộc các đường tròn đáy là (O) và (O’) sao cho AB  3a . Thể tích của khối tứ diện
ABOO’ là
a3
a3
a3
A.
B.
C. a 3
D.
2
3
6
CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH TRONG KHÔNG GIAN – LTĐH 2017 – GV : LƯƠNG VĂN HUY

20


Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 – Face : Lương Văn Huy
Câu 81. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông cân tại A và D, AB  2a, AD  DC  a , cạnh
bên SA vuông góc với đáy và SA  2a . Gọi M, N là trung điểm của SA và SB. Thể tích của khối
chóp S.CDMN là:
a3
a3
a3
A.
B.

C. a 3
D.
2
3
6
Câu 82. Tam giác ABC vuông tại B có AB  3a, BC  a . Khi quay hình tam giác đó xung quanh đường thẳng
AB một góc 3600 ta được một khối tròn xoay. Thể tích của khối tròn xoay đó là:
a 3
a 3
A. a 3
B. 3a 3
C.
D.
3
2
Câu 83. Người ta bỏ vào một cái thùng hình trụ có bán kính đáy bằng 16 cm , chiều cao bằng 30 cm một quả
cầu sắt có bán kính 10 cm rồi đổ nước đầy thùng. Tính thể tích V của nước trong thùng (giá trị gần đúng
của V làm tròn đến hàng đơn vị).
A. V  6995 cm3 . B. V  11561 cm3 .

D. V  23080 cm3 .
  600 . Gọi H
Câu 84. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I và có cạnh bằng a, góc BAD
là trung điểm của IB và SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD)
bằng 450. Tính thể tích của khối chóp S.AHCD .
A.

39 3
a
32

B.

C. V  19939 cm3 .

39 3
a
16

C.

35 3
a
32

D.

35 3
a
16

Câu 85. Cho hình lăng trụ đứng ABC . A/ B / C / có AA/  a 2 và đáy là tam giác vuông cân ABC với
AB  AC  a . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC . A/ B / C / .

a3 2
a3 2
a3 2
. B. V 
.
C. V 

.
D. V  a 3 2 .
2
3
6
Câu 86. Cho hình lập phương ABCD. A/ B / C / D / cạnh bằng a . Gọi G là trọng tâm tam giác A/ BC . Tính thể
A. V 

a3
a3
a3
a3
. B. V  . C. V  . D. V  .
6
9
12
18
Câu 87. Cho khối chóp ngũ giác đều có thể tích bằng V , diện tích mỗi mặt bên bằng S và O là tâm của đáy.
Tính khoảng cách d từ O đến một mặt bên của khối chóp đã cho.
V
V
3V
3V
A. d 
.
B. d 
.
C. d 
.
D. d 

.
15S
5S
S
5S
Câu 88. Cho hình lăng trụ ABC . A/ B / C / có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2a , góc giữa cạnh bên và mặt
tích V của khối tứ diện GC / DD / .

A. V 

phẳng đáy bằng 600 . Hình chiếu vuông góc của A/ trên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác

ABC . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC . A/ B / C / .
2a3 3
a3 3
. B. V 
.
C. V  2a 3 3 .
D. V  a 3 3 .
3
3
Câu 89. Thể tích khối nón được sinh ra khi quay tam giác đều ABC cạnh a xung quanh đường cao AH của
tam giác ABC là:
 a3
 a3
 3a 3
 3a 3
A. V 
B. V 
C. V 

D. V 
12
6
24
24
Câu 90. Quay hình vuông ABCD cạnh a xung quanh AB. Diện tích xung quanh của mặt trụ tạo thành là:
1
A. 2 a 3
B.  a 2
C.  a 2
D. 2 a 2
3
Câu 91. Cho hình tròn đường kính AB = 4 (cm) quay xung quanh AB. Thể tích khối tròn xoay tạo thành là:
A. V 

CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH TRONG KHÔNG GIAN – LTĐH 2017 – GV : LƯƠNG VĂN HUY

21


Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 – Face : Lương Văn Huy
16
32
A. 32  cm3 
B.   cm3 
C.
  cm3 
D. 16  cm3 
3
3

Câu 92. Cho ba hình tam giác đều cạnh bằng a chồng lên nhau như hình vẽ (cạnh đáy của tam giác trên đi qua
các trung điểm hai cạnh bên của tam gác dưới). Tính theo a thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi
quay chúng xung quanh đường thẳng (d).
d
a

13 3 a 3
11 3 a3
3 a 3
11 3 a3
B.
C.
D.
96
96
8
8
Câu 93. Cho tứ diện ABCD có các cạnh BA, BC, BD đôi một vuông góc với nhau, BA  3a; BC  BD  2a .
Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AD. Tính thể tích khối chóp C.BDNM.
2a 3
3a 3
A. V 
B. V 
C. V  8a3
D. V  a3
3
2
Câu 94. Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB  a, AD  a 2, SA   ABCD  , góc giữa

A.

SC và đáy bằng 600 . Thể tích hình chóp S.ABCD bằng:
A. 3 2a 3
B. 3a3
C. 6a 3
D. 2a 3
Câu 95. Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD có AD  60cm, AB  40cm . Ta gập tấm nhôm theo hai cạnh
MN và PQ vào phía trong cho đến khi AB và DC trùng nhau như hình vẽ dưới đây để dược một hình lăng
trụ khuyết hai đáy. Khi đó có thể tạo được khối lăng trụ với thể tích lớn nhất bằng:

A. 4000 3  cm3  B. 2000 3  cm3 

C. 400 3  cm3 

D. 4000 2

 cm 
3

CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH TRONG KHÔNG GIAN – LTĐH 2017 – GV : LƯƠNG VĂN HUY

22