Đề thi tuyển sinh học sinh chuyên 10 THPT (Hải Dương 2006-2007)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2006 - 2007
MÔN THI TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút
(Đề thi gồm 1 trang)
Bài 1 (1,5 điểm)
Rút gọn biểu thức :
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
3 4 5 2005 2006
+ × + × + ××× + × +
Bài 2 (2,5 điểm)
1) Cho hai đa thức

5 4 3 2
( ) 3 7 9 8 2f x x x x x x= − + − + −
;
2
( ) 2g x x x a= − +
Xác định giá trị của
a
để tồn tại đa thức
( )p x
thoả mãn:

( ) ( ) ( )f x g x p x=
với mọi giá trị của x.
2) Gọi α là nghiệm của đa thức

3 2
( ) 1f x x x= − −
. Tìm đa thức
( )h x
có hệ
số nguyên nhận
2
1α +
là nghiệm.
Bài 3 (1,5 điểm)
Cho phương trình
2
4 1 0x x− + =
, gọi
1
x
,
2
x
là hai nghiệm của phương
trình. Đặt
1 2
2 3
n n
n
x x
a
−
=
;

1, 2, 3...n =

Chứng minh rằng
n
a
là một số nguyên với mọi
1, 2, 3...n =
Bài 4 (3,5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC, gọi H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC.
1) Chứng minh rằng AH = AO khi và chỉ khi góc
·
BAC
bằng
0
60
.
2) BD, CE là hai đường phân giác trong của góc B và C (D ∈ AC, E ∈ AB)
M là điểm trên cạnh BC sao cho tam giác MDE là tam giác đều.
Chứng minh rằng : AH = AO.
Bài 5 (1,0 điểm)
Cho a, b, c là các số thực thoả mãn các điều kiện:
a < b < c ; a + b + c = 6 ; ab + bc + ca = 9.
Chứng minh
0 a 1 b 3 c 4< < < < < <

........ HẾT ........
Họ và tên thí sinh: ................................................. Số báo danh: ...................
Chữ kí của giám thị 1:...........................Chữ kí của giám thị 2:.......................