Đề thi tuyển sinh học sinh chuyên 10 THPT (Hải Dương 2007-2008)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NGUYỄN TRÃI - NĂM HỌC 2007-2008
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi: 30 tháng 6 năm 2007
(Đề thi gồm: 01 trang)
Câu 1 (2,0 điểm)
1) Gọi
a
là nghiệm dương của phương trình
2
2 1 0x x+ − =
. Không giải phương
trình hãy tính giá trị của biểu thức:
4 2
2 3
A =
2(2 2 3) 2
a
a a a
−
− + +
2) Tìm số hữu tỉ
a
và
b
thoả mãn:

3 2

7 20 3
3 3a b a b
− = −
+ −
Câu 2 (1,5 điểm)
Giải hệ phương trình:

2 2
2 2
( 1)( 1) 8 0
1
1 1 4
x y xy
x y
x y
+ + + =



+ = −

+ +

Câu 3 (2,5 điểm)
1) Cho
, ,a b c
là các số dương thoả mãn đẳng thức
2 2 2
a b ab c+ − =
. Chứng

minh rằng phương trình
2
2 ( )( ) 0x x a c b c− + − − =
có hai nghiệm phân biệt.
2) Cho phương trình
2
0x x p− + =
có hai nghiệm dương
1
x
và
2
x
. Xác định giá
trị của
p
khi
4 4 5 5
1 2 1 2
x x x x+ − −
đạt giá trị lớn nhất.
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC), hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H
(D trên cạnh AC, E trên cạnh AB). Gọi I là trung điểm của BC, đường tròn đi
qua B, E, I và đường tròn đi qua C, D, I cắt nhau tại K (K khác I).
1) Chứng minh
·
·
BDK CEK=
;

2) Đường thẳng DE cắt BC tại M. Chứng minh ba điểm M, H, K thẳng hàng;
3) Chứng minh tứ giác BKDM là tứ giác nội tiếp.
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho 19 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng nằm trong một lục
giác đều có cạnh bằng 1. Chứng minh rằng luôn tồn tại một tam giác có ít nhất
một góc không lớn hơn 45
0
và nằm trong đường tròn có bán kính nhỏ hơn
3
5

(đỉnh của tam giác tạo bởi 3 trong 19 điểm đã cho).
…………………Hết…………………
Họ và tên thí sinh…………………………………………Số báo danh .………………………
Chữ kí của giám thị 1 .......…………………… Chữ kí của giám thị 2 .........……………………
ĐỀ THI CHÍNH THỨC