Dạy học đa thức bậc ba và các hệ thức lượng giác liên quan cho học sinh khá, giỏi

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

TRẦN ĐỨC HẬU

DẠY HỌC ĐA THỨC BẬC BA VÀ
CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC
LIÊN QUAN CHO HỌC SINH
KHÁ, GIỎI

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI - NĂM 2016


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

TRẦN ĐỨC HẬU

DẠY HỌC ĐA THỨC BẬC BA VÀ
CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC
LIÊN QUAN CHO HỌC SINH
KHÁ, GIỎI

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN
CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN TOÁN)

Mã số: 60.14.01.11

Người hướng dẫn khoa học
GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU

HÀ NỘI - NĂM 2016


LỜI CẢM ƠN
Bản luận văn này được hoàn thành đánh dấu một mốc quan trọng trong
công việc học tập và nghiên cứu khoa học của tác giả. Nhân dịp này, tác giả
gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến những người thân yêu, gia định ban bè
và đồng nghiệp đã luôn ửng hộ, động viên, chia sẻ, tạo điều kiện, giúp đỡ
trong quá trình nghiên cứu thực hiện đề tài.
Bản luận văn cũng là lời chi ân sâu sắc của tác giả gửi tới các thầy cô
giáo đã giảng dạy và giúp đỡ trong quá trình học tập tại trường Đại học
Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội, đặc biệt tới GS.TSKH. Nguyễn Văn
Mậu người đã trực tiếp hướng dẫn, truyền cho tác giả những kinh nghiệm
quý báu trong học tập và nghiên cứu; thầy Nguyễn Bá Đang (Hà Nội) đã
động viên, khích lệ, định hướng, giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn này.
Nội dung của công trình nghiên cứu, giảng dạy cho đối tượng là học
sinh khá giỏi các trường THPT và học sinh chuyên toán nên chắc chắn
không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được nhiều ý kiến
đóng góp của các thầy, cô giáo, các bạn đồng nghiệp để bản luận văn đưọc
hoàn thiện hơn.

Hà Nội, ngày 20 tháng 06 năn 2016
Tác giả

Trần Đức Hậu

1

Mục lục
MỞ ĐẦU

3

1 Cơ sở lí luận và thực tiễn
1.1 Lịch sử bồi dưỡng học sinh giỏi . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Thi học sinh giỏi toán quốc tế . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Thi học sinh giỏi và bồi dưỡng học sinh giỏi ở Việt Nam
1.1.3 Những thuận lợi và khó khăn trong việc bồi dưỡng học
sinh giỏi đối với các trường THPT không chuyên và
các lớp chọn trong trường THPT chuyên . . . . . . . .
1.2 Tư duy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Đặc điểm của tư duy . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Những phẩm chất của tư duy . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Các thao tác của tư duy . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5 Vấn đề phát triển năng lực của tư duy . . . . . . . . .
1.2.6 Dấu hiệu đánh giá tư duy phát triển . . . . . . . . . .
1.3 Tư duy sáng tạo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Một số công trình trong nước nghiên cứu tư duy sáng
tạo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Tư duy sáng tạo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Cấu trúc của tư duy sáng tạo . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua việc dạy học môn
toán nhằm phát huy năng lực, phẩm chất của học sinh
1.3.5 Thực trạng của quá trình dạy và học nội dung đa thức
bậc ba và các hệ thức lượng giác liên quan . . . . . . .

7
7
7
8

9
10
10
10
12
12
13
14
14
14
16
17
21
24

2 Đa thức bậc ba và các hệ thức trong tam giác
27
2.1 Đa thức bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
i


2.1.1
2.1.2
2.1.3

2.1.4
2.2

2.3

Công thức nghiệm của phương trình bậc ba . . . . . .
Định lí Viete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Định lí về sự tồn tại các nghiệm thực và tính chất nghiệm
Sử dụng dạng đồ thị để biện luận số nghiệm của phương
trình bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Đa thức bậc ba với các yếu tố cạnh trong tam giác . . . . . .
2.2.1 Phương trình bậc ba theo độ dài các cạnh trong tam
giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Phương trình bậc ba theo độ dài các tiếp tuyến của
đường tròn nội tiếp tam giác . . . . . . . . . . . . . .
Đa thức bậc ba với các yếu tố bên trong của tam giác . . . .
2.3.1 Phương trình bậc ba theo đường cao trong tam giác .
2.3.2 Phương trình bậc ba theo bán kính đường tròn bàng
tiếp trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Phương trình bậc ba theo các hàm số lượng giác trong
tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Xây dựng các đẳng thức trong tam giác . . . . . . . .
2.3.5 Xây dựng các bất đẳng thức trong tam giác . . . . .

3 Thực nghiệm sư phạm
3.1 Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm
3.1.1 Mục đích của thực nghiệm sư phạm . . .
3.1.2 Nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm . . .
3.2 Phương pháp thực nghiệm . . . . . . . . . . . .
3.3 Nội dung và tổ chức thực nghiệm . . . . . . . . .

3.3.1 Chọn nội dung thực nghiệm . . . . . . .
3.3.2 Tổ chức thực nghiệm . . . . . . . . . . .
3.3.3 Nội dung dạy thực nghiệm và đề kiểm tra
3.4 Kết quả thực nghiệm sư phạm . . . . . . . . . .
3.4.1 Cơ sở để đánh giá kết quả thực nghiệm .
3.4.2 Kết quả thực nghiệm sư phạm . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

27
36
40
42
46
46
49
50
50
52
54
64
65
71
71
71
71
71
72
72
72
73
81
81
82

Kết luận

86

Tài liệu tham khảo

88

ii


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài.
Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 4 tháng 11 năm 2013, Hội nghị lần
thứ 8 Ban Chấp hành Trung ương Đảng khoá XI về đổi mới căn bản, toàn
diện giáo dục và đào tạo nêu rõ " Đối với giáo dục phổ thông, tập trung phát
triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất năng lực công dân, phát huy và
bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh...Phát triển khả
năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời". Nhiệm vụ của dạy
học môn Toán là trang bị những kiến thức cơ bản cần thiết cho học sinh, từ
đó phát triển những năng lực tư duy sáng tạo, năng lực tự học Toán, năng
lực tính toán,...và qua đó hình thành và phát triển phẩm chất con người mới
đáp ứng yêu cầu ngày càng cao trong xã hội ngày nay.
Để tạo ra những con người lao động mới, một năng lực không thể thiếu
đó là năng lực sáng tạo. Khi đó cần phải có những phương pháp dạy học phù
hợp để khơi gợi và phát huy năng lực người học " Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ
phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tích cực, chủ động,
sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền
thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc. Tập trung dạy cách học, cách nghĩ,
khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức,
kỹ năng, phát triển năng lực. Chuyển từ học chủ yếu trên lớp sang hình thức
tổ chức học tập đa dạng, chú ý các hoạt động xã hội, ngoại khoá, nghiên cứu
khoa học" (Nghị quyết 29, Trung ương lần thứ 8, BCHTƯ khoá XI). Vì vậy,

nhiệm vụ của người dạy là mở rộng trí tuệ, hình thành năng lực, kỹ năng và
định hướng phát triển phẩm chất cho học sinh, chứ không phải làm đầy trí
tuệ cho học sinh bằng cách truyền thụ tri thức đã có. Việc mở rộng trí tuệ
đòi hỏi người dạy phải vận dụng các phương pháp dạy học tích cực kết hợp
với các phương pháp dạy học truyền thống để định hướng cho học sinh phát
triển năng lực sáng tạo giải quyết vấn đề trong điều kiện cụ thể và tình hình
thực tế cuộc sống, góp phần nhỏ bé của các nhân xây dựng nước Việt Nam
3


XHCN trong thời kỳ mới.
Việc bồi dưỡng học sinh giỏi Toán cấp THPT không thể thiếu nội dung
về đa thức, hệ thức lượng trong tam giác. Khi học sinh có kiến thức cơ bản,
cần thiết về đa thức, hệ thức lượng giác, thông qua phương pháp giảng dạy
của người thầy định hướng được năng lực phát triển tư duy sáng tạo. Từ đó
hình thành năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo ra những bài toán mới.
Khác với các công trình nghiên cứu khác, người dạy đi sâu vào nghiên cứu,
phân tích một bài toán cụ thể với nhiều cách giải. Công trình này đạt được
kết quả đó và xuất phát nguồn gốc của vấn đề, từ đó sáng tạo những nội
dung mới.
Nhận thức được tầm quan trọng của vấn đề nêu trên, tác giả chọn đề
tài: "Dạy học đa thức bậc ba và các hệ thức lượng giác liên quan cho học
sinh khá, giỏi" làm luận văn tốt nghiệp của mình.
2. Mục tiêu nghiên cứu.
Đề xuất những biện pháp cần thiết nhằm giúp cho học sinh định hướng
giải quyết được một lớp các bài toán về ứng dụng của phương trình bậc ba
tạo ra một số hệ thức lượng trong tam giác.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Tìm hiểu cuộc thi học sinh giỏi toán quốc tế (IMO), cuộc thi học sinh
giỏi các cấp trong nước.

Nghiên cứu tài liệu làm sáng tỏ một số vấn đề cơ bản của tư duy, đặc
biệt là tư duy sáng tạo.
Nghiên cứu những biểu hiện của tư duy sáng tạo của học sinh THPT,
đặc biệt là học sinh của các trường THPT chuyên và các trường THPT chất
lượng cao; sự cần thiết phải rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông
qua việc giải quyết vấn đề và sáng tạo ra những bài toán mới.
Tìm hiểu thực trạng của việc dạy các hệ thức lượng trong tam giác trong
trường THPT cho học sinh khá, giỏi (lý thuyết và ví dụ phần đa thức chủ
yếu là cơ sở để giải quyết những nội dung về hệ thức lượng giác trong tam
giác).
Đề xuất biện pháp cần thiết rèn tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi
thông qua việc phát triển những kiến thức cơ bản đã có để có những hệ thức
mới về lượng giác trong tam giác.
Tổ chức dạy thực nghiệm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của
đề tài.
4


4. Khách thể và đối tượng nghiên cứu.
Lớp 12T1, 12T2 trường THPT chuyên Lê Hồng Phong và lớp 12A1,
12A2 trường THPT xây dựng trung tâm CLC Trần Hưng Đạo, tỉnh Nam
Định.
5. Phạm vi nghiên cứu.
Kiến thức về Đa thức bậc ba, đặc biệt các định lý về nghiệm, định lý
Viete; hệ thức lượng trong tam giác.
6. Phương pháp nghiên cứu.
Nghiên cứu, phân tích và tổng hợp các tài liệu về giáo dục học, tâm lý
học, sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập, sách tham khảo, tạp chí,
đặc san, các văn bản chỉ đạo của Bộ, Nghị quyết 29-NQ/TW...có liên quan
đến logic học, tư duy sáng tạo, các phương pháp tư duy sáng tạo, các phương

pháp nhằm phát triển và rèn luyện tư duy sáng tạo, năng lực, phẩm chất
cho học sinh khá giỏi.
Nội dung của luận văn chú ý nghiên cứu sâu việc phát triển tư duy sáng
tạo và định hướng phát triển năng lực cho học sinh khá giỏi thông qua việc
"Dạy học đa thức bậc ba và các hệ thức lượng giác liên quan cho học sinh
khá, giỏi".
7. Giả thuyết khoa học.
Thông qua hệ thống các hệ thức cơ bản đã được xậy dựng và định hướng
xây dựng bài toán mới nhằm rèn cho học sinh tư duy sáng tạo, khả năng tự
học, tự nghiên cứu, lòng say mê toán học, khuyến khích học tập suốt đời.
8. Đóng góp mới của đề tài.
Đề tài sử dụng làm chuyên đề giảng dạy cho các trường THPT chuyên
và các trường THPT xây dựng trung tâm chất lượng cao.
9. Cấu trúc của luận văn.
Cấu trúc của luận văn gồm ba phần: Phần mở đầu, phần nội dung và
phần kết luận.
Nội dung luận văn gồm ba chương:
- Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn.
- Chương 2. Đa thức bậc ba và các hệ thức trong tam giác.
- Chương 3. Thực nghiệm sư phạm.

5


Chương 1
Cơ sở lí luận và thực tiễn
1.1

Lịch sử bồi dưỡng học sinh giỏi

1.1.1

Thi học sinh giỏi toán quốc tế

Trên thế giới, việc lựa chọn những học sinh có năng khiếu về toán để đào tạo,
bồi dưỡng nhằm phát huy tối đa khả năng tích cực, năng lực của người học đã
được nhiều nước quan tâm, chú trọng. Ở một số nước châu Âu, các kỳ thi học sinh
giỏi toán được tổ chức thống nhất ở tất cả các cấp với đề thi thống nhất từ cơ sở
đến toàn quốc, như ở Bungari, CHDC Đức; vòng 1-cấp cơ sở, vòng 2-cấp huyện,
vòng 3-cấp tỉnh, vòng 4-vòng chung khảo toàn quốc. Để có một sân chơi khoa học
bổ ích về toán nhằm giao lưu, học hỏi, đào tạo bồi dưỡng năng khiếu cho học sinh,
một số nước họp lại với nhau tổ chức kỳ thi học sinh giỏi quốc tế cấp trung học
phổ thông (International Mathematical Olympiad) viết tắt là IMO. Kỳ thi lần đầu
tiên được tổ chức ở Rumani năm 1959, với sự tham gia của 7 quốc gia Đông Âu:
Rumani, Bulgaria, Tiệp Khắc, Đông Đức, Hungary, Ba Lan và Liên Xô. Trong giai
đoạn đầu, IMO chủ yếu là cuộc thi của các quốc gia thuộc hệ thống XHCN và
địa điểm tổ chức chỉ trong phạm vi các nước Đông Âu. Từ năm 1970, số lượng
các đoàn tham gia bắt đầu tăng lên nhanh chóng, IMO thực sự trở thành một kỳ
thi quốc tế về toán cho học sinh giỏi cấp trung học phổ thông của các quốc gia.
Cho tới nay, cuộc thi được tổ chức liên tục, hàng năm (trừ năm 1980) kỳ thi có số
lượng đoàn tham gia đông nhất là IMO 2011 tổ chức tại Amsterdam, Hà Lan với
101 đoàn tham dự.
Mỗi đoàn tham dự được phép có tối đa 6 thí sinh, một trưởng đoàn, một phó
đoàn và các quan sát viên. Theo quy định, thí sinh tham gia phải dưới 20 tuổi và
trình độ không vượt quá cấp THPT (Secondary school hay high school trong tiếng
6


Anh, lyce’e trong tiếng Pháp). Việt Nam lần đầu tham dự năm 1974 đã đạt ngay
được kết quả đáng tự hào.

Để có học sinh tham dự kỳ thi IMO, các quốc gia tham dự đều tổ chức chọn
lựa, đào tào bồi dưỡng học sinh theo đặc thù riêng của từng quốc gia. Những đoàn
thường đạt được những thành tích cao như Mỹ, Nga, Trung Quốc, Hàn Quốc...Việt
Nam thường lọt vào trong top 10 của kỳ thi.

1.1.2

Thi học sinh giỏi và bồi dưỡng học sinh giỏi ở Việt Nam

Kỳ thi học sinh giỏi các cấp nhằm động viên, khuyến khích người dạy và
người học phát huy năng lực sáng tạo, dạy giỏi, học giỏi; góp phần thúc đẩy việc
cải tiến, nâng cao chất lượng dạy và học, chất lượng công tác quản lí, chỉ đạo của
các cấp quản lý giáo dục; đồng thời phát hiện người học có năng khiếu về môn học
để tạo nguồn bồi dưỡng, thực hiện mục tiêu đào tạo nhân tài cho địa phương, đất
nước.
Kỳ thi học sinh giỏi toán toàn quốc nhằm chọn những học sinh giỏi toán
THPT được tổ chức hàng năm, lần đầu tiên vào năm học 1961-1962. Từ 1962 đến
năm 1975 kỳ thi chỉ được tổ chức cho miền Bắc; sau ngày giải phóng miền Nam,
thống nhất đất nước, kỳ thi được tổ chức trong phạm vi toàn quốc. Từ năm 1974
đến nay, dựa trên kết quả kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, chúng ta đã chọn đội tuyển
học sinh Việt Nam tham dự thi vô địch toán quốc tế (IMO) và đã đạt được một
số kết quả đáng phấn khởi.
Hàng năm, các nhà trường, các lớp đều lựa chọn, thành lập các đội tuyển học
sinh giỏi dự kỳ thi học sinh giỏi các cấp. Để đạt được những mục đích nêu trên,
một khâu quan trọng đó công tác đào tạo và bồi dưỡng học sinh.
Bồi dưỡng học sinh giỏi nói chung, bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán nói riêng
là quá trình chuẩn bị những kiến thức có hệ thống, môi trường giáo dục thuận lợi,
người thầy sử dụng các phương pháp dạy học hiệu quả tác động vào trò nhằm
nâng cao trình độ, kỹ năng cho học sinh và bằng sự nỗ lực, cố gắng của học sinh
đạt được năng lực đặc biệt, vận dụng nó vào giải quyết những bài toán thực tế

cuộc sống.
Trong quá trình bồi dưỡng, để phát huy hiệu quả các loại tư duy, đặc biệt là
tư duy sáng tạo thì người thầy có vai trò hết sức quan trọng; nắm bắt năng lực
sẵn có của học sinh, tác động có chủ đích của người thầy để học sinh phát huy cao
7


nhất năng lực sẵn có bằng phương pháp học tập, nghiên cứu, biết tự đánh giá, tự
tìm kiếm, thu thập tài liệu, xử lý thông tin nhằm mục đích chuyển từ quá trình
học, bồi dưỡng sang quá trình tự học, tự bồi dưỡng.

1.1.3

Những thuận lợi và khó khăn trong việc bồi dưỡng học
sinh giỏi đối với các trường THPT không chuyên và các
lớp chọn trong trường THPT chuyên

Thuận lợi
Đối với các trường THPT chuyên, việc đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi theo
hướng thi học sinh giỏi cấp quốc gia được quy định trong Điều lệ trường THPT
chuyên. Các trường được sự đầu tư về cơ sở vật chất, trang thiết bị, đội ngũ giáo
viên, chương trình theo chuẩn. Các giáo viên thường xuyên được tập huấn, trao
đổi, thảo luận về chuyên môn do Bộ GDĐT hoặc các Sở GDĐT trong cùng khu
vực tổ chức.
Đối với các trường trong lộ trình xây dựng trung tâm chất lượng cao của
tỉnh Nam Định, được sự quan tâm của Tỉnh uỷ, HĐND, UBND và trực tiếp là
Sở GDĐT đã tạo điều kiện bước đầu về cơ sở vật chất, đội ngũ mũi nhọn ở các
môn...Cho phép các trường có học sinh tham gia chọn đội tuyển HSG cấp quốc
gia.
Khó khăn

Các trường THPT không chuyên mặc dù công tác bồi dưỡng HSG đã được
lãnh đạo nhà trường quan tâm, coi trọng; là một trong các mục tiêu mũi nhọn
để đảm bảo những tiêu chí thi đua. Tuy nhiên, vẫn còn nhiều hạn chế với những
nguyên nhân chủ yếu sau:
• Do không có chương trình riêng như học sinh chuyên, các tài liệu do các giáo

viên tự nghiên cứu, tự sưu tầm, tự soạn trong điều kiện giáo viên dạy phải
đảm bảo yêu cầu khác nên còn thiếu tính hệ thống, tính liên thông trong
chương trình.
• Quy chế ưu tiên cho HSG nói chung chưa có (chỉ có cho HSG đoạt giải cấp

quốc gia). Do đó, học sinh chưa yên tâm, chưa đầu tư hết thời gian công sức
cho các môn mình có thế mạnh mà đầu tư theo khối thi đại học.
• Phần nhiều kiến thức còn xa lạ, nhiều kiến thức không có trong chương trình
8


sách giáo khoa, đặc biệt là các môn thuộc lĩnh vực KHTN. Do đó, việc tiếp
cận đối với học sinh gặp nhiều khó khăn.

1.2

Tư duy
Như đã trình bày ở trên, việc bồi dưỡng học sinh giỏi là bồi dưỡng nhân tài

cho địa phương, cho đất nước, một nội dung quan trọng bậc nhất đó là phát triển
tư duy sáng tạo cho học sinh nhằm phát huy cao nhất năng lực, phẩm chất của
người học. Chính vì thế luận văn "Dạy học đa thức bậc ba và các hệ thức lượng
giác liên quan cho học sinh khá, giỏi" chủ yếu đi sâu vào nghiên cứu, phân tích
cách phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh giỏi.

1.2.1

Khái niệm

Theo từ điển bách khoa toàn thư Việt Nam [22]: "Tư duy là sản phẩm cao
nhất của cái vật chất được tổ chức một cách đặc biệt vào não, quá trình phản ánh
tích cực thế giới khách quan trong các khái niệm, phán đoán, lý luận....Tư duy
xuất hiện trong quá trình hoạt động sản xuất của con người và bảo đảm phản ánh
thực tại một cách gián tiếp, phát hiện những mối quan hệ hợp quy luật với thực
tại".
Theo quan điểm Tâm lý học [4]: "Tư duy là một quá trình tâm lý thuộc nhận
thức lý tính, là một mức độ nhận thức mới về chất so với cảm giác và tri giác. Tư
duy phản ánh những thuộc tính bên trong, bản chất, những mối liên hệ có tính
quy luật của sự vật, hiện tượng mà trước đó ta chưa biết."
Vậy, tư duy là giai đoạn cao của quá trình nhận thức, đi sâu vào bản chất và
phát hiện ra tính quy luật của sự vật, hiện tượng bằng những hình thức như biểu
tượng, phán đoán, suy lý.

1.2.2

Đặc điểm của tư duy

Tính có vấn đề: Khi gặp những tình huống mới, với trình độ, kiến thức,
phương pháp đã biết ta không thể giải quyết được vấn đề, ta rơi vào "Tình huống
có vấn đề"; ta có xu hướng bằng mọi cách thoát khỏi hiểu biết cũ để đạt được
những cái mới, tức là chúng ta phải tư duy.
Tính khái quát: Tư duy luôn mang tính khái quát do khả năng phản ánh

9

những thuộc tính chung, những mối liên hệ có tính quy luật của hàng loạt các sự
vật hiện tượng.
Tính độc lập tương đối của tư duy: Trong cuộc sống, con người bắt buộc
phải giao tiếp, trao đổi thông tin, tư duy biến đổi trong quá trình hoạt động của
bản thân, đồng thời chịu sự tác động biến đổi từ tư duy của đồng loại thông qua
những hoạt động mang tính vật chất. Do đó, tư duy không chỉ gắn với bộ não của
từng cá thể mà còn gắn với sự tiến hoá của xã hội, trở thành sản phẩm mang tính
xã hội trong khi vẫn giữ được tính cá thể của một con người nhất định. Vậy mặc
dù bị ảnh hưởng tác động của môi trường nhưng tư duy vẫn mang tính độc lập
tương đối.
Mối quan hệ giữa tư duy và ngôn ngữ: Con người sống, hoạt động có
nhu cầu giao tiếp, tiếp nhận thông tin đó chính là điều kiện để phát sinh ngôn
ngữ. Ngay ban đầu xuất hiện tư duy đã gắn liền với ngôn ngữ và tư duy được thực
hiện truyền tải thông qua ngôn ngữ. Do vậy, ngôn ngữ chính là vỏ của tư duy. Sự
ra đời của ngôn ngữ đánh dấu bước phát triển của tư duy và từ đó tư duy phụ
thuộc vào ngôn ngữ.
Mối quan hệ giữa tư duy và nhận thức: Nhận thức là những cảm giác,
tri giác và biểu tượng...được phản ánh từ thực tiễn thế giới khách quan với những
thông tin về hình dạng, hiện tượng bên ngoài được phản ánh một cách riêng lẻ.
Do vậy, tư duy là công cụ, là nguyên nhân, là kết quả của nhận thức, đồng thời
là sự phát triển cấp cao của nhận thức. Ở giai đoạn đầu của quá trình nhận thức
có được tư duy cụ thể; phát triển lên nữa, kết hợp với ngôn ngữ hoạt động tư duy
tiến hành các thao tác so sánh, phân tích tổng hợp, khu biệt, quy nạp những thông
tin đơn lẻ gắn chúng vào đúng sự vật để tìm ra nội dung và bản chất của sự vật,
hiện tượng, quy nạp nó thành các khái niệm, phạm trù, định luật...Lúc này được
gọi là giai đoạn tư duy trừu tượng.
Chẳng hạn, học sinh đã được định hướng có được công thức
cos A + cos B + cos C = 1 +

r
R

Một cách rất tự nhiên học sinh đi tìm những công thức nào liên quan đến tỷ
r
số
hoặc liên quan đến cos A + cos B + cos C .
R

Lúc này học sinh phải tổng hợp, đối chiếu, phân tích tức là phải tư duy đến
công thức cos A + cos B + cos C ≤

3
và kết hợp với kiến thức vừa biết đi so sánh
2
10


được
R ≥ 2r.

Đây cũng chính là thực hiện tư duy sáng tạo ta sẽ nghiên cứu lý luận cụ thể ở
phần sau.

1.2.3

Những phẩm chất của tư duy

Khả năng định hướng: Ý thức nhanh chóng, chính xác đối tượng cần lĩnh

hội, mục đích phải đạt được và những con đường tối ưu để đạt được mục đích đó.
Bề rộng: Có khả năng vận dụng nghiên cứu các đối tượng khác.
Độ sâu: Nắm vững ngày càng sâu sắc hơn bản chất của sự vật, hiện tượng.
Tính linh hoạt: Nhạy bén trong việc vận dụng những tri thức vào hoạt động
và những tình huống khác nhau một cách sáng tạo.
Tính mềm dẻo: Thể hiện ở hoạt động tư duy được tiến hành theo các hướng
xuôi hoặc ngược chiều.
Tính độc lập: Thể hiện ở chỗ tự mình phát hiện những vấn đề, đề xuất cách
giải quyết và tự giải quyết được vấn đề.
Tính khái quát: Khi giải quyết một vấn đề nào đó, sẽ đưa ra được mô hình
khái quát, trên cơ sở đó có thể vận dụng để giải quyết các vấn đề tương tự, cùng
loại.

1.2.4

Các thao tác của tư duy

Phân tích-tổng hợp: Theo Nguyễn Cảnh Toàn [20]: Phân tích là một chỉnh
thể tách ra thành nhiều bộ phận để đi sâu vào các chi tiết trong từng bộ phận.
Tổng hợp là nhìn bao quát lên một chỉnh thể gồm nhiều bộ phận, tìm các mối
liên hệ giữa các bộ phận của chỉnh thể và chính chỉnh thể đó với môi trường xung
quanh.
Phân tích, tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ cơ bản của quá trình tư duy.
Những hoạt động trí tuệ đều diễn ra trên nền tảng của phân tích và tổng hợp.
Phân tích và tổng hợp có quan hệ mật thiết không thể tách rời nhau, chúng là sự
thống nhất biện chứng giữa hai mặt đối lập.
So sánh và tương tự:
So sánh là thao tác tư duy nhằm xác định sự giống nhau và khác nhau giữa
các sự vật, hiện tượng. Muốn so sánh hai sự vật, hiện thượng ta phải phân tích
11

dấu hiệu, các thuộc tính của chúng, đối chiếu các thuộc tính đó với nhau rồi tổng
hợp lại xem hai sự vật, hiện tượng có cái gì giống và khác nhau.
Tương tự là một dạng so sánh mà từ hai đối tượng giống nhau ở một số dấu
hiệu, rút ra hai đối tượng đó cũng giống nhau ở dấu hiệu khác. Do đó, tương tự là
sự giống nhau giữa hai hay nhiều đối tượng ở mức độ nào đó.
Khái quát hoá, đặc biệt hoá, trừu tượng hoá:
Theo các tác giả [7]: "Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp đối tượng lớn
hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung các phần tử
trong tập hợp xuất phát".
Theo Polya [24]: "Khái quát hoá là việc chuyển từ việc nghiên cứu một tập
hợp đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập
hợp ban đầu".
Như vậy, có thể hiểu khái quát hoá là quá trình đi từ cái riêng, cái đặc biệt
đến cái chung, hoặc từ một tổng quát đến một tổng quát lớn hơn. Trong toán học,
người ta thường khái quát hoá một yếu tố hoặc nhiều yếu tố của khái niệm, định
lý, bài toán ...thành những kết quả tổng quát.
Đặc biệt hoá là thao tác tư duy ngược với khái quát hoá.
Mối quan hệ giữa đặc biệt hoá và khái quát hoá thường được vận dụng trong
tìm tòi, giải toán, sáng tạo ra những bài toán mới.
Trừu tượng hoá là thao tác tư duy nhằm gạt bỏ những mặt, những thuộc
tính, những liên hệ, quan hệ thứ yếu, không cần thiết và chỉ giữ lại các yếu tố cần
thiết cho tư duy.
Theo Hoàng Chúng [2]:" Trừu tượng hoá và khái quát hoá liên hệ chặt chẽ
với nhau. Nhờ trừu tượng hoá ta có thể khái quát hoá rộng hơn và nhận thức sự
vật sâu sắc hơn. Ngược lại, khái quát hoá đến một mức nào đó giúp ta tách được
những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất, tức là đã trừu
tượng hoá. Trừu tượng hoá là một hoạt động tư duy, hoạt động này của bộ não
con người có thể hướng tới bất kỳ vấn đề gì của khoa học nói chung và toán học

nói riêng".

1.2.5

Vấn đề phát triển năng lực của tư duy

Phát triển năng lực tư duy, đặc biệt là tư duy toán học cho học sinh là rất
cần thiết, nó giúp cho học sinh thông hiểu kiến thức một cách sâu sắc, không máy
12


móc, thói quen, biết vận dụng kiến thức vào bài tập, cao hơn nữa là biết vận dụng
những kiến thức đã học vào giải quyết những bài toán thực tế. Chỉ thực sự lĩnh
hội được tri thức khi có tư duy tích cực của bản thân học sinh và sự hướng dẫn,
định hướng của giáo viên, khi đó học sinh mới biết phân tích, khái quát sự vật...và
rút ra được những kết luận cần thiết.
Muốn phát triển năng lực tư duy, ta phải xây dựng nội dung dạy học sao cho
nội dung không được "Thích nghi, thoả mãn" với trình độ sẵn có của học sinh mà
đòi hỏi học sinh phải có trình độ phát triển cao hơn, có phương thức hoạt động
trí tuệ phức tạp hơn. Khi đó học sinh luôn tìm tòi và tư duy để đạt được trình độ
mới.

1.2.6

Dấu hiệu đánh giá tư duy phát triển

Có khả năng tự chuyển tải tri thức và kỹ năng sang một tình huống mới.
Trong quá trình học tập, học sinh phải giải quyết vấn đề, đòi hỏi liên tưởng, tái
hiện những kiến thức học trước đó. Nếu học sinh chuyển tải, vận dụng vào tình
huống mới thì chứng tỏ có biểu hiện tư duy phát triển.

Tái hiện kiến thức và thiết lập được sơ đồ các mối quan hệ bản chất một cách
nhanh chóng.
Có khả năng phát hiện cái chung và cái đặc biệt giữa các bài toán.
Có khả năng vận dụng những kiến thức đã học giải quyết những bài toán
thực tế: Định hướng nhanh, biết phân tích suy đoán, vận dụng các thao tác tư duy
để tìm phương án tối ưu và tổ chức thực hiện có hiệu quả.

1.3

Tư duy sáng tạo

1.3.1

Một số công trình trong nước nghiên cứu tư duy sáng tạo

Theo tác giả Phạm Văn Hoàn [6] cho rằng, biểu hiện của tư duy sáng tạo là
không rập khuôn cái cũ, biết thay đổi cái cái cũ, biết thay đổi các biện pháp giải
quyết vấn đề; thấy được những mối liên hệ khăng khít giữa những sự kiện trông
bề ngoài tưởng chừng xa lạ để tìm ra những phương pháp giải quyết đúng, gọn và
hay. Tác giả đã trình bày 7 biện pháp để rèn luyện tư duy sáng tạo:
1) Khắc phục "Tính ỳ" của tư duy bằng cách cho học sinh làm các bài toán
khác nhau.
13


2) Khuyến khích học sinh tìm hiểu nhiều cách giải khác nhau của một bài
toán và chọn ra cách giải hay nhất.
3) Sử dụng các phép tính và bài toán không giải theo lối rập khuôn.
4) Cho học sinh giải các bài toán vui để tập suy luận khác với cách giải thông
thường

5) Rèn luyện trí tưởng tượng cho học sinh.
6) Tập cho học sinh ý thức xem xét một vấn đề dưới nhiều khía cạnh khác
nhau.
7) Cần và tiến hành rèn luyện tư duy ở tất cả các lớp song phải có phương
pháp phù hợp.
Tác giả Hoàng Chúng [2] đã nghiên cứu vấn đề rèn luyện cho học sinh các
phương pháp suy nghĩ cơ bản trong sáng tạo toán học: Đặc biệt hoá, tổng quát
hoá và tương tự. Có thể vận dụng các phương pháp đó để giải các bài tập đã cho,
để mò mẫm, dự đoán kết quả, tìm ra phương pháp để giải bài toán, để mở rộng,
đào sâu và hệ thống hoá kiến thức. Theo tác giả, để rèn luyện khả năng sáng tạo
toán học, ngoài lòng say mê học tập, cần rèn khả năng phân tích vấn đề một cách
toàn diện ở nhiều khía cạnh khác nhau biểu hiện ở hai mặt quan trọng:
- Phân tích khái niệm, bài toán, kết quả đã biết dưới nhiều hình thức, khía
cạnh khác nhau, từ đó tổng quát hoá hoặc xét các vấn đề tương tự theo nhiều khía
cạnh khác nhau.
- Tìm tòi lời giải khác nhau của một bài toán, khai thác các lời giải đó để giải
các bài toán tương tự hay tổng quát hơn hoặc đề xuất bài toán mới.
Theo tác giả Nguyễn Cảnh Toàn [20] đã đề ra mục đích của cuốn sách chủ
yếu là rèn luyện tư duy sáng tạo, nhất là tư duy biện chứng, đặt trọng tâm vào
việc rèn luyện khả năng phát hiện vấn đề, rèn luyện tư duy biện chứng thông qua
lao động tìm tòi cái mới. Thông qua 10 đề tài trong cuốn sách, tác giả khẳng định:
"Muốn sáng tạo toán học, rõ ràng phải giỏi vừa cả phân tích, vừa cả tổng hợp,
phân tích và tổng hợp đan xen lẫn nhau, nối tiếp nhau, cái này tạo điều kiện cho
cái kia".
Trong [6], các tác giả Trần Văn Hoàn, Trần Thúc Trình, Nguyễn Gia Cốc
khẳng định rằng, phát triển những năng lực toán học ở học sinh là một nhiệm vụ
đặc biệt quan trọng của người thầy giáo. Cần có những công trình nghiên cứu tỉ
mỉ về cấu trúc của năng lực tư duy toán học của học sinh nước ta; để từ đó có nội
14

dung, phương pháp bồi dưỡng năng lực sáng tạo toán học cho học sinh một cách
chủ động.

1.3.2

Tư duy sáng tạo

Theo định nghĩa trong từ điển thì sáng tạo là cái mới, cách giải quyết vấn đề
mới không bị gò bó và phụ thuộc vào cái đã có. Nội dung của sáng tạo gồm hai ý
chính có tính mới (khác với cái cũ, cái đã biết) và lợi ích (giá trị hơn cái cũ). Như
vậy sáng tạo cần thiết cho bất kỳ một hoạt động nào trong xã hội loài người. Sáng
tạo thường được nghiên cứu trên nhiều phương diện như một quá trình phát sinh
cái mới trên nền tảng của cái cũ.
Các nhà nghiên cứu đã đưa ra quan điểm khác nhau về tư duy sáng tạo. Theo
Nguyễn Bá Kim [7]: "Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những điều
cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác nhau của tư
duy sáng tạo. Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét khả năng tạo ra cái mới,
phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới. Tuy nhiên, nhấn
mạnh cái mới không có nghĩa coi nhẹ cái cũ".
Theo Tôn Thân [19]: "Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập tạo ra ý
tưởng mới, độc đáo, có tính hiệu quả giải quyết vấn đề cao" và theo tác giả "Tư
duy sáng tạo là tư duy độc lập và nó không bị gò bó phụ thuộc vào cái đã có. Tính
độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt mục đích vừa trong việc tìm giải pháp.
Mỗi sản phẩm của tư duy sáng tạo đều mang rất đậm của dấu ấn cá nhân tạo ra
nó".
Theo G.Polya cho rằng [23]: "Một tư duy được gọi là có hiệu quả nếu tư duy
đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó. Có thể coi là sáng tạo nếu tư duy
đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải các bài toán sau này. Các bài toán vận
dụng những tư liệu, phương tiện này có số lượng càng lớn, có dạng muôn màu,

muôn vẻ, thì mức độ sáng tạo của tư duy ngày càng cao, thí dụ: Lúc những cố gắng
của người giải vạch ra các phương thức giải áp dụng cho những bài toán khác"
Tác giả Trần Thúc Trình đã cụ thể hóa sự sáng tạo với người học toán: "Đối
với người học toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu họ đương đầu với
những vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới mà họ chưa từng biết. Như
vậy, một bài tập cũng được xem như là mang yếu tố sáng tạo nếu các thao tác giải
nó không bị những mệnh lệnh nào đó chi phối (từng phần hay hoàn toàn), tức là
15


nếu người giải chưa biết trước thuật toán để giải và phải tiến hành tìm hiểu những
bước đi chưa biết trước. Nhà trường phổ thông có thể chuẩn bị cho học sinh sẵn
sàng hoạt động sáng tạo theo nội dung vừa trình bày.
Vậy, nói đến tư duy sáng tạo khi học sinh tự khám phá, tự tìm cách chứng
minh mà học sinh đó chưa biết đến. Bắt đầu từ tình huống gợi vấn đề, tư duy sáng
tạo giải quyết mâu thuẫn tồn tại trong tình huống đó với hiệu quả cao, thể hiện ở
tính hợp lý, tiết kiệm, tính khả thi và cả ở vẻ đẹp của giải pháp. Nói chung lại, tư
duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới độc đáo và có hiệu
quả giải quyết vấn đề cao.

1.3.3

Cấu trúc của tư duy sáng tạo

Các nghiên cứu của nhiều nhà tâm lý, giáo dục học,...đã thống nhất đưa ra
5 thành phần cơ bản của cấu trức tư duy sáng tạo: Tính mềm dẻo, tính nhuần
nhuyễn, tính độc đáo, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề.
Tính mềm dẻo (Flexibility)

Tính mềm dẻo của tư duy là năng lực dễ dàng, đi từ hoạt động trí tuệ này

sang hoạt động trí tuệ khác, từ thao tác tư duy này sang thao tác tư duy khác,
vận dụng linh hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá,
khái quát hóa, cụ thể hoá và các phương pháp suy luận như quy nạp, suy diễn,
tương tự, dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác, điều chỉnh kịp
thời hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại.
Tính mềm dẻo của tư duy còn là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh chóng
trật tự của hệ thống tri thức chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc độ quan
niệm khác, định nghĩa lại sự vật, hiện tượng, gạt bỏ sơ đồ tư duy có sẵn và xây
dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong những quan hệ mới, hoặc
chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất sự vật và điều phán đoán. Suy nghĩ không
rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc các kiến thức kỹ năng đã có sẵn
vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới, trong đó có những yếu tố đã thay đổi, có khả
năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những kinh nghiệm, những phương pháp,
những cách suy nghĩ đã có từ trước. Đó là nhận ra vấn đề mới trong điều kiện
quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết.
Như vậy, tính mềm dẻo là một trong những đặc điểm cơ bản của tư duy sáng
16


tạo. Do đó, để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh ta có thể cho các em giải
các bài tập mà thông qua đó rèn luyện được tính mềm dẻo của tư duy.
Tính nhuần nhuyễn (Fluency)

Tính nhuần nhuyễn của tư duy thể hiện ở năng lực tạo ra một cách nhanh
chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của các hình huống, hoàn cảnh, đưa ra giả
thuyết mới. Các nhà tâm lý học rất coi trọng yếu tố chất lượng của ý tưởng sinh
ra, lấy đó làm tiêu chí để đánh giá sáng tạo.
Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượng nhất
định các ý tưởng. Số ý tưởng nghĩ ra càng nhiều thì càng có nhiều khả năng xuất
hiện ý tưởng độc đáo, trong trường hợp này số lượng làm nảy sinh ra chất lượng.

Tính nhuần nhuyễn còn thể hiện rõ nét ở 2 đặc trưng sau:
- Một là tính đa dạng của các cách xử lý khi giải toán, khả năng tìm được
nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau. Đứng trước một vấn
để phải giải quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và đề xuất
được nhiều phương án khác nhau và từ đó tìm được phương án tối ưu.
- Hai là khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau, có một
cái nhìn sinh động từ nhiều phía đối với sự vật và hiện tượng chứ không phải cái
nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc.
Ví dụ 1.1. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng:
1
1
1
1
+ +
≤ 2
ab bc ca
4r

Đây là ví dụ tiếp theo của nội dung cuối chương 2, khi ta đã có kiến thức cơ
bản về hệ thức lượng giác. Chẳng hạn
1. a2 + b2 + c2 ≤ 9R2 .
2. R ≥ 2r.
3. sin

A
B
C
1
sin sin ≤
2

2
2
8

Lời giải.
Cách 1: Ta đã có
1
1
1
1
+ +
=
.
ab bc ca
2Rr
17


Kết hợp với R ≥ 2r được đpcm.
Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có

1
1
1
1
3
+ +
≥3
2
ab bc ca

a b2 c 2
1

≥3

3

a2 + b 2 + c 2
3
9
= 2
.
a + b2 + c 2
3

Sử dụng kết quả trên, ta được đpcm.
Cách 3:
1
1
1 1 1
9
1
+ +
≥ 9. Suy ra + + ≥
.
ab bc ca
ab bc ca
ab + bc + ca
Mặt khác, ta dễ ràng có được a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca, sử dụng kết quả trên

Ta luôn có (ab + bc + ca)
được đpcm.
Cách 4:

2p
1
16S 2
≥ 2 =
⇔ abc ≥ 8(p − a)(p − b)(p − c).
abc
R
(abc)2
Thật đơn giản, ta có a = (p − b) + (p − c) ≥ (p − b)(p − c), tương tự b =

Bài toán tương đương với

(p − c) + (p − a) ≥

(p − c)(p − a), c = (p − c) + (p − a) ≥

(p − c)(p − a). Suy ra

abc ≥ 8(p − a)(p − b)(p − c).

Cách 5: Ta có (a + b)2 ≥ 4ab ⇔
1
1
1
+ +
≥4

ab bc ca

1
4
≥
, suy ra:
ab
(a + b)2
1
2

(a + b)

≥4

+

1
2

(b + c)
9

+

1
(c + a)2

(a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2
18

= 2
2
2
(a + b + c ) + (ab + bc + ca)
9
≥ 2
.
a + b2 + c 2

Sử dụng kết quả trên, ta có đpcm.
Cách 6:
1
1
1
1
+ +
≥ 2
ab bc ca
R
⇔ sin A + sin B + sin C ≥ 4 sin A sin B sin C
18


A
B
C
+ cos + cos ≥ sin A sin B sin C
2
2
2

A
B
C
1
⇔ sin sin sin ≤ .
2
2
2
8
⇔ cos

Sử dụng kết quả trên, ta được đpcm.
Tính độc đáo (Originality)

Là khả năng tìm và đề xuất, quyết định phương thức hoàn toàn mới. Tính
độc đáo được đặc trưng bởi các khả năng:
- Khả năng tìm ra những liên tưởng và những kết hợp mới.
- Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài tưởng
như không có liên hệ với nhau.
- Khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác.
Tính hoàn thiện (Elabolation)

Tính hoàn thiện là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩa và hành động,
phát triển ý tưởng, kiểm tra và kiểm chứng ý tưởng.
Tính nhạy cảm vấn đề (Problem’s Censibitity)

Là năng lực nhanh chóng phát hiện ra vấn đề, sự mâu thuẫn, sai lầm, thiếu
logic, chưa tối ưu...Từ đó đề xuất hướng giải quyết tạo ra cái mới.
Tính nhạy cảm vấn đề có các đặc trưng sau:
- Khả năng nhanh chóng phát hiện vấn đề.

- Khả năng phát hiện ra mâu thuẫn, sai lầm, thiếu logic, chưa tối ưu từ đó
có nhu cầu cấu trúc lại, tạo ra cái mới.
Tóm lại: Ngoài 5 thành phần cơ bản của tư duy sáng tạo còn có một số
yếu tố quan trọng khác: Tính chính xác (Precise), năng lực định giá (Ability to
valued), phán đoán (Decide), năng lực định nghĩa lại (Redefinition).
Các yếu tố cơ bản trên không tách rời nhau, trái lại chúng có quan hệ mật
thiết biện chứng, hỗ trợ, bổ sung cho nhau. Khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động
trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiện cho việc tìm
nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác (tính nhuần nhuyễn); nhờ
đó, ta tìm được nhiều phương án khác nhau, trong đó tìm được giải pháp mới lạ,

19


đặc sắc (tính độc đáo)...Tất cả các yếu tố đặc trưng nói trên cùng góp phần tạo
nên tư duy sáng tạo, đỉnh cao nhất trong các hoạt động trí tuệ của con người.

1.3.4

Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua việc dạy học môn
toán nhằm phát huy năng lực, phẩm chất của học sinh

Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cần kết hợp bồi dưỡng các hoạt động trí tuệ khác
cho học sinh

Để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh cần được tiến hành trong mối
quan hệ hữu cơ với các hoạt động trí tuệ khác: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tương
tự, trừu tượng hoá, khái quát hoá, hệ thống hoá trong đó hoạt động phân tích và
tổng hợp đóng vai trò quan trọng.
Chẳng hạn, để bồi dưỡng tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn của tư duy, học

sinh cần được luyện tập thường xuyên kỹ năng, kỹ xảo, năng lực, tiến hành phân
tích kết hợp với tổng hợp để nhìn thấy đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau.
Trên cơ sở so sánh các trường hợp riêng lẻ, dùng phép tương tự để chuyển từ trường
hợp riêng này sang trường hợp riêng khác, khai thác mối quan hệ mật thiết với
trừu tượng hoá; làm rõ mối quan hệ chung riêng, giữa quan hệ mệnh đề xuất phát
với mệnh đề tìm được bằng đặc biệt hoá và hệ thống hoá.
Ta có thể rèn luyện cho học sinh khái quát hoá tài liệu toán học, tạo khả
năng tìm nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau; khả năng
tìm ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài tưởng như không có liên
hệ với nhau, khả năng tìm ra giải pháp lạ hoặc duy nhất. Các hoạt động này góp
phần bồi dưỡng tính nhuần nhuyễn và tính độc đáo của tư duy.
Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cần đặt trọng tâm vào việc rèn khả năng khơi dạy
những ý tưởng mới, phát hiện những vấn đề mới

Về giảng dạy lý thuyết, cần tận dụng phương pháp tập dượt nghiên cứu tạo
ra các tình huống có vấn đề dẫn dắt học sinh tìm tòi, khám phá kiến thức mới.
Chú ý thường xuyên rèn luyện cho học sinh suy luận có lý (thông qua việc quan
sát, so sánh, đặc biệt hoá, khái quát hoá, quy nạp, tương tự...) để học sinh có thể
tự tìm tòi, dự đoán quy luật của thế giới khách quan; tự mình phát hiện và phát
biểu vấn đề, dự đoán kết quả, tìm ra hướng giải của bài toán.
Về thực hành giải toán, cần coi trọng các bài tập trong đó chưa rõ điều phải
chứng minh, học sinh phải tự xác lập, tự tìm tòi để phát hiện và giải quyết vấn đề.
20


Bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo

Trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý bồi dưỡng từng yếu tố của tư
duy sáng tạo: Tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo. Khai thác từ nội
dung các vấn đề giảng dạy, đề xuất những câu hỏi "Có vấn đề" để học sinh suy

nghĩ rèn luyện những yếu tố trên.
Sử dụng từng loại câu hỏi và bài tập tác động đến từng yếu tố của tư duy
sáng tạo như: Những bài tập có cách riêng đơn giản hơn là áp dụng công thức tổng
quát để khắc phục “Tính ỳ”; những bài tập có nhiều lời giải khác nhau, đòi hỏi học
sinh phải biết chuyển từ phương pháp này sang phương pháp khác; những bài tập
trong đó có những vấn đề thuận nghịch đi liền với nhau, song song nhau, giúp cho
việc hình thành các liên tưởng ngược xảy ra đồng thời với việc hình thành các liên
tưởng thuận; những bài toán “Không theo mẫu”, không đưa được về các loại toán
giải bằng cách áp dụng các định lý, quy tắc trong chương trình.
Bồi dưỡng tư duy sáng tạo là một quá trình lâu dài cần tiến hành ở tất cả các
khâu của quá trình dạy học

Bồi dưỡng tư duy sáng tạo là một quá trình lâu dài, cần tiến hành thường
xuyên hết tiết học này sang tiết học khác, mang tính hệ thống cao, trong tất cả
các khâu của quá trình dạy học chính khoá cũng như trong hoạt động trải nghiệm
sáng tạo. Cần tạo điều kiện cho học sinh có dịp được rèn luyện khả năng tư duy
sáng tạo trong việc toán học hoá tình huống thực tế, trong việc viết báo toán với
những đề toán tự sáng tác những cách giải mới, những kết quả mới khai thác từ
các bài tập đã giải. . .
Một vấn đề rất đáng được quan tâm là vấn đề kiểm tra, đánh giá. Các đề
kiểm tra, các đề thi cần được soạn với yêu cầu kiểm tra được năng lực tư duy sáng
tạo của học sinh. Học sinh chỉ có thể làm được hoàn chỉnh các đề kiểm tra đó trên
cơ sở bộc lộ rõ rệt năng lực tư duy sáng tạo của bản thân chứ không phải chỉ là
học tủ, vận dụng kiến thức thiếu sáng tạo.
Nhận xét 1.1. Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh, khi dạy giáo viên phải
chuẩn bị và giao nhiệm vụ:
• Chuẩn bị kỹ tài liệu trong quá trình dạy học, trang bị khái niệm, định nghĩa,

những kiến thức cơ bản nhất. Đặt những câu hỏi, tình huống "Có vấn đề"
liên quan tới thực tế, tạo động lực cho học sinh.

21


• Gợi ý cho học sinh tư duy: So sánh, trừu tựng hoá, khái quát hoá, phân tích,

tổng hợp,...Tự sưu tầm, thu thập tài liệu có liên quan; bước đầu ý thức nghiên
cứu giải quyết vấn đề.
• Định hướng, tổ chức thảo luận nhóm cho học sinh; học sinh trình bày nhiều

hướng giải quyết bài toán; đưa ra cả ý kiến phản biện; thảo luận, phân tích
hoặc tự chọn lọc ra cách giải tối ưu nhất.
• Học sinh phải tự mình giải các cách đã thực hiện, nhận xét kỹ ưu điểm, nhược

điểm của từng cách. Ghi lại những nhận xét theo cách hiểu của các nhân.
• Học sinh tự đặt ra các bài toán mới bằng cách phán đoán, dự đoán, đặc biệt

hoá, khái quát hoá...Giải quyết những bài toán đặt ra. Trao đổi với những
học sinh khác hướng giải quyết những bài toán mới. Chú ý trân trọng tư duy
phê phán khi thực hiện trao đổi, thảo luận.
• Cuối cùng, tập hợp các kết quả (cùng các bạn hoặc có sự định hướng của

thầy) tổng hợp lại các kết quả tìm được.
Nhận xét 1.2. Thái độ của giáo viên khi dạy học nhằm bồi dưỡng tư duy cho
học sinh:
• Tạo cho học sinh tiếp cận với nhiều trường phái, quan điểm khác nhau ở mức

độ cởi mở, nhẹ nhàng.Tìm kiếm và cung cấp lý do cho việc học sinh đang
làm.
• Định hướng không để học sinh xa rời điểm chính của cuộc hội thảo, thảo

luận.
• Luôn luôn cởi mở, khuyến khích quan điểm của cá nhân học sinh; tránh lặp

lại nhiều lần những yêu cầu.
• Sẵn sàng tiếp nhận ý kiến của học sinh kể cả những hạn chế. Nắm được cảm

giác, trình độ hiểu biết, độ tinh tế của học sinh.
• Định hướng những giải pháp giàu tưởng tượng, phù hợp; định hướng học sinh

viết tổng hợp, nhận xét.
Tư duy sáng tạo là trọng tâm, bản chất của nhấn mạnh hiện tại về các kỹ
năng tư duy. Các nhà trường phải thực hiện nhiều cải cách trong khuôn khổ
22