Bài tập phương trình bậc 2 và các hàm số lượng giác doc

LƯỢNG GIÁC

CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI CÁC HÀM SỐ LƯNG GIÁC

(
)
()
()
()
++= ≠
++= ≠
+== ≠
++=
2
2
2
2
asin u bsinu c 0 a 0
acos u bcosu c 0 a 0
atg u btgu c 0 a 0
a cot g u b cot gu c 0 a 0≠


Cách giải:
Đặt : hay với
tsinu=
tcosu=
t1
≤

(điều kiện ttgu=

uk
2
π
≠
+π
)
(điều kiện tcotgu=
uk
≠
π
)
Các phương trình trên thành:
2
at bt c 0
+
+=
Giải phương trình tìm được t, so với điều kiện để nhận nghiệm t.
Từ đó giải phương trình lượng giác cơ bản tìm được u.


Bài 56: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2002)
Tìm các nghiệm trên
(
của phương trình
)
0, 2π
()
cos 3x sin 3x
5sinx 3 cos2x*
12sin2x

+
⎛⎞
+=+
⎜⎟
+
⎝⎠

Điều kiện:
1
sin 2x
2
≠−

Ta có:
(
)
(
)
33
sin 3x cos3x 3sin x 4 sin x 4 cos x 3cos x+= − + −

()
()
()
()
()()
33
22
3cosx sinx 4cos x sin x
cos x sin x 3 4 cos x cos x sin x sin x

cos x sin x 1 2sin 2x
=− − + −
⎡⎤
=− −+ + +
⎣⎦
=− +

Lúc đó: (*)
(
)
(
)
2
5 sin x cos x sin x 3 2cos x 1
⎡⎤
⇔+−=+
⎣⎦
−

1
do sin 2x
2
⎛⎞
≠−
⎜⎟
⎝⎠

2
2cos x 5cosx 2 0⇔−+=
()

1
cos x
2
cos x 2 loại
⎡
=
⎢
⇔
⎢
=
⎢
⎣

x
3
π
⇔=±+ πk2
(nhận do
31
sin 2x
22
=
±≠−
)
Do
(
)
x0,2∈π
nên
5

xx
33
π
π
=∨=


Bài 57: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2005)
Giải phương trình:
(
)
22
cos 3x.cos2x cos x 0 *−=

Ta có: (*)
1cos6x 1cos2x
.cos2x 0
22
++
⇔
−=

cos6x.cos2x 1 0⇔−=
(**)
Cách 1: (**)
()
3
4 cos 2x 3cos2x cos2x 1 0⇔− −=
=
42

4 cos 2x 3cos 2x 1 0⇔−−

()
2
2
cos 2x 1
1
cos 2x vô nghiệm
4
⎡
=
⎢
⇔
⎢
=−
⎢
⎣

()
sin 2x 0
k
2x k x k Z
2
⇔=
π
⇔=π⇔= ∈

Cách 2: (**)
()
1

cos8x cos4x 1 0
2
⇔+−=

()
2
cos 8x cos 4x 2 0
2cos 4x cos4x 3 0
cos4x 1
3
cos4x loại
2
⇔+−=
⇔+−
=
⎡
⎢
⇔
⎢
=−
⎣
=

()
k
4x k2 x k Z
2
π
⇔=π⇔= ∈

Cách 3: phương trình lượng giác không mẫu mực:
(**) ⇔
cos6x cos2x 1
cos6x cos2x 1
==
⎡
⎢
==−
⎣
Cách 4:
+−=⇔+cos 8x cos 4x 2 0 cos8x cos 4x 2=

⇔
==cos 8x cos 4x 1
⇔
=cos 4x 1


Bài 58:
(Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2005)
Giải phương trình:
44
3
cos x sin x cos x sin 3x 0
44
ππ
⎛⎞⎛ ⎞
++− −−
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠

2
=


Ta có:
(*)
()
2
22 22
13
sin x cos x 2sin x cos x sin 4x sin 2x 0
22
⎡⎤
π
⎛⎞
⇔+ − + −+−
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦

2
=
[]
2
11 3
1 sin 2x cos 4x sin 2x 0
22 2
⇔− + − + − =

()
22
11 11
sin 2x 1 2sin 2x sin 2x 0
22 22
⇔− − − + − =

2
sin 2x sin 2x 2 0⇔+− =
()
sin 2x 1
sin 2x 2 loại
=
⎡
⇔
⎢
=−
⎣

π
⇔=+π∈
π
⇔=+π∈


2x k2 , k
2
xk,k
4

Bài 59: (Đề th ïc khối B, năm 2004) i tuyển sinh Đại ho

(
)(
−= −
2
5sinx 2 3 1 sinx tg x *
)
Giải phương trình:

Khi đó: (*)
cos x 0 sin x 1≠⇔ ≠±
Điều kiện:
()
2
2
sin x
5sinx 2 3 1 sinx
cos x
⇔−=−

()
2
2
sin x
5sinx 2 3 1 sinx
1sinx
⇔−=−
−

2
3sin x
5sinx 2
1sinx
⇔−=
+

2
2sin x 3sinx 2 0⇔+− =
()
()
1
sin x nhận do sin x 1
2
sin x 2 vô nghiệm
⎡
=≠
⎢
⇔
⎢
=−
⎢
⎣

±
()
5
xk2x k2k
66

ππ
⇔=+ π∨= + π ∈

Z


()
11
2sin 3x 2cos 3x *
sin x cos x
−= +
Bài 60: Giải phương trình:

Lúc đó: (*)
Điều kiện:
sin 2x 0≠

()
11
2sin3x cos3x
sin x cos x
⇔−=+

()
(
)
33
11
2 3 sin x cos x 4 sin x cos x
sin x cos x

⎡⎤
⇔+−+=+
⎣⎦

()
(
)
22
sin x cos x
2 sin x cos x 3 4 sin x sin x cos x cos x
sin x cos x
+
⎡⎤
⇔+ − − + =
⎣⎦

()
1
sinx cosx 2 8sinxcosx 0
sin x cos x
⎡⎤
⇔+ −+ − =
⎢⎥
⎣⎦

()
2
sin x cos x 4 sin 2x 2 0
sin 2x
⎡⎤

⇔+ − −
⎢⎥
⎣⎦

=
()
2
tgx 1
sin x cos x 0
nhận so với điều kiện
1
sin 2x 1 sin 2x
4sin 2x 2sin2x 2 0
2
=−
⎡
+=
⎡
⎢
⇔⇔
−
⎢
⎢
=∨ =
−−=
⎣
⎣

ππ π π
⇔ =− + π∨ = + π∨ =− + π∨ = + π ∈


7
x k 2x k2 2x k2 2x k2 , k
42 6 6

π
ππ
⇔ =± +π∨ =− +π∨ = +π ∈

7
xkxkxk,k
41212



(
)
()
+− −
=
+
2
cos x 2 sin x 3 2 2 cos x 1
1*
1sin2x
Bài 61: Giải phương trình:

sin 2x 1 x m
4
π

≠− ⇔ ≠− + π
Điều kiện:
Lúc đó:
(*)
2
2sinxcosx 3 2cosx 2cos x 1 1 sin2x⇔ + − −=+

2
2cos x 3 2cosx 2 0⇔− + =
()
⇔= =
2
cos x hay cos x 2 vô nghiệm
2

()
xk2
4
xk'2loạidiềukiện
4
π
⎡
=+ π
⎢
⇔
⎢
π
⎢
=− + π
⎢

⎣

xk2
4
⇔=+ π

π

Bài 62: Giải phương trình:
()
x3x x3x1
cosx.cos .cos sinxsin sin *
22 222
−=


Ta có: (*)
()()
11
cos x cos2x cos x sin x cos2x cos x
22
1
2
⇔
++ −=

2
cos x.cos 2x cos x sin x cos 2x sin x cos x 1⇔++−=
cos x⇔+=−+
()

2
cos 2x cos x sin x 1 cos x sin x
()
(
)
cos 2x cos x sin x sin x sin x cos x⇔+=+

()( )
(
)
cos x sin x cos 2x sin x 0 * *⇔+ −=

()
()
2
cos x sin x 1 2sin x sin x 0⇔+ − −

=
2
cos x sin x
2sin x sinx 1 0
=−
⎡
⇔
⎢
+−=
⎣

tgx 1
sin x 1

1
sin x
2
⎡
⎢
=−
⎢
⇔=
⎢
⎢
=
⎢
⎣
−

()
xk
4
xk2 k
2
5
xk2x k2
66
π
⎡
=− + π
⎢
⎢
π
⎢

⇔=−+π ∈
⎢
⎢
ππ
⎢
=+ π∨= + π
⎢
⎣

Z
Cách khác: (**) tgx 1 cos2x sin x cos x
2
π
⎛⎞
⇔=−∨ = = −
⎜⎟
⎝⎠



(
)
3
4 cos x 3 2 sin 2x 8cos x *+= Bài 63: Giải phương trình:

Ta có: (*)
3
4 cos x 6 2 sin x cos x 8cos x 0
⇔
+− =

()
2
cos x 2cos x 3 2 sin x 4 0⇔+−

=
(
)
2
cos x 2 1 sin x 3 2 sin x 4 0
⎡⎤
⇔−+−
⎣⎦

=
2
cos x 0 2sin x 3 2 sin x 2 0⇔=∨ − +=
()
cos x 0
2
sin x
2
sin x 2 vô nghiệm
=
⎡
⎢
⎢
⇔=
⎢
⎢
=

⎢
⎣

2
x k sin x sin
22
ππ
⇔=+π∨ = =

4
()
3
xkxk2x k2k
24 4
ππ π
⇔=+π∨=+π∨= +π∈

Z
Bài 64

: Giải phương trình:
()
cos 2x cos 2x 4 sin x 2 2 1 sin x *
44
ππ
⎛⎞⎛⎞
++ −+ =+ −
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠

()

(*)
()
2cos2x.cos 4sin x 2 2 1 sin x
4
π
⇔+=+−

(
)
(
)
()
2
2
21 2sin x 4 2sinx 2 2 0
2 2 sin x 4 2 sin x 2 0
⇔− ++ −−=
⇔−++=

()
⇔−++=
2
2sin x 2 2 1 sinx 2 0
()
⎡
⎢
si

=
⇔
⎢
=
⎢
⎣
n x 2 loại
1
sin x
2


ππ
⇔=+ π = + π∈

5
xk2hayx k2,k
66


Bài 65
(
)
()
+
2
g x 2 2 =+
2
3 cot sin x 2 3 2 cos x *
: Giải phương trình :

Điều kiện:
(*)

sin x 0 cos x 1≠⇔ ≠±

Chia hai vế (*) cho
2
sin x ta được:
()
2
42
cos x cos x
322232
sin x sin x
⇔+=+
và
sin x 0
≠


2
cos x
t
sin x
=
Đặt ta được phương trình:
()
2
3t 2 t 2−+ +2 3 2 0

2
t2t
3
=
⇔= ∨=

* Với
2
t
3
=
ta có:
2
cos x 2
3
sin x
=

()
()
(
co nhận 1
⎢
⎣
)
2
2
3cos x 2 1 cos x
2cos x 3cosx 2 0
cos x 2 loại

1
s x do cos x
2
⇔=−
⇔+−=
⎡
=−
⎢
⇔
⎢
=≠±

()
xk2k
3
π
⇔=±+ π∈

Z
* Với
t2= ta có:
=
2
cos x
2
sin x

()
()
()

⇔=−
⇔+−=
⎡
=−
⎢
⇔
⎢
=
≠±
⎢
⎣
π
⇔=±+ π∈xk2,k

2
2
cos x 2 1 cos x
2 cos x cos x 2 0
cos x 2 loại
2
cos x nhận do cos x 1
2
4

Bài 66

: Giải phương trình:
()
+−−
=

22
4sin 2x 6sin x 9 3cos2x
0*
cos x


Điều kiện:
Lúc đó:
(*) =

≠cos x 0

22
4sin 2x 6sin x 9 3cos2x 0⇔+−−
()
()
2
2
4 1 cos 2x 3 1 cos2x 9 3cos 2x 0
4cos 2x 6cos2x 2 0
1
cos2x 1 cos2x
2
⇔− +− −− =
⇔++=
⇔=−∨=−

22
1
2cos x 1 1 2cos x 1

2
⇔ − =− ∨ − =−

()
()
()
cos x 0 loại diều kiện
1
cos x nhận do cos x 0
2
2
xk2x
3
⇔=±+ π∨ k2kZ
3
⎡
=
⎢
⇔
⎢
=± ≠
ππ
=± + π ∈

⎢
⎣

()
12
fx sinx sin3x sin5x

35
=+ +
Bài 67: Cho
()
f' x 0
=
Giải phương trình:

Ta có:

=

()
f' x 0=

()( )
()()
32
cos x cos3x 2cos5x 0
cos x cos5x cos 3x cos5x 0
2cos3xcos2x 2cos4xcosx 0
4 cos x 3cos x cos2x 2cos 2x 1 cos x 0
⇔+ + =
⇔+++=
⇔+=
⇔− + −

()
()
⎡⎤

⇔−+−
⎣⎦
⎡
⎡⎤
+− + −=
⎣⎦
⇔
⎢
=
⎢
⎣
⎡
−−=
⇔
⎢
=
⎣
±
⇔= ∨=
22
2
2
4 cos x 3 cos 2x 2 cos 2x 1 cos x 0
2 1 cos 2x 3 cos 2x 2 cos 2x 1 0
cos x 0
4cos 2x cos2x 1 0
cos x 0
117
cos 2x cos x 0
8

=
()
117 117
cos2x cos cos2x cos cosx 0
8

8
xkxkxkkZ
222
+−
⇔= =α∨= =β∨=
αβπ
⇔=±+π∨=±+π∨=+π∈



()
88 2
17
sin x cos x cos 2x *
16
+=
Bài 68: Giải phương trình:

Ta có:
()
()
2
88 44 44

2
2
22 22 4
2
24
24
sin x cos x sin x cos x 2sin x cos x
1
sin x cos x 2sin x cos x sin 2x
8
11
1sin2x sin2x
28
1
1sin2x sin2x
8
+= + −
⎡⎤
=+− −
⎢⎥
⎣⎦
⎛⎞
=− −
⎜⎟
⎝⎠
=− +

Do đó:

()

()
()
()
()()
⎛⎞
⇔− + =−
⎜⎟
⎝⎠
⇔+−=
⎡
=−
⎢
⇔⇔−
⎢
=
⎢
=
π
⇔=⇔=+ ∈
24 2
42
2
2
1
* 16 1 sin 2x sin 2x 17 1 sin 2x
8
2sin 2x sin 2x 1 0
sin 2x 1 loại
11
1cos4x

1
22
sin 2x
cos 4x 0 x 2k 1 , k Z
8


Bài 69
⎣
2
()
3
5x x
sin 5cos x.sin *
22
=
: Giải phương trình:

Nhận xét thấy:
x
cos 0 x k2 cos x 1
2
=⇔=π+ π⇔ =−

Thay vào (*) ta được:
π
⎛⎞ ⎛
+π=− +π
⎜⎟ ⎜
⎝⎠ ⎝

5
sin 5k 5.sin k
22
π
⎞
⎟
⎠
, không thỏa k
∀

x
cos
2
Do không là nghiệm của (*) nên:
()
⇔=
2
5x x x x
* sin .cos 5 cos x.sin cos
22 22
và
x
cos 0
2
≠

()
3
15
sin 3x sin 2x cos x.sin x

22
⇔+=
và
≠
x
cos 0

và
2
33
3sin x 4 sin x 2sin x cos x 5cos x.sin x⇔− + =
≠
x
cos 0
2

23
x
cos 0
2
34sinx2cosx 5cosxsinx 0
⎧
≠
⎪
⇔
⎨
⎪
−+=∨
⎩

=
32
x
cos 0
2
x
5cos x 4cos x 2cosx 1 0 sin 0
2
⎧
≠
⎪
⎪
⇔
⎨
⎪
−−+=∨
⎪
⎩

=
()
()
2
cos x 1
x
cos x 1 5cos x cos x 1 0 sin 0
2
≠−
⎧
⎪

⇔
⎨
−
+−=∨ =
⎪
⎩

≠−
⎧
⎪
⎡
⎪
⎢
=
⎪
⎢
⎪
⇔
−+
⎨
⎢
=
=α
⎪
⎢
⎪
⎢
−−
⎪
⎢

=
=β
⎣
⎩
cos x 1
cos x 1
121
cos x cos
10
1
cos
10

⎪
⎢
12
cos x
(
)
⇔= π =±α+ π =±β+ π ∈xk2hayx k2hayx k2,kZ



(
)
(
)
2
sin 2x cot gx tg2x 4 cos x *+= Bài 70: Giải phương trình:

iều kiện: và
cos 2x 1
Đ
0

cos2x 0≠ sin x 0 cos 2x
≠
⇔≠∧≠

Ta có:
cos x sin 2x
cot gx tg2x
sin x cos 2x
+= +

cos2x cos x sin 2xsin x
sin x cos 2x
cos x
sin x cos 2x
+
=
=

2
cos x
2sinx.cosx 4cos x
sin x cos 2x
⎛⎞
⇔=
⎜⎟

⎝⎠
Lúc đó: (*)
() ()
()
()
⇔=
⇔+= +
⇔+= =
⇔=−∨= ≠ ≠
2
2
cos x
2cos x
cos 2x
cos2x 1 2cos2x cos2x 1
cos 2x 1 0 hay 1 2 cos 2x
1
cos 2x 1 cos 2x nhận do cos 2x 0 và cos 2x 1
2

π
⇔=π+π∨=±+π∈
ππ
⇔=+π∨=±+π∈


2x k2 2x k2 , k
3
xkx k,k

Bài 71
26

()
2
6x 8x
2cos 1 3cos *
55
+=
: Giải phương trình:

⎛⎞⎛ ⎞
⇔
++=
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
2
12x 4x
1 cos 1 3 2 cos 1
55

Ta có : (*)
−
⎟
⎠

⎛⎞
⇔
+−=

⎜⎟
⎝⎠
32
4x 4x 4x
2 4 cos 3cos 3 2 cos 1
55 5
−
Đặt
()
4
t cos x điều kiện t 1
5
=≤

Ta có phương trình :
()
()
()
32
32
2
4t 3t 2 6t 3
4t⇔ 6t 3t 5 0
t 1 4t 2t 5 0
121 121
t1t t lọai
44
−+= −
−−+=
⇔− −−=

−+
⇔=∨= ∨=

Vậy
()
•=⇔=π
π
⇔= ∈
4x 4x
cos 1 2k
55
5k
xk
2

Z
()
()
4x 1 21
cos cos với 0 2
54
4x
2
5
55
x,Z
42
−
•= =α<α<π
⇔=±α+π

απ
⇔=± + ∈
l
l
l


Bài 72
()
3
tg x tgx 1 *
4
π
⎛⎞
−=−
⎜⎟
⎝⎠
: Giải phương trình

tx x t
44
π
π
=− ⇔= +
Đặt
3
1tgt
tg t tg t 1 1 với cost 0 tgt 1
41tgt
π+

⎛⎞
=+−= − ≠∧
⎜⎟
−
⎝⎠
(*) thành :
≠
⇔=
−
3
2tgt
tg t
1tgt

()
)
()
()
(
34
32
2
tg t tg t 2tgt
tgt tg t tg t 2 0
t 1 tg t 2tgt 2 0
tgt 0 tgt 1 nhận so đi àu kiện
tk t k,k
4
⇔−=
⇔−+=

+−+=
⇔=∨=−
π
⇔=π∨=− +π∈
¢

Vậy (*)
tgt tg
⇔
e
xkhayx
4
⇔=+π =k,k
π
π∈¢


Bài 73
44
4
sin 2x cos 2x
cos 4x (*)
tg x tg x
44
+
=
ππ
⎛⎞⎛⎞
−+
⎜⎟⎜⎟

⎝⎠⎝⎠
: Giải phương trình
Điều kiện
sin x cos x 0 sin 2x 0
44 2
sin
ππ
⎛
⎪
⎜
x cos x 0 sin 2x 0
44 2
⎧⎧
ππ π
⎛⎞⎛⎞ ⎛ ⎞
−−≠ −≠
⎜⎟⎜⎟ ⎜ ⎟
⎪⎪
⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎝ ⎠
⎨⎨
π
⎞⎛⎞ ⎛ ⎞
⎪
++≠ +≠
⎟⎜⎟ ⎜ ⎟
⎪⎪
⎝⎠⎝⎠ ⎝ ⎠
⎩⎩

±

Do :
⇔
cos2x 0 sin 2x 1⇔≠⇔≠

1 tgx 1 tgx
tg x tg x . 1
4 4 1 tgx 1 tgx
ππ−+
⎛⎞⎛⎞
−+=
⎜⎟⎜⎟
+−
⎝⎠⎝⎠

=
Khi cos2x 0 thì :
≠

()
()
()
()
44 4
22 4
24
24
42
2
2
2

* sin 2x cos 2x cos 4x
12sin2xcos2x cos4x
1
1sin4xcos4x
2
1
11cos4xcos4x
2
2cos 4x cos 4x 1 0
cos 4x 1
1sin4x 1
1
cos 4x vô nghiệm
2
sin 4x 0
2sin2xcos2x 0
sin 2x 0 do cos2x 0
2x k ,k x k
⇔+ =
⇔− =
⇔− =
⇔− − =
⇔−−=
⎡
=
⎢
⇔⇔
⎢
=−
⎢

⎣
⇔=
⇔=
⇔= ≠
⇔=π∈⇔=¢
−=
,k
2
π
∈¢


()
42
12
48 1 cot g2x cot gx 0 *
cos x sin x
−− + =

()
Bài 74 :Giải phương trình:

Điều kiện :
Ta có :
sin 2x 0≠
()
22
cos 2x cos x
1 cot g2x cot gx 1 .
sin 2x sin x

sin 2xsin x cos2x cosx
sin xsin2x
cos x 1
do cosx 0
2sin xcosx 2sin x
+=+
+
=
== ≠

Lúc đó (*)
44
11
48 0
cos x sin x
⇔
−−

=
4
44 44
11sinxcos
48
cos x sin x sin x cos x
+
⇔= + =

4
x
44 4 4

422
42
48sinxcosx sinx cosx
3sin 2x 1 2sin xcos x
1
3sin 2x sin 2x 1 0
2
⇔=+
⇔=−
⇔+−=

()
()
2
2
2
sin x lọai
3
1
sin x nhận do 0
2
⎡
=−
⎢
⇔
⎢
⎢
=≠
⎢
⎣

()
()
22
cos 4x 0
2
k
xkZ
84
⇔=
π
ππ
⇔=+ ∈


Bài 75
11
1cos4x
⇔− =
4x k
π
⇔=+
: Giải phương trình
()
()
8 8 10 10
5
sin x cos x 2 sin x cos x cos2x *
4

+= + +

Ta có : (*)
()( )
810 8 10
5
sin x 2sin x cos x 2 cos x cos2x
4
⇔− +− =

()( )
()
828 2
88
88
5
sin x 1 2sin x cos x 1 2 cos x cos2x
4
5
sin x.cos2x cos x cos2x cos2x
4
4 cos2x sin x cos x 5cos2x
⇔−−−+ =
⇔−=
⇔−=

()
()()
88
2

2
s2x 0 hay 4 sin x x 5
cos2x 0 hay 4 1 sin 2x 5
2
cos2x 0 hay 2sin 2x 1(Vô nghiệm)
= =
= − =
⎜⎟
⎝⎠
⇔=− =

co cos⇔ −
4444
cos2x 0 hay 4 sin x cos x sin x cos x 5
1
⇔= − + =
⎛⎞
⇔
2x k ,k
π
⇔=+π∈
¢

2
k
x,k
42
ππ
⇔=+ ∈¢

()
88
4sinx cosx 5
−
=
Cách khác: Ta có vô nghiệm
Vì
()
88
sin x cos x 1, x
−
≤∀
nên
(
)
88
4sinx cosx 4 5, x
−
≤<∀

Ghi chú : Khi gặp phương trình lượng giác dạng R(tgx, cotgx, sin2x, cos2x, tg2x)
với R hàm hữu tỷ thì đặt t = tgx
Lúc đó
2
22
2t 2t 1 t
tg2x ,sin2x ,cos2x
1t 1t 1t
2
−

===
−
++


Bài 76 : (Để thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2003)
Giải phương trình
()
−= + −
+
2
cos 2x 1
cot gx 1 sin x sin 2x *
1tgx 2

Điều kiện :
−
Đặt t = tgx thì (*) thành :

sin 2x 0 và tgx 1≠≠

2
2
2
22
1t
111t12t
1t
11.
t1t21t21t

−
⎡⎤
−
+
−= + − −
⎢⎥
+++
⎣⎦

()
()
()
()
()
()
()
()
2
222
2
22
2
2
2
2
2t t
dot1
t 2 t 1t
t
t1t1t

1t1t 1tt
t 1 nhận do t 1
1t 0
1t 1tt
2t t 1 0 vô nghiệm
− ≠−
+
+
⇔− + =−
=≠−⎡
−=
⎡
⇔⇔
⎢
⎢
+=−
−+=
⎢
⎣
⎣

Vậy (*)
1t 1t 1
.
−−
⇔= +
t 1 1
++
2
1

1t t 2t1
−
−−+
⇔= =
+

⇔
()
tgx 1 x k nhận do sin 2x 1 0
4
π
=⇔ = +π =≠


Bài 77
(
)
+=sin 2x 2tgx 3 *
: Giải phương trình:
Điều kiện :
ặt t = tgx thì (*) thành :
cos x 0≠

Đ
2
2t
2t 3+=

1t+
)

()
()
()
()
(
()
⇔+ − + =
+−=
− −+ =
−+ =
⎣
π
⇔=⇔=+π∈
2
2
2t 2t 3 1 t 0
4t 3
12t t3 0
2t t 3 0 vô nghiệm
⇔−
32
2t 3t 0
⇔t
=
⎡
⇔
⎢
2
t1
V

ậy (*) tgx 1 x k k Z
4



Bài 78 : Giải phương trình
()
2
cot gx tgx 4 sin 2x *
sin 2x
−+ =

sin 2x 0≠
Điều kiện :
Đặt
2
2t
ttgxthì:sin2x dosin2x0nênt0
1t
== ≠
+

≠
(*) thành :
2
2
18t1t1
tt
t t1 tt
+

−+ = = +
+


()
()
⇔=
+
⇔= ≠
+
⇔
=⇔=± ≠
π
⎛⎞
⇔=±
⎜⎟
⎝⎠
π
⇔=±+π ∈

2
2
4
1dot 0
1t
t 3 t 3 nhận do t 0
Vậy (*) tgx tg
3
xk,k
3

Bài 79
2
8t
2t
1t
: Giải phương trình
()
(
)
(
)
1tgx1sin2x 1tgx*−+ =+

Điều kiện :
Đặt = tgx thì (*) thành :

cos x 0≠

()
2
1t
⎜⎟
+
⎝⎠
2t
⎛
1t1 1t
⎞
−+ =+

()
()
2
2
1t 1t
1t
− =+
+
()()
22
2
t1
t1
t1
1t
1t 1t
1
1t
t1t0
+
⇔
=−
⎡
=−
⎡
+
⎢
⎢
1t

⎢
⇔⇔
−
−
=+
=
⎣
⎢
+
⎣
⇔=−∨=

=−
⎡
π
⇔
Do đó (*) ⇔=−+π =π∈
⎢
=
⎣

tgx 1
x k hay x k , k
tgx 0
4


Bài 80
(
)

: Cho phương trình
(
)
1 0 *+=

cos 2x 2m 1 cos x m−+ +

3
m
2
=
a/ Giải phương trình khi
3
,
22
π
π
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
b/ Tìm m để (*) có nghiệm trên
()
2
2cos x 2m 1 cosx m 0−+ +=
Ta có (*)
[
]
()
()
⎧

=≤
⎪
⇔
⎨
−++=
⎪
⎩
2
tcosx t 1
2t 2m 1 t m 0

[
]
()
⎧
=≤
⎪
⇔
⎨
=∨=
⎪
⎩
tcosx t 1
1
ttm
2

a/
=Khi m , phư
2

3
ơng trình thành

b/
()
()
)
[]
() )
ππ
⎛⎞
∈=∈−
⎜⎟
⎝⎠
=∉−
⎞
⇔∈−
⎡
⎣
⎝⎠
13
loại
3
Khi x , thì cos x t [ 1, 0
22
1
Do t 1, 0 nên
2
m 1,0
22

Bài 81
=∨ =cosx cosx
22
π
⇔=±+ π ∈xk2kZ
3
ππ
⎛
⎜⎟
3
* có nghiệm trên ,
: Cho phương trình
()
(
)
(
)
x *

2
cos x 1 cos2x m cos x msin+−=
a/ Giải (*) khi m= -2
2
0,
π
⎡
b/ Tìm m sao cho (*) có đúng hai nghiệm trên
3

⎤
⎢
⎥
⎣
⎦

(
)
(
(
)
)
() ()
)
(
22
2
2
Ta có (*) cos x 1 2cos x 1 m cos x m 1 cos x
cos x 1 2cos x 1 m cos x m 1 cos x 0
1 2cos x 1
⇔+ −− =−
⎡⎤
⇔
(
)
cos x m 0
+−−−−=
⎣⎦
+ −

i m = -2 thì (*) thành :
⇔ −=
a/ Kh
()
(
)
()
++=
⇔
⇔=π+ π ∈
π
⎡⎤ ⎡
∈=∈
⎢⎥ ⎢
⎣⎦ ⎣
2
cos x 1 2 cos x 1 0
cosx = -1
xk2kZ
21
b/ Khix 0, thìcosx t ,1
32

⎤
−
⎥
⎦
Nhận xét rằng với mỗi t trên
1

,1
2
⎡
⎤
−
⎢
⎥
⎣
⎦
ta chỉ tìm được duy nhất một x trên
2
0,
π
⎡⎤
⎢⎥

3
⎣⎦
ùng hai ghiệm trên
1
,1
2
⎡⎤
−
⎢⎥
⎣⎦
Yêu cầu bài toán
2
2t 1 m 0⇔−−=
có đu n

Xét
()
(
)
2
y2t 1Pvàymd=− =

Ta có y’ = 4t

2
0,
3
π
⎡
⎤
⎢
⎥
⎣
⎦
Vậy (*) có đúng hai nghiệm trên
1
,1
2
⎡
⎤
−
⎢
⎥
⎣
⎦

⇔ (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt trên

1
1m
2
−< ≤
⇔

Bài 82 : Cho phương trình
() ()
2
2
1atg−x 13a 01
cos x
−++=

1
a
2
=
a/ Giải (1) khi
0,
2
π
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
b/ Tìm a để (1) có nhiều hơn một nghiệm trên
Điều kiện :
cos x 0 x k

2
π
≠⇔≠ +π

() ( )
(
)
()
()
()
()
()
()()
22
22
2
4a cos x 2cosx 1 a 0⇔−+−=
2
11asinx2cosx13acosx0
1a1cosx 2cosx 13acosx 0
a4cosx 1 2cosx 1 0
2cosx 1 a 2cosx 1 1 0
⇔− − ++ =
⇔− − − ++ =
⇔−−−=
⇔− +−=
⎡⎤
⎣⎦

a/ Khi

1
a
2
=
thì (1) thành :
()
1
2cosx 1 cosx 0
2
⎛⎞
−
−=
⎜⎟
⎝⎠

()
()
1
cos x cos nhận do cos x 0
23
xk2kZ
3
π
⇔== ≠
π
⇔=±+ π ∈

b/ Khi
x0,
π

⎛⎞
∈
thì
2
⎜⎟
⎝⎠
(
)
t 0,1=∈

cos x
()
()
1
cos x t 0,1
2
2a cos x 1 a 2
⎡
== ∈
⎢
⇔
⎢
=−
Ta có : (1)
⎢
⎣

Yêu cầu bài toán
⇔ (2) có nghiệm trên
()

a0
11a
0,1 \
⎧⎫
0 1
22a
1a 1
2a 2
⎧
⎪
≠
⎪
−
⎪
⇔
<<
⎨
⎩⎭
⎪
−
⎪
≠
⎪
⎩

⎨⎬
a0≠
⎧
()
0

1a
0
⎪
<
−
⎪
>
a1
1
a1
1
2a
3
a0a
13a
1
3
0
a
1
2a
2
a
21 a 2a
2
⎧
⎪
<
⎧
<

<
⎪
⎪⎪⎪
⇔⇔<∨>⇔
⎨⎨⎨
−
⎪⎪⎪
<
≠
⎪
⎪⎪
⎩
≠
⎪⎪
−≠
⎩
⎩

Cách khác
⎪
cos
x
1
, điều kiện ; pt thành
u ≥1
: dặt u =
()
(
)
−1a −−++=⇔−−+=

22
(u 1)2u13a 0 1au 2u4a 0


Bài 83
⇔− − − =(u 2)[(1 a)u 2a] 0

(
)
cos4x 6sin x cos x m 1+=
: Cho phương trình :
a/ Giải (1) khi m = 1
0,
4
π
⎡
⎤
⎢
⎥
⎣
⎦
(1) có hai nghiệ phân biệt trên b/ Tìm m để m
⇔
−+
2
1 2 sin 2x 3sin 2x m
Ta có : (1)
=
(
)

()
2
tsin2xt1
2t 3t m 1 0 2
⎧
=≤
⎪
⇔
⎨
−+−=
⎪
⎩

a/ Khi m = 1 thì (1) thành
()
(
)
()
2
tsin2xt1
tsin2xt1
3
t0t loại
2t 3t 0
2
=∨=
−=
⎪
⎪
⎩

⎩
k
sin 2x 0 x
2
⎧
=≤
⎧
=≤
⎪⎪
⇔
⎨⎨
π
⇔=⇔=

[
b/ Khi
]
∈
⎣⎦
hìsin2xt0,1
4

Nhận thấy rằng mỗi t tìm được trên
π
⎡⎤
∈=
⎢⎥
x0, t
[
]

0,1
ta chỉ tìm được duy nhất một
x0,
4
π
⎡⎤
∈
⎢⎥
⎣⎦
Ta có : (2)
⇔
Xét

2
2t 3t 1 m−++=

[
]
2
y2t3t1trên0,1=− + +

Thì
y' 4t 3=− +


[
]
0,1
Yêu cầu bài toán ⇔ (d) y = m cắt tại hai điểm phân biệt trên
17

2m
8
⇔≤ <

Cách khác :đặt . Vì a = 2 > 0, nên ta có
Yêu cầu bài toán ⇔
=−+−
2
f(x) 2t 3t m 1

()f
Δ=
⎧
⎪
()
m
m
fm
S
− >
=
−≥
⎪
⎪
⎨
=
−≥
⎪
⎪
≤=≤

⎪
⎩
17 8 0
1
12
3
01
24
0 0
0
17
2m
8
⇔≤ <


Bài 84 : Cho phương trình
(
)
552
4 cos x.sin x 4sin x cos x sin 4x m 1−=+

a/ Biết rằng là nghiệm của (1). Hãy giải (1) trong trường hợp đó.
x =π
x
8
π
=−
b/ Cho biết là một nghiệm của (1). Hãy tìm tất cả nghiệm của (1) thỏa
42

x3x2−+<

0
()
()()
()
44 2
2222 2
2
2
(1) 4sin x cos x cos x sin x sin 4x m
2sin 2x cos x sin x cos x sin x sin 4x m
2sin 2x.cos2x sin 4x m
sin 4x sin 4x m 0 1
⇔−=+
⇔−+=+
⇔=+
⇔−+=

a/ là nghiệm của (1) = 0
Lúc đó (1)

x =π
2
sin 4 sin 4 m⇒π−π+
m0⇒=

()
sin 4x 1 sin 4x 0
⇔

−=

()
⇔=∨=
π
⇔=π∨=+π
πππ
⇔= ∨= + ∈
sin 4x 0 sin 4x 1
4x k 4x k2
2
kk
xx kZ
482

b/
2
2
42
2
tx 0
tx 0
x3x20
1t2
t3t20
⎧
=≥
⎧
=
≥

⎪
−+<⇔ ⇔
⎨⎨
<<
−+<
⎩

⎪
⎩
()
2
1x 2 1 x 2
2x 11x 2*
<
⇔− <<−∨<<

⇔< < ⇔ <
ππ
⎛⎞
=− = − =−
⎜⎟
⎝⎠
xthìsin4xsin 1
82

()
x là nghiệm của 1 1 1 m 0
8
m2
π

=− ⇒ + + =
⇒=−

2
sin 4x sin 4x 2 0
−
−=
Lúc đó (1) thành :
(
)
()
()
2
tsin4xvớit1
tt20
tsin4xvớit1
t1t2loại
⎧
=≤
⎪
⇔
⎨
−− =
⎪
⎩
⎧
=≤
⎪
⇔
⎨

=− ∨ =
⎪
⎩

sin 4x 1
4x k2
2
k
x
82
Kết hợp với đi
⇔=−
π
⇔=−+π
ππ
⇔=−+

ều kiện (*) suy ra k = 1
ghiệm
3
x
82 8
π
ππ
=− + =
thỏa
0

42
x3x2

−
+<
Vậy (1) có n
Bài 85 : Tìm a để hai phương trình sau tương đương
()
()( )(
2
)
1 cos2x cos3x 1
4 cos x cos3x a cos x 4 a 1 cos2x 2
+ +
−= +−+

2cos x.cos2x =

()
()
2
Ta có : (1) cos 3x cos x 1 cos2x cos3x
cos x 1 2cos x 1
cos x 1 2 cos x 0
1
cos x 0 cos x
2
⇔+=++
⇔=+ −
⇔− =
⇔=∨=

(

)
⇔− −=
23
Ta có : (2) 4 cos x 4 cos x 3cos x a co
()
() ()
()
+−
+− −=
⇔
⎢
+ − +−=
⎢
⎣
2
2
2
s x 4 a 2 cos x
4 2a cos x a 3 cos x 0
0
4cosx22acosxa30


⇔
3
4 cos x
=
⎡
cos x
[]

⎛⎞
⇔= − +−=
⎜⎟
⎝⎠
1
cosx 0 hay cosx 2cosx 3 a 0
2

−
⇔=∨=∨=
1a
cos x 0 cos x cos x
22

3

Vậy yêu cầu bài toán
a3
0
2
a3
a3 1
a4
22
a1a5
a3 a3
11
−
⎡
=

⎢
=
⎡
⎢
−
⎢
⎢
⇔= ⇔=
⎢
⎢
⎢
<
22
∨>
⎢
⎣
−−
⎢
<− ∨ >


Bài 86
⎢
⎣
: Cho phương trình : cos4x = cos
2
3x + asin
2
x (*)
a/ Giải phương trì nh khi a = 1

0,
12
π
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
b/ Tìm a để (*) có nghiệm trên
() ()()
1a
* cos4x 1 cos 6x 1 cos2x
22
⇔=+ +−
Ta có :
()
()
()
()
()
23
23
2 2 cos⇔2x 1 1 4 cos 2x 3cos2x a 1 cos 2x
tcos2x t1
22t 1 14t 3ta1t
−=+−+−
⎧
=≤
⎪
⇔
⎨
−=+ −+ −

⎪
⎩

()
()
()
()
()
()()
32
2
tcos2x t1
4t 4t 3t 3 a 1 t
1cos2x t 1
t1 4t 3 a1t **
⎧
=≤
⎪
⇔
⎨
−+ +−= −
⎪
⎩
⎧
=≤
⎪
⇔
⎨
−−+= −
⎪

⎩

a/ Khi a = 1 thì (*) thành :
()
()
()
()
2
tcos2x t1
t1 4t 4 0
t1
tcos2xt1
⎧
=≤
⎧
=
≤
−−+=
=±
⎪
⎪
⎩
⎩

⎪⎪
⇔
⎨⎨
()
⇔=±⇔ =
π

⇔=⇔=π⇔= ∈
2
cos 2x 1 cos 2x 1
k
sin 2x 0 2x k x , k Z
2

3
x0, 2x0,.Vậyc
6
⎛⎞
∈
⎜⎟
⎝⎠
os2xt ,1
12 2
⎛⎞
ππ
⎛⎞
∈⇔ =∈
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

−+=−
⇔−= ≠
2
b/ Ta có :
⎝⎠

2
(
⇔
)
()
()
()
V
ậy (**) t-1 4t 3 a 1 t
4t 3 a do t 1

ét
()
2
3
y P4t 3 trên ,1
2
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
X
3
y' 8t 0 t ,1
2
⎛⎞
⇒=>∀∈
⎜⎟
⎜⎟

⎝⎠

đ ù (*) có nghiệm trê
() ()
⎛⎞
π
⎛⎞
⇔=
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
3
0, d : y a cắt P trên ,1
22
Do o n
()
3
yay
2
0a1
1<
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
<<


BÀI TẬP

⎛⎞
⇔<
⇔

ûi ùc phương trình sau : 1. Gia ca
a/ sin4x = tgx
b/
44 4
9
sin
ππ
x sin x x sin x
448
⎛⎞ ⎛⎞
+++−=
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠

c/
tgx cot gx 4+=

d/
()
2
sin x 3 2 2cos x 2sin x 1
1
1sin2x
−−−
=
−

e/
4
4 cos x 3 2 sin 2x 8cos x+=
f/
11 2
cos sin 2x sin 4x
+=

x
g/
sin 2x 2 sin x 1
4
π
⎛⎞
+−
⎜⎟
⎝⎠
=
h/
()()
2 2sinx 1 4 sinx 1 cos 2x sin 2x
44
π
π
⎛⎞⎛⎞
−= −− + − +
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠

k/
2
4x
cos cos x
3
=

l/
x
tg .cos x sin 2x 0
2
+=

m/
13tgx2sin2x+=

n/
cot gx tgx 2tg2x=+

p/
+=
2
3x 4x
2cos 1 3cos
55

q/
=

2

3cos4x 2cos 3x 1−
r/
2
3x
2cos 1 3cos2x+=

2
x
s/
cos x tg 1
2
+=

t/
u/

2
3tg2x 4tg3x tg 3x.tg2x−=
2
3
cos x.cos4x cos2x.cos3x cos 4x
2
++

=
v/
22 2 2
3
cos x cos 2x cos 3x cos 4x
2

+++=

w/
x/

sin 4x tgx=


66 2
13
cos x sin x cos 2x
8
+=

y/
3x1 3x
sin
ππ
⎞ ⎛ ⎞
−= +

sin
2
⎛
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎠
( 1 )
a/ Giải phương trình khi a = 1.

10 2 2 10

⎝⎠ ⎝
.
66
sin x cos x a sin 2x+=
2

1
a
4
≥
) b/ Tìm a để (1) có nghiệm (ĐS :
3. Cho phương trình

()
66
22
cos x sin x
2mtg2x 1
cos x sin x
+
=
−

a/ Giải phương trình khi m =
1
8

1
m
8

≥
b/ Tìm m sao cho (1) có nghiệm (ĐS : )
.

4 Tìm m để phương trình
x kπ

sin 4x mtgx có nghiệm=≠
1
ĐS : m 4
2
⎛⎞
−< <
⎜⎟
⎝⎠

5. Tìm m để phương trình :

có đúng 7 nghiệm trên

cos3x cos2x mcos x 1−+ −=0
,2
2
π
⎛⎞
−
π
⎜⎟
⎝⎠

(
)
ĐS :1 m 3
<
<

6. Tìm m để phương trình :
()
(
)
44
4 sin x cos
66 2
x 4 sin x c 4x mos x sin−+ =
có nghiệm
+
−
1
ĐS : m 1
8
⎛⎞
−
≤≤
⎜
⎝
⎟
⎠

7. Cho phương trình :
22 2

6sin x sin x m cos 2x−=
(1)
a/ Giải phương trình khi m = 3
b/ Tìm m để (1) có nghiệm
(
)
ĐS :m 0≥

8. Tìm m để phương trình :
(
)
42
2m 1
m
sin x cos 4x sin 4x sin x 0
44
+
++ −

=
có hai nghiệm phân biệt trên
,
42
π
π
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

1

ĐS :2 5 4 m
2
⎛⎞
−< <
⎜⎟
⎝⎠

9. Tìm m để phương trình :
có nghiệm

()
66 44
sin x cos x m sin x cos x+= +
1
ĐS : m 1
2
⎛⎞
≤≤
⎜⎟
⎝⎠

10. Cho phương trình :

Tìm a để phương trình có nghiệm
22
cos 4x cos 3x a sin x=+
x0,
2
π
⎛⎞

∈
⎜⎟
⎝⎠

(
)
ĐS :0 a 1
<
<


Th.S Phạm Hồng Danh
TT luyện thi đại học CLC Vĩnh Viễn