Toan THCS ha thi tra THCS nguyet an ngoc lac 2016 (1) (1)(1)

PHẦN I. MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài.
Môn Toán luôn luôn là một môn quan trọng bậc nhất ở tất cả các cấp học,
và ở bậc THCS, nó lại càng đóng vai trò lớn hơn nữa. Toán cấp hai tạo nề móng
cơ bản cho đại số, hình học, hơn thế nữa nó còn là một môn phụ trợ cho vật Lý,
Hóa Học.
Bài toán giải phương trình được vận dụng nhiều vào các dạng bài toán
giải và biện luận phương trình, bất phương trình,...và được sử dụng nhiều trong
quá trình ôn thi học sinh giỏi, các kì thi vào lớp 10.
Trong chương trình toán lớp 9, học sinh đã làm quen với phương trình bậc
bốn dạng đơn giản như phương trình trùng phương, phương trình tích, phương
trình chứa ẩn ở mẫu thức. Qua vài phép biến đổi học sinh có thể giải quyết một
cách dễ dàng. Tuy vậy, khi gặp các phương trình bậc bốn phức tạp hơn và các
phương trình bậc bốn không có dạng đặc biệt các em tỏ ra lúng túng và hầu như
không giải được.
Khi giải các bài toán giải phương trình bậc bốn đòi hỏi học sinhphair biết
vận dụng các kiến thức cơ bản trong toàn bộ chương trình, các kĩ năng biến đổi
từ dạng phức tạp sang dạng đơn giản một cách linh hoạt.
Trong quá trình giải phương trình bậc bốn học sinh cần có tư duy logic,
khả năng tổng hợp vận dụng thành thạo các kiến thức về phân tích đa thức thành
nhân tử, các hằng đẳng thức đáng nhớ,..
2. Mục đích nghiên cứu.
Thông qua đề tài này giúp học sinh hiểu sâu và nắm chắc hơn các phương
pháp giải phương trình bậc bốn. Từ đó nghiên cứu tìm tòi sáng tạo nhằm nâng
cao chất lượng học tập môn toán trong trường THCS, đặc biệt đạt kết quả cao
trong các cuộc thi học sinh giỏi và thi vào lớp 10.
3. Đối tượng nghiên cứu, áp dụng.
Đối tượng là học sinh lớp 9 học tại trường THCS Nguyệt Ấn Ngọc Lặc
Thanh Hóa.
4. Phương pháp nghiên cứu.

- Thông qua quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn thi học
sinh lớp 9 vào lớp 10, bản thân tôi đã tìm hiểu và tích lũy được.
- Thông qua các bài kiểm tra, các kì thi chọn học sinh giỏi, thi vào lớp 10
hàng năm để rút ra kinh nghiệm bồi dưỡng cho học sinh.
- Thông qua các tài liệu bồi dưỡng, các bài tập nâng cao.


PHẦN II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy môn Toán ở trường THCS Nguyệt
Ấn tôi đi sâu nghiên cứu nội dung chương trình và qua thực tế giảng dạy môn
Toán lớp 9 tôi thấy SGK lớp 9 đưa ra phần “ phương trình quy về phương trình
bậc hai” có 3 dạng :
Dạng 1 : Phương trình trùng phương.
Dạng 2 : Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức.
Dạng 3 : Phương trình tích.
HS chỉ biết ba dạng phương trình này khi đi thi HSG hay thi vào lớp 10
thì phương trình không những có ba dạng phương trình này mà xuất hiện một số
phương trình bậc bốn phức tạp hơn, vì vậy khi học sinh đang học lớp 9 mà
không được tiếp cận các phương trình bậc bốn khác thì các em ko biết cách để
giải.
Xuất phát từ vấn đề trên, qua đọc tài liệu tham khảo và đặc biệt qua việc
bồi dưỡng cho đội tuyển học sinh giỏi ở khối 9. Tôi nhận thấy rằng giải một
phương trình bậc 4 là tương đối khó đối với học sinh THCS và đặc biệt hơn nữa
các phương pháp giải phương trình đó không hề có trong chương trình toán
THCS do đó đã gây khó khăn không nhỏ đối với học sinh trong khi gặp phải
dạng toán này. Học sinh không có một phương pháp cụ thế nào mà chỉ biết mò
mẫm một cách vô hướng.
Khi được tiếp xúc với các dạng phương trình bậc bốn không những rèn
luyện cho HS các năng lực về hoạt động trí tuệ để có cơ sở tiếp thu dễ dàng các

môn học khác ở trường THCS .Mở rộng khả năng áp dụng kiến thức vào thực tế,
còn góp phần rèn luyện cho HS những đức tính cẩn thận ,sáng tạo…
Dựa vào hiểu biết, vốn kiến thức và thu thập qua tài liêu, sách báo tôi xin
đưa ra một số phương pháp mà tôi cho là phù hợp với học sinh THCS để giải
các dạng phương trình bậc bốn.
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.1 Thực trạng
Trong thực tế giảng dạy toán ở trường THCS nói chung và ở trường
THCS Nguyệt Ân nói riêng việc làm cho học sinh biết vận dụng các kiến thức
đã học để giải các bài toán là công việc rất quan trọng và không thể thiếu được
của người dạy toán. Vì thông qua đó có thể rèn luyện được tư duy logic, khả
năng sáng tạo, khả năng vận dụng cho học sinh. Để làm được điều đó người thầy
giáo phải cung cấp cho học sinh các kiến thức, các phương pháp vận dụng và
biến đổi phù hợp giúp cho học sinh hiểu được thực chất của vấn đề để từ đó có
các kĩ năng giải toán thành thạo, thoát khỏi tâm lí chán nản và sợ môn toán.
Năm học 2015 -2016 ngay từ đầu năm học tôi được nhà trường phân công
giảng dạy bộ môn toán lớp 9. Sau khi học sinh học xong nội dung bài “Phương
trình quy về phương trình bậc hai ” tôi có lồng ghép vào tiết luyện tập đưa thêm


các dạng phương trình bậc bốn có dạng đặc biệt dạy cho các em, sau đó tôi đã
cho các em làm bài kiểm tra viết, thời gian làm bài 15 phút với mục tiêu: Kiểm
tra mức độ nắm kiến thức và kĩ năng vận dụng kiến thức vào làm bài tập.
2.2 Kết quả của thực trạng trên:
Giỏi
Khá
SL TL
SL
1
0,25% 7

Lớp

Tổng số
HS

9A1

40

9A2

43

9A3

35

0

0%

9A4

30

0

0%

Tổng
148
Số

0

1

0%

0,7%

3
2
0
12

TL

Trung bình
SL
TL

Yêú - kém
SL
TL

17,5% 20

50%

12

32,25%

7%

17

39,5% 23

53,5%

5,7%

13

37,1% 20

57,2%

0%

16

53,3% 14

46,7%

8,1%

66

44,6% 69

46,6%

Sau khi tìm hiểu nguyên nhân tôi biết lí do chủ yếu là do học sinh chưa
biết nhận dạng bài toán, chưa biết hình thành quy trình giải và phương pháp giải
qua từng giai đoạn của bài toán đặc trưng. Kết quả là nhiều bài toán học sinh
không giải được hoặc giải sai.
VD1: Gải phương trình: x4 - 2x3 - x2 - 2x + 1 = 0 (1)
x = 0 không phải là nghiệm của pt (1)
Chia hai vế của phương trình (1) cho x2 thì (1) trở thành :
2
1
+ 2 =0
x
x
1
1
⇔ (x2 + 2 ) - 2(x - ) - 1 = 0 (HS không đổi dấu khi cho hạng tử vào ngoặc
x
x

x2 - 2x - 1 -

đằng trước dấu ngoặc có dấu trừ ( - ) dẫn đến khi giải bài toán ra đáp số sai.
VD2 : Giải phương trình : (x2 - 2x + 4)(x2 + 3x + 4) = 14x2
x = 0 không phải là nghiệm của pt (2)

Chia hai vế của phương trình (2) cho x2 thì (2) trở thành :
(1 -

(2)

2
4
3
4
+ 2 )(1 + + 2 ) = 14
x
x
x
x

Khi chia VT cho x2 HS nhầm tưởng chia từng thừa số cho x 2, bài toán
không đúng dạng toán đang giải nên không giải được.
⇔

VD3 : Giải phương trình: x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 8
x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 1 . 2 . 2 . 2

(3)


x = 1
x = 1
x + 1 = 2
x = 1



⇒
⇒
x + 2 = 2 x = 0
 x + 3 = 2
 x = −1

⇒ phương trình vô nghiệm

HS áp đặt cho mỗi thừa số ở vế trái bằng mỗi thừa số bên vế phải.
VD4 : Giải phương trình:
x4 = x2 - 2x + 1
x4 = (x - 1)2 ⇔ x2 = x - 1 ⇔ x2 - x + 1 = 0 ⇒ Phương trình vô nghiệm
HS giải thiếu trường hợp: x2 = - x + 1 ⇔ x2 + x - 1 = 0
⇒ x1 =

−1+ 5
−1− 5
; x2 =
2
2

Trước thực trạng trên tôi luôn trăn trở tìm tòi và qua thực tế giảng dạy
cùng với việc tự học, tự bồi dưỡng của bản thân, tôi đã có một vài kinh nghiệm
về “Một số kinh nghiệm giúp học sinh lớp 9 giải các bài toán phương trình
bậc bốn).
Vậy kinh nghiệm đó tiến hành như thế nào? Kết quả ra sao? tôi xin trình
bày cụ thể dưới đây. Mong các bạn đồng nghiệp cùng tham khảo và đóng góp ý
kiến.
3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

Giải phương trình đa thức bậc cao là một vấn đề phức tạp và khó khăn.
người ta đã chứng minh được rằng không thể giải bằng căn thức các phương
trình bậc cao hơn bốn, dưới dạng tổng quát. Trong đề tài này ta chỉ xét một số
phương trình bậc bốn có dạng đặc biệt. Tùy theo dạng đặc biệt mà mỗi phương
trình có một cách đặt ẩn phụ riêng.
Qua quá trình nghiên cứu tôi thấy có 6 dạng phương trình bậc bốn có
dạng đặc biệt:
Dạng 1 : Phương trình có hệ số đối xứng bậc bốn.
ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 ( a ≠ 0)
Dạng 2 : Phương trình hồi quy : ax4 + bx3 + cx2 + mx + n = 0 ( a ≠ 0)
2

Trong đó :

n
m
=  .
a
b

Dạng 3 : Phương trình : (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m (1)
trong đó a + d = b + c.
Dạng 4 : Phương trình : (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = mx2 (1)
trong đó ad = bc
Dạng 5 : Phương trình: (x + a)4 + (x + b)4 = c
Dạng 6 : Một số phương trình dạng đặc biệt khác.
Dạng 1: Phương trình hệ số đối xứng bậc bốn
• Dạng tổng quát: ax4 +bx3 + cx2 + bx + a = 0 ( a ≠ 0)

(1)

• Đặc điểm: Ở vế trái, các hệ số của các số hạng cách đều số hạng đầu và
số hạng cuối thì bằng nhau.
• Phương pháp giải:
+ Về phương pháp giải phương trình hệ số đối xứng bậc bốn.
Gồm các bước :
- Nhận xét x = 0 không phải là nghiệm của (1). Chia hai vế của phương trình (1)
cho x2 và nhóm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thành từng nhóm
được phương trình (2).
- Đặt ẩn phụ x +

1
1
= y (3) ⇒ x2 + 2 = y2 - 2 rồi thế vào phương trình (2)
x
x

- Giải phương trình trung gian này để tìm y.
- Thế giá trị của y vào (3) để tìm x.
+ Về nghiệm số của phương trình :
1

- Nếu x0 là một nghiệm của phương trình (1) thì x cũng là nghiệm của nó.
0
VD: Giải phương trình:
10x4 - 27x3 - 110x2 - 27x + 10 = 0
(1)
2
Giải: Chia hai vế của (1) cho x được :

10x2 - 27x - 110 -

27
10
+ 2 =0
x
x

- Nhóm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thành từng nhóm ta
11
1
) - 110 = 0
(2)
2 ) - 27(x +
x
x
1
1
- Đặt ẩn phụ x + = y (3)
⇒ x2 + 2 = y2 - 2
x
x

được : 10(x2 +

- Thế vào (2) được : 10y2 - 27y - 130 = 0, có nghiệm y1 =
- Thế các giá trị của y vào (3) : x +

1
−5

=
x
2

−5
26
; y2 =
2
5

⇔ 2x2 + 5x + 2 = 0 có

−1
; x2 = - 2
2
1
26
1
x+ =
⇔ 5x2 - 26x + 5 = 0 có nghiệm x3 =
; x4 = 5
x
5
5
−1
1
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 
; -2;
; 5
2

5
−1
1
Lưu ý : các nghiệm
và - 2 nghịch đảo nhau; và 5 nghịch đảo nhau.
2
5

nghiệm x1 =

*. Bài tập áp dụng
1. Giải phương trình :
2x4 - 13x3 + 24x2 -13x + 2 = 0
Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình.
Chia 2 vế của (1) cho x2 ≠ 0 ta được :
(1) ⇔ 2x2 -13x + 24x 2( x2 +

13
2
+ 2 =0
x
x

1
1
) + 24 = 0
2 ) - 13(x +
x
x

(2)

(1)


1
= y thì (2) trở thành : 2y2 -13y + 20 = 0
x
∆ = 132 - 4.2.20 = 9 ⇒ ∆ = 3
13 − 3 5
13 + 3
= ; y2 =
= 4.
y1 =
4
2
4
1
5
x+ =
⇒
x2 - 4x + 1 = 0 .
x
2
∆ 1′ = 4 - 1 = 3 ⇒ x 1 = 12 + 3 ; x 2 = 12 - 3 .
1
x+ =4
⇒
2x2 - 5x + 2 =0 .
x

5+3
5−3 1
∆ 2 = 25 - 16 = 9 ⇒ x 3 =
= 2 ; x4 =
= .
4
4
2

Đặt x +

Vậy tập nghiệm của phương trình là S =  12 + 3 ; 12 - 3 ; 2 ;

1

2

2. Giải phương trình :
x4 - 10x3 + 11x2 - 10x + 1 = 0
Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (1).
Chia 2 vế của (1) cho x2 ≠ 0 ta được :
(1) ⇔ x2 - 10x + 11 Đặt x +

10
1
+ 2 =0
x
x

(2)

1
= y thì (2) trở thành : y2 - 10y + 9 = 0
x

Có a + b + c = 0 ⇒ y 1 = 1 ; y 2 = 9.
x+

1
=1
x

⇒

x2 - x + 1 = 0

∆ 1 = 1 - 4 = - 3 < 0 ⇒ pt VN
1
x+ =9
⇒
x2 - 9x +1 = 0
x
9 + 77
9 − 77
∆ 2 = 81 - 4 = 77 ⇒ x 1 =
; x2 =
.
2
2
9 + 77 9 − 77

Vậy tập nghiệm của pt là S = 
;

2
2

x4 - 2x3 - x2 - 2x + 1 = 0

3. Giải phương trình :
Tập nghiệm của pt là S = 

3+ 5
2

;

3− 5

2

4. Giải phương trình :
x4 - 10x3 + 26x2 - 10x + 1 = 0
Tập nghiệm của pt là S = 3 + 8 ;3 - 8 ; 2 + 3 ; 2 - 3 
5. Giải phương trình :
x4 + x3 - 4x2 + x + 1 = 0
Tập nghiệm của pt là S = 1 ;

3+ 5 3− 5
;


2
2

6.Giải phương trình : 2x4 + x3 - 11x2 + x + 2 = 0
Tập nghiệm của pt là S =  2 ;

1 −3+ 5
−3− 5
;
;

2
2
2

7.Giải phương trình : x4 - 7x3 + 14x2 - 7x + 1 = 0

(1)


Tập nghiệm của pt là S = 2 + 3 ;2 - 3 ;

3+ 5
3− 5
;

2
2

8.Giải phương trình : x4 + x3 - 10x2 + x + 1 = 0

Tập nghiệm của pt là S = - 2 + 3 ; - 2 - 3 ;

3+ 5
3− 5
;

2
2

9.Giải phương trình : x4 - 3 x3 - 6x2 + 3x + 1 = 0
Tập nghiệm của pt là S =  2 + 5 ; 2 - 5 ;

−1+ 5
−1− 5
;

2
2

10.Giải phương trình : x4 - 3 x3 + 3x + 1 = 0
Tập nghiệm của pt là S =  1 + 2 ; 1 - 2 ;

1+ 5
1− 5
;

2
2

Dạng 2 : Phương trình hồi quy

• Dạng tổng quát: ax4 + bx3 + cx2 + mx + n = 0 (a ≠ 0)

(1)

2

Trong đó :

n
m
=  .
a
b

Phương trình hệ số đối xứng bậc bốn chỉ là một trường hợp đặc biệt của
phương trình hồi quy.
* Phương pháp giải :
Gồm các bước :
Nhận xét x = 0 không phải là nghiệm của (1). Chia hai vế của phương trình
(1) cho x2 và nhóm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thành từng
nhóm được phương trình (2).
Đặt x +

m
2m
m2
= y ⇒ x2 + 2 2 = y2 rồi thế vào phương trình (2)
bx
b
b x

Giải phương trình trung gian này để tìm y.
Thế giá trị của y vào (3) để tìm x.
VD áp dụng: Giải phương trình x4 - 4x3 - 9x2 + 8x + 4 = 0

(1)

2

Giải:

Nhận xét

4
 8 
=   , phương trình (1) là phương trình hồi quy.
1
−4

- x = 0 không phải là nghiệm của (1).
- Chia cả 2 vế của (1) cho x2 được x2 - 4x - 9 +

8
4
+ 2 = 0.
x
x

- Nhóm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối ta đươc :
 2 4

x + 2
x


2
 
 − 4 x −  - 9 = 0
(2)
x
 
2
4
- Đặt ẩn phụ x - = y (3) ⇒ x2 + 2 = y2 + 4.
x
x

- Thế vào (2) đươc y2 - 4y - 5 = 0, có nghiệm y1 = - 1; y2 = 5.
- Thế giá trị của y vào (3)
x-

2
= - 1 ⇔ x2 + x - 2 = 0, có nghiệm x1 = 1 ; x 2 = - 2 .
x


2
5 + 33
5 − 33
= 5 ⇔ x2 - 5x - 2 = 0, có nghiệm x3 =
; x4 =

.
x
2
2

5 + 33 5 − 33 
;
Vậy tập hợp nghiệm của phương trình là : S = 1;−2;

2
2 


x-

*. Bài tập áp dụng:
1. Giải phương trình :

x4 + 5x3 + 10x2 +15x + 9 = 0 (1)
x = 0 không phải là nghiệm của (1).

Phương trình đã cho là phương trình hồi quy vì :

9 15 2
=( )
1
5

Chia hai vế của phương trình (1) cho x2 ≠ 0, ta được :
15

9
+ 2 =0
x
x
9
3
(x2 + 2 ) + 5(x + ) + 10 = 0
x
x
3
Đặt x + = y thay vào (2) ta được :
x

x2 + 5x + 10 +

(2)

y2 + 5y + 4 = 0 , có a - b + c = 1 - 5 + 4 = 0 ⇒ y 1 = - 1 ; y 2 = - 4.

3
= - 1 ⇒ x2 + x + 3 = 0 ⇒ pt VN
x
3
x + = - 4 ⇒ x2 + 4x + 3 = 0 ⇒ a - b + c = 0 ⇒ x 1 = - 1 ; x 2 = - 3.
x

x+

Tập nghiệm của pt là S =  - 1 ; - 3.
2. Giải phương trình :

x4 + 5x3 - 14x2 - 20x + 16 = 0
x = 0 không phải là nghiệm của (1).
Phương trình đã cho là phương trình hồi quy vì
Chia cả hai vế của pt (1) cho x2 ≠ 0, ta được :

16
− 20 2
=(
)
1
5

20
16
+ 2 =0
x
x
16
4
(x2 + 2 ) + 5(x - ) - 14 = 0
(2)
x
x
4
Đặt x - = y thay vào (2) ta được :
y2 + 5y - 6 = 0
x
−5+7
−5−7
∆ = 25 + 24 = 49 ⇒ y 1 =

= 1 ; y2 =
=-6
2
2
4
x- =1
⇒
x2 + 6x - 4 = 0
x
∆ 1′ = 9 + 4 = 13 ⇒ x 1 = - 3 + 13 ; x 2 = - 3 - 13 .
4
x- =-6 ⇒
x2 - x - 4 = 0
x
1 + 17
1 − 17
∆ 2 = 1 + 16 = 17 ⇒ x 3 =
; x4 =
.
2
2

x2 + 5x - 14 -

(1)


Tập nghiệm của pt là S =  - 3 + 13 ; - 3 - 13 ;

1 + 17 1 − 17

;

2
2

3.Giải phương trình : x4 - 3 x3 + 3x + 1 = 0
x = 0 không phải là nghiệm của (1).
Đây là phương trình hồi quy vì :

4
−6 2
=(
)
1
3

Chia 2 vế của pt (1) cho x2 ≠ 0, ta được :

6
4
+ 2 =0
x
x
4
2
(x2 + 2 ) + 3(x ) - 14 = 0 (2)
x
x
2
y

Đặt x - = y ⇒ x2 + 2 = y2 + 4
x
x

x2 + 3x - 14 -

(2) ⇔ y2 + 3y - 10 = 0
∆ = 9 + 40 = 49 ⇒

∆ = 7 ⇒ y1 =

−3+7
−3−7
= 2 ; y2 =
=-5
2
2

2
= 2 ⇒ x2 - 2x - 2 = 0 ⇒ x1 = 1 + 3 ; x2 = 1 - 3
x
2
− 5 + 33
− 5 − 33
x - = - 5 ⇒ x2 + 5x - 2 = 0 ⇒ x3 =
; x4 =
x
2
2

x-

Tập nghiệm của pt là S = x1 = 1 + 3 ; 1 - 3 ;
Dạng 3. Phương trình

− 5 + 33
− 5 − 33
;
2
2

(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m
Trong đó a + d = b + c.



(1)

Phương pháp giải :
- Viết lại (1) dưới dạng
[(x + a)(x + d)(x + b)(x + c)]- m = 0
- Khai triển các tích và đặt ẩn phụ y là một trong hai biểu thức vừa khai triển.
- Thế ẩn phụ vào phương trình (2), rồi giải phương trình, tìm giá trị của y.
- Thế giá trị của y vào biểu thức của ẩn phụ để tìm x.
VD áp dụng : Giải phương trình :
(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = - 15 (1)
Giải :
Nhận xét 1 + 7 = 3 + 5 , do đó nên khai triển vế trái như thế nào để đặt ẩn
phụ hợp lí nhất ?
(1) ⇔

(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = 0
2
⇔ ( x + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15 = 0
(2)
2
- Đặt x + 8x + 7 = y (3), thế vào (2) được y(y + 8) + 15 = 0
- Hay y2 + 8y + 15 = 0, có nghiệm y1 = - 3 ; y2 = - 5.
- Thế các giá trị của y vào (3)
x2 + 8x + 7 = - 3⇔ x2 + 8x + 10 = 0 có nghiệm x1 = - 4 + 6 ; x2= - 4 - 6
x2 + 8x + 7 = 5 ⇔ x2 + 8x + 12 = 0 có nghiệm x3 = - 2 ; x4 = - 6.


Vậy tập hợp nghiệm của phương trình (1) là:
S =  - 4 + 6 ; - 4 - 6 ; - 2 ; - 6 .
*. Bài tập áp dụng.
1. Giải phương trình :
(x + 2)(x + 5)(x - 6)(x - 9) = 280 (1)
(x + 2)(x - 6)(x + 5)(x - 9) = 280
(x2 - 4x - 12)(x2- 4x - 45) - 280 = 0 (2)
- Đặt x2 - 4x - 12 = y
(2) ⇔ y(y - 33) - 280 = 0
y2 - 33y - 280 = 0
∆ = 332 + 4 . 280 = 2209 = 47.
y1 =

33 + 47
33 − 47
= 40 ; y 2 =
= −7 .
2

2

x2 - 4x - 12 = 40 ⇒ x2 - 4x - 52 = 0 ⇒ x 1 = 2 + 56 ; x 2 = 2 - 56
x2 - 4x - 12 = - 7 ⇒ x2 - 4x - 5 = 0 ⇒ x 3 = 5 ; x 4 = - 1.
Tập nghiệm của pt là S =  2 + 56 ; 2 - 56 ; 5 ;- 1
2.Giải phương trình : (x2 + 7x + 12)(x2 - 15x + 56) = 180 (1)
HD: Phân tích
x2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)
x2 - 15x + 56 = (x - 7)(x - 8)
Lúc này pt (1) trở về phương trình có dạng 3..
(1) ⇔ (x + 3)(x + 4)(x - 7)(x - 8) - 180 = 0
⇒ (x + 3)(x - 7)(x + 4)(x - 8) - 180 = 0
⇒ (x2 - 4x - 21)(x2 - 4x - 32) - 180 = 0 (2)
Đặt x2 - 4x - 21 = y thì (2) ⇔ y(y - 11) - 180 = 0
⇒ y2 - 11y - 180 = 0
∆ = 112 + 4 . 180 = 841 = 29.
⇒ y1 =

11 + 29
= 20
2

; y2 =

11 − 29
= −9
2

x2 - 4x - 21 = 20 ⇒ x2 - 4x - 41 = 0 ⇒ x 1 = 2 + 45 ; x 2 = 2 - 45
x2 - 4x - 21 = -9 ⇒ x2 - 4x - 12 = 0 ⇒ x 3 = 6 ; x 4 = - 2.

Tập nghiệm của pt là S = 2 + 45 ; 2 - 45 ; 6 ; - 2
3.Giải phương trình :
x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 8
(1)
⇔ x(x + 3)(x + 1)(x + 2) = 8
⇔ (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) = 8 (2)
Đặt x2 + 3x + 1 = y thì (2) trở thành : (y - 1)(y + 1) = 8
⇒ y2 - 1 = 8 ⇒ y2 = 9 ⇒ y1 = 3 ; y2 = - 3
x2 + 3x + 1 = 3 ⇒ x2 + 3x - 2 = 0
⇒ ∆ = 17 ⇒ x1 =

− 3 + 17
− 3 − 17
; x2 =
.
2
2

x2 + 3x + 1 = - 3 ⇒ x2 + 3x + 4 = 0 ⇒ ∆ = - 11 < 0 ⇒ptvn
Tập nghiệm của pt là S = 

− 3 + 17
− 3 − 17
;
2
2



4.Giải phương trình :
Tập nghiệm của pt là S = x1 =
5.Giải phương trình :

x(x - 1)(x + 1)(x + 2) = 3
−1+ 3
−1− 3
; x2 =

2
2

(x + 2)(x + 3)(x - 7)(x - 8) = 144

Tập nghiệm của pt là S = 6 ;- 1 ;

5 + 153 5 − 153
;

2
2

6. Giải phương trình :
(x + 5)(x + 6)(x + 8)(x + 9) = 40
Tập nghiệm của pt là S = - 10 ; - 4
Dạng 4:
Phương trình:
(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = mx2
Trong đó ad = bc

(1)

Phương pháp giải:
* Cách 1:
(x + a)(x + d)(x + b)(x + c) = mx2
(x2 + ax + dx +ad)(x2 + bx + cx + bc) = mx2 (2)
Đặt x2 + (a +d)x ad = y (3) thay vào (2) tìm y ròi thay vào (3) tìm x.
* Cách 2: Chia (2) cho x2 ≠ 0 được :
(x - a - d +

ad
bc
)(x - b - c - ) = m
x
x

(3)

Đặt ẩn phụ là trung bình cộng của hai biểu thức trong ngoặc tức là đặt
x-

a+b+c+d
ad
+
= y (4) thay vào (3) tìm được y thay vào (4) tìm x.
2
x

VD áp dụng: Giải phương trình: (x - 4)(x - 5)(x - 8)(x - 10) = 72x2
(1)

Giải :
Nhận xét (- 4)(- 10) = (- 5)(- 8), do đó nên khai triển vế trái như thế nào để đặt
ẩn phụ hợp lí nhất ?
(1) ⇔ (x - 4)(x - 10)(x - 5)(x - 8) = 72x2
⇔ (x2 - 14x + 40)(x2 - 13x + 40) = 72x2
(2)
2
Cách 1: Đặt x - 14x + 40 = y rồi giải tương tự như VD trên , được S = {2; 20}.
Cách 2: Chia hai vế của (2) cho x2 ≠ 0 được :
40 
40 

 x − 14 +  x − 13 +  = 72
x 
x 


(3)

- Đặt ẩn phụ là trung bình cộng của hai biểu thức trong ngoặc tức là đặt: x -

27
+
2

40
1
1
= y (4) thì phương trình (3) trở thành (y - )(y + ) = 72 có nghiệm y1 =
x

2
2

8,5 ; y2 = - 8,5.
- Thế y = - 8,5 vào (4) và thu gọn được phương trình x2 - 5x + 40 = 0, vô nghiệm
- Thế y = 8,5 vào (4) và thu gọn được phương trình x2 - 22x + 40 = 0 có nghiệm
x1 = 2 ; x2 = 20.
Vậy tập hợp nghiệm là S ={2; 20}.
*. Bài tập áp dụng
1.Giải phương trình :
(x + 10)(x + 12)(x + 15)(x + 18) = 2x2 (1)


(x2 + 28x + 180)(x2 + 27x + 180) = 2x2 (2)
Vì x = 0 không phải là nghiệm của pt (2) nên chia 2 vế của (2) cho x2 ta được :
180
180
)(x + 27 +
)=2
(3)
x
x
55
180
- Đặt x +
+
=y
(4)
2
x

1
1
- Phương trình (3) trở thành : (y + )(y - ) = 2
2
2
1
9
3
−3
⇒ y2 - = 2 ⇒ y2 =
⇒ y1 = ; y 2 =
.
4
4
2
2
55
180
3
x+
+
=
⇒ x2+ 26x + 180 = 0 . ∆ = - 11 < 0 ⇒ pt VN
2
x
2
55
180 − 3
x+
+

=
⇒ x2 + 29x + 180 = 0. ∆ = 11 ⇒ x 1 = - 9; x 2 = - 20.
2
x
2

(x + 28 +

Tập nghiệm của pt là S = - 9 ;- 20.
2.Giải phương trình : (x - 90)(x - 35)(x + 18)(x + 7) = - 1080x2 (1)
Pt(1) trở thành : (x2 - 17x - 630)(x2 - 83x - 630) = - 1080x2 (2)
Vì x = 0 không phải là nghiệm nên chia 2 vế của (2) cho x2 được :
(x - 17 -

630
630
)(x2 - 83 ) = - 1080 (3)
x
x

Đặt : x - 50 -

630
= y (4)
x

Thì pt (3) trở thành : (y + 33)(y - 33) = - 1080.
⇒ y2 - 332 = - 1080
⇒ y2 = 9 ⇒ y 1 = 3 ; y 2 = - 3.

630
= 3 ⇒ x2 - 53x - 630 = 0 ⇒ ∆ = 73
x
53 + 73
53 − 73
= 63 ; x 2 =
= −10
⇒ x1 =
2
2
630
x - 50 = - 3 ⇒ x2 - 47x - 630 = 0 ⇒ ∆ = 4729
x
47 + 4729
47 − 4729
⇒ x3=
; x4 =
.
2
2
47 + 4729 47 − 4729
Tập nghiệm của pt là S =  63 ; − 10 ;
;
2
2

x - 50 -



5: Phương trình (x + a)4 + (x + b)4 = c.
* Phương pháp giải : Đối với phương trình dạng này, ta đặt ẩn phụ là trung
bình cộng của: (x + a) và (x + b) cho 2
.Dạng

Đặt x +

a+b
= y.
2

VD áp dụng : Gải phương trình
(x + 3)4 + (x - 1)4
(1)
Giải:
Đặt x + 1 = y, phương trình (1) trở thành
(y + 2)4 + (y - 2)4 = 626
(y4 + 8y3 + 24y2 + 32y + 16) + (y4 - 8y3 + 24y2 - 32y + 16) = 626
y4 + 24y2 -297 = 0


- Giải phương trình trùng phương này được y1 = 3 ; 2 = - 3
Tập nghiệm của pt là S =  2 ; - 4.
*. Bài tập áp dụng
1. Giải phương trình: (x - 2,5)4 + (x - 1,5)4 = 17 (1)
1 4
1
) + (y + )4 = 17
2
2

3
1
1
3
1
1
(y4 - 2y3 + y2 - y + ) + (y2 + 2y3 + y2 + y + ) = 17
2
2
16
2
2
16

- Đặt x - 2 = y thì phương trình (1) là : (y -

16y4 + 24y2 - 135 = 0 (2)
- Đặt y2 = T > 0 thì (2) trở thành : 16T2 + 24T - 135 = 0

− 15

9

∆ / = 122 + 16.135 = 2304 ⇒ ∆/ = 48 ⇒ T1 =
; T2 =
4
4

(loại)

9
−3
3
⇒ y1 =
; y2 =
2
4
2
7
3
x-2=
⇒ 2x - 4 = 3 ⇒ x1 =
2
2
−3
1
x-2=
⇒ 2x - 4 = - 3 ⇒ x2 =
2
2
7 1
Tập nghiệm của pt là S =  ; 
2 2

y2 =

2.Giải phương trình : (x + 5)4 - (x + 1)4 = 80
(1)
4
4

- Đặt x + 3 = y thì (1) trở thành : (y + 2) - (y - 2) = 80
(y4 +8y3 + 24y2 + 32y+ 16) - (y4 - 8y3 + 24y2 - 32y+ 16) = 80
y3 + 4y - 5 = 0 ⇒ (y - 1)(y2 + y + 5) = 0
y2 + y + 5 > 0 ⇒ y - 1 = 0 ⇒ y = 1
x+3=0 ⇒ x=-2
Tập nghiệm của pt là S = - 2
3. Giải phương trình :
(x + 2)4 + (x + 4)4 = 82
Tập nghiệm của pt là S =  - 1 ; - 5.
4. Giải phương trình :
(x + 2)4 + (x + 8)4 = 272
Tập nghiệm của pt là S =  - 4 ; - 6.
Dạng 6 : Một số phương trình dạng đặc biệt khác
1. Giải phương trình : x4 + 9 = 5x(x2 - 3) (1)
- Chia 2 vế của pt (1) cho x2 ≠ 0, ta được : x2 +
Đặt x -

9
3
)
2 = 5(x x
x

3
9
= y ⇒ x2 + = y2 + 6
x
x

(2) ⇔ y2 + 6 = 5y ⇔ y2- 5y+ 6 = 0 ⇒ y1= 3 ; y2 = 2.

3
3 + 21
3 − 21
= 3 ⇒ x2 - 3x - 3 = 0 ⇒ x1 =
; x2 =
x
2
2
3
x - = 2 ⇒ x2 - 2x - 3 = 0 ⇒ x3 = 3 ; x4 = -1
x

x-

(2)


Tập nghiệm của pt là S = 

3 + 21 3 − 21
;
; 3 ; -1
2
2

2. Giải phương trình:
( x2 - 6x - 9)2 = x(x2 - 4x - 9)
- Chia 2 vế của phương trình (1) cho x2 ≠ 0, ta được :

(1)

9 2
9
) = (x - 4 - ) (2)
x
x
9
Đặt x - 5 - = y thì (2) trở thành : (y - 1) 2 = y + 1 ⇔ y2 - 2y + 1 = y + 1
x

(x - 6 -

⇔ y2 - 3y = 0 ⇒ y(y - 3) = 0 ⇒ y1 = 0 ; y2 = 3.

9
5 + 61
5 − 61
= 0 ⇒ x2 - 5x - 9 = 0 ⇒ x1 =
; x2 =
x
2
2
9
x - 5 - = 3 ⇒ x2 - 8x - 9 = 0 ⇒ x3 = 9 ; x4 = - 1
x
5 + 61 5 − 61
Tập nghiệm của pt là S = 
;
; 9 ;- 1
2

2

x-5-

(2x3- 3x + 1)(2x2 + 5x + 1) = 9x2

3.Giải phương trình:
- Tập nghiệm của pt là S = 

−3+ 7
−3− 7
2+ 2 2− 2
;
;
;

2
2
2
2

(4x + 3)2(x + 1)(2x + 1) = 810 (1)
(4x + 3)2(x + 4)(4x + 2) = 810 . 8
(2)
- Đặt 4x + 3 = y thì (2) trở thành :
y2(y + 1)(y - 1) = 6480 ⇒ y4 - y2 - 6480 = 0 (3)
∆ = 1 + 4 . 6480 = 25921 ⇒ ∆ = 161
y2 = 81 ⇒ y1 = 9 ; y2 = - 9.
4. Giải phương trình :

4x + 3 = 9 ⇒ x1 =

3
2

4x + 3 = - 9 ⇒ x2 = - 3
Tập nghiệm của pt là S = 

3
; - 3.
2

(6x + 5)2(3x + 2)(x + 1) = 35

5. Giải phương trình :

Tập nghiệm của pt là S = 

− 5 + 21 − 5 − 21
;

6
6

6. Giải phương trình :
4(x2- x + 1)3 = 27(x2 - x)2
(1)
2
2
3

2
- Đặt x - x = y thì (1) trở thành : 4(y + 1)3 = 27y ⇔ 4y - 15y + 12y + 4 = 0
⇔ 4y3 - 16y2 +16y + y2 - 4y + 4 = 0 ⇔ 4y(y2 - 4y + 4) + y2 - 4y + 4 = 0
⇔ (4y + 1)(y2 - 4y + 4) = 0 ⇒ y1 =
x2 - x =

−1
4

;

y2 = 2

−1
1
⇒ 4x2 - 4x + 1 = 0 ⇒ x1 =
4
2

x2 - x = 2

⇒ x2 - x - 2 = 0

⇒ x2 = - 1 ; x3 = 2

Tập nghiệm của pt là S =  - 1 ; 2;
7.Giải phương trình :

1


2

3(x +5)(x + 6)(x + 7) = 8x

(1)


- Ta thấy :

5+6+7
=9
2

9(x +5)(x + 6)(x + 7) = 24x

(2)

; (9 - 5)(9 - 6)(9 - 7) = 24

- Đặt x + 9 = y thì (2) trở thành : 9(y - 4)(y - 3)(y - 2) = 24(y - 9)
⇔ 9y3 - 81y2 + 210y = 0 ⇔ 3y3 - 27y2 + 70y = 0
⇔ y(3y2 - 27y + 70) = 0 ⇒ y = 0 ⇒ x + 9 = 0 ⇒ x = 0
Tập nghiệm của pt là S = 0
8. Giải phương trình :
(x - 2)3 + (x - 4)3 = 8 (1)
- Đặt x - 3 = y thì (1) trở thành : (y + 1)3 + (y - 1)3 = 8
⇔ y3 + 3y - 4 = 0 ⇔ (y - 1)(y2 + y + 4) = 0
⇔
y=1⇒ x-3=1⇒ x=4
Tập nghiệm của pt là S = 4

9. Giải phương trình :
(x2 - 6x)2 - 2(x - 3)2 = 81 (1)
⇔ (x2 - 6x)2 - 81 = 2(x - 3)2
⇔ (x2 - 6x + 9)(x2 - 6x - 9) = 2(x - 3)2
⇔ (x - 3)2(x2 - 6x - 11) = 0
⇒ x-3
⇒ x1 = 3
2
⇒ x - 6x - 11 ⇒ x2 = 3 + 20 ; x3 = 3 - 20
Tập nghiệm của pt là S = 3 ; 3 + 20 ; 3 - 20 
10. Giải phương trình :
x4 + (x - 1)(3x2 + 2x - 2) = 0 (1)
⇔
x4 + (x - 1)2x2 + (x - 1)(x2 + 2x - 2) = 0
⇔
x2(x2 + 2x - 2) + (x - 1)(x2 + 2x - 2) = 0
⇔
(x2 + 2x - 2)(x2 + x - 1) = 0
⇒ x2 + 2x - 2 = 0 ⇒ x1 = - 1 + 3 ; x2 = - 1 - 3
⇒ x2 + x - 1 = 0

⇒ x3 =

−1+ 5
−1− 5
; x4 =
2
2

Tập nghiệm của pt là S =  - 1 + 3 ; - 1 - 3 ;

⇔
⇔

−1+ 5
−1− 5
;

2
2

11. Giải phương trình :
x4 + (x + 1)(5x2 - 6x - 6) = 0
x4 - x2(x + 1) + 6(x + 1)(x2 - x - 1) = 0
(x2 - x - 1)(x2 + 6x + 6) = 0

⇒ x2 - x - 1 = 0

⇒ x1 =

1+ 5
2

; x2 =

1− 5
2

⇒ x2 + 6x + 6 = 0 ⇒ x3 = - 3 + 3 ; x4 = - 3 - 3
Tập nghiệm của pt là S = 
⇔

⇔
⇔

1+ 5
2

;

1− 5
;-3+
2

3 ;-3-

12. Giải phương trình :
(x2 + 1)2 + ( x + 2)(3x2 - 4x - 5) = 0
(x2 + 1)2 + ( x + 2)(3x2 - 3x - 3) - ( x + 2)2 = 0
(x2 + 1 + x + 2)(x2 + 1 - x - 2)+ (x2 - x - 1)(3x + 6) = 0
(x2 - x - 1)(x2 + 4x + 9) = 0

3




⇒ x2 - x - 1 = 0

⇒ x1 =

1+ 5

2

; x2 =

⇒ x2 + 4x + 9 = 0 ⇒ ∆ ' =- 5 < 0 ⇒ ptvn
Tập nghiệm của pt là S = 

1− 5
2

1+ 5
2

;

1− 5
2



13. Giải phương trình :
x2(x - 1)2 + x(x2 - 1) = 2(x + 1)2
⇔ x2(x - 1)2 - (x + 1)2 + x(x2 - 1) - (x + 1)2 = 0
⇔ (x2 - x - x - 1)(x2 - x + x + 1) + (x + 1)(x2 - x - x - 1) = 0
⇔ (x2 - 2x - 1)(x2 + 1) + ( x + 1)(x2 - 2x - 1) = 0
⇔ (x2 - 2x - 1)(x2 + x + 2) = 0
⇒ x2 - 2x - 1 = 0 ⇒ x1 = 1 + 2 ; x 2 = 1 - 2
⇒ x2 + x + 2 = 0 ⇒ ∆ ' = - 7 < 0 ⇒ ptvn
Tập nghiệm của pt là S = 1 + 2 ; 1 - 2 
14.Giải phương trình :

x4 - x2 + 2x - 1 = 0
⇔ x4 = x2 + 2x - 1
⇔ x4 = (x - 1)2
⇒ x2 = x - 1 ⇒ x2 - x + 1 = 0 , ∆ = - 3 < 0 ⇒ ptvn
−1+ 5
−1− 5
; x2 =
2
2
−1+ 5 −1− 5
;

2
2

⇒ x2 = - x + 1 ⇒ x2 + x - 1 = 0 ⇒ x1 =
Tập nghiệm của pt là S = 

15. Giải phương trình :
(x2 - 16)2 = 16x + 1 (1)
- Cộng 64x2 vào 2 vế của pt (1) ta được :
(x2 - 16)2 + 64x2 = 64x2 + 16x + 1
⇔ x4 + 32x2 + 162 = 64x2 + 16x + 1
⇔ (x2 + 16)2 = (8x + 1)2
⇒ x2 + 16 = 8x + 1 ⇒ x2 + 16 - 8x - 1 = 0 ⇒ x1 = 5 ; x2 = 3
⇒ x2 + 16 = - 8x - 1 ⇒ x2 + 16 + 8x + 1 = 0 ; ∆ = - 1 ⇒ ptvn
Tập nghiệm của pt là S =  5 ; 3.
16. Giải phương trình :
(x2 - a2) = 4ax + 1 (1)
- Cộng 4a2x2 vào 2 vế của pt (1), ta có :

(x2 - a2)2 + 4a2x2 = 4a2x2 + 4ax + 1
⇔ x4 + 2a2x2 + a4 = 4a2x2 + 4ax + 1
⇔ (x2 + a2 )2 = (2ax + 1)2
⇒ x2 + a2 = 2ax + 1 ⇒ x2 - 2ax + a2 - 1 = 0 ⇒ x1 = a + 1 ; x2 = a - 1
⇒ x2 + a2 = - 2ax - 1 ⇒ x2 + 2ax + a2 + 1 = 0 , ∆ = - 1 < 0 ⇒ ptvn
Tập nghiệm của pt là S =  a + 1 ; a - 1
17.Giải phương trình :
x4 = 4x - 3
(1)
2
- Cộng 4x + 4 vào 2 vế của pt (1) , ta được :
x4 + 4x2 + 4 = 4x2 + 4 + 4x - 3
⇔ (x2+ 2)2 = (2x + 1)2


⇒ x2+ 2 = 2x + 1 ⇒ x2 - 2x + 1 = 0 ⇒ x = 1
⇒ x2+ 2 = - 2x - 1 ⇒ x2+ 2x + 3 = 0 ⇒ ptvn
Tập nghiệm của pt là S = 1
18. Giải phương trình :
x4 = 2x2 - 12x + 8
(1)
2
- Cộng 2x + 1
vào 2 vế của pt (1) , ta được :
4
2
x + 2x + 1 = 2x2 + 2x2 - 12x + 8 + 1
⇔
(x2 + 1)2 = (2x - 3)2
⇒ x2 + 1 = 2x - 3 ⇒ x2 - 2x + 4 = 0 , ∆ = - 3 < 0 ⇒ ptvn

⇒ x2 + 1 = - 2x + 3 ⇒ x2 +2x - 2 = 0 ⇒ x1 = - 1 + 3 ; x2 = - 1 - 3
Tập nghiệm của pt là S =  - 1 + 3 ; - 1 - 3 
19. Giải phương trình :
x4 = 4x + 1 (1)
Tập nghiệm của pt là S = 

1
( 2 +
2

20. Giải phương trình :
1

4 2 −2) ;

1
( 2 2

4 2 −2)



x4 = 8x + 7
1

Tập nghiệm của pt là S =  ( 2 + 8 2 − 2 ) ; ( 2 - 8 2 − 2 ) 
2
2
4
2

21.Giải phương trình : x - 9x + 24x - 16 = 0 ⇔ x4 = 9x2 - 24x + 16
⇔ x4 = (3x - 4)2 ⇒ x2 = 3x - 4 ⇒ x2 - 3x + 4 = 0 , ∆ = - 7 < 0 ⇒ ptvn
⇒ x2 = - 3x + 4 ⇒ x2 + 3x - 4 = 0 ⇒ x1 = 1 ; x2 = - 4.
Tập nghiệm của pt là S =  1 ; - 4.
22. Giải phương trình: x4 = 2x2 + 8x + 3 (1)
- Cộng (2x2 + 1) vào 2 vế của phương trình (1) ta được :
x4 + 2x2 + 1 = 4x2 + 8x + 4 ⇔ (x2 + 1)2 = (2x + 2)2
⇒ x2 + 1 = 2x + 2 ⇒ x2 - 2x - 1 = 0 ⇒ x1 = 1 + 2 ; x2 = 1 - 2
⇒ x2 + 2x + 3 = 0 , ∆ = - 2 < 0 ⇒ ptvn
Tập nghiệm của pt là S = 1 + 2 ; 1 - 2 
23.Giải phương trình :
x4 - 12x2 + 16 2 x - 12 = 0 (1)
- Đặt x 2 = y thì (1) trở thành :

y4
y2
- 12. + 16y - 12 = 0
4
2

⇒ y2 - 24y2 + 64y - 48 = 0 ⇒ (y + 6)(y - 2) 3 = 0 ⇒ y1 = - 6 ; y2 = 2.
x 2 = - 6 ⇒ x1 = - 3 2
x 2 = 2 ⇒ x2 = 2
Tập nghiệm của pt là S =  2 ; - 3 2 
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nhiệp nhà trường:
Để đạt kết quả tốt trong quá trình dạy học mỗi giáo viên cần phải nhận
thấy vai trò của mình trong công tác giáo dục, cần phải luôn đổi mới phương
pháp dạy học, không ngừng bồi dưỡng và tự bồi dưỡng nâng cao trình độ
chuyên môn, năng lực nghiệp vụ sư phạm học hỏi kinh nghiệm tìm ra những

phương pháp dạy học tiên tiến những cách giải hay phù hợp với từng dạng bài
toán hoá học phù hợp với đối tượng học sinh, khắc phục những khó khăn và
những điều kiện khách quan đem lại.
Sáng kiến kinh nghiệm này được viết từ sự đúc kết trong quá trình dạy
học tại trường THCS, từ đó tìm ra cho bản thân những cách giải hay nhanh gọn
và truyền đạt cho học sinh .
Sau khi thực hiện kiểm nghiệm giảng dạy phần “giải phương trình bậc
bốn” theo nội dung của đề tài này tôi thấy sự say mê học toán nói chung và sự
say mê giải toán phương trình bậc bốn của học sinh nhất là học sinh lớp 9 nói
riêng tăng lên rõ rệt.
Kết quả như sau (Có bảng phụ lục 1 kèm theo).
Phụ lục 1: Bảng số liệu kết quả áp dụng SKKN
Lớp

Tổng số
HS

9A1

40

9A2

43

9A3

35

1

28,6%

9A4

30

0

0%

Tổng
148
số

Giỏi
SL
4
2

7

Khá

Trung bình

Yêú - kém

SL

TL

SL

TL

5

12,5%

TL

SL

TL

10%

13

32,5% 18

45%

4,7%

12

27,9% 16

37,2% 13

30,2%

14,3% 9

25,7% 20

31,4%

10%

50%

40%

4,7%

5

3
33

15

22,3% 58

12

39,2% 50

33,8%

Khi khảo sát tôi nhận thấy rằng với kiến thức dù khó, trừu tượng đến đâu
nhưng giáo viên biết vận dụng, kích thích được lòng ham mê của học sinh thì
kết quả rất khả quan. Cụ thể, trước khi áp dụng đề tài này với bài toán đơn giản
nhưng kết quả thu được thấp. Sau khi áp dụng đề tài này vào thực tiễn giảng
dạy ở trường THCS Nguyệt Ấn kết quả được nâng lên rõ rệt, học sinh học tập
tích cực và thích học toán hơn, các em đã biết giải phương trình bậc bốn thành
thạo hơn.

PHẦN III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ


1. Kết luận
- Hầu hết học sinh đã nắm được cách trình bày, một số ít còn tỏ ra lúng
túng và một số em vẫn còn làm tắt, bỏ qua những bước lập luận cơ bản (nhất là
những bài dễ).
- Khi dạy, phải cho học sinh hiểu sâu sắc lý thuyết, nắm được các dạng để
rồi nhận được dạng phương trình. Cần rèn luyện về cách trình bày của học sinh.
- Với mỗi bài, giáo viên phải để lại cho học sinh một ấn tượng, bước đi
nào đó để gặp bài toán tương tự học sinh có thể liên hệ được.
- Hệ thống kiến thức bổ trợ cho dạng toán sắp dạy.
- Hệ thống các phương pháp cơ bản để dạy các loại toán đó.
- Khái quát quá, tổng quát quá, từng dạng, từng loại bài tập.
- Tìm tòi khai thác sâu kiến thức .Sưu tầm sắp xếp thành từng loại để khi
dạy sẽ giúp học sinh nắm vững dạng toán
Trên đây là một số kiến thức, phương pháp mà tôi đã tóm tắt, rút ra được

những kinh nghiệm nhằm để khắc sâu kiến thức cho học sinh, và cũng để nhân
rộng ra bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi; các em học sinh chuẩn bị thi vào lớp
10; các bài tập thuộc dạng nâng cao cho những năm sau này. Trong quá trình
thực hiện đề tài chắc chắn chưa được hoàn hảo, không thể tránh khỏi những
thiếu sót về cấu trúc, về ngôn ngữ và cả về hình thức khoa học. Tôi rất mong
được sự góp ý chân tình của các bạn đồng nghiệp để những năm học tới được tốt
hơn, đáp ứng với yêu cầu đổi mới giáo dục.
2. Kiến nghị:
Qua đây tôi hi vọng rằng mỗi giáo viên hãy là một tấm gương sáng, một
người thầy mẫu mực luôn chăm lo cho thế hệ trẻ và đặc biệt là công tác bồi
dưỡng thế hệ trẻ góp phần cùng cả nước xây đất nước ngày một to đẹp hơn như
lời Bác Hồ đã dạy, và mong muốn đề tài này sẽ được áp dụng một cách rộng
giải cho các em học sinh THCS ở các trường học để các em ngày một yêu thích
môn học hơn và có được một kết quả tốt trong học tập và thi cử. Với thời gian
tìm hiểu và nghiên cứu còn hạn chế do đó không tránh khỏi những khiếm khuyết
vì vậy rất mong được sự đóng góp ý kiến của bạn bè và đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn./.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 08 tháng 4 năm
2016
CAM KẾT KHÔNG COPPY
Người thực hiện

Hà Thị Trà


* Tài liệu tham khảo
- Nâng cao và phát triển toán 9 - Vũ Hữu Bình
- Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 9 - Bùi Văn Thuyên.

- Sưu tầm chuyên đề giải phương trình bậc bốn trên mạng và của các huyện.


MỤC LỤC
Mục Lục

Trang
I
Phần Mở đầu
1
1
Lí do chọn đề tài
1
2
Mục đích nghiên cứu
1
3
Đối tượng nghiên cứu
1
4
Phương pháp nghiên cứu
1
II Phần II Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2
1
Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2
2
Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2

2.1 Thực trạng
2
2.2 Kết quả thực trạng trên
3
3
Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
4
4
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động của giáo 17
dục, với bản thân, đồng nghiệp nhà trường.
III Phần III Kết luận, kiến nghị
19
1
Kết luận
19
2
Kiến nghị
19
Tài liệu tham khảo
20


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
PHÒNG GD&ĐT NGỌC LẶC

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH LỚP 9
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN

Người thực hiện: Hà Thị Trà
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Nguyệt Ấn
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HÓA NĂM 2016