Iđêan đơn thức không chứa bình phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Lê Thanh Nga

IĐÊAN ĐƠN THỨC KHÔNG CHỨA BÌNH PHƯƠNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Lê Thanh Nga

IĐÊAN ĐƠN THỨC KHÔNG CHỨA BÌNH PHƯƠNG

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
Th.S Hà Thị Thu Hiền

Hà Nội – Năm 2016

LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian nghiên cứu miệt mài, nghiêm túc cùng với sự giúp
đỡ tận tình của các thầy cô và các bạn, đến nay khóa luận tốt nghiệp
của tôi đã được hoàn thành, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến các
thầy cô trong Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã động
viên, giúp đỡ trong quá trình tôi làm khóa luận.
Đặc biệt, tôi xin chân thành cảm ơn cô giáo - Th.s Hà Thị Thu
Hiền, người đã trực tiếp hướng dẫn tôi hoàn thành khóa luận này.
Do còn hạn chế về kiến thức và thời gian của bản thân nên những
vấn đề trình bày trong khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Vì
vậy tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp từ thầy cô và các
bạn.
Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Lê Thanh Nga


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận tốt nghiệp Iđêan đơn thức không chứa bình phương được
hoàn thành là kết quả của bản thân tôi trong quá trình học tập và nghiên
cứu. Bên cạnh đó, tôi nhận được sự quan tâm, giúp đỡ của các thầy cô
giáo trong khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của cô giáo Th.s Hà Thị Thu Hiền.
Tôi xin cam đoan kết quả nghiên cứu trong khóa luận này là trung
thực và không trùng với kết quả của các tác giả khác.
Hà Nội, tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Lê Thanh Nga

Lê Thanh Nga - K38D Toán

Mục lục
1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

6

1.1 Vành, vành con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2 Miền nguyên, trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3 Iđêan và đồng cấu vành . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.4 Quan hệ thứ tự và tập sắp thứ tự . . . . . . . . . . . . .

16

2 IĐÊAN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN

17

2.1 Các phép toán trên iđêan . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.2 Iđêan hữu hạn sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.3 Một số lớp iđêan đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.4 Một số bài tập về iđêan . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

3 VÀNH NOETHER VÀ SỰ PHÂN TÍCH NGUYÊN SƠ 46
3.1 Vành Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

3.2 Sự phân tích nguyên sơ và sự phân tích nguyên sơ cực tiểu 49
3.3 Sự phân tích nguyên sơ trong vành Noether . . . . . . .

51

4 IĐÊAN ĐƠN THỨC KHÔNG CHỨA BÌNH PHƯƠNG
VÀ PHỨC ĐƠN HÌNH

53

4.1 Iđêan đơn thức và iđêan đơn thức không chứa bình phương 53

4.2 Phức đơn hình

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

4.3 Mối liên hệ giữa iđêan đơn thức không chứa bình phương
và phức đơn hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Iđêan đơn thức không chứa bình phương

61

3


Lê Thanh Nga - K38D Toán

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Chúng ta biết rằng hầu hết mọi ngành toán học hiện đại ngày nay
trong quá trình phát triển đều cần tới các cấu trúc đại số. Vì đại số biểu
hiện rõ ràng nhất hai đặc trưng cơ bản của toán học đó là tính trừu
tượng và tính tổng quát. Bên cạnh các cấu trúc đại số như: Nhóm, vành,
trường, môđun,. . . iđêan là một trong những khái niệm cơ bản của Đại
số. Các lớp iđêan đặc biệt là iđêan nguyên tố, iđêan cực đại, iđêan bất
khả quy, iđêan nguyên sơ,. . . có vai trò quan trọng trong việc nghiên
cứu Đại số giao hoán và hình học đại số. Ngoài ra khi xét trong vành
đa thức nhiều biến ta còn có lớp iđêan đặc biệt là lớp iđêan đơn thức và
đặc biệt hơn nữa là lớp iđêan đơn thức không chứa bình phương. Hai lớp

iđêan này rất quan trọng, vì chúng là ví dụ cho nhiều vấn đề trong Đại
số giao hoán. Hơn nữa, một iđêan đơn thức không chứa bình phương có
thể được biểu diễn bằng phức đơn hình, và từ biểu diễn phức đơn hình
ta có thể nhận được những thông tin ngược trở lại về iđêan đơn thức
không chứa bình phương ban đầu. Tuy nhiên, trong chương trình đại
học các vấn đề này chỉ được trình bày một cách sơ lược và trừu tượng,
gây khó khăn cho việc tìm hiểu của bạn đọc, đặc biệt là sinh viên khoa
Toán. Được sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của cô giáo – Th.s Hà Thị
Thu Hiền và mong muốn tìm hiểu sâu hơn về đại số, tôi đã mạnh dạn
chọn đề tài: “Iđêan đơn thức không chứa bình phương” để làm khóa luận
tốt nghiệp hi vọng sẽ cung cấp thêm tài liệu tham khảo cho các bạn yêu
thích đại số.
Iđêan đơn thức không chứa bình phương

4


Lê Thanh Nga - K38D Toán

2. Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu: Nghiên cứu
về iđêan đơn thức không chứa bình phương, phức đơn hình và mối liên
hệ giữa chúng.
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu: Lý thuyết về iđêan đơn thức
không chứa bình phương, phức đơn hình.
4. Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu tài liệu, phân tích, tổng
hợp.
5. Cấu trúc khóa luận: Khóa luận được chia làm 4 chương
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Iđêan trên vành giao hoán
Chương 3: Vành Noether và sự phân tích nguyên sơ

Chương 4: Iđêan đơn thức không chứa bình phương và phức đơn hình.

Iđêan đơn thức không chứa bình phương

5


Lê Thanh Nga - K38D Toán

1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1

Vành, vành con

Cho tập X khác rỗng, trên X trang bị hai phép toán hai ngôi, gọi là
phép cộng và phép nhân, ký hiệu lần lượt là (+), (.). X được gọi là vành
nếu thỏa mãn các điều kiện:
i) X cùng với phép cộng là một nhóm Aben.
ii) X cùng với phép nhân là một nửa nhóm.
iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, tức là với các phần tử tùy
ý x, y, z ∈ X, ta có:
x(y + z) = xy + xz,
(y + z)x = yx + zx.
Chú ý 1.1.1. +) Phần tử đơn vị của phép cộng ký hiệu là 0 được gọi
là phần tử không của vành.
+) Phần tử đơn vị của phép nhân (nếu có), ký hiệu là 1.
+) Vành X được gọi là vành có đơn vị nếu phép nhân có phần tử đơn

vị. Khi đó X cùng với phép nhân được gọi là một vị nhóm.
+) Vành X được gọi là vành giao hoán nếu phép nhân giao hoán.
+) Vành X được gọi là vành giao hoán có đơn vị nếu X là vị nhóm
nhân giao hoán.
Iđêan đơn thức không chứa bình phương

6


Lê Thanh Nga - K38D Toán

Ví dụ 1.1.2.

- Tập hợp Z các số nguyên cùng với phép cộng và phép

nhân thông thường là một vành giao hoán có đơn vị và được gọi là
vành các số nguyên. Ta cũng có vành các số hữu tỉ Q, vành các số
thực R, vành các số phức C (với phép cộng và phép nhân các số
thông thường).
- Tập hợp các số nguyên là bội của một số nguyên n cho trước là một
vành với phép cộng và phép nhân thông thường. Vành này là vành
giao hoán nhưng không có đơn vị.
- Tập các ma trận vuông cấp n (n ∈ N∗ ) với các phần tử là các số
cùng với phép cộng và phép nhân ma trận là một vành có đơn vị.
Vành này không giao hoán nếu n > 1.
Tính chất 1.1.3. Cho X là một vành. Khi đó:
+ x0 = 0 = 0x, ∀x ∈ X,
+ Nếu vành có ít nhất hai phần tử thì 0 = 1,
+ (nx)y = nxy = x(ny), ∀x, y ∈ X, ∀n ∈ Z,
+ (x − y)z = xz − yz, ∀x, y, z ∈ X.

Giả sử X là một vành, A là một bộ phận của X ổn định với hai phép
toán cộng và nhân trong X, nghĩa là x + y ∈ A, x.y ∈ A ,∀x, y ∈ A .

Khi đó A được gọi là một vành con của X nếu A cùng với hai phép toán
cảm sinh trên A là một vành.

Mệnh đề 1.1.4. Cho X là một vành, A là một bộ phận khác rỗng của
X. Các điều kiện sau đây là tương đương:
Iđêan đơn thức không chứa bình phương

7


Lê Thanh Nga - K38D Toán

i) A là một vành con của X.
ii) ∀x, y ∈ A thì x + y ∈ A, xy ∈ A, −x ∈ A.
iii) ∀x, y ∈ A thì x − y ∈ A, xy ∈ A.
Ví dụ 1.1.5.

+ {0} và X là hai vành con của X.

+ Tập hợp nZ gồm các số nguyên là bội của một số nguyên n cho
trước là một vành con của vành các số nguyên Z.
+ Vành đa thức Z[x] là một vành con của vành Q[x].
+ A là một vành giao hoán có đơn vị thì A là một vành con của vành
đa thức A[x]. Vành A[x] lại là vành con của vành đa thức hai biến
A[x, y].
Cho X là vành có đơn vị 1, nếu tồn tại số nguyên n nhỏ nhất sao cho
n1 = 0 thì ta gọi n là đặc số của X. Ngược lại ta nói X có đặc số bằng

0. Đặc số của X ký hiệu là char X.
Ví dụ 1.1.6. Vành các số hữu tỷ Q có đặc số 0. Vành Z các lớp thặng
dư môđun 2 có đặc số 2.
Cho X là vành giao hoán có đơn vị 1. Tập con A ⊆ X được gọi là tập

con nhân đóng của X nếu:
i) 1 ∈ A.

ii) Với mọi x, y ∈ A thì xy ∈ A.
Ví dụ 1.1.7. Dễ thấy rằng mọi vành con chứa đơn vị của một vành có
đơn vị là tập con nhân đóng của nó.
Iđêan đơn thức không chứa bình phương

8


Lê Thanh Nga - K38D Toán

Ta gọi chiều của X là số tự nhiên lớn nhất n ∈ N sao cho tồn tại một

dãy các iđêan nguyên tố P0

P1

···

Pn trong X, kí hiệu dim X.

Ví dụ 1.1.8. Trong vành số nguyên Z luôn có dãy các iđêan nguyên tố
pZ với p ∈ P, thì dim Z = 1.

0

1.2

Miền nguyên, trường

Trong toàn bộ phần này ta xét X là vành giao hoán có đơn vị.
(a) Ước và bội của một phần tử
Cho vành X, a, b ∈ X, a được gọi là bội của b hay a chia hết cho b, ký
.
hiệu a..b nếu tồn tại c ∈ X sao cho a = bc. Khi đó ta cũng nói b là ước
của a, ký hiệu là b | a. a ∈ X, a = 0, a được gọi là ước của không nếu

tồn tại b ∈ X, b = 0 sao cho ab = 0. Khi đó b cũng gọi là ước của không.
Phần tử u ∈ X được gọi là phần tử khả nghịch nếu u là ước của 1,

tức là tồn tại v ∈ X sao cho uv = 1.

Với a, a′ ∈ X, ta nói a, a′ liên kết với nhau nếu tồn tại u khả nghịch

sao cho a = ua′ hoặc a′ = ua. Ký hiệu: a ∼ a′ hoặc a′ ∼ a.

a được gọi là ước thực sự của b nếu a là ước của b, a không khả nghịch

và a không liên kết với b.
a ∈ X được gọi là phần tử bất khả quy nếu a = 0, a không khả nghịch

và a không có ước thực sự.

Phần tử a = 0, không khả nghịch được gọi là phần tử nguyên tố nếu
từ điều kiện a|uv ta suy ra a|u hoặc a|v.
(b) Miền nguyên
Một vành giao hoán X có đơn vị, có nhiều hơn một phần tử và không
Iđêan đơn thức không chứa bình phương

9


Lê Thanh Nga - K38D Toán

có ước của 0 được gọi là miền nguyên.
Ví dụ 1.2.1. Vành các số nguyên Z là một miền nguyên.
(c) Trường
Một miền nguyên trong đó mọi phần tử khác không đều khả nghịch
trong vị nhóm nhân được gọi là trường.
Nhận xét: Nếu X là một trường thì ta có hai nhóm giao hoán, đó là
(X, +) và (X ∗ , .) trong đó X ∗ := X\ {0}.
Ví dụ 1.2.2. Tập hợp Q các số hữu tỉ cùng với phép cộng và phép nhân
thông thường là một trường. Ta cũng có trường số thực R, trường số
phức C.
(d) Trường con
Giả sử X là một trường, A là một bộ phận của X ổn định đối với hai
phép toán trong X. A được gọi là một trường con của trường X nếu A
cùng với hai phép toán cảm sinh trên A là một trường.
Mệnh đề 1.2.3. Giả sử A là một bộ phận có nhiều hơn một phần tử
của một trường X. Các điều kiện sau đây là tương đương:
i) A là một trường con của X.
ii) Với mọi x, y ∈ A, x + y ∈ A, xy ∈ A, −x ∈ A, x−1 ∈ A nếu x = 0.
iii) Với mọi x, y ∈ A, x − y ∈ A, xy −1 ∈ A, nếu y = 0.

Ví dụ 1.2.4. +) X là một trường con của trường X. Bộ phận {0}

không phải là một trường con của X, vì theo định nghĩa một trường

có ít nhất 2 phần tử.
Iđêan đơn thức không chứa bình phương

10


Lê Thanh Nga - K38D Toán

+) Trường số hữu tỉ Q là một trường con của trường số thực R, bản
thân R lại là trường con của trường số phức C.

1.3

Iđêan và đồng cấu vành

(a) Iđêan
Cho A là một vành, I là vành con của A. Ta gọi I là:
+) iđêan trái của A nếu với mọi x ∈ A, với mọi a ∈ I, thì xa ∈ I,
+) iđêan phải của A nếu với mọi x ∈ A, với mọi a ∈ I, thì ax ∈ I,
+) iđêan của A nếu I vừa là iđêan trái vừa là iđêan phải của A.
Mệnh đề 1.3.1. Cho A là vành, tập I, ∅ = I ⊆ A. Các điều kiện sau
tương đương:
i) I là iđêan của A.
ii) Với mọi a, b ∈ I và với mọi x ∈ A thì a − b, ax, xa ∈ I.
Ví dụ 1.3.2. Cho vành A:
+) Một vành tùy ý luôn có các iđêan tầm thường là {0} và chính nó,

+) Tập hợp mZ gồm các số nguyên là bội của một số nguyên m cho
trước là một iđêan của vành các số nguyên Z. Hơn nữa mọi iđêan
của Z đều có dạng này.
Nhận xét 1.3.3.

i) Trong một vành giao hoán thì mọi iđêan trái cũng

là iđêan phải và do đó là iđêan.

Iđêan đơn thức không chứa bình phương

11


Lê Thanh Nga - K38D Toán

ii) Nếu A là một vành có đơn vị và iđêan I chứa một phần tử khả
nghịch a thì x = a(a−1 x) ∈ I với mọi x ∈ A, hay I = A. Vậy I = A
khi và chỉ khi I chứa một phần tử khả nghịch. Từ đó suy ra nếu A

là một trường thì A chỉ có hai iđêan là {0} hoặc A vì khi đó mọi
iđêan khác {0} của A đều chứa phần tử khả nghịch.

(b) Vành thương
Mệnh đề 1.3.4. Cho A là một vành và I là một iđêan của A. Khi đó
nhóm thương
A/I = {x} = x = x + I|x ∈ A .
cùng với quy tắc nhân x y = xy với mọi x,y ∈ A/I lập thành một vành.
Chứng minh. Thật vậy, nếu x = x′ và y = y ′ tức là x + I = x′ + I, y + I =
y ′ + I. Ta suy ra x − x′ ∈ I, y − y ′ ∈ I, giả sử x = x′ + a, y = y ′ + b, với

a, b ∈ I. Ta có xy − x′ y ′ = (x′ + a)(y ′ + b) − x′ y ′ = ab + ay ′ + x′b. Vì I là

một iđêan của A và a, b ∈ I nên ab, ay ′ , x′b ∈ I. Do đó xy − x′y ′ ∈ I hay
x y = x′ y ′ . Vậy quy tắc trên là một phép toán hai ngôi trong A/I.

Vành A/I trong Mệnh đề 1.3.4 được gọi là vành thương của vành A
trên iđêan I.
Nhận xét 1.3.5. +) Phần tử không của vành thương A/I là 0 = 0 +
I = I.
+) Nếu vành A giao hoán thì A/I cũng là vành giao hoán.
+) Nếu vành A có đơn vị 1 thì A/I có đơn vị là phần tử 1 = 1 + I.

Iđêan đơn thức không chứa bình phương

12


Lê Thanh Nga - K38D Toán

Ví dụ 1.3.6. (1) Với mọi vành A ta luôn có hai vành thương:
A/ {0} = x + {0}| x ∈ A ≃ A,
A/A = x + A| x ∈ A = {A} ≃ {0}.
(2) Cho vành Z và iđêan nZ của nó (n ∈ N):
+) Nếu n = 0 thì nZ = {0} và Z/ {0} ≃ Z,
+) Nếu n > 0 thì Z/nZ ≃ Zn.
Tính chất 1.3.7. Cho vành giao hoán A, I là iđêan của A.
+) Nếu J là iđêan của A sao cho J ⊇ I thì J/I là iđêan của vành
thương A/I và với r ∈ R ta có r + I ∈ J/I nếu và chỉ nếu r ∈ J.
+) Mỗi iđêan B của R/I đều có dạng K/I với K là iđêan của A thỏa

mãn K ⊇ I. Tồn tại duy nhất iđêan K = a ∈ R|a + I ∈ J

của

A thỏa mãn điều kiện trên.
+) J1, J2 là các iđêan của A sao cho J1, J2 ⊇ I. Ta có J1 /I ⊇ J2 /I
khi và chỉ khi J1 ⊇ J2 .
(c) Đồng cấu vành
Cho X, Y là hai vành. Ánh xạ f : X → Y được gọi là đồng cấu vành

nếu với mọi x, y ∈ X các điều kiện sau được thỏa mãn:
f (x + y) = f (x) + f (y),
f (xy) = f (x)f (y).
Đồng cấu vành f được gọi là
Iđêan đơn thức không chứa bình phương

13


Lê Thanh Nga - K38D Toán

+) đơn cấu nếu f là đơn ánh,
+) toàn cấu nếu f là toàn ánh,
+) đẳng cấu nếu f là song ánh. Khi đó ta nói X đẳng cấu với Y và ký
hiệu X ∼
= Y.
Ví dụ 1.3.8. +) Giả sử A là một vành con của vành X. Đơn ánh chính
tắc
f :

A −→ X

là một đồng cấu được gọi là đơn cấu chính tắc.

a −→ a
+) Ánh xạ đồng nhất của vành X là một đồng cấu gọi là tự đẳng cấu
đồng nhất của X.
+) Giả sử A là một iđêan của một vành X. Ánh xạ
pA :

X −→ X/A

là một đồng cấu từ vành X đến vành thương

x −→ x + A

X/A. Đồng cấu này còn là toàn cấu, gọi là toàn cấu chính tắc.
+) Giả sử X và Y là hai vành. Ánh xạ
θ :

X −→ Y

là một đồng cấu được gọi là đồng cấu không.

x −→ 0
Tính chất 1.3.9.

i) Tích của hai đồng cấu vành là một đồng cấu

vành,

Với các tính chất dưới đây, ta cho f : X → Y là một đồng cấu
vành.
ii) Nếu X là một trường thì f là đồng cấu không hoặc đơn cấu.
Iđêan đơn thức không chứa bình phương

14


Lê Thanh Nga - K38D Toán

iii) +) Nếu f có nghịch đảo trái, tức là tồn tại một đồng cấu vành
g : X → Y sao cho gf = 1X thì f là đơn cấu,
+) Nếu f có nghịch đảo phải, tức là tồn tại một đồng cấu vành
g : X → Y sao cho gf = 1Y thì f là toàn cấu,
+) Nếu f có nghịch đảo trái và nghịch đảo phải thì f là đẳng cấu.
iv) Cho A là một vành con của X, B là iđêan của Y . Khi đó f (A) là
một vành con của Y và f −1(B) là một iđêan của X.
Đặc biệt Ker f := f −1({0}) là iđêan của X và Im f := f (X) là vành
con của Y . Ta gọi chúng lần lượt là hạt nhân và ảnh của đồng cấu
f.
v) f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = {0X } và f là toàn cấu khi và
chỉ khi Imf = Y .
Định lý 1.3.10 (Định lý cơ bản của đồng cấu vành). Cho đồng cấu vành
f : X → Y , A,B tương ứng là các iđêan của X, Y sao cho f (A) ⊆ B.
Với pA : X → X/A, pB : Y → Y /B là các toàn cấu chính tắc. Khi đó
tồn tại duy nhất đồng cấu vành f : X/A → Y /B làm cho biểu đồ sau
giao hoán
X

f

//

Y

pA

pB


X/A

''  
//
f

Y /B

Tức f pA = pB f.
Đặc biệt, nếu A = Kerf , B = {0X } thì Y /B = Y / {0X } = Y tức

Iđêan đơn thức không chứa bình phương

15


Lê Thanh Nga - K38D Toán

biểu đồ giao hoán:
X
p



f

//
✉:: Y
✉
✉✉
✉✉
✉✉
✉
✉ f

X/Kerf

Nghĩa là: f p = f với p : X → X/Kerf là toàn cấu chính tắc.
Hệ quả 1.3.11.

i) Nếu f : X → Y là đồng cấu vành thì X/Kerf ∼
=

Imf .
ii) Nếu f : X → Y là toàn cấu vành thì X/Kerf ∼
= Y.
iii) B, C là các iđêan của X thì (B + C)/C ∼
= B/(B ∩ C).

1.4

Quan hệ thứ tự và tập sắp thứ tự

Cho tập X = ∅ và S là một quan hệ hai ngôi trên X. S được gọi là một

quan hệ thứ tự trong X nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
i) Phản xạ: Với mọi a ∈ X thì aSa.

ii) Phản đối xứng: Với mọi a, b ∈ X, nếu aSb và bSa thì a = b.
iii) Bắc cầu: Với mọi a, b, c ∈ X, nếu aSb và bSc thì aSc.
Nếu S là một quan hệ thứ tự trong X, thì người ta thường thay S bởi
ký hiệu “≤”. Người ta nói một tập X là sắp thứ tự nếu trong X có một
quan hệ thứ tự. Ký hiệu (X, ≤).
Ví dụ 1.4.1. Quan hệ ≤ thông thường trong tập các số tự nhiên N,

quan hệ chia hết trong Z, quan hệ bao hàm giữa các tập con của một
tập hợp X cho trước đều là các quan hệ thứ tự.
Iđêan đơn thức không chứa bình phương

16


Lê Thanh Nga - K38D Toán

Tập sắp thứ tự (X,≤ ) được gọi là tập thứ tự toàn phần nếu với mọi
a, b ∈ X ta luôn có a ≤ b hoặc b ≤ a. Ta viết a < b nếu a ≤ b và a = b.

Cho X là tập sắp thứ tự và tập A ⊆ X, A được gọi là một xích của

X nếu A cùng với quan hệ thứ tự của X lập thành tập sắp thứ tự toàn
phần. Khi đó nếu A = {a1 , a2, . . . , an }, không giảm tính tổng quát ta có

thể viết a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an . Phần tử a0 ∈ X gọi là cận trên (cận dưới)

của A nếu với mọi a ∈ A thì a ≤ a0 (a0 ≤ a). Phần tử a ∈ X được gọi

là phần tử cực đại (phần tử cực tiểu) của A nếu với mọi b ∈ A mà a ≤ b

(b ≤ a) thì b = a.

Bổ đề 1.4.2 (Bổ đề Zorn). Nếu mỗi xích của tập sắp thứ tự X đều có
cận trên thì X chứa ít nhất một phần tử cực đại.

2

IĐÊAN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN

Trong phần này, các vành được nhắc đến đều là vành giao hoán có đơn
vị.

2.1

Các phép toán trên iđêan

(a) Tổng các iđêan
Mệnh đề 2.1.1. Cho A là một vành và I, J là các iđêan của A thì tập
Q := a + b| a ∈ I, b ∈ J
là một iđêan của A.
Iđêan Q trong Mệnh đề 2.1.1 được gọi là tổng của hai iđêan I, J và
được ký hiệu là I + J.
Iđêan đơn thức không chứa bình phương

17


Lê Thanh Nga - K38D Toán

Chứng minh. Ta có Q ⊆ A và Q = ∅ do 0 ∈ Q. Lấy a = a1 + b1, b =
a2 + b2 ∈ Q và x ∈ A. Ta có: a − b = (a1 − a2 ) + (b1 − b2) ∈ Q, ax =

a1 x + b1x ∈ Q, xa = xa1 + xb1 ∈ Q. Vậy Q là một iđêan của A.

Ví dụ 2.1.2. Xét vành Z và hai iđêan I = 2Z, J = 4Z của Z. Khi đó
I + J = 2Z.
(b) Tích các iđêan
Mệnh đề 2.1.3. Nếu I, J là hai iđêan của vành A thì tập


 n

S :=
(ai bi )| n ∈ N, ai ∈ I, bi ∈ J, ∀i = 1, . . . , n


i=1

là một iđêan của A.
Iđêan S trong Mệnh đề 2.1.3 được gọi là tích của hai iđêan I, J và
được ký hiệu là IJ.
Chứng minh. Ta có S ⊆ A và S = ∅ do 0 ∈ S. Lấy x ∈ A và a, b ∈ S,
với:

a = a1 b1 + · · · + an bn , b = c1 d1 + · · · + cm dm .
Khi đó
a − b = a1 b1 + · · · + an bn + (−c1)d1 + · · · + (−cm )dm ∈ S,
ax = a1 (b1x) + · · · + an (bnx) ∈ S, xa = (xa1)b1 + · · · + (xan)bn ∈ S.
Vậy S là một iđêan của A.
Iđêan S trong Mệnh đề 2.1.3 được gọi là tích của hai iđêan I, J và
được ký hiệu là IJ.
Iđêan đơn thức không chứa bình phương

18


Lê Thanh Nga - K38D Toán

Ví dụ 2.1.4. Trên vành giao hoán Z, I = nZ, J = mZ, (n, m ∈ Z) là
các iđêan của Z ta có IJ = mnZ. Thật vậy
+) Với mọi x ∈ IJ ta có: x =

i∈I (ai bi ), (ai

viết ai = mti , bi = nki do đó x =

∈ mZ, bi ∈ nZ) có thể

n
i=1 (ai bi )mti nki

Vậy IJ ⊆ nmZ . (1)

suy ra x ∈ nmZ.

+) Ngược lại, với mọi x ∈ nmZ thì x = nmt = (n1)(mt), t ∈ Z suy ra
x ∈ IJ. Vậy nmZ = IJ.(2)

Từ (1) và (2) suy ra nmZ = IJ (đpcm).
(c) Thương các iđêan
Mệnh đề 2.1.5. Cho A là vành giao hoán I, J là các iđêan của A thì
tập
P := a ∈ A| ax ∈ I; ∀x ∈ J = a ∈ A| aJ ⊆ I
là một iđêan của A.
Iđêan P trong Mệnh đề 2.1.5 được gọi là thương của hai iđêan I, J
và được ký hiệu là I : J.
Chứng minh. Ta có P ⊆ A và P = ∅ do 0 ∈ P . Lấy a, b ∈ P và x ∈ A,

ta có ay, by ∈ I với mọi y ∈ J. Khi đó (a − b)y = ay − by ∈ I, do đó

a − b ∈ P . Mặt khác từ (ax)y = x(ay) ∈ I suy ra ax ∈ P . Vì A là một

vành giao hoán nên xa = ax, từ đó xa ∈ P . Vậy P là iđêan của A.

Ví dụ 2.1.6. Có I = 2Z, J = 3Z là 2 iđêan của Z. Khi đó I : J = 2Z.
(d) Căn của iđêan
Iđêan đơn thức không chứa bình phương

19


Lê Thanh Nga - K38D Toán

Mệnh đề 2.1.7. Nếu A là một vành giao hoán và I là một iđêan của A

thì tập
C := a ∈ A| ∃n ∈ N : an ∈ I
là một iđêan của vành A.
Chứng minh. C = ∅, C ⊆ A. Lấy a, b ∈ C và x ∈ A, thì tồn tại n ∈ N sao

cho an , bn ∈ I. Khi đó ta có (ax)n = (xa)n = an xn ∈ I ( I là một iđêan
của A) suy ra ax, xa ∈ C. Mặt khác (a − b)2n =

2n
k k k 2n−k
k=0 (−1) C2n a b

∈

I. Vì k ≥ n hoặc 2n − k ≥ n với mọi k = 0, 1, . . . , 2n. Do đó a − b ∈ C.
Vậy C là một iđêan của A.

Iđêan C trong Mệnh đề 2.1.7 được gọi là căn của iđêan I và được ký
√
hiệu là I. Nếu I = {0} thì ta viết Rad(A) thay cho {0} và gọi là căn
lũy linh của A. Ta được

Rad(A) = a ∈ A| ∃n ∈ N∗ : an = 0 .
Các phần tử a ∈ Rad(A) được gọi là phần tử lũy linh của A.
Tính chất 2.1.8. Cho {Ii}ni=1 là các iđêan của R, ta có:
n √
i=1 Ii .(*)

n
i=1 Ii

=

Chứng minh. +) n = 1 thì (*) hiển nhiên đúng.
√
√
√
+) n = 2 ta chỉ ra I1 ∩ I2 = I1 ∩ I2. Thật vậy:
√
Với mọi a ∈ I1 ∩ I2 luôn tồn tại m ∈ N để am ∈ I1 ∩ I2, tức là tồn
√
√
tại m ∈ N sao cho am ∈ I1 và am ∈ I2. Suy ra a ∈ I1 và a ∈ I2 ,
√
√
√
√
√
do đó a ∈ I1 ∩ I2. Vậy I1 ∩ I2 ⊆ I1 ∩ I2 . (1)
Iđêan đơn thức không chứa bình phương

20


Lê Thanh Nga - K38D Toán

Ngược lại, với mọi b ∈

√

√
√
√
I1 ∩ I2 thì b ∈ I1 và b ∈ I2 do đó tồn tại

u, v ∈ N để bu ∈ I1 và bv ∈ I2. Giả sử u ≤ v thì v = u + r, r ∈ N. Khi

đó bv = bu+r = bu br ∈ I1 (do bu ∈ I1). Lại có bv ∈ I2. Như vậy tồn tại
√
√
√
√
v ∈ N để bv ∈ I1 ∩ I2 suy ra b ∈ I1 ∩ I2. Vậy I1 ∩ I2 ⊆ I1 ∩ I2 .

(2)

Từ (1) và (2) ta có

√
√
√
I1 ∩ I2 = I1 ∩ I2 .

+) Giả sử (*) đúng với n − 1 tức là có

n−1
i=1 Ii

=

n−1 √
Ii .
i=1

Ta phải

chứng minh (*) đúng với n. Thật vậy:
√

In (theo chứng minh
√
√
n √
I
∩
I
(theo
giả
thiết
quy
nạp)
=
trên) = n−1
i
n
i=1 Ii
i=1
n √
n
I

=
Vậy
i
i=1 Ii .
i=1
n
i=1 Ii

2.2

=

n−1
i=1 Ii

∩ In =

n−1
i=1 Ii

∩

Iđêan hữu hạn sinh

(a) Tập sinh của iđêan
Cho vành X và tập S ⊆ X. Giao của tất cả các iđêan của X chứa S

là iđêan nhỏ nhất của X chứa S và được gọi là iđêan của X sinh bởi S,
ký hiệu S . Ta gọi S là tập sinh của S . Nếu S = {x1, . . . , xn} thì ta

viết x1, . . . , xn thay cho {x1, . . . , xn} . Một iđêan được gọi là hữu hạn

sinh nếu nó có một tập sinh gồm hữu hạn phần tử.
Ví dụ 2.2.1. ∅ = {0} và X = X.

Định lý 2.2.2. Cho X là vành giao hoán, có đơn vị 1 và S ⊆ X. Khi
Iđêan đơn thức không chứa bình phương

21


Lê Thanh Nga - K38D Toán

đó
S =
Đặc biệt





n

i=1



ai xi | n ∈ N, ai ∈ X, xi ∈ S , ∀i = 1, n .


x1 , . . . , xn =
Chứng minh. Đặt


B=






n

i=1

n

i=1



ai xi, ai ∈ X, ∀i = 1, n .




ai xi | n ∈ N, ai ∈ X, xi ∈ S ∀i = 1, n .


Giả sử a = x1 a1 + · · · + xn an , b = y1 a1 + · · · + yn an là hai phần tử tùy ý

thuộc B và x là phần tử tùy ý thuộc X. Ta có:

a − b =(x1a1 + · · · + xn an ) − (y1a1 + · · · + yn an )
=(x1a1 − y1 a1 ) + · · · + (xnan − yn an )
=(x1 − y1 )a1 + · · · + (xn − yn )an ∈ B

và xa = ax = x(x1a1 + · · · + xnan ) = xx1a1 + · · · + xxnan ∈ B.

Vậy B là một iđêan của X. Hơn nữa, ta có S ⊆ B vì x = 1x với mọi

x ∈ S.

Mặt khác, mọi iđêan của X chứa S thì cũng chứa x1a1 , . . . , xnan với

x1, . . . , xn ∈ S và do đó chứa x1a1 + · · · + xn an .

Vậy B là iđêan nhỏ nhất của X chứa S. Hay B = S .

Ta gọi s với s ∈ X là iđêan chính của X sinh bởi s. Vành X được

gọi là vành chính nếu X là miền nguyên và mọi iđêan của X đều là iđêan
chính.
Iđêan đơn thức không chứa bình phương

22


Lê Thanh Nga - K38D Toán

Ví dụ 2.2.3. Trong vành Z ta có:

+) 2, 3, 5 = 2x + 3y + 5z| x, y, z ∈ Z = Z,
+) n = nx| x ∈ Z = nZ.
+) Vành các số nguyên Z là vành chính.

2.3

Một số lớp iđêan đặc biệt

(a) Iđêan cực đại
Iđêan I của vành giao hoán A được gọi là iđêan cực đại nếu I = A
và I là phần tử cực đại nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:
i) I = A,
ii) Nếu tồn tại iđêan J của A mà I

J thì J = A.

Ví dụ 2.3.1. +) Trong vành Z mọi iđêan pZ với p là số nguyên tố đều
là iđêan cực đại của Z. Thật vậy, nếu có iđêan I của Z sao cho
(p)

I thì tồn tại a ∈ I và a ∈
/ (p), có nghĩa là a không chia hết

cho p. Vì p là số nguyên tố nên từ a không chia hết cho p suy ra a

và p nguyên tố cùng nhau. Do đó tồn tại x, y ∈ Z để ax + py = 1.

Do đó 1 ∈ I, vì vậy I = Z.

+) Mỗi trường có duy nhất một iđêan cực đại là iđêan {0} vì trường

chỉ có hai iđêan là {0} và chính nó.

Định lý 2.3.2. Iđêan I của vành A là một iđêan cực đại nếu và chỉ nếu
vành thương A/I là một trường.
Iđêan đơn thức không chứa bình phương

23