Đáp án bồi dưỡng Toán 9 (đề 19)

ĐÁP ÁN ĐỀ 19
Bài 1: Chứng minh rằng trong 2008 số khác nhau tùy ý lấy ra từ tập hợp:
A ={1, 2, 3,..,2007
2008
} có ít nhất 2 số x, y thỏa mãn:
Lời giải:
Chia tập hợp A thành 2007 tập hợp con
A
k
={k
2008
,k
2008
+1..,(k+1)
2008
–1} với
và A
2006
={2006
2008
, .., 2007
2008
–2}, A
2007
={2007
2008
–1, 2007
2008
}
Bây giờ lấy 2008 số khác nhau từ tập hợp A, theo nguyên lý Derichle, tồn tại 2 số x <
y cùng nằm trong 1 tập hợp con A

p
nào đó.Xét các trường hợp
a) p = 2007.
Khi đó x=2007
2008
–1 và y = 2007
2008
.
Ta có: Và nên ĐPCM.
b) p ≤ 2006.
Khi đó p
2008
≤ x < y≤ (p+1)
2008
–1 ( Đúng cho cả trường hợp p =2006)

.
ĐPCM.
Bài 2: Chứng minh rằng: Với m, n nguyên dương thì | | ≥
Lời giải:
Vì là số vô tỷ, là số hữu tỷ nên




Mặt khác và nên:

Do đó: . ĐPCM.
Bài 3: Chứng minh bất đẳng thức n
n+3

+(n+1)
n+3
< (n+2)
n+3
Bổ đề: Cho , ta có:
Chứng minh bổ đề: Ta có:
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0.
Do đó:
(1)
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
.ĐPCM.
Bài 4: Cho 3 số thực a, b, c thỏa mãn a ≥ b ≥ c; abc = 1 và
Chứng minh rằng: a + b> ab +1
Lời giải:
Trước hết, ta chứng minh c < 1.Thật vậy:
Nếu c >1. Vì a ≥ b ≥ c nên a > 1, b > 1 abc > 1. Vô lý
Nếu c = 1. Vì a ≥ b ≥ c và abc = 1 nên a = 1, b = 1
. Vô lý
Vậy c < 1.
Trở lại với bài toán ban đầu,ta có:





(1 – c)(a + b – ab – 1) > 0
a + b – ab – 1 > 0
a + b > ab + 1.ĐPCM