Giáo án giải tích 12 nâng cao: Chương I. §8. Một số bài toán thường gặp về đồ thị

TRI THỨC LÀ CON ĐƯỜNG NGẮN NHẤT VÀ VINH QUANG NHẤT ĐỂ ĐI ĐẾN THÀNH CÔNG VÀ HẠNH PHÚC

CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC
NHẬN XÉT
Họ và Tên:……… ………………… Điểm:
: CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC
1. Bảng giá trị lƣợng giác:
α

π/6

0

π/4

π/3

π/2

2 π/3

3π/4

5π/6

Sin α
Cos α
Tag α
Cotg α
2. Các công thức lƣợng giác cơ bản:
1+ tag2x= …………….

Tagx=…………….

1+ cotg2x= …………….

Cotgx= …………….

Tagx . cotgx = …………….

3. Hai góc đối nhau:
Sin(-x) = …………….

Tag(-x) =…………….

Cos(-x) = …………….

Cotg(-x) = …………….

4. Hai góc phụ nhau:
Sin (π/2-x) = …………….

Tag (π/2-x) = …………….

Cos (π/2-x) = …………….

Cotg(π/2-x) = …………….

5. Hai góc hơn kém nhau 900 hay π/2 radian
Sin (π/2+x) = …………….

Tag (π/2+x) = ……………

Cos (π/2+x) = ……………

Cotg(π/2+x) = …………….

6. Hai góc bù nhau:
Sin (π-x) = …………….

Tag (π-x) = …………….

Cos (π-x) = …………….

Cotg(π-x) = …………….

7. Hai góc hơn kém nhau 1800 hay π radian
Sin (π+x) = …………….

Tag (π+x) = …………….

Cos (π+x) =…………….

Cotg(π+x) = …………….

8. Công thức nhân đôi:
Sin2x= ……………………………………………………………………………………….
Biên soạn: Ths. Đỗ Kiến Vọng

1

Tel: 0904596838

“KHÔNG CÓ VIỆC GÌ KHÓ, CHỈ SỢ LÕNG KHÔNG BỀN.
ĐÀO NÖI VÀ LẤP BIỂN, QUYẾT CHÍ ẮT LÀM NÊN.” Chủ tịch - Hồ Chí Minh.

π


TRI THỨC LÀ CON ĐƯỜNG NGẮN NHẤT VÀ VINH QUANG NHẤT ĐỂ ĐI ĐẾN THÀNH CÔNG VÀ HẠNH PHÚC

Cos2x =………………………………………………………………..………………………
9. Công thức nhân ba:
Sin3x =………………………………………………………………..
Cos3x =………………………………………………………………..
10. Công thức hạ bậc:
Sin2x = ………………….

Cos2x= ………………….

11. Công thức biến đổi tổng thành tích:
Sina + sinb = ………………………………………………………………..
Sina - sinb = ………………………………………………………………..
Cosa + cosb =………………………………………………………………..
Cosa – cosb =………………………………………………………………..
12. Công thức khai triển:
Sin (a + b) =………………………………………………………………..
Sin (a - b) = ………………………………………………………………..
Cos (a +b) = ………………………………………………………………..
Cos (a - b) =………………………………………………………………..
Tag (a+b) =………………………………………………………………..

Tag (a-b) =………………………………………………………………..
13. Công thức biến đổi tích thành tổng:
Sina.sinb =………………………………………………………………..
Cosa.Cosb = ………………………………………………………………..
Sina. Cosb = ………………………………………………………………..
Chú ý:
Sinx + Cosx = ………………………………………………………………..
Sinx - Cosx =………………………………………………………..

Sinx = sinα 

x=
x=

Cosx = cosα 

x=
x=

tagx = tagα  x =
cotgx = cotgα  x =
Biên soạn: Ths. Đỗ Kiến Vọng

2

Tel: 0904596838

“KHÔNG CÓ VIỆC GÌ KHÓ, CHỈ SỢ LÕNG KHÔNG BỀN.
ĐÀO NÖI VÀ LẤP BIỂN, QUYẾT CHÍ ẮT LÀM NÊN.” Chủ tịch - Hồ Chí Minh.

TRI THỨC LÀ CON ĐƯỜNG NGẮN NHẤT VÀ VINH QUANG NHẤT ĐỂ ĐI ĐẾN THÀNH CÔNG VÀ HẠNH PHÚC

I: CÔNG THỨC Đ O HÀM
Hàm số đơn giản

Hàm số hợp

(C’)=………………

(u  )' =………………

(xn)’=………………

(eu)’=………………

(ex)’=………………

(au)’= ………………

(ax)’=………………

(sinu)’=………………

(sinx)’=………………

(cosu)= ………………

(cosx)= ………………

(tagu)’=………………

(tagx)’=………………

(cotgu)’=………………

(cotgx)’=………………

( u )'  ………………

( x )'  ………………

'

1
   ………………
u

'

1
   ………………
 x

(ln u )’= ………………

(ln x )’= ………………

(u.v)’=

(log x) =

u
  
 v  ………………

a

………………

'

………………

(log u)’ =

a

:C
m

T ỨC

………………

T Ừ

n

a .a = ………………

am :an = ………………
(a.b)m =………………
(am)n =………………
(a/b)m =………………
a0 = ………………

a

m

n

 ………………

a-m =………………

Biên soạn: Ths. Đỗ Kiến Vọng

3

Tel: 0904596838

“KHÔNG CÓ VIỆC GÌ KHÓ, CHỈ SỢ LÕNG KHÔNG BỀN.
ĐÀO NÖI VÀ LẤP BIỂN, QUYẾT CHÍ ẮT LÀM NÊN.” Chủ tịch - Hồ Chí Minh.


TRI THỨC LÀ CON ĐƯỜNG NGẮN NHẤT VÀ VINH QUANG NHẤT ĐỂ ĐI ĐẾN THÀNH CÔNG VÀ HẠNH PHÚC

CÔNG THỨC TÍCH PHÂN
ʃsinxdx = ………………

ʃcosxdx= ………………
ʃtagxdx= ……………
ʃcotgxdx=………………
ʃexdx =………………
ʃxndx =………………
ʃaxdx=………………

ʃ 1x

dx = ………………

ʃ √x dx = ………………
ʃ

1 dx = ………………
sin2x

ʃ

1
Cos2x

dx = ………………

ʃ dx = ………………

Biên soạn: Ths. Đỗ Kiến Vọng

4

Tel: 0904596838

“KHÔNG CÓ VIỆC GÌ KHÓ, CHỈ SỢ LÕNG KHÔNG BỀN.
ĐÀO NÖI VÀ LẤP BIỂN, QUYẾT CHÍ ẮT LÀM NÊN.” Chủ tịch - Hồ Chí Minh.


TRI THỨC LÀ CON ĐƯỜNG NGẮN NHẤT VÀ VINH QUANG NHẤT ĐỂ ĐI ĐẾN THÀNH CÔNG VÀ HẠNH PHÚC

CÔNG THỨC LOGARIT

………………..
………………..
………………..
………………..
………………..
………………..
………………..
………………..
………….
…………..
11. Bất phƣơng trình logarit
+

………………..
………………..

Biên soạn: Ths. Đỗ Kiến Vọng

5

Tel: 0904596838

“KHÔNG CÓ VIỆC GÌ KHÓ, CHỈ SỢ LÕNG KHÔNG BỀN.
ĐÀO NÖI VÀ LẤP BIỂN, QUYẾT CHÍ ẮT LÀM NÊN.” Chủ tịch - Hồ Chí Minh.


TRI THỨC LÀ CON ĐƯỜNG NGẮN NHẤT VÀ VINH QUANG NHẤT ĐỂ ĐI ĐẾN THÀNH CÔNG VÀ HẠNH PHÚC

SỐ PHỨC
Số phức Z có dạng: Z = a + bi
Trong đó phần thực là: …….

Phần ảo là:………….

Mô đun của số phức z: |Z| =……….
Số phức liên hợp của số phức Z là: Z = …………………
Chú ý trong đó : i2 = ……………………..

Hai số phức: Z = a + bi và Z’ = a’ + b’i
Hai số phức Z = Z’ bằng nhau khi:

………………………
………………………

Dạng lƣợng giác của số phức:
Số phức Z = a + bi có dạng lƣợng giác là: Z =………………………….
Trong đó: R =
Cosϕ = ………
Sin ϕ = ………..
Tích và thƣơng của 2 số phức ở dạng lƣợng giác:

Nếu cho 2 số phức: Z = r ( cosϕ + i sinϕ)

’

Z = r’ ( cosϕ’ + i sinϕ’)

’

Ta có: + Z. Z = ………………
+ Z/Z’ = ………………….
CÔNG THỨC Moaver:
Nếu số phức : Z = r ( cosϕ + i sinϕ) Thì:
Z n = ………………………………………………………

Biên soạn: Ths. Đỗ Kiến Vọng

6

Tel: 0904596838

“KHÔNG CÓ VIỆC GÌ KHÓ, CHỈ SỢ LÕNG KHÔNG BỀN.
ĐÀO NÖI VÀ LẤP BIỂN, QUYẾT CHÍ ẮT LÀM NÊN.” Chủ tịch - Hồ Chí Minh.


TRI THỨC LÀ CON ĐƯỜNG NGẮN NHẤT VÀ VINH QUANG NHẤT ĐỂ ĐI ĐẾN THÀNH CÔNG VÀ HẠNH PHÚC

MỘT SỐ CÔNG THỨC HÌNH CẦN NHỚ

1. Công thức tính diện tích tam giác BC theo hình giải tích (oxyz):
S = ……………………………

2. Công thức tính thể tích hình chóp BCD trong hình giải tích:
V=

……………………………

3. Công thức tính thể tích hình hộp ABCD.
tích:

’B’C’D’ trong hình giải

V= ……………………………
4. Công thức chứng minh 4 điểm BCD không đồng phẳng:
5. Công thức chứng minh 2 đƣờng thẳng chéo nhau (1 và 2) :
6. Công thức tính khoảng cách giữa 2 đƣờng thẳng chéo nhau  và ’:
Biết đƣờng thẳng  đi qua điểm M1 và có VTC U1 và đƣờng thẳng ‘‘đi
qua điểm M2 và có VTC U2:
D(,’)= ………………………….

7. Công thức tính khoảng cách từ điểm M0 đến đƣờng thẳng
 biết  đi qua điểm M1:

D(M0, )=…………………………………………………

8. Công thức tính khoảng từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng
(α) x + By+ Cz+ D = 0:
D(M0, α)=…………………………….
9.

óc giữa 2 mặt phẳng (α): x + By + Cz + D = 0 và mặt phẳng (β): ’x + B’y
+ Cz’ + D’ = 0 là:

Cos (α, β) =………………………….
Biên soạn: Ths. Đỗ Kiến Vọng

7

Tel: 0904596838

“KHÔNG CÓ VIỆC GÌ KHÓ, CHỈ SỢ LÕNG KHÔNG BỀN.
ĐÀO NÖI VÀ LẤP BIỂN, QUYẾT CHÍ ẮT LÀM NÊN.” Chủ tịch - Hồ Chí Minh.


TRI THỨC LÀ CON ĐƯỜNG NGẮN NHẤT VÀ VINH QUANG NHẤT ĐỂ ĐI ĐẾN THÀNH CÔNG VÀ HẠNH PHÚC

9 – Góc giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng:
Đƣờng thẳng  có phƣơng trình:
và mặt phẳng (α) x + By+ Cz+ D = 0:

Sin (,α) = ………………………….
10. óc giữa hai đƣờng thẳng:

Đƣờng thẳng  có phƣơng trình:

Đƣờng thẳng ’ có phƣơng trình:

Cos (,’)=

………………………….

CÔNG THỨC TỌA ĐỘ TRONG HÌNH HỌC PHẲNG
1- TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM:

(x;y) và B (x’; y’)
AB=…………………………………………
│ B│= …………………………………………
Nếu là trung điểm của B thì:
xH=………………
yH=………………
Nếu

là trọng tâm của tam giác BC thì:

xG =………………
yG= ………………
Biên soạn: Ths. Đỗ Kiến Vọng

8

Tel: 0904596838

“KHÔNG CÓ VIỆC GÌ KHÓ, CHỈ SỢ LÕNG KHÔNG BỀN.
ĐÀO NÖI VÀ LẤP BIỂN, QUYẾT CHÍ ẮT LÀM NÊN.” Chủ tịch - Hồ Chí Minh.


TRI THỨC LÀ CON ĐƯỜNG NGẮN NHẤT VÀ VINH QUANG NHẤT ĐỂ ĐI ĐẾN THÀNH CÔNG VÀ HẠNH PHÚC

2- TỌ ĐỘ CỦ VÉC TƠ:
a (x; y) và b (x’;y’)
a + b= ………………………………
a - b= ………………………………
a . b = ………………………………
Nếu a vuông góc với b thì a.b = ………………………….

óc giữa 2 véc tơ:
Cos (a; b) = ………………
3- PHƢƠNG TRÌNH CỦA ĐƢỜNG THẲNG:
DẠNG 1: DẠNG TỔ
QUÁT CÓ DẠNG:………………………………………
Có Vtpt : n = (… ; …)
DẠNG 2: DẠNG THAM SỐ CÓ DẠNG:
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
Có Véc tơ chỉ phƣơng : u = (… ; … ); và đi qua điểm M0 (…;…)
DẠNG 3: DẠ
C Í
TẮC CÓ DẠNG:
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
Có Véc tơ chỉ phƣơng : u = (… ; …); và đi qua điểm M0 ( … ; …)
CHÖ Ý: Nếu đƣờng thẳng ∆ có véc tơ pháp tuyến n (A, B) và đi qua điểm
M0(x0; y0) thì có phƣơng trình:

……………………………………………………………………………………
ÓC Ữ
ĐƢỜNG THẲNG:
∆: Ax + By +C = 0
∆’: ’x + B’y +C’ = 0
Cos (∆; ∆’)=……………………………….
KHOẢ

CÁC TỪ Đ ỂM M0(x0; y0) đến đƣờng thẳng ∆: Ax + By +C = 0

d(M0; ∆) = ……………………………………..

VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƢỜNG THẲNG:
Cho 2 đƣờng thẳng có dạng:
Biên soạn: Ths. Đỗ Kiến Vọng

9

Tel: 0904596838

“KHÔNG CÓ VIỆC GÌ KHÓ, CHỈ SỢ LÕNG KHÔNG BỀN.
ĐÀO NÖI VÀ LẤP BIỂN, QUYẾT CHÍ ẮT LÀM NÊN.” Chủ tịch - Hồ Chí Minh.


TRI THỨC LÀ CON ĐƯỜNG NGẮN NHẤT VÀ VINH QUANG NHẤT ĐỂ ĐI ĐẾN THÀNH CÔNG VÀ HẠNH PHÚC

∆: Ax + By +C = 0
∆’: ’x + B’y +C’ = 0
+ ∆//∆’ khi: ……………………………………..
+ ∆ trùng với ∆’ khi: ……………………………………..
+ ∆ cắt ∆’ khi: ……………………………………..
+ ∆ vuông góc với ∆’ khi: ……………………………………..

4- ĐƢỜNG TRÕN
DẠ
1: hƣơng trình tổng quát của đƣờng tròn:
(C): …………………………………………………………………..
Đƣờng tròn có tâm ( … ; …) và Bán kính: ……
Dạng 2: hƣơng trình khai triển:
(C): …………………………………………………………………..
Đƣờng tròn có tâm ( … ; …) và Bán kính: R= …………………….
5- MẶT CẦU:

DẠ
1: hƣơng trình tổng quát của mặt cầu:
(C): …………………………………………………………………..
Mặt cầu có tâm ( …;….. ; …) và Bán kính: ……
Dạng 2: hƣơng trình khai triển:
(C): …………………………………………………………………..
Mặt cầu có tâm ( …;…… ; …) và Bán kính: R= ……………………..
Điều kiện để mặt cầu có tâm I (a, b) và bán kính R tiếp xúc với mặt phẳng
(α): Ax + By + Cz + D = 0 là:

CÁC CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH CỦA TAM GIÁC
1.

S=

2.

S=

3.

S=

4.

S=

5.

S=

Biên soạn: Ths. Đỗ Kiến Vọng 10

Tel: 0904596838

“KHÔNG CÓ VIỆC GÌ KHÓ, CHỈ SỢ LÕNG KHÔNG BỀN.
ĐÀO NÖI VÀ LẤP BIỂN, QUYẾT CHÍ ẮT LÀM NÊN.” Chủ tịch - Hồ Chí Minh.


TRI THỨC LÀ CON ĐƯỜNG NGẮN NHẤT VÀ VINH QUANG NHẤT ĐỂ ĐI ĐẾN THÀNH CÔNG VÀ HẠNH PHÚC

CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH CỦA HÌNH CHÓP
V=
CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH CỦA HÌNH LĂNG TRỤ
V=
CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH CỦA MẶT CẦU CÓ BÁN KÍNH R
V=
CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH XUNG QUANG CỦA MẶT CẦU CÓ
BÁN KÍNH LÀ R:
Sxq =
CHÖ Ý:
1.

Trọng tâm của tam giác là giao điểm của:

2.

Trực tâm của tam giác là giao điểm của:

3.

Tâm đƣờng tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của:

4.

Tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của:

Tính chất của trọng tâm tam giá là: khoảng cách từ trọng tâm đến mỗi đỉnh
của tam giác bằng……………………………………………………………………….
ELIP (E) CÓ D NG PHƢƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC LÀ:
………………………….………………………………………………………………………
………………………….………………………………………………………………………

Tọa độ các đỉnh: A1 ( … ; …); A2 ( … ; …); B1 ( … ; …); B2 ( … ; …)
Tọa độ các tiêu điểm: F1( … ; …) F2( … ; …)
Độ dài trục lớn: A1A2 =………………
Độ dài trục nhỏ: B1B2 =………………
Tiêu cự: F1F2 = ………………………………………
Điều kiện để đƣờng thẳng ∆: Ax + By +C = 0 tiếp xúc với Elip là:
……………………………………………………………………….
Phƣơng trình tiếp tuyến của Elíp tại điểm M0 (x0; y0) là:
Biên soạn: Ths. Đỗ Kiến Vọng 11

Tel: 0904596838

“KHÔNG CÓ VIỆC GÌ KHÓ, CHỈ SỢ LÕNG KHÔNG BỀN.
ĐÀO NÖI VÀ LẤP BIỂN, QUYẾT CHÍ ẮT LÀM NÊN.” Chủ tịch - Hồ Chí Minh.


TRI THỨC LÀ CON ĐƯỜNG NGẮN NHẤT VÀ VINH QUANG NHẤT ĐỂ ĐI ĐẾN THÀNH CÔNG VÀ HẠNH PHÚC

HYBEPOL (H) CÓ D NG PHƢƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC LÀ:
………………………….………………………………………………………………………
………………………….………………………………………………………………………
………………………….………………………………………………………………………

Tọa độ các đỉnh: A1 ( … ; …); A2 (

;

) ; B1 ( … ; …); B2 ( … ; …)

Tọa độ các tiêu điểm: F1( … ; …) F2( … ; …)
Độ dài trục thực: A1A2 =………………
Độ dài trục ảo: B1B2 =………………
Tiêu cự: F1F2 = ………………
Điều kiện để đƣờng thẳng ∆: Ax + By +C = 0 tiếp xúc với Hybepol là:
……………………………………………………………………….
hƣơng trình tiếp tuyến của Hybepol tại điểm M0 (x0; y0) là:
TỔ HỢP XÁC XUẤT VÀ NHỊ THỨC NEWTON

2 Tính chất cơ bản của Tổ hợp:
……………………

Khai triển nhị thức Newtonw:

……………

=

Số hạng thứ T(K+1) trong khai triển là:

T(K+1)

=

Biên soạn: Ths. Đỗ Kiến Vọng 12

Tel: 0904596838

“KHÔNG CÓ VIỆC GÌ KHÓ, CHỈ SỢ LÕNG KHÔNG BỀN.
ĐÀO NÖI VÀ LẤP BIỂN, QUYẾT CHÍ ẮT LÀM NÊN.” Chủ tịch - Hồ Chí Minh.