Hình tứ diện và một số dạng bài tập liên quan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Bích Sinh

HÌNH TỨ DIỆN
VÀ MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ BÍCH SINH

HÌNH TỨ DIỆN
VÀ MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN

Chuyên ngành: Toán hình học

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
ThS. TRẦN VĂN NGHỊ

Hà Nội – Năm 2016


Mục lục

Lời mở đầu

3

1 MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN TỨ
DIỆN

5

1.1

QUAN HỆ SONG SONG CỦA TỨ DIỆN . . . . . . .

6

1.1.1

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng . . . . . . .

6

1.1.2

Xác định giao điểm của đường thẳng a và (α) .

7

1.1.3

Tìm thiết diện của hình chóp tam giác và mặt

1.2

phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.4

Chứng minh hai đường thẳng a và b song song .

10

1.1.5

Đường thẳng song song mặt phẳng . . . . . . .

11

1.1.6

Hai mặt phẳng song song

. . . . . . . . . . . .

12

QUAN HỆ VUÔNG GÓC . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.2.1

1.3

Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.2.2

Chứng minh hai đường thẳng vuông góc . . . .

15

1.2.3

Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc . . . . .

16

CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.3.1

17

Góc giữa hai đường thẳng . . . . . . . . . . . .
i


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.4

NGUYỄN THỊ BÍCH SINH

1.3.2

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng . . . . . .

19

1.3.3

Góc giữa hai mặt phẳng . . . . . . . . . . . . .

22

KHOẢNG CÁCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

1.4.1

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

25

1.4.2

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau .

31

1.4.3

Xác định đường vuông góc chung giữa hai đường
thẳng chéo nhau . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

1.5

THỂ TÍCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

1.6

XÁC ĐỊNH TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI

1.7

1.8

1.9

TIẾP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

1.6.1

Hình tứ diện có các cạnh bên bằng nhau . . . .

44

1.6.2

Hình tứ diện có cạnh bên vuông góc với đáy . .

46

1.6.3

Hình tứ diện có một mặt bên vuông góc với đáy

48

TỨ DIỆN ĐỀU VÀ TỨ DIỆN GẦN ĐỀU . . . . . . .

50

1.7.1

Tứ diện đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

1.7.2

Tứ diện gần đều . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

TỨ DIỆN VUÔNG VÀ TỨ DIỆN TRỰC TÂM . . . .

54

1.8.1

Tứ diện vuông

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

1.8.2

Tứ diện trực tâm . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN TỨ DIỆN VUÔNG 60
1.9.1

Đi tìm bất đẳng thức trong tứ diện vuông . . .

1.9.2

Khai thác tứ diện vuông cho bài toán bất đẳng
thức và cực trị

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
2.1

60

62
66

Quan hệ song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii

67


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ BÍCH SINH

2.2

Quan hệ vuông góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3

Các bài toán về góc, khoảng cách, thể tích và mặt cầu

68

ngoại tiếp tứ diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

2.4

Bài toán về các tứ diện đặc biệt . . . . . . . . . . . . .

71

2.5

Bất đẳng thức liên quan đến tứ diện vuông . . . . . . .

72

Kết luận

73

Tài liệu tham khảo

74

iii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ BÍCH SINH

LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc tới Thạc sĩ Trần Văn Nghị người đã tận tình
hướng dẫn, để em có thể hoàn thành tốt khóa luận này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy
cô giáo trong khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy
bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này, em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia
đình, bạn bè đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá
trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp.
Xuân Hoà, ngày 8 tháng 4 năm 2016
Sinh viên

Nguyễn Thị Bích Sinh

1

LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận được hình thành sau quá trình tự tìm hiểu, nghiên cứu
của bản thân dựa trên những kiến thức đã học, tài liệu tham khảo và
sự hướng dẫn của thầy giáo Trần Văn Nghị.
Em xin cam đoan kết quả của khóa luận này là không sao chép từ
bất kì bài khóa luận nào. Em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về lời
cam đoan của mình.


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ BÍCH SINH

Lời mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Hình học nói chung và hình học không gian nói riêng là một
môn học khó đối với học sinh trong nhà trường THPT. Vì hình học
là môn học có tính chặt chẽ, logic và trừu tượng hóa cao hơn các môn
học khác.
Để học hình học không gian, ngoài tính trừu tượng còn đòi
hỏi học sinh phải có kĩ năng tư duy cao. Hình học không gian bước
đầu người học cảm thấy khó song càng học càng thấy sự thú vị trong
đó. Do việc nghiên cứu hình học không gian là cần thiết, nên trong
bài khóa luận này em sẽ đi đào sâu vào một phần nhỏ của hình học
không gian là hình tứ diện. Đây là một chủ đề thường xuyên xuất
hiện trong cấu trúc đề thi cao đẳng, đại học và các đề thi tuyển chọn
học sinh giỏi trong các trường THPT. Nhằm cung cấp kiến thức, rèn
luyện kĩ năng liên quan đến các dạng bài tập về hình tứ diện nên em

đã lựa chọn nghiên cứu đề tài "Hình tứ diện và một số dạng bài
tập liên quan". Là một giáo viên trong tương lai, em nhận thấy việc
nghiên cứu đề tài này là hợp lý và có ý nghĩa thực tiễn trong quá trình
giảng dạy.
2. Mục đích nghiên cứu của đề tài
Nghiên cứu cơ sở lí luận, hệ thống hóa và phân dạng bài tập về
hình tứ diện một cách chi tiết nhất, nhằm tích cực hóa hoạt động của
học sinh, nâng cao năng lực sư phạm cho giáo viên và tăng hiệu quả
giảng dạy môn toán ở trường THPT.

3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ BÍCH SINH

3. Phạm vi, đối tượng nghiên cứu
a) Đối tượng nghiên cứu.
Đối tượng nghiên cứu là hình tứ diện.
b) Phạm vi nghiên cứu.
Nghiên cứu lý thuyết và bài tập về quan hệ vuông góc, quan hệ song
song, thiết diện, các bài toán về góc, khoảng cách, thể tích, mặt cầu
ngoại tiếp hình tứ diện, các bài toán về hình tứ diện đặc biệt và bất
đẳng thức liên quan đến tứ diện vuông ở chương trình Toán THPT.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nhiệm vụ nghiên cứu là phân loại, hệ thống các dạng bài tập về
hình tứ diện.
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp phân tích và tổng hợp kiến thức.

6. Cấu trúc khóa luận
Khóa luận gồm 2 chương:
Chương 1: Một số dạng bài tập liên quan đến hình tứ diện.
Chương 2: Bài tập đề nghị.

4


Chương 1
MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP LIÊN
QUAN ĐẾN TỨ DIỆN

5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.1
1.1.1

NGUYỄN THỊ BÍCH SINH

QUAN HỆ SONG SONG CỦA TỨ DIỆN
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Phương pháp
• Tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng.
• Đường thẳng đi qua hai điểm chung ấy là giao tuyến cần tìm.
Ví dụ: Cho ∆ABC và một điểm S không thuộc (ABC), một điểm I
thuộc đoạn SA. Một đường thẳng a nằm trong (ABC) và không song

song với AC. Tìm giao tuyến của cặp (I,a) và (SAC)
Giải:

Vì I ∈ SA nên I ∈ (SAC),
mà I ∈ (I;a),
suy ra I là điểm chung của hai mặt phẳng (I;a) và (SAC).
Trong (ABC), vì a không song song với AC nên gọi O = a ∩ AC,
ta có O ∈ (SAC) và O ∈ (I;a),
suy ra O là điểm chung thứ hai của (I;a) và (SAC)
Vậy IO là giao tuyến của hai mặt phẳng (I;a) và (SAC).
6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.1.2

NGUYỄN THỊ BÍCH SINH

Xác định giao điểm của đường thẳng a và (α)

Phương pháp
• Tìm đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (α)
• Giao của a và b là giao của đường thẳng a và mặt phẳng (α)
Chú ý : Đường thẳng b thường là giao tuyến của mặt phẳng (α) và
mặt phẳng (β) ⊃ a.
Cần chọn mặt phẳng (β) chứa đường thẳng a sao cho giao tuyến của
mặt phẳng (α) và mặt phẳng (β) xác định được và giao tuyến không
song song với đường thẳng a.
Ví dụ : Trong mặt phẳng (α) cho (α)ABC. Một điểm S không thuộc

(α). Trên cạnh AB lấy một điểm P và trên các đoạn thẳng SA, SB ta
lấy lần lượt hai điểm M, N sao cho MN không song song với AB.
a) Tìm giao điểm của đường thẳng MN với (SPC),
b) Tìm giao điểm của đường thăng MN với (α).

7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ BÍCH SINH

Giải:

a)
Gọi E = SP ∩ MN, nên E ∈ (SPC)
Vậy E = MN ∩ (SPC).
b)
Trong (SAB), vì MN không song song với AB nên gọi D = MN ∩ AB,
mà AB ⊂ (α) suy ra D ⊂ (α).
Vậy D là giao điểm của MN và (α).

8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.1.3

NGUYỄN THỊ BÍCH SINH

Tìm thiết diện của hình chóp tam giác và mặt phẳng

Phương pháp : Xác định thiết diện bằng cách kéo dài các giao tuyến.
Ví dụ: Cho tứ diện ABCD. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB,
BC. Trên đường thẳng CD, lấy điểm M nằm giữa CD, sao cho KM
không song song với BD. Tìm thiết diện của tứ diện với (HKM).
Giải:

Ta có HK và KM lần lượt là đoạn giao tuyến của (HKM) với (ABC)
và (HKM) với (BCD),
Trong (BCD), gọi L = KM ∩ BD,
Trong (ABD), gọi N = AD ∩ HL,
Vậy thiết diện là tứ giác HKMN.

9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.1.4

NGUYỄN THỊ BÍCH SINH

Chứng minh hai đường thẳng a và b song song

Phương Pháp: Sử dụng một trong các cách sau:
• Chứng minh a và b đồng phẳng và không có điểm chung.
• Chứng minh a và b phân biệt và cùng song song với đường thẳng
thứ ba.

• Chứng minh a và b đồng phẳng và áp dụng các tính chất của
hình học phẳng (cạnh đối của hình bình hành, định lý Talet,...).
• Sử dụng các định lý.
• Chứng minh bằng phản chứng.
Ví dụ: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của ∆ABC
và ∆ABD. Chứng minh: IJ // CD.
Giải:

Gọi E là trung điểm của AB.
Vì I ∈ CE và I ∈ DE nên IJ và CD đồng phẳng.
EI
EI
1
Do đó
=
= (tính chất trọng tâm)
EJ
ED
3
Vậy IJ // CD.
10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.1.5

NGUYỄN THỊ BÍCH SINH

Đường thẳng song song mặt phẳng

Phương pháp: Chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P).


d ⊂ (α) 


d//(α)

=⇒ d // (α)




a ⊂ (α) 
Ví dụ : Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh CD lấy trung điểm I. M,
N lần lượt là trung điểm của AI và BI. Chứng minh: MN // (ABC)
và MN // (ABD)
Giải:

Trong ∆ABD, vì M là trung điểm cảu AI và N là trung điểm của BI
nên MN là đường trung bình của ∆ABI,
suy ra MN // AB.
Do MN // AB và MN ⊂ (ABC) nên MN // (ABC).
Tương tự MN // AB và MN ⊂ (ABD) nên MN // (ABD).

11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.1.6

NGUYỄN THỊ BÍCH SINH

Hai mặt phẳng song song

Phương pháp: Chứng minh (α) // (β) . Sử dụng các cách sau:



a ⊂ (α), b ⊂ (α) 


=⇒ (α) // (β)
a∩b=M



a//(β), b//(β) 



a ⊂ (α), b ⊂ (α) 







a∩b=M


=⇒ (α) // (β)
c ⊂ (β), d ⊂ (β)





c∩d=N





a//c, b//d

12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ BÍCH SINH

Ví dụ: Cho tứ diện ABCD. Gọi G1 , G2 G3 lần lượt là trọng tâm của
∆ABC, ∆ ACD, ∆ADB. CM: (G1 G2 G3 ) // (BCD)
Giải:

Gọi M, N, L lần lượt là trung điểm của BC, CD, BD.

AG1 AG2 AG3 2
Ta có
=
=
=
AM AN AL 3
Suy ra G1 G2 // MN, G2 G3 // NL, G3 G1 // LM,
suy ra(G1 G2 G3 ) // (BCD).
Vậy (G1 G2 G3 ) // (BCD).

13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2
1.2.1

NGUYỄN THỊ BÍCH SINH

QUAN HỆ VUÔNG GÓC
Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Phương pháp: Tathường sử dụng định lí sau

a ⊂ (P ), b ⊂ (P ) 


=⇒ d ⊥ (P)
a∩b





d⊥a, d⊥b
Ví dụ: Cho hình chóp SABC có đáy ∆ ABC là tam giác vuông tại C,
SA ⊥ (ABC). Gọi E là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Chứng
minh BC ⊥ (SAC) và AE ⊥ (SBC).
Giải:

Vì BC ⊥ AC và BC ⊥ SA nên BC ⊥ (SAC).
Vì BC ⊥ (SAC) và AE ⊂ (SAC) nên BC ⊥ AE,
mặt khác SC ⊥ AE,
suy ra AE ⊥ (SBC).

14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2.2

NGUYỄN THỊ BÍCH SINH

Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Phương pháp: Sử dụng định lí
d⊥(P )





=⇒ d ⊥ a

∀a ⊂ (P ) 
Ví dụ : Cho tứ diện SABC có ∆ABC vuông tại B; SA ⊥ (ABC).
Gọi AH là đường cao của ∆SAB. Chứng minh AH ⊥ SC.
Giải:

Vì BC ⊥ AB và BC ⊥ SA nên BC ⊥ (SAB),
suy ra BC ⊥ AH.
Vì BC ⊥ AH và SB ⊥ AH nên AH ⊥ (SBC),
suy ra AH ⊥ SC.

15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2.3

NGUYỄN THỊ BÍCH SINH

Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

Phương pháp: Sử dụng định lí


d⊥(P ) 
=⇒ (P) ⊥ (Q)


d ⊂ (Q)
Ví dụ: Cho hình chóp SABC có đáy ∆ABC là tam giác đều. Gọi I là
trung điểm của BC, D là điểm đối xứng với A qua I, SD ⊥ (ABC).
Chứng minh: (SBC) ⊥ (SAD).
Giải:
Trong tứ giác ABDC, vì AD và BC cắt nhau
tại trung điểm mỗi đường nên ABDC là hình
bình hành, mà AB = DC,
suy ra ABDC là hình thoi.
Suy ra AD ⊥ BC,
mặt khác SD ⊥ BC, suy ra BC ⊥ (SAD).
Mà BC ⊂ (SBC), vậy (SBC) ⊥ (SAD).

16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.3
1.3.1

NGUYỄN THỊ BÍCH SINH

CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC
Góc giữa hai đường thẳng

Phương pháp xác định góc giữa đường
thẳng a và b chéo nhau
Cách 1: (a, b) = (a’, b’) trong đó a’, b’ là hai

đường thẳng cắt nhau và lần lượt song song với
a và b. Tức là, chọn ra hai đường thẳng cắt nhau và lần lượt song
song với a và b.
Cách 2: (a, b) = (a, b’) trong đó b’ là đường thẳng cắt đường thẳng
a và song song với b. Tức là chọn trên a (hoặc b) một điểm A rồi từ
đó chọn một đường thẳng qua A và song song với b (hoặc a).
Ví dụ: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2a. Gọi M, N lần lượt là
√
trung điểm của BC, AD. MN = a 3. Tính góc giữa hai đường thẳng
AB và CD.

17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ BÍCH SINH

Giải:

Gọi I là trung điểm của BD,
Vì IN // AC và IM // CD
nên (AB, CD) = (IM, IN).
Trong ∆IMN có IM = IN = a, MN =
1
do đó cosM IN = ,
2
suy ra M IN = 120o .

√

3,

Vậy (AB, CD) = 180o - 120o = 60o
Các điểm cần chú ý khi giải thí dụ trên
- Việc tìm góc giữa hai đường thẳng AB và CD thông qua góc giữa
√
hai đường thẳng IM và IN nhờ vào giả thiết MN = a 3.
- Một số em đồng
 nhất (IM, IN) = M IN là chưa chính xác
M IN
mà (IM,IN) = 
180o − M IN

18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.3.2

NGUYỄN THỊ BÍCH SINH

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cách xác định góc giữa (d) và (P)

• Lấy N ∈ (d) và N ∈ (P),
• Qua N kẻ một đường thẳng
vuông góc với (P) cắt (P) tại H,

• (d) ∩ (P) = M,
Khi đó N M H chính là góc giữa (d) và (P).

19


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ BÍCH SINH

Ví dụ 1: Cho hình chóp SABC: SA ⊥ (d). SA = a. ∆ABC đều cạnh
2a. Tính (SA, SBC).
Giải:

Lấy K là trung điểm của BC, suy ra AK ⊥ BC (do ∆ABC đều)
Tạ AH ⊥ SK.
Vì SA ⊥ BC và AK ⊥ BC nên BC ⊥ AC.
Mặt khác, SK ⊥ AH,
suy ra AH ⊥ (SBC).
Vậy góc giữa SA và (SBC) là SAH và SAK.
√
Do ∆ABC đều cạnh a, suy ra AK = a 3.
√
AK
Trong ∆SAK vuông tại A, tanASK =
= 3.
SA
o
Vậy góc giữa SA và (SBC) là 60 .

20