Rút gọn biểu thức trên tập số phức và một số dạng bài tập liên quan

Khóa học số phức ôn thi đại học

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Học viên: Vũ Thanh Hà

BÀI GIẢNG SỐ 01. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ PHỨC
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Tập các số phức


2
| , , 1
C z a bi a b R i
     

Mỗi số phức có dạng:
 
z a bi
. Trong đó a là phần thực, b là phần ảo của số phức.
Số đối của số phức
 
z a bi
là số phức
   
z a bi

Môđun của số phức
 
z a bi
là
2 2

 
z a b
.
Số phức nghịch đảo của số phức
 
z a bi
là số phức
1
2
1


z z
z

Các phép toán về số phức: Cho hai số phức
Các phép toán: Cho hai số phức
 
z a bi
và
 
z' a' b' i.
Khi đó
Hai số phức bằng nhau:


   




a a'
a bi a' b' i
b b'

Phép cộng:
    
z z' (a a') (b b')i

Phép trừ:
    
z z' (a a') (b b')i

Phép nhân:
   
z.z' (aa' bb') (ab' ba')i

Phép chia:




2 2
a' b' i a bi
z' a' b' i

z a bi
a b
 

  




Các tính chất:
Môđun của số phức có tính chất là

z.z' z . z'

  
z z' z z'

 

 
 
z' z'
z
z


z'
z'
z z

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tìm phần thực và phần ảo của số phức
Phương pháp: Dùng các phép toán về số phức rút gọn biểu thức đã cho về dạng
a bi

.

Khóa học số phức ôn thi đại học

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Học viên: Vũ Thanh Hà

Ví dụ 1: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức z thỏa mãn điều kiện sau:
a)
2
( 2 ) (1 2 )
z i i
  

b)


3
2
1 2
i
z
i




c)
3 2

1
 
 

i i
z
i i

Giải
a)
2
( 2 ) (1 2 )
z i i
  





2
2 2 2 . 1 2
i i i
   




2 2 2 1 . 1 2
i i
   





1 2 2 . 1 2
i i
  

2
1 2 2 2 4
i i i
   


1 2 2 2 4
i
   


5 2 2 2
i
  



5 2 2 2
z i
   

Vậy số phức

z
có phần thực là
5
, phần ảo là
2 2 2


b)


3
2
1 2
i
z
i








   







3 2
2 1 2 2 . 1 2 . 2
3
1 2 . 1 2
i i i i i
i i
    
 
 




2 3 2 . 2 2 2 1
3
i i
   

 


3 . 1 2 2
3
i i
 

2
3 6 2 3 6 2
2 2

3 3
i i i
i
   
    

2 2
z i
   


Vậy số phức
z
có phần thực là
2 2
 , phần ảo là
1

c)
3 2
1
 
 

i i
z
i i

Khóa học số phức ôn thi đại học

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Học viên: Vũ Thanh Hà



 
   


2
2 2
3 . 1 2 .
3 3 1 2
1 . 1 1 1
i i i i
i i i i
i i i i
  
   
   
  







3 1 3 1 3 1 3 1 2. 2 1
2 1

2 1 2
i i i
i
       

  


3 3 2 2 3 1
3 3 2 2 3 1
2 2 2
i
i
   
  
  
Vậy số phức
z
có phần thực là
3 3
2

, phần ảo là
2 2 3 1
2
 

Ví dụ 2: Tìm k để bình phương của số phức
9
1

k i
z
i



là số thực.
Giải
Ta có:
9
1
k i
z
i





2
2
2
2
2
18 81 .
9 18 81
1 2 2
k ki i
k i k ki
z

i i i
 
  
 
   
 
  
 

2
18 81
2
k i k i
 



2
81
9
2
k i
k

  
Để
2
z
là số thực thì phần ảo bằng 0 hay
2

2
81
0 81 0 9
2
k
k k

      

Dạng 2: Tìm modun của số phức
Phương pháp: Dùng các phép toán về số phức để rút gọn biểu thức đã cho về dạng
a bi

và dùng công
thức modun để tính.
Ví dụ 3: Tìm modun của số phức
z iz

thỏa mãn điều kiện sau:
2
(1 3 )
1
i
z
i




Giải

Ta có:
2
(1 3 )
1
i
z
i





 
   
2 2 3 . 1
1 2 3 3 2 2 3
1 1 1 . 1
i i
i i
i i i i
  
   
  
   



2 3 2 2 1 3
2 2 2 3 2 3
2 2

i
i i
  
   
 


3 1 1 3
i
   



3 1 1 3
z i
    

Khóa học số phức ôn thi đại học

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Học viên: Vũ Thanh Hà

z iz
 




3 1 1 3 3 1 1 3
i i       

2 2
i
  

   
2 2
2 2 8 2 2
z iz       
Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn
2
6 13 0.
z z
  
Tính modun
6
z
z i



Giải
Ta có:
2
6 13 0.
z z
  

2
' 9 13 4 4 ' 2
i i

         

3 2
z i
  


Với
3 2
z i
 

6 6 2
3 2 3 2
3 3 1
z i i
z i i i
      
  



2 1
3 2
2
i
i

  
3 2 1 4

i i i
     

2 2
6
4 1 17
z
z i
    



Với
3 2
z i
 


6 3
6 6
3 2 3 2
3 10
i
z i i
z i i

       
 



3 3
3 2
5
i
i

  


3 3
15 10 9 3 24 7 24 7
3 2
5 5 5 5 5
i
i i i
i i

   
      

2 2
6 24 7 625
25 5
5 5 25
z
z i
   
       
   


   

Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức, chứng minh đẳng thức
Phương pháp: Sử dụng các phép toán về số phức và một số công thức đặc biệt dưới đây
2 2 1 2
( 1) ; ( 1) ; (1 ) 2 ;
n n n n
i i i i i

      

Ví dụ 5: Tính giá trị của các biểu thức sau đây
a)
33
10
1 1
2 3 2 3 1
1

 
      
 

 
i
z ( i )( i ) ( i )
i i

Khóa học số phức ôn thi đại học

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Học viên: Vũ Thanh Hà

b)
2 20
1 1 1 1       
z ( i ) ( i ) ( i )

Giải
a)
33
10
1 1
2 3 2 3 1
1

 
      
 

 
i
z ( i )( i ) ( i )
i i

 
  
 
33
5

2
2
2
1 1
1
4 9 1
1
i i
i i
i
i
 
 
 
     
 
 

 
 


 
33
5
1 2
4 9 2
2
i
i i

 
     
 

 
33
5
1 1
13 32i
i i
 
    
 
 

1 1
13 32
i
i i
   

13 32
i
 

b)
2 20
1 1 1 1       
z ( i ) ( i ) ( i )

Ta nhận thấy z là cấp số nhân với
1
1, 1 , 21
u q i n
   

   
21 21
1
1 1 1 1
1
1 1
1
n
n
i i
q
z S u
q i i
   

       
 


       
10
10
1 2 1 1 1024 1 1 1024 1
1 1 1

i i i i i
i i i
     
     
1025 1024 1025 1024
1 1 1025 1023
1
i i
i
i
 
     


1023 1025
i
  

Ví dụ 6: Cho số phức z thỏa mãn
11 8
1 2
.
1 1
i i
iz
i i

   
 
   

 
   
Tính modun của số phức
z iz


Giải

Ta có:
 
8
11 8 11
2 1
1 2 1
1 1 2
i i
i i
iz
i i i
 


     
    
 
     
 
     
 
 

 
8
11
1
1
i i
i
   
Khóa học số phức ôn thi đại học

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Học viên: Vũ Thanh Hà

   
8 4
8
2
1 1 1
. 1 2 16 16 16
i
i i i i
i i i i
           


16
1 1 16
z i
i
    


1 16
z i
  

   
2 2
17 17 17 2
z iz      



1 16 1 16 1 16 16 17 17
z iz i i i i i i
              
   
2 2
17 17 17 2
z iz      
Dạng 4: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước
Phương pháp: Dựa vào tính chất hai số phức bằng nhau để thiết lập điều kiện cho phần thực và phần ảo của số
phức z. Từ đó giải hệ để tìm ra a, b.
Ví dụ 7: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện
2
2,
z z
 là số thuần ảo.
Giải
Gọi số phức z cần tìm có dạng:
z a bi

 

Có:
2 2 2 2
2 2 2
z a b a b
      
(1)
Có :
2 2 2
2
z a b abi
  

Vì
2
z
là số thuần ảo nên
2 2
0
a b
 
(2)
Từ (1) và (2)
2 2 2
2 2 2
2 1 1
1
0 1
a b a a

b
a b b
 
    

 
  
  
 
  
 

 

Vậy số phức
z
cần tìm là:
1 , 1
z i z i
    

Bình luận: Số ảo là số có dạng
( 0)
a bi b
 
. Số thuần ảo là số có dạng
( 0).
bi b


Ví dụ 8: Cho số phức
z
thỏa mãn điều kiện
1
2
z
i
z
z
 


 


. Tìm số phức liên hợp của z.
Giải
Gọi số phức z có dạng:
z a bi
 
2 2 2 2
1 1
z a b a b
      

Có:


3 2 2 3
2 2 2 2

i a bi
i i a ab a bi b i ai b
z a bi a bi
z a bi a b a b

    
       
  

Khóa học số phức ôn thi đại học

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Học viên: Vũ Thanh Hà

3 2 2 3 3 2 2 3
2 2 2 2 2 2
( ) ( )
a ab b a b b a i a ab b a b b a i
a b a b a b
        
  
  





2 2
2 2
2 2 2 2

b a b a i
a a b b
a b a b
 
 
 
 
 
 

Vì
2 2
a b

= 1
 
i
z a b a b i
z
     
   
 
2 2
2 2
2 2 2(1 2 )
i
z a b a b a b ab ab
z
          
Mặt khác

2
i
z
z
 
. Do đó:
   
1
2 1 2 2 2 1 2 4 1 2 2
2
ab ab ab ab
         

Vậy ta có
2 2
2
4 2
2
1
1
1
2
2
1
1
1
4 4 1 0
2
4
a

a b
a
b
b
ab
b
b b
b


 
 


  
 
  

  
 
  
 


2
1
2
2
2
1

2
2
2
b b
a
a
b


  


 
 
 
 

 





2 2 2 2
,
2 2 2 2
z i z i
     
Vậy số phức liên hợp của
z

là
2 2 2 2
,
2 2 2 2
z i z i
    

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tìm phần thực của số phức z = (1 + i)
n
, biết rằng n  N thỏa mãn phương trình
log
4
(n – 3) + log
4
(n + 9) = 3
ĐS: phần thực a = 8
Bài 2: Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau
a)
   
2 2
1 1
   
z i i
b)
   
3 3
2 3
   
z i i

c)
7
7
1 1
2
 
 
 
 
z i
i
i
d)
3 2
1
 
 

i i
z
i i

ĐS: a)
4

z i
b)
16 37
  

z i
c)
1
 
z
d)
3 3 2 2 3 1
2 2
  
 
z i

Bài 3: Cho số phức
 
z a bi
. Tìm phần thực và phần ảo của số phức
a)
2
2 4
 
z z i
b)
1


z i
iz

Khóa học số phức ôn thi đại học

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Học viên: Vũ Thanh Hà

ĐS: a)


 
2 2
2 2 2
    
a a b ab b i
b)
2 2
2 2 2 2
2 1
1 1
ab a b
i
a (b ) a (b )
   

   

Bài 4:Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = a + bi
1. Xác định phần ảo của số phức z, biết
1
1 2
z i

 

2. Xác định phần thực, phần ảo của số phức
     
3
2 2 3 2 5 4 2 3
z i i i i
     
3. Xác định phần thực, phần ảo của số phức
3
1 3
1
i
z
i
 


 
 

 

ĐS: 1) b =
2
a
2) a = 88, b = -59 3) a = b = 2
Bài 5: Tính toán rồi tìm phần thực và phần ảo của số phức z:
1.
2 2010
1
z i i i

    

ĐS: a = 2, b = 0
2.
    
2011
2 3 1 1z i i i    
ĐS: a =
1005
2 2
 
, b = 3
Bài 6: Tìm môđun của số phức
1. Tìm môđun của số phức z, biết


2
2 3
1
2
i z
i
i
z
z


  

ĐS:

1
z


2. Cho các số phức
 
 
3
3
1 2
1 2 1
4 3 1 ,
1
i i
z i i z
i
  
    

. Tính môđun của số phức
1 2
.
z z z

ĐS:
z

725
2

Bài 7:Cho
1 2
,
z z C

, sao cho
1 2 1 2
3; 1
z z z z
   
. Tính
1 2
z z


ĐS:
1 2
z z

= 1
Bài 8:Xét số phức
 
,
1 2
i m
z m R
m m i

 
 

. Tìm m để
1
.
2
z z


ĐS:
1
m
 

Bài 9: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện:
Khóa học số phức ôn thi đại học

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Học viên: Vũ Thanh Hà

1.
2 2
z z i
  
và
2
2
z i
z


là số thuần ảo

ĐS: không có z thỏa mãn
2.
2 2
z i
  
, biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị.
ĐS:
4
z i
 