Bồi dưỡng Toán 9 (đề 20)

ĐÁP ÁN ĐỀ 20
Bài 1: Cho a, b, c là các số thực phân biệt sao cho các phương trình x
2
+ ax + 1= 0 và
x
2
+ bx + c = 0 có nghiệm chung, đồng thời các phương trình x
2
+ x + a = 0 và x
2
+ cx
+ b = 0 cũng có nghiệm chung. Hãy tìm tổng a + b + c.
Lời giải:
Gọi x
1
là nghiệm chung của các phương trình x
2
+ ax + 1= 0 và x
2
+ bx + c = 0.
Ta có: x
1
2
+ ax
1
+ 1= 0 và x
1
2
+ bx
1
+ c = 0. Trừ vế theo vế hai đẳng thức trên, ta được:

(a – b)x
1
+1 – c = 0. Hay là: (1)
Gọi x
2
là nghiệm chung của các phương trình: x
2
+ x + a = 0 và x
2
+ cx + b = 0.
Lý luận tương tự như trường hợp đầu, ta có: (c–1)x
2
+ b – a =0.
Vì nên và khi đó (2)
Từ (1) và (2) suy ra x
1
x
2
= 1.
Vì x
1
là nghiệm của phương trình x
2
+ ax + 1= 0 nên x
2
là nghiệm còn lại của phương
trình trên x
2
2
+ ax

2
+ 1 =0. (3)
Lại vì x
2
là nghiệm của phương trình x
2
+ x + a = 0 nên x
2
2
+ x
2
+ a = 0. (4)
Vế trừ vế hai đẳng thức (3) và (4) ta được: (a – 1)(x
2
– 1) = 0. (5)
Dễ dàng nhận thấy vì với a = 1, phương trình x
2
+ ax + 1 = 0 không có nghiệm
thực. Do đó từ (5) suy ra x
2
= 1.
Vì x
2
là nghiệm của phương trình x
2
+ x + a = 0 nên a + 2 = 0. (6)
Vì x
2
là nghiệm của phương trình x
2

+ cx + b = 0 nên b + c + 1 = 0 (7)
Từ (6) và (7), cộng vế theo vế ta được a + b + c + 3 =0, hay là a + b + c = –3
Vậy a + b + c = –3
Bài 2: Cho 3 số thực x, y, z đều lớn hơn 2 và thỏa mãn điều kiện:
Chứng minh rằng: (x–2)(y–2)(z–2) ≤1. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Lời giải:
Đặt , , . Từ giả thiết ban đầu của bài toán, ta suy ra:
, , và a + b + c =1.
Ta có: (x–2)(y–2)(z–2) ≤1
(1 – 2a)(1 – 2b)(1 – 2c) abc
(a+b+c–2a)(a+b+c–2b)(a+b+c–2c) abc
(b+c–a)(c+a–b)(a+b–c) abc (1)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương, ta có:
2a = (c+a–b) + (a+b–c) 2
a (2)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (c+a–b) = (a+b–c) b = c.
Lý luận tương tự, ta có:
b (3)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = c
c (4)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
Nhân vế theo vế các bất đẳng thức (2), (3), (4) ta được bất đẳng thức (1). Suy ra
ĐPCM.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = x = y = z = 3
Bài 3: Cho a > c, b > d. Chứng minh rằng: (a + b + c + d)
2
> 8(ad + bc)
Lời giải:
Ta có:
(a + b + c + d)

2
– 8(ad + bc) =
(a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
) + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd – 8(ad + bc)
= 4(ab + cd – ad – bc) + (a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
–2ab – 2cd –2ad – 2bc + 2ac + 2bd)
= 4(a – c)(b – d) + (a + c – b – d)
2
> 0
ĐPCM.
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD, M là điểm nằm trong hình bình hành sao cho
AMB + CMD = 180
0
. Chứng minh rằng: MAD = MCD
Lời giải:
Qua M kẻ đường thẳng (d) song song với AD và lấy trên (d) điểm N sao cho:

MN = AD = BC. Dễ dàng chứng minh được tứ giác ADMN và tứ giác BCMN là hình
bình hành.
NA = MD và NB = MC
MCD = NAB (cạnh, cạnh, cạnh)
ANB = CMD
ANB + AMB = CMD + AMB = 180
0
tứ giác AMBN là tứ giác nội tiếp
Ta có:
MCD = NBA (Do CMD = ANB) (1)
NBA = AMN (tứ giác AMBN là tứ giác nội tiếp) (2)
AMN = MAD (So le trong) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra: MCD = MAD. ĐPCM.