Sáng kiến kinh nghiệm: Một số chủ đề tự chọn Toán 9

Một số của đề tự chọn môn Tóan lớp 9
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
LỜI NÓI ĐẦU
Tõ nh÷ng n¨m ®Çu cđa thËp kØ 90, vÊn ®Ị ®ỉi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc trong nhµ trêng phỉ
th«ng ë níc ta ®ỵc d ln x· héi vµ c¸c c¸n bé gi¸o viªn trong ngµnh gi¸o dơc quan t©m rÊt nhiỊu .
Vµi n¨m gÇn ®©y , viƯc ®ỉi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc theo tinh thÇn "lÊy häc sinh lµm
trung t©m" ®· ®ỵc thùc hiƯn réng r·i kh¾p c¸c tØnh, thµnh trong tÊt c¶ c¸c cÊp häc phỉ th«ng c¶ níc
. H¬n n÷a, viƯc ®ỉi míi ch¬ng tr×nh-SGK hiƯn nay lµ mét cc "c¸ch m¹ng" ,®ßi hái gi¸o viªn ph¶i
cã sù ®ỉi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc .
Mét trong nh÷ng ®Þnh híng quan träng cđa viƯc ®ỉi míi hiƯn nay lµ : T¨ng cêng h¬n n÷a tÝnh
"ph©n hãa" trong häc sinh . ViƯc d¹y häc m«n häc tù chän (tríc ®©y)vµ c¸c chđ ®Ị tù chän (hiƯn
nay)lµ mét trong nh÷ng biƯn ph¸p h÷u hiƯu thĨ hiƯn râ ®Þnh híng nµy .
B¾t ®Çu tµ n¨m häc 2002-2003 Bé GD&§T ®· híng dÉn thùc hiƯn DHTC cho mét sè m«n
häc thc khèi líp 8 vµ 9 (2 tiÕt /tn). N¨m häc 2006-2007 viƯc d¹y häc c¸c chđ ®Ị tù chän ®· ®ỵc
triĨn khai ®¹i trµ cho tÊt c¶ c¸c khèi líp tõ 6 ®Õn 9. Nh vËy ,viƯc d¹y häc tù chän ®· mang tÝnh ph¸p
quy.
Th«ng qua c¸c tiÕt d¹y häc C§TC , gi¸o viªn sÏ cã thªm ®iỊu kiƯn ®Ĩ ®ỉi míi ph¬ng ph¸p
gi¶ng d¹y, tÝch lòy , trau dåi thªm chuyªn m«n nghiƯp vơ ...MỈt kh¸c,còng th«ng qua c¸c tiÕt d¹y mµ
ph¸t hiƯn ra nh÷ng häc sinh cã n¨ng khiÕu ®ång thêi gióp häc sinh kh¾c phơc ®ỵc nh÷ng thiÕu sãt cđa
m×nh trong qu¸ tr×nh häc tãan....Häc sinh cã ®iỊu kiƯn cđng cè kiÕn thøc , ph¸t huy kh¶ n¨ng ,n¨ng
khiÕu cđa b¶n th©n vỊ m«n häc .
Trªn c¬ së ®Ỉc ®iĨm ch¬ng tr×nh tãan THCS , qua thùc tiƠn gi¶ng d¹y mét sè n¨m .B¶n th©n
t«i ®· ®óc kÕt ®ỵc mét sè kinh nghiƯm khi d¹y vµ «n tËp cho häc sinh líp 9 .Víi mơc ®Ých h×nh thµnh
trong nhµ trêng mét sè vÊn ®Ị vµ c¸c chđ ®Ị tù chän & ®Ĩ trao ®ỉi cïng c¸c ®ång nghiƯp . T«i tiÕn
hµnh tỉng hỵp vµ biªn so¹n mét sè chđ ®Ị Tãan 9 gåm :
*Chđ ®Ị 1: C¨n thøc bËc hai.
*Chđ ®Ị 2: HƯ ph¬ng tr×nh .
*Chđ ®Ị 3: Ph¬ng tr×nh bËc hai.
*Chđ ®Ị 4: Hµm sè vµ ®å thÞ .
*Chđ ®Ị 5: TiÕp tun cđa ®êng trßn.
*Chđ ®Ị 6: Tø gi¸c néi tiÕp .

Mçi néi dung kiÕn thøc ®Ị cã c¸c vÝ dơ vµ bµi tËp c¬ b¶n b¸m s¸t ch¬ng tr×nh vµ chia thµnh d¹ng phï
hỵp víi nhiỊu ®èi tỵng häc sinh(cã nhiỊu néi dung n©ng cao) .c¸c bµi tËp vµ vÝ
dơ chđ u ®ỵc sư dơng trong SGK thc ch¬ng tr×nh cò(c¸ nh©n ®· tõng ¸p
dơng) .
MỈc dï ®· cã nhiỊu cè g¾ng trong qu¸ tr×nh thùc hiƯn ,song cã lÏ kh«ng
thĨ tr¸nh khái nh÷ng sai sãt . T«i rÊt mong nhËn ®ỵc sù đng hé ,gãp ý cđa c¸c
thÇy c« vµ c¸c b¹n ®ång nghiƯp ®Ĩ sím cã thĨ hoµn thiƯn h¬n
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Người biên soạn : Trần Quốc Toản
1
Một số của đề tự chọn môn Tóan lớp 9
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CH Ủ Đ Ề 1:
CĂN BẬC HAI: CÁC PHÉP TÍNH & BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC CHỨA CBH
A.TĨM TẮT KIẾN THỨC, VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP CƠ BẢN
* Để phân tích một đa thức thành nhân tử ta có thể sử dụng riêng rẽ hoặc phối hợp các
phương pháp: Đặt nhân tử chung; Áp dụng các hằng đẳng thức ;Nhóm, tách,them bớt
cùng một hạnh tử; Sử dụng nghiệm của đa thức hoặc dùng sơ đồ Hoocne,...
1. Phương pháp dặt nhân tử chung :
Ví dụ 1: 14a
3
b - 7a
2
b
2
+ 35ab
3
= 7ab.2a
2
- 7ab.ab+ 7ab.5b

2
= 7ab(2a
2
- ab +5b
2
)
Ví dụ 2: x
3
+ x
2
+x+1 = x
2
(x+1)+x+1 = (x+1)((x
2
+1)
2. Phương pháp sử dụng hằng đẳng thức :
Ví dụ 1: a
2
-1 +b
2
+2ab = a
2
+b
2
+2ab -1 = (a +b)
2
-1 = (a +b-1)(a +b+1)
Ví dụ 2: (x+y)
3
- (x-y)

3
= [ (x+y) - (x-y)][(x+y)
2
+ (x+y)(x-y) + (x-y)
2
]
= 2y(x
2
+y
2
+2xy +x
2
- y
2
+

x
2
+y
2
-2xy )
= 2y(3x
2
+y
2
)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Người biên soạn : Trần Quốc Toản
2
VẤN ĐỀ 1: Nhắc lại một số phương pháp

phân tích đa thức thành nhân tử
Một số của đề tự chọn môn Tóan lớp 9
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3. Phương pháp nhóm các số hạng :
Ví dụ 1: phân tích thành nhân tử đa thức : x
2
+y+xy+x
C1: Ta có : x
2
+y+xy+x = (x
2
+x) + (y+xy) = x(x+1) +y (x+1) =(x+1) (x+y)
C2: Ta có : x
2
+y+xy+x = (x
2
+xy)+(y+x) = x(x+y) +(y +x)=(x+1) (x+y)
Ví dụ 2: ax
2
+ ay
2
-bx
2
-by
2
+b - a = (ax
2
-bx
2
) +(ay

2
- by
2
) +b - a
= x
2
(a -b) +y
2
(a

- b) -(a - b) =(a

- b)(x
2
+y
2
-1)
4. Phương pháp tách hạng tử:
Ví dụ : x
2
- 6x + 5
C1: x
2
- 6x + 5 = x
2
- x - 5x + 5 = x(x-1)- 5(x-1) =(x-1)(x -5)
C2: x
2
- 6x + 5 = x
2

- 1 - 6x + 6 = (x -1)(x +1)- 6(x-1) =(x-1)(x +1-6) =(x-1)(x -5)
C3: x
2
- 6x + 5 = 6x
2
- 6x - 5x
2
+ 5 = 6x(x-1)- 5(x
2
-1) = 6x(x-1)- 5(x -1)(x +1)
= (x-1)[6x - 5(x +1)] = (x-1)(x -5)
C4: x
2
- 6x + 5 = x
2
- 6x +9 - 4 = (x-3)
2
- 2
2
= [(x-3)-2][(x-3)+2] = (x-1)(x -5)

* Còn một số cách tách khác nữa , xin mời bạn đọc .
5. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử :
Ví dụ 1: x
5
+ x + 1 = x
5
+ x
2
- x

2
+ x + 1 = x
2
(x
3
-1) + (x
2
+ x + 1)
= x
2
(x - 1)(x
2
+ x + 1) +(x
2
+ x + 1) = (x
2
+ x + 1)[x
2
(x - 1)+1]
= (x
2
+ x + 1)(x
3
- x
2
+ 1)
Ví dụ 2: x
4
+ 64 = (x
2

)
2
+ 8
2
= (x
2
)
2
+2.x
2
.8 + 8
2
- 16x
2
= (x
2
+ 8)
2
- (4x)
2
= (x
2
- 4x + 8 )(x
2
+ 4x +8)
6. Phương pháp dùng nghiệm của đa thức :
Giả sử đa thức f
(x)
có một nghiệm x= a thì (x - a) là một nhân tử và ta có :
f

(x)
=(x - a).g(
x)
. Trong đó: g(
x)
là thương của phép chia đa thức f
(x)
cho (x - a)
Ví dụ :Đa thức x
3
+ 2x + 3 có một nghiệm là -1 nên một nhân tử của tích là :
x- (-1) = x + 1. Ta có :(x
3
+ 2x + 3) : (x + 1) = x
2
-x + 3
Vậy :x
3
+ 2x + 3 = (x + 1)(x
2
-x + 3)
7. PP sử dụng sơ đồ hoócne :
Cho đa thức: f
(x)
= a
n
x
n
+ a
n-1

x
n-1
+ a
n-2
x
n-2
+…..+ a
1
x + a
0
và nhò thức x -
α
. Ta luôn viết được : f
(x)
=
P
(x)
(x -
α
) + r
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Người biên soạn : Trần Quốc Toản
3
Một số của đề tự chọn môn Tóan lớp 9
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bằng cách sử dụng sơ đồ hoócne:
a
n
a
n-1

a
n-2
…….. a
1
a
0
α
b
n
= a
n
b
n-1
=
α
b
n
+ a
n-1
b
n-2
=
α
b
n-1
+ a
n-2
…….. b
1
=

α
b
2
+ a
1
b
0
=
α
b
1
+ a
0
Với P
(x)
= b
n
x
n-1
+ b
n-1
x
n-2
+ b
n-2
x
n-3
+ …..+ b
2
x + b

1
và r = a
0
Rõ ràng , nếu r=0 , khi đó f
(x)
= P
(x)
(x -
α
)
Việc sử dụng sơ đồ hoócne thường áp dụng đối với các đa thức bậc cao (từ bậc 3 trở lên). Vấn
đề đặt ra là : Ta phải đóan được nghiệm của f
(x)
. Với chương trình THCS ta thường đóan nghiệm theo
các cách sau :
- Nếu đa thức f
(x)
có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là một nghiệm của f
(x)
. Do đó f
(x)
có thể viết : f
(x)
= (x - 1)P
(x)
.
- Nếu đa thức f
(x)
có tổng các hệ số của các số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các số
hạng bậc lẻ thì -1 là một nghiệm . Do đó f

(x)
có thể viết : f
(x)
= (x + 1)P
(x)
.
- Tuy nhiên trong một số trường hợp cụ thể thì cả hai cách đóan nghiệm như trên là không khả
thi . Khi đó , ta cần phải sử dụng đến cách thứ ba : Loại trừ các ước của hệ số tự do không là
nhiệm của f
(x)
, bằng cách : Nếu a là nghiệm nguyên của f
(x)
và f
(1) ,
f
(-1)
khác 0 thì
(1)
1
f
a −
va
( 1)
1
f
a
−
+
đều là số nguyên .
Ví dụ :

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử .
a) A
(x)
= x
3
– 5x
2
+8x – 4
b) B
(X)
= x
3
– 5x
2
+3x +9
c) C
(X)
= 4x
3
– 13x
2
+9x -18
Giải :
a) Tổng các hệ số của đa thức : 1 – 5 + 8 – 4 = 0 => x = 1 là một nghiệm của A
(X)
. Ta có sơ đồ
sau :
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Người biên soạn : Trần Quốc Toản
4

Một số của đề tự chọn môn Tóan lớp 9
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cách thực hiện :
+ Viết các hệ số của A
(x)
(các hêï số của đa thức được sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến ).
Ta đặt các hệ số của A
(x)
theo thứ tự trên và các cột ở dòng trên ( tà cột thứ hai ) .
+ Ở dòng thứ hai , cột đầu tiên là một nghiệm , ba cột tiếp theo là các hệ số tương ứng của đa thức
thương , cột cuối cùng cho ta số dư .
+ Kể từ cột thứ ba (dòng thứ hai) , mỗi số được xác đònh bằng cách : lấy
α
nhân với số cùng dòng
liền trước , cộng với số cùng cột ở dòng trên .
Sơ đồ :

α

Ta có thể viết : A
(x)
= (x – 1) (x
2
– 4x + 4) = (x – 1) (x – 2)
2
b) Tổng các số hệ số của số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các số hạng bậc lẻ : 9 +(-5)
= 1 + 3 = 4 => -1 là một nghiệm của B
(X)
. Tươmg tương tự , ta có sơ đồ Hoócne :
1 -5 3 9

-1 1 -6 9 0
Từ sơ đồ , ta có : B
(X)
= x
3
– 5x
2
+3x +9
= (x + 1) (x
2
– 6x + 9)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Người biên soạn : Trần Quốc Toản
1 -5 8 -4
α
=1 1 -4 4 0
5
x
x
+
+
x
x
+
+
Một số của đề tự chọn môn Tóan lớp 9
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
= (x + 1) (x – 3)
2
c)Với cách làm như trên , ta thấy :

Tổng các hệ số của đa thức : 4 -13 + 9 – 18 = -18 ≠ 0
Tổng các số hệ số của số hạng bậc chẵn của đa thức C(x) bằng: - 13 – 18
Tổng các số hệ số của số hạng bậc lẻ của đa thức C(x) bằng: 4 + 9
Rõ ràng: -13 – 18 ≠ 4 +9
Vậy với hai cách đoán nghiệm thông thường như trên không khả thi đối với đa thức này. Ta
sử dụng phương pháp loại trừ nghiệm như sau:
Xét: C(1) = 4 – 13 + 9 – 18 = -18 ≠ 0
C(-1) = -4 – 13 – 9 – 18 = -44 ≠ 0
Rõ ràng 1 và -1 không là nghiệm của C(x). Ta thấy:
18
3 1
−
− −
;
18
6 1
−
−
;
18
6 1
−
− −
;
18
9 1
−
−
;
18

9 1
−
− −
;
18
18 1
−
−
;
18
18 1
−
− −
không nguyên nên -3; 6; -6; 9; -9; 18; -18
không là nghiệm của C(x).Và
44
2 1
−
+
không nguyên nên 2 không là nghiệm của C(x). Chỉ còn -2 và
3. Kiểm tra thấy 3 là nghiệm của C(x).
Ta có sơ đồ hoócne:
4 -13 9 -18
3 4 -1 6 0
Theo sơ đồ Hoócne ta có:
C(x) = 4x
3
– 13x
2
+ 9x – 18

= (x – 3) (4x
2
– x + 6)
Nhận xét: Đối với các đa thức trên, nếu không sử dụng sơ đồ Hoócne vẫn phân tích được thành
nhân tử bằng cách sử dụng phương pháp tách nhóm hạng tử. Chẳng hạn:
A(x) = x
3
– 5x
2
+8x – 4
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Người biên soạn : Trần Quốc Toản
6
Một số của đề tự chọn môn Tóan lớp 9
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
= x
3
– 4x
2
+4x – x
2
+ 4x – 4
= ( x
3
– 4x
2
+4x ) – (x
2
– 4x + 4)
= x (x

2
– 4x + 4 ) – ( x – 2)
2
= x( x – 2)
2
– ( x – 2)
2
= (x – 1) (x – 2)
2
Bài tập vận dụng :
1. Tính nhanh :
a) 231,4 .14 - 140.13,14
b) (17
5
- 17
4
):4
2
2. CMR : n
3
+ 3n
2
+2n chia hết cho 3 ,
∀
n∈Z
3. Giải các phương trình :
a. (2x -3)
2
= (x + 5)
2

b. x
4
– 2x
3
+10x
2
- 20x = 0
c. x
2
(x-1) – 4x
2
+8x -4
4. Tính giá trị của biểu thức
A = 2x
2
+ 2y
2
-x
2
z + z - y
2
z - 2 ,Với x = y =1 ,z = -1
1. Nhắc lại một số tính chất của lũy thừa bậc hai :
+ a
2
≥ 0 ,∀a
+ a
2
>b

2
⇔|a|>|b|: Nếu a,b>0 Thì a
2
>b
2

⇔
a>b
Nếu a,b<0 Thì a
2
>b
2

⇔
a<b
+ a
2
= b
2
⇔ |a|=|b|⇔ a =± b
* Một số tính chất của bất đẳng thức :
Với 3 số a,b,c .Ta có :
* Nếu a ≥ b Thì : a + c ≥ b +c
* Nếu a ≤ b Thì : a + c ≤ b +c
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Người biên soạn : Trần Quốc Toản
7
VẤN ĐỀ 3: Căn thức bậc hai
Định nghĩa và các tính chất
{

0
≥
=
⇔
a
ba
{
0
2
≥
=
⇔
b
ba
Một số của đề tự chọn môn Tóan lớp 9
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
* Nếu a ≥ b Thì : ac ≥ bc (c ≥ 0)
* Nếu a ≥ b Thì : ac ≤ bc (c < 0)
* a ≥ b và b ≥ c thì a ≥ c
2. Căn bậc hai của một số :
* Định nhĩa : CBHSH của một số a≥0 là số x ≥0 sao cho a= x
2
,kí hiệu ;
a
Ta có :
Lưu ý :
+ a ≥ 0: có 2 CBH đối nhau là
a
(gọi là CBH dương của a hay CBHSH) và
-

a
(gọi là CBH âm của a)
+ Số âm khơng có căn bậc hai.
* Một số tính chất :
+
a
=
b
(hay b≥ 0)
+
a
<
b
⇔ a < b(a,b≥ 0)
+
a
=b
Lưu ý : +
2222
baba
+≠+
+ Khơng được viết:
525
±=
VÍ DỤ1:
a. Trong các số
2222
)3(;3;3;)3(
−−−−
CBHSH của 9 là ;

22
3;)3(
−

b.
49
=
2
7
=7 ;
10
1
10
1
100
1
01,0
2
===
;
5
2
5
2
25
4
2
2
==

c.
04,0
10
4
)
100
4
(
10000
16
0016,0
2
====
VÍ DỤ2: Tìm x, biết :
a. x
2
= 8
b.
21
=−
x
c.
21
2
=+
x
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Người biên soạn : Trần Quốc Toản
8
{

0
2
≥
=
⇔=
x
ax
xa
{
01
41
≥−
=−
x
x
{
1
5
≥
=
x
x
{
01
41
≥−
=−
x
x
{

1
5
≥
=
x
x
{
A
A
−
{
{



Một số của đề tự chọn môn Tóan lớp 9
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải :
a. Ta có: x
2
= 8 ⇔ x =
8
±
= ±
222.4
±=
b. Cách 1: Áp dụng tính chất:
a
=
b

,vì 2 =
4
=>
21
=−
x
⇔
41
=−
x
⇔ ⇔ ⇔ x =5
Cách 2: Áp dụng tính chất:
a
= b
Ta có:
21
=−
x
⇔ ⇔ ⇔ x =5
c.
2 2 2
x 1 2 x 1 2 x 1(Dox 1 1)+ = ⇔ + = ⇔ = ± + ≥

VÍ DỤ 3: So sánh
a. 4 và
15
; b.
47
và 7 ; c.
35

và
192
Giải:
Cách 1:
a. Ta có : 4 =
1516
>
=> 4 >
15

b. Tương tự : 7=
4749
>
=>7>
47
Cách 2: áp dụng tính chất a
2
>b
2

⇔
a>b (a,b>0 )
a. Ta có: 4
2
=16;
( )
1515
2
=
=> 4 >

15

b. Tương tự: 7
2
=49;
( )
4747
2
=
=> 7>
47
c. Ta có: (
35
)
2
= 5
3
(
192
)
2
= 2
19
Ta lại có :(5
3
)
2
= 75
(2
19

)
2
= 76
4.Điều kiện tồn tại
A
:
A
có nghĩa ⇔ A ≥ 0
Khơng phải bao giờ cũng có:
2
A
= A. Tổng qt, ta có :

2
A
=
A
=
* Một số tính chất : a,b ∈ IR
+  a ≥ a
∀
a
+  a = - a
+  a = b ⇔ hay
+ a = b ⇔[
+ X ≥ a ⇔ - a≥ X ≥ a
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Người biên soạn : Trần Quốc Toản
9
nếu A ≥ 0

nếu A < 0
a ≥ 0
a = b
a = b
a = - b
a < 0
-a = b
=>
35
<
192
{
Một số của đề tự chọn môn Tóan lớp 9
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
+ X ≤ a ⇔ - a≤ X ≤ a
VÍ DỤ 4: Với giá trị nào của a thì các căn thức sau có nghĩa ?
a.
2
a
; b.
a3
−
; c.
1
2
+
a
; d.
2
3 a

−
; e.
1
1
−
a
Giải:
a.
2
a
có nghĩa ⇔
0
2
≥
a
hay a ≥ 0
b.
a3
−
có nghĩa ⇔ -3a ≥ 0 hay a ≤ 0
c.
1
2
+
a
Vì a
2
+1 >0
∀
a nên

1
2
+
a
có nghĩa với
∀
a
d.
2
3 a
−
có nghĩa ⇔ 3 - a
2
≥ 0 ⇔ a
2
≤3⇔ -
3
≤a≤
3
e.
1
1
−
a
có nghĩa ⇔
1
1
−
a
>0 ⇔

1
−
a
>0 hay a>1
VÍ DỤ 5 :Tính
a. 2
2
a
,a ≥ 0 ; b.
2
3a
,a <0 ; c.
4
5 a
,a <0
d.
2
)21(
−
; e.
4
)32(
−
; f.
347
−
Giải :
a. Ta có :2
2
a

= 2 a = 2a (a ≥ 0 )
b. Ta có
2
3a
=
3
 a = -a
3
(a <0)
c. Ta có
4
5 a
=
22
)(5 a
= 5a
2
(a
2
≥ 0 ∀)
d.
2
)21(
−
=
21
−
= -(1-
2
) =

12
−
.Vì 1-
2
<0
e.
4
)32(
−
=
[ ]
2
2
)32(
−
=
2
)32(
−
f. Ta có
347
−
= 4-2.2
3
+3 =2
2
-2.2
3
+(
3

)
2
= (2-
3
)
2
=>
347
−
=
2
)3 -(2
=2-
3
(ví 2-
3
>0)
5.Bài tập
1.Tìm các giá trị khơng âm của x để:
xx
≥
2. So sánh (khơng dùng máy tính):
a.
15
và 4 ; b. 1-
16
1
và
5
4

3. Với giá trị nào của x thì các biểu thức sau có căn bậc hai?
a.2x
2
+3 ; b. 4x
2
+4x+1 ; c.-4x ; d.
x
1
4. Chứng minh rằng : x +
=−
2
)1(x
5. Định x để các biểu thức sau có nghĩa:
a. 3+
19
2
−
x
; b.
2
2
1
x
−
; c.
3
2
−
x
; d.

23
1
−
x
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Người biên soạn : Trần Quốc Toản
10
1 với x
≤
1
2x-1 với x>1
Một số của đề tự chọn môn Tóan lớp 9
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1.Các phép tính :
1.1. Nhân ,chia các căn thức bậc hai:
A≥ 0,B≥ 0 Ta có :
BABA ..
=
A≥ 0,B> 0 Ta có :
B
A
B
A
=
1.2. Ví dụ :
* Cách sử dụng
BA.
,
BA.

Quy tắc:Muốn khai phương một tích các biểu thức khơng âm, ta có thể khai
phương từng biểu thức, rồi nhân các kết đó với nhau.
Muốn nhân các CBH của các biểu thức khơng âm, ta có thể nhân các biểu thức
trong CBH với nhau, rồi lấy CBH của kết quả đó .
VÍ DỤ 1 : a.
32.72
; b.
360.1,12
; c.
0,09.64
d.
8
3
.
3
2 aa
(a≥ 0) ; e.
a
a
52
.13
(a>0) ; f. 3
)33623(3
−+
Giải :
a.
32.72
=
486.86.836.84.8.8.9
222

====

b.
360.1,12
=
666.116.1136.12136.12136.10.1,12
22
=====
c.
0,09.64
=
4,28.3,08.3,064.09,0
22
===
d.
8
3
.
3
2 aa
=
248
3
.
3
2
2
aaaa
==
e.

a
a
52
.13
=
262.132.134.13.1352.13
52
.13
22
=====
a
a
f. 3
)33623(3
−+
=
11.992183911.932.963999318639
−+=−+=−+
* Cách sử dụng
B
A
B
A
,
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Người biên soạn : Trần Quốc Toản
11
VẤN ĐỀ 2: Thực hiện các phép tính &
biến đổi các căn thức bậc hai
Khai phương một tích 2 căn thức

Nhân 2 căn thức
Khai phương một thương 2 căn thức
Chia 2 căn thức
bab .)2(
22
=
B
A
Một số của đề tự chọn môn Tóan lớp 9
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Quy tắc: Muốn khai phương của
B
A
(A
≥
0,B>0 ), ta có thể khai phương lần lượt A
và B, sau đó lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai.
Muốn chia CBH của A
≥
0 cho CBH của B>0, ta có thể chia A cho B, rồi khai
phương kết quả đó (tức là lấy CBH của )
VÍ DỤ 2: Tính
a.
55,12
; b.
4,14.5,2
; c.
16
9
1

; d.
111
999
; e.
53
5
5.2
10
; f. (5
15:)533
+
Giải :
a.
55,12
=
2
7
10
35
10
35
100
1255
100
1255
2
2
====
b.
4,14.5,2

=
6
10
12.5
10
12.5
10
144
.
10
25
2
22
===
c.
16
9
1
=
4
5
16
25
16
25
==
d.
111
999
=

39
111
999
==
e.
53
5
5.2
10
=
22
5.2
5.2
5.2
)5.2(
2
53
55
53
5
===
f. (5
15:)533
+
=
35
3
3
5
5

3
1
3
5
1
5
15
5
3
15
3
5
15
53
15
35
15
5335
+=+=+=+=+=
+
2.Biến đổi đơn giản các căn thức bậc hai:
2.1. Đưa thừa số ra hoặc vào trong dấu căn.
• B≥ 0. Ta có :
BABA
=
2


VÍ DỤ 3:
a.

150.12.9
=
215025.6.32.5.6.325.6.6.2.3.3
222
===
b. 2a
2
=
ba
4
4
(b≥ 0)
VÍ DỤ 4: So sánh các cặp số
a. 3
3
và
12
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Người biên soạn : Trần Quốc Toản
12
Đưa thừa số vào trong dấu căn
Đưa thừa số ra ngồi dấu căn
}
2
1
6
2
36
Một số của đề tự chọn môn Tóan lớp 9
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

b.
6
2
1
và
2
1
6
Giải:
Bằng cách đưa thừa số ra hoặc vào trong CBH và so sánh biểu thức trong CBH,
ta có:
a.
12
=
323.4
=
<3
3
Vậy
12
<3
3
b.
6
2
1
=
4
6
=

2
3

= =>
2
1
6
>
6
2
1

2.2.Khử mẫu của biểu thức lấy căn-Trục căn thức :
• Mẫu thức khơng phải là bình phương: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức của
mẫu để trở thành bình phương, rồi khai phương đưa ra ngồi dấu căn.
*
AB
BBB
BA
B
A 1
.
.
==
(A≥ 0,B≠0)
*
B
BA
BB
BA

B
A
==
.
.
• Mẫu thức có dạng tổng hoặc hiệu các CBH: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức
liên hợp của mẫu để làm mất CBH ở mẫu.
*
2
)(
))((
)(
BA
BAm
BABA
BAm
BA
m
−
−
=
−+
−
=
+
*
BA
BAm
BABA
BAm

BA
m
−
−
=
−+
−
=
+
)(
))((
)(
(A,B>0 ,A≠B)
VÍ DỤ 5: Trục căn thức ở mẫu .
a.
5
5
5.5
5
5
1
==
b.
15
5
5.53
5
53
1
==

c.
13
13
)13(2
)13)(13(
)13(2
13
2
+=
−
+
=
+−
+
=
−
d.
)34(2
34
)34(2
)34)(34(
)34(2
34
2
−=
−
−
=
−+
−

=
+
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Người biên soạn : Trần Quốc Toản
13
Một số của đề tự chọn môn Tóan lớp 9
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
VÍ DỤ 6: Tính giá trị các biểu thức
a.
223
2
223
2
−
+
+
b.
ab
ba
bbaa
−
+
+
với
3,1
==
ba
Giải:
a.
12

89
12
)223)(223(
)223223(2
223
2
223
2
=
−
=
−+
++−
=
−
+
+
b.
ab
ba
bbaa
−
+
+
=
( ) ( )
ab
ba
abbaba
ab

ba
ba
−
+






−++
=−
+
+
22
33
)(
)()(
= a+b-2
ab
=
2
)( ba
−
với
3,1
==
ba
=>
2

)( ba
−
=
2
)31(
−
2.3.Bài tập tự giải :
1.Tính :
a. (2+
3
).
347
−
; b.
22
4258
−
; c.
27
)31(
2
−
; d.
3:)486278(
−
e.
32
32
−
+

; f.
523
2
+
; g.
2352
2253
−
−
2. Chứng minh rằng :
xy
yx
xyyx
=
−
−
, với x,y>0 và x≠y
3.Rút gọn và tính giá trị các biểu thức:
a.
2,)961(4
22
−=++
xxx
; b.
ba
b
b
ba
+
−

:
,a=b=
2
3. Thực hiện các phép tính - Rút gọn các biểu thức có chứa căn thức bậc
hai
Lưu ý: Ở trên, ta đã nhắc lại một số phép tính và biến đổi đơn giản các căn thức
bậc hai. Các bài tập tự giải ở trên dùng để cho học sinh rèn luyện kĩ năng vận dụng các
phép tính và biến đổi. Trong nội dung tiếp theo này chúng ta chỉ đề cập đến một số.
Ví dụ về thực hiện các phép tính - Rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai.

Trước hết hãy nhắc lại một số khái niệm:
3.1 Căn thức bậc hai đồng dạng: Là những căn thức có cùng biểu thức dưới
dấu căn.
3.2. Rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai : Muốn rút gọn các biểu thức
chứa các căn thức bậc hai ,trước hết phải thực hiện các phép biến đổi các căn thức(đưa
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Người biên soạn : Trần Quốc Toản
14
Một số của đề tự chọn môn Tóan lớp 9
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
thừa số ra -vào dấu căn, khử mẫu của biểu thức lấy căn, trục căn thức ở mẫu), đưa
chúng về dạng các căn thức bậc hai đồng dạng, rồi thực hiện các phép tính.
VÍ DỤ 7: Rút gọn các biểu thức sau .
a.
50
2
1
51883
+−−
; b.(

)612
3
2
3)(
2
3
4
3
2
26
2
3
−−−+
; c.
aabaa 923622533
23
−−−
(a,b >0)
Giải :
a.
50
2
1
51883
+−−
=
252
2
5
23262.25

2
2
52.92.43
2
+−−=+−−

=(6-3-
2)5
2
5
+
=
2
2
11
b.(
)612
3
2
3)(
2
3
4
3
2
26
2
3
−−−+
=(

)632
9
6
3)(
4
6
4
9
6
26
2
3
−−−+
=(
)6326)(626
3
2
6
2
3
−−−+
=
6
1
6
(-2
)3
=-
2
c.

aabaa 923622533
23
−−−
)31215(
)612153(61215332)6(2.)5(33
222
++−=
−−−=−−−=−−−=
baa
baaaabaaaaabaaa
VÍ DỤ 8: Rút gọn các biểu thức sau
a. A =
12
1
:
1
11
+−
+








−
+
−

xx
x
xxx
,(x>0,x
≠
1)
b. B =
yx
y
yxxy
yx
yyxx
+
+−








−
+
+
2
)(:
,(x,y
≥
0,x

≠
y)
Giải:
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Người biên soạn : Trần Quốc Toản
15
Một số của đề tự chọn môn Tóan lớp 9
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
x
x
A
x
x
xx
x
x
x
xx
x
x
x
xxx
1
1
)1(
)1(
1
)1(
1
:

)1(
1
)1(
1
:
1
1
)1(
1
A a.
2
22
−
=
+
−
⋅
−
+
=
−
+
−
+
=
−
+









−
+
−
=
( )
1
2
2
))((:)(
2
))((:2
2
))((:
))((
2
))((:
)()(
.
2
33
=
+
+
=
+

+
+
−
=
+
++−−=
+
++−−+=
+
++−








−
+
−++
=
+
++−









−
+
+
=
yx
yx
yx
y
yx
yx
B
yx
y
yxyxyxB
yx
y
yxyxxyyxB
yx
y
yxyxxy
yx
xyyxyx
B
yx
y
yxyxxy
yx
yx

Bb
Nhận xét: Để rút gọn các biểu thức như trên ta đã sử dụng các phép biến đổi và
các phép tính để ước lược các căn thức đồng dạng. Để cho đơn giản, khi thực hiện các
phép biến đổi, ta có thể sử dụng phương pháp "hữu tỉ hóa" để đơn giản các căn thức
rồi biến đổi(bài tóan lớp 8) .
Chẳng hạn: Có thể rút gọn hai biểu thức trên bằng phương pháp "hữu tỉ hóa"
như sau:
Đặt a=
x
; b=
y
Ta có:
x
x
a
a
Axa
a
a
A
a
a
aa
a
a
a
aa
a
a
a

aaa
11
1
1
)1(
)1(
1
)1(
1
:
)1(
1
)1(
1
:
1
1
)1(
1
A a.
2
22
−
=
−
=⇒=
−
=
+
−

⋅
−
+
=
−
+
−
+
=
−
+








−
+
−
=
( )
1
1
2
2
))((:)(
2

))((:2
2
))((:
))((
2
))((:.
2
22
22
33
=⇒
=
+
+
=
+
+
+
−
=
+
++−−=
+
++−−+=
+
++−









−
+
−++
=
+
++−








−
+
+
=
B
ba
ba
ba
b
ba
ba
B

ba
b
bababaB
ba
b
babaabbaB
ba
b
babaab
ba
abbaba
B
ba
b
babaab
ba
ba
Bb
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Người biên soạn : Trần Quốc Toản
16
Một số của đề tự chọn môn Tóan lớp 9
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Như vậy, có thể thấy rằng: Việc "hữu tỉ hóa" sẽ giúp cho việc biến đổi các biểu
thức trở nên đơn giản hơn rất nhiều (các biểu thức trở thành biểu thức hữu tỉ). Khi đó,
việc rút gọn các biểu thức cũng trở nên khơng còn khó khăn nữa.

Lưu ý: Câu b còn thể được phát biểu dưới dạng khác như sau: Chứng minh giá trị
của biểu thức B khơng phụ thuộc vào giá trị của biến.
Nhằm rèn luyện cho học sinh kĩ năng rút gọn các biểu thức, trước hết hãy cho

học sinh rèn luyện thành thạo kĩ năng tính tóan, khai triển, phân tích các biểu thức thành
tích qua các bài tóan dưới đây (BT 1,2,3).
3.1. Nhắc lại một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (chỉ ví dụ
đối với các biểu thức chứa CBH):
Lưu ý: Việc rèn luyện cho học sinh kĩ năng phân tích các biểu thức thành tích là một
trong những vấn đề rất cần thiết. Bởi lẽ, nếu học sinh khơng thành thạo cơng vệc này thì
sẽ rất khó khăn trong việc thực hiện các phép bến đổi - rút gọn các biểu thức.
<1>- Đặt nhân tử chun: Sử dụnh tính chất phân phối của phép nhân đối với phép
cộng.
Ví dụ :
2) . .( 1)
3) . . . .
( ) ( )
( )( )
− = − = −
+ + + = + + +
= + + +
= + +
xy x x y x x y
ay ax bx by a y a x b x b y
a x y b x y
x y a b
<2>-Dùng hằng đẳng thức: Sử dụng định nghĩa CBH và các hằng đẳng thức quen
thuộc.
Ví dụ :
a.
yyxx
+
=
))(()()(

33
xyyxyxyx
−++=+
2 2
2
b. x y 2 xy ( x) ( y) 2 x. y
( x y)
+ − = + −
= −
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Người biên soạn : Trần Quốc Toản
17
VẤN ĐỀ 3: Một số dạng tóan cơ bản
Một số của đề tự chọn môn Tóan lớp 9
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2
2
c. 11 2 10 10 2 10 1 10 2 10 1
( 10 1)
− = − + = − +
= −
<3>- Nhóm các số hạng: Sử dụng các tính chất của phép cộng đại số.
Ví dụ :
. 6 2 3 (6 2 ) ( 3 )
2(3 ) (3 ) (3 )(2 )
+ + + = + + +
= + + + = + +
a ab a b a ab b
a b a a b
b.

b a a ab 1+ + +
= b(
1)
+++
aaa
=b
1 1) (
+++
aaa
=
)1)(1(
++
aba
<4>- Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử:
Ví dụ :
x -5
x
+ 6 = (
x
)
2
-2
x
-3
x
+6 =
x
(
x
-2) -3(

x
-2) =(
x
-2) (
x
-3)
 Lưu ý : Nếu đặt
x
=a , ta có : x -5
x
+ 6 = a
2

- 5a + 6
* Đơi khi có nhiều biểu thức đòi hỏi phải phối hợp các phương pháp cùng lúc.
BÀI TĨAN 1: Tính và rút gọn các biểu thức
D ạng 1 (Tự giải)
a.
(5 2 4 3)(2 3 6 2) 3(4 2 1)+ − − −
b.
2 ( 3) ( 3)x x x x− + +
c.
( 1)(3 1) (2 1)( 2)x x x x− + − + −
Dạng 2:Tính.
a.
33
6
23
5
13

4
−
+
−
−
+
; b.
)2
2
13
(:)
2
13
1(
+
−−
−
; c.
625625
−−+
Giải :
c.
33
6
23
5
13
4
−
+

−
−
+
=
)33)(33(
)33(6
)23)(23(
)23(5
)13)(13(
)13(4
−+
+
+
−+
+
−
−+
−
=
6
)33(6
1
)23(5
2
)13(4
−
+
+
−
+

−
−
=2
)13(
−
+
)23(5
+
-
)33(
+
=2
33103523 −−++−
=6
53
+
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Người biên soạn : Trần Quốc Toản
18
Một số của đề tự chọn môn Tóan lớp 9
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
d.
)2
2
13
(:)
2
13
1(
+

−−
−
=
=
−+
−
=
+
−
=
+−
)33)(33(
)33(
33
33
2
33
:
2
33
2
32
6
3612
−=
−
e. Áp dụng cách giải Ví dụ 4.1:
625625
−−+
=

222323)23()23(
22
=+−+=−−+
BÀI TĨAN 2: Rút gọn các biểu thức
*Dạng tổng : Rút gọn biểu thức
A=
3
1 1
1 1 1
x x
x x x x x
−
+ +
− − − + −
Giải :
ĐK : x >1
1 1 2 1 ( 1)
Ta có : A= 2 1
1
( 1 )( 1 ) 1 1

x x x x x x x x x x
x x
x x
x x x x x x
− + + − − − − −
+ = + = − −
− −
− − − + − −
 Lưu ý : Học sinh có thể thực hiện việc quy đồng cả 3 phân thức mà khơng để ý đến

phân thức
3
1
−
−
x x
x
, như thế sẽ gặp khó khăn khi thực hiện cơng việc rút gọn biểu thức
đã cho .
*Dạng tích hoặc thương: Rút gọn biểu thức
B=
2 1
: 1
1
1 1
x x
x
x x x x x
   
− +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+
+ − − −
   
Giải :
2
: x 0, x 1
2 1 2 1 1
: : 1 :

1 1
1 1 ( 1)( 1) 1
2 1 1 2 1 2 1 ( 1)
=
( 1)( 1) 1 ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1)

≥ ≠
       
+ +
= − + = −
 ÷  ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷  ÷
+ +
+ − − − + − −
       
− − + − − − + −
× = = − = −
+ − + + − + + − + + − + +
ĐK
x x x x x
Tacó B
x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x
1
=
1
−
+ +

x
x x
*Dạng phối hợp: Rút gọn biểu thức
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Người biên soạn : Trần Quốc Toản
19
Một số của đề tự chọn môn Tóan lớp 9
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
C=
( )
2
2
2 1 1
:
x y
xy x y
x y
 
+
− −
 ÷
 ÷
−
 
( ) ( )
( )
2 2
2 2
2 2
2

2 2 2
2 1 1 2
: : :
( ) 2 ( )
2
= 1
( ) ( ) ( )
x y
x y x y
Giải C
xy x y xy xy
x y x y
xy xy x y x y
x y
xy x y x y x y
x y
   
−
+ +
=  − ÷ − =  ÷ −
 ÷  ÷
   
− −
− − −
+
× − = = − =
− − −
−
Cần lưu ý học sinh đến thứ tự thực hiện các phép biến đổi.
BÀI TĨAN 3: Chứng minh đẳng thức (còn gọi là đồng nhất thức)

a.M =
1,0,
1
21
1
2
12
2
≠>
−
=
+
⋅






−
−
−
++
+
aa
a
a
a
a
a

aa
a
b.N =
a
a
a
a
−=






+
−






−+
+
11
1
3
:1
1
3

2
Giải :
a.Có thể "hữu tỉ hóa": Đặt
xa
=

M =
=
+
⋅






−
−
−
++
+
x
x
x
x
xx
x 1
1
2
12

2
22
1
21
)1)(1(
2
22
−
=
+
⋅
+−
x
x
x
xx
x
b. ĐK: -1< a< 1
VT =
2
22
13
1
1
13
a
a
a
a
−+

−
⋅
+
−+
a
−=
1
BÀI TĨAN 4. Bài tóan có nội dung liên quan đến biểu thức rút gọn.
Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức với giá trị cho trước của biến.
Ví dụ: Xem ví dụ 6b
Áp dụng :
x 4 x 4
ChoH .Tính giá trò của H , biết x =4-2 3
x
+ +
=
2
HD: 4-2 3 = ( 3 1) thay vào H .−

Dạng 2: Tìm giá trị của biến để biểu thức thỏa mãn điều kiện nào đó
Ví dụ 1:
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Người biên soạn : Trần Quốc Toản
20
{
4x 0
x 3 0
>
− >
{

4x 0
x 3 0
<
− <


Một số của đề tự chọn môn Tóan lớp 9
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
+
=
−
x 1
ChoA , tìm tất cả các giá trò nguyên của x để A nhận gía trò nguyên
x 3
Giải:
ĐK : x≥ 0 , x ≠ 9 (*)
x 1 x 3 4 4
Biến đổiA = =1+ . Để A nhận gía trò nguyên với mọi giá trò nguyên của x thì
x 3 x 3 x 3
4
phải nguyên 4 x 3 hay x 3 phải là ước nguyên của 4. Ta có :
x 3
+ − +
=
− − −
⇔ − −
−
M

x 3−

-4 -2 -1 1 2 4

x
-1 1 2 4 5 7
x
/ 1 4 16 25 49
Ta thấy: Các giá trị x tìm được ở trên đều thỏa mãn ĐK (*). Vậy: x ∈ { 1;4;16;25;49}
Lưu ý: Khi x ngun thì
x
hoặc ngun (x chính phương), hoặc vơ tỉ (x khơng
chính phương). Nếu
x
là số vơ tỉ thì
x
-3 là số vơ tỉ. Khi đó
4
x 3−
khơng ngun .Vậy
x
cũng phải ngun .
Ví dụ 2:
4x
Cho B .Tìm x để B>0
x 3
=
−
Giải: ĐK: x≥ 0, x ≠ 9 (**)
 Chú ý: Phân thức có giá trị dương khi và chỉ khi tử và mẫu của nó cùng dấu !
4x
Vậy B>0 >0

x 3
⇔ ⇔
−
<=> x>9 [theo (**)]
Ví dụ 3:
x 1
Tìm các giá trò của x để A <1
x 3
+
=
−
Giải: x≥ 0, x ≠ 9 (***)
Chú ý: Muốn chứng minh A< m (m∈IR), ta xét hiệu A - m
+ Nếu A - m <0 => A<m. (điều ngược laị tương tự)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Người biên soạn : Trần Quốc Toản
21
Một số của đề tự chọn môn Tóan lớp 9
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1 1 4
A 1 < 1 -1< 0 < 0 3 0 x< 9
3 3 3
x x
x
x x x
+ +
< ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − < ⇔
− − −
Theo (***): 0 ≤

x< 9
AD:
+ +
= ∀ >
2x 4 x 2
Chứng minh rằng Q >6, x 0
x
Dạng 3: Chứng minh một tính chất nào đó của biểu thức :
Ví dụ :
= > ∀ >
− +
xy
Chứng minh rằng P 0, x, y 0
x xy y
Giải :
∀ >x, y 0
=>
xy 0>
Cần chứng minh
x xy y− +
> 0
Thật vậy, ta có :
2
2 2
y y y
3y 3y
x xy y = ( x) 2 x ( ) x 0, x,y>0
2 2 4 2 4
 
 ÷

− + − × + + = − + > ∀
 ÷
 

=> P
0, x,y 0> ∀ >
Dạng 4: Giải phương trình
Ví dụ: Xem bài tóan 6, hoặc ví dụ trong vấn đề 1
AD:
x 1
Tìm các giá trò của x để A = -1
x 3
+
=
−
BÀI TĨAN 5: TĨAN TỔNG HỢP
GiảI các bài tóan sau:
2 3 3
a(1 a) 1 a 1 a
. ể ứ :  A ( : a a
1 a
1 a 1 a
a.Rút gọn A .
1
b.Xét dấu của M , với M = a(A )
2
  
− − +
 ÷ ÷
= + −

 ÷ ÷
+
− +
  
−
1 Cho bi u th c
ĐS: 0≤ a ≠ 1
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Người biên soạn : Trần Quốc Toản
22
Một số của đề tự chọn môn Tóan lớp 9
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2
2
3 3
a
a.A
1 a
1 a 1 a
b.M = a(A ) a ( a 1)
2 2 2(1 a)
1 a
a
a 0 0 ,a 1 ( a 1) 0.Vậy M 0.
2(1 a)
*Cần chú ý: a ( a)
=
+
 
− = − = − −

 ÷
 ÷
+
+
 
≥ => < ≠ => − > ≤
+
=
x 2 x 1 x 1
2. ể ứ :  B ( +- ): ( )
2
x x 1 x x 1 1 x
a.Rút gọn B .
b.Chứngmin h rằng A 0, x 1 .
+ −
= +
− + + −
> ∀ ≠
Cho bi u th c
ĐS: 0≤ x ≠ 1
2
2
B 0
X x 1
1 3
Do x x 1 0 x x 1 ( x )
2 4
= >
+ +
 

+ + > + + = + +
 
 
x x 1 1 2 x
3. ể ứ :  C ( +- ):( )
x 1
x x x x 1 x 1 x x x x 1
a.Rút gọn C .
b.Tìm xđể C C.
+
= −
+
+ + + − − + −
>
Cho bi u th c
ĐS: 0≤ x ≠ 1

x 1
C
x 1
C C C 0( x 1 0)
+
=
−
> ⇔ < + >
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Người biên soạn : Trần Quốc Toản
23
Một số của đề tự chọn môn Tóan lớp 9
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2 x x 3x 3 2 x 2
4. ể ứ :  H + : 1
x 9
x 3 x 3 x 3
a.Rút gọn H .
1
b.Tìm xđể H .
2
C.Tìm giá trò nhỏ nhất của H.
   
+ −
= − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
+ − −
   
<
Cho bi u th c
ĐS:0≤ x ≠ 9

3
a.H
x 3
1
b.H 0 x 9
2
3 3
c.H 0 H min max
x 3 x 3

minH 1 khi x 0
= −
+
< − <=> ≤ <
= − < => <=>
+ +
=> = − =
Bài tập :

x x 1 x x 1 1 x 1 x 1
1. ể ứ :  Q - x +
x x x x x x 1 x 1
a.Rút gọn Q .
b.Tìm xđểQ 7.
C.Tìm giá trò của x để Q>6.
 
 
− + + −
= + −
 ÷
 ÷
 ÷
− + − +
 
 
=
Cho bi u th c
2
3 3
2. ể ứ :  P + 1 a : 1

a 1
1 a
a.Rút gọn P .
3
b.Tính giá trò của P với a .
2 3
C.Tìm giá trò của a để P >P.
 
 
= − +
 ÷
 ÷
 ÷
+
−
 
 
=
+
Cho bi u th c
BÀI TĨAN 6: Giải phương trình vơ tỉ .
*Chú ý : Có nhiều dạng phương trình vơ tỉ và các phương pháp giải các phương trình vơ
tỉ đó. Tuy nhiên, chỉ xin đưa ra 3 dạng phương trình phổ biến hay gặp trong chương
trình để tham khảo.
Dạng 1:
)()( xgxf
=
(1)
* Đây là dạng phương trình vơ tỉ đơn giản nhất (các bài tập trong SGK chủ yếu là các
phương trình dạng này .Tuy nhiên,biểu thức g(x) thường là biểu thức số)

Sơ đồ giải :
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Người biên soạn : Trần Quốc Toản
24
{
Một số của đề tự chọn môn Tóan lớp 9
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
⇔=
)()( xgxf
VÍ DỤ 1(BÀI 60/33 SGK TĨAN 9 TẬP 1): Giải phương trình
)1(,11644991616
−≥+−=+++−+
xxxxx
(1)
Giải :
16144991616)1(
=+++++−+⇔
xxxx

⇔

161121314
=+++++−+
xxxx

⇔

14
+
x

=16 hay
41
=+
x
⇔ x+1 =16 ⇔ x = 15 (tmđk)
Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm: x = 15
VÍ DỤ 2: Giải phương trình


(2)
Có thể giải phương trình theo sơ đồ hoặc các cách như sau:
CÁCH 1: Theo sơ đồ trên ,ta có :
2
6 9 3 1x x x+ + = −

⇔
− ≥


+ + = −

2 2
3 1 0
6 9 (3 1)
x
x x x
⇔

≥




− − =

2
1
3
2 3 2 0
x
x x
Giải phương trình 2x
2
-3x -2 = 0 ,được x
1
= 2(tmđk) ,x
2
=
2
1
−
(loại)
Vậy S =
{ }
2
CÁCH 2:
+ + = −
2
6 9 3 1x x x
(2)
⇔

= −x+3 3 1x
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Người biên soạn : Trần Quốc Toản
25
g(x)
≥
0
f(x) =[g(x)]
2