Một số bài toán thường gặp về đồ thị

MỘT SỐ BÀI TOÁN
MỘT SỐ BÀI TOÁN
THƯỜNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ
THƯỜNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ

Bi toỏn 1:
Sửù tửụng giao cuỷa caực ủo thũ
(Tỡm giao im ca hai th )
Gi s hm s y = f(x) cú th l (C )
v hm s y = g(x) cú th l (C
1
).
Hóy tỡm cỏc giao im ca (C) v (C
1
).

Phửụng phaựp chung :
B
1
: Phng trỡnh honh giao im cuỷa (C )vaứ(C1) laứ :
f(x) = g(x) (1)
B
2
: Tớnh cỏc giỏ tr ca y
0
,y
1

. tng ng vi
cỏc giỏ tr x
0
,x
1
. tỡm c (1).
B
3
: Ghi cỏc giao im (x
0
,y
0
) ; (x
1
,y
1
)
Chỳ ý : Ta cú th lm ngc li , cú ngha l d vo th
bin lun s nghim ca phng trỡnh f(x) =g(x).


VÍ DỤ 1: Dùng đồ thò, biện luận theo m số nghiệm của
phương trình: 4x
3
-3x - m = 0 (1)
LỜI GIẢI:
-
Biến đổi
4x
3

-3x - m = 0 ⇔ 4x
3
-3x = m
-
Vẽ (C) : y = 4x
3
-3x
và ∆ : y = m
m
∆
m < -1 ⇒ (C) và ∆ có 1 giao điểm
Khi đó : PT (1) có 1 nghiệm đơn
(C)
Ta có : y
CĐ
= 1 ; y
CT
= -1


VÍ DỤ 1: Dùng đồ thò, biện luận theo m số nghiệm của
phương trình: 4x
3
-3x - m = 0 (1)
LỜI GIẢI:
-
Biến đổi
4x
3
-3x - m=0 ⇔ 4x

3
-3x=m
-
Vẽ (C) : y = 4x
3
-3x
và ∆ : y = m
m
∆
m = -1 ⇒ (C) và ∆ có 2 giao điểm
PT (1) có 1 nghiệm đơn và 1
nghiệm kép
(C)
Ta có : y
CĐ
= 1 ; y
CT
= -1


VÍ DỤ 1: Dùng đồ thò, biện luận theo m số nghiệm của
phương trình: 4x
3
-3x - m = 0 (1)
LỜI GIẢI:
-
Biến đổi
4x
3
-3x-m=0⇔ 4x

3
-3x= m
-
Vẽ (C) : y = 4x
3
-3x
và ∆ : y = m
m
∆
-1 < m < 1 ⇒ (C) và ∆ có 3
giao điểm
PT (1) có 3 nghiệm đơn
(C)
Ta có : y
CĐ
= 1 ; y
CT
= -1


VÍ DỤ 1: Dùng đồ thò, biện luận theo m số nghiệm của
phương trình: 4x
3
-3x - m = 0 (1)
LỜI GIẢI:
-
Biến đổi
4x
3
-3x -m=0⇔ 4x

3
-3x=m
-
Vẽ (C) : y = 4x
3
- 3x
và ∆ : y = m
m
∆
m = 1 ⇒ (C) và ∆ có 2 giao điểm
PT (1) có 1 nghiệm đơn và 1
nghiệm kép
(C)
Ta có : y
CĐ
= 1 ; y
CT
= -1


VÍ DỤ 1: Dùng đồ thò, biện luận theo m số nghiệm của
phương trình: 4x
3
-3x - m = 0 (1)
LỜI GIẢI:
-
Biến đổi
4x
3
-3x - m=0⇔ 4x

3
-3x=m
-
Vẽ (C) : y = 4x
3
-3x
và ∆ : y = m
m
∆
m > 1 ⇒ (C) và ∆ có 1 giao điểm
PT (1) có 1 nghiệm đơn
(C)
Ta có : y
CĐ
= 1 ; y
CT
= -1

Ví dụ 2: Chứng minh rằng đồ thò (C ) của hàm số
luôn luôn cắt đường thẳng (d) ; y = -x + m
với mọi giá trò của m.
Ta có : (C) luôn cắt (d) nếu phương trình sau luôn có
nghiệm với mọi m:
1
1
x
y
x
−
=

+
1
(1)
1
x
x m
x
−
= − +
+
1
1
x
x m
x
−
= − +
+
⇔
1 ( 1)( )
1
x x x m
x
− = + − +


≠ −

⇔
2

(2 ) 1 0 (2)
1
x m x m
x

+ − − − =

≠ −

Phương trình (2) có ∆ =m
2
+ 8 > 0,∀m và x=-1 không thoả mãn
(2) nên phương trình luôn có 2 nghiệm khác -1.
Vậy : (C) luôn cắt (d) tại 2 điểm phân biệt.

H1 :Chứng minh rằng đồ thò (C ) của hàm số
luôn luôn cắt đường thẳng (d) y = x - m tại hai
điểm phân biệt ,với mọi giá trò của m.
Hoành độ giao điểm của đường thẳng và đường
cong đã cho là nghiệm của phương trình:
2
2
1
x x
y
x
− +
=
−
2

2
1
x x
x m
x
− +
= −
−
⇔
2
2 ( 1)( )
1
x x x x m
x

− + = − −

≠

⇔
2
2 ( 3) 0 (2)
1
x m x m
x

+ + + =

≠


Phương trình (2) có ∆ =m
2
-2m+9 > 0,∀m và x=1 không thoả mãn
(2) nên (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt.
Vậy : (C) luôn cắt (d) tại 2 điểm phân biệt.
mx
x
xx
−=
−
+−
1
2
2

Ví dụ 3: Cho đường cong (C ) : y=x
3
- 4x
2
+ 4x và đường
thẳng (d) : y = kx .
Tìm k để (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt.
(d) cắt (C)tại 3 điểm phân biệt
3 2
4 4x x x kx− + =
⇔
3 2
4 (4 ) 0 (1)x x k x
− + − =
⇔

2
0

( ) 4 4 0 (2)
x
g x x x k
=


= + + − =

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C ) là:
(1) có 3 nghiệm phân biệt
⇔
⇔
(2) có nghiệm phân biệt khác 0
⇔
4-(4-k)>0 và g(0)≠ 0
k > 0 và k ≠ 4
⇔


VÍ DỤ 4: Với các giá trò nào của m, đường thẳng (d) : y = m
cắt đường cong (C ) : y = x
4
-2x
2
-3 tại 4 điểm phân biệt.
Hoành độ giao điểm của đường thẳng (d)và đường cong (C) là
nghiệm của phương trình: x

4
-2x
2
– 3 =m
Hay : x
4
-2x
2
– m- 3 = 0 (1)
Đặt t = x
2
với t ≥ 0 thì ta có : t
2
- 2t – m - 3 = 0 (2)
(d) cắt (C) tại 4 điểm phân biệt
(1) có 4 nghiệm phân biệt
∆’>0 và t
1 .
t
2
>0 và t
1
+ t
2
>0
(2) có 2 nghiệm dương phân biệt
-4 < m < -3
⇔
⇔
⇔

⇔


VÍ DỤ 4: Với các giá trò nào của m, đường thẳng (d) : y = m
cắt đường cong (C ) : y = x
4
-2x
2
-3 tại 4 điểm phân biệt.
Cách 2 : Đạo hàm y’ = 4x
3
-4x
Cực trò : f(-1) = f(1) = -4 ; f(0) = -3
Để (d) cắt ( C) tại 4 điểm phân biệt thì : -4 < m < -3
y’ =0 ⇔ 4x
3
-4x = 0 ⇔ x =0 ; x = 1 ; x = -1




Bài tốn 2:
Sự tiếp xúc của hai đường cong
Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị là (C ) và hàm
số y = g(x) có đồ thị là (C
1
).
Hãy tìm điều kiện để (C) và (C
1
) tiếp xúc với nhau.

Đònh nghóa:
Giả sử hàm số f và g có đạo hàm tại điểm x
0
.
Ta nói rằng hai đường cong y=f(x) và y = g(x) tiếp xúc với
nhau tại điểm M(x
0
;y
0
) nếu M là một điểm chung của
chúng và hai đường cong dó tiếp tuyến chung tại M.
Điểm M được gọi là tiếp điểm của hai đường cong đã cho.
Điều kiện: Hai đường cong y=f(x) và y = g(x) tiếp xúc với nhau khi và chỉ
khi hệ phương trình sau có nghiệm và nghiệm của hệ phương
trình chính là hoành độ tiếp điểm của hai đường cong:
( ) ( )
'( ) '( )
f x g x
f x g x
=


=
