Phân dạng và các phương pháp giải toán chuyên đề giới hạn lớp 11 trần đình cư

LUYỆN THI VÀ GIA SƯ CHẤT LƯỢNG CAO MÔN TOÁN
SĐT: 01234332133. ĐC: Phòng 5, dãy 22 Tập thể xã tắc.TP HUẾ
Biên soạn: Ths. Trần Đình Cư

Bài giảng Giải tích11
Chương IV
TÀI LIỆU THÂN TẶNG CÁC EM HỌC SINH
LỚP TOÁN 11-THẦY CƯ

HUẾ, NGÀY 4/1/2017


Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
MỤC LỤC
CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN .......................................................................................................................2
BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ.........................................................................................................2
Dạng 1. Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn 0 của dãy số ...........................................................................3
Dạng 2. Sử dụng định lí để tìm giới hạn 0 của dãy số .............................................................................4
Dạng 4. Sử dụng các giới hạn đặc biệt và các định lý để giải các bài toán tìm giới hạn dãy. ..........................5
Dạng 5. Sử dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, tìm giới hạn, biểu thị một số thập phân
vô hạn tuần hoàn thành phân số ............................................................................................................6
Dạng 6. Tìm giới hạn vô cùng của một dãy bằng định nghĩa ....................................................................9
Dạng 7. Tìm giới hạn của một dãy bằng cách sử dụng định lý, quy tắc tìm giới hạn vô cực ........................10
MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO {Tham khảo} .............................................................................12
BÀI 2. GIỚI HẠN HÀM SỐ ..................................................................................................................20
Dạng 1. Dùng định nghĩa để tìm giới hạn ............................................................................................23
Dạng 2. Tìm giới hạn của hàm số bằng công thức..................................................................................26
Dạng 3. Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn một bên ...............................................................................27
Dạng 4. Sử dụng định lý và công thức tìm giới hạn một bên .................................................................27
Dạng 5. Tính giới hạn vô cực ..............................................................................................................29

Dạng 6. Tìm giới hạn của hàm số thuộc dạng vô định
Dạng 7. Dạng vô định

0
........................................................................29
0


..................................................................................................................31


Dạng 8. Dạng vô định   ;0. .......................................................................................................32
MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO {Tham khảo} .............................................................................35
BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC ...................................................................................................................38
Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại điểm x0 ............................................................................38
Dạng 2. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm ................................................................................41
Dạng 3. Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng K .......................................................................43
Dạng 4. Tìm điểm gián đoạn của hàm số f(x) .......................................................................................45
Dạng 5. Chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm ...........................................................................45
MỘT SỐ BÀI TẬP LÝ THUYẾT {Tham khảo} ......................................................................................51
ÔN TẬP CHƯƠNG 4 ............................................................................................................................53

1


Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế.
CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN
BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

1. Định nghĩa dãy số có giới hạn 0
Dãy (un ) có giới hạn là 0 khi n dần đến dương vơ cực, nếu mỗi số dương bé tùy ý cho trước, mọi số
hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, |un| đều có thể nhỏ hơn một số dương đó.
Kí hiệu: lim  un   0 hay lim un  0 hoặc un  0

lim un  0    0, n0  , n  n0  un  

(Kí hiệu "lim un  0" còn được viết "lim un  0" , đọc dãy số (un ) có giới hạn là 0 khi n dần đến dương vơ
n

cực)
Nhận xét: Từ định nghĩa ta suy ra rằng

  có giới hạn 0

a) Dãy số (un ) có giới hạn là 0 khi và chỉ khi dãy số un
b) Dãy số khơng đổi (un ) , với un  0 có giới hạn 0.
2. Các định lí

* Định lí 1: Cho hai dãy số  un  và  vn  . Nếu un  vn với mọi n và lim vn  0 thì lim un  0
* Định lí 2: Nếu q  1 thì lim qn  0
3. Định nghĩa dãy có giới hạn hữu hạn
* Định nghĩa 1: Ta nói dãy (vn ) có giới hạn là số L ( hay v n dần tới L) nếu lim v n  L   0 .
n

Kí hiệu: lim vn  L hay vn  L
Ngồi ra ta cũng có thêm định nghĩa như sau (Ngơn ngữ  ):
lim vn  L    0, n0  , n  n 0  vn  L  

4. Một số định lí

* Định lí 1: Giả sử lim un  L. Khi đó


lim un  L và lim 3 un  3 L



Nếu un  0 với mọi n thì L  0 và lim un  L

* Định lí 2: Giả sử lim un  L và lim vn  M  0, c là một hằng số. Ta có:
lim  un  vn   a  b; lim  cun   cL;

lim un .vn  lim un .lim vn ;

lim

un

vn



lim un

a
 ;
lim vn b

5. Tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn


Cấp số nhân lùi vơ hạn là cấp số nhân vơ hạn và có cơng bội q thỗ mãn q  1



Cơng thức tính tổng cấp số nhân lùi vơ hạn: S  u1  u2  ....  un  ... 

u1

1 q

6. Dãy có giới hạn 
Định nghĩa: Ta nói dãy số (un ) có giới hạn  , nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của
dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó.

2


Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế.
Kí hiệu: lim un   hay un  
lim un    M  0, n0  , n  n0  un  M

7. Dãy có giới hạn 
Định nghĩa: Ta nói dãy số (un ) có giới hạn  , nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của
dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số dương đó.
Kí hiệu: lim un   hoặc un  
lim un    M  0, n0  , n  n0  un  M

Chú ý: Các dãy số có giới hạn  và  được gọi chung là dãy số có giới hạn vơ cực hay dần đến vơ

cực
8. Một vài quy tắc tính giới hạn vơ cực
a)Nếu lim un  a và lim vn   thì lim

un

vn

0

b)Nếu lim un  a  0 và lim vn  0 và vn  0 với mọi n thì lim
Tương tự ta lập luận các trường hợp còn lại
c) Nếu lim un   và lim vn  a  0 thì lim un vn  
Tương tự ta lập luận các trường hợp còn lại

un

vn

 

B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1. Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn 0 của dãy số
Phương pháp: lim un  0 khi và chỉ khi |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ số hạng nào đó
trở đi.
Ví dụ 1. Biết dãy số (un) thỗ mãn un 

n 1
n2

với mọi n. Chứng minh rằng lim un  0
Giải

Đặt vn 

n 1
n2

.

Ta có lim vn  lim

n 1

 0. Do đó, v n có thể nhỏ hơn một số dương tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi (1)
n2
Mặt khác, theo giả thiết ta có u n  v n  v n
(2)
Từ (1) và (2) suy ra u n có thể nhỏ hơn một số dương tùy ý kể từ một số hạng
nào đó trở đi, nghóa là lim u n  0

Ví dụ 2. Biết rằng dãy số (un) có giới hạn là 0. Giải thích vì sao dãy số (vn) với vn=|un| cũng có giới hạn là
0. Chiều ngược lại có đúng khơng?
Hướng dẫn
Vì (un ) có giới hạn là 0 nên un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng
nào đó trở đi.
Mặt khác, vn  un  un . Do đó, vn cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể
từ một số hạng nào đó trở đi. Vậy (un ) có thể nhoe hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số
hạng nào đó trở đi. Vậy (vn ) cũng có giới hạn là 0.

(Chứng minh tương tự, ta có chiều ngược lại cũng đúng).
n

Ví dụ 3. Vì sao dãy (un ) với un   1 khơng thể có giới hạn là 0 khi n   ?

3


Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế.
sin n
0
n
Hướng dẫn

Ví dụ 4. Sử dụng đỉnh nghĩa chứng minh rằng lim

Ta có
sin n 1
1
    n  ,n 0  . Khi đó:
n
n

>0,n 0  : n  n 0  un  0  . Vậy :lim un  0
un  0 

Dạng 2. Sử dụng định lí để tìm giới hạn 0 của dãy số
Phương pháp: Ta dụng định lí 1 và 2 và một số giới hạn thường gặp



1
A
 0  hay lim  0 
n
n


1
1
 lim
 0 ; lim
 0 với k nguyên dương
nk
n
 lim q n  0 nếu q  1
 lim

Ví dụ 1.
a) Cho hai dãy số (un ) và (vn ) . Chứng minh rằng nếu lim vn  0 và un  vn với mọi n thì lim un  0
b) Áp dụng kết quả câu a) để tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng qt như sau:
1
n!
d)un  (0,99)n cosn
a) un 

(1)
2n  1
e) un  5n  cos n 

b) un 

c) un 

2  n(1)n
1  2n2

Ví dụ 2. Tình giới hạn sau:
a) lim

3n 1  2n 1
3n  2n

;

b)lim

5n  1
5n  1

;

c)lim

4.3n  7n 1
2.5n  7n

n

;

 2   3n
d)lim
n 1
 2   3n1

Hướng dẫn và đáp số: Sử dụng cơng thức lim q n  0, q  1
a) 3

b)1

c)7

d)

1
3

Dạng 3. Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn hữu hạn
Phương pháp: lim vn  a  lim  vn  a   0
n

n

Ví dụ 1. Sử dụng định nghĩa chứng minh lim

3n  2
3
n 1

Hướng dẫn
1
1
1
1
    n  ; chọn n 0  ,n 0  . Khi đó:
n 1 n


>0,n 0  : n  n 0  un  3  . Vậy :lim un  3
un  3 

 (1)n 
Ví dụ 2. Sử dụng định nghĩa chứng minh lim  1 
 1

n 

Ví dụ 3. Cho dãy (un) xác định bởi: un 
a) Tìm số n sao cho un  3 

3n  2
n 1

1
1000

4

Bi ging Gii tớch 11. Chng IV: Gii hn hm s.
Ths. Trn ỡnh C. ST: 01234332133. Luyn thi v gia s cht lng cao Mụn Toỏn, TP Hu.
b) Chng minh rng vi mi n > 999 thỡ cỏc s hng ca dóy (un) u nm trong khong
(2,999;3,001).
Hng dn
1
1

n 999
n 1 1000
1
1
1
b) Khi n 999 un 3
3
un 3
2,999 un 3,001
1000
1000
1000

a) un 3

BTTT: Cho dóy (un) xỏc nh bi: un

2n 1
n2

1
100

b) Chng minh rng vi mi n > 2007 thỡ cỏc s hng ca dóy (un) u nm trong khong
(1,998;2,001).

a) Tỡm s n sao cho un 2

Dng 4. S dng cỏc gii hn c bit v cỏc nh lý gii cỏc bi toỏn tỡm gii hn
dóy.
Phng phỏp

A
A
0 lim vn ; lim
lim vn 0
n
n
vn
vn



Ta thng s dng: lim



Nu biu thc cú dng phõn thc t s v mu s cha lu tha ca n thỡ chia t v mu cho
nk vi k l m cao nht bc mu.



Nu biu thc cha cn thc cn nhõn mt lng liờn hip a v dng c bn.

AB
lửụùng lieõn hieọp laứ: A B
A B
lửụùng lieõn hieọp laứ: A B
A B lửụùng lieõn hieọp laứ: A B
3
3
A B
lửụùng lieõn hieọp laứ: A 2 B3 A B2


3 2
3

3
2
A B
lửụùng lieõn hieọp laứ: A B A B



Vớ d 1. Tớnh lim

3n3 5n2 1
2n3 6n2 4n 5

.
Gii

5 1

3
n n3
lim
lim

2n3 6n2 4n 5 n 2 6 4 5 2
n n 2 n3
3

3n3 5n2 1

Vớ d 2. Tớnh lim

2n2 1 5n
1 3n2

.
Gii

lim

2n2 1 5n
1 3n2

1
1 5
2

2

n
n 0
n
lim

0
1
3
3
n2

Vớ d 3. Tớnh lim n2 7 n2 5



5


Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế.
Giải
n2  7  n2  5
2
lim  n2  7  n2  5   lim
 lim
0


n2  7  n2  5
n2  7  n2  5

Ví dụ 4. Tính lim  n2  3n  n2 


Giải
3n
3
3
lim  n2  3n  n2   lim
 lim

2


3
n2  3n  n2
1  1
n

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Tính các giới hạn sau:
a)lim

4n2  n  1
3  2n

b)lim

2

Tổng quát: Tính giới hạn: lim

n2  n  1


2 
c)lim  n 2 

n 1
2n  5

m
m 1
a0 n  a1n
 ...  am 1n  am

n 

3

b0 n p  b1n p1  ...  b p1n  b p

 Xét p  m
Hướng Dẫn:  Xét n  p .Chia cả tử và mẫu cho n p ,p là bậc cao nhất ở mẫu
 Xét n  p

Tính giới hạn sau:
3
2
2  3n   n  1


2n 4  n2  1
d) lim
e) lim
2
1  4n5
2n

1
3

n
n

2

 



Đáp số: a) 2



b)0

c)  

d)  1

e)

27
4

Bài 2. Tính các giới hạn:
2n4  n2  7

a)lim

2n2  n  3

3n2  1  n2  1
b)lim
;
n

;

2
b) 3 1
2
Bài 4. Tính các giới hạn sau:

Đáp số: a)

a)lim



n 1  n



c) lim

n

1  2n2

;

d)lim

3

2n3  n
n2

d) 3 2

c)0

b)lim  n 2  3n  n  2 


4n2  1  2n  1
e)lim
n2  2n  n

d)lim  n2  n  n 


3
g) lim  n  n3  n  2 



3n2  14  n

3
c) l im  n3  2n 2  n 


f)lim n  n 2  1  n 2  2 



Hướng dẫn và đáp số: Nhân lượng liên hiệp
a)0

b)

7
2

c) 

2
3

d)

1
2

e)1

f)

3
2

g)3

Dạng 5. Sử dụng cơng thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vơ hạn, tìm giới hạn, biểu
thị một số thập phân vơ hạn tuần hồn thành phân số
Phương pháp: Cấp số nhân lùi vơ hạn là cấp số nhân vơ hạn và có cơng bội là |q|<1.
 Tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vơ hạn (un)

6


Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.

S  u1  u2  ...  un  ... 

u1

1 q

 Mọi số thập phân đều được biểu diễn dưới dạng luỹ thừa của 10

X  N,a1a2a3 ...an ...  N 

a1



a2

10 102



a3

103

an

 ... 

10n

 ...

I. Các ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Viết số thập phân m=0,030303...( chu kỳ 03) dưới dạng số hữu tỉ.

Giải
3
3
3
3
3
1 100
m 3

 ... 
 3  100  3 
 3

n
1
100 10000
99
33 33
100
1
100

Ví dụ 2. Tính tổng S  2  2  1 

1
2



1

 ...
2
Giải

Xét dãy: 2,- 2 ,1, 
2

Vậy S 
1

1



1
2

,... là cấp số nhân q 

2 2
2 1

 2

 
2

2



1
2

;q 

1
2

1

 42 2

2

II. Bài tập rèn luyên
Bài 1. Hãy viết số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng một phân số.   34,1212... (chu kỳ 12).
Hướng dẫn và đáp số
 1 

 1134
12
12
12
  34,1212...  34 

 ... 
 34  12  100  
100 1002
33

100n
1 1 


 100 

Bài 2. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
a)S  1 

1 1
1
  ... 
 ...
n
4 16
4 1

1
4
Hướng dẫn :a) q  ; S 
4
3

b) S 

b) q 

2 1



1

2 1 2  2



1
2

 ...

2 2
;S  4  3 2
2

Bài 3. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng S=3 và công bội q 
2 4 2
Đáp số: Cấp số nhân lùi vô hạn đó là: 1; ; ;...  
3 9 3

2
.
3

n 1

Bài 4. Tìm cấp số nhân lùi vô hạn, biết tổng S=6. Tìm hai số hạng đầu u1  u2  4

1

2

7


Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.

u1
 u1  6 1  q 
6
S 
1

Hướng dẫn:  1  q

1q
1
u 1  q   4
2
u  u q  4
2
 1
 1 1
2
n

Bài 5. Giải phương trình sau: 2x  1  x2  x3  x4  x5  ...   1 x n  ... 

13

với x  1
6

n

Hướng dẫn: Dãy số x2 , x3 ,x4 , x5 ,...,  1 x n ... là một cấp số nhân với công bội q  x .
1
7
ĐS: x  ; x  
2
9
Bài 6.
2

3

a) Tính tổng S  1  0,9   0,9    0,9   ....   0,9 

n 1

 ...


b) Cho 0    . Tính tổng S  1  tan   tan2   tan3   ...
4
c) Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số hữu tỉ

a = 0,272727......

b = 0,999999999...........

d) Cho dãy bn   sin   sin2   sin3   ...  sinn  với  


 k . Tìm giới hạn dãy bn.
2

Hướng dẫn:
a) S 

1
 10
1  0,9

b) S 

1
1  tan 

a0

2
7
2
7



 ...
2

3
10 10
10 104

1
1
2
2
2
7
7
3
 
 ... 
 ... 

 ....  2 10  7 10 
3
2n

1
2
4
1
1
10 10
11
10
10
10

1
1
2
2
10
10
9
1
b .
1
1
10
1
10

c) Cấp số nhân lùi vô hạn

d) lim bn 

sin 
1  sin 

n soá haïng

Bài 9. Tính lim

a  aa  ...  aaa...a

n 

10n

Hướng dẫn: Ta có

8


Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế.
n số hạng 

 10  1 100  1
10n  1 

a  aa  ...  aaa..a  a 1  11  ...  111..1   a 

 ... 



 9

9
9







n
10 10  1  9n
a
81
n số hạng





n số hạng

Vậy lim

n 

a  aa  ...  aaa..a
10n



10a  10 n  1  9n  10a


 81
81 
10n


Dạng 6. Tìm giới hạn vơ cùng của một dãy bằng định nghĩa

Phương pháp


lim un   khi và chỉ khi un có thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, kể từ một số hạng nào

đó trở đi.


lim un    lim(un )  

Ví dụ 1. Dùng định nghĩa giới hạn của dãy số. Chứng minh:
n2  2
 
n 1
Hướng dẫn:
a)lim

3

b)lim 1  n3  

a)Lấy số dương M lớn tùy ý.
n2  2 n2  1
un 

 n  1  M  n  M  1;
n 1
n 1
Chọn n 0  M  1,n 0  . Khi đó: n  n 0  n  M  1  u n 

n2  2
 M.Vậy lim u n  
n 1

b)Ta có: 1-n3  (1  n)(n 2  n  1)  1  n; n 
Lấy số dương M lớn tùy ý.
3
3
un  1  n3  1  n3  M  n  M3  1;chọn n 0  M3  1,n 0  .
3

Khi đó: n  n 0  n  M3  1  un  1  n3  M. Vậy :lim u n  

Ví dụ 2. Cho dãy (un) thoả mãn un  n với mọi n. Chứng minh rằng lim un  
Giải
lim n   vì vậy n lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng
nào đó trở đi. mặt khác un  n nên un lớn hơn một số dương bất kì kể
từ một số hạng nào đó.
Vậy lim un  
n 

Ví dụ 3. Biết dãy số (un) thỗ mãn un  n2 với mọi n. Chứng minh rằng lim un  
Giải
Vì lim n2   nên n2 có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi
Mặt khác, theo giả thiết un  n2 với mọi n, nên un cũng có thể lớn hơn một số dương tùy
y,ù kể từ số hạng nào đó trở đi. Vậy lim un  .

Ví dụ 4. Cho biết lim u n   và vn  un với mọi n. Có kết luận gì về giới hạn vn.
Hướng dẫn
lim un    lim(un )    vn   un  lim(vn )  

Vậy limvn  

9


Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế.
Ví dụ 5. Cho dãy số (un) hội tụ, dãy (vn) khơng hội tụ. Có kết luận gì về sự hội tụ của dãy  un  vn  .
Hướng dẫn: Kết luận dãy  un  vn  khơng hội tụ
Thật vậy:

Xét dãy  un  vn  , giả sử nó hội tụ nghóa là lim  un  vn   a và limun  b.
Khi đó limun  limvn  a
Vậy limvn  a  limun
Vì limun  b  limvn  a  b
Vậy (vn ) là hội tụ, điều này không đúng.
Vậy dãy  un  vn  không hội tụ.

Ví dụ 6.
a) Cho hai dãy (un) và (vn). Biết lim u n   và v n  u nvới mọi n.
Có kết luận gì về giới hạn của dãy (vn ) khi n  +?

b) Tìm limvn với vn  n!
Hướng dẫn
a) Vì lim un   nên lim(-un )  . Do đó, (un) có thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, kể từ một số
hạng nào đó trở đi.

(1)

Mặt khác, vì vn  un với mọi n nên (-vn )  (un )với mọi n.

(2)

Từ (1) và (2) suy ra (-vn) có thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Do
đó, lim(vn )   hay lim vn   .
b) Xét dãy số (un)=-n.
Ta có: n!  n hay vn  un với mọi n. Mặt khác limun  lim(n)  . Từ kết quả câu a) suy ra
lim vn  lim(n!)  

Dạng 7. Tìm giới hạn của một dãy bằng cách sử dụng định lý, quy tắc tìm giới hạn vơ
cực
Phương pháp
Ví dụ 1. Tìm các giới hạn của các dãy số  un  với
3

a)un  n8  50n  11; b)un  109n2  n3 ; c)un  105n2  3n  27 ; d)u n  8n3  n 2  2

Đáp số: a)  ;

b)  ;

c)  ;

d)  

Ví dụ 2. Tìm các giới hạn của các dãy số  un  với
a)un 

 2n  11  3n 
3n  n3

2n 4  n2  7
2n2  15n  11
; b)un 
; c)un 
; d)un 
3 3
2n  19
3n  5
3n2  n  3
n  7n2  5

Đáp số: a)  ;

b)  ;

c)  ;

d)  

Ví dụ 3: Tính các giới hạn
a)lim

1
n2  2  n2  4

;

b) lim  2n2  3  n2  1 



10


Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.
Ví dụ 4: Tính các giới hạn





a)lim 3.2n  5n1  10 ;
Đáp số: a)  ;

b) lim

b)  ;

3n  11

;

1  7.2n
c)  ;

c)lim

2n 1  3.5n  3
3.2n  7.4n

11


Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế.
MỘT SỐ DẠNG TỐN NÂNG CAO {Tham khảo}
Dạng 1. Tính giới hạn của dãy số có quy luật
Ví dụ 1 :Tính các giới hạn sau:
n 1  2  3  ...  n

a) lim

n

n 1  2  3  ...  n

n

1  2  3  ...  n

n2
Hướng dẫn

n  n 1

n

a) lim

b) lim

2

2

n  n 1

 lim

n

1 n 
n n

 2 
2

n  n 1

 lim

n

n

n n2  n
2



 n 1

2



1
2

1
2
Ví dụ 2. Tính các giới hạn sau

b)

a) lim

1  a  a2  ...  an
2

1  b  b  ...  b

n

với a  1, b  1 ;

1
1 b
a) S  lim 1  a 

n  1
1 a
1 b

b)lim

n 1  3  ...  2n  1

2n2  n  1
Hướng dẫn

b) S  lim

n

n 1  3  ...  2n  1
2n2  n  1

 lim

n

n

1  2n  1 n
2
2
2n  n  1



1
2

 1

1
1
1



 ... 
Ví dụ 3. Tính giới hạn sau: lim 

n  1.2.3 2.3.4 3.4.5
n(n

1)
n

2





Hướng dẫn

1

1 1
1
 


k  k  1 k  2  2  k  k  1  k  1 k  2  

1
1
1
1 1
1
Vậy:

 ... 
  

1.2.3 2.3.4
n.  n  1 n  2  2  2  n  1 n  2  
 1

 1
1
1
1
1 1
1
  lim  
Vậy lim 



 ... 

n   1.2.3 2.3.4 3.4.5
n(n  1)  n  2   n 2  2  n  1 n  2   4


Sử dụng:



2 
2  
2

Ví dụ 4. Tính giới hạn lim  1 
 1 
 ...  1 
 2.3  3.4    n  1 n  2  

Ta thấy: 1 

 k  1 k  2 
2

k  k  1
k  k  1

Hướng dẫn

 


2 
2  
2
2




Vậy: 1 
1

...
1

...
1



 2.3  3.4   k.  k  1   n.  n  1 
1.4 2.5  k  1 k  2   n  1 n  2  1  n  3 

.
...
...
 


2.3 3.4
3 n 1 
k  k  1
n  n  1
 1

2 
2  
2

Vậy lim  1 
1
...  1 


n  
2.3  3.4    n  1 n  2   3



12


Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế.
Bài tập áp dụng: Tính các giới hạn sau
 1

1
1

1
a) lim 


 ... 

n   1.3 3.5 5.7
(2n  1)(2n  1) 
2.12  3.22  ...   n  1 n 2
b) lim
n 
n4


1
1
1
c) lim 

 ... 


n  2 1  2
3 2 2 3
(n  1) n  n n  1 

1 3
5
2n  1 
d* ) lim  


 ... 

3
n   2 22
2
2n 

Hướng dẫn và đáp số
1
1
1
1
1 1 1 1
1
1 


 ... 
 1     ... 


1.3 3.5 5.7
(2n  1)(2n  1) 2  3 3 5
2n  1 2n  1 
1
1 
1
 1 
nên lim Sn 

2  2n  1 
2

a)Sn 

b)Ta có: Sn  2.12  3.22  ...   n  1 n 2  1  112   2  1 22  ...   n  1 n 2
2

 n  n  1 
n  n  1 2n  1
Sn  1  2  ...  n  1  2  ....  n  
 
6
 2 
 n2 n  1 2 n n  1 2n  1 
S
    
  1
lim n  lim 
4
4
4
 4n
 4
n
6n


3

c)Ta có:

3

 n  1

3

1

2

2

2



 n  1 n  n n  1 
2
 n  1 n  n2  n  1

1



1

n  n n 1
n

n 1
1
1
1
Sn 

 ... 
2 1 2 3 2 2 3
 n  1 n  n n  1
1
1
1
1
1
1
1


 ... 

 1
 lim Sn  1
2
2
3
n
n 1
n 1
1 3
5

2n  1


 ... 
2
3
2 2
2
2n
 2n  1 2n  3  2n  1
1
1  3
1   5
3 
Sn  Sn           ...  


2
2
3
3
2
2 2
2  2
2 
2n  2 n 1
 2n
1
1


1 1 1
1
2n  1 1 2 2n 1 2n  1 1
1
2n  1
  
 ... 

 

 1

1
2 2 22
2n 1 2n 1 2
2n 1 2
2 n 2 2 n 1
1
2
1
1
1
2n  1
1
2n 1
Suy ra: Sn   1 

 Sn  3 



n

2
n

1
n

3
2
2
2
2
2
2n 2n
n
n
2
2
n
Mặt khác:


. Mà lim
 0  lim
0
n
n
n  n  1
n 2 n

2
1  1 n  1
Vậy lim Sn  3
d)Ta có: Sn 

n 

13


Bi ging Gii tớch 11. Chng IV: Gii hn hm s.
Ths. Trn ỡnh C. ST: 01234332133. Luyn thi v gia s cht lng cao Mụn Toỏn, TP Hu.
Dng 2. Dựng nguyờn lớ kp
Phng phỏp
Cho ba dóy s (un), (vn) v (wn). Nu
un vn wn vụựi moùi n

V lim un lim wn L(L ) thỡ lim vn L

1
2
n

....
Vớ d mu. Tớnh lim
.
2
2
2
n n 1 n 2

n n
Gii
Ta thy:
1
2



2

....

2

n
2



1 2 ... n
2

1
2
2



n 1 n 2
n n

n n
n n 1
1
2
n
1
n
Vaứ

....


...

n2 1 n2 2
n2 n n2 1 n2 1
n2 1 2 n2 1
n n 1
1
1
2
n
Vaọy

....

2
2
2
2 n 1 n 2

n n 2 n2 1
Maứ lim

n n 1

n 2

n 1
2



1
2









1
2
n 1
Vaọy lim

....

n n 2 1 n 2 2
n2 n 2

BI TP RẩN LUYấN
Bi 1. Tớnh gii hn ca cỏc gii hn sau:
n

1 1
3sin n 4cosn
a) lim
b) lim
n 2 3n
n
n+1
n
1 3n2
sin 2n cos2n
d) lim
e) lim
n
n cosn+5n 2
3n+1
1

1
1

f) lim

...

n
2
n2 2
n2 n
n 1

n sin n
n 3n+4

c) lim

Hng dn v ỏp s

14


Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế.
n

n

1 1  1
1 1 1

  0        , n  * .Đs : 0
2 3n 2
 2 3n   2 
5

5
b)
 un 
.Đs :0
n 1
n 1
n  1 n  sin n n  1
1
c)  1  sin n  1 


.ĐS :
3n  4
3n  4
3n  4
3
d)Tương tự câu b
 1 
 1 
1 cos n 1
cos n
e)- 
 . Ta có:lim     lim    0  lim
0
2
2
2
2
2
n

n
n
n2
 n 
n 
(1)n
3
n
2
2
(1)  3n
3
Nên :lim
 lim n

2
cos
n
5
cos n  5n
5
n2
1
1
1
1
1
1
f)


 ... 
 un 

 ... 
n2  n
n2  n
n2  n
n2  1
n2  1
n2  1
n
n
n
n

 un 
.Ta có: lim
 lim
1
n2  n
n2  1
n2  n
n2  1
a)0 

Dạng 3. Chứng minh một dãy số có giới hạn
Phương pháp
1. Áp dụng định lý Vâyơstraxơ:


Nếu dãy số (un) tăng và bị chặn trên thì nó có giới hạn.



Nếu dãy số (un) giảm và bị chặn dưới thì nó có giới hạn.

2. Chứng minh một dãy số tăng và bị chặn trên ( dãy số tăng và bị chặn dưới) bởi số M ta thực
hiện: Tính một vài số hạng đầu tiên của dãy và quan sát mối liên hệ để dự đốn chiều tăng
(chiều giảm) và số M.
3. Tính giới hạn của dãy số ta thực hiện theo một trong hai phương pháp sau:
* Phương pháp 1:
 Đặt lim un  a
 Từ lim un1  lim f(un ) ta được một phương trình theo ẩn a.
 Giải phương trình tìm nghiệm a và giới hạn của dãy (un) là một trong các nghiệm của
phương rình. Nếu phương trình có nghiệm duy nhất thì đó chính là giới hạn cảu dãy cần
tìm. còn nếu phương trình có nhiều hơn một nghiệm thì dựa vào tính chất của dãy số để
loại nghiệm.
 Chú ý: Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất.
* Phương pháp 2:
 Tìm cơng thức tổng qt un của dãy số bằng cách dự đốn./
 Chứng minh cơng thức tổng qt un bằng phương pháp quy nạp tốn học.
 Tính giới hạn của dãy thơng qua cơng thức tổng qt đó.
I. Các ví dụ mẫu

u  2
Ví dụ 1. Chứng minh dãy (un) bởi cơng thức truy hồi  1
.

 un 1  2  un với n  1

Chứng minh dãy có giới hạn, tìm giới hạn đó.
Giải

15


Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế.
Ta có: u1  2 và un1  2  un ,un  0 với n  N
 Ta chứng minh : un  2 với n  N (1)
Với n=1, ta có u1  2  2 thì (1) đúng
Giả sử bất bất đẳng thức đúng với n=k thì u k  2.
Vậy un  2, n  N

 Chứng minh dãy (un) tăng:
Xét un 1  un  2  un  un  u2n  un  2  0  1  un  2
Mà 0  un  2 nên un 1  un . Vậy (un ) là dãy tăng (2)
Từ (1) và (2) suy ra (un ) có giới hạn.

 Đặt lim un  athì 0  a  2
n

Ta có:
un 1  2  un  lim un 1  lim
n 

n 
2

2  un

 a  2  a  a  a  2  0  a  1hoặc a=2
Vì un  0 nên lim un  a  0.Vậy lim un =2
n 

n 

Lưu ý: Trong lời giải trên, ta đã áp dụng tính chất sau:
" Nếu lim un  a thì lim un 1  a"
n 

n 

 u1  2

1 .
Ví dụ 2. Cho dãy (un) bởi cơng thức truy hồi 
u 2
 n 1
un


Chứng minh rằng dãy số (un) có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Giải
Ta có :
1 3 2 1
4 3 1
5
n 1
 

; u3  
; u4  .Từ đó ta dự đoán: un 
(1)
2 2
2
3
3
4
n
Chứng minh dự đoán trên bằng quy nạp:
 Với n=1, ta có: u1  2 (đúng)
k 1
 Giả sử đẳng thức (1) đúng với n=k (k  1), nghóa là u k 
.
k
...
n
 Vậy un 
, n  * .
n 1
n 1
Từ đó ta có lim un  lim
1
n
u1  2; u2  2 


1
 u1  2
BTTT. Cho dãy (un) bởi cơng thức truy hồi 

.
1
nếu n  1
 un 1 
2  un


Chứng minh rằng dãy số (un) có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Hướng dẫn: lim un  lim

n
1
n 1

Ví dụ 3. Chứng minh dãy (un) được cho bởi cơng thức un  sin n;n 

*

. Chứng minh dãy khơng có giới

hạn.
Hướng dẫn

16


Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế.
Giả sử lim un  lim sin n  a.Khi đó lim sin  n  2   a  lim sin  n  2   sin n   0
n 

n 
n 
n
 2 lim cos  n  1 sin1  0  lim cos  n  1  0  lim cosn  0
n 

n 

n

mặt khác: cos  n  1  cosncos1  sin nsin1,Suy ra lim sin n  0



n 



Suy ra : lim cos2 n  sin2 n  0, vô lý
n 

Vậy dãy số (un ) với un  sin n không có giới hạn.

II. Bài tập rèn luyện
Bài 1. Chứng minh dãy (un) với un  2  2  ...  2  2 là dãy hội tụ.
n dấu căn

Hướng dẫn
 Bước 1: Chứng minh dãy (un) tăng
 Bước 2: Chứng minh (un) bị chặn trên

 u1  0

un 1  3
Bài 2. Cho dãy truy hồi 
. Tìm giới hạn của dãy.
(n  2)
 un 
4

Hướng dẫn và đáp số
u1  0

1

1
3
 1  
4
4
2
1
15
u2 
1  
16
4
.
.
.
n 1

1
un  1   
4
u2 

1
bằng phương pháp quy nạp chứng minh un  1   
4
  1 n 1 
Vậy lim 1      1
n  
4

   

n 1

 u1  2

un 1  1
Bài 3. Cho dãy truy hồi 
. Chứng minh dãy (un) có giới hạn, tìm giới hạn đó.
(n  2)
 un 
2

Hướng dẫn và đáp số
Cách 1
Dự đoán un 
lim un  lim

n 

2n 1  1

n

2n  1
2n 1  1
2n  1

1

Cách 2
 Chứng minh dãy giảm và bị chặn dưới.

17


Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế.
lim un  a, tìm a

n 

 Giả sử lim un  lim un 1  a 
n 

n 

lim un  1

a 1
 a 1
2

n 

Bài 4.
 u1  2

un  1
a) Cho dãy truy hồi 
. Chứng minh dãy (un) có giới hạn và tìm giới hạn đó.
 un 1  2 (n  1)
0  un  1

b) Cho dãy (un) xác định bởi: 
1
un 1 1  un  

4

giới hạn đó.

(n  1)

. Chứng minh dãy (un) có giới hạn và tìm

Hướng dẫn và đáp số

b) * Chứng minh (u n ) là dãy tăng và bò chặn trên
Ta có: 0  un  1,n  N
Áp dụng bất đẳng thức cauchy
1
un 1  1  un   2 un 1 1  un   2
 1  u n 1  u n ,n  N*
4
Vậy (un ) là dãy tăng và bò chặn trên thì (un ) thì dãy có giới hạn
* Đặt lim u n  a,a  0
n 

2


1
1
1
1
1
Ta có: un 1 1  un    lim  un 1 1  un     a 1  a     a    0  a 
4 n
4
4
2
2

1
Vậy lim u n 
n 
2

1
2
Bài 5. Cho dãy (un) xác định bởi un 1   u n 

2
un


 và u1  0


a) Chứng minh rằng un  2 với mọi n  2
b) Chứng minh dãy (un) có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Hướng dẫn và đáp số
1
2 
*
a) Ta có: u1  0,u n 1   u n 
  u n  0, n  N
2 
un 
Áp dụng bất đẳng thức Cô si:
1
2 
2
un 1   un 
 2 , n  1,n  
  un .

2

un 
un
Suy ra un  2, n  2,n  N
b)Ta có: un  2,n  2,n  N nên  u n  là dãy bò chặn dưới
2
1
2 
1  un 

  0, n  2,n  N nên u n 1  u n , n  N*
Xét un 1  un   un 
1
  un 


2
un 
un
2 


* Đặt lim u n  a,a  2.Ta có:
n 

a  2
1
2 
1
2 
1

2
2
un 1   un 
 lim un 1  lim  u n 

  a   a    a  2  



n

n

2
un 
2
un 
2
a
a   2
Vậy lim un  2
n 

18


Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế.
Bài 6. Chứng minh dãy (un) được cho bởi cơng thức un  cos n;n 

*

. Chứng minh dãy khơng có giới

hạn.
Hướng dẫn
Giả sử lim un  lim cosn  a  lim cos  n  2   a  lim cos  n  2   cosn   0
n 
n 
n 
n
 2 lim sin  n  1 sin1  0  lim sin  n  1  0  lim sin n  0
n 

n 

n

mặt khác: sin  n  1  sin ncos1  cosnsin1,Suy ra lim cosn  0





Suy ra : lim cos2 n  sin2 n  0, vô lý
n 

n 

Vậy dãy số (un ) với un  cosn không có giới hạn.

Bài 7. Chứng minh các dãy sau hội tụ:
a)  n  1 
b)  n  1 

1
22
1
22




1
32
1
33

 ... 
 ... 

1
n2
1
nn

; nN
; nN

Hướng dẫn

a) Ta thấy
Dãy  n  1 

1

1

 ... 

1

là dãy tăng, ta chỉ cần chứng minh dãy bò chặn.
22 32
n2
1
1
1
1
1
1
1
1
  ... 
 1

 ... 
2 2
2
2
2

1.2 2.3
(n  1)n
n
2
3
n
Vậy dãy hội tụ.


b)
Dãy  n  1 

1

1

2
1



3

 ... 

1

là dãy tăng, ta chỉ cần chứng minh dãy bò chặn.
3
nn

1
1
1
1
1
n  1 
  ... 
 1
  ... 
2
2
3
n
2
2
2
3
n
2
3
n2
Vậy dãy bò chặn trên nên hội tụ.
2

19


Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế.
BÀI 2. GIỚI HẠN HÀM SỐ

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Giới hạn hàm số tại một điểm
a) Giới hạn hữu hạn
Định nghĩa: Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y=f(x) xác định trên K hoặc trên K \ {x0} .
Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn là số L khi x dần đến x0 nếu với dãy số (xn) bất kì,
xn  K \ {x0} và xn  x0 ,tacó f(x n )  L .

Kí hiệu: lim f(x)  L hay f(x)  L khi x  x 0
xx0

lim f(x)  L  (x n ),x n  K \ {x 0},lim x n  x 0  lim f(x n )  L

xx0

b) Giới hạn vơ cực
Các định nghĩa về giới hạn  ( hoặc  ) của hàm số được phát biểu tương tự các định ở trên
Chẳng hạn, giới hạn  của hàm số y=f(x) khi x dần đến dương vơ vực được định nghĩa như sau:
Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng  a;  .

Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn là  khi x   nếu với mọi dãy số (x n ) bất kì,
xn  a và xn  , ta có: f(xn )  . Kí hiệu: lim f(x)   hay f(x)   khi x  
x

lim f(x)    (x n ),x n  a,lim x n    lim f(x n )  

x

Nhận xét: lim f(x)    lim f(x)  
x

x

* Các giới hạn đặc biệt:
1. lim c  c
x 

2. lim

x 

lim

c

x  x

x  




 0 với c là hằng số

nếu k nguyên dương
nếu k nguyên âm
nếu k chẵn
nếu k lẻ

3. lim x k  
0

x 
k

4. lim x 

x 

2. Giới hạn hàm số tại vơ cực
Định nghĩa


Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a; ) . Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn là số L khi khi

x   nếu với mọi dãy số (xn) bất kì, xn  a và xn   ta có: f(xn )  L .
Kí hiệu: lim f(x)  L hay f(x)  L khi x  
x

lim f(x)  L    x n  ,x n  a, lim x n    lim f(x n )  L

x



n

n

Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (;a) . Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn là số L khi khi

x   nếu với mọi dãy số (xn) bất kì, xn  a và xn   ta có: f(xn )  L .

Kí hiệu: lim f(x)  L hay f(x)  L khi x  
x

lim f(x)  L    x n  ,x n  a, lim x n    lim f(x n )  L

x

n

n

3. Một số định lí về giới hạn hữu hạn

20


Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế.
Định lý 1:

Giải sử lim f(x)  L và lim g(x)  M.Khi đó:
x x 0

x x 0

* lim  f(x)  g(x)   L  M
x x 0
* lim  f(x).g(x)   L.M
x x 0

 f(x)  L
* lim 

x x 0  g(x)  M

 nếu M  0 

Định lý 2: Giải sử lim f(x)  L và lim g(x)  M.Khi đó:
xx0

xx0

a) lim f(x)  L
x x 0

b) lim

3

x x 0

f(x)  3 L

c)Nếu f(x)  0 và lim f(x)  L thì :L  0 và lim
x x 0

x x 0

f(x)  L

 Dấu của f(x) được xác đònh trên khoảng đang tìm giới hạn, với x  x0 
4. Giới hạn một bên
Định nghĩa1: Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (x0;b). Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm
số y=f(x) khi x  x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, x0  xn  b và xn  x0 ta có: f(xn )  L . Kí hiệu:

lim f(x)  L

x x 
0

lim f(x)  L    x n  ,x 0  x n  b,lim x n  x 0  lim f(x n )  L

x x 
0

Định nghĩa 2: Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;x0). Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm
số y=f(x) khi x  x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, a  xn  x0 và xn  x0 ta có: f(xn )  L . Kí hiệu:

lim f(x)  L

x x 
0

lim f(x)  L    x n  ,a  x n  x 0 ,lim x n  x 0  lim f(x n )  L

x x 
0

Nhận xét:

lim f(x)  L  lim f(x)  lim f(x)  L

xx0

x x 
0


xx0

5. Giới hạn vơ cực
Các định nghĩa lim f(x)  ;
xx
0

lim f(x)  ; lim f(x)  ; lim f(x)  ; được phát biểu tương tự

xx
0

xx 
0

xx 
0

định nghĩa 1 và định nghĩa 2.
Định lý: Nếu lim f(x)   thì lim

x x 0

x x 0

1
0
f(x)

6. Các quy tắc tính giới hạn vơ cực
a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x)
Nếu lim f(x)  L  0 và lim g(x)    hoặc   thì lim f(x)g(x) được tính theo quy tắc trong bảng
x x 0

x x 0

x x0

sau:

lim f(x)

lim g(x)

lim f(x).g(x)

x x 0

x x 0

x x 0

L>0





21


Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.

L<0

b) Quy tắc tìm giới hạn của tích

lim f(x)







-

+

f(x)
g(x)

lim g(x)

x x 0

x x 0

L



L>0
0
L<0



Dấu của g(x)

lim

x x0

Tuỳ ý

0

+



-



+



Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp

f(x)
g(x)



x  x0 ,x  x0 ,x  ,x  

22


Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế.
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1. Dùng định nghĩa để tìm giới hạn
Phương pháp
1.

lim f(x)  L  (x n ),x n  K \ x 0 , lim x n  x 0  lim f(x n )  L

xx0

n

n

2. Để chứng minh hàm số f(x) khơng có giới hạn khi x  x0 ta thực hiện:
Chọn hai dãy số khác nhau (xn) và (yn) thỗ mãn: xn, yn thuộc tập xác định của hàm số và khác x0



lim xn  x0 , lim yn  x0

n

n

Chứng minh lim f  xn   lim f  y n  hoặc một trong hai giới hạn đó khơng tồn tại
n

Ví dụ 1. Cho hàm số y 

n

2

x x2
. Dùng định nghĩa chứng minh rằng lim f(x)  3 .
x1

x 1
Giải

Hàm số y=f(x) xác định trên R \ 1. Giả sử (xn) là dãy số bất kì x n  1 và xn  1
lim f(x n )  lim

x2n  x n  2
xn  1

 lim

BTTT: Cho hàm số: f(x) 

 xn  2  xn  1  lim
xn  1

xn  2   3

2x 2  x  3
. Dùng định nghĩa chứng minh: lim f(x)  5
x1
x 1



nếu x  0 . Dùng định nghĩa chứng minh hàm số y=f(x) khơng có
Ví dụ 2. Cho hàm số y  f(x)  x
2  x nếu x  0

giới hạn khi x  0

Giải
1 
1

Xét dãy  x n      0
  0
n 
n

1
lim f(x n )  lim  0 (1)
n 
n  n
 1
Xét dãy  x n     khi n  ;x n  0
 n

1
lim f(x n )  lim  2    2 (2)
n 
n  
n
Vậy với (1) và (2) hàm số không có giới hạn khi x  0



BTTT: Cho hàm số: f(x)  x
1 x

nếu x  0 . Dùng định nghĩa chứng minh hàm số khơng có giới hạn

nếu x  0

khi x  0
Ví dụ 3. Cho hàm số f(x)  cos

1
x2

. Dùng định nghĩa chứng minh rằng hàm số f(x) khơng có giới hạn khi

x dần đến 0.
Hướng dẫn

23


Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số.
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế.
Hàm số : f(x)  cos
*Lấy dãy số (x n ) 
*Lấy dãy số (y n ) 

1
x2

xác đònh trên K=R\{0}
1

2n
1

 K và limx n  0;lim f(x n )  lim cos

2n 


2

1
x2n

 lim cos(2n)  1

 K và limy n  0;lim f(y n )  lim cos

1


 lim cos(2n  )  0
2
y2n

Vậy hàm số khơng có giới hạn.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Dùng định nghĩa chứng minh các giới hạn sau
x2  9
 6;
x3 x  3

a) lim

1

b) lim

x1

x2  1

x3
 4;
x5 3  x

 ;

c) lim

d) lim

x3  1

x x2

1

 

Hướng dẫn
a) (x n ),x n  3,lim x n  3  lim

x2n  9

 6
xn  3
1
b)(x n ),x n  1;   ,lim x n  1  lim
 
x2n  1
x 3 53
c) (x n ),x n  3,lim x n  5  lim n

 4
3  xn 3  5
1
xn 
3
x 1
x 2n
d)(x n ),lim x n    lim n
 lim
 
1
x2n  1
1
x2n

Bài 2.

 2
nếu x  0 .

1. Cho hàm số f(x)  x2
x

1
nế
ux0

a. Vẽ đồ thị hàm số f(x). Từ đó dự đốn về giới hạn của f(x) khi x  0 .
b. Dùng định nghĩa chứng minh dự đốn trên.
Hướng dẫn
a) Dự đốn: Hàm số khơng có giới hạn khi x  0
1
1
b) Lấy hai dãy số có số hạng tổng qt là an  ; và bn  
n
n

2. Cho hàm số f(x)  sin

1
x2

. Chứng minh hàm số khơng có giới hạn khi x  0 .

Bài 3.
a) Chứng minh rằng hàm số y=sinx khơng có giới hạn khi x  
b) Giải thích bằng đồ thị kết luận câu a)
Hưóng dẫn: Xét hai dãy  an  với an  2n và  bn  với bn 



 2n
2

Bài 4. Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) cùng xác định trên khoảng  ;a  . Dùng định nghĩa chứng minh
rằng, nếu lim f(x)  L và lim g(x)  M thì lim f(x)g(x) L.M
x

x 

x 

24