CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN CỌC SIÊU NHỎ

30

Chơng ii: PHƯƠNG PHáP TíNH TOáN CọC SIÊU NHỏ
2.1. Lý thuyết tính toán sức chịu tải của cọc siêu nhỏ
Hiện nay, trong nớc cha có tiêu chuẩn thiết kế cọc siêu nhỏ. Do đó, nội
dung phần này sẽ trình bày phơng pháp thiết kế cọc siêu nhỏ dựa trên chỉ dẫn
thiết kế và thi công cọc siêu nhỏ FHWA - SA - 97 - 070.
2.1.1 Sức chịu tải theo đất nền
Sức chịu tải theo tải trọng cho phép [19]
PG =

b
Db Lb
FS

(2.1)

FS = 2.5 cho đất, đá và nhóm cọc không kể đến động đất

Sức chịu tải theo hệ số tải trọng
PG = G b Db Lb

(2.2)

Trong đó:
PG : Sức chịu tảicủa cọc siêu nhỏ

b : Độ bền kết dính giữa vữa và đất nền (Bảng 2.1)
Db : Đờng kính cọc
Lb : Chiều dài kết dính
FS : Hệ số an toàn

G : Hệ số cho sức bền kết dính
G = 0,6 cho thiết kế thông thờng và nhóm cọc không chịu tải trọng động đất;
G = 1 cho nhóm cọc chịu tải trọng động đất.

2.1.2 Sức chịu tải theo vật liệu
Trong thiết kế sức chịu tải theo vật liệu của cọc siêu nhỏ nên sử dụng
các tiêu chuẩn theo từng địa phơng. Việc xem xét đặc biệt của thiết kế cọc
siêu nhỏ có thể không phải luôn đợc cụ thể hay giải quyết thỏa đáng trong các
quy định và tiêu chuẩn này. Trong trờng hợp này, việc giải thích hợp lý hoặc
ngoại suy là điều cần thiết bởi tất cả các bên, đợc phản hồi bởi các thí nghiệm


31

phù hợp. Trong phần này, việc thiết kế của các phần khác nhau của cọc siêu
nhỏ đợc kiểm tra theo AASHTO 1996. Cả hai phơng pháp SLD (theo tải trọng
cho phép ) và LFD ( theo hệ số tải trọng) đợc trình bày.
Việc thiết kế cọc siêu nhỏ theo vật liệu dựa trên cấu tạo gồm hai phần
của cọc: phần trên là ống casing gắn liền với cọc, cốt thép gia cờng tại tâm;
phần dới bao gồm bầu neo và cốt thép gia cờng tại tâm nh trên Hình 2.1.

Hình 2.1: Cấu tạo cọc siêu nhỏ [19]

Bảng 2.1: Tóm tắt các trị số tiêu biểu b (kết dính giữa vữa và đất nền) đối với
thiết kế cọc siêu nhỏ cơ bản đã sử dụng trong thực tiễn [19]


32

Mô tả loại đất/đá

Miền giá trị điển hình của lực dính kết (kPa)
Dạng A

Dạng B

Dạng C

Dạng D

Mùn và sét (pha cát), dẻo mềm, trung

35-70

35-95

50-120

50-145

bình
Mùn và sét (pha cát), dẻo cứng, chặt

50-120

70-190

95-190

95-190

đến rất chặt
Cát (pha mùn) mịn, xốp mềm, chặt vừa
Cát (pha mùn, sỏi) thô, chặt vừa đến rất

70-145
95-215

70-190
120-360

95-190
145-360

95-240
145-385

chặt
Sỏi (pha cát) chặt vừa đến rất chặt
Đá cuội (pha mùn, cát, sỏi) chặt vừa

95-265
95-190

120-360
95-310

145-360
120-310

145-385
120-335

đến rất chặt

1. Phần cọc có ống casing
Sức chịu tải kéo và nén cho phép (SLD) và sức chịu tải thiết kế (LFD)
đợc trình bày trong các biểu thức dới đây cho phần phía trên của cọc siêu nhỏ.
Do phần phía trên của cọc thờng đợc đặt trong các lớp đất yếu nên cần kể đến
ổn định của cọc trong tính toán sức chịu tải theo phơng đứng. Cọc thờng đợc
bao quanh bởi đất nền, do đó không có chiều dài tính toán và không bị suy
giảm sức chịu tải đứng do mất ổn định trừ khi cọc đợc kéo dài lên trên mặt
đất, cọc xuyên qua hang động, hoặc qua các lớp đất có thể bị hóa lỏng.
Sức chịu tải theo tải trọng cho phép
Do sự biến dạng tơng đồng giữa ống casing và cốt thép, cờng độ của thép đợc
tính nh sau [19]:
Fy = min ( Fy b , Fy ca )

(2.3)

Sức chịu tải kéo cho phép:
Pt = 0,55Fy ( Ab + Aca )

Trong đó:
Fy b : Cờng độ cốt thép
Fy ca : Cờng độ ống casing

(2.4)

33

Ab : Diện tích cốt thép
Aca : Diện tích mặt cắt ngang của ống casing

Sức chịu tải nén cho phép:
Pc = 0, 4 f cAc + 0, 47 Fy ( Ab + Aca )

(2.5)

Trong đó:
f c là cờng độ chịu nén của bê tông
Ac là diện tích mặt cắt ngang phần bê tông của cọc

Sức chịu tải theo hệ số tải trọng
Tơng tự nh trên, do sự biến dạng tơng đồng giữa ống casing và cốt thép, cờng
độ của thép đợc lấy Fy = min ( Fy b , Fy ca )
Sức chịu tải kéo thiết kế:
P t = 0,9 Fy ( Ab + Aca )

(2.6)

Sức chịu tải nén thiết kế:
Pc = 0,85 0,85 f cAc + Fy ( Ab + Aca )

(2.7)

2. Phần cọc neo
Phần cọc neo (phía dới) thờng có sức chịu tải về vật liệu là nhỏ, do đó

có thể kể đến sức chịu tải ma sát ở phần phía trên có ống casing của cọc vào
sức chịu tải vật liệu của cọc ở phần cọc neo. Sức chịu tải này đợc gọi là Pch . Để
thiên về an toàn thì có thể bỏ qua sức chịu tải này và bỏ qua nó khi tính toán
sức chịu tải mũi cọc [19].
Sức chịu tải theo tải trọng cho phép
Sức chịu tải ma sát phần trên cọc:

Pch = b Db Lb
FS

(2.8)

Sức chịu tải kéo cho phép:
Pt = 0,55 Fy b Ab + Pch

(2.9)


34

Trong đó:
Ab là diện tích cốt thép

Sức chịu tải nén cho phép:
Pc = 0, 4 f cAc + 0, 47 Fy b Ab + Pch

(2.10)

Trong đó:
f c là cờng độ chịu nén của bê tông

Ac là diện tích mặt cắt ngang phần bê tông của cọc

Sức chịu tải theo hệ số tải trọng
Sức chịu tải ma sát phần trên cọc:
Pch = G b Db Lb

(2.11)

Sức chịu tải kéo thiết kế:
Pt = 0,9 Fy b Ab + Pch

(2.12)

Sức chịu tải nén thiết kế:
Pc = 0, 75 0,85 f cAc + Fy b Ab + Pch

(2.13)

2.1.3. Sức chịu tải của cọc siêu nhỏ theo phơng ngang
ứng xử của cọc siêu nhỏ theo phơng ngang phụ thuộc vào các đặc trng
của cọc nh đờng kính, chiều dài, độ cứng uốn, điều kiện liên kết của cọc với
đài, và các đặc trng của đất nền xung quanh. Điều kiện đất nền xung quanh từ
việc hạ cọc cũng cần đợc quan tâm. Các vấn đề có thể kể đến bao gồm sự rời
ra của đất nền khi khoan tọa lỗ, và sự chặt của đất khi bơm phụt vữa bê tông.
Các tham khảo liệt kê dới đây của FHWA bao gồm tài liệu và các phần mềm
tính toán:
- ứng xử của cọc và nhóm cọc dới tác dụng của tải trọng ngang
(FHWA/RD-85/106)
- Sổ tay thiết kế cọc và cọc khoan nhồi do tải trọng ngang (FHWA-IP84-11)

35

- COM624P, chơng trình phân tích cọc chịu tải trọng ngang cho máy
tính siêu nhỏ (FHWA-SA-91-048)
Các phơng pháp làm tăng sức chịu tải trọng ngang của cọc siêu nhỏ bao gồm:
- Hạ cọc theo phơng xiên
- Hạ cọc với ống casing có đờng kính lớn hơn để tăng đờng kính hiệu
quả của cọc, khả năng chịu tải trong ngang bao gồm sức chịu tải của đất nền
và khả năng chịu uốn của cọc.
Một vấn đề cần quan tâm là phải kiểm tra khả năng chịu tải của mặt cắt
do tổ hợp ứng suất trong cọc khi chịu đồng thời nén và uốn, đạc biệt là vị trí
nối ống casing [19].
2.1.4.ổn định của cọc siêu nhỏ
Đối với các cọc có chiều dài tự do, cần tính toán sức chịu tải của cọc có
kể đến ổn định nh sau [19]:
Theo phơng pháp tải trọng thiết kế:
Cc =

Nếu

2 2 Es
Fy

(2.14)

F
KL
= 0 thì Fa = y với FS = 2.12
r

FS

Nếu 0 <

Fy KL 2 Fy
KL
< C c thì Fa =
1

ữ
FS r 4 2 Es
r

2 Es
Fa =
KL
2
C c thì
Nếu
KL
r
FS

r

Sức chịu tải cho phép:
Fy

F
Pc = 0, 4 f c' Ac +

( Ab + Aca ) Fa
FS

y
FS

Theo phơng pháp hệ số sức kháng:

(2.15)


36

Nếu

KL
= 0 thì Fa = Fy
r

KL
< C c thì Fa = Fy
Nếu 0 <
r

KL 2 Fy
1

ữ
2
r 4 Es

2 Es

Nếu

Fa =
KL
2
C c thì
KL
r


r

Sức chịu tải thiết kế:
Pc = 0,85 0,85 f c' Ac + Fy ( Ab + Aca )

Fa
Fy

(2.16)

Trong đó:
Cc : Độ mảnh của cọc
Es : Mô đun đàn hồi của thép

K: Hệ số độ bền hiệu quả
L: Chiều dài tự do
r: Bán kính quán tính

2.2. Lý thuyết tính toán chuyển vị của cọc siêu nhỏ theo phơng pháp hệ số nền
Hiện nay, việc tính toán chuyển vị đứng và ngang của hệ móng cọc của
các công trình nh nhà cao tầng, trụ cầu v.v chủ yếu dựa theo phơng pháp thanh
hoặc dầm trên nền đàn hồi tuyến tính. Tuy nhiên, ứng xử của cọc trong thực tế
là phi tuyến do tính chất của nền đất và của bản thân vật liệu làm cọc. Trong
thực tế tính toán chuyển vị của cọc ở các nớc tiên tiến nh ở châu Âu và Mỹ,
ngời ta thờng sử dụng phơng pháp đờng cong t-z (mô tả quan hệ giữa ứng suất
tiếp và chuyển vị tại một điểm bất kỳ dọc thân cọc) cho cọc chịu tải trọng
đứng và đờng cong p-y (mô tả quan hệ giữa phản lực nền p tại một vị trí nào
đó trên thân cọc và chuyển vị ngang của thân cọc y tại điểm đó) cho cọc chịu
tải trọng ngang.
Đất nền xung quanh cọc đợc mô hình hóa bởi các lò xo phi tuyến. Quan
hệ lực và chuyển vị trong lò xo đợc tính toán từ các đờng cong t-z và p-y. Đ-


37

ờng cong t-z và p-y đợc thiết lập theo phơng trình toán học từ các số liệu thí
nghiệm hiện trờng tơng ứng với các loại đất khác nhau [3].
Để phục vụ cho tính toán chuyển vị phi tuyến của cọc đơn chịu tải trọng
đứng và ngang, một phơng pháp tính đơn giản đợc đề xuất dựa trên phơng
pháp phần tử hữu hạn.
Cọc chịu tải trọng đứng và ngang thờng đợc phân tích theo phơng pháp
giải tích sử dụng mô hình thanh trên nền đàn hồi hoặc dầm trên nền đàn hồi.
Bên cạnh đó, phơng pháp phần tử hữu hạn với mô hình phức tạp cũng có thể đợc sử dụng [3]. Dới đây trình bày môt số phơng pháp phổ biến tính toán cọc
chịu tải trọng đứng và ngang.
2.2.1 Lý thuyết thanh trên nền đàn hồi
2.2.1.1 Cọc chịu tải trọng đứng
1. Thanh trên nền đàn hồi liên tục
Thanh trên nền đàn hồi dọc trục có thể đợc sử dụng để mô hình hoá sự

làm việc của cọc dới tác dụng của tải trọng đứng.

Hình 2.2: Sơ đồ tính thanh trên nền đàn hồi chịu kéo nén [3]
Phản lực nền :
p = k xux

trong đó :
k x : hệ số nền theo trục x

(2.17)


38

u x : chuyển vị của thanh theo trục x

Phơng trình vi phân cân bằng phân tố thanh có chiều dài dx :
dN
= bp q
dx

(2.18)

trong đó :
N : lực dọc trong thanh

q : tải trọng trên thanh

Mối quan hệ giữa chuyển vị u x và lực dọc N nh đã biết :
du x

du
N
=
N = EF x
dx
EF
dx

(2.19)

trong đó :
E : mô đun đàn hồi
F : Diện tích mặt cắt ngang tiết diện thanh, với thanh tiết

diện chữ nhật ta có : F = bh .
Thay (2.19) và (2.17) vào (2.18) ta có :
EF d 2 u x
1
d 2u x
hay
u

=
q
EF
=
k
bu

q

x
x
x
2
2
k x b dx
kxb
dx
2
Đặt =

EF
kxb

và đổi biến =

(2.20)

d 2u x
x
1 d 2u x
=
ta có
, thế vào phơng
a
dx 2
2 d

trình (2.20) :
d 2u x

1
ux
=
q
2
k xb
d

(2.21)

Nghiệm của phơng trình (2.21) là :


1
u x = c1 ch + c 2 sh
sh( ) q ( ) d
k x b 0

Hai hằng số c1 ; c 2 xác định theo điều kiện biên.
Đặt x =



1
sh( ) q ( ) d ; x xác định theo từng loại tải trọng [3].
k x b 0

2. Thanh trên nền đàn hồi rời rạc

(2.22)

39

Cọc đợc phân chia thành các đoạn nhỏ và liện kết với nhau tại các điểm
nút. Đất nền đợc mô hình hoá bằng các lò xo rời rạc liên kết với thân cọc cũng
tại các điểm nút (Hình 2.3). ứng xử của cọc có thể là tuyến tính hoặc phi
tuyến. Đặc trng quan hệ lực-chuyển vị của cọc đợc mô tả bằng đờng cong t-z
trong đó t là ứng suất tiếp dọc thân cọc tại một điểm nào đó và z là chuyển vị
theo phơng đứng của điểm đó. Đặc điểm của đờng cong t-z sẽ đợc trình bày
chi tiết trong phần sau [3].
Qt

Qt
Qt

Qsi

Qsi
z

fs

fs

Qb

qb

Qb

Qb

Qs

z

Hình 2.3: Mô hình tính toán cọc chịu tải trọng đứng theo thanh trên nền đàn
hồi [3]
Theo phơng pháp phần tử hữu hạn, chuyển vị tại một điểm bất kỳ bên
trong phần tử u z có thể xấp xỉ bởi chuyển vị hai đầu nút của phần tử nh sau:
u z = N 1u z1 + N 2 u z 2

(2.23)
z

z

Trong đó N 1 và N 2 là các hàm dạng: N 1 = 1 L và N 2 = L nh trên Hình 2.4.
e
e
Trong đó u z1 and u z 2 , là chuyển vị hai đầu phần tử. Độ cứng của cọc nền đợc
tính nh sau:


40

Le

[ ] [ N ]dz + k [ N ] [ N ]dz

K uz = K u z p + K u z s = E p A p N
0

Le

' T

T

'

(2.24)

uz

0

Trong đó: K u z p là ma trận độ cứng của cọc và K u z s là ma trận độ cứng của
nền.
Nếu E p A p là hằng số:
K uz p =

E p A p 1 1
Le 1 1
1

(2.25)
2

G, J

N1

1

N2

1

z
L

0

z
0

L

Hình 2.4: Hàm dạng của phần tử thanh chịu lực dọc trục [3]
Nếu độ cứng lò xo là hằng số k z :
1 / 3 1 / 6
K z s = k z Le

1 / 6 1 / 3

(2.26)

Nếu độ cứng của lò xo, k u z , là tuyến tính:

1 / 4 1 / 12
1 / 12 1 / 12
K u z s = k u z 1 Le
+ k u z 2 Le


1 / 12 1 / 12
1 / 12 1 / 4

(2.27)

Trong đó k z 1 và k z 2 là độ cứng của nền tại điểm đầu và điểm cuối phần tử.
Nếu k u biến thiên bậc 2:
z

19 / 105 11 / 210
16 / 105 4 / 35
K z = k u z 1 Le
+ k u z 2 Le

2 / 7
11 / 210 1 / 21
4 / 35

Phơng trình cân bằng của một phần tử là:

(2.28)


41

F z1
=
z 2 Fz 2

[ K ]uu
uz

z1

(2.29)

3. Các thông số tính toán độ cứng lò xo
*Mô đun đàn hồi trợt
Mô đun đàn hồi trợt ban đầu của đất nền Gmax liên hệ với vận tốc truyền
sóng cắt Vs và khối lợng riêng nh sau:
Gmax = Vs2

(2.30)

Thí nghiệm cộng hởng cột đất (Hardin và Drnevich, 1972) đợc thực
hiện để đo đạc vận tốc truyền sóng cắt và xây dựng công thức nh sau để xác
định mô đun đàn hồi trợt ban đầu Gmax khi biến dạng trợt là nhỏ:
Gmax pa = 321

Trong đó:

( 2.97 e ) OCR M
1+ e

( 0

pa )

0.5

(2.31)

e là hệ số rỗng ( 2 );

0 là ứng suất hiệu quả trung bình;
M là số mũ liên hệ với PI nh trong Bảng 2.2.
p a là áp suất khí quyển, p a = 101.4 kPa.

Bảng 2.2: Số mũ M cho mô đun đàn hồi trợt (Hardin và Drnevich, 1972) [3]
Chỉ số dẻo PI
0
20
40
60
80
100

Số mũ M
0
0.18
0.30
0.41
0.48
0.5

* Độ cứng của lò xo
Đặc trng độ cứng của lò xo có thể đợc từ các đặc trng của đất nền nh
mô đun đàn hồi trợt và hệ số Poisson. Randolph và Wroth (1978) đã xây dựng
biểu thức độ cứng ban đầu của lò xo K s sử dụng mô hình hình trụ đồng tâm
nh Hình 2.5 với một số giả thiết nh sau [3]:


42

- Chuyển vị theo phơng bán kính có thể bỏ qua do rất nhỏ khi so sánh
với chuyển vị đứng. Do đó điều kiện cắt đơn đợc thoả mãn.
- ứng suất tiếp giảm một cách tuyến tính theo khoảng cách từ tâm của
cọc theo = 0 r0 r trong đó: ứng suất tiếp tại khoảng cách r ; 0 là ứng suất
tiếp tại bề mặt của cọc và r0 là bán kính của cọc.
- ứng suất tiếp có thể bỏ qua khi khoảng cách từ điểm đang xét tới tâm
cọc là rm .

Hình 2.5: Cắt trong hình trụ đồng tâm (Kraft và các cộng sự, 1981) [3]
Mối quan hệ lực chuyển vị đợc viết nh sau:
rm

zs = 0 r0
r0

dr
Gr

(2.32)

Trong đó: zs là chuyển vị thành cọc.
Nếu G là hằng số, công thức 2.32 đợc viết là:
zs =

0 r0 rm
ln ữ
G r0

(2.33)

Độ cứng lò xo thành cọc là:
Ks =

Trong đó:

0
=
zs

r0 là bán kính của cọc

G
r
r0 ln m ữ
r0

(2.34)


43

G là mô đun đàn hồi trợt

rm là khoảng cách theo phơng bán kính mà ứng suất tiếp có thể

bỏ qua. Giá trị của rm có thể đợc xác định nh sau (Randolph và Wroth, 1979):
rm = 2.5 L ( 1 )

(2.35)

Trong đó:
L là độ xuyên sâu của cọc vào đất

là hệ số kể đến độ đồng nhất của cọc: = GM GT ( GM là mô đun đàn

hồi trợt tại độ sâu bằng một nửa chiều dài cọc và GT là mô đun đàn hồi trợt tại
mũi cọc)
là hệ số Poisson

Guo và Randolph (1997) đề xuất công thức chung của rm nh sau:
rm = A

1 s
L + Br
1+ n

(2.36)

Trong đó: A và B là hệ số phụ thuộc vào đặc trng hình học, độ cứng và chiều
dày các lớp đất.

Độ cứng của lò xo mũi cọc đợc xác định theo lời giải của Boussinesq
cho móng cứng nằm trên nửa không gian biến dạng đàn hồi (Poulos và Davis,
1990):
Kb =

4Gr0
1

(2.37)

2.2.1.2 Cọc chịu tải trọng ngang
1. Dầm trên nền đàn hồi
* Phơng trình giải tích cơ bản
Coi nền là các lò xo đàn hồi liên tục. Quan hệ giữa phản lực nền và
chuyển vị của dầm [3]
Phản lực nền :
p = k yu y

trong đó :

(2.38)


44

k y : hệ số nền theo trục y
u y : chuyển vị của trục dầm theo trục y

Phơng trình vi phân đờng đàn hồi của trục dầm :
M

1 Mz
=
u 'y' = z
EI
EI

(2.39)

trong đó :
I : mô men quán tính của tiết diện dầm, với dầm tiết diện chữ

nhật ta có : I =

bh 3
.
12

Phơng trình vi phân cân bằng :
d 2M z
= q pb
dx 2

(2.40)
q

y
Mz

q
ky

Mz+dMz

x
Qy

p

Qy+dQy
p
dx

Hình 2.6: Sơ đồ tính dầm trên nền đàn hồi chịu uốn [3]
Thay (2.38) và (2.40) vào (2.39) ta có :
EI

Đặt = 4

k yb
4EI

d 4u y
dx 4

= q k y bu y

(2.41)

và đổi biến = x ;

du y d
du y
d 4u y
d 4u y
4
=
.
=

=
. Phơng trình (2.41) đợc viết lại là :
dx
d dx
d
dx 4
d 4

du y

d 4u y
d

4

+ 4u y =

4
q
k yb

Nghiệm của phơng trình vi phân (2.42) theo Krlov :

(2.42)


45



4
u y =c1Y1 +c 2Y2 +c 3Y3 +c 4Y4 +
Y4 ( ) q ( ) d
k y b 0

(2.43)

trong đó :
Y1 , Y2 , Y3 và Y4 : hàm Krlov :
Y1 = chs cos ; Y2 =
Y3 =

1
( ch sin + sh cos )
2

1
1
sh sin ; Y4 = ( ch sin sh cos )
2
4

c1 , c 2 , c3 và c 4 : hằng số xác định theo điều kiện biên.

y =



4
Y4 ( ) q ( ) d : hàm số xác định theo từng loại tải trọng.
k y b 0

Phơng trình góc xoay, mô men uốn và lực cắt :
z =

du y
dx

M z = EI
Qy =

(

= 4c1Y4 +c 2Y1 +c 3Y2 +c 4Y3 + y'
d 2u y
dx 2

)

(2.44)

(

)

= EI 2 4c 1Y3 4c 2Y4 +c 3Y1 +c 4Y2 + y'' (2.45)

(

dM z
= EI 3 4c 1Y2 4c 2Y3 4c 3Y4 + c 4Y1 + y'''
dx

)

(2.46)

* Phơng pháp phần tử hữu hạn
Chuyển vị liên tục đợc xấp xỉ bằng các giá trị rời rạc tại nút nh sau [3]:
u y = [ N1

N2

N3

u y1


N 4 ] x1
u y 2
x 2

(2.47)

Trong đó x1 = u y z tại nút 1 và tiếp theo tơng tự. Trong trờng hợp này, công
thức (2.47) có thể tính đợc chính xác bằng cách xử dụng hàm bậc ba (Hình.
2.7):
N1 =

1 3
1
L 3Lz 2 + 2 z 3 ; N 2 = 2 L2 z 2 Lz 2 + z 3
3
L
L

(

)

(

)

(2.48)


46

N3 =

1
1
3Lz 2 2 z 3 ; N 4 = 2 Lz 2 + z 3
3
L
L

(

)

(

1

)
2

Ep, Ip

N1

1

N3

1

z
0

L

z
0

L

N2

1

N4

1

z
L

0

z
L

0

Hình 2.7: Hàm dạng cho dầm chịu uốn [3]
Hàm dạng có đặc trng là bằng một tại bậc tự do đang xét và bằng không
tại các bặc tự do khác. Ap dụng phơng pháp Galerkin và lý thuyết Green để
tránh tích phân bốn lần. Ma trận độ cứng của dầm trên nền đàn hồi là:

Kuy p

12
L3



= EI






Ku y s

156 22 L 54 13L
2
2
kuy L
4
L
13
L

3
L

=
sym 156 22 L
420


4 L2


6
L2
4
L

12
L3
6
2
L
12
sym
L3


6
L2

2
L
6
2

L
4

L

(2.49)

(2.50)

2. Dầm trên nền Winkler
* Khái niệm cơ bản
Dầm trên nền Winkler hay còn gọi là phơng pháp phản lực nền hiện nay
đợc ứng dụng rộng rãi trong thiết kế cọc chịu tải trọng ngang. Giả thiết cơ bản
trong lý thuyết dầm trên nền Winkler là ứng xử của các lớp đất liền kề là độc
lập và đợc rời rạc bằng các lò xo. Phơng pháp này có nhợc điểm là không kể


47

đến sự ảnh hởng qua lại giữa các lò xo, đơn giản hoá sự tiếp xúc giữa cọc và
đất, và không kể đến sự tơng tác ba chiều [3]. Khái niệm về phơng pháp này
thể hiện trong Hình 2.8.

Hình 2.8: Khái niệm dầm trên nền Winkler cho cọc chịu tải trọng ngang [3]
Một trong những u điểm vợt trội của phơng pháp này so với phơng pháp
dầm trên nền đàn hồi là có thể xây dựng phần mềm tính toán theo phơng pháp
phần tử hữu hạn hoặc phơng pháp sai phân hữu hạn trong đó ứng xử phi tuyến
của nền đất nhiều lớp có thể đợc kể đến một cách dễ dàng. Thêm nữa, thời
gian tính toán nhanh hơn rất nhiều so với phơng pháp tính theo phần tử hữu
hạn ba chiều [3].

Đờng cong p-y mô tả mối quan hệ giữa phản lực nền p tại một vị trí nào
đó trên thân cọc và chuyển vị ngang của thân cọc y tại điểm đó. Hệ số nền tại
một điểm nào đó trên thân cọc K là tỉ số giữa phản lực nền và chuyển vị của
thân cọc tại điểm đó:
K=

p
y

(2.51)


48

Quan hệ phi tuyến của lực và chuyển vị của lò xo đặc trng cho ứng xử
phi tuyến của đất xung quanh cọc. Đờng cong p-y đợc sử dụng để mô hình
hoá tính phi tuyến của độ cứng của nền đất xung quanh cọc và thờng đợc xác
định từ kết quả nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm.
* Phơng pháp phần tử hữu hạn
Dầm đợc chia thành nhiều đoạn đủ nhỏ để có kết quả với độ chính xác
chấp nhận đợc. Tại các điểm nút, phần tử lò xo phi tuyến đợc sử dụng để mô
tả ứng xử phi tuyến của nền. Đặc trng đờng cong quan hệ lực-chuyển vị của lò
xo đợc xác định từ đờng cong p-y của đất nền. Ma trận độ cứng của phần tử
dầm cho trong công thức (2.49). Ma trận độ cứng đàn hồi của lò xo là [3]:
k
K =
k

k
k

(2.52)

Trong đó k là độ cứng của lò xo đợc xác định từ đặc trng đàn hồi của
nền. Một đầu của lò xo có điều kiện biên là ngàm nên chuyển vị bằng không
và đầu còn lại của lò xo liên kết với thân cọc.
Ma trận độ cứng của cọc theo công thức (2.49) tơng tự nh ma trận độ
cứng của phần tử dầm. Ma trận độ cứng của dầm đợc ghép nối với ma trận độ
cứng lò xo để tạo thành ma trận độ cứng của hệ lò xo và cọc.


49

Hình 2.9: Sơ đồ tính cọc chịu tải trọng ngang [3]
a) Mặt cắt; b) Đờng đàn hồi; c) Đờng cong p-y
* Độ cứng ban đầu của lò xo
Độ cứng ban đầu là độ cứng đàn hồi là tiếp tuyến của đờng cong p-y tại
gốc toạ độ. Trong bài toán phần tử hữu hạn, độ cứng ban đầu của đờng cong py đợc sử dụng để thiết lập ma trận độ cứng của hệ. Ngoài ra độ cứng ban đầu
còn là giá trị độ cứng khi chuyển vị ngang của cọc là nhỏ. Độ cứng ban đầu có
thể xác định theo kinh nghiệm, hoặc đợc tính toán từ các đặc trng đàn hồi của
đất nền nh mô đun đàn hồi, hệ số Poisson. Vesic (1961) đa ra công thức sau
[3]:
1

1

Es D 4 12
0.65 Es Es D 4 12
0.65
ky =

D
=
E

ữ
ữ
s
1 2 D EI
1 2 EI

(2.53)

Dựa vào kết quả thí nghiệm hiện trờng, Carter (1984) sửa đổi công thức
của Vesic có kể đến ảnh hởng của đờng kính cọc nh sau:
1

Es D 4 12
Es D
ky =

ữ
1 2 Dref EI

(

)

(2.54)

Độ cứng ban đầu của đá mềm đợc xác định theo công thức (Reese,

1997):
K ir = kir Eir

(2.55)

Trong đó: Eir là mô đun đàn hồi ban đầu của đá mềm; kir hằng số
không thứ nguyên đợc xác định theo thực nghiệm:
400 xr

kir = 100 +
ữ với 0 xr 3b
3b


(2.56)

kir = 500 với xr > 3b

(2.57)

Ngoài ra, độ cứng ban đầu của đờng cong p-y cho đất cát và đá có thể
xác định tơng ứng trong các Hình vẽ 2.10 và 2.11


50

Hình 2.10:Quan hệ giữa độ cứng ban đầu của đất cát và độ chặt tơng đối [3]

Hình 2.11: Quan hệ giữa tỉ số mô đun đàn hồi và RQD [3]
2.2.1.3 Đờng cong t-z

Quan hệ ứng suất tiếp và chuyển vị tại một điểm bất kỳ dọc thân cọc đợc mô tả bằng đờng cong t-z. Đờng cong t-z có thể là đờng cong lý thuyết nh
xác định từ mô hình đàn hồi dẻo lý tởng, hypecbôn và cũng có thể là đờng
cong xác định từ thực nghiệm [3].
1. Mô hình đàn hồi dẻo lý tởng
ứng suất tiếp ( ) tăng một cách tuyến tính với biến dạng trợt ( ) tại các
giá trị ứng suất nhỏ hơn ứng suất tới hạn. Quan hệ này trở thành dẻo lý tởng


51

khi ứng suất đạt ứng suất tới hạn. Tham số của mô hình bao gồm mô đun đàn
hồi trợt ( Gmax ) và ứng suất tới hạn ( ult ) nh trên Hình 2.12.

Hình 2.12: Mô hình đàn hồi dẻo lý tởng [3]
2. Mô hình Hypecbôn
Duncan và Chang (1970) phát triển mô hình hypecbôn để mô tả tính phi
tuyến trong quan hệ ứng suất-biến dạng của đất nền. Sau đó, mô hình này đợc
ứng dụng để mô tả quan hệ lực và chuyển vị của cọc nh theo Mosher (1984),
Kraft và các cộng sự, (1981) [3]. Biểu thức sau đây đợc viết cho quan hệ ứng
suất và biến dạng của đất nền xung quanh thân cọc:
=



1

+
Gmax ult

Trong đó:

là biến dạng trợt
Gmax là mô đun trợt ban đầu

ult là ứng suất tiếp tới hạn
là ứng suất tơng ứng với biến dạng trợt

(2.58)


52

Hình 2.13: Mô hình hypecbôn [3]
Mô đun đàn hồi trợt tiếp tuyến đợc tính toán bằng đạo hàm công thức 2.58:
2




Gt =
= Gmax 1
ữ

ult

(2.59)

ứng suất tiếp lớn nhất max liên hệ với ứng suất tới hạn ult bằng hệ số R f :
max = ult R f trong đó R f là hằng số biến thiên từ 0.75 đến 1.0 phụ thuộc vào

loại đất (Duncan và Chang, 1970). Fahey và Carter (1993) đề xuất một mô

hình hypecbôn khác với hai tham số f và g để dễ dàng thay đổi đờng cong
quan hệ ứng suất và biến dạng (đợc gọi là hypecbôn cải tiến):
Gs
= 1
Gmax

g


f
ữ
max

(2.60)

Trong đó: Gs là mô đun đàn hồi trợt cát tuyến
f và g là tham số có giá trị từ 0 đến 1.0.

Quan hệ ứng suất-biến dạng đợc viết nh sau:


= Gmax 1



Mô đun đàn hồi trợt tiếp tuyến:


f
max

g





(2.61)


53

Gt = Gmax


1


g

f
ữ
max

2

(2.62)

g


1 f ( 1 g )
ữ

max

Hình 2.14 thể hiện tỷ số giữa mô đun đàn hồi trợt tiếp tuyến và mô đun đàn
hồi ban đầu.

Hình 2.14: Sự phụ thuộc của mô đun đàn hồi tiếp tuyến vào tham số mô hình
hypecbôn cải tiến [3]
3. Đờng cong t-z xác định từ thí nghiệm
Đờng cong t-z đợc trình bày sau đây xác định từ thí nghiệm. Bảng 2.3
tổng hợp đờng cong t-z theo API (1993) và Vijayvergiya (1977). Hình 2.14
thể hiện quan hệ lực-chuyển vị của mũi cọc theo API (1993).
1.2
1

Q/Qb

0.8
0.6
0.4
0.2
0
0

0.02

0.04

0.06
Zb/D

0.08

0.1

0.12


54

Hình 2.15: Quan hệ lực và chuyển vị tại mũi cọc (API 1993) [3]
ONeill và Reese (1999) đã xây dựng một số đờng cong t-z đã đợc chuẩn hoá
cho thành cọc và mũi cọc trong đất sét và đất cát từ một số kết quả thí nghiệm
nh trong hình từ 2.16 đến 2.19. Rollins và các cộng sự. (2005) cũng xây dựng
một số đờng cong t-z đã chuẩn hoá cho đất cát và sỏi sạn nh trong Hình 2.20
Bảng 2.3: Đờng cong t-z từ thực nghiệm [3]
Tác giả
API

T-Z cho thân cọc
s = max

zs

với zs zc
zc

s = max với zs > zc

Vijayvergiya
(1977)

Qb Z cho mũi cọc
Zb D
Qb Qb max

0.002
0.13
0.042
0.073
0.1

0.25
0.5
0.75
0.9
1

z
z
s = max 2 s s ữ
ữ với (
z c zc

z
Qb = Qb max b ữ với zs zc
zc

z s zc )

Qb = Qb max với zs > zc

1
3

s = max với zs > zc

Trong đó:
s là ứng suất tiếp tại bề mặt cọc
max là ứng suất tiếp lớn nhất tại bề mặt cọc
z s là chuyển vị thân cọc
z c là chuyển vị thân cọc khi đất nền bị phá hoại
z b là chuyển vị mũi cọc