PHÁT TRIỂN văn hóa TOÁN học CHO học SINH THÔNG QUA dạy học PHÁT HIỆN và GIẢI QUYẾT vấn đề

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
-----888-----

ĐỖ THỊ LAN ANH

PHÁT TRIỂN VĂN HÓA TOÁN HỌC CHO
HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC PHÁT HIỆN
VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

HÀ NỘI - 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
-----888-----

ĐỖ THỊ LAN ANH

PHÁT TRIỂN VĂN HÓA TOÁN HỌC CHO
HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC PHÁT HIỆN
VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Chuyên ngành: Lí luận và PPDH bộ môn Toán
Mã số : 62 14 01 11

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học:
1. PGS.TS Vương Dương Minh

2. TS. Lê Ngọc Sơn

HÀ NỘI - 2016


i
LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới thầy giáo hướng
dẫn khoa học: PGS.TS Vương Dương Minh, thầy đã hết lòng tận tình hướng
dẫn, giúp đỡ em trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án.
Em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Toán,
Phòng sau đại học, cùng các thầy cô giáo trong tổ bộ môn Phương pháp
giảng dạy Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi
cho em trong quá trình học tập và làm luận án.
Đồng thời tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Toán,
các em học sinh trường THPT Đông Du và THPT Phú Xuân, Buôn Ma
Thuột, ĐăkLăk đã nhiệt tình giúp đỡ, hỗ trợ tôi trong suốt thời gian thực
nghiệm sư phạm.
Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới ba mẹ, tới những người
thân, bạn bè đồng nghiệp cũng như các anh chị trong nhóm Lý luận và
phương pháp dạy học bộ môn Toán K33 đã tận tình chỉ bảo và giúp đỡ tôi
trong quá trình học tập và hoàn thành luận án.
Hà Nội, tháng 8 năm 2016
Tác giả

Đỗ Thị Lan Anh


ii

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
TT

Viết tắt

Viết đầy đủ

1

HS

Học sinh

2

GV

Giáo viên

3

THPT

Trung học phổ thông

4

DH

Dạy học

5

PPDH

Phương pháp dạy học

6

ĐC

Đối chứng

7

KTĐG

Kiểm tra đánh giá

8

TN

Thực nghiệm

9

SGK

Sách giáo khoa

10

HH

Hình học

11

NCS

Nghiên cứu sinh


iii
MỤC LỤC
2.1. Nội dung Hình học không gian lớp 11 ở trường THPT ...............................................44


1
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong thời kì công nghiệp hóa hiện đại hóa, đất nước chúng ta không
chỉ cần có những người lao động mới, năng động, tự chủ, sáng tạo mà còn cần
cả những người có đạo đức, phẩm chất, thẩm mĩ … Luật giáo dục Việt Nam
năm 2005 đã ghi rõ: “Mục tiêu giáo dục là đào tạo con người Việt Nam phát
triển toàn diện, có đạo đức, tri thức, sức khỏe, thẩm mĩ và nghề nghiệp, trung
thành với lí tưởng độc lập dân tộc và Chủ nghĩa xã hội, hình thành và bồi
dưỡng nhân cách, phẩm chất và năng lực của công dân, đáp ứng yêu cầu của
sự nghiệp xây dựng và bảo vệ tổ quốc”. để hoàn thành mục tiêu đó, luật giáo

dục chương II, mục 2, điều 28, quy định: “ PPDH phổ thông phải phát huy
tính tích cực, chủ động, tư duy sáng tạo của HS bồi dưỡng phương pháp tự
học; khả năng làm việc theo nhóm, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào
thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho HS”.
Với định hướng đó, PPDH theo định hướng đổi mới phải đảm bảo phát huy
tính năng động, sáng tạo và tích cực của HS, biến quá trình giáo dục, rèn
luyện thành tự giáo dục, tự rèn luyện”.
Hiện nay, DH ở nhà trường nói chung và DH Toán nói riêng đã có
nhiều đổi mới, tuy nhiên, vẫn còn hiện tượng học tập máy móc, rập khuôn,
nhồi nhét, sự giao lưu giữa thầy và trò, giữa trò và trò chưa được như mong
muốn. Trong nhà trường hiện nay chưa chú trọng nhiều đến văn hóa toán học,
hay nói cách khác là văn hóa toán học mới chỉ được phát triển một cách tự
nhiên. Vì vậy, văn hóa toán học cần được phát triển một cách chủ động.
Vấn đề đặt ra là, làm thế nào xây dựng văn hóa toán học một cách chủ
động. Để giải quyết vấn đề này, có thể sử dụng PPDH PH và GQVĐ, một
cách thường xuyên, như một phương tiện để hình thành văn hóa toán học
cho HS.
Phương pháp “dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề” là PPDH mà
người GV tạo ra những tình huống gợi vấn đề, điều khiển HS phát hiện vấn


2
đề, hoạt động tự giác và tích cực để giải quyết vấn đề, thông qua đó lĩnh hội
tri thức, rèn luyện kĩ năng và đạt được những mục đích học tập khác.
PPDH PH và GQVĐ mang tính phổ biến, bởi lẽ, có thể sử dụng trong
mọi khâu của quá trình dạy học, mọi loại bài học. Không những thế PPDH
PH và GQVĐ còn mang giá trị giáo dục, không chỉ là phương tiện để hình
thành kiến thức, kĩ năng mà còn phát triển năng lực PH và GQVĐ cho HS,
trong đó có yếu tố văn hóa toán học.
Với các lí do trên, chúng tôi đã chọn đề tài nghiên cứu “Phát triển văn

hóa toán học cho học sinh thông qua dạy học phát hiện và giải quyết vấn
đề”.
2. Mục đích nghiên cứu
- Làm rõ cơ sở lý luận, thực tiễn và đề xuất các nguyên tắc phát triển văn
hóa toán học cho HS thông qua PPDH PH và GQVĐ;
- Đề xuất các biện pháp phát triển văn hóa toán học cho HS thông qua
PPDH PH và GQVĐ.
3. Để đạt được mục tiêu, phải giải đáp được các câu hỏi khoa học sau:
Câu hỏi 1: Văn hóa toán học là gì?
Câu hỏi 2: Thực trạng về trình độ văn hóa toán học của học sinh ở
trường THPT? Vì sao văn hóa toán học cần được phát triển trong trường
THPT?
Câu hỏi 3: Dạy học PH và GQVĐ được vận dụng như thế nào nhằm phát
triển văn hóa toán học?
Câu hỏi 4: Áp dụng những kết quả của câu hỏi 3 vào thực tiễn dạy học sẽ
mang lại những kết quả gì về yêu cầu phát triển văn hóa toán học và những
yêu cầu dạy học khác.
4. Phương pháp nghiên cứu
a) Phương pháp nghiên cứu lý luận:
Nghiên cứu các tài liệu về lý luận và các tài liệu về Tâm lý học, Giáo
dục học, về văn hóa toán học để làm rõ các quan điểm về văn hóa nói chung


3
và văn hóa toán học nói riêng.
Nghiên cứu các tài liệu về lý luận và PPDH môn Toán làm điểm tựa để
đề xuất các phương pháp phát triển văn hóa toán học cho HS; để làm sáng tỏ
vai trò của PPDH PH và GQVĐ đối với sự hình thành và phát triển văn hóa
toán học cho HS; để có cách thức vận dụng PPDH PH và GQVĐ vào phát
triển văn hóa toán học cho HS.

b) Phương pháp điều tra, quan sát:
Phỏng vấn, thu thập các ý kiến của các chuyên gia, GV đang trực tiếp
nghiên cứu hoặc giảng dạy bộ môn Toán ở nhà trường về các vấn đề: văn
hóa toán học là gì?; vai trò của PPDH trong việc phát triển văn hóa toán học
cho HS; cách lựa chọn và sử dụng PPDH nhằm phát triển văn hóa toán học
cho HS…
Tổ chức điều tra thông qua phiếu hỏi, quan sát giờ dạy, tổng kết kinh
nghiệm thực tiễn về sự hình thành và phát triển văn hoá toán học cho HS; về
việc thông qua dạy học PH và GQVĐ phát triển văn hoá toán học cho HS.
Phỏng vấn, thu thập các ý kiến của các chuyên gia, GV đang trực tiếp
nghiên cứu hoặc giảng dạy bộ môn Toán ở nhà trường; và những nhận thức
về dạy học PH và GQVĐ của GV; kĩ năng vận dụng PPDH này vào nội dung
cụ thể để thông qua đó phát triển văn hóa toán học cho HS. Việc tổ chức điều
tra thực hiện trên phiếu hỏi bao gồm những yêu cầu sau:
+ Mục đích: Khảo sát mức độ hiểu về văn hóa toán học của chuyên gia,
GV đang trực tiếp nghiên cứu hoặc giảng dạy bộ môn Toán ở nhà trường; và
những nhận thức về dạy học PH và GQVĐ của GV; kĩ năng vận dụng PPDH
này vào nội dung cụ thể để thông qua đó phát triển văn hóa toán học cho HS.
+ Nhiệm vụ: Thiết kế phiếu hỏi, xây dựng nội dung phỏng vấn; Tổ chức
thu thập, xử lí, phân tích số liệu; Rút ra kết luận.
+ Đối tượng và phạm vi khảo sát, điều tra: Các chuyên gia, GV đang
trực tiếp nghiên cứu hoặc giảng dạy bộ môn Toán ở nhà trường trong tỉnh
Đăk Lăk.


4
+ Nội dung khảo sát, điều tra: Khó khăn và thuận lợi trong công tác
phát triển văn hóa toán học cho HS của GV; Nhu cầu cần bồi dưỡng: Kiến
thức về văn hóa toán học; Những nhận thức về dạy học PH và GQVĐ của
GV; Kĩ năng vận dụng dạy học PH và GQVĐ vào nội dung cụ thể để thông

qua đó phát triển văn hóa toán học cho HS; Những đề nghị khác của GV và
cán bộ quản lí ở các cấp có liên quan.
+ Lập và thực hiện kế hoạch điều tra, quan sát: Xây dựng kế hoạch
khảo sát; Thiết kế phiếu hỏi, xây dựng nội dung phỏng vấn; Khảo sát thử; Xử
lý kết quả khảo sát thử và hoàn chỉnh phiếu hỏi; Khảo sát diện rộng ; Xử lí và
phân tích số liệu khảo sát.
c) Thực nghiệm sư phạm và thống kê trong khoa học giáo dục:
Tiến hành thực nghiệm một số biện pháp đã đề xuất, nhằm minh họa
bước đầu tính khả thi và tính hiệu quả của các biện pháp. Thực nghiệm sư
phạm tại một số lớp tại trường THPT nhằm kiểm định giả thuyết khoa học,
kiểm định tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
5. Giả thuyết khoa học
Nếu vận dụng dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong trong quá
trình dạy học môn toán ở trường THPT nhằm phát triển văn hóa toán học một
cách chủ động thì văn hóa toán học sẽ được phát triển ở mỗi HS góp phần
nâng cao chất lượng giáo dục toán học ở trường phổ thông, hình thành nên
những con người vừa có đức vừa có tài cho xã hội.
6. Những đóng góp của đề tài
- Luận án giúp cho GV có những căn cứ và nguyên tắc để phát triển
văn hóa toán học cho HS thông qua PPDH PH và GQVĐ
- Luận án là tài liệu tham khảo cho GV, sinh viên sư phạm toán;
- Sản phẩm là các biện pháp phát triển văn hóa toán học cho HS thông
qua PPDH PH và GQVĐ.
7. Cấu trúc luận án
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận án gồm 4 chương:


5
Chương 1: Văn hóa toán học
Chương 2: Thực trạng về trình độ văn hóa toán học của học sinh khi

dạy học hình học không gian lớp 11 ở trường THPT hiện nay
Chương 3: Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề với việc phát triển
văn hóa toán học cho học sinh khi dạy học hình học không gian lớp 11 ở
trường THPT hiện nay
Chương 4: Thực nghiệm sư phạm


6
Chương 1
VĂN HÓA TOÁN HỌC
1.1. Khái niệm văn hóa.
Về khái niệm “văn hóa”, có nhiều ý kiến khác nhau. Từ năm 1952,
A.L. Kroeber và Kluckhohn xuất bản quyển sách Culture, a critical review of
concept and definitions (Văn hóa, điểm lại bằng cái nhìn phê phán các khái
niệm và định nghĩa), trong đó, tác giả đã trích lục khoảng 160 định nghĩa về
văn hóa do các nhà khoa học ở nhiều nước khác nhau đưa ra. Điều này cho
thấy, khái niệm “Văn hóa” rất phức tạp.
Năm 1871, E.B. Tylor đưa ra định nghĩa “Văn hóa hay văn minh, theo
nghĩa rộng về tộc người học, nói chung gồm có tri thức, tín ngưỡng, nghệ
thuật, đạo đức, luật pháp, tập quán và một số năng lực và thói quen khác được
con người chiếm lĩnh với tư cách một thành viên của xã hội”. Theo định nghĩa
này thì văn hóa và văn minh là một; nó bao gồm tất cả những lĩnh vực liên
quan đến đời sống con người, từ tri thức, tín ngưỡng đến nghệ thuật, đạo đức,
pháp luật… Có người ví, định nghĩa này mang tính “bách khoa toàn thư” vì
đã liệt kê hết mọi lĩnh vực sáng tạo của con người.
F. Boas định nghĩa “Văn hóa là tổng thể các phản ứng tinh thần, thể
chất và những hoạt động định hình nên hành vi của cá nhân cấu thành nên
một nhóm người vừa có tính tập thể vừa có tính cá nhân trong mối quan hệ
với môi trường tự nhiên của họ, với những nhóm người khác, với những
thành viên trong nhóm và của chính các thành viên này với nhau”. Theo định

nghĩa này, mối quan hệ giữa cá nhân, tập thể và môi trường là quan trọng
trong việc hình thành văn hóa của con người. Một định nghĩa khác về văn hóa
mà A.L. Kroeber và Kluckhohn đưa ra là “Văn hóa là những mô hình hành
động minh thị và ám thị được truyền đạt dựa trên những biểu trưng, là những
yếu tố đặc trưng của từng nhóm người… Hệ thống văn hóa vừa là kết quả
hành vi vừa trở thành nguyên nhân tạo điều kiện cho hành vi tiếp theo”…


7
Ở Việt Nam, văn hóa cũng được định nghĩa rất khác nhau. Hồ Chí
Minh cho rằng “Vì lẽ sinh tồn cũng như mục đích của cuộc sống, loài người
mới sáng tạo và phát minh ra ngôn ngữ, chữ viết, đạo đức, pháp luật, khoa
học, tôn giáo, văn học, nghệ thuật, những công cụ cho sinh hoạt hằng ngày về
mặt ăn, ở và các phương thức sử dụng. Toàn bộ những sáng tạo và phát minh
đó tức là văn hóa”[5]. Với cách hiểu này, văn hóa sẽ bao gồm toàn bộ những
gì do con người sáng tạo và phát minh ra. Cũng giống như định nghĩa của
Tylor, văn hóa theo cách nói của Hồ Chí Minh sẽ là một “bách khoa toàn thư”
về những lĩnh vực liên quan đến đời sống con người.
Trần Ngọc Thêm cho rằng: Văn hóa là một hệ thống hữu cơ các giá trị
vật chất và tinh thần do con người sáng tạo và tích lũy qua quá trình hoạt
động thực tiễn, trong sự tương tác giữa con người với môi trường tự nhiên và
xã hội của mình”
Theo Từ điển Tiếng Việt: “Văn hóa là tổng thể nói chung những giá trị
vật chất và tinh thần do con người sáng tạo ra trong quá trình lịch sử; là những
hoạt động của con người nhằm thỏa mãn nhu cầu đời sống tinh thần; là tri thức,
kiến thức khoa học; trình độ cao trong sinh hoạt xã hội, biểu hiện của sự văn
minh; nền văn hóa của một thời kì lịch sử cổ xưa, được xác định trên cơ sở một
tổng thể những di vật tìm thấy được có những đặc điểm giống nhau”.
Trong những năm gần đây, một số nhà nghiên cứu ở Việt Nam và kể cả
ở nước ngoài khi đề cập đến văn hóa, họ thường vận dụng định nghĩa văn hóa

do UNESCO đưa ra vào năm 1994. Theo UNESCO, văn hóa được hiểu theo
hai nghĩa: nghĩa rộng và nghĩa hẹp. Theo nghĩa rộng thì “Văn hóa là một phức
hệ- tổng hợp các đặc trưng diện mạo về tinh thần, vật chất, tri thức và tình
cảm… khắc họa nên bản sắc của một cộng đồng gia đình, xóm làng, vùng,
miền, quốc gia, xã hội… Văn hóa không chỉ bao gồm nghệ thuật, văn chương
mà còn cả lối sống, những quyền cơ bản của con người, những hệ thống giá
trị, những truyền thống, tín ngưỡng…”; còn hiểu theo nghĩa hẹp thì “Văn hóa


8
là tổng thể những hệ thống biểu trưng (ký hiệu) chi phối cách ứng xử và giao
tiếp trong cộng đồng, khiến cộng đồng đó có đặc thù riêng”…
Nhìn chung, các định nghĩa về văn hóa hiện nay rất đa dạng. Mỗi định
nghĩa đề cập đến những dạng thức hoặc những lĩnh vực khác nhau trong văn
hóa. Như định nghĩa của Tylor và của Hồ Chí Minh thì xem văn hóa là tập
hợp những thành tựu mà con người đạt được trong quá trình tồn tại và phát
triển, từ tri thức, tôn giáo, đạo đức, ngôn ngữ,… đến âm nhạc, pháp luật…
Còn các định nghĩa của F. Boas, tổ chức UNESCO… thì xem tất cả những
lĩnh vực đạt được của con người trong cuộc sống là văn hóa. Chúng tôi dựa
trên các định nghĩa đã nêu để xác định một khái niệm văn hóa cho riêng mình.
Văn hóa là sản phẩm của con người được sinh ra trên cái nền tự nhiên bao
gồm những giá trị vật chất và tinh thần do con người sáng tạo ra trong quá
trình lịch sử; là hệ quả của sự tiến hóa nhân loại.
Giá trị vật chất do con người sáng tạo ra nhằm đáp ứng nhu cầu vật
chất ăn, mặc, ở, đi lại, công cụ sản xuất, phương tiện sản xuất … nói lên trình
độ phát triển của con người trong lĩnh vực sản xuất vật chất, thể hiện trình độ
chiếm lĩnh và khai thác những vật thể trong tự nhiên, ví dụ: xe, nhà, quần áo,
bàn ghế,…
Giá trị tinh thần bao gồm toàn bộ những sản phẩm do hoạt động tinh
thần của con người tạo ra, ví dụ: phẩm chất, đạo đức, ngôn ngữ, phong tục, lễ

hội, nghệ thuật, tín ngưỡng, văn chương, …
Với cách hiểu này cùng với những định nghĩa đã nêu thì văn hóa chính
là nấc thang đưa con người vượt lên trên những loài động vật khác; và văn
hóa là sản phẩm do con người tạo ra trong quá trình lao động nhằm mục đích
sinh tồn. Văn hóa chỉ được bộc lộ khi con người tương tác với cộng đồng xã
hội, với thế giới tự nhiên. Nhờ có văn hóa mà con người trở nên độc đáo trong
thế giới sinh vật và khác biệt so với những con vật khác trong thế giới động
vật, và do được chi phối bởi môi trường xung quanh và tính cách tộc người
nên văn hóa ở mỗi tộc người sẽ có những đặc trưng riêng.


9
1.2. Khái niệm văn hóa toán học.
Văn hóa toán học, trước hết là văn hóa, và là cái được tạo nên từ việc
học tập và nghiên cứu toán học. Trong thực tế, có nhiều người ít dùng trực
tiếp kiến thức toán học vào thực tiễn, nhưng không ai phủ nhận rằng, những
người học toán tốt thường có tư duy tốt, những phẩm chất của tư duy được
hấp thụ qua việc học toán, làm toán và bền vững đến mức dù có quên các kiến
thức toán học thì các phẩm chất đó vẫn còn được gọi là văn hóa toán học.
Theo Trần Kiều, ông nêu lên định nghĩa về văn hoá thuật toán (vốn
đã có) để từ đó tìm cách biểu đạt khái niệm văn hoá toán học. Văn hoá thuật
toán (văn hoá angorit) là tập hợp những ý niệm, kỹ năng, thói quen cần thiết
về thuật toán cần phải hình thành và phát triển trong mỗi con người để sống
và làm việc trong một xã hội hiện đại. Căn cứ vào những thuộc tính bản chất
của các khái niệm văn hoá toán học, đồng thời sử dụng cách diễn đạt nói
trên, có thể tạm đưa ra một định nghĩa như sau: “Văn hoá toán học là tập
hợp những tri thức, kỹ năng toán học, những thói quen suy nghĩ mang đặc
trưng toán học để thích ứng một cách văn hoá với các tình huống (khi cấn
thiết) trong cuộc sống”.
Theo Bùi Văn Nghị: “Văn hóa toán học bao gồm tổng thể những tri

thức giá trị, tri thức phương pháp của toán học và những giá trị tinh thần ẩn
chứa trong những tri thức đó”.
Theo Nguyễn Cảnh Toàn: “ Văn hoá toán học bao gồm tất cả những
phẩm chất và năng lực đã hình thành bền vững qua việc học tập và nghiên
cứu toán học, độ bền vững đạt đến mức dù cho có quên hết kiến thức toán học
thì những phẩm chất và năng lực ấy vẫn còn” (2009) .
Các tác giả trên đã nghiên cứu về văn hóa toán học, đưa ra những định
nghĩa khác nhau về văn hóa toán học, nhưng chúng đều có một đặc điểm
chung đó là “tư duy và phẩm chất” của con người. Chúng tôi đặc biệt chú ý
và lấy định nghĩa về văn hóa toán học của Nguyễn Cảnh Toàn làm cơ sở lí
thuyết cho luận án.


10
Sản phẩm của quá trình học tập và nghiên cứu toán học bao gồm kiến
thức, năng lực tư duy và phẩm chất. Qua thời gian nếu không có điều kiện
thường xuyên tiếp xúc với các kiến thức toán học thì người ta dễ quên đi
nhiều điều, song điều quý giá nhất mà toán học dành cho mọi người đó chính
là năng lực tư duy và phẩm chất đã hình thành bền vững qua việc học tập và
nghiên cứu, độ bền vững đạt đến mức dù cho có quên hết kiến thức toán học
thì những phẩm chất và năng lực tư duy ấy vẫn còn, được gọi là văn hóa toán
học. Văn hóa toán học cùng với các thành tố khác của vốn văn hóa chung,
liên quan đến hệ thống giá trị và năng lực của mỗi người, giúp con người
nâng cao chất lượng cuộc sống. Có thể hình thành văn hóa toán học từ nhiều
con đường, dưới nhiều hình thức, nhưng đều có nguyên tắc chung là “theo
suốt cuộc đời” của mỗi con người.
1.3. Thành phần cơ bản của văn hóa toán học.
Thành phần cơ bản của “văn hóa toán học” chính là “năng lực tư duy” và
“phẩm chất” của con người nói chung, của người làm toán và học toán nói
riêng. Văn hóa toán học cùng với các thành tố khác của vốn văn hóa chung,

liên quan đến hệ thống giá trị và năng lực của mỗi người, giúp con người nâng
cao chất lượng cuộc sống.
1.3.1. Tư duy
1.3.1.1. Khái niệm tư duy
Trong tác phẩm “Rèn luyện tư duy trong DH toán” , PGS.TS Trần
Thúc Trình có định nghĩa: “TD là một quá trình nhận thức, phản ánh những
thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính quy luật của sự vật và hiện
tượng mà trước đó chủ thể chưa biết”.
Như thế ta có thể coi TD là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc
tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự
vật, hiện tượng trong hiện thực khách quan.
TD có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính, thường bắt đầu từ
nhận thức cảm tính, trên cơ sở nhận thức cảm tính mà nảy sinh tình huống có


11
vấn đề. Dù cho TD có khái quát và trừu tượng đến đâu thì trong nội dung của
TD cũng vẫn chứa đựng những thành phần cảm tính.
Con người chủ yếu dùng ngôn ngữ để nhận thức vấn đề, để tiến hành
các thao tác trí tuệ và để biểu đạt kết quả của TD. Ngôn ngữ được xem là
phương tiện của TD.
Sản phẩm của TD là những khái niệm, phán đoán, suy luận được biểu
đạt bằng những từ, ngữ, câu, ..., ký hiệu, công thức, mô hình.
TD mang tính khái quát, tính gián tiếp và tính trừu tượng.
Cả nhận thức cảm tính và nhận thức lý tính đều nảy sinh từ thực tiễn và
lấy thực tiễn làm tiêu chuẩn kiểm tra tính đúng đắn của nhận thức.
Ví dụ 1: Bài toán “Cho các số a, b, c thỏa mãn a 2011 (a + b + c) < 0 .
Chứng minh b 2 − 4ac > 0 ”. Trong tư duy, HS liên tưởng đến sử dụng kiến
thức về tam thức bậc hai nhưng lại gặp chướng ngại: chưa có tam thức bậc hai
trong bài toán. Từ đó kích thích học sinh tư duy biến đổi:

a 2011 (a + b + c) < 0 ⇔ a (a + b + c) < 0, do a 2010 > 0

1.3.1.2. Đặc điểm của tư duy
Thứ nhất là tính “có vấn đề”: Muốn kích thích được TD cần có hai điều
kiện:
Trước hết là phải gặp tình huống có vấn đề, tức hoàn cảnh chứa đựng
mục đích mới, vấn đề mới, cách thức mới mà những hiểu biết cũ không đủ khả
năng giải quyết. Sau nữa vấn đề đó phải được cá nhân nhận thức đầy đủ, được
chuyển thành nhiệm vụ của cá nhân.
Thứ hai là tính gián tiếp: TD phát hiện được bản chất nhờ các phương
tiện, công cụ, kết quả nhận thức, kinh nghiệm của chủ thể; được biểu hiện
thông qua ngôn ngữ.
Ngoài ra còn một số đặc điểm khác như tính trừu tượng, khái quát; tính
liên hệ chặt chẽ với ngôn ngữ; tính chất quan hệ mật thiết với nhận thức cảm
tính; …


12
Từ những đặc điểm trên ta có một số kết luận sư phạm sau:
- Muốn thúc đẩy HS TD thì phải đặt họ vào tình huống “có vấn đề”.
- Phát triển TD phải song song với truyền thụ tri thức.
- Phát triển TD phải gắn với trau dồi ngôn ngữ.
- Phát triển TD phải gắn liền với rèn luyện cảm giác, tri giác, tính nhạy
cảm, năng lực quan sát và trí nhớ.
1.3.1.3. Quá trình tư duy
Tư duy là một quá trình hoạt động trí tuệ. Nghĩa là tư duy có nảy sinh
diễn biến và kết thúc. Quá trình tư duy thường gồm các bước sau:
- Xác định và biểu đạt vấn đề
- Huy động các tri thức, kinh nghiệm
- Sàng lọc các liên tưởng, hình thành giả thuyết

- Kiểm tra các giả thuyết
- Giải quyết nhiệm vụ
K.K Platonov đưa ra sơ đồ sau:
Nhận thức vấn đề

Xuất hiện các liên tưởng

Sàng lọc các liên tưởng, hình
thành giả thuyết

Khẳng định

Phủ định

Chính xác hoá
Giải quyết vấn đề

Hành động TD mới


13
Như vậy quá trình tư duy là một quá trình hoạt động về trí tuệ có nhiều
thao tác trí tuệ tham gia vào quá trình tư duy cụ thể như: Phân tích, tổng hợp,
so sánh, trừu tượng hoá và khái quát hoá.
Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó biểu
hiện ở khả năng con người có thể xây dựng được những khái niệm chung gắn
liền với sự trình bày của những quy luật tương ứng.
1.3.1.4. Các loại hình tư duy
Các nhà nghiên cứu đã đặt cho tư duy rất nhiều loại hình tư duy như tư
duy lôgic, tư duy trừu tượng, tư duy sáng tạo, tư duy lí luận, …Sự phân chia

ra các loại hình tư duy nhằm mục đích hiểu sâu và vận dụng tốt tư duy trong
hoạt động của hệ thần kinh. Theo tâm lí học, người ta phân chia thành ba loại
hình tư duy :
i, Tư duy trực quan (còn gọi là tư duy cụ thể): Trong đó có thể phân
chia thành tư duy trực quan hành động (tư duy bằng các thao tác chân tay đối
với vật thật, hướng vào giải quyết một số tình huống cụ thể) và tư duy trực
quan hình ảnh (tư duy hướng vào việc GQVĐ dựa trên các hình ảnh của sự
vật, hiện tượng).
ii, Tư duy trừu tượng (còn gọi là tư duy ngôn ngữ - lôgic): là tư duy
mà việc giải quyết vấn đề dựa trên các khái niệm, các mối quan hệ lôgic gắn
bó chặc chẽ với ngôn ngữ. Ngôn ngữ được xem là phương tiện của tư duy, nó
cũng được coi là cái vỏ của tư duy. Các sản phẩm của tư duy như khái niệm,
phấn đoán, suy luận tương ứng được biểu đạt bằng những từ, người, câu, …
Ngày nay, người ta biết đến nhiều loại hình ngôn ngữ hình thể, sơ đồ - biểu
đồ, … Những loại hình ngôn ngữ này góp phần làm phong phú hơn phương
tiện biểu đạt của tư duy. Tư duy và ngôn ngữ liên hệ mật thiết với nhau, quyết
định lẫn nhau: Tư duy chỉ tồn tại nhờ cái vỏ ngôn ngữ; Tư tưởng của con
người tồn tại vì có từ, có tiếng nói. Theo C. Mác, ngôn ngữ là hiện thực trực
tiếp của ý thức, là vật chất tự nhiên của tư duy. Tư duy thuộc phạm trù nội
dung, ngôn ngữ thuộc phạm trù hình thức


14
Ngôn ngữ Toán học khác với ngôn ngữ tự nhiên ở chỗ:
- Ngôn ngữ toán học chủ yếu là kí hiệu, chữ số, dấu thể hiện phép tính
hay quan hệ, gọn gàng hơn ngôn ngữ tự nhiên (Do một dấu, một chữ số, chữ
cái, dấu phép tính, … có thể biểu thị điều mà ngôn ngữ tự nhiên phải dùng
đến một mẫu câu hay một cụm từ mới biểu thị hết được).
- Mỗi kí hiệu toán học hay mỗi kết hợp kí hiệu đều có một ý nghĩa duy
nhất, làm cho ngôn ngữ toán học có khả năng diễn đạt chính xác hơn ngôn

ngữ tự nhiên.
- Ngôn ngữ toán học có dùng đến ngôn ngữ “biến”, “công thức” làm
cho nó rất thích hợp để khái quát, diễn đạt các quy luật chung.
Sản phẩm của tư duy là những khái niệm, phán đoán, suy luận được
biểu đạt bằng từ, ngữ, câu, kí hiệu, công thức, … Tư duy con người sử dụng
khái niệm để ghi lại những kết quả trừu tượng hóa. Nhờ trừu tượng hóa mà tư
duy đã chỉ ra được những mối liên hệ, quan hệ của rất nhiều sự vật, hiên
tượng, nêu ra được những khái niệm, những phạm trù, những quy luật phản
ánh các mối liên hệ, quan hệ nội tại của các sự vật, hiện tượng đó. Trên cơ sở
những nhận thức ban đầu, bộ óc xuất hiện những phán đoán, suy luận.
iii, Tư duy trực giác: là tư duy đặc trưng bởi trực tiếp nắm bắt được
chân lí một cách bất ngờ, đột nhiên, chớp nhoáng, không dựa vào hoạt động
lôgic của ý thức, gắn với tưởng tượng. Sản phẩm của tư duy trực giác mang
tính chất dự báo, cần kiểm tra tính đúng đắn bằng thực nghiệm và lôgic, nó
thường dẫn đến những nhận thức mới mẻ, sáng tạo.
1.3.1.5. Các hình thức tư duy
i, Khái niệm
Khái niệm là một hình thức TD phản ánh một lớp đối tượng và do đó
nó có thể được xem xét theo hai phương diện: Ngoại diên và nội hàm. Bản
thân lớp đối tượng xác định khái niệm được gọi là ngoại diên, còn toàn bộ các
thuộc tính chung của lớp đối tượng này được gọi là nội hàm của lớp đối tượng


15
đó. Giữa nội hàm và ngoại diên có mối liên hệ mang tính quy luật: Nội hàm
càng mở rộng thì ngoại diên càng bị thu hẹp và ngược lại.
ii, Phán đoán
Phán đoán là hình thức TD, trong đó khẳng định một dấu hiệu thuộc
hay không thuộc một đối tượng. Phán đoán có tính chất hoặc đúng hoặc sai và
nhất thiết chỉ xảy ra một trong hai trường hợp đó mà thôi.

Trong TD, phán đoán được hình thành bởi hai phương thức chủ yếu:
trực tiếp và gián tiếp. Trong trường hợp thứ nhất, phán đoán diễn đạt kết quả
nghiên cứu của quá trình tri giác một đối tượng, còn trong trường hợp thứ hai
phán đoán được hình thành thông qua một hoạt động trí tuệ đặc biệt gọi là suy
luận. Cũng như các khoa học khác, Toán học thực chất là một hệ thống các
phán đoán về những đối tượng của nó, với nhiệm vụ xác định tính đúng sai
của các luận điểm.

rr
r r r r
Ví dụ 1: Xét mệnh đề: " ∀a, b thì | a − b |≤| a + b | " là một phán đoán và

r∧ r
là một phán đoán sai, vì điều này chỉ đúng khi (a, b) không tù, do bình
rr
phương hai vế bất đẳng thức và thu gọn ta được: a.b ≥ 0 ⇔
r r
r∧ r
r∧ r
⇔
| a | .| b | cos ( a, b) ≥ 0 cos ( a, b) ≥ 0 .
iii, Suy luận
Suy luận là sự kết nối những kinh nghiệm và kiến thức đã có để đưa ra
các kết luận hợp lí từ các thông tin được cho sẵn. Suy luận làm nền tảng cho sự
thăm dò và khám phá các ý tưởng mới, đồng thời đóng vai trò trung tâm trong
chứng minh.
Polya (1887-1985) là một trong những nhà nghiên cứu giáo dục Toán
nổi tiếng có nhiều đóng góp cho giáo dục. Polya đặc biệt quan tâm đến con
đường để mỗi HS có thể tiếp cận một bài toán hơn là kết quả mà HS đó đưa ra.
Khi HS hình thành được con đường này, các em sẽ cảm thấy thích thú với toán

16
học, hiểu lí do tại sao các ý tưởng được vận hành, phát triển một chuỗi kiến
thức được kết nối và đầy sức mạnh.
Polya (1954) cho rằng toán học tồn tại hai kiểu suy luận: suy luận diễn
dịchvà suy luận có lí. Suy luận diễn dịch là suy luận đáng tin cậy, không chối
cải được, và dứt khoát. Còn suy luận có lí là suy luận không chắc chắn và có
thể gây tranh cải.
- Suy luận diễn dịch không có khả năng cung cấp các hiểu biết căn bản
mới về thế giới xung quanh. Mọi cái mới mà chúng ta hiểu biết được về thế
giới đều có liên hệ với suy luận có lí
- Suy luận diễn dịch có những tiêu chuẩn chặc chẽ và nhất quán, được
ghi lại thành quy tắc và được giải thích bằng lôgic. Những tiêu chuẩn của các
suy luận có lí rất linh động.
Mặc dù khác nhau như vậy, nhưng hai loại suy luận này không mâu
thuẫn mà trái lại bổ sung cho nhau. Trong nghiên cứu này, chúng tôi đề cập đến
hai loại suy luận có lí là suy luận quy nạp và suy luận ngoại suy.
i, Suy luận diễn dịch
Suy luận diễn dịch là suy luận có hai thuộc tính cơ bản: thứ nhất, xuất
phát từ những tiền đề khái quát; thứ hai, kết luận rút ra một cách tất yếu. Tùy
thuộc tính chất của phán đoán tiền đề để phân loại suy diễn nhất quyết, hay có
điều kiện hoặc lựa chọn. Có thể hiểu:
Suy luận diễn dịch là suy luận theo một quy tắc thỏa mãn điều kiện:
Nếu tiền đề đúng thì kết luận đúng. Kí hiệu:

A
B

Trong toán học, thường gặp hai loại suy diễn sau đây:

Loại thứ nhất: (∀x ∈ X ) P ( x ), a ∈ X , tức là: Nếu P(x) đúng với mọi
P (a )

x ∈ X và a ∈ X thì P(a) là mệnh đề đúng.


17
Ví dụ: Số tự nhiên có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì sẽ chia hết cho 3.
Số 78 có tổng các chữ số là 15 chia hết cho 3.
Loại thứ hai: (∀x ∈ X ) P( x) → Q( x), P(a) , tức là: Nếu P ( x) ⇒ Q( x)
Q (a )
đúng với mọi x ∈ X và P(a) đúng thì Q(a) cũng là một mệnh đề đúng.
Ví dụ: Mọi hình thoi đều có hai đường chéo vuông góc với nhau
Tứ giác ABCD là hình thoi. Vậy tứ giác ABCD có hai đường
chéo AC và BD vuông góc với nhau.
Suy diễn trực tiếp là loại suy diễn xuất phát từ một tiên đề, rút ra kết
luận từ tiên đề đó, chẳng hạn: “Mọi hình thang đều có hai đáy nằm trên hai
đường thẳng song song, vậy không có hình thang nào mà không có hai đáy
song song”, hoặc “Một số hình bình hành là hình thang cân, vậy một số hình
thang cân là hình bình hành”, …
Suy diễn gián tiếp thường rút ra kết luận không dựa vào trực tiếp từ tiền
đề, chẳng hạn qua phủ định của nó. Trong toán học, chúng ta thường gặp
chứng minh phản chứng.
ii,Suy luận có lí
- Suy luận quy nạp
Có nhiều định nghĩa khác nhau về suy luận quy nạp, nhưng chúng đều
có chung bản chất, đó là suy luận nhằm đưa ra một giả thuyết mang tính tổng
quát (không chắc chắn đúng) từ việc kiểm chứng tính đúng đắn của giả thuyết
cho một số trường hợp cụ thể (Polya)
Ví dụ: Khi quan sát thấy tổng ba góc trong một vài tam giác cụ thể luôn

bằng 1800, người học có thể tổng quát hóa kết quả này để đưa ra một giả thuyết
bằng suy luận quy nạp: Tổng ba góc trong của một tam giác bất kì luôn bằng
1800. Giả thuyết này đã được chứng minh là đúng và trở thành một định lí cơ
bản trong hình học.
- Suy luận ngoại suy


18
Ngoại suy là loại suy luận trung tâm của tất cả các lĩnh vực như triết
học, khoa học máy móc, trí tuệ nhân tạo, khảo cổ học, luật, khoa học tội
phạm…Nói một cách đơn giản thì ngoại suy là suy luận để giải thích cho một
quan sát.
Ví dụ: Dùng ngoại suy để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau: có
thể đưa ra giả thuyết như sau, phải chăng hai đoạn thẳng này là hai cạnh
tương ứng của hai tam giác bằng nhau và tìm xem hai tam giác nào chứa hai
cạnh đó mà bằng nhau không? Đó là kết quả của suy luận ngoại suy và kết
quả này chưa chắc chắn đúng. Hoặc, trong cuộc sống hằng ngày, sau một đêm
thức dậy nếu nhìn thấy cỏ trước sân bị ướt, chúng ta có thể đưa ra giả thuyết
bằng suy luận ngoại suy: có thể trời đã mưa, hay ai đó đã tưới cây.
Theo Patokorpi (2006), suy luận ngoại suy là quá trình suy luận nhằm
tìm kiếm những giả thuyết phù hợp nhất để giải thích cho một kết quả quan
sát được. Nói cách khác, suy luận ngoại suy trả lời cho câu hỏi: Đây là trường
hợp của quy tắc nào? Điều gì dẫn đến kết quả này?
Vậy ngoại suy là suy luận đi ngược lại từ các kết quả (các hệ quả) đến
nguyên nhân hay điều xảy ra trước đó, nhằm giải thích cho một kết quả gây
ngạc nhiên với người suy luận. Giả thuyết của ngoại suy là có lí nhưng không
chắc chắn đúng. Ngoại suy là suy luận mở đầu cho quá trình khám phá.
1.3.1.6. Một số hoạt động tư duy ngoài suy diễn
i, Khái quát hóa
Khái quát hoá là thao tác TD nhằm hợp nhất nhiều đối trượng khác

nhau thành một nhóm, một loại theo những thuộc tính, những liên hệ hay
quan hệ chung giống nhau và những thuộc tính chung bản chất.
Theo G.Polya: “ Khái quát hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập
hợp đối tượng đã cho sang nghiên cứu một tập hợp lớn hơn bao gồm cả tập
hợp ban đầu”.
Trong “ Phương pháp dạy học môn Toán”, tác giả Nguyễn Bá Kim,
Vũ Dương Thụy có nêu rõ:“Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối


19
tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật
một số trong các đặc điểm chung của các phần tử của tập hợp xuất phát”.
Như vậy có thể hiểu khái quát hoá là quá trình đi từ cái riêng, cái đặc
biệt đến cái chung, cái tổng quát, hoặc từ một tổng quát đến một tổng quát
hơn. Trong toán học, người ta thường khái quát một yếu tố hoặc nhiều yếu tố
của khái niệm, định lý, bài toán... thành những dự đoán mang tính tổng quát.
Ví dụ: Chúng ta khái quát hóa khi chuyển từ việc nghiên cứu tam thức
bậc hai sang việc nghiên cứu đa thức với bậc tùy ý. Chúng ta khái quát hóa
khi chuyển từ việc nghiên cứu hệ thức lượng trong tam giác vuông sang việc
nghiên cứu hệ thức lượng trong tam giác thường.
Trong hai ví dụ trên khái quát hóa được thực hiện theo hai hướng có
tính chất khác nhau. Ở ví dụ thứ nhất, khái quát hóa được thực hiện bằng
cách thay hằng số 2 bởi biến số n (n ∈ N). Ở ví dụ thứ hai, khái quát hóa được
thực hiện bằng cách loại bỏ điều kiện một góc của tam giác bằng 90 0 để
nghiên cứu những tam giác với góc tùy ý. Các kết luận rút ra từ khái niệm
hóa mang tính giả thuyết, dự đoán. Vì vậy sau khi hình thành một giả thuyết
nào đó từ khái quát hóa thì cần phải sử dụng suy diễn để chứng minh giả
thuyết là đúng hay sai.
Trong toán học có nhiều con đường khái quát hóa khác nhau, ta có thể hệ
thống theo sơ đồ sau:

Khái quát hóa

Khái quát hóa từ cái
riêng lẻ đến cái tổng
quát

Khái quát hóa từ cái
tổng quát đến cái
tổng quát hơn

Khái quát hóa
tới cái tổng quát
đã biết

Khái quát hóa
tới cái tổng quát
chưa biết


20
Ta xét hai ví dụ sau:
Ví dụ 1:
a) Ta có

1
1 1
1
1 1
= − ;
= − ;…

2.3 2 3 4.5 4 5
1

1

1

1

1 1

1 

=
−
b) Với ∀n, d ∈ Ν* thì n(n + 1) = n − n + 1 ;
,
n( n + d ) d  n n + d 

c) Với ∀u , v∈ ¡ * : u + v =1, ∀n , m ∈ Ν* thì
j

n −1
C i m +i −1 m−1 Cn + j −1
1
=
+ ∑ m− j
∑
u n v m i = 0 u n −i
j =0 v

Như vậy, từ a là các trường hợp riêng lẻ, khái quát hóa thành b là cái
tổng quát đã biết (quen thuộc); từ a và b tới c là khái quát hóa tới cái tổng
quát chưa biết; kết quả thu được chứa đựng ý nghĩa sáng tạo to lớn (có thể
dùng kết quả này cho việc tính nguyên hàm và tích phân của hàm dạng
1
hay chứng minh một số đẳng thức về tổ hợp).
(ax + b) (cx + d ) m
n

Nói về vai trò của khái quát hóa ta có thể khẳng định: “ Là một thông
số quan trọng bậc nhất, một năng lực đặc thù của tư duy và là cơ sở duy nhất
để phân biệt giữa tư duy lí luận và tư duy kinh nghiệm, năng lực khái quát
hóa ở mỗi con người luôn đóng vai trò quan trọng trong quá trình học tập và
nghiên cứu, khi được phát triển tới mức độ cao, chính năng lực này sẽ giúp
mỗi con người tách được cái chung, bản chất, những mối liên hệ bên trong
của tài liệu nghiên cứu học tập bằng con đường phân tích chỉ một sự kiện
điển hình mà thôi. Bằng con đường đó con người có thể tiết kiệm thời gian
sức lực của mình, biết cách khám phá tri thức khoa học bằng những phương
pháp tối ưu…”.
Trong toán học, khái quát hóa liên kết chặt chẽ với các thao tác tư duy
khác như: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hóa, đặc biệt hóa…Khái quát
hóa là thao tác tư duy cơ bản, đóng vai trò quan trọng trong việc hình thành
các khái niệm, chứng minh định lí, phát hiện vấn đề và đề xuất kiến thức mới,
hình thành tri thức phương pháp giải toán…