nghiên cứu về VĂN hóa TOÁN học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ CẤP TIẾN SĨ

CHUYÊN ĐỀ 2

VĂN HÓA TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Lý luận và PPDH bộ môn Toán
Mã số:

62 14 01 11

Nghiên cứu sinh: Đỗ Thị Lan Anh

HÀ NỘI - 2016
1


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ CẤP TIẾN SĨ

VĂN HÓA TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Lí luận và PPDH bộ môn Toán
Mã số:

62 14 01 11

Xác nhận của cán bộ hướng dẫn

PGS.TS Vương Dương Minh

HÀ NỘI - 2016
2


MỤC LỤC
Trang

3


VĂN HÓA TOÁN HỌC
1.1. Khái niệm văn hóa.
Về khái niệm “văn hóa”, có nhiều ý kiến khác nhau. Từ năm 1952,
A.L. Kroeber và Kluckhohn xuất bản quyển sách Culture, a critical review of
concept and definitions (Văn hóa, điểm lại bằng cái nhìn phê phán các khái
niệm và định nghĩa), trong đó, tác giả đã trích lục khoảng 160 định nghĩa về
văn hóa do các nhà khoa học ở nhiều nước khác nhau đưa ra. Điều này cho
thấy, khái niệm “Văn hóa” rất phức tạp.
Năm 1871, E.B. Tylor đưa ra định nghĩa “Văn hóa hay văn minh,
theo nghĩa rộng về tộc người học, nói chung gồm có tri thức, tín ngưỡng,
nghệ thuật, đạo đức, luật pháp, tập quán và một số năng lực và thói quen
khác được con người chiếm lĩnh với tư cách một thành viên của xã hội”
([14], trang 13). Theo định nghĩa này thì văn hóa và văn minh là một; nó
bao gồm tất cả những lĩnh vực liên quan đến đời sống con người, từ tri
thức, tín ngưỡng đến nghệ thuật, đạo đức, pháp luật… Có người ví, định

nghĩa này mang tính “bách khoa toàn thư” vì đã liệt kê hết mọi lĩnh vực
sáng tạo của con người ([2], trang 39).
F. Boas định nghĩa “Văn hóa là tổng thể các phản ứng tinh thần, thể
chất và những hoạt động định hình nên hành vi của cá nhân cấu thành nên
một nhóm người vừa có tính tập thể vừa có tính cá nhân trong mối quan hệ
với môi trường tự nhiên của họ, với những nhóm người khác, với những
thành viên trong nhóm và của chính các thành viên này với nhau” ([1], trang
149). Theo định nghĩa này, mối quan hệ giữa cá nhân, tập thể và môi trường
là quan trọng trong việc hình thành văn hóa của con người. Một định nghĩa
khác về văn hóa mà A.L. Kroeber và Kluckhohn đưa ra là “Văn hóa là những
mô hình hành động minh thị và ám thị được truyền đạt dựa trên những biểu
trưng, là những yếu tố đặc trưng của từng nhóm người… Hệ thống văn hóa
vừa là kết quả hành vi vừa trở thành nguyên nhân tạo điều kiện cho hành vi
tiếp theo” ([25], trang 357).
1


Ở Việt Nam, văn hóa cũng được định nghĩa rất khác nhau. Hồ Chí
Minh cho rằng “Vì lẽ sinh tồn cũng như mục đích của cuộc sống, loài người
mới sáng tạo và phát minh ra ngôn ngữ, chữ viết, đạo đức, pháp luật, khoa
học, tôn giáo, văn học, nghệ thuật, những công cụ cho sinh hoạt hằng ngày
về mặt ăn, ở và các phương thức sử dụng. Toàn bộ những sáng tạo và phát
minh đó tức là văn hóa” ([9], tập 3, trang 431). Với cách hiểu này, văn hóa sẽ
bao gồm toàn bộ những gì do con người sáng tạo và phát minh ra. Cũng giống
như định nghĩa của Tylor, văn hóa theo cách nói của Hồ Chí Minh sẽ là một
“bách khoa toàn thư” về những lĩnh vực liên quan đến đời sống con người.
Trần Ngọc Thêm cho rằng: “Văn hóa là một hệ thống hữu cơ các giá trị
vật chất và tinh thần do con người sáng tạo và tích lũy qua quá trình hoạt
động thực tiễn, trong sự tương tác giữa con người với môi trường tự nhiên và
xã hội của mình” ([20]).

Theo Từ điển Tiếng Việt: “Văn hóa là tổng thể nói chung những giá trị
vật chất và tinh thần do con người sáng tạo ra trong quá trình lịch sử; là
những hoạt động của con người nhằm thỏa mãn nhu cầu đời sống tinh thần; là
tri thức, kiến thức khoa học; trình độ cao trong sinh hoạt xã hội, biểu hiện của
sự văn minh; nền văn hóa của một thời kì lịch sử cổ xưa, được xác định trên
cơ sở một tổng thể những di vật tìm thấy được có những đặc điểm giống
nhau” ([12], trang 1100).
Trong những năm gần đây, một số nhà nghiên cứu ở Việt Nam và kể cả
ở nước ngoài khi đề cập đến văn hóa, họ thường vận dụng định nghĩa văn hóa
do UNESCO đưa ra vào năm 1994. Theo UNESCO, văn hóa được hiểu theo
hai nghĩa: nghĩa rộng và nghĩa hẹp. Theo nghĩa rộng thì “Văn hóa là một phức
hệ- tổng hợp các đặc trưng diện mạo về tinh thần, vật chất, tri thức và tình
cảm… khắc họa nên bản sắc của một cộng đồng gia đình, xóm làng, vùng,
miền, quốc gia, xã hội… Văn hóa không chỉ bao gồm nghệ thuật, văn chương
mà còn cả lối sống, những quyền cơ bản của con người, những hệ thống giá
2


trị, những truyền thống, tín ngưỡng…”; còn hiểu theo nghĩa hẹp thì “Văn hóa
là tổng thể những hệ thống biểu trưng (ký hiệu) chi phối cách ứng xử và giao
tiếp trong cộng đồng, khiến cộng đồng đó có đặc thù riêng” ([8], trang 314)…
Nhìn chung, các định nghĩa về văn hóa hiện nay rất đa dạng. Mỗi định
nghĩa đề cập đến những dạng thức hoặc những lĩnh vực khác nhau trong văn
hóa. Như định nghĩa của Tylor và của Hồ Chí Minh thì xem văn hóa là tập
hợp những thành tựu mà con người đạt được trong quá trình tồn tại và phát
triển, từ tri thức, tôn giáo, đạo đức, ngôn ngữ,… đến âm nhạc, pháp luật…
Còn các định nghĩa của F. Boas, tổ chức UNESCO… thì xem tất cả những
lĩnh vực đạt được của con người trong cuộc sống là văn hóa. Chúng tôi dựa
trên các định nghĩa đã nêu để xác định một khái niệm văn hóa cho riêng mình.
Văn hóa là sản phẩm của con người được sinh ra trên cái nền tự nhiên bao

gồm những giá trị vật chất và tinh thần do con người sáng tạo ra trong quá
trình lịch sử; là hệ quả của sự tiến hóa nhân loại.
Giá trị vật chất do con người sáng tạo ra nhằm đáp ứng nhu cầu vật
chất ăn, mặc, ở, đi lại, công cụ sản xuất, phương tiện sản xuất … nói lên trình
độ phát triển của con người trong lĩnh vực sản xuất vật chất, thể hiện trình độ
chiếm lĩnh và khai thác những vật thể trong tự nhiên, ví dụ: xe, nhà, quần áo,
bàn ghế,…
Giá trị tinh thần bao gồm toàn bộ những sản phẩm do hoạt động tinh
thần của con người tạo ra, ví dụ: phẩm chất, đạo đức, ngôn ngữ, phong tục, lễ
hội, nghệ thuật, tín ngưỡng, văn chương, …
Với cách hiểu này cùng với những định nghĩa đã nêu thì văn hóa chính
là nấc thang đưa con người vượt lên trên những loài động vật khác; và văn
hóa là sản phẩm do con người tạo ra trong quá trình lao động nhằm mục đích
sinh tồn. Văn hóa chỉ được bộc lộ khi con người tương tác với cộng đồng xã
hội, với thế giới tự nhiên. Nhờ có văn hóa mà con người trở nên độc đáo trong
thế giới sinh vật và khác biệt so với những con vật khác trong thế giới động

3


vật, và do được chi phối bởi môi trường xung quanh và tính cách tộc người
nên văn hóa ở mỗi tộc người sẽ có những đặc trưng riêng.
1.2. Khái niệm văn hóa toán học.
Văn hóa toán học, trước hết là văn hóa, và là cái được tạo nên từ việc
học tập và nghiên cứu toán học. Trong thực tế, có nhiều người ít dùng trực
tiếp kiến thức toán học vào thực tiễn, nhưng không ai phủ nhận rằng, những
người học toán tốt thường có tư duy tốt, những phẩm chất của tư duy được
hấp thụ qua việc học toán, làm toán và bền vững đến mức dù có quên các kiến
thức toán học thì các phẩm chất đó vẫn còn được gọi là văn hóa toán học.
Theo Trần Kiều, ông nêu lên định nghĩa về văn hoá thuật toán (vốn đã

có) để từ đó tìm cách biểu đạt khái niệm văn hoá toán học. Văn hoá thuật toán
(văn hoá angorit) là tập hợp những ý niệm, kỹ năng, thói quen cần thiết về
thuật toán cần phải hình thành và phát triển trong mỗi con người để sống và
làm việc trong một xã hội hiện đại. Căn cứ vào những thuộc tính bản chất của
các khái niệm văn hoá toán học, đồng thời sử dụng cách diễn đạt nói trên, có
thể tạm đưa ra một định nghĩa như sau: “Văn hoá toán học là tập hợp những
tri thức, kỹ năng toán học, những thói quen suy nghĩ mang đặc trưng toán học
để thích ứng một cách văn hoá với các tình huống (khi cấn thiết) trong cuộc
sống” ([4]).
Theo Bùi Văn Nghị: “Văn hóa toán học bao gồm tổng thể những tri
thức giá trị, tri thức phương pháp của toán học và những giá trị tinh thần ẩn
chứa trong những tri thức đó” ([10], trang 4).
Theo Nguyễn Cảnh Toàn: “ Văn hoá toán học bao gồm tất cả những
phẩm chất và năng lực đã hình thành bền vững qua việc học tập và nghiên
cứu toán học, độ bền vững đạt đến mức dù cho có quên hết kiến thức toán học
thì những phẩm chất và năng lực ấy vẫn còn” ([16], trang 8).
Các tác giả trên đã nghiên cứu về văn hóa toán học, đưa ra những định
nghĩa khác nhau về văn hóa toán học, nhưng chúng đều có một đặc điểm
chung đó là “tư duy và phẩm chất” của con người. Chúng tôi đặc biệt chú ý
4


và lấy định nghĩa về văn hóa toán học của Nguyễn Cảnh Toàn làm cơ sở lí
thuyết cho luận án.
Sản phẩm của quá trình học tập và nghiên cứu toán học bao gồm kiến
thức, năng lực tư duy và phẩm chất. Qua thời gian nếu không có điều kiện
thường xuyên tiếp xúc với các kiến thức toán học thì người ta dễ quên đi
nhiều điều, song điều quý giá nhất mà toán học dành cho mọi người đó chính
là năng lực tư duy và phẩm chất đã hình thành bền vững qua việc học tập và
nghiên cứu, độ bền vững đạt đến mức dù cho có quên hết kiến thức toán học

thì những phẩm chất và năng lực tư duy ấy vẫn còn, được gọi là văn hóa toán
học. Văn hóa toán học cùng với các thành tố khác của vốn văn hóa chung,
liên quan đến hệ thống giá trị và năng lực của mỗi người, giúp con người
nâng cao chất lượng cuộc sống. Có thể hình thành văn hóa toán học từ nhiều
con đường, dưới nhiều hình thức, nhưng đều có nguyên tắc chung là “theo
suốt cuộc đời” của mỗi con người.
1.3. Thành phần cơ bản của văn hóa toán học.
Thành phần cơ bản của “văn hóa toán học” chính là “năng lực tư duy” và
“phẩm chất” của con người nói chung, của người làm toán và học toán nói
riêng. Văn hóa toán học cùng với các thành tố khác của vốn văn hóa chung,
liên quan đến hệ thống giá trị và năng lực của mỗi người, giúp con người nâng
cao chất lượng cuộc sống.
1.3.1. Tư duy
1.3.1.1. Khái niệm tư duy
Trong tác phẩm “Rèn luyện tư duy trong dạy học toán”, PGS.TS Trần
Thúc Trình có định nghĩa: “Tư duy là một quá trình nhận thức, phản ánh
những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính quy luật của sự vật và
hiện tượng mà trước đó chủ thể chưa biết” ([19]). Như thế ta có thể coi tư duy
là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên
hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật, hiện tượng trong hiện
thực khách quan.
5


Tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính, thường bắt đầu từ
nhận thức cảm tính, trên cơ sở nhận thức cảm tính mà nảy sinh tình huống có
vấn đề. Dù cho tư duy có khái quát và trừu tượng đến đâu thì trong nội dung
của tư duy cũng vẫn chứa đựng những thành phần cảm tính.
Con người chủ yếu dùng ngôn ngữ để nhận thức vấn đề, để tiến hành
các thao tác trí tuệ và để biểu đạt kết quả của tư duy. Ngôn ngữ được xem là

phương tiện của tư duy.
Sản phẩm của tư duy là những khái niệm, phán đoán, suy luận được
biểu đạt bằng những từ, ngữ, câu, ..., ký hiệu, công thức, mô hình.
Tư duy mang tính khái quát, tính gián tiếp và tính trừu tượng.
Cả nhận thức cảm tính và nhận thức lý tính đều nảy sinh từ thực tiễn và
lấy thực tiễn làm tiêu chuẩn kiểm tra tính đúng đắn của nhận thức.
Ví dụ 1: Bài toán “Cho các số a, b, c thỏa mãn a 2011 (a + b + c) < 0 .
Chứng minh b 2 − 4ac > 0 ”. Trong tư duy, HS liên tưởng đến sử dụng kiến
thức về tam thức bậc hai nhưng lại gặp chướng ngại: chưa có tam thức bậc hai
trong bài toán. Từ đó kích thích học sinh tư duy biến đổi:
a 2011 (a + b + c) < 0 ⇔ a (a + b + c) < 0, do a 2010 > 0

1.3.1.2. Đặc điểm của tư duy
Thứ nhất là tính “có vấn đề”: Muốn kích thích được tư duy cần hai điều
kiện:
Trước hết là phải gặp tình huống có vấn đề, tức hoàn cảnh chứa đựng
mục đích mới, vấn đề mới, cách thức mới mà những hiểu biết cũ không đủ khả
năng giải quyết. Sau nữa vấn đề đó phải được cá nhân nhận thức đầy đủ, được
chuyển thành nhiệm vụ của cá nhân.
Thứ hai là tính gián tiếp: Tư duy phát hiện được bản chất nhờ các
phương tiện, công cụ, kết quả nhận thức, kinh nghiệm của chủ thể; được biểu
hiện thông qua ngôn ngữ.

6


Ngoài ra còn một số đặc điểm khác như tính trừu tượng, khái quát; tính
liên hệ chặt chẽ với ngôn ngữ; tính chất quan hệ mật thiết với nhận thức cảm
tính; …
Từ những đặc điểm trên ta có một số kết luận sư phạm sau:

- Muốn thúc đẩy học sinh tư duy thì phải đặt họ vào tình huống “có vấn
đề”.
- Phát triển tư duy phải song song với truyền thụ tri thức.
- Phát triển tư duy phải gắn với trau dồi ngôn ngữ.
- Phát triển tư duy phải gắn liền với rèn luyện cảm giác, tri giác, tính
nhạy cảm, năng lực quan sát và trí nhớ.
1.3.1.3. Quá trình tư duy
Tư duy là một quá trình hoạt động trí tuệ. Nghĩa là tư duy có nảy sinh
diễn biến và kết thúc. Quá trình tư duy thường gồm các bước sau:
- Xác định và biểu đạt vấn đề
- Huy động các tri thức, kinh nghiệm
- Sàng lọc các liên tưởng, hình thành giả thuyết
- Kiểm tra các giả thuyết
- Giải quyết nhiệm vụ
K.K Platonov đưa ra sơ đồ sau:
Nhận thức vấn đề
Xuất hiện các liên tưởng

Sàng lọc các liên tưởng,
hình thành giả thuyết

Khẳng định

Phủ định

Chính xác hoá
Giải quyết
7 vấn đề

Hành động TD mới

Như vậy quá trình tư duy là một quá trình hoạt động về trí tuệ có nhiều
thao tác trí tuệ tham gia vào quá trình tư duy cụ thể như: Phân tích, tổng hợp,
so sánh, trừu tượng hoá và khái quát hoá.
Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó biểu
hiện ở khả năng con người có thể xây dựng được những khái niệm chung gắn
liền với sự trình bày của những quy luật tương ứng.
1.3.1.4. Các loại hình tư duy
Các nhà nghiên cứu đã đặt cho tư duy rất nhiều loại hình tư duy như tư
duy lôgic, tư duy trừu tượng, tư duy sáng tạo, tư duy lí luận, …Sự phân chia
ra các loại hình tư duy nhằm mục đích hiểu sâu và vận dụng tốt tư duy trong
hoạt động của hệ thần kinh. Theo tâm lí học, người ta phân chia thành ba loại
hình tư duy :
i, Tư duy trực quan (còn gọi là tư duy cụ thể): Trong đó có thể phân
chia thành tư duy trực quan hành động (tư duy bằng các thao tác chân tay đối
với vật thật, hướng vào giải quyết một số tình huống cụ thể) và tư duy trực
quan hình ảnh (tư duy hướng vào việc giải quyết vấn đề dựa trên các hình ảnh
của sự vật, hiện tượng).
ii, Tư duy trừu tượng (còn gọi là tư duy ngôn ngữ - lôgic): là tư duy
mà việc giải quyết vấn đề dựa trên các khái niệm, các mối quan hệ lôgic gắn
bó chặc chẽ với ngôn ngữ. Ngôn ngữ được xem là phương tiện của tư duy, nó
cũng được coi là cái vỏ của tư duy. Các sản phẩm của tư duy như khái niệm,
phấn đoán, suy luận tương ứng được biểu đạt bằng những từ, người, câu, …
Ngày nay, người ta biết đến nhiều loại hình ngôn ngữ hình thể, sơ đồ - biểu
đồ, … Những loại hình ngôn ngữ này góp phần làm phong phú hơn phương
tiện biểu đạt của tư duy. Tư duy và ngôn ngữ liên hệ mật thiết với nhau, quyết
định lẫn nhau: Tư duy chỉ tồn tại nhờ cái vỏ ngôn ngữ; Tư tưởng của con
người tồn tại vì có từ, có tiếng nói. Theo C. Mác, ngôn ngữ là hiện thực trực
tiếp của ý thức, là vật chất tự nhiên của tư duy. Tư duy thuộc phạm trù nội

dung, ngôn ngữ thuộc phạm trù hình thức
8


Ngôn ngữ Toán học khác với ngôn ngữ tự nhiên ở chỗ:
- Ngôn ngữ toán học chủ yếu là kí hiệu, chữ số, dấu thể hiện phép tính
hay quan hệ, gọn gàng hơn ngôn ngữ tự nhiên (Do một dấu, một chữ số, chữ
cái, dấu phép tính, … có thể biểu thị điều mà ngôn ngữ tự nhiên phải dùng
đến một mẫu câu hay một cụm từ mới biểu thị hết được).
- Mỗi kí hiệu toán học hay mỗi kết hợp kí hiệu đều có một ý nghĩa duy
nhất, làm cho ngôn ngữ toán học có khả năng diễn đạt chính xác hơn ngôn
ngữ tự nhiên.
- Ngôn ngữ toán học có dùng đến ngôn ngữ “biến”, “công thức” làm
cho nó rất thích hợp để khái quát, diễn đạt các quy luật chung.
Sản phẩm của tư duy là những khái niệm, phán đoán, suy luận được
biểu đạt bằng từ, ngữ, câu, kí hiệu, công thức, … Tư duy con người sử dụng
khái niệm để ghi lại những kết quả trừu tượng hóa. Nhờ trừu tượng hóa mà tư
duy đã chỉ ra được những mối liên hệ, quan hệ của rất nhiều sự vật, hiên
tượng, nêu ra được những khái niệm, những phạm trù, những quy luật phản
ánh các mối liên hệ, quan hệ nội tại của các sự vật, hiện tượng đó. Trên cơ sở
những nhận thức ban đầu, bộ óc xuất hiện những phán đoán, suy luận.
iii, Tư duy trực giác: là tư duy đặc trưng bởi trực tiếp nắm bắt được
chân lí một cách bất ngờ, đột nhiên, chớp nhoáng, không dựa vào hoạt động
lôgic của ý thức, gắn với tưởng tượng. Sản phẩm của tư duy trực giác mang
tính chất dự báo, cần kiểm tra tính đúng đắn bằng thực nghiệm và lôgic, nó
thường dẫn đến những nhận thức mới mẻ, sáng tạo.
1.3.1.5. Các hình thức tư duy
i, Khái niệm
Khái niệm là một hình thức tư duy phản ánh một lớp đối tượng và do
đó nó có thể được xem xét theo hai phương diện: Ngoại diên và nội hàm. Bản

thân lớp đối tượng xác định khái niệm được gọi là ngoại diên, còn toàn bộ các
thuộc tính chung của lớp đối tượng này được gọi là nội hàm của lớp đối tượng

9


đó. Giữa nội hàm và ngoại diên có mối liên hệ mang tính quy luật: Nội hàm
càng mở rộng thì ngoại diên càng bị thu hẹp và ngược lại.
ii, Phán đoán
Phán đoán là hình thức tư duy, trong đó khẳng định một dấu hiệu thuộc
hay không thuộc một đối tượng. Phán đoán có tính chất hoặc đúng hoặc sai và
nhất thiết chỉ xảy ra một trong hai trường hợp đó mà thôi.
Trong tư duy, phán đoán được hình thành bởi hai phương thức chủ yếu:
trực tiếp và gián tiếp. Trong trường hợp thứ nhất, phán đoán diễn đạt kết quả
nghiên cứu của quá trình tri giác một đối tượng, còn trong trường hợp thứ hai
phán đoán được hình thành thông qua một hoạt động trí tuệ đặc biệt gọi là suy
luận. Cũng như các khoa học khác, Toán học thực chất là một hệ thống các
phán đoán về những đối tượng của nó, với nhiệm vụ xác định tính đúng sai
của các luận điểm.

rr
r r r r
Ví dụ 1: Xét mệnh đề: " ∀a, b thì | a − b |≤| a + b | " là một phán đoán và

r∧ r
là một phán đoán sai, vì điều này chỉ đúng khi (a, b) không tù, do bình
rr
phương hai vế bất đẳng thức và thu gọn ta được: a.b ≥ 0 ⇔
r r
r∧ r

r∧ r
⇔
| a | .| b | cos ( a, b) ≥ 0 cos ( a, b) ≥ 0 .
iii, Suy luận
Suy luận là sự kết nối những kinh nghiệm và kiến thức đã có để đưa ra
các kết luận hợp lí từ các thông tin được cho sẵn. Suy luận làm nền tảng cho sự
thăm dò và khám phá các ý tưởng mới, đồng thời đóng vai trò trung tâm trong
chứng minh.
Polya (1887-1985) là một trong những nhà nghiên cứu giáo dục Toán
nổi tiếng có nhiều đóng góp cho giáo dục. Polya đặc biệt quan tâm đến con
đường để mỗi HS có thể tiếp cận một bài toán hơn là kết quả mà học sinh đó
đưa ra. Khi học sinh hình thành được con đường này, các em sẽ cảm thấy thích
10


thú với toán học, hiểu lí do tại sao các ý tưởng được vận hành, phát triển một
chuỗi kiến thức được kết nối và đầy sức mạnh.
Polya ([26]) cho rằng toán học tồn tại hai kiểu suy luận: suy luận diễn
dịch và suy luận có lí. Suy luận diễn dịch là suy luận đáng tin cậy, không chối
cải được, và dứt khoát. Còn suy luận có lí là suy luận không chắc chắn và có
thể gây tranh cải.
- Suy luận diễn dịch không có khả năng cung cấp các hiểu biết căn bản
mới về thế giới xung quanh. Mọi cái mới mà chúng ta hiểu biết được về thế
giới đều có liên hệ với suy luận có lí
- Suy luận diễn dịch có những tiêu chuẩn chặc chẽ và nhất quán, được
ghi lại thành quy tắc và được giải thích bằng lôgic. Những tiêu chuẩn của các
suy luận có lí rất linh động.
Mặc dù khác nhau như vậy, nhưng hai loại suy luận này không mâu
thuẫn mà trái lại bổ sung cho nhau. Trong nghiên cứu này, chúng tôi đề cập đến
hai loại suy luận có lí là suy luận quy nạp và suy luận ngoại suy.

• Suy luận diễn dịch
Suy luận diễn dịch là suy luận có hai thuộc tính cơ bản: thứ nhất, xuất
phát từ những tiền đề khái quát; thứ hai, kết luận rút ra một cách tất yếu. Tùy
thuộc tính chất của phán đoán tiền đề để phân loại suy diễn nhất quyết, hay có
điều kiện hoặc lựa chọn. Có thể hiểu:
Suy luận diễn dịch là suy luận theo một quy tắc thỏa mãn điều kiện:
Nếu tiền đề đúng thì kết luận đúng. Kí hiệu:

A
B

Trong toán học, thường gặp hai loại suy diễn sau đây:
Loại thứ nhất: (∀x ∈ X ) P( x ), a ∈ X , tức là: Nếu P(x) đúng với mọi
P (a )

x ∈ X và a ∈ X thì P(a) là mệnh đề đúng.
Ví dụ: Số tự nhiên có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì sẽ chia hết cho 3.
11


Số 78 có tổng các chữ số là 15 chia hết cho 3.
Loại thứ hai: (∀x ∈ X ) P( x) → Q( x), P(a) , tức là: Nếu P ( x) ⇒ Q( x)
Q (a )
đúng với mọi x ∈ X và P(a) đúng thì Q(a) cũng là một mệnh đề đúng.
Ví dụ: Mọi hình thoi đều có hai đường chéo vuông góc với nhau
Tứ giác ABCD là hình thoi. Vậy tứ giác ABCD có hai đường
chéo AC và BD vuông góc với nhau.
Suy diễn trực tiếp là loại suy diễn xuất phát từ một tiên đề, rút ra kết
luận từ tiên đề đó, chẳng hạn: “Mọi hình thang đều có hai đáy nằm trên hai
đường thẳng song song, vậy không có hình thang nào mà không có hai đáy

song song”, hoặc “Một số hình bình hành là hình thang cân, vậy một số hình
thang cân là hình bình hành”, …
Suy diễn gián tiếp thường rút ra kết luận không dựa vào trực tiếp từ tiền
đề, chẳng hạn qua phủ định của nó. Trong toán học, chúng ta thường gặp
chứng minh phản chứng.
• Suy luận có lí
- Suy luận quy nạp
Có nhiều định nghĩa khác nhau về suy luận quy nạp, nhưng chúng đều
có chung bản chất, đó là suy luận nhằm đưa ra một giả thuyết mang tính tổng
quát (không chắc chắn đúng) từ việc kiểm chứng tính đúng đắn của giả thuyết
cho một số trường hợp cụ thể (Polya, 1968, [27]; Canadas & Castro, 2007,
[22]; Christu & Papageorgiu, 2007, [23])
Ví dụ: Khi quan sát thấy tổng ba góc trong một vài tam giác cụ thể luôn
bằng 1800, người học có thể tổng quát hóa kết quả này để đưa ra một giả thuyết
bằng suy luận quy nạp: Tổng ba góc trong của một tam giác bất kì luôn bằng
1800. Giả thuyết này đã được chứng minh là đúng và trở thành một định lí cơ
bản trong hình học.
12


- Suy luận ngoại suy
Ngoại suy là loại suy luận trung tâm của tất cả các lĩnh vực như triết
học, khoa học máy móc, trí tuệ nhân tạo, khảo cổ học, luật, khoa học tội
phạm…Nói một cách đơn giản thì ngoại suy là suy luận để giải thích cho một
quan sát.
Ví dụ: Dùng ngoại suy để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau: có
thể đưa ra giả thuyết như sau, phải chăng hai đoạn thẳng này là hai cạnh
tương ứng của hai tam giác bằng nhau và tìm xem hai tam giác nào chứa hai
cạnh đó mà bằng nhau không? Đó là kết quả của suy luận ngoại suy và kết
quả này chưa chắc chắn đúng. Hoặc, trong cuộc sống hằng ngày, sau một đêm

thức dậy nếu nhìn thấy cỏ trước sân bị ướt, chúng ta có thể đưa ra giả thuyết
bằng suy luận ngoại suy: có thể trời đã mưa, hay ai đó đã tưới cây.
Theo Patokorpi: Suy luận ngoại suy là quá trình suy luận nhằm tìm
kiếm những giả thuyết phù hợp nhất để giải thích cho một kết quả quan sát
được. Nói cách khác, suy luận ngoại suy trả lời cho câu hỏi: Đây là trường
hợp của quy tắc nào? Điều gì dẫn đến kết quả này? ([28]).
Vậy ngoại suy là suy luận đi ngược lại từ các kết quả (các hệ quả) đến
nguyên nhân hay điều xảy ra trước đó, nhằm giải thích cho một kết quả gây
ngạc nhiên với người suy luận. Giả thuyết của ngoại suy là có lí nhưng không
chắc chắn đúng. Ngoại suy là suy luận mở đầu cho quá trình khám phá.
1.3.1.6. Một số hoạt động tư duy ngoài suy diễn
i, Khái quát hóa
Khái quát hoá là thao tác tư duy nhằm hợp nhất nhiều đối trượng
khác nhau thành một nhóm, một loại theo những thuộc tính, những liên hệ
hay quan hệ chung giống nhau và những thuộc tính chung bản chất.
Theo G.Polya: “ Khái quát hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập
hợp đối tượng đã cho sang nghiên cứu một tập hợp lớn hơn bao gồm cả tập
hợp ban đầu”.

13


Trong “ Phương pháp dạy học môn Toán”, tác giả Nguyễn Bá Kim nêu
rõ:“Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớn
hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số trong các đặc điểm chung
của các phần tử của tập hợp xuất phát” ([7], trang 46).
Như vậy có thể hiểu khái quát hoá là quá trình đi từ cái riêng, cái đặc
biệt đến cái chung, cái tổng quát, hoặc từ một tổng quát đến một tổng quát
hơn. Trong toán học, người ta thường khái quát một yếu tố hoặc nhiều yếu tố
của khái niệm, định lý, bài toán... thành những dự đoán mang tính tổng quát.

Ví dụ: Chúng ta khái quát hóa khi chuyển từ việc nghiên cứu tam thức
bậc hai sang việc nghiên cứu đa thức với bậc tùy ý. Chúng ta khái quát hóa
khi chuyển từ việc nghiên cứu hệ thức lượng trong tam giác vuông sang việc
nghiên cứu hệ thức lượng trong tam giác thường.
Trong hai ví dụ trên khái quát hóa được thực hiện theo hai hướng có tính
chất khác nhau. Ở ví dụ thứ nhất, khái quát hóa được thực hiện bằng cách
thay hằng số 2 bởi biến số n (n ∈ N). Ở ví dụ thứ hai, khái quát hóa được thực
hiện bằng cách loại bỏ điều kiện một góc của tam giác bằng 900 để nghiên cứu
những tam giác với góc tùy ý. Các kết luận rút ra từ khái niệm hóa mang tính
giả thuyết, dự đoán. Vì vậy sau khi hình thành một giả thuyết nào đó từ khái
quát hóa thì cần phải sử dụng suy diễn để chứng minh giả thuyết là đúng hay
sai.
Trong toán học có nhiều con đường khái quát hóa khác nhau, ta có thể hệ
thống theo sơ đồ sau:
Khái quát hóa

Khái quát hóa từ
cái riêng lẻ đến cái
tổng quát

Khái quát hóa
tới cái tổng quát
đã biết

Khái quát hóa từ
cái tổng quát đến
cái tổng quát hơn

14

Khái quát hóa
tới cái tổng quát
chưa biết


Ta xét hai ví dụ sau:
Ví dụ 1:
a) Ta có

1
1 1
1
1 1
= − ;
= − ;…
2.3 2 3 4.5 4 5
1

1

1

1

1 1

1 

=
−

b) Với ∀n, d ∈ Ν* thì n(n + 1) = n − n + 1 ;
,
n( n + d ) d  n n + d 

c) Với ∀u , v∈ ¡ * : u + v =1, ∀n , m ∈ Ν* thì
j

n −1
C i m +i −1 m−1 Cn + j −1
1
=
+ ∑ m− j
∑
u n v m i = 0 u n −i
j =0 v

Như vậy, từ a là các trường hợp riêng lẻ, khái quát hóa thành b là
cái tổng quát đã biết (quen thuộc); từ a và b tới c là khái quát hóa tới cái tổng
quát chưa biết; kết quả thu được chứa đựng ý nghĩa sáng tạo to lớn (có thể
dùng kết quả này cho việc tính nguyên hàm và tích phân của hàm dạng
1
hay chứng minh một số đẳng thức về tổ hợp).
(ax + b) (cx + d ) m
n

Nói về vai trò của khái quát hóa ta có thể khẳng định: “ Là một thông
số quan trọng bậc nhất, một năng lực đặc thù của tư duy và là cơ sở duy nhất
để phân biệt giữa tư duy lí luận và tư duy kinh nghiệm, năng lực khái quát
hóa ở mỗi con người luôn đóng vai trò quan trọng trong quá trình học tập và
nghiên cứu, khi được phát triển tới mức độ cao, chính năng lực này sẽ giúp

mỗi con người tách được cái chung, bản chất, những mối liên hệ bên trong
của tài liệu nghiên cứu học tập bằng con đường phân tích chỉ một sự kiện điển
hình mà thôi. Bằng con đường đó con người có thể tiết kiệm thời gian sức lực
của mình, biết cách khám phá tri thức khoa học bằng những phương pháp tối
ưu…” ([5], trang 22).
Trong toán học, khái quát hóa liên kết chặt chẽ với các thao tác tư duy
khác như: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hóa, đặc biệt hóa…Khái quát
hóa là thao tác tư duy cơ bản, đóng vai trò quan trọng trong việc hình thành
15


các khái niệm, chứng minh định lí, phát hiện vấn đề và đề xuất kiến thức mới,
hình thành tri thức phương pháp giải toán…
ii, So sánh và tương tự
So sánh là thao tác tư duy nhằm xác định sự giống nhau hay khác nhau,
sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa
các đối tượng nhận thức. So sánh liên quan chặt chẽ với phân tích - tổng hợp và
đối với các hình thức tư duy đó có thể ở mức độ đơn giản hơn nhưng vẫn có
thể nhận thức được những yếu tố bản chất của sự vật, hiện tượng.
Tương tự là một dạng so sánh mà từ hai đối tượng giống nhau ở một số
dấu hiệu, rút ra dự đoán hai đối tượng đó cũng giống nhau ở dấu hiệu khác.
Như vậy, tương tự là sự giống nhau giữa hai hay nhiều đối tượng ở một
mức độ nào đó, trong một quan hệ nào đó.
Ví dụ: 1)Ta có khái niệm tam giác trong mặt phẳng và khái niệm tứ
diện trong không gian là hai đối tượng có tính tương tự, đó là những hình có
số đường thẳng tối thiểu (tam giác) và số mặt phẳng tối thiểu (tứ diện) để có
diện tích, thể tích hữu hạn. Do đó, nếu trong tam giác ABC, trọng tâm G ta
uuur uuur uuur r
có: GA + GB + GC = 0 thì tương tự, với tứ diện ABCD, trọng tâm G ta dự đoán
cũng có đẳng thức: .

2) Các hàm số y = a x và y = log a x là khác nhau, nhưng khi a > 1 thì
chúng cùng đồng biến, khi 0 < a < 1 thì chúng cùng nghịch biến.
3) Hai tổng sau đây có dạng khác nhau nhưng lại có cùng một phương
pháp giải

S1 =

1 1
1
1
1
+
+
+
+
,
2 2.3 3.4 4.5 5.6

S2 =

3 3
3
3
3
+
+
+
+
4 4.7 7.10 10.13 13.16

iii, Trừu tượng hóa
Trừu tượng hoá là thao tác tư duy nhằm gạt bỏ những mặt, những thuộc
tính, những liên hệ, quan hệ thứ yếu, không cần thiết và chỉ giữ lại các yếu tố
cần thiết cho tư duy. Sự phân biệt bản chất hay không bản chất ở đây chỉ
mang nghĩa tương đối, nó phụ thuộc mục đích hành động.
16


Trừu tượng hóa và khái quát hóa có mối liên hệ chặc chẽ với nhau. Nhờ
trừu tượng hóa ta có thể ta có thể khái quát hóa rộng hơn và nhận thức sự vật
sâu hơn. Không có khái quát hóa và trừu tượng hóa thì không thể có khái
niệm và tri thức lí thuyết được.
Ví dụ: Trừu tượng hoá mệnh đề “Tích của hai số âm luôn luôn là số
dương” là mệnh đề “Bình phương của một số luôn luôn là không âm”. Điều
này được thực hiện nhờ nêu bật và tách đặc điểm “tích” khỏi đặc điểm “bình
phương” (bình phương là tích của hai số bằng nhau) nghĩa là đã nhờ sự trừu
tượng hóa.
iv, Hệ thống hóa
Một trong những phương diện của hệ thống hóa là làm rõ những mối
quan hệ giữa những kiến thức khác nhau liên quan với khái quát hóa, ở đây ta
chỉ xét hoạt động phát hiện mối quan hệ chung riêng, khái quát hóa và đặc
biệt hóa là ba hoạt động trái ngược nhau trái ngược nhau từng đôi một.
Khai thác mối quan hệ giữa ba hoạt động trên, trong việc tập luyện
cho học sinh khái quát hóa, không chỉ yêu cầu họ đi từ riêng đến chung (khái
quát hóa) mà còn đòi hỏi họ đi từ chung đến riêng (đặc biệt hóa) và làm rõ
mối quan hệ chung riêng giữa cái đạt được và cái xuất phát.
Ví dụ: Sau khi học sinh khái quát hóa mệnh đề “Bình phương của một
số âm luôn luôn là một số dương”, với mục đích kiểm tra việc khái quát hóa,
có thể yêu cầu học sinh đặc biệt hóa mệnh đề tìm được sao cho lại nhận được
mệnh đề xuất phát, thông qua đó nhấn mạnh mối quan hệ chung riêng giữa

mệnh đề tìm được và mệnh đề xuất phát: ở mệnh đề tìm được, nếu số mũ
nhận giá trị 2 thì được một trường hợp riêng, đó chính là mệnh đề xuất phát.
Nếu tận dụng những cơ hội như thế để làm cho học sinh ý thức được
mối quan hệ chung riêng giữa những mệnh đề xuất phát với mệnh đề tìm
được thì tức là đã đồng thời góp phần phát triển ở họ khả năng hệ thống hóa.
v, Phân tích ngược từ kết luận tới giả thiết để tìm lời giải bài toán

17


Phân tích ngược từ kết luận tới giả thiết để tìm lời giải bài toán có tác
dụng phát huy rất cao khả năng tư duy độc lập sáng tạo của học sinh. Song,
khi sử dụng, yêu cầu học sinh phải nắm chắc kiến thức cơ bản nên không phải
mọi học sinh đều có thể hiểu và vận dụng phương pháp này thành thạo như
nhau. Do đó, việc rèn luyện cho học sinh sử dụng phương pháp “phân tích
ngược” từng bước từ dễ đến khó theo mức độ riêng sẽ giúp các em dễ tiếp
nhân phương pháp này mà không cảm thấy mình đuối sức. Ngoài ra việc sử
dụng thường xuyên, liên tục phương pháp “phân tích ngược” sẽ giúp học sinh
hiểu sâu sắc và có kĩ năng xây dựng sơ đồ phân tích thành thạo hơn để vận
dụng vào giải dạng toán chứng minh hình học.
Tùy theo đối tượng học sinh mà đưa ra các mức độ cần đạt khác nhau.
Biện pháp này giúp cho mọi đối tượng học sinh đều được tham gia vào quá
trình học tập, nhất là đối tượng học sinh trung bình và yếu không có cảm giác
mình bị bỏ quên. Học sinh sẽ hiểu rõ phương pháp và khả năng vận dụng
ngày càng được nâng cao. Việc tìm ra lời giải sẽ nhanh chóng và chính xác
hơn.
vi, Lựa chọn một khả năng trong số nhiều khả năng để tìm lời giải bài
toán
Khi gặp vấn đề có nhiều hướng giải quyết khác nhau, học sinh biết
chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, vận dụng linh

hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát
hóa, cụ thể hóa và các phương pháp suy luận như quy nạp, ngoại suy,…; dễ
dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác; điều chỉnh kịp thời hướng
suy nghĩ nếu gặp trở ngại để tìm lời giải bài toán thuận lợi hơn.
vii, Lật ngược vấn đề
Lật ngược vấn đề là quá trình đặt vấn đề nghiên cứu mệnh đề đảo
sau khi chứng minh một tính chất, một định lí hay một bài toán nhằm phát
triển tư duy cho học sinh.
Khi lật ngược vấn đề cần theo trình tự:
18


(*) Phát biểu mệnh đề
(*) Phát biểu mệnh đề đảo
(-) Nếu mệnh đề đảo đúng thì chứng minh.
(-) Nếu mệnh đề đảo sai thì cho phản ví dụ.
Ví dụ: Khi học sinh đã biết: Phương trình (PT) bậc hai ax2 + bx + c (a ≠ 0), có
b
a

hai nghiệm x1, x2 thì tổng hai nghiệm S = x1 + x2 = – , tích hai nghiệm P =
x1.x2 =

c
a

Ta có thể lật ngược vấn đề như sau: “Phải chăng nếu có hai số u,v sao
cho tổng u + v = S, tích u.v = P thì u,v là hai nghiệm của PT bậc hai X 2 – SX
+ P = 0?”
Nếu HS nhận xét là đúng thì yêu cầu cho học sinh chứng minh, nếu

học sinh nhận xét là sai thì yêu cầu HS cho phản ví dụ.
viii, Tư duy sáng tạo
Theo các tác giả Nguyễn Bá Kim – Vương Dương Minh – Tôn Thân
trong tác phẩm “Khuyến khích một số hoạt động trí tuệ của HS qua môn Toán
ở trường THCS” thì: “Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý
tưởng mới, độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao. Ý tưởng mới thể
hiện ở chỗ phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới.
Tính độc đáo của ý tưởng mới thể hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen
thuộc hoặc duy nhất” ([6], trang 72).
GS.TSKH Nguyễn Cảnh Toàn có nói: “Người có óc sáng tạo là người
có kinh nghiệm phát hiện vấn đề và giải quyết được vấn đề đã đặt ra” ([15]).
Người ta có thể chia tư duy thành ba cấp độ: tư duy tích cực, tư duy độc
lập, tư duy sáng tạo. Mỗi cấp độ tư duy đi trước là tiền đề tạo nên cấp độ tư duy
đi sau. Đối với chủ thể nhận thức, tư duy tích cực được đặc trưng bởi sự khát
vọng, sự cố gắng trí tuệ và nghị lực. Còn tư duy độc lập thể hiện ở khả năng tự

19


phát hiện và giải quyết vấn đề, tự kiểm tra và hoàn thiện kết quả đạt được. Không
thể có tư duy sáng tạo nếu không có tư duy tích cực và tư duy độc lập.
Mặt khác có ý kiến cho rằng: “ Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán
là những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những
mặt khác nhau của tư duy sáng tạo”.
Mối quan hệ giữa các cấp độ tư duy thể hiện ở sơ đồ sau:

Tư duy tích cực
Tư duy độc lập
Tư duy sáng tạo

Cấp độ vòng ngoài là tiền đề cho cấp độ vòng trong.
Ví dụ về các cấp độ tư duy:
- Tư duy tích cực: Học sinh chăm chú lắng nghe giáo viên giảng cách
chứng minh định lí và cố gắng hiểu.
- Tư duy độc lập: Học sinh nghiên cứu tài liệu, tự mình tìm hiểu cách
chứng minh định lí.
- Tư duy sáng tạo: Học sinh tự khám phá định lí và tự chứng minh định
lí đó.
Tư duy sáng tạo có tính chất tương đối vì cùng một chủ thể giải quyết
vấn đề trong điều kiện này có thể mang tính sáng tạo nhưng trong điều kiện
khác, hoặc cùng một vấn đề được giải quyết có thể mang tính sáng tạo đối với
người này nhưng không mang tính sáng tạo đối với người khác.
ix, Tư duy phê phán
Theo Beyer ([21]) đã đưa ra quan niệm về tư duy phê phán như sau:
“Tư duy phê phán, … nghĩa là tạo ra các phán đoán có cơ sở”.

20


Theo Hatcher: “Tư duy phê phán là tư duy nỗ lực để đưa ra một phán
đoán sau khi đã tìm cách thức đáng tin cậy để đánh giá thực chất về mọi
phương diện của các bằng chứng và các luận cứ” ([24]).
Ta có thể hiểu tư duy phê phán là quá trình vận dụng tích cực trí tuệ
vào việc phân tích, tổng hợp, đánh giá sự việc, xu hướng, ý tưởng, giả thuyết
từ sự quan sát, kinh nghiệm, chứng cứ, thông tin và lí lẽ nhằm mục đích xác
định đúng – sai, hợp lí – không hợp lí, nên – không nên và rút ra quyết định
cách ứng xử của mỗi cá nhân.
x, Tư duy thuật giải
Theo Vương Dương Minh, ([6], trang 51): “Thuật giải là một quy tắc
chính xác và đơn trị quy định một số hữu hạn những thao tác sơ cấp theo một

trình tự nhất định trên cơ sở những đối tượng sao cho sau một số hữu hạn
bước thực hiện các thao tác đó ta thu được kết quả mong muốn”. Cách phát
biểu trên chứa đựng một số thuật ngữ chưa được chính xác hóa: quy tắc, thao
tác sơ cấp. Những thuật ngữ này được hiểu theo trực giác.
Quan điểm khai thác hoạt động trong nội dung dạy học cho rằng mỗi
nội dung dạy học đều chứa đựng nhiều hoạt động tương thích với nó, đó là
những hoạt động được thực hiện trong quá trình hình thành và vân dụng nội
dung này. Tương thích với khái niệm thuật giải có những hoạt động đáng chú
ý sau đây:
(T1) Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với
một thuật giải;
(T2) Phân tích một quá trình thành những thao tác được thực hiện theo
một trình tự xác định;
(T3) Khái quát hóa một quá trình diễn ra trên một số đối tượng riêng rẻ
thành một quá trình diễn ra trên một số lớp đối tượng;
(T4) Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động;
(T5) Phát hiện thuật giải tối ưu để giải quyết một công việc.

21


Đó chính là các hoạt động của tư duy thuật giải. Thành phần đầu tiên
thể hiện năng lực thực hiện thuật giải, bốn thành phần sau thể hiện năng lực
xây dựng thuật giải.
1.3.2. Phẩm chất
1.3.2.1. Thái độ học tập đúng đắn, cần cù và nhẫn nại, tự lực và có ý chí vượt
khó khăn.
Đối với học sinh, đạo đức công dân phải biểu hiện trước hết ở động cơ
hăng say học tập để bảo vệ và xây dựng đất nước. Có thể nói rằng nhiệm vụ
quan trọng nhất của người giáo viên toán là khêu gợi được ở mọi học sinh

của mình lòng ham muốn học tập toán, làm cho các em luôn thấy cần thiết
phải học toán và có hứng thú với việc học toán, vì lợi ích chung và lợi ích
của bản thân mình
Việc sử dụng khéo léo các phương pháp dạy học nhằm phát huy tính độc
lập, chủ động của học sinh có ý nghĩa quyết định đối với việc xây dựng động
cơ học tập đúng đắn, rèn luyện lòng yêu bộ môn ở học sinh. Điều rất quan
trọng nữa là phải thường xuyên theo sát việc học tập của các em, giúp các em
và đòi hỏi các em luôn cố gắng vươn lên vừa sức mình, kịp thời động viên,
khuyến khích những tiến bộ (có khi rất nhỏ) của các em, kịp thời giúp đỡ
những em gặp khó khăn, kịp thời ngăn chặn những biểu hiện ngại khó, chán
nản khi vừa chớm nở.
Có tác dụng đáng kể đối với việc xây dựng động cơ và thái độ học toán
đúng đắn cho học sinh là việc giới thiệu cho các em cuộc đời và sự nghiệp của
các nhà toán học vĩ đại. Đó là những người thông minh lỗi lạc và lao động cần
cù, nhẫn nại, say sưa với khoa học, đã để lại cho chúng ta những di sản văn hóa
quý báu ngày nay. Tiểu sử của họ thường là những gương sáng về lòng yêu
nước và tinh thần đấu tranh cho những tư tưởng tiến bộ. Chẳng hạn, cuộc đời
của nhà toán học Lobaseoski là một tấm gương yêu nước, yêu khoa học, dũng
cảm và bền bỉ đấu tranh cho sự thắng lợi của những tư tưởng cách mạng trong
toán học, cuộc đời của các nhà toán học trẻ tuổi Galoa, Abel … là một bản cáo
22