Đề tài Sử dụng phương pháp tiên đề, phương pháp tọa độ và phương pháp vectơ trong dạy học giải bài tập hình học ở trường THPT

Đề tài: Sử dụng phƣơng pháp tiên đề, phƣơng pháp tọa độ và phƣơng pháp vectơ
trong dạy học giải bài tập hình học ở trƣờng THPT

LỜI CẢM ƠN
Em xin trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, các thầy cô
trong Bộ môn Lý luận và Phương pháp dạy học Toán, cán bộ và nhân viên
phòng sau đại học, trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã luôn nhiệt tình giúp đỡ
và tạo điều kiện cho em trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Em xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu cùng tập thể giáo viên trường
THPT Nam Duyên Hà – Thái Bình đã tạo điều kiện giúp đỡ em trong thời
gian thực nghiệm sư phạm tại trường.
Em xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn học viên cùng
nhóm chuyên ngành Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán đã luôn
nhiệt tình chia sẻ với em những kinh nghiệm học tập, công tác trong suốt quá
trình học tập và nghiên cứu.
Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Văn Dũng
đã tận tình giúp đỡ em hình thành, nghiên cứu và hoàn chỉnh luận văn.
Dù đã có nhiều cố gắng, song do hạn hẹp về thời gian, điều kiện nghiên
cứu và trình độ bản thân, luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất
mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn đồng nghiệp.
Hà Nội, ngày 10 tháng 09 năm 2013
Phạm Thị Hương

1


Đề tài: Sử dụng phƣơng pháp tiên đề, phƣơng pháp tọa độ và phƣơng pháp vectơ
trong dạy học giải bài tập hình học ở trƣờng THPT

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

Viết tắt

Viết đầy đủ

ĐC
GBT
GV
HHKG
HS
PP
PPDH
PT
SGK
THCS
THPT
TN
Tr
VTCP
VTPT

Đối chứng
Giải bài tập
Giáo viên
Hình học không gian
Học sinh
Phương pháp
Phương pháp dạy học
Phương trình
Sách giáo khoa
Trung học cơ sở

Trung học phổ thông
Thực nghiệm
Trang
Vectơ chỉ phương
Vectơ pháp tuyến

2


Đề tài: Sử dụng phƣơng pháp tiên đề, phƣơng pháp tọa độ và phƣơng pháp vectơ
trong dạy học giải bài tập hình học ở trƣờng THPT

Chƣơng 1
GIỚI THIỆU CHUNG VỀ ĐỀ TÀI
1.1. VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
Vào khoảng những năm 300 trước công nguyên, nhà toán học Ơ-clit
người Hy Lạp tìm cách hệ thống lại toàn bộ các kiến thức toán học mà loài
người tích lũy được từ trước đó cho đến thời của ông. Ông muốn định nghĩa
lại tất cả các khái niệm, chứng minh lại tất cả các mệnh đề. Song khi bắt tay
vào thực hiện, ông gặp phải một trở ngại đó là: khi định nghĩa khái niệm a
ông cần phải dùng đến khái niệm b, rồi khi định nghĩa khái niệm b ông lại
phải cần dùng đến khái niệm a và khi chứng minh mệnh đề a ông cần phải
dùng đến mệnh đề b, rồi khi chứng minh mệnh đề b ông lại phải cần dùng đến
mệnh đề a. Để khắc phục khó khăn đó, trong tác phẩm “Cơ bản”, Ơ-clit đã
thừa nhận không chứng minh 10 định đề và gọi chúng là các tiên đề. Rồi từ
10 tiên đề đó ông đã chứng minh các mệnh đề khác bằng các suy luận logic.
Tập “Cơ bản” của Euclid gồm 13 cuốn trong đó có 8 cuốn nói về Hình học.
Toàn bộ nội dung môn Hình học ở bậc Phổ thông ngày nay là một phần trong
tác phẩm đó. Như vậy Ơ-clit đã xây dựng môn Hình học dựa trên các tiên đề
mà ông đã lựa chọn, vì thế mà người đời sau còn gọi Hình học đó là Hình học

Ơ-clit. Có thể nói chính Ơ-clit là người đặt nền móng cho việc xây dựng môn
học bằng phương pháp tiên đề. Một môn học có thể có nhiều hệ tiên đề tương
đương nhau. Hình học Ơ-clit có 3 hệ tiên đề: Hệ tiên đề (mang tên) Hin-be, hệ
tiên đề (mang tên) Pô-gô-rê-nốp và hệ tiên đề (mang tên) Uây-lơ. Như quen
dùng, môn Hình học được giảng dạy ở trường phổ thông được gọi là Hình học
sơ cấp hay Hình học tổng hợp. Trong nó vừa chứa đựng các mô hình của
Hình học Ơ-clit, vừa chứa các mô hình của hình học Aphin và Hình học đồng
dạng (Hình học của nhóm biến hình đồng dạng).
Đối với mỗi bài toán hình học:
3


Đề tài: Sử dụng phƣơng pháp tiên đề, phƣơng pháp tọa độ và phƣơng pháp vectơ
trong dạy học giải bài tập hình học ở trƣờng THPT

- Nếu ta đặt nó trong môi trường là mô hình vật lý của Hình học Ơ-clit,
Hình học Aphin hay Hình học đồng dạng và sử dụng các định lý của chúng để
giải thì phương pháp đó gọi là Phƣơng pháp tiên đề (nhiều sách còn gọi là
phương pháp tổng hợp).
- Nếu ta đặt nó trong môi trường là mô hình số học của hệ tiên đề Hinbe hay hệ tiên đề Pô-gô-rê-nốp đã được gắn với một hệ trục tọa độ và sử dụng
các định lý của hệ tiên đề này để giải thì phương pháp đó gọi là Phƣơng
pháp tọa độ.
- Nếu ta đặt nó trong môi trường là mô hình của hệ tiên đề Uây-lơ và sử
dụng các định lý của hệ tiên đề này để giải thì phương pháp đó gọi là Phƣơng
pháp vectơ.
Trong xu thế hiện đại hóa chương trình phổ thông, nhiều nhà toán học
trên thế giới đã vận động đưa việc giảng dạy chương vectơ vào trường phổ
thông. Ở nước ta, vectơ và tọa độ cũng được đưa vào giảng dạy ở trường phổ
thông cùng với chương trình toán học hiện đại nhằm đổi mới để nâng cao chất
lượng giáo dục cho phù hợp với xu thế chung của thế giới. Như vậy, chương

trình hình học ở trường THPT được nghiên cứu bằng ba phương pháp đó là:
phương pháp tiên đề, phương pháp tọa độ, phương pháp vectơ và được trình
bày theo từng chương riêng rẽ. Theo đó, về mặt lý thuyết mỗi bài toán hình
học trong chương trình phổ thông có thể có ba phương pháp để thực hiện. Tất
nhiên, nếu chọn được phương pháp và công cụ phù hợp thì sẽ có được một lời
giải tốt. Song việc lựa chọn phương pháp nào phù hợp để giải bài tập hình học
không chỉ khó đối với người học mà còn khó đối với người dạy. Vậy làm thế
nào để giúp HS trƣớc mỗi bài toán hình học có thể lựa chọn phƣơng pháp
và công cụ giải phù hợp? Và đó cũng chính là vấn đề nghiên cứu của đề tài.
Liên quan đến đề tài nghiên cứu, chúng tôi có tìm thấy nhiều tài liệu khá
bổ ích như: sách tham khảo, báo, tạp chí giáo dục, một số luận văn thạc sĩ:
- Thái Thị Anh Thư [26], trong đó tác giả đã đề cập đến những biện pháp
rèn luyện kĩ năng giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ;
4


Đề tài: Sử dụng phƣơng pháp tiên đề, phƣơng pháp tọa độ và phƣơng pháp vectơ
trong dạy học giải bài tập hình học ở trƣờng THPT

- Lê Thiều Tráng [27], trong đó tác giả đã đề cập đến việc phát huy các
thành phần của tư duy sáng tạo vào cụ thể từng dạng toán, phân loại các dạng
bài tập, các phương pháp chứng minh từng loại toán bằng PP vectơ và PP tọa
độ trong chương trình hình học 10;
... đó là những tài liệu bước đầu.
1.2. PHƢƠNG PHÁP TIÊN ĐỀ, PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ, PHƢƠNG
PHÁP VECTƠ TRONG CHƢƠNG TRÌNH MÔN TOÁN Ở TRƢỜNG THPT
1.2.1. Phƣơng pháp tiên đề (PP tổng hợp)
( phần này đƣợc viết dựa vào việc tham khảo các sách:[3], [4], [5], [6], [24])
HS được làm quen với phương pháp tiên đề ngay từ khi bắt đầu được
học về PP chứng minh một bài toán hình học. Có thể nói PP tiên đề giải bài

tập hình học được dạy cho HS trong suốt chương trình môn Toán ở bậc
phổ thông, nhưng chủ yếu ở cấp THCS. Trong chương trình hình học ở
cấp THPT phương pháp tiên đề giải bài bài tập hình học xuất hiện chủ yếu
trong các nội dung về hình học không gian. Nội dung hình học không gian
được trình bày ở lớp 11 và lớp 12 theo tinh thần của phương pháp tiên đề.
Gồm các chương: quan hệ song song trong không gian; quan hệ vuông góc
trong không gian, khối đa diện và thể tích của chúng; mặt cầu, mặt trụ,
mặt nón. Việc dạy hình học không gian ở trường THPT nhằm các mục
đích, yêu cầu sau:
a) Về kiến thức:
Trang bị cho HS một số cơ sở khoa học để hiểu rõ từ các khái niệm ban
đầu về: điểm, đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ “thuộc” (đi qua) với các
tiên đề, nhờ lập luận logic dẫn tới kiến thức về vị trí tương đối giữa đường
thẳng và mặt phẳng,về tương giao giữa các hình, quan hệ song song giữa
đường thẳng và mặt phẳng, sự vận dụng các kiến thức toán vào nghiên cứu
khối đa diện; khi học xong phần này, HS cần nắm các kiến thức về quan hệ
vuông góc, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, khoảng cách giữa các hình,
5


Đề tài: Sử dụng phƣơng pháp tiên đề, phƣơng pháp tọa độ và phƣơng pháp vectơ
trong dạy học giải bài tập hình học ở trƣờng THPT

việc vận dụng chúng vào nghiên cứu các kiến thức về hình học không gian
như khối đa diện, mặt cầu, mặt trụ, mặt nón, các công thức tính diện tích xung
quanh, tính thể tích các khối hình học.
b) Về kĩ năng:
Thông qua dạy học hình học không gian chú trọng rèn luyện cho HS
những kĩ năng như: kĩ năng về xác định hình, kĩ năng giải các dạng toán về sự
tương giao giữa các hình, kĩ năng chứng minh trong quan hệ song song, kĩ

năng chứng minh các đường thẳng và mặt phẳng vuông góc, tính khoảng cách
và góc giữa các yếu tố: đường thẳng và mặt phẳng, tính diện tích xung quanh
và thể tích các hình không gian.
1.2.2.Phƣơng pháp tọa độ
( phần này đƣợc viết dựa vào việc tham khảo các sách:[17], [18], [24])
Chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng được trình bày trong SGK
hình học 10, phương pháp tọa độ trong không gian được trình bày trong SGK
hình học 12. Việc dạy chủ đề này cho HS nhằm các mục đích, yêu cầu sau:
a) Về kiến thức:
HS cần nắm vững: khái niệm hệ trục tọa độ trong mặt phẳng và trong
không gian; tọa độ vectơ trong hệ trục tọa độ phẳng và trong không gian; tọa
độ của một điểm và tính chất của chúng. VTPT của đường thẳng trong mặt
phẳng; phương trình tổng quát của đường thẳng; VTCP, phương trình tham
số của đường thẳng, phương trình chính tắc; vị trí tương đối của hai đường
thẳng; góc giữa hai đường thẳng; khoảng cách từ một điểm đến một đường
thẳng; các dạng phương trình đường tròn; khái niệm về các đường cônic, các
phương trình chính tắc của chúng; các yếu tố xác định các đường cônic. Tiêu
điểm, tiêu cự, tâm sai, các trụ, hình dạng của các đường conic, tiệm cận,
đường chuẩn; các tiếp tuyến của elip, hypebol, parabol; biểu thức tọa độ của
tích vô hướng trong mặt phẳng và trong không gian. Tích có hướng của hai
vectơ trong không gian và ứng dụng. Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ, thể
6


Đề tài: Sử dụng phƣơng pháp tiên đề, phƣơng pháp tọa độ và phƣơng pháp vectơ
trong dạy học giải bài tập hình học ở trƣờng THPT

tích hình hộp, phương trình tổng quát của mặt phẳng và các dạng đặc biệt của
nó; vị trí tương đối của hai mặt phẳng, khoảng cách giữa các yếu tố: điểm,
đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau; góc

giữa các yếu tố: đường thẳng, mặt phẳng; phương trình mặt cầu, giao của mặt
cầu và mặt phẳng.
b) Về kĩ năng:
Kĩ năng xác định tọa độ vectơ, tọa độ của điểm bằng cách sử dụng tọa
độ vectơ hoặc hình chiếu vuông góc lên các trục tọa độ phẳng hay không
gian; kĩ năng lập các dạng phương trình đường thẳng trong mặt phẳng hay
trong không gian; lập phương trình mặt phẳng; lập phương trình các đường
thẳng , mặt phẳng; các kĩ năng về xác định khoảng cách, xác định góc giữa
các yếu tố trong mặt phẳng và trong không gian; kĩ năng lập phương trình
đường tròn theo các yếu tố: tâm, bán kính, điều kiện tiếp xúc của đường
thẳng và đường tròn; các kĩ năng lập phương trình chính tắc của các đường
cô nic theo các yếu tố xác định chúng: trục lớn, tiêu cự, tiêu điểm, tâm sai,
trục đối xứng, đường chuẩn; các kĩ năng viết phương trình tiếp tuyến của các
đương cônic, khả năng lập phương trình mặt cầu, xác định tâm và bán
kính,xác định giao của mặt phẳng và mặt cầu, lập PT tiếp diện của mặt cầu.
1.2.3. Phƣơng pháp vectơ
( phần này đƣợc viết dựa vào việc tham khảo các sách:[8], [10], [24])
Các chủ đề kiến thức về vectơ, tích vô hướng của hai vectơ và ứng
dụng được trình bày trong SGK hình học 10 bằng phương pháp vectơ trong
mặt phẳng. Phương pháp vectơ trong không gian trong SGK hình học 12
được trình bày tương tự. Việc dạy chủ đề này cho HS nhằm đạt được các
mục đích, yêu cầu sau:
a) Về kiến thức:
HS cần nắm vững định nghĩa khái niệm vectơ, một vectơ được đặc
trưng bởi ba yếu tố: phương, hướng và độ dài; khái niệm hai vectơ cùng
7


Đề tài: Sử dụng phƣơng pháp tiên đề, phƣơng pháp tọa độ và phƣơng pháp vectơ
trong dạy học giải bài tập hình học ở trƣờng THPT

phương, khác phương, nhận biết hai vectơ cùng hướng, ngược hướng; hiểu
khái niệm hai vectơ bằng nhau; HS cần nắm việc xác định một vectơ đặt từ
điểm O bằng một vectơ a cho trước và nhấn mạnh chỉ có duy nhất một điểm
A trong mặt phẳng hay không gian thỏa mãn OA  a .
Để có thể sử dụng công cụ vectơ vào việc giải các bài toán, HS cần
nắm được các phép toán trên các vectơ như: phép trừ hai vectơ, nhân vectơ
với một số, tích vô hướng của hai vectơ, ứng dụng của tích vô hướng, các hệ
thức lượng trong tam giác, công thức tính diện tích tam giác, tích có hướng
của hai vectơ (trong không gian) và các tính chất của các phép toán trên.
b) Về kĩ năng:
Kĩ năng thực hiện các phép toán cộng, trừ hai vectơ, xác định vectơ
tổng nhờ quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, kĩ năng tính tích vô hướng,
tích có hướng.
Kĩ năng biểu diễn một vectơ theo một vectơ theo hai vectơ không cùng
phương; biểu diễn một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng trong không
gian nhờ sử dụng quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp.
Các kĩ năng tính độ dài, tính góc, chứng minh vuông góc, giải tam giác,
tính diện tích nhờ sử dụng tích vô hướng, định lí hàm số sin, hàm số côsin.
1.3. NHU CẦU NGHIÊN CỨU
Chúng tôi đã tìm hiểu thực trạng sử dụng phương pháp tọa độ, phương
pháp vectơ, phương pháp tiên đề trong dạy học GBT hình học ở trường THPT
thông qua việc điều tra, khảo sát, cụ thể là: tham gia dự giờ GV, tham dự các
cuộc họp tổ chuyên môn, trao đổi với đồng nghiêp, phát phiếu điều tra (phụ
lục). Tổng hợp các kết quả thu được, kết hợp với kinh nghiệm giảng dạy của
bản thân, chúng tôi xin đưa ra một vài kết luận như sau:
+ Về phía GV:
- Đa số GV khuyến khích các em tìm nhiều lời giải cho một bài tập
hình học. Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy, do phải đảm bảo thời gian
8

Đề tài: Sử dụng phƣơng pháp tiên đề, phƣơng pháp tọa độ và phƣơng pháp vectơ
trong dạy học giải bài tập hình học ở trƣờng THPT

giảng dạy cho từng mục nên với nhiều bài toán GV chưa thể hướng dẫn HS
giải bằng nhiều cách ngay trên lớp.
- Đa số GV chỉ dạy một phương pháp GBT hình học trong suốt một
chương, ví dụ: dạy phương pháp vectơ trong chương vectơ, dạy phương pháp
tọa độ trong chương tọa độ. Chưa chú trọng hướng dẫn HS nhìn bài toán dưới
các góc độ khác nhau. Mặc dù có nhiều GV có ý thức rèn luyện kĩ năng lựa
chọn phương pháp cho HS nhưng chưa có hệ thống và kế hoạch. Hầu hết các
GV đều chưa giúp HS phát triển khả năng lựa chọn phương pháp trong khi
GBT hình học.
+ Về phía HS:
- Một số HS khi mới bắt đầu bước chân vào cấp THPT còn chưa ý thức
được rằng, mặc dù thời gian dành cho mỗi tiết vẫn như cấp THCS ( 45 phút/
tiết) nhưng dung lượng mỗi bài học đã lớn hơn rất nhiều, HS cần phải biết đầu
tư thời gian cho việc tự học ở nhà. Tuy nhiên, nhiều HS chưa biết cách thu
xếp thời gian hợp lý để tự học và chưa quen với việc tự nghiên cứu sách vở.
Dẫn đến có nhiều HS chưa nắm vững một số nội dung lý thuyết. Hơn nữa, do
tính trừu tượng của bộ môn hình học mà kiến thức và hệ thống bài tập được
đánh giá là khó đối với HS nói chung. HS dù có thuộc lí thuyết nhưng vận
dụng vào GBT còn nhiều lúng túng, chưa linh hoạt trong việc sử dụng các
phương pháp để tìm lời giải cho bài tập hình học.
- Muốn giải hoàn chỉnh một bài toán, HS cần phải rèn luyện nhiều
khâu: từ việc nắm vững các kiến thức cơ bản, các phương pháp thực hành,
đến các quy trình và thao tác tính toán ([9], tr.8). Thế nhưng, có nhiều HS có
thói quen không tốt là hễ có bài toán là cứ ghi ghi, chép chép và nháp lia lịa,
mặc dù chưa biết mình sẽ giải quyết cái gì và những con tính của mình phục

vụ yêu cầu nào.

9


Đề tài: Sử dụng phƣơng pháp tiên đề, phƣơng pháp tọa độ và phƣơng pháp vectơ
trong dạy học giải bài tập hình học ở trƣờng THPT

- Bản thân các em HS khi đối mặt với một bài toán cũng thường có
tâm lý tự hài lòng sau khi đã giải quyết nó bằng một cách nào đó, mà chưa
nghĩ đến chuyện tối ưu hóa bài toán.
- Trong quá trình học tập, HS cũng đã biết tự rèn luyện khả năng phát
hiện và lựa chọn phương pháp GBT hình học cho mình nhưng mới chỉ dừng
lại ở mức độ tự phát.
+ Một số khó khăn, sai lầm mà HS thường mắc là:
- Một số HS chưa biết với dạng toán nào thì nên và có thể sử dụng
phương pháp tọa độ. Một số khác thì cứ thấy đề bài cho tọa độ thì áp dụng
phương pháp tọa độ khiến lời giải của một số bài cồng kềnh.
- Một số HS chưa biết chọn hệ trục tọa độ thế nào để thuận lợi cho lời giải.
- Một số HS gặp khó khăn khi chuyển đổi ngôn ngữ hình học thông
thường sang ngôn ngữ đại số. Chẳng hạn: Khi một bài toán yêu cầu chứng
minh ba điểm thẳng hàng, bốn điểm đồng phẳng,… HS thường cảm thấy lúng
túng không biết điều cần chứng minh là gì khi chuyển bài toán sang ngôn ngữ
tọa độ.
- Một số HS chưa biết với dạng toán nào thì nên và có thể sử dụng
phương pháp vectơ.
- Một số HS gặp khó khăn khi chuyển đổi một bài toán sang ngôn ngữ
vectơ. Chẳng hạn: Khi một bài toán yêu cầu chứng minh hai đường thẳng
song song,

là trung tuyến tam giác

, hai đường thẳng vuông góc,…

HS thường cảm thấy lúng túng không biết điều cần chứng minh là gì khi
chuyển bài toán sang ngôn ngữ vectơ.
- Một số HS dễ có ngộ nhận một số tính chất như:
Trong không gian hai đường thẳng vuông góc với nhau thì cắt nhau.
Trong không gian hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng vuông góc với
nhau thì vuông góc với nhau.
Trong không gian hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường
10


Đề tài: Sử dụng phƣơng pháp tiên đề, phƣơng pháp tọa độ và phƣơng pháp vectơ
trong dạy học giải bài tập hình học ở trƣờng THPT

thẳng thì song song với nhau.
Trong không gian hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba
thì song song với nhau.
…
Do đó dễ mắc sai lầm khi sử dụng phương pháp tiên đề để GBT hình học.
Từ thực tế về việc dạy và học ba phƣơng pháp giải một bài toán hình
học nhƣ đã trình bày ở trên, có thể thấy rằng việc đƣa ra đƣợc các tiêu chí
lựa chọn PP giải cho mỗi bài toán hình học là một nhu cầu thực tiễn.
1.4. ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU
Xuất phát từ những khó khăn mà HS và ngay cả GV khi lựa chọn PP
giải trước mỗi bài toán hình học; xuất phát từ nhu cầu thực tiễn đó là: giúp HS
có được những tiêu chí trong việc lựa chọn phương pháp GBT hình học và
với mong muốn góp phần hưởng ứng cuộc vận động đổi mới PP dạy học đang

diễn ra trong tất cả các ngành học, cấp học; đề tài được chọn là:
“Sử dụng phƣơng pháp tiên đề, phƣơng pháp tọa độ và phƣơng
pháp vectơ trong dạy học giải bài tập hình học ở trƣờng THPT”.
1.5.

MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

a) Mục đích nghiên cứu
Đề xuất một số dấu hiệu giúp học sinh lựa chọn các phương pháp giải
trước mỗi bài toán hình học ở trường THPT, đồng thời bằng các ví dụ cụ thể,
chỉ ra những ưu điểm, nhược điểm của mỗi phương pháp.
b) Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận về: PP tiên đề, PP tọa độ và PP vectơ trong dạy
học giải bài tập hình học.
- Nghiên cứu thực tế việc dạy và học ba phương pháp nói trên trong
dạy học giải bài tập hình học ở trường THPT hiện nay.
- Từ kết quả nghiên cứu trên, đưa ra được dấu hiệu giúp cho việc lựa
chọn phương pháp trước khi giải bài tập hình học.

11


Đề tài: Sử dụng phƣơng pháp tiên đề, phƣơng pháp tọa độ và phƣơng pháp vectơ
trong dạy học giải bài tập hình học ở trƣờng THPT

- Tổ chức thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và tính
thực tiễn của đề tài.
1.6. Ý NGHĨA CỦA VIỆC NGHIÊN CỨU
- Nếu có thể đưa ra được những tiêu chí lựa chọn phương pháp giải
trước mỗi bài toán hình học thì việc dạy và học nội dung hình học của GV và

HS ở trường THPT sẽ thuận lợi và hiệu quả hơn.
- Nội dung nghiên cứu xuất phát từ nhu cầu thực tiễn, nó đáp ứng đòi
hỏi của HS nhất là đối với HS cuối cấp.
- Kết quả nghiên cứu có thể là tài liệu tham khảo cho GV Toán ở các
trường THPT.
1.7. QUY TRÌNH VÀ PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
a) Quy trình nghiên cứu
- Tìm hiểu lý luận của vấn đề nghiên cứu.
- Tìm hiểu thực trạng dạy học phương pháp tiên đề, phương pháp tọa
độ, phương pháp vectơ trong GBT hình học ở trường THPT.
- Tìm các tài liệu liên quan đến vấn đề nghiên cứu.
- Thông qua các ví dụ cụ thể, phân tích để làm rõ ưu điểm, nhược điểm
của mỗi phương pháp.
- Xác định các tiêu chí lựa chọn phương pháp giải trước mỗi bài toán
hình học.
- Tổ chức thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính đúng đắn và khả
thi của kết quả nghiên cứu.
- Viết luận văn để bảo vệ và công bố kết quả nghiên cứu.
b) Phƣơng pháp nghiên cứu
* Phương pháp nghiên cứu lý luận:
- Nghiên cứu lí luận về PPDH, về đổi mới PPDH.
- Nghiên cứu lí luận về PP tiên đề, PP tọa độ, PP vectơ trong dạy học
giải bài tập hình học.
12


Đề tài: Sử dụng phƣơng pháp tiên đề, phƣơng pháp tọa độ và phƣơng pháp vectơ
trong dạy học giải bài tập hình học ở trƣờng THPT

* Phương pháp điều tra, quan sát:

- Tìm hiểu nội dung hình học trong chương trình môn Toán ở phổ
thông nói chung và THPT nói riêng.
- Tìm hiểu việc dạy và học PP tiên đề, PP tọa độ, PP vectơ trong dạy
học GBT hình học ở trường THPT hiện nay.
- Tìm hiểu nhu cầu thực tế cần có những tiêu chí cho việc lựa chọn
phương pháp giải trước mỗi bài toán hình học ở HS và GV.
* Phương pháp thực nghiệm sư phạm
- Tổ chức thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính hiệu quả, tính thực
tiễn của vấn đề nghiên cứu.
1.8. CẤU TRÚC LUẬN VĂN
Luận văn gồm 04 chương:
Chương 1. Giới thiệu chung về đề tài
Chương 2. Tổng quan về vấn đề nghiên cứu
Chương 3. Một số dấu hiệu giúp cho việc lựa chọn phương pháp trước
khi giải bài tập hình học ở trường THPT
Chương 4. Thực nghiệm sư phạm.
1.9. TÓM TẮT CHƢƠNG 1
Trong chương này, luận văn đã trình bày một cách khái quát về đề tài
nghiên cứu: “Sử dụng phƣơng pháp tiên đề, phƣơng pháp tọa độ và
phƣơng pháp vectơ trong dạy học giải bài tập hình học ở trƣờng THPT”:
tên đề tài, mục đích của việc nghiên cứu, ý nghĩa của việc nghiên cứu, quy
trình và phương pháp nghiên cứu.
Chƣơng 2
TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
2.1. NHU CẦU, ĐỊNH HƢỚNG ĐỔI MỚI PPDH MÔN TOÁN
Trong văn kiện của Đảng và Nhà nước đã từng đề cập tới vấn đề đổi
mới PPDH: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự
13

Đề tài: Sử dụng phƣơng pháp tiên đề, phƣơng pháp tọa độ và phƣơng pháp vectơ
trong dạy học giải bài tập hình học ở trƣờng THPT

giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học,
môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến
thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập
cho học sinh” (Luật giáo dục 2005).
“Trong công cuộc hội nhập và đua tranh toàn cầu của người Việt, có lẽ
điều mà chúng ta cần hội nhập đầu tiên nhất và mạnh mẽ nhất, đó là hội nhập
về tri thức. Và trong công cuộc hội nhập về tri thức ấy, lĩnh vực cần phải hội
nhập trước nhất và quyết liệt nhất chính là lĩnh vực giáo dục”, theo Lỗ hổng
giảng dạy (2012) [23].
Thật vậy, nhu cầu và yêu cầu của sự phát triển của xã hội, sự phát triển
của kinh tế đòi hỏi phải nâng cao chất lượng giáo dục. Nền giáo dục quốc dân
phải tạo ra một thế hệ mới những công dân có năng lực lao động một cách tự
chủ, tích cực, với một trình độ mang tính hội nhập. Điều này đòi hỏi và đề ra
những yêu cầu mới đối với hệ thống giáo dục, đòi hỏi có những thay đổi, điều
chỉnh về nội dung dạy học, phương pháp dạy học và đương nhiên là cả mục
tiêu dạy học một cách phù hợp.
Môn Toán có vai trò quan trọng trong việc thực hiện các mục tiêu giáo
dục phổ thông. Môn Toán góp phần hình thành và phát triển nhân cách. Song
song với việc tiếp thu tri thức và rèn luyện kĩ năng toán học, môn Toán còn
góp phần phát triển các năng lực trí tuệ chung, rèn luyện một số đức tính và
phẩm chất cần thiết cho người lao động như: tính chính xác, khoa học, kỷ
luật, phê phán, sáng tạo,… Ngoài ra, môn Toán còn là công cụ giúp HS học
tập các môn học khác trong nhà trường phổ thông, tạo cơ sở để HS học tiếp
đại học, cao đẳng và trung cấp chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc
sống lao động.
Mục tiêu dạy học không chỉ ở những kết quả cụ thể của quá trình học
tập, ở tri thức và kĩ năng bộ môn mà điều quan trọng hơn là ở bản thân việc

học, ở cách học, ở khả năng đảm nhiệm, tổ chức và thực hiện những quy trình
14


Đề tài: Sử dụng phƣơng pháp tiên đề, phƣơng pháp tọa độ và phƣơng pháp vectơ
trong dạy học giải bài tập hình học ở trƣờng THPT

học tập một cách có hiệu quả. Như vậy, để học tập có hiệu quả thì hiểu lý
thuyết thôi chưa đủ, người học cần vận dụng lý thuyết vào thực hành mà trước
hết là vận dụng lý thuyết vào giải toán. Việc hướng dẫn HS tìm lời giải bài
toán không chỉ đơn thuần là dạy giải một bài toán cụ thể, mà quan trọng là
thông qua bài toán đó GV dạy cho HS chiến lược để giải toán. Qua quá trình
hướng dẫn HS tìm lời giải bài toán cụ thể, GV cần cài đặt sẵn những tri thức
phương pháp giải toán trong đó. Dần dần, HS lĩnh hội và rèn luyện phương
pháp tìm lời giải cho một lớp các bài toán. Và cao hơn nữa, HS tự mình giải
quyết được các bài toán mới lạ.
2.2. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
2.2.1. Xây dựng một môn học bằng phƣơng pháp tiên đề
2.2.1.1.Đại cƣơng về phƣơng pháp tiên đề
Hình học sơ cấp là một trong những môn khoa học cổ nhất. Nó ra đời
từ khi nào? Không ai và cũng không thể xác định được. Nó được hình thành
do nhu cầu thực tiễn như đo đạc phân chia ruộng đất, tính toán các công trình
xây dựng, sản xuất các dụng cụ lao động và vật dụng cho sinh hoạt …trong
cuộc sống của con người. Từ thế kỉ thứ 7 đến thế kỉ thứ 3 trước công nguyên,
nhiều nhà toán học như Ta-let, Pi-ta-go, Đê-mô-crat…đã hệ thống lại các kiến
thức hình học mà loài người đã tích lũy được. Chính những hệ thống đó đã
làm cho hình học sơ cấp lộ diện với tư cách là một môn khoa học. Vào
khoảng những năm 300 trước công nguyên, nhà toán học Ơ-clit người Hy Lạp
cũng tìm cách hệ thống lại toàn bộ các kiến thức toán học mà loài người tích
lũy được từ trước đó cho đến thời của ông. Ông muốn định nghĩa lại tất cả các

khái niệm, chứng minh lại tất cả các mệnh đề. Song khi bắt tay vào thực hiện,
Ông gặp phải một trở ngại đó là: khi định nghĩa khái niệm
dùng đến khái niệm , rồi khi định nghĩa khái niệm
đến khái niệm

và khi chứng minh mệnh đề

đề , rồi khi chứng minh mệnh đề

ông cần phải

ông lại phải cần dùng

ông cần phải dùng đến mệnh

ông lại phải cần dùng đến mệnh đề . Để

15


Đề tài: Sử dụng phƣơng pháp tiên đề, phƣơng pháp tọa độ và phƣơng pháp vectơ
trong dạy học giải bài tập hình học ở trƣờng THPT

khắc phục khó khăn đó, trong tác phẩm “Cơ bản” Ơ-clit đã thừa nhận không
chứng minh 10 định đề và gọi chúng là các tiên đề. Rồi từ 10 tiên đề đó ông
đã chứng minh các mệnh đề khác bằng các suy luận logic. Tập “Cơ bản” của
Ơ-clit gồm 13 cuốn trong đó có 8 cuốn nói về Hình học. Toàn bộ nội dung
môn Hình học ở bậc Phổ thông ngày nay là một phần trong tác phẩm đó. Như
vậy Ơ-clit đã xây dựng môn Hình học dựa trên các tiên đề mà ông đã lựa
chọn, vì thế mà người đời sau còn gọi Hình học đó là Hình học Ơ-clit. Như

thế, Hình học từ chỗ dùng thực nghiệm để kiểm tra sự đúng đắn của các sự
kiện hình học đã dần dần trở thành một môn khoa học suy diễn có tính trìu
tượng, khái quát và phổ dụng cao. Có thể nói chính Ơ-clit là người đặt nền
móng cho việc xây dựng một môn học bằng phương pháp tiên đề. Để trình
bày một môn học bằng phương pháp tiên đề, người ta làm như sau:
Bước 1. Chọn ra một số (tối thiểu) các khái niệm không định nghĩa gọi
là các khái niệm cơ bản.
Bước 2. Chọn ra một số (tối thiểu) các mệnh đề không định chứng
minh gọi là các tiên đề.
Bước 3. Hệ thống gồm các khái niệm cơ bản và các tiên đề gọi là một
“Hệ tiên đề”. Từ hệ tiên đề, người ta song song định nghĩa các khái niệm còn
lại gọi là các khái niệm dẫn suất và chứng minh các mệnh đề còn lại mà ta gọi
là các định lý, bằng suy diễn logic. Hệ tiên đề cần thỏa mãn các điều kiện sau:
Điều kiện phi mâu thuẫn: điều này có nghĩa là những điều nói trong
tiên đề và các kết quả suy ra từ chúng không có hai cái nào trái ngược nhau.
Điều kiện độc lập: mỗi tiên đề của hệ phải độc lập với các tiên đề khác,
nghĩa là không thể suy ra được nó từ các tiên đề còn lại.
Điều kiện đầy đủ: hệ tiên đề phải đầy đủ để xây dựng môn học bằng
suy diễn logic.
Chú ý rằng:

16


Đề tài: Sử dụng phƣơng pháp tiên đề, phƣơng pháp tọa độ và phƣơng pháp vectơ
trong dạy học giải bài tập hình học ở trƣờng THPT

* Trong hệ tiên đề tuy các khái niệm cơ bản không được định nghĩa
song nó cần phải thỏa mãn các tiên đề. Cho nên có thể nói chúng được định
nghĩa gián tiếp qua các tiên đề.

* Các định lý, tùy thuộc vào vai trò và vị trí của nó trong môn học mà
ta gọi nó là: Định lý, hệ quả, bổ đề hay nhận xét….
* Hệ thống gồm tất cả các khái niệm (cơ bản và dẫn suất), tất cả các
mệnh đề (tiên đề và định lý) có được từ một hệ tiên đề gọi là môn học xây
dựng trên hệ tiên đề đó.
2.2.1.2.Các hệ tiên đề khác nhau của Hình học Ơ-clit.
Một môn học có thể có nhiều hệ tiên đề. Hai hệ tiên đề đƣợc gọi là
tƣơng đƣơng nếu môn học xây dựng trên chúng là trùng nhau. Để chứng minh
2 hệ tiên đề là tương đương, ta chỉ cần chỉ ra: Mỗi khái niệm cơ bản của hệ
tiên đề này là một khái niệm của hệ tiên đề kia (cơ bản hoặc dẫn suất). Mỗi
tiên đề của hệ tiên đề này là một tiên đề hoặc định lý của hệ tiên đề kia. Hình
học Ơ-clit có 3 hệ tiên đề: Hệ tiên đề (mang tên) Hin-be, Hệ tiên đề (mang
tên) Pô-gô-rê-nốp và Hệ tiên đề (mang tên) Uây-lơ.
a) Hệ tiên đề (mang tên) Hin-be của Hình học Ơ-clit.
Ơclit là người đầu tiên trình bày Hình học bằng phương pháp tiên đề.
Người có công bổ sung và hoàn thiện hệ tiên đề của Ơclit là Hin-be, một nhà
toán học người Đức (1862-1943). Hệ tiên đề của Hình học Ơclit do Hin-be
hoàn thiện đã được trình bày trong hội nghị toán học quốc tế tổ chức ở Châu
Âu năm 1901 và ông đã nhận được giải thưởng lớn về công trình này. Hệ tiên
đề mang tên Hin-be của Hình học Ơclit có 6 khái niệm cơ bản là: Điểm,
đường thẳng, mặt phẳng, thuộc (Điểm thuộc đường thẳng, thuộc mặt phẳng),
ở giữa và toàn đẳng. Hệ có 20 tiên đề được chia thành 5 nhóm.
Hệ tiên đề Hin-be của Hình học Ơclit chưa sử dụng trường số thực nên
sẽ gặp khó khăn khi trình bày tính liên tục. Mặt khác do nhu cầu của thực tế
nghiên cứu Hình học nhiều chiều, đòi hỏi phải mở rộng số chiều của không
17


Đề tài: Sử dụng phƣơng pháp tiên đề, phƣơng pháp tọa độ và phƣơng pháp vectơ
trong dạy học giải bài tập hình học ở trƣờng THPT

gian, với hệ tiên đề Hin-be sẽ gặp rất nhiều khó khăn. Chính vì thế mà hiện
nay nhiều nước trên thế giới không còn dùng hệ tiên đề Hin-be làm căn cứ
chủ yếu cho việc biên soạn sách giáo khoa Hình học ở bậc Phổ thông.
b) Hệ tiên đề (mang tên) Pô-gô-rê-nốp của Hình học Ơ-clit
Viện sĩ người Nga Pô-gô-rê-nốp đã nghiên cứu các hệ tiên đề có trước
đó, cải tiến sắp xếp lại cho phù hợp với trình độ tiếp thu của học sinh. Ông đã
thể hiện điều này trong sách giáo khoa Hình học viết cho học sinh phổ thông ở
Nga. Hệ tiên đề của Hình học Ơclit do Pô-gô-rê-nốp đưa ra có ưu điểm nổi bật
là rất ngắn gọn, được nhiều nước trong đó có Việt Nam sử dụng làm căn cứ
chủ yếu cho việc biên soạn sách giáo khoa Hình học ở bậc Phổ thông. Hệ tiên
đề của Pô-gô-rê-nốp có 7 khái niệm cơ bản: Điểm, đường thẳng, mặt phẳng,
thuộc, ở giữa, số đo đoạn thẳng, số đo góc và có 13 tiên đề chia thành 6 nhóm.
c) Hệ tiên đề (mang tên) Uây-lơ của Hình học Ơ-clit
Uây-lơ (Weil) nhà toán học người Đức, nhưng từ năm 1933 sinh sống
tại Mĩ. Các tiên đề của hệ tiên đề Uây-lơ đều gắn với khái niệm cơ bản
“Vectơ” do đó hệ tiên đề này còn có tên gọi là Hệ tiên đề (mang tên) không
gian véc tơ của Hình học Ơclit. Các khái niệm cơ bản của hệ gồm: Vectơ,
điểm, tổng của 2 vectơ, tích của một số thực và một vectơ, tích vô hướng của
2 vectơ, phép gắn một cặp điểm với một vectơ. Các tiên đề gồm 5 nhóm:
Nhóm 1 là nhóm tiên đề về không gian véctơ thực gồm 8 tiên đề.
Nhóm 2 là nhóm tiên đề về chiều của không gian véctơ gồm 2 tiên đề.
Nhóm 3 là nhóm tiên đề về không gian vectơ Ơclit gồm 4 tiên đề.
Nhóm 4 là nhóm tiên đề về không gian Ơclit gồm 2 tiên đề.
Có thể nói hệ tiên đề Uây-lơ là hệ tiên đề hiện đại nhất để xây dưng hình học
Ơclit. Với hệ tiên đề này người ta có thể mở rông số chiều của không gian
(Hình học nhiều chiều). Tuy nhiên nếu dạy cho học sinh Hình học Ơclit chỉ
dựa trên hệ tiên đề này thì trí tưởng tượng không gian và trực giác hình học sẽ
mất đi.
18

Đề tài: Sử dụng phƣơng pháp tiên đề, phƣơng pháp tọa độ và phƣơng pháp vectơ
trong dạy học giải bài tập hình học ở trƣờng THPT

2.2.1.3.Khái niệm mô hình của một hệ tiên đề
Giả sử

là một hệ tiên đề và

là một môn học nào đó được biết là

phi mâu thuẫn. Nếu thay mỗi khái niệm cơ bản của
. Khi đó mỗi tiên đề của

trở thành một mệnh đề của . Nếu mỗi mệnh đề

đó đều đúng, thì tập hợp tất cả các khái niệm của
niệm cơ bản của

và các định lý của

gọi là một mô hình của

bởi một khái niệm của
giữ vai trò là một khái

giữ vai trò là một tiên đề của

được

trong .

Như vậy mỗi hệ tên đề có thể có rất nhiều mô hình trong các môn học
khác nhau thậm trí có nhiều mô hình trong cùng một môn học.
Các mô hình thƣờng dùng của các hệ tiên đề của Hình học Ơclit
* Các hệ tiên đề (mang tên) Hin-be và Hệ tiên đề (mang tên) Pô-gô-rênốp của Hình học Ơclit, đều có 2 mô hình thường dùng là: mô hình vật lý và
mô hình số học.
- Mô hình vật lý lấy không gian vật lý mà ta đang sống làm “vật liệu”
để xây dựng. Chẳng hạn các khái niệm cơ bản điểm và đường thẳng được mô
tả trong SGK Toán 6: Dấu chấm nhỏ trên trang giấy là hình ảnh của một
điểm, sợi chỉ căng thẳng cho ta hình ảnh một đường thẳng.
- Mô hình số học lấy tập các số thực R làm “vật liệu” để xây dựng.
Chẳng hạn khái niệm cơ bản “điểm” được thay thế bởi bộ 3 số thực
và khái niệm cơ bản “ mặt phẳng” được thay thế bởi tập hợp các bộ 3 số thực
là nghiệm của phương trình

trong đó

là các số thực cho trước và a,b,c không đồng thời bằng 0.
* Hệ tiên đề (mang tên) Uây-lơ của Hình học Ơclit có một mô hình
thường dùng cũng lấy không gian vật lý mà ta đang sống làm “vật liệu” để
xây dựng. Chẳng hạn: khái niệm cơ bản “điểm” cũng được mô tả như trong
mô hình vật lý của hệ tiên đề Hin-be còn khái niệm cơ bản “vec-tơ” được
thay thế bởi “Đoạn thẳng có hướng”.

19


Đề tài: Sử dụng phƣơng pháp tiên đề, phƣơng pháp tọa độ và phƣơng pháp vectơ

trong dạy học giải bài tập hình học ở trƣờng THPT

2.2.1.4.Hình học Ơclit và Hình học sơ cấp
Hình học Ơ-clit là một môn khoa học suy diễn có tính trìu tượng, khái
quát và phổ dụng cao, được xây dựng bằng phương pháp tiên đề. Hình học
Ơclit có 3 hệ tiên đề tương đương: Hệ tiên đề (mang tên) Hin-be, Hệ tiên đề
(mang tên) Pô-gô-rê-nốp và Hệ tiên đề (mang tên) Uây-lơ. Như quen dùng,
môn Hình học được giảng dạy ở bậc Phổ thông được gọi là Hình học sơ cấp
hay Hình học tổng hợp. Trong nó vừa chứa các mô hình của hình học Ơclit,
vừa chứa các mô hình của hình học Aphin và Hình học đồng dạng (Hình học
của nhóm biến hình đồng dạng). Về thực chất, Hình học Ơ-clit là sự khái quát
hóa, trừu tượng hóa từ một bộ phận của Hình học sơ cấp. Theo một khía cạnh
khác, ở Phổ thông Hình học Ơclit được giảng dạy trong và bằng các mô hình
của nó.
2.2.2. Dạy học giải bài tập Toán trong trƣờng phổ thông
2.2.2.1. Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học
Theo Nguyễn Bá Kim [14], “Bài tập Toán học có vai trò quan trọng
trong môn Toán”. Điều căn bản là bài tập có vai trò giá mang hoạt động của
HS. Thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất
định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc hay
phương pháp, những hoạt động trí tuệ phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ
biến trong Toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn
ngữ. Những bài tập cũng thể hiện những chức năng khác nhau hướng đến việc
thực hiện các mục tiêu dạy học môn Toán trong đó có hình thành, củng cố tri
thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khác nhau trong quá trình dạy học. Mặt
khác, những bài tập Toán học là giá mang hoạt động liên hệ với những nội
dung nhất định, một phương tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung
cho những tri thức nào đó đã được trình bày trong phần lí thuyết. Bài tập
Toán học ở trường phổ thông là một phương tiện có hiệu quả và không thể

20


Đề tài: Sử dụng phƣơng pháp tiên đề, phƣơng pháp tọa độ và phƣơng pháp vectơ
trong dạy học giải bài tập hình học ở trƣờng THPT

thay thế được trong việc giúp HS nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình
thành kĩ năng, kĩ xảo, ứng dụng Toán học vào thực tiễn.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với dụng ý khác nhau về
phương pháp dạy học như: đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc
với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra,… Đặc biệt là mặt kiểm tra, bài tập
là phương tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy học, khả năng làm việc độc
lập và trình độ phát triển của HS.
2.2.2.2. Các bƣớc giải bài toán theo Pô- li-a
Theo Polya [16], PP chung để giải một bài toán bao gồm 4 bước:
Bƣớc 1: Hiểu rõ bài toán
Để hiểu rõ bài toán chúng ta đi trả lời câu hỏi như: cái gì chưa biết? Cái
gì đã cho? Điều kiện của bài toán là gì? Điều kiện có đủ để xác định được ẩn
không?... Nếu là bài toán hình học, chúng ta tiến hành vẽ hình hay sử dụng
các kí hiệu thích hợp mô tả bài toán, viết giả thiết, kết luận…
Bƣớc 2: Xây dựng một chƣơng trình
Để giúp HS xây dựng được chương trình giải, GV thường gợi ý HS
bằng các câu hỏi như:
- Em đã gặp bài toán này lần nào chưa? Em có biết bài toán nào gần
giống với bài toán này không?
- Đây là một bài toán có liên quan mà em đã có lần giải rồi. Có thể sử
dụng kết quả hay PP của nó không? Có cần phải đưa thêm một số yếu tố phụ
thì mới sử dụng được nó không? Nếu em chưa giải được bài toán đã đề ra thì
hãy thử giải một bài toán có liên quan. Em có biết bài toán nào liên quan mà
dễ hơn không? Một trường hợp riêng? Một bài toán tương tự? Một bài toán

tổng quát?
- Em đã sử dụng mọi dữ kiện chưa? Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu
trong bài toán chưa?
Bƣớc 3: Thực hiện chƣơng trình
21


Đề tài: Sử dụng phƣơng pháp tiên đề, phƣơng pháp tọa độ và phƣơng pháp vectơ
trong dạy học giải bài tập hình học ở trƣờng THPT

Khi thực hiện chương trình GV cần chú ý yêu cầu HS kiểm tra lại từng
bước thông qua các câu hỏi như: Em đã thấy rõ ràng là mỗi bước đều đúng
chưa? Em có thể chứng minh là nó đúng không?
Bƣớc 4: Nhìn lại, nghiên cứu và phân tích lời giải đã tìm ra
Giải xong bài toán không có nghĩa là bài toán đó đã kết thúc. GV nên
hướng dẫn HS hình thành dần thói quen xem xét lại lời giải bài toán thông
qua các câu hỏi:
- Em có thể kiểm tra lại kết quả hay quá trình giải bài toán không?
- Có thể tìm được kết quả một cách khác không?
- Em có thể sử dụng kết quả kết hay PP đó cho một bài toán nào
khác không?
Ví dụ: Viết PT đường tròn đi qua ba điểm
([21], tr. 95).
Bƣớc 1: Hiểu rõ bài toán
Giả thiết: Cho tọa độ ba điểm

.

Kết luận: Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm

.

Bƣớc 2: Xây dựng một chƣơng trình
Ta biết PT đường tròn có dạng tổng quát: ( x  x0 )2  ( y  y0 )2  R 2 (1.1)
trong đó: x0 , y0 , R là các số thực, R  0 .
Do đường tròn đi qua ba điểm

nên khi thay tọa độ của chúng

vào phương trình (1.1) ta được hệ 3 phương trình 3 ẩn. Từ đó tìm được
x0 , y0 , R , suy ra phương trình đường tròn cần tìm.

Bƣớc 3: Thực hiện chƣơng trình
Giả sử phương trình đường tròn có dạng: ( x  x0 )2  ( y  y0 )2  R2 (1.1)
Do

thuộc đường tròn nên ta có hệ phương trình:

22


Đề tài: Sử dụng phƣơng pháp tiên đề, phƣơng pháp tọa độ và phƣơng pháp vectơ
trong dạy học giải bài tập hình học ở trƣờng THPT

(1  x0 ) 2  (2  y0 ) 2  R 2
8 y0  0

 y0  0




2
2
2
2
2
2
 (1  x0 )  (2  y0 )  R   (1  x0 )  (5  x0 )  R   x0  3
 (5  x ) 2  (2  y ) 2  R 2
(1  x ) 2  (2  y ) 2  R 2
 2
0
0
0
0
R  8



Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: ( x  3)2  y 2  8 .
Bƣớc 4: Nhìn lại, nghiên cứu và phân tích lời giải đã tìm ra
- Kiểm tra tính đúng đắn của lời giải: Dễ thấy ba điểm
thẳng hàng, nên luôn tồn tại đường tròn đi qua ba điểm
tròn ngoại tiếp

không
, đó là đường

.

- Nghiên cứu sâu lời giải.
+ Phương trình đường tròn còn có dạng: x2  y 2  2ax  2by  c  0 ,
điều kiện: a 2  b2  c  0 . Do đó, ta có cách giải thứ hai như sau:
Giả sử phương trình đường tròn có dạng:

x2  y 2  2ax  2by  c  0 , điều kiện: a 2  b2  c  0 (1.2)
Do

thuộc đường tròn nên ta có hệ phương trình:
12  (2) 2  2a  4b  c  0
 2a  4b  c  5
a  3
 2


2
 1  2  2a  4b  c  0   2a  4b  c  5   b  0
 52  22  10a  4b  c  0
10a  4b  c  29
 c 1




Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: x2  y 2  6 x  1  0
+ Ta biết đường tròn xác định khi biết tâm và bán kính. Gọi
lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn qua ba điểm
IM  IN  IP Từ đó ta có cách giải thứ ba như sau:

 IM 2  IN 2

 IM  IN


2
2
IM

IP

 IM  IP
 (1  x)2  (2  y) 2  (1  x) 2  (2  y) 2

2
2
2
2
(1  x)  (2  y)  (5  x)  (2  y)
8y  0

y  0


 I (3;0) ; R2  IM 2  4  4  8 .
2 x  10 x  8 y  24  0
x  3

23

thì

Đề tài: Sử dụng phƣơng pháp tiên đề, phƣơng pháp tọa độ và phƣơng pháp vectơ
trong dạy học giải bài tập hình học ở trƣờng THPT

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: ( x  3)2  y 2  8 .
+ Ta đã biết, đường tròn qua ba điểm
tam giác

. Đường tròn này có tâm là giao điểm của ba đường trung trực

của tam giác


là đường tròn ngoại tiếp

, bán kính là

. Từ đó ta có cách giải thứ tư như sau:

Viết PT đường trung trực d của
Gọi

là trung điểm của
11

x

1
H


2
 H (1;0)

 y  2  2  0
 H
2

MN  (0;4) là VTPT của đường thẳng d

Phương trình đường thẳng d là: 0( x  1)  4( y  0)  0 hay y  0


Viết phương trình đường trung trực  của

Gọi

là trung điểm của
5 1

xK 
3


2

 K (3;2)
2

2
y 

2
K


2

NP  (4;0) là VTPT của đường thẳng 

Phương trình đường thẳng  là: 4( x  3)  0( y  2)  0 hay x  3
Dễ thấy I  d   nên I (3;0) ; R2  IM 2  4  4  8
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: ( x  3)2  y 2  8 .
+Từ cách giải trên ta nhận thấy:
 MN .NP  0 nên

có đường kính là

vuông tại

NP  (4;0)

. Do đó đường tròn ngoại tiếp MNP

. Từ đó ta có cách giải thứ năm như sau:

Ta có: MN  (0;4) ; NP  (4;0)  MN .NP  0 nên
Gọi

MN  (0;4) ;

là tâm đường tròn qua

vuông tại .

thì là trung điểm của đoạn thẳng

 I (3;0) ; R2  IM 2  4  4  8 .

24


Đề tài: Sử dụng phƣơng pháp tiên đề, phƣơng pháp tọa độ và phƣơng pháp vectơ
trong dạy học giải bài tập hình học ở trƣờng THPT

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: ( x  3)2  y 2  8 .
2.2.2.3. Phƣơng pháp tiên đề, phƣơng pháp tọa độ và phƣơng pháp vectơ
trong giải bài tập hình học ở trƣờng THPT
a) Phƣơng pháp tiên đề trong giải bài tập hình học
Quy trình giải bài tập hình học bằng phƣơng pháp tiên đề
Bƣớc 1. Vẽ hình
Bƣớc 2. Sử dụng hệ tiên đề, khái niệm dẫn xuất (định nghĩa) và các định lí để
biến đổi giả thiết của bài toán thành kết luận của bài toán.
Chú ý.
+ Hình vẽ có vai trò quan trọng trong dạy học hình học. Khi học những
khái niệm và định lí, hình vẽ giúp HS dễ dàng nhận dạng các khái niệm và các
định lí. Khi học giải toán, hình vẽ giúp HS hiểu rõ bài toán và do đó có thể
tìm ra lời giải dễ dàng và nhanh chóng hơn. Vì vậy chúng ta cần thường
xuyên chú ý hướng dẫn cho HS vẽ hình đúng.
+ Có thể nói rằng mỗi lần sử dụng một định lí hay một định nghĩa là
một lần ta sử dụng một quy tắc kết luận logic. Các quy tắc kết luận logic
không được dạy một cách tường minh, vì vậy chúng ta nên hướng dẫn cho HS

phân tích các bước của phép chứng minh, trình bày các bước đó có kèm theo
căn cứ suy luận, để HS nhận biết và hiểu rõ đã dùng các quy tắc kết luận logic
như thế nào.
b) Phƣơng pháp tọa độ trong giải bài tập hình học(tham khảo [13])
Quy trình giải bài tập hình học bằng phƣơng pháp tọa độ
Bƣớc 1. Chọn hệ trục tọa độ thích hợp.
Bƣớc 2. Chuyển bài toán sang ngôn ngữ tọa độ.
Bƣớc 3. Xác định tọa độ các điểm liên quan.
Bƣớc 4. Sử dụng các kiến thức về tọa độ để giải toán.
Bƣớc 5. Phiên dịch từ ngôn ngữ tọa độ sang ngôn ngữ hình học (nếu có).
Một số chú ý khi thực hiện quy trình trên:
25