De dap an toan chung cac lop chuyen HY nam 20122013

kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên
Năm học 2012 - 2013

Môn thi: Toán

(Dành cho thí sinh dự thi các lớp chuyên: Toán, Tin, Lý, Hóa, Sinh)

Thời gian làm bài: 120 phút

Phần A: trắc nghiệm khách quan (2,0 điểm)

Từ câu 1 đến câu 8, hãy chọn phơng án đúng và viết chữ cái đứng trớc phơng án
đó vào bài làm.
Câu 1: Giá trị của biểu thức
A.

2 1

B.

3 2 2 là:
C. 1 2

2 +1

D. 1 2

1
Câu 2: Trong các điểm sau đây, điểm nào không thuộc đồ thị hàm số y = x 2 ?
3
A. 3 ;1

B. - 3 ;1
C. ( 3;3)
D. ( 3; - 3)

(

)

(

)

Câu 3: Trong các phơng trình sau đây, phơng trình nào có hai nghiệm dơng ?
A. x 2 - 2 2x +1 = 0
B. x 2 - 4x + 5 = 0
C. x 2 +10x +1 = 0
D. x 2 - 5x - 1 = 0
Câu 4: Hàm số y = 2012 - m ( x - 2013) là hàm số bậc nhất khi:
A. m ạ 2012
B. m > 2012
D. m < 2012
C. m Ê 2012
1
x + 5 với trục Ox là:
3
A. 30O
B. 60O
C. 120O
D. 150O
Câu 6: Cho hình nón có bán kính đờng tròn đáy bằng 2cm, độ dài đờng sinh bằng đờng

kính đờng tròn đáy. Thể tích của hình nón đó là:
A. 4 3p cm 3
B. 16 3p cm3
C. 8 3p cm3
D. 8 3p cm3
3
3
Câu 7: Biết sin a - cosa = , khi đó giá trị của biểu thức A = sin a .cosa là:
5
8
25
8
5
A.
B.
C.
D.
25
8
5
8
Câu 8: Cho đờng tròn tâm O bán kính 10 cm, một dây cung cách tâm O một khoảng là 5
cm. Độ dài của dây cung đó là:
A. 5 3 cm
B. 10 3 cm
C. 3 5 cm
D. 10 5 cm
Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, góc tạo bởi đờng thẳng y =

Phần B: tự luận (8,0 điểm)

Bài 1: (1,5 điểm)
a) Rút gọn biểu thức: A = 27 - 2 3 - 2 48 + 3 75
b) Giải phơng trình: x 4 - 3x 2 - 6x - 8 = 0
Bài 2: (1,5 điểm) Cho phơng trình x 2 - 2x + m - 3 = 0 (ẩn x)
a) Giải phơng trình với m = 3.
b) Tìm m để phơng trình đã cho có hai nghiệm x1 ; x 2 thỏa mãn điều kiện
x12 - 2x 2 + x1x 2 =- 12
Trang 1/2


Bài 3: (1,0 điểm) Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 48 km. Một canô xuôi dòng
từ bến A đến bến B, nghỉ 40 phút ở bến B rồi quay lại bến A. Kể từ lúc khởi hành đến khi
về đến bến A hết tất cả 5 giờ 40 phút. Tính vận tốc của canô khi nớc yên lặng, biết vận tốc
của dòng nớc là 4 km/h.
Bài 4: (3,0 điểm) Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O), hai đờng cao BE, CF
lần lợt cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ hai E và F.
a) Chứng minh 4 điểm B, C, E, F cùng thuộc một đờng tròn.
b) Chứng minh EF // EF.
c) Khi B và C cố định, A di chuyển trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC luôn
nhọn. Chứng minh bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác AEF không đổi.
Bài 5: (1,0 điểm) Cho số thực x thỏa mãn 0 < x <1 .
2
1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
+
1- x x
------------ Hết ------------

Hớng dẫn đáp án biểu điểm

Phần A: trắc nghiệm khách quan (2,0 điểm)

Mỗi câu đúng cho 0,25 điểm
Câu
1
2
A
D
Đáp án

3
A

4
D

5
A
Phần b: tự LUậN (8,0 điểm)

6
D

7
A

8
B

Bài 1: (1,5 điểm)

a) A = 3 3 - 2 3 - 8 3 +15 3

0,25 đ

=8 3
b) x 4 = 3x 2 + 6x + 8
x 4 - 2x 2 +1 = x 2 + 6x + 9
2

( x - 1) = ( x + 3)
2

0,25 đ

0,5 đ

2

* Nếu x 2 - 1 = x + 3
x2 - x - 4 = 0
D = 1 +16 = 17 > 0

0,25 đ

Phơng trình có nghiệm là: x = 1 17
2
2
2
* Nếu x - 1 =- x - 3 x + x + 2 = 0
D = 1- 8 =- 7 < 0 phơng trình vô nghiệm

Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x = 1 17
2

0,25 đ

Trang 2/2


Bài 2: (1,5 điểm)
a) Với m = 3 ta đợc phơng trình: x 2 - 2x = 0
ộx = 0
x(x - 2) = 0 ờ
ờ
ởx = 2

0,25 đ
0,25 đ

Vậy tập nghiệm của phơng trình là S = { 0; 2}
b) Để phơng trình có nghiệm D ' 0 4 - m 0 m Ê 4
ùỡ x + x 2 = 2 (1)
Theo hệ thức Vi-ét ta có: ùớ 1
ùùợ x1x 2 = m - 3 (2)

0,25 đ

Theo bài ra ta có: x12 - 2x 2 + x1x 2 =- 12 x1 (x1 + x 2 ) - 2x 2 =- 12
x1 - x 2 =- 6

0,25 đ

Kết hợp với (1) x1 =- 2 ; x 2 = 4

0,25 đ

Kết hợp với (2) m =- 5 (TMĐK)

0,25 đ

Bài 3: (1,0 điểm)
2
17
giờ ; 5 giờ 40 phút =
giờ
3
3
Gọi vận tốc của canô khi nớc yên lặng là x (km/h ; x > 4)
48
Ca nô đi xuôi với vận tốc là x + 4, hết thời gian là
x +4
48
Ca nô đi ngợc với vận tốc là x - 4, hết thời gian là
x- 4
2
48
48
17
Ta có phơng trình:
+
+

=
3 x +4 x - 4
3
ộx = 20
ờ
2
ị 5x - 96x - 80 = 0 ờ
4
ờx =ờ
5
ở
Ta thấy x = 20 thỏa mãn điều kiện
Vậy vận tốc của canô khi nớc yên lặng là 20km/h
Bài 4: (3,0 điểm)
Đổi 40 phút =

0,25 đ

0,25 đ

0,25 đ

0,25 đ

A
E'
K
E
F'
F

H

B

O

C

Trang 3/2


a) Xét tứ giác BCEF có E, F cùng nhìn BC dới một góc bằng 90O tứ giác
BCEF nội tiếp
ã
ã
b) Ta có: BCF
(2 góc nội tiếp cùng chắn cung BF)
= BEF
ã
ã 'F' (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BF)
mà BCF
= BE
ã
ã 'F'
BEF
= BE
ã
ã 'F' là hai góc ở vị trí đồng vị nên EF//EF.
Mà BEF
; BE

c) Gọi H là giao điểm của BE và CF H là trực tâm ABC.
ã
ã
Xét tứ giác AEHF có AEH
+ AFH
= 90O + 90O = 180O tứ giác AEHF nội
tiếp đờng tròn đờng kính AH.
Do đó bán kính của đờng tròn ngoại tiếp AEF có độ dài bằng

0,5 đ
0,5 đ

0,25 đ

AH
2

Kẻ đờng kính CK của (O) K cố định
ã
Ta có KBC
= 90O (góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn) KB BC

0,5 đ

Mà AH BC (do H là trực tâm) BK // AH
Tơng tự AK // BH
Suy ra tứ giác AHBK là hình bình hành
AH = BK (không đổi)
Vậy bán kính đờng tròn ngoại tiếp AEF luôn không đổi
Bài 5: (1,0 điểm)

0,25 đ

2
1 (2 - 2x) + 2x (1 - x) + x
2x
1- x
+ =
+
= 2 +1 +
+
1- x x
1- x
x
1- x
x
2x 1 - x
Theo BĐT Cô si: A 3 + 2
.
1- x x
A 3+2 2
ỡù 2x
1- x
ùù
=
x x= 2- 1
Đẳng thức xảy ra ớ 1- x
ùù
ùợ 0 < x <1
Vậy GTNN của A là 3 + 2 2

Ta có A =

1,0 đ

0,5 đ
0,25 đ

0,25 đ

Trang 4/2