DE-DAP AN TOAN CHUYEN LUONG VAN TUY(Vong 1)

UBND TỈNH NINH BÌNH
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT
Chuyên Lương Văn Tụy
Năm học 2009- 2010
(Khóa ngày 30/9/2009)
Môn thi: TOÁN- VÒNG I
Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang
Câu 1: (2 điểm)
Tính giá trị biểu thức:
( )
x 5 2 2 5 5 250= + −
3 3
y
3 1 3 1
= −
− +
( )
x x y y
A x y
x xy y
+
= −
− +
Câu 2: (2,5 điểm)
Cho phương trình (m + 1)x
2
– 2(m – 1) + m – 2 = 0 (ẩn x, tham số m).
a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x

1
; x
2
thỏa mãn:
1 2
1 1 7
x x 4
+ =
Câu 3: (1,0 điểm)
Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 60 km. Một ca nô chạy xuôi dòng
từ bến A tới bến B, nghỉ 1 giờ 20 phút ở bến sông B và ngược dòng trở về A. Thời
gian kể từ lúc khởi hành đến khi về bến A tất cả 12 giờ. Tính vận tốc riêng của ca
nô và vận tốc dòng nước biết vận tốc riêng của ca nô gấp 4 lần vận tốc dòng nước.
Câu 4: (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng (d) không đi qua tâm O cắt đường
tròn (O; R) tại hai điểm phân biệt A, B. Điểm M chuyển động trên (d) và nằm
ngoài đường tròn (O; R), qua M kẻ hai tiếp tuyến MN và MP tới đường tròn (O; R)
(N, P là hai tiếp điểm).
a) Chứng minh rằng tứ giác MNOP nội tiếp được trong một đường tròn, xác
định tâm đường tròn đó.
b) Chứng minh MA.MB = MN
2
.
c) Xác định vị trí điểm M sao cho tam giác MNP đều.
d) Xác định quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP.
Câu 5: (1 điểm)
Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn:
4 5
23
x y

+ ≥
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
6 7
B 8x 18y
x y
= + + +
----------------------------------------------Hết----------------------------------------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
ĐÁP ÁN
Câu 1: (2 điểm)
Tính giá trị biểu thức:
( )
( )
( )
x 5 2 2 5 5 250
5 2 2 5 5 5 5. 2
5 2 5 2 2 5 5 2
10
= + −
= + −
= + −
=

( ) ( )
( )
3 3
y
3 1 3 1
3 3 1 3 3 1
3 1 3 1

3 3 1
3
2
= −
− +
+ −
= −
− −
−
= =
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
3 3
x x y y
A x y
x xy y
x y x y x xy y
x y x y
x xy y x xy y
x y x y x y 10 3 7
+
= −
− +
+ + − +
= − = −
− + − +

= + − = − = − =
Câu 2: (2,5 điểm)
a) Xét phương trình (m + 1)x
2
– 2(m – 1)x + m – 2 = 0
Khi m=2 phương trình trở thành:
2
3x – 2x = 0
( )
0
3 2
2
3
x
x x
x
=


⇔ − ⇔

=

b) Để phương trình là phương trình bậc 2 thì trước tiên m ≠ -1
( ) ( ) ( )
2
' 1 1 2 3m m m m∆ = − − + − = −
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì
' 0∆ >
hay m<3 (1)

Áp dụng định lý Viet cho phương trình ta có
1 2
1 2
2( 1)
1
2
.
1
m
S x x
m
m
P x x
m
−

= + =


+

−

= =

+

(2)
Xét biểu thức
1 2

1 2 1 2
1 1 7 x x 7
x x 4 x .x 4
+
+ = ⇔ =
(3)
Thế (2) vào (3)
2( 1) 2 7
:
1 1 4
2( 1) 7
8 8 7 14
2 4
m m
m m
m
m m
m
− −
⇒ =
+ +
−
⇔ = ⇔ − = −
−

6m
⇔ = −
Kết hợp với điều kiện (1) kết luận m=-6
Câu 3: (1,0 điểm)
Gọi vận tốc của dòng nước là: x (km/giờ) (ĐK: x>0)

Vận tốc thực của ca nô là: 4x (km/ giờ)
Khi ca nô xuôi dòng từ A đến B vận tốc của ca nô so với đường là: 4x+x (km/giờ)
Thời gian ca nô xuôi dòng từ A đến B là:
60 12
4x x x
=
+
(giờ).
Khi ca nô ngược dòng từ B về A vận tốc của ca nô so với đường là: 4x-x (km/giờ)
Thời gian ca ngược dòng từ B về A là:
60 20
4x x x
=
−
(giờ).
Thời gian ca nô nghỉ ở B là 1 giờ 20 phút hay
4
3
giờ.
Vì tổng thời gian hết 12 giờ nên ta co phương trình

12 20 4
12
3
8 1
20 3
3
x x
x
x

+ + =
⇔ + = ⇔ =
Kết luận: Vận tốc dòng nước là 3 km/giờ.
Vận tốc thực của ca nô là 3 x 4=12 km/giờ.
Câu 4: (3,5 điểm)
a) CM tứ giác MNOP nội tiếp:
Xét tứ giác MNOP có
MN ON
⊥
(Tính chất tiếp tuyến
⊥
dây cung)

·
0
ONM 90⇒ =
MP OP
⊥
(Tính chất tiếp tuyến
⊥
dây cung)

·
0
OPM 90⇒ =

⇒
·
·
0

ONM+OPM 180=
Vậy tứ giác MNOP nội tiếp trong đường
Tròn đường kính OM, tâm là trung điểm OM
(Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180
0
).
b) CM: MA.MB = MN
2
:
Xét 2 tam giác
∆
AMN và
∆
NMB có
Góc
·
AMN
chung.

·
ANM
=
·
ABN
(Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cung chắn
cung
»
AN
của đường tròn tâm O).
⇒

∆
AMN đồng dạng với
∆
NMB
2
MA MN
= MA.MB = MN
MN MB
⇒ ⇔
(Điều phải chứng minh).
c) Xác định vị trí điểm M sao cho tam giác MNP đều.
* Xét
∆
MNP có MN=MO (Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).
Nên
∆
MNP cân tại M.
* Giả sử
∆
MNP đều thì góc
·
0
NMP 60=
Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có OM là phân giác của góc
·
NMP
nên
⇒
·
0

ONM 30=
* Lại có tam giác
∆
OMN vuông tại N và
·
0
ONM 30=
nên
⇒
·
0
NOM 60=
Gọi I là trung điểm OM thì IN=IM=IO (NI là trung tuyến ứng cạnh huyền
của tam giác vuông OMN)

⇒
Tam giác
∆
ONI đều
Vậy IN=IM=IO=R hay OM =2R
* Kết luận: Vậy để tam giác MNP đều thì OM=2R.
d. Quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác MNP là đường thằng d’ song
song với đường thẳng d (trừ các điểm
ở bên trong đường tròn).
Bài 5:
6 7 2 2 4 5
B 8x 18y 8x 18y
x y x y x y
   

 
= + + + = + + + + +
 ÷
 ÷  ÷
 
   
Áp dụng BĐT Côsi và BĐT của đầu bài đã cho ta có
B
8 12 23 43≥ + + =
Dấu bằng xảy ra khi
( )
1 1
x;y ;
2 3
 
=
 ÷
 
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 43 khi
( )
1 1
x;y ;
2 3
 
=
 ÷
 