Phân thức đại số
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (93.21 KB, 4 trang )
các phép tính trong phân thức đại số
A. Lý thuyết
I. Định nghĩa
Phân thức đại số là một biểu thức có dạng
B
A
, trong đó A, B là các đa thức , B là đa thức
khác 0. A là tử thức, B là mẫu thức.
Ví dụ:
II. Hai phân thức bằng nhau
Cho hai phân thức
B
A
và
D
C
. Khi đó :
B
A
=
D
C
nếu AD = BC
Ví dụ: a.
1
1
1
1
23
++
=
xxx
x
vì (x 1) ( x
2
+ x+ 1) = x
3
1
b.
1
1
1
1
23
+
=
+
+
xxx
x
vì (x +1) ( x
2
- x+ 1) = x
3
+ 1
III. Tính chất cơ bản của phân thức
1.
M.B
M.A
B
A
=
( A, B, M là các đa thức và M 0 )
Ví dụ:
32
32
33
32
3
2
yx.z
yx.xy
z
xy
=
2.
N:B
N:A
B
A
=
( A, B là các đa thức và N là nhân tử chung của A và B)
Ví dụ:
3. Quy tắc đổi dấu
B
A
B
A
=
B
A
B
A
=
B
A
B
A
=
Ví dụ: a)
2
1
2
1
2
1
=
=
xxx
b)
2
2
2
2
2
2
2
2
=
=
=
xxxx
IV. Rút gọn biểu thức
Các bớc rút gọn biểu thức
Bớc 1: Phân tích tử và mẫu thức của phân thức thành nhân tử.
Bớc 2: Chia cả tử và mẫu của phân thức cho nhân tử chung.
Ví dụ: Rút gọn các phân thức sau:
A =
)2)(3(
62
+
+
xx
x
B =
96
9
2
2
+
xx
x
C =
xx
x
43
169
2
2
D =
42
44
2
+
++
x
xx
E =
4
2
2
2
x
xx
F =
8
1263
3
2
++
x
xx
V. Quy đồng mẫu nhiều phân thức
1. Tìm mẫu chung của nhiều phân thức
Muốn tìm mẫu thức chung của những phân thức đã cho ta phải :
- Phân tích các mẫu thức thành nhân tử
- Lấy tích của BCNN của các hệ số với các luỹ thừa có mặt trong các mẫu thức ,
số mũ của mỗi luỹ thừa là số mũ cao nhất của nó trong các mẫu thức.
2. Cách quy đồng mẫu thức:
B1: Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung.
B2: Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức.
B3: Nhân tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tơng ứng.
Ví dụ: Quy đồng mẫu thức của các phân thức sau:
1
a.
yx
x
2
,
yx
x
2
+
,
22
4
4
xy
xy
c.
62
3
+
x
,
xx
x
62
6
2
+
b.
62
1
+
+
x
x
,
xx
x
3
32
2
+
+
d.
23
1
x
,
2
94
63
23
1
x
x
,
x
+
VI. Cộng trừ các phân thức
1. Phép cộng các phân thức
a. Cộng các phân thức cùng mẫu
Ví dụ:
a)
9
56
9
53
+
+
xx
b)
3232
11
76
11
75
yx
yxy
yx
yxy
+
+
c)
9
83
9
166
9
5
+
+
+
x
x
x
x
x
x
d)
9
83
8
166
8
5
+
+
+
x
x
x
x
x
x
b. Cộng các phân thức khác mẫu
a)
2
4
25
2
3
2
4
x
x
xx
+
+
+
+
b)
2
42
1
12
2
2
21
xxx
x
x
x
+
+
c)
22
12
31
yxyx
yx
x
xy
yx
++
+
+
d)
222222
5
2
4
2
3
yxyxyxyxyx
+
+
+
++
2. Phép trừ các phân thức
a. Trừ các phân thức cùng mẫu
a)
9
56
9
53
+
xx
b)
3232
11
75
11
75
yx
yxy
yx
yxy
+
c)
9
83
9
166
9
5
+
x
x
x
x
x
x
d)
x
x
x
x
x
x
+
8
83
8
166
8
5
b. Trừ các phân thức không cùng mẫu
a) x
2
+ 1 -
1
1
2
4
+
+
x
x
` b) x + y -
yx
yx
+
+
224
c)
2
9
1
3
21
3
1
x
)x(x
x
x
x
x
+
+
d)
12
23
1
6
12
23
222
++
+
+
xx
x
xxx
x
VII. Nhân chia các phân thức
1. Phép nhân phân thức đại số
Quy tắc:
BD
AC
D
C
.
B
A
=
Ví dụ:
a)
22
3
30
16
4
15
y
x
.
x
y
b)
2
3
5
3
12
5
13
4
y
x
.
x
y
c)
2
4
2
22
)yx(
x
.
x
yx
+
d)
22
33
22
22
2
66
2 yxyx
yx
.
yxyx
ayax
+
+
++
e)
yx
yx
.
yx
yx
1515
88
22
33
+
+
f)
33
2222
4
1515
55
42
yx
yx
.
yx
yxyx
+
+
g)
23
1
12
8
2
2
2
3
++
+
+
xx
x
.
xx
x
2. Phân thức nghich đảo
Cho
0
B
A
khi đó phân thức
A
B
gọi là phân thức nghịch đảo của phân thức
B
A
A
B
B
A
=
1
Ví dụ: Tự lấy
3. Phép chia phân thức
2
BC
AD
C
D
.
B
A
D
C
:
B
A
==
Ví dụ: a)
xy
yx
:
yx
yx
36
2
22
+
b)
ab
bxax
:
ba
ba
2
3294
22
22
+
c)
a
a
:
)a(
a
33
2020
1
55
2
2
+
+
d)
ab
bxax
:
ba
ayax
2
32
42
22
+
B. Bài tập:
1. Rút gọn các biểu thức sau:
a.
12
1
1
1
2
2
++
++
+
+
xx
xx
x
x :)(
b.
( ) ( )
x
yxyx
yx
yx
yx
16
44
2
1
4
2
2
1
22
2
22
2
++
+
+
+
.
c.
( )
22
33
22
11211
yx
yx
yxyxyx
+
+
+
++
:
d.
+
+
+
+
1
4
4
2
2
4
3
2
1
22
22
22
yx
yx
:
yxxy
y
yx
g.
+
+
+
+
x
xx
yxyxxyxy
x
3
3
1
22
2
2
2
22
.
h.
++
2222
1
2
1
yxyxyx
:
22
4
xy
xy
i.
1
36
6
16
6
16
2
2
22
+
+
+
+
x
x
.
xx
x
xx
x
l.
+
+
+
22
24
ba
ab
ab
b
ba
a
:b
ba
ab
a
k.
2. Chứng minh giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến
a)
)yx)(xz()xz)(zy()zy)(yx(
+
+
111
b)
2
4
4
8
42
2
42
2
2
+
+
x
:
xx
x
x
x
c)
)xz)(zy(
z
)zy)(yx(
y
)xz)(yx(
x
+
+
d)
15
1
1
22
3
22
1
2
2
+
+
+
+
xx
x
x
x
3. Chứng minh các đẳng thức sau:
a.
+
+
1
3
1
1
2
3
2
x
x
x
xx
:
1
21
=
x
x
x
x
b.
yx
x
x
yx
x
y
y
x
yxxy
yx
+
=
+
:
2
2
22
1
c.
xyx
yx
:
yxxy
y
yx 4
1
1
4
4
2
2
4
3
2
1
22
22
22
=
+
+
+
+
3
d.
xy
yy
yxyyyxxy
y 1
3
3
1
22
2
2
2
22
=
+
+
+
+
e.
yx
x
x
yx
:
x
y
y
x
yxxy
yx
+
=
+
2222
1
4. Xác định các hệ số thoả mãn đẳng thức cho trớc.
Ví dụ: Xác định các hệ số a, b sao cho
( )
2
3
2
1
223
5
+
+
=
+
x
b
x
a
xx
x
,
Với mọi x 2 và x -1
Giải:
Ta có x
3
3x -2 = ( x
3
x) 2x -2 = x(x
2
1) 2(x +1) = (x +1) ( x
2
x) -
2(x+1)
= (x+1) ( x
2
x 2) = (x+1)
2
( x-2)
Vậy MTC : (x+1)
2
( x-2)
( )
( )
( ) ( )
)x(x
bax)ba(ax
)x(x
)x(bxa
x
b
x
a
21
22
21
21
1
2
2
2
2
2
2
+
+++
=
+
++
=
+
+
Đồng mhất hai tử thức : x
2
+5 =
bax)ba(ax 22
2
+++
ta đợc
=
=
=
=+
=
2
1
52
02
1
b
a
ba
ba
a
Bài tập: Xác định các hệ số a, b c, d sao cho
1.
224
410
3
+
+
+=
x
c
x
b
x
a
xx
x
với mọi x 2 , x 2
2.
111
1
23
++
+
+
=
xx
cbx
x
a
x
với mọi x 1
4
