Thiết kế các tình huống dạy học khái niệm toán học thuộc chủ đề hàm số và phương trình cho học sinh lớp 10

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
************

LÊ THỊ THU HOÀI

THIẾT KẾ CÁC TÌNH HUỐNG DẠY HỌC
KHÁI NIỆM TOÁN HỌC THUỘC CHỦ ĐỀ
HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHO
HỌC SINH LỚP 10

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Toán

HÀ NỘI – 2016


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
************

LÊ THỊ THU HOÀI

THIẾT KẾ CÁC TÌNH HUỐNG DẠY HỌC
KHÁI NIỆM TOÁN HỌC THUỘC CHỦ ĐỀ
HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHO
HỌC SINH LỚP 10

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Toán

Người hướng dẫn khoa học
ThS. ĐÀO THỊ HOA

HÀ NỘI – 2016


LỜI CẢM ƠN
Trước tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô Đào Thị Hoa,
người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt quá trình em thực
hiện đề tài này.
Em cũng xin trân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo trong tổ Phương
pháp giảng dạy, ban chủ nhiệm khoa Toán và các bạn sinh viên trong khoa
đã tạo điều kiện, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Em xin cảm ơn các thầy, cô giáo trong tổ Toán trường Trung học
phổ thông Quế Võ số 2 đã tạo điều kiện, giúp đỡ em hoàn thành nhiệm
vụ nghiên cứu của mình.
Em xin trân trọng cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2016
Sinh viên

Lê Thị Thu Hoài


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận tốt nghiệp này là quá trình học tập, nghiên cứu và nỗ
lực của bản thân em dưới sự chỉ bảo của các thầy, cô giáo, đặc biệt là sự
chỉ bảo, hướng dẫn tận tình của cô giáo Đào Thị Hoa.
Khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Thiết kế các tình huống dạy học
khái niệm Toán học thuộc chủ đề Hàm số và Phương trình cho học sinh
lớp 10” không có sự trùng lặp với các khóa luận khác và kết quả thu

được trong đề tài này là hoàn toàn xác thực.
Hà Nội, tháng 5 năm 2016
Sinh viên

Lê Thị Thu Hoài


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài .................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu. ............................................................................ 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................ 2
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ......................................................... 2
5. Phương pháp nghiên cứu ....................................................................... 2
6. Giả thuyết khoa học .............................................................................. 2
7. Cấu trúc khóa luận ................................................................................ 2
NỘI DUNG ............................................................................................... 3
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN .............................................................. 3
1.1. Đại cương về khái niệm và định nghĩa. ............................................. 3
1.2. Yêu cầu dạy học khái niệm.[1] .......................................................... 9
1.3. Những con đường tiếp cận khái niệm. [1] ....................................... 10
1.4. Những hoạt động củng cố khái niệm. [1]......................................... 15
1.5. Dạy học phân chia khái niệm và hệ thống hóa khái niệm. [7] ......... 16
1.6. Các hoạt động dạy học khái niệm toán học. .................................... 18
1.7. Kết luận chương 1 ............................................................................ 19
CHƯƠNG 2. THIẾT KẾ CÁC TÌNH HUỐNG DẠY HỌC KHÁI NIỆM
TOÁN HỌC THUỘC CHỦ ĐỀ HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHO
HỌC SINH LỚP 10 ................................................................................ 20
2.1. Mục tiêu dạy học Hàm số, Phương trình. [6]................................... 20

2.2. Một số khái niệm cơ bản thuộc chủ đề Hàm số và Phương trình
trong chương trình Toán lớp 10. ............................................................. 22


2.3. Một số khó khăn khi tổ chức thiết kế các tình huống dạy học khái niệm
toán học thuộc chủ đề Hàm số và Phương trình cho học sinh lớp 10. ....... 22
2.4. Thiết kế tình huống dạy học các khái niệm Toán học thuộc chủ đề
Hàm số và Phương trình cho học sinh lớp 10. ........................................ 24
2.5. Kết luận chương 2 ............................................................................ 60
KẾT LUẬN ............................................................................................. 61
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................... 62


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong nhà trường phổ thông, môn Toán giữ vị trí hết sức quan
trọng. Những tri thức, kỹ năng toán học là công cụ để học tập những
môn học khác, công cụ của nhiều ngành khoa học khác nhau và là công
cụ để hoạt động trong đời sống thực tế.
Trong việc dạy học toán ở phổ thông, điều quan trọng bậc nhất là
hình thành một cách vững chắc cho học sinh hệ thống khái niệm. Đó là
cơ sở của toàn bộ kiến thức toán học, là tiền đề quan trọng để xây dựng
cho học sinh khả năng vận dụng kiến thức đã học vào môn Toán, các
môn học khác và trong cuộc sống.
Chủ đề Hàm số, Phương trình là những kiến thức rất cơ bản và
quan trọng xuyên suốt chương trình môn Toán phổ thông, giữ vị trí trung
tâm trong chương trình môn Toán phổ thông. Tuy nhiên nhiều học sinh
chưa hiểu chính xác, đầy đủ về các khái niệm này. Bên cạnh đó, là một
sinh viên sắp ra trường chúng em còn gặp nhiều khó khăn trong việc
thiết kế, truyền đạt và hứng thú cho học sinh khi tổ chức dạy học khái

niệm toán học. Để nghiên cứu sâu hơn về các khái niệm thuộc chủ đề
Hàm số, Phương trình từ đó giúp học sinh lớp 10 có được những kiến
thức nền tảng, cùng với sở thích, đam mê của bản thân muốn học hỏi,
tìm tòi nghiên cứu sâu hơn về chủ đề Hàm số và Phương trình để có kiến
thức vững hơn chuẩn bị cho việc giảng dạy sau khi ra trường, góp phần
thực hiện Nghị quyết 29 của Ban chấp hành trung ương 8 khóa XI về đổi
mới căn bản toàn diện giáo dục và đào tạo em xin lựa chọn đề tài: “Thiết
kế các tình huống dạy học khái niệm Toán học thuộc chủ đề Hàm số
và Phương trình cho học sinh lớp 10.”

1


2. Mục đích nghiên cứu.
Thiết kế và sử dụng những tình huống dạy học các khái niệm
thuộc chủ đề Hàm số và Phương trình cho học sinh lớp 10 nhằm nâng
cao chất lượng, hiệu quả của việc dạy và học chủ đề này.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lý luận, thực tiễn dạy học khái niệm.
- Hệ thống các khái niệm thuộc chủ đề Hàm số, Phương trình.
- Thiết kế tình huống dạy học các khái niệm đó.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Các khái niệm thuộc chủ đề Hàm số và
Phương trình.
- Phạm vi nghiên cứu: Dạy học hàm số và phương trình ở Đại số 10
nâng cao.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận
- Quan sát, điều tra
- Tổng kết kinh nghiệm

6. Giả thuyết khoa học
Nếu thiết kế và sử dụng được các tình huống dạy học khái niệm
thuộc chủ đề: Hàm số và Phương trình cho học sinh lớp 10 thì sẽ nâng
cao chất lượng dạy và học chủ đề này ở trường Phổ thông.
7. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, mục lục và các tài liệu tham khảo,
nội dung chính của khóa luận gồm 2 chương:
- Chương 1. Cơ sở lý luận.
- Chương 2. Thiết kế các tình huống dạy học khái niệm Toán học
thuộc chủ đề Hàm số và Phương trình cho học sinh lớp 10.

2


NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Đại cương về khái niệm và định nghĩa.
1.1.1. Khái niệm [1]
Khái niệm là gì?
Khái niệm là một hình thức tư duy phản ánh một lớp đối tượng.
Một khái niệm có thể được xem xét theo hai phương diện:
- Ngoại diên: lớp đối tượng xác định khái niệm (tập hợp các đối
tượng).
- Nội hàm: các thuộc tính chung của lớp đối tượng (dấu hiệu đặc
trưng).
Ví dụ: Khái niệm Hình bình hành.
Nội hàm: Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song.
Ngoại diên: Là tập hợp tất cả các hình bình hành.
Giữa nội hàm và ngoại diên của khái niệm có mối quan hệ mang
tính quy luật, nội hàm càng được mở rộng thì ngoại diên càng bị thu hẹp

và ngược lại.
Nếu ngoại diên của khái niệm A là bộ phận của khái niệm B thì
khái niệm A được gọi là khái niệm chủng của khái niệm B, còn khái
niệm B được gọi là khái niệm loại của khái niệm A.
Ví dụ: Ngoại diên khái niệm hình bình hành lớn hơn ngoại diên khái
niệm hình chữ nhật.
Nội hàm hình chữ nhật lớn hơn nội hàm hình bình hành (thêm
điều kiện có một góc vuông).
1.1.2. Vai trò của khái niệm [7]
a) Khái niệm vừa là sản phẩm vừa là phương tiện của quá trình tư duy

3


Trong việc nhận thức thế giới, con người có thể đạt tới các mức độ
nhận thức khác nhau, từ thấp tới cao, từ đơn giản tới phức tạp. Hai mức
độ nhận thức thế giới của con người là:
- Nhận thức cảm tính (bao gồm cảm giác và tri giác), trong đó con
người phản ánh những cái bên ngoài, những cái đang trực tiếp tác động
đến các giác quan con người.
- Nhận thức lí tính (còn gọi là tư duy), trong đó con người phản ánh
những bản chất bên trong, những mối quan hệ có tính quy luật.
Tư duy là mức độ nhận thức quan trọng, cơ bản nhất của con
người để hiểu và cải tạo thế giới.
Kết quả của hành động (quá trình) tư duy là đi đến những sản
phẩm trí tuệ: khái niệm, phán đoán, suy luận.
Đến lượt mình các khái niệm, các phán đoán đã được khẳng định,
các hình thức suy luận lại tạo cơ sở cho tư duy. Tư duy không thể tách
rời khái niệm, phán đoán và suy luận.
Như vậy khái niệm là một yếu tố không thể thiếu trong hoạt động

tư duy của con người.
b) Khái niệm vừa là cơ sở của khoa học toán học, vừa là động lực phát
triển của toán học.
Dù cho nguồn gốc của toán học là thực nghiệm, thì toán học chủ
yếu vẫn là một khoa học suy diễn, nghĩa là một khoa học được xây dựng
từ những khái niệm cơ bản, những tiên đề nhờ vào việc áp dụng những
quy tắc và phương pháp suy luận logic. Các khái niệm trước là cơ sở xây
dựng các khái niệm sau, các khái niệm sau được định nghĩa, minh họa,
mô tả nhờ vào các khái niệm học trước, chúng tạo nên một hệ thống
trong khoa học toán học.
Mặt khác, lịch sử và khoa học luận toán học chứng tỏ rằng sự nảy
sinh một khái niệm toán học mới thường đánh dấu một giai đoạn phát
4


triển của Toán học và là nền tảng cho bước phát triển tiếp theo, chẳng
hạn như các khái niệm Số phức, Giới hạn, Đạo hàm.
c) Hình thành các khái niệm toán học cho học sinh là một trong những
nhiệm vụ mấu chốt của dạy học toán ở trường phổ thông.
Hai mục đích chủ yếu của dạy học toán ở trường trung học phổ
thông là:
- Cung cấp cho học sinh một hệ thống vững chắc những kiến thức
và kỹ năng toán học.
- Phát triển ở học sinh những năng lực và phẩm chất trí tuệ, chủ yếu
là rèn luyện các thao tác và phẩm chất tư duy, khả năng quan sát và
tưởng tượng, rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác.
1.1.3. Định nghĩa khái niệm [1]
Định nghĩa khái niệm là một thao tác logic nhằm phân biệt lớp đối
tượng xác định khái niệm này với các đối tượng khác thường bằng cách
vạch ra nội hàm của khái niệm đó.

Các định nghĩa thường có cấu trúc sau:
Từ mới (biểu thị khái

(Những) từ chỉ miền

Tân từ

niệm mới)

đối tượng đã biết

(Diễn tả khác biệt

(loại)

về chủng)

Ví dụ: Hình hình hành là tứ giác có các cạnh đối song song. Trong định
nghĩa này, từ mới là hình bình hành, loại hay miền đối tượng là tứ giác,
còn sự khác biệt về chủng là có các cạnh đối song song.
Miền đối tượng (loại) và các thuộc tính về chủng tạo thành đặc
trưng của khái niệm. Đặc trưng của khái niệm là điều kiện cần và đủ để xác
định khái niệm đó. Có nhiều cách nêu đặc trưng của cùng một khái niệm
tức là có thể định nghĩa cùng một khái niệm theo nhiều cách khác nhau.

5


Chẳng hạn hình bình hành như đã nêu trong ví dụ trên, còn có thể
được định nghĩa theo một cách khác, ví dụ như: hình bình hành là tứ

giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Trong định nghĩa theo cấu trúc đã nêu từ chỉ miền đối tượng hay
loại phải tương ứng với một khái niệm đã biết.
1.1.4. Khái niệm không định nghĩa [1]
Định nghĩa một khái niệm mới thường dựa vào một hay nhiều
khái niệm đã biết.
Ví dụ: Để định nghĩa hình vuông ta cần định nghĩa hình chữ nhật; để
định nghĩa hình chữ nhật ta cần phải định nghĩa hình bình hành; để định
nghĩa hình bình hành ta cần định nghĩa tứ giác… Tuy nhiên quá trình
này không thể kéo dài vô hạn. Tức là phải có khái niệm không định
nghĩa, được thừa nhận làm điểm xuất phát, gọi là những khái niệm
nguyên thủy, chẳng hạn người ta thừa nhận điểm, đường thẳng, mặt
phẳng là những khái niệm nguyên thủy.
Đối với những khái niệm không định nghĩa ở trường phổ thông,
cần mô tả giải thích thông qua các ví dụ cụ thể để học sinh hình dung
được những khái niệm này, hiểu chúng một cách trực giác.
1.1.5. Một số hình thức định nghĩa khái niệm thường gặp ở phổ
thông. [1][7]
a) Định nghĩa khái niệm theo hình thức loại - chủng
Nội dung: Định nghĩa theo phương pháp loại - chủng là một hình
thức định nghĩa nêu lên khái niệm loại và đặc tính của chủng.
Khái niệm được định nghĩa = Khái niệm loại + Đặc tính của chủng.
Ví dụ: Hình thoi là hình bình hành có hai cạnh liên tiếp bằng nhau.
Trong định nghĩa này: hình bình hành là khái niệm loại; hai cạnh
liên tiếp bằng nhau là đặc tính của chủng.

6


b) Định nghĩa bằng quy ước.

Nội dung: Định nghĩa bằng quy ước là hình thức định nghĩa gán
cho đối tượng cần định nghĩa một tên gọi hay một đối tượng nào đó đã biết.
Ví dụ: a 0  1 (đối tượng cần định nghĩa là a 0  1 ); a  n 

1
an

Chú ý: Khi dạy học định nghĩa bằng quy ước, giáo viên không
phải giải thích tại sao lại quy ước như vậy mà chỉ đặt vấn đề quy ước
như vậy có hợp lý hay không.
Ví dụ: a 0  1 là định nghĩa hợp lý vì 1 

am
 a mm  a 0
m
a

c) Định nghĩa bằng phương pháp tiên đề.
Nội dung: Là hình thức định nghĩa gián tiếp các khái niệm cơ bản
thông qua các tiên đề.
Ví dụ: Định nghĩa hai tam giác bằng nhau.
̂, B
̂ , Ĉ = C′
̂
̂ = A′
̂ = B′
ABC  A' B 'C ' nếu A
' '
AB  A' B' , AC  AC
, BC  B'C '

d) Định nghĩa bằng kiến thiết.
Nội dung: Định nghĩa bằng kiến thiết người ta không vạch rõ khái
niệm loại (nó thuộc loại nào) cũng như các thuộc tính bản chất của
chủng, mà mô tả cách tạo ra đối tượng được xem là tổng quát và đại diện
cho lớp các đối tượng xác định khái niệm.
Ví dụ 1: Mô tả khái niệm điểm là một dấu chấm nhỏ trên trang giấy cho
ta hình ảnh về điểm.
Ví dụ 2: Khái niệm mặt phẳng là không có bề dày và không có giới hạn.
Mặt bàn, tờ giấy cho ta hình ảnh một phần của mặt phẳng.
1.1.6. Một số quy tắc định nghĩa khái niệm. [7]
a) Quy tắc 1: Định nghĩa phải tương xứng.
Định nghĩa theo quy tắc này nghĩa là phạm vi của khái niệm định
nghĩa và khái niệm được định nghĩa phải bằng nhau.
7


Định nghĩa không tương xứng là định nghĩa mà phạm vi của khái
niệm quá hẹp hay quá rộng so với khái niệm được định nghĩa
Ví dụ: Số vô tỷ là số thập phân vô hạn.
Số vô tỷ là khái niệm được định nghĩa;
Số thập phân vô hạn là khái niệm định nghĩa.
Ta thấy phạm vi của khái niệm số vô tỷ nhỏ hơn khái niệm số
thập phân vô hạn. Vậy định nghĩa trên không tương xứng.
b) Quy tắc 2: Định nghĩa không được vòng quanh.
Định nghĩa theo quy tắc này có nghĩa là phải dựa vào khái niệm đã
biết, đã được định nghĩa.
Ví dụ: Số vô tỷ là số thực không hữu tỷ.
Số vô tỷ lại được định nghĩa thông qua khái niệm số thực. Ở
trường phổ thông khái niệm số thực học sau khái niệm số vô tỷ. Do đó

định nghĩa đã vi phạm quy tắc 2.
c) Quy tắc 3: Định nghĩa phải tối thiểu.
Định nghĩa theo quy tắc này tức là trong nội dung khái niệm định
nghĩa không chứa những thuộc tính có thể suy ra từ những thuộc tính
còn lại.
Ví dụ 1: Định nghĩa Hình bình hành là tứ giác phẳng có các cặp cạnh
song song và bằng nhau vi phạm quy tắc này vì ở định nghĩa thừa một
trong hai điều kiện song song hoặc bằng nhau và thừa thuộc tính phẳng.
Ví dụ 2: Định nghĩa số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có 2
ước là 1 và chính nó thừa điều kiện là một và chính nó nhưng vì lí do sư
phạm nên người ta đưa vào trong định nghĩa để học sinh hiểu rõ hai ước
đó là hai ước cụ thể nào.
d) Quy tắc 4: Định nghĩa không dùng lối phủ định nếu loài không được
phân chia thành 2 tập hợp triệt (tức là khái niệm loài không bao giờ
gồm 2 khái niệm mâu thuẫn).
8


Ví dụ: Hình thoi không phải hình tam giác là định nghĩa chỉ nêu lên dấu
hiệu xem xét một hình không phải là hình tam giác, chưa chỉ ra được đặc
trưng của hình thoi.
1.2. Yêu cầu dạy học khái niệm.[1]
Việc dạy học khái niệm ở trường phổ thông phải dần làm cho học
sinh đạt được các yêu cầu sau:
- Nắm vững các đặc điểm đặc trưng cho một khái niệm.
- Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối tượng
cho trước có thuộc phạm vi của một khái niệm nào đó hay không, đồng
thời biết thể hiện khái niệm.
- Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của một số khái niệm.
- Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt

động giải toán và ứng dụng vào thực tế.
- Biết phân loại khái niệm và nắm được mối quan hệ của một khái
niệm với những khái niệm khác trong một hệ thống khái niệm.
Ví dụ: Khi dạy học khái niệm “vectơ pháp tuyến của đường thẳng” cần
làm cho học sinh:
Phát biểu rõ ràng, chính xác khái niệm vectơ pháp tuyến của
đường thẳng.
⃗ , có giá
Nắm vững đặc điểm đặc trưng của khái niệm: khác 0
vuông góc với đường thẳng, mỗi đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến.
Biết tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng và vận dụng khái niệm
vào giải bài tập.
Bên cạnh vectơ chỉ phương, đường thẳng có thêm vectơ pháp
tuyến. Chúng có giá vuông góc với nhau.
Những yêu cầu trên đây có quan hệ chặt chẽ với nhau, song vì lý
do sư phạm, các yêu cầu trên không phải lúc nào cũng được đặt ở mức
như nhau. Chẳng hạn, khái niệm “hướng của vectơ” không được định
9


nghĩa một cách tường minh mà chỉ diễn tả một cách trực giác dựa vào
kinh nghiệm sống của học sinh, còn đối với những khái niệm như “Hình
bình hành”, “Đạo hàm” … học sinh phải phát biểu được định nghĩa một
cách chính xác và vận dụng được các định nghĩa đó trong khi giải bài tập.
1.3. Những con đường tiếp cận khái niệm. [1]
Con đường tiếp cận khái niệm được hiểu là quá trình hoạt động và
tư duy dẫn tới một sự hiểu biết về khái niệm đó nhờ định nghĩa tường
minh, nhờ mô tả, nhờ trực giác, ở mức độ nhận biết một đối tượng, một
tình huống có thuộc về khái niệm đó hay không.
Trong dạy học người ta phân biệt 3 con đường tiếp cận khái niệm

đó là:
 Con đường suy diễn,
 Con đường quy nạp,
 Con đường kiến thiết.
Sau đây ta sẽ đi sâu vào từng con đường nói trên.
1.3.1. Con đường suy diễn.
Có một số khái niệm được hình thành theo con đường suy diễn, đi
ngay vào định nghĩa khái niệm mới như một trường hợp riêng của một
khái niệm nào đó mà học sinh đã được học.
Quy trình tiếp cận một khái niệm theo con đường suy diễn:
 Bước 1: Xuất phát từ một khái niệm đã biết, thêm vào nội hàm của
khái niệm đó một số đặc điểm mà ta quan tâm.
 Bước 2: Phát biểu một định nghĩa bằng cách nêu tên khái niệm
mới và định nghĩa nó nhờ một khái niệm tổng quát hơn cùng với những
đặc điểm để hạn chế một bộ phận trong khái niệm tổng quát đó.
 Bước 3: Đưa ra một số ví dụ đơn giản để minh họa cho khái niệm
vừa được định nghĩa.

10


 Ưu điểm
Con đường suy diễn có ưu điểm là tiết kiệm thời gian và thuận lợi
cho việc tập luyện cho học sinh tự học những khái niệm toán học thông
qua sách và tài liệu.
 Hạn chế
Con đường này hạn chế về mặt khuyến khích học sinh phát triển
những năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu
tượng hóa, khái quát hóa.
 Điều kiện sử dụng.

Con đường này thường được sử dụng khi có thể gợi cho học sinh
quan tâm tới một khái niệm làm điểm xuất phát và một đặc điểm có thể
bổ sung vào nội hàm của khái niệm đó để định nghĩa một khái niệm khác
hẹp hơn.
Ví dụ: Dạy học khái niệm Phép vị tự.
Bước 1. Giáo viên yêu cầu học sinh nhắc lại khái niệm Phép biến
hình đã học.
Học sinh nhắc lại khái niệm. Giáo viên hướng học sinh đến một
phép biến hình mới “biến mỗi điểm M thành M’ sao cho OM ,  k.OM ”
Bước 2. Giáo viên thông báo phép biến hình có đặc điểm trên gọi
là phép vị tự, đưa ra định nghĩa phép vị tự.
Bước 3. Giáo viên đưa ra một số ví dụ.
Cho tam giác ABC. Gọi E, F tương ứng là trung điểm AB, AC.
Tìm một phép vị tự biến B, C tương ứng thành E, F.
1.3.2. Con đường quy nạp.
Xuất phát từ một số những đối tượng riêng lẻ như vật thật, mô
hình, hình vẽ, thầy giáo dẫn dắt học sinh phân tích, so sánh, trừu tượng
hóa và khái quát hóa để tìm ra dấu hiệu đặc trưng của một khái niệm thể

11


hiện ở những trường hợp cụ thể này, từ đó đi đến một định nghĩa tường
minh hay một sự hiểu biết trực giác về khái niệm đó tùy theo yêu cầu của
chương trình.
Quy tình tiếp cận một khái niệm theo con đường quy nạp:
 Bước 1: Giáo viên đưa ra những ví dụ cụ thể để học sinh thấy sự
tồn tại hoặc tác dụng của một loạt đối tượng nào đó.
 Bước 2: Giáo viên dẫn dắt học sinh phân tích, so sánh và nêu bật
những đặc điểm chung của các đối tượng đang được xem xét. Có thể đưa

ra đối chiếu một vài đối tượng không có đủ các đặc điểm đã nêu.
 Bước 3: Giáo viên gợi mở để học sinh phát biểu một định nghĩa
bằng cách nêu tên và các đặc điểm đặc trưng của khái niệm.
 Ưu điểm
Con đường quy nạp thuận lợi cho việc huy động hoạt động tích
cực của học sinh, góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung và đào tạo
cho họ nâng cao tính độc lập trong việc đưa ra định nghĩa.
 Hạn chế
Con đường này đòi hỏi tốn nhiều thời gian nên không phải bao
giờ cũng có điều kiện thực hiện.
 Điều kiện sử dụng
Sử dụng con đường quy nạp trong điều kiện như sau:
Chưa phát hiện được một khái niệm loại nào làm điểm xuất phát
cho con đường suy diễn;
Đã định hình được một số đối tượng thuộc ngoại diên của khái niệm
cần được hình thành, do đó có đủ vật liệu để thực hiện phép quy nạp.
Ví dụ: Dạy học khái niệm Tam thức bậc hai.
Bước 1. Giáo viên đưa ra các biểu thức.
2) g ( x)   x 2  3x  5

1) f ( x)  4 x 2  5 x  1

12


4) y ( x) 

3) h( x)  5 x 2  1

3 2

x x
2

Bước 2. Giáo viên dẫn dắt học sinh phân tích, nêu ra đặc điểm
của mỗi biểu thức.
Giáo viên yêu cầu học sinh cho biết các hệ số của biểu thức (1),
(2), (3), (4).
Học sinh trả lời:
Biểu thức (1) có hệ số a = 4, b = 5, c = 1
Biểu thức (2) có hệ số a = -1, b = 3, c = -5
Biểu thức (3) có hệ số a =
Biểu thức (4) có hệ số a =

5 , b = 0, c = 1

3
, b = 1, c = 0
2

Giáo viên: Các biểu thức trên đều có chung dạng nào?
Học sinh: f ( x)  ax 2  bx  c, a  0
Bước 3. Giáo viên gợi mở để học sinh phát biểu định nghĩa.
Các biểu thức trên được gọi là các tam thức bậc hai. Vậy tổng quát
tam thức bậc hai được định nghĩa như thế nào?. Giáo viên yêu cầu học
sinh phát biểu định nghĩa và chính xác hóa định nghĩa.
1.3.3. Con đường kiến thiết.
Con đường tiếp cận một khái niệm theo con đường kiến thiết.
 Bước 1: Xây dựng một hay nhiều đối tượng đại diện cho khái
niệm cần được hình thành hướng vào những yêu cầu tổng quát nhất định
xuất phát từ nội bộ Toán học hay từ thực tiễn.

 Bước 2: Khái quát hóa quá trình xây dựng những đối tượng đại
diện, đi tới đặc điểm đặc trưng cho khái niệm cần hình thành.
 Bước 3: Phát biểu định nghĩa.
Con đường này mang cả yếu tố quy nạp lẫn suy diễn. Yếu tố suy
diễn thể hiện ở chỗ xuất phát từ những yêu cầu để xây dựng một hay
13


nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cần hình thành. Yếu tố quy nạp
thể hiện ở chỗ khái quát hóa quá trình xây dựng những đối tượng riêng lẻ
đi đến đặc điểm tổng quát đặc trưng cho khái niệm cần định nghĩa.
 Ưu điểm
Thuận lợi cho việc khơi dậy hoạt động tự giác, tích cực của hoc
sinh và rèn luyện cho họ khả năng giải quyết vấn đề trong quá trình tiếp
cận khái niệm.
 Hạn chế
Tuy nhiên con đường này nói chung dài, tốn nhiều thời gian.
 Điều kiện sử dụng
Học sinh chưa định hình được những đối tượng thuộc ngoại diên
khái niệm, do đó con đường quy nạp không thích hợp;
Học sinh chưa phát hiện được một khái niệm loại nào thích hợp
với khái niệm cần định nghĩa làm điểm xuất phát cho con đường suy
diễn.
Ví dụ: Dạy học khái niệm logarit.
Bước 1. Giáo viên đưa ra 2 bài toán: tính 23  ? và tìm x để

2x  8
Nhận xét bài toán 1 là bài toán lũy thừa với số mũ thực của một số
dương, có 23 = 2.2.2 = 8; bài toán 2 là bài toán ngược của bài toán 1. Với
hai số dương 2 và 8 ta luôn tìm được x = 3 sao cho 2 x  8 khi đó 3 được

gọi là logarit cơ số 2 của 8.
Bước 2. Khái quát hóa quá trình xây dựng.
Cho số a dương, với mỗi số thực  tùy ý, ta luôn xác định được
lũy thừa a .

a  1: a  1  1 với mọi  

a  1: a  a  khi và chỉ khi   

14


0  a  1: a  a  khi và chỉ khi   
Như vậy tồn tại duy nhất một số thực  để a  b . Số  được gọi
là logarit cơ số a của b.
Bước 3. Phát biểu định nghĩa khái niệm logarit.
1.4. Những hoạt động củng cố khái niệm. [1]
Quá trình tiếp cận khái niệm chưa kết thúc khi phát biểu được
định nghĩa khái niệm đó. Một khâu rất quan trọng là củng cố khái niệm,
bao gồm những hoạt động sau đây:
1.4.1. Nhận dạng và thể hiện khái niệm.
Nhận dạng một khái niệm là phát hiện xem một đối tượng cho
trước có thỏa mãn định nghĩa đó hay không. Thể hiện một khái niệm là
tạo ra một đối tượng thỏa mãn định nghĩa đó.
Ví dụ: Học sinh nhận dạng khái niệm Tích vô hướng của hai vectơ.
Khoanh tròn vào đáp án đúng



A) AB.CD  AB . CD .cos AB; CD



B) AB.CD  AB . CD .cos  AB; CD 
C) AB.CD  AB.CD.cos  AB; CD 



D) AB.CD  AB.CD.cos AB; CD



Giáo viên đưa ra ví dụ thể hiện khái niệm tích vô hướng của hai
vectơ:
Cho tam giác ABC đều cạnh a, chiều cao AH. Tính các tích vô
hướng sau: AB. AC , AC.BC, AH .BC
1.4.2. Hoạt động ngôn ngữ
Cho học sinh thực hiện hoạt động ngôn ngữ vừa có tác dụng củng
cố lại khái niệm vừa góp phần phát triển ngôn ngữ cho học sinh:

15


- Phát biểu lại định nghĩa bằng lời lẽ của mình và biết cách thay đổi
cách phát biểu, diễn đạt định nghĩa dưới những dạng ngôn ngữ khác
nhau.
- Phân tích, nêu bật những ý quan trọng chứa đựng trong định nghĩa
một cách tường minh hay ẩn tàng.
Ví dụ: Thực hiện hoạt động ngôn ngữ cho khái niệm “Cấp số cộng”
Giáo viên yêu cầu học sinh phát biểu định nghĩa cấp số cộng theo

ý hiểu của mình.
Nêu bật ý quan trọng trong định nghĩa:
Cấp số cộng là một dãy số; số đứng sau bằng số hạng đứng ngay
trước nó cộng với một số không đổi d, d gọi là công sai của cấp số cộng.
1.4.3. Các hoạt động khác.
- Khái quát hóa tức là mở rộng khái niệm, chẳng hạn vận tốc tức
thời của một chuyển động tới khái niệm đạo hàm của hàm số.
- Đặc biệt hóa, ví dụ đang xét một hình bình hành đặc biệt có một
góc vuông để được hình chữ nhật.
1.5. Dạy học phân chia khái niệm và hệ thống hóa khái niệm. [7]
1.5.1. Dạy học phân chia khái niệm.
Khi ta định nghĩa một khái niệm, thì nội hàm và ngoại diên của nó
được xác định. Ngoại diên của khái niệm sẽ còn được sáng tỏ hơn nữa
nhờ sự phân chia khái niệm.
Một khái niệm có ngoại diên A được phân chia thành các khái
niệm có ngoại diên tương ứng A1, A2,…,An có nghĩa là các điều kiện sau
được thỏa mãn:
1) Ai ≠  với i= 1; 2;….; n
2) Ai  Aj =  với i ≠ j
3) ⋃𝑛𝑖=1 𝐴𝑖 = A

16


Các quy tắc phân chia khái niệm: A → Ai, I = 1; 2;….; n
1) Phân chia phải không giao nhau: Ai  Aj =  với i ≠ j
Phản ví dụ

Ví dụ

ℚ

ℚ

ℕ

𝑚
𝑛

ℤ

ℤ

(m không chia
hết cho n)

𝑚
𝑛

2) Phân chia phải thích hợp, phải triệt để ⋃𝑛𝑖=1 𝐴𝑖 = A

Ví dụ

Phản ví dụ

Số tự nhiên

Số tự nhiên

Số nguyên tố

Hợp số

Số nguyên tố ሼ0; 1ሽ

Hợp số

3) Phân chia phải liên tục: phân chia phải theo từng cấp, từ cấp cao hơn
đến cấp thấp hơn gần nhất (chuyển sang chủng thấp hơn và gần nhất).
Ví dụ

Phản ví dụ

Số thực

Số thực

Số vô Số hữu
tỷ
tỷ
nguyên

Số hữu tỷ không
nguyên

Số vô
tỷ
Số hữu
tỷ
nguyên

17

Số hữu
tỷ
Số hữu tỷ
không
nguyên


4) Phân chia phải có cơ sở: khi phân chia khái niệm chỉ được căn cứ vào
một thuộc tính bản chất nào đó để làm cơ sở.
Phản ví dụ

Ví dụ
Hình bình hành

Hình bình hành

Hình
Hình bình
hành thường chữ nhật

Hình
thoi

Hình bình hành,
không hình thoi

Hình

thoi

1.5.2. Hệ thống hóa khái niệm.
Hệ thống hóa, chủ yếu là biết sắp xếp khái niệm mới vào hệ thống
khái niệm đã học, nhận biết mối quan hệ giữa các khái niệm khác nhau
trong một hệ thống khái niệm, đặc biệt chú ý quan hệ chủng – loại giữa
hai khái niệm.
Ví dụ: Hệ thống hóa khái niệm Hình lăng trụ
Hình lăng trụ

Hình lăng
trụ xiên

Hình
lăng trụ
đứng

1.6. Các hoạt động dạy học khái niệm toán học.
Việc dạy học các khái niệm toán học sẽ được trình bày theo các
bước sau:
Bước 1. Dẫn vào khái niệm.
Bước 2. Hình thành khái niệm.
Bước 3. Củng cố khái niệm.
18


1.7. Kết luận chương 1
Trong chương 1, đề tài tập chung nghiên cứu các vấn đề cơ sở lý
luận của dạy học khái niệm toán học. Từ đó thấy rõ tầm quan trọng của
khái niệm và yêu cầu của việc dạy học khái niệm trong dạy học toán. Do

đó để học sinh hiểu, nắm được bản chất của khái niệm và điều quan
trọng bậc nhất là học sinh biết cách vận dụng khái niệm đó vào làm bài
tập giáo viên phải nắm vững lý luận dạy học khái niệm và vận dụng linh
hoạt vào từng khái niệm cụ thể. Chương 2 của khóa luận là việc thiết kế
các tình huống dạy học khái niệm thuộc chủ đề Hàm số và Phương trình
cho học sinh lớp 10 dựa trên cơ sở lý luận của chương 1.

19