Thiết kế các tình huống dạy học định lí thuộc chủ đề quan hệ vuông góc cho học sinh lớp 11

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

PHẠM THỊ HỒNG NGỌC

THIẾT KẾ CÁC TÌNH HUỐNG DẠY HỌC ĐỊNH LÍ
THUỘC CHỦ ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC
CHO HỌC SINH LỚP 11

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học Toán

HÀ NỘI – 2016


TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

PHẠM THỊ HỒNG NGỌC

THIẾT KẾ CÁC TÌNH HUỐNG DẠY HỌC ĐỊNH LÍ
THUỘC CHỦ ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC
CHO HỌC SINH LỚP 11

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học Toán
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
ThS. ĐÀO THỊ HOA

HÀ NỘI – 2016

LỜI CẢM ƠN
Trƣớc tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thạc sĩ Đào Thị Hoa đã
tận tình hƣớng dẫn, giúp đỡ em trong suốt quá trình em thực hiện đề tài.
Em cũng xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ phƣơng pháp
giảng dạy, ban chủ nhiệm khoa Toán và các bạn sinh viên trong khoa đã tạo điều
kiện cho em hoàn thành tốt khóa luận này.
Em xin trân trọng cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2016
Sinh viên

Phạm Thị Hồng Ngọc


LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp này là quá trình học tập, nghiên cứu và nỗ lực của bản
thân em dƣới sự chỉ bảo của các thầy, cô giáo, đặc biệt là sự chỉ bảo, hƣớng dẫn
tận tình của cô giáo Đào Thị Hoa.
Khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Thiết kế các tình huống dạy học định lí
thuộc chủ đề quan hệ vuông góc cho học sinh lớp 11” không có sự trùng lặp với
các khóa luận khác và kết quả thu đƣợc trong đề tài này là hoàn toàn xác thực.
Hà Nội, tháng 5 năm 2016
Sinh viên

Phạm Thị Hồng Ngọc


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .................................................................................................................. 1

1. Lí do chọn đề tài ............................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu. ....................................................................................... 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu........................................................................................ 2
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu. ................................................................... 2
5. Phƣơng pháp nghiên cứu. ................................................................................. 2
6. Giả thuyết khoa học. ......................................................................................... 2
7. Cấu trúc khóa luận. ........................................................................................... 2
NỘI DUNG .............................................................................................................. 3
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN ............................................................................... 3
1.1. Khái niệm định lí Toán học ........................................................................... 3
1.2. Vị trí của định lí và yêu cầu dạy học định lí .................................................. 5
1.3. Hai con đƣờng dạy học định lí.......................................................................6
1.4. Hoạt động củng cố định lí ............................................................................ 14
1.5. Phát triển năng lực chứng minh Toán học ................................................... 16
CHƢƠNG 2. THIẾT KẾ CÁC TÌNH HUỐNG DẠY HỌC ĐỊNH LÍ THUỘC
CHỦ ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC CHO HỌC SINH LỚP 11 .......................... 23
2.1. Mục tiêu dạy học chủ đề quan hệ vuông góc .............................................. 23
2.1.1. Hai đường thẳng vuông góc .................................................................. 23
2.1.2. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ................................................ 23
2.1.3. Hai mặt phẳng vuông góc ..................................................................... 23
2.1.4. Khoảng cách .......................................................................................... 24
2.2. Những định lí cơ bản về chủ đề quan hệ vuông góc trong chƣơng trình
Toán lớp 11 bậc trung học phổ thông. ................................................................ 24


2.3. Một số khó khăn khi tổ chức dạy học các định lí thuộc chủ đề quan hệ
vuông góc cho học sinh lớp 11 ........................................................................... 26
2.4. Thiết kế các tình huống dạy học cho từng định lí thuộc chủ đề quan hệ
vuông góc cho học sinh lớp 11 ........................................................................... 31
2.4.1. Dạy học định lí về điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt

phẳng ............................................................................................................... 31
2.4.2. Dạy học định lí ba đường vuông góc: ................................................... 52
2.4.3. Dạy học định lí về điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với
nhau. ................................................................................................................ 57
KẾT LUẬN ............................................................................................................ 72
TÀI LIỆU THAM KHẢO...................................................................................... 73


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Thế kỉ XXI là kỉ nguyên của sự phát triển khoa học, công nghệ và kinh tế
tri thức. Sức mạnh và sự phồn vinh của mỗi quốc gia phụ thuộc vào trí tuệ và năng
lực sáng tạo của nguồn nhân lực xã hội. Trong bối cảnh đó, con ngƣời muốn đáp
ứng đƣợc nhu cầu của xã hội thì phải đƣợc đào tạo bởi một nền giáo dục tiên tiến,
khoa học hiện đại và biết tự giáo dục, tự học suốt đời. Chính vì lẽ đó việc chuyển
từ dạy học thụ động sang dạy học tích cực, lấy học sinh làm trung tâm nhằm phát
huy cao độ tính chủ động, sáng tạo của ngƣời học là xu thế phát triển tất yếu của
giáo dục hiện nay. Nhận thức đúng xu thế phát triển của thời đại, Đảng ta khẳng
định: “Giáo dục - đào tạo là quốc sách hàng đầu”. Ngày 4/11/2013, Nghị quyết số
29 – NQ/TW về “Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu
công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trƣờng định hƣớng xã hội
chủ nghĩa và hội nhập quốc tế ” đã đƣợc Hội nghị TW 8 (khóa XI) thông qua.
Trong nhà trƣờng phổ thông, Hình học là một bộ phận cấu thành nên Toán
học. Đây là một môn học thú vị nhƣng tƣơng đối khó đối với học sinh bởi Hình
học là một môn học đòi hỏi tính chặt chẽ, tính logic và tính trừu tƣợng cao độ.
Trong chƣơng trình toán trung học cơ sở, các em đã đƣợc làm quen với các
quan hệ vuông góc trong mặt phẳng. Khi lên bậc trung học phổ thông, đặc biệt là
lớp 11 thì các quan hệ vuông góc đƣợc mở rộng nghiên cứu trong không gian.
Các định lý thuộc chủ đề “Quan hệ vuông góc” có vai trò rất quan trọng
trong việc học tập chủ đề này, không những giúp học sinh củng cố các khái niệm

và nắm vững các tính chất cơ bản thuộc chủ đề mà còn là công cụ thiết yếu để giải
các bài toán hình học không gian. Vậy làm thế nào để học sinh hiểu và vận dụng
nội dung của các định lí đó khi học chủ đề này là một vấn đề cần đƣợc quan tâm.
Sự thành công của việc dạy học phụ thuộc rất nhiều vào phƣơng pháp dạy
học đƣợc giáo viên lựa chọn. Cùng một nội dung nhƣng tùy thuộc vào phƣơng
pháp sử dụng thì kết quả sẽ khác nhau về mức độ lĩnh hội tri thức, sự phát triển trí
tuệ cùng các khả năng tƣ duy, về giáo dục đạo đức và sự chuyển biến thái độ hành
vi mà học sinh lĩnh hội. Từ những lí do trên đây, đồng thời xuất phát từ sự say mê

1


của bản thân, ham muốn tìm tòi, học hỏi, nghiên cứu sâu hơn về quan hệ vuông
góc trong không gian nhằm phục vụ cho việc giảng dạy sau khi ra trƣờng và giúp
đỡ các em học sinh học tốt hơn chủ đề quan hệ vuông góc trong không gian, tôi đã
chọn đề tài: “Thiết kế các tình huống dạy học định lí thuộc chủ đề quan hệ vuông
góc cho học sinh lớp 11”.
2. Mục đích nghiên cứu.
Thiết kế, phân tích và sử dụng những tình huống dạy học định lí thuộc chủ
đề quan hệ vuông góc cho học sinh lớp 11 nhằm nâng cao chất lƣợng, hiệu quả
của việc dạy và học chủ đề này.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
- Nghiên cứu cơ sở lí luận, thực tiễn dạy học định lí.
- Hệ thống các định lí thuộc chủ đề quan hệ vuông góc.
- Thiết kế các tình huống dạy học các định lí đó.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu.
- Đối tƣợng nghiên cứu: Các định lí thuộc chủ đề quan hệ vuông góc.
- Phạm vi nghiên cứu: Chƣơng trình hình học 11 cơ bản bậc trung học phổ
thông.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu.

- Nghiên cứu lí luận.
- Quan sát, điều tra.
- Tổng kết kinh nghiệm.
6. Giả thuyết khoa học.
Nếu thiết kế và sử dụng đƣợc tình huống dạy học định lí thuộc chủ đề quan
hệ vuông góc cho học sinh lớp 11 thì sẽ nâng cao chất lƣợng dạy và học chủ đề
này.
7. Cấu trúc khóa luận.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận gồm 2
chƣơng:
Chƣơng 1. Cơ sở lí luận
Chƣơng 2. Thiết kế các tình huống dạy học định lí thuộc chủ đề quan hệ
vuông góc cho học sinh lớp 11

2


NỘI DUNG
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN
1.1. Khái niệm định lí Toán học
- Định lí Toán học:
Trên phƣơng tiện tri thức khoa học, định lí đƣợc hiểu là:
- “Một mệnh đề toán học mà chân lí của nó đã đƣợc khẳng định hay phủ
định qua chứng minh” [7].
- “Mệnh đề toán học đã đƣợc chứng minh” (Le Petit larousse, Nhà xuất
bản Larouss – Bordas 1999).
Khác với tri thức khoa học, trong dạy học toán ở trƣờng phổ thông định lí
đƣợc hiểu là một mệnh đề đã đƣợc chứng minh là đúng.
Nói chung trong chƣơng trình toán ở trƣờng phổ thông, các định lí thƣờng
đƣợc đƣa vào một cách tƣờng minh, nghĩa là xuất hiện rõ ràng dƣới một cái nhãn

“định lí”.
Ví dụ 1: Định lí:
“Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không
làm thay đổi thứ tự của ba điểm thẳng hàng đó” [5].
Nhƣng cũng có những mệnh đề là một định lí (nghĩa là đƣợc chứng minh là
đúng) nhƣng lại không đƣợc nêu thành định lí.
Ví dụ 2: Các công thức lƣợng giác nhƣ công thức cộng, công thức biến đổi
tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng…
Định lí là một mệnh đề đã đƣợc chứng minh dựa trên các tiên đề và quá
trình suy luận, là những cái có thể chứng minh dựa vào lí thuyết đã đƣợc công
nhận. (Tiên đề là những điều đƣợc công nhận đúng mà không cần chứng minh)
- Thành phần định lí: Định lí gồm hai phần đó là giả thiết và kết luận.
Trong đó: Giả thiết là những điều đã cho; kết luận là những điều cần suy ra [6].
Ví dụ:
Định lí: “Nếu hai đƣờng thẳng phân biệt cùng song song với một đƣờng
thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.” [5]. Định lí này gồm hai phần là:
+ Giả thiết: a // c, b // c
+ Kết luận: a // b.

3


Định lí đƣợc đƣa ra dƣới hai dạng:
Dạng 1: Những định lí đƣợc hình thành thông qua các hoạt động đo đạc,
gấp hình, thao tác trực quan và đi đến công nhận định lí mà không cần chứng
minh.
Ví dụ: Định lí pytago, định lí về tính chất ba đƣờng trung tuyến của một
tam giác, định lí về đƣờng tròn ngoại tiếp, đƣờng tròn nội tiếp,…
Dạng 2: Định lí đƣợc hình thành cho học sinh trên cơ sở học sinh hoạt động
xác định định lí và chứng minh định lí hoàn chỉnh.

Ví dụ: Định lí ba đƣờng vuông góc
“Cho đƣờng thẳng a không vuông góc với (P) và đƣờng thẳng b nằm trong
(P). Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình
chiếu á của a trên (P)” [5].
Nhƣng dù định lí đƣợc diễn ra dƣới dạng nào thì ngƣời giáo viên cần linh
hoạt, áp dụng với từng mức độ yêu cầu của chƣơng trình để phù hợp với lứa tuổi
học sinh, tránh sự chán nản trong hoạt động học của học sinh. (Đặc biệt là những
định lí buộc học sinh phải thừa nhận mà không đƣợc chứng minh.)
- Chứng minh định lí: Giả sử G là tập hợp những mệnh đề toán học và φ
là một mệnh đề toán học nào đó. Ta nói rằng φ đƣợc chứng minh từ giả thiết G
nếu tồn tại một dãy hữu hạn các mệnh đề toán học

,

,….,

(1) sao cho các

yêu cầu sau đƣợc thỏa mãn:
a)

là φ

b) Với mọi i, 1

i

n,

hoặc là một mệnh đề, hoặc một định nghĩa, hoặc

một định lí, hoặc là một phần tử của G, hoặc đƣợc suy ra từ các mệnh đề đứng
trƣớc nó trong dãy (1) nhờ vào một quy tắc suy luận logic.
Nói cách khác, quá trình suy diễn xác nhận tính chân thực hoặc bác bỏ một
mệnh đề nào đó nhờ vào các mệnh đề đúng đã biết gọi là một chứng minh [4].
Ví dụ:
Định lí: “Nếu đƣờng thẳng d không nằm trong mặt phẳng (α) và d song
song với đƣờng thẳng d’ nằm trong (α) thì d song song với (α)” [1].
Để chứng minh định lí này ta làm nhƣ sau:

4


Gọi ( ) là mặt phẳng xác định bởi hai

β

đƣờng thẳng song song d, d’.
Ta có (α)
Nếu d

d

(β) = d’.
(α) = { } thì M

d’ hay d

{ } (mâu thuẫn với giả thiết).

α

d’

Vây d // (α).
Ví dụ:
Hệ quả: “Nếu một đƣờng thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song
song với một đƣờng thẳng nào đó trong mặt phẳng” [5].
Hệ quả này đƣợc suy ra trực tiếp từ định lí: “Nếu đƣờng thẳng a song song
với (P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt (P) thì cắt theo giao tuyến song song
với a”.
1.2. Vị trí của định lí và yêu cầu dạy học định lí
Vị trí của định lí:
Các định lí cùng với các khái niệm Toán học tạo thành nội dung cơ bản
của môn Toán, làm nền tảng cho việc rèn luyện kĩ năng bộ môn, đặc biệt là khả
năng suy luận và chứng minh, phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện tƣ
tƣởng, phẩm chất đạo đức [3].
Yêu cầu dạy học định lí
Việc dạy học các định lí toán học nhằm đạt đƣợc các yêu cầu sau đây:
+ Học sinh nắm đƣợc hệ thống định lí và những mối liên hệ giữa chúng, từ
đó có khả năng vận dụng chúng vào hoạt động giải toán cũng nhƣ giải quyết các
vấn đề trong thực tiễn.
+ Học sinh thấy đƣợc sự cần thiết phải chứng minh định lí, thấy đƣợc
chứng minh định lí là một yếu tố quan trọng trong phƣơng pháp làm việc trên lĩnh
vực toán học.
+ Học sinh hình thành và phát triển năng lực chứng minh toán học, từ chỗ
hiểu chứng minh, trình bày lại đƣợc chứng minh, nâng lên đến mức độ biết cách
suy nghĩ để tìm ra chứng minh.

5

+ Thông qua học tập những định lí toán học, học sinh biết nhìn nhận nội
dung môn toán dƣới góc độ phát hiện và giải quyết vấn đề, đồng thời rèn luyện
đƣợc kĩ năng này [3].
1.3. Hai con đƣờng dạy học định lí
Trong việc dạy học định lí Toán học, ngƣời ta phân biệt hai con đƣờng:
Con đƣờng có khâu suy đoán và con đƣờng suy diễn. Hai con đƣờng này đƣợc
minh họa bằng sơ đồ:
Con đƣờng có khâu suy đoán

Con đƣờng suy diễn

Gợi động cơ và phát biểu vấn đề

Dự đoán và phát biểu định lí

Suy diễn dẫn tới định lí

Chứng minh định lí

Phát biểu định lí

Vận dụng định lí để giải quyết vấn đề đặt ra

Củng cố định lí
Dƣới đây ta sẽ đi sâu vào từng con đƣờng:
Con đường có khâu suy đoán
Thực hiện dạy học định lí theo con đƣờng có khâu suy đoán bao gồm 5
bƣớc:

Bƣớc 1: Gợi động cơ học tập định lí
Xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong thực tiễn hoặc trong nội bộ toán
học, giáo viên phải chỉ cho học sinh thấy đƣợc sự cần thiết, lợi ích và vai trò của
định lí trong giải toán cũng nhƣ trong thực tiễn cuộc sống [3].
Ví dụ 1:
Định lí: “Có duy nhất một đƣờng thẳng đi qua một điểm cho trƣớc và
vuông góc với một mặt phẳng cho trƣớc” [1].

6


+ Gợi động cơ xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong thực tiễn:
Giả sử đƣờng thẳng ở góc tƣờng là giao của hai mặt tƣờng chứa bảng và
chứa cửa ra vào. Cho một điểm O nằm trên đƣờng thẳng đó và mặt phẳng sàn của
chúng ta là mặt phẳng cho trƣớc. Nhìn vào ta thấy có bao nhiêu đƣờng thẳng chứa
điểm O đó vuông góc với mặt sàn của chúng ta?
+ Gợi động cơ từ nội bộ Toán học: Từ định lí: “Có duy nhất một mặt phẳng
đi qua một điểm cho trƣớc và vuông góc với một đƣờng thẳng cho trƣớc”. Vậy
nếu tôi thay từ “mặt phẳng” thành từ “đƣờng thẳng” và thay từ “đƣờng thẳng”
thành từ “mặt phẳng” thì đƣờng thẳng đó có duy nhất không?
Ví dụ 2: Định lí côsin
Vẽ lên bảng một tam giác ABC vuông tại A, có các cạnh tƣơng ứng là
AB = c, AC = b, BC = a.
Giáo viên: Để tính BC khi đã biết AB và AC ta sử dụng công thức nào?
Học sinh: Sử dụng định lí Pytago

=

+

Giáo viên: Nhƣ vậy khi biết A là góc vuông và biết độ dài hai cạnh kề thì ta
có thể tính đƣợc cạnh còn lại. Nếu vẫn cho biết độ lớn góc A và độ dài hai cạnh kề
của nó nhƣng góc A là một góc bất kì, liệu có tính đƣợc độ dài cạnh thứ ba không?
Ví dụ 3: Sau khi học xong định lí: “Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại
điểm

thì nó liên tục tại điểm đó.”
Vậy ngƣợc lại: Nếu hàm số y = f(x) liên tục tại điểm

thì liệu nó có đạo

hàm tại điểm đó không?
Bƣớc 2: Dự đoán và phát biểu định lí
Dựa vào những phƣơng pháp nhận thức mang tính suy đoán: quy nạp
không hoàn toàn, lật ngƣợc vấn đề, tƣơng tự hóa, khái quát hóa một định lí đã biết,
nghiên cứu trƣờng hợp suy biến, xét mối liên hệ và phụ thuộc, …Từ đó chúng ta
dự đoán ra nội dung định lí và phát biểu nội dung định lí [3].
Ví dụ 1: Dự đoán và phát biểu định lí “Phép quay là phép dời hình” bằng
quan sát thực tế [5].
Giáo viên: Gắn hai điểm A, B trên chiếc vô lăng của xe ô tô. Khi chiếc vô
lăng quay thì vị trí của hai điểm A, B và khoảng cách giữa hai điểm A, B có bị
thay đổi không?

7


Học sinh: Vị trí của hai điểm A, B thay đổi nhƣng khoảng cách giữa chúng
thì không thay đổi.
Giáo viên: Từ tình huống trên, dự đoán mối liên hệ giữa phép quay và phép
dời hình?

Học sinh: Phép quay là phép dời hình.
Ví dụ 2: Dự đoán bằng tƣơng tự hóa tính chất “Hai mặt phẳng phân biệt
cùng vuông góc với một đƣờng thẳng thì song song với nhau” [1].
Gợi động cơ: Ta đã biết hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt
phẳng thứ ba thì song song với nhau. Vậy ngoài cách nhận biết hai mặt phẳng
song song bằng cách này, ta còn có cách nào khác để nhận biết đƣợc hai mặt
phẳng song song không?
Dự đoán: Trong mặt phẳng, ta có tính chất: “Hai đƣờng thẳng phân biệt
cùng vuông góc với một đƣờng thẳng thứ ba thì song song với nhau”.
Giáo viên: Tƣơng tự, trong không gian, nếu cho hai mặt phẳng phân biệt
cùng vuông góc với một đƣờng thẳng thì chúng có song song với nhau không?
Học sinh: Dự đoán hai mặt phẳng đó có song song với nhau.
Khi trình bày xong một dự đoán, học sinh đứng trƣớc hai câu hỏi cần trả lời
(hay hai vấn đề cần giải quyết) dự đoán đúng hay sai? Vì sao? Nói cách khác học
sinh đứng trƣớc một bài toán mở cần giải quyết và có một sự không chắc chắn về
mệnh đề dự đoán (không biết nó đúng hay sai). Tính không chắc chắn này là động
cơ để học sinh hình thành những phép thử, những mò mẫm,... Đó chính là cơ hội
để phát triển dần dần ở học sinh các khả năng nghiên cứu khoa học.
Bƣớc 3: Chứng minh định lí
Hƣớng dẫn cho học sinh tìm đƣờng lối chứng minh định lí và cách trình
bày chứng minh định lí, đặc biệt chú ý việc gợi động cơ chứng minh và gợi cho
học sinh thực hiện những hoạt động ăn khớp với những phƣơng pháp suy luận,
chứng minh thông dụng và những quy tắc kết luận logic thƣờng dùng [3].
Ví dụ 1: Định lí: “Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và
cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là
=

với k

8

2.


Hướng dẫn chứng minh:
Giáo viên: Giả sử (
với n

1

) là cấp số cộng với công sai d, ta có:

(1)

Sử dụng công thức (1) với k

2, hãy biểu diễn

và

qua

và d ?

Học sinh:

Giáo viên: Tính tổng

, từ đó suy ra điều phải chứng minh.

với

Học sinh:

⇒

=2

=

Giáo viên: Đƣa ra sơ đồ chứng minh và yêu cầu học sinh về nhà trình bày
hoàn chỉnh lời giải vào vở.
là cấp số cộng với công sai d



Chứng minh rằng:

=2


Chứng minh rằng:

=

(với k

2)

Ví dụ 2: Định lí: “Nếu phép vị tự tâm O tỉ số k biến hai điểm M, N tùy ý

theo thứ tự thành M’, N’ thì ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = k. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và M’N’ = | |.MN” (xem [1]).
Chứng minh:
Giáo viên: Giả sử O là tâm phép vị tự tỉ số k. Theo định nghĩa của phép vị
tự hãy biểu diễn ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ qua ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ?
Học sinh: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = k⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = k⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Giáo viên: Hãy biểu diễn ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ qua ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Từ đó suy ra điều phải chứng
minh ?
Học sinh:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = k⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - k⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = k(⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = k⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Từ đó suy ra M’N’ = | |MN

9


Bƣớc 4: Vận dụng định lí vừa tìm đƣợc để giải quyết, khép kín vấn đề đặt
ra khi gợi động cơ [3].
Ví dụ: Ở bƣớc 1 ta đã lấy ví dụ về việc gợi động cơ khi dạy học định lí.
Vậy vận dụng định lí, ta có thể trả lời đƣợc hai câu hỏi đã nêu ra ở phần gơi động
cơ, đó là:
+ Có duy nhất một đƣờng thẳng đi qua điểm O và vuông góc với mặt phẳng
sàn.
+ Khi thay từ “mặt phẳng” thành từ “đƣờng thẳng” và thay từ “đƣờng
thẳng” thành từ “mặt phẳng” thì đƣờng thẳng đó là duy nhất.
Bƣớc 5: Củng cố định lí
Việc dạy học định lí chƣa kết thúc ngay sau khi phát biểu và chứng minh
định lí, khâu này thƣờng đƣợc thực hiện bởi các hoạt động: nhận dạng và thể hiện
định lí; hoạt động ngôn ngữ; khái quát hóa, đặc biệt hóa và hệ thống hóa những
định lí. Ngoài ra, việc vận dụng định lí để giải bài tập toán không những có tác
dụng củng cố định lí mà còn chính là mục tiêu sâu xa của việc học tập định lí [3].
Ví dụ: Khi học sinh học xong định lí về số hạng tổng quát của cấp số cộng

thì giáo viên đƣa ra hoạt động củng cố định lí nhƣ sau:
Giáo viên: Cho (

) là cấp số cộng có

Học sinh: Áp dụng công thức:

=

= 18 và công sai d = -5. Hãy tính

.

+ (n – 1)d. Ta có:

= 18 + (68 - 1).(-5) = - 317
Vậy

= - 317

Đây chính là hoạt động thể hiện định lý nhằm giúp học sinh hiểu và vận
dụng định lí để giải bài tập toán.
 Dạy học bằng con đƣờng có khâu suy đoán có những ƣu diểm và nhƣợc
điểm sau:
 Ƣu điểm:
- Khuyến khích tìm tòi, dự đoán, phát hiện vấn đề trƣớc khi giải quyết vấn đề.
- Khuyến khích học tập tri thức toán học trong quá trình nó đang nảy sinh
và phát triển chứ không hạn chế ở việc trình bày lại tri thức toán học có sẵn.
- Học sinh có ý thức rõ ràng về sự phân biệt và mối liên hệ giữa suy đoán
và chứng minh.

10


- Khuyến khích phát triển năng lực trí tuệ chung nhƣ phân tích, tổng hợp,
trừu tƣợng hóa, khái quát hóa,…
 Nhƣợc điểm: Tốn nhiều thời gian.
Điều kiện sử dụng: thƣờng đƣợc sử dụng khi tồn tại một cách tìm tòi, phát
hiện định lí mà học sinh có thể hiểu đƣợc và có thể tự mình thực hiện đƣợc tới
mức độ nhất định [3].
Con đường suy diễn
Con đƣờng suy diễn là con đƣờng xuất phát từ những tri thức toán học đã
biết để dẫn đến định lí. Thực hiện dạy học định lí bằng con đƣờng suy diễn bao
gồm 5 bƣớc:
Bƣớc 1: Gợi động cơ học tập định lí xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh
trong thực tiễn hoặc trong nội bộ Toán học. Giáo viên chỉ cho học sinh thấy đƣợc
sự cần thiết, lợi ích và vai trò của định lí trong giải toán cũng nhƣ trong thực tiễn
cuộc sống [3].
Ví dụ 1: Đối với định lý (Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc): “Nếu
một mặt phẳng chứa một đƣờng thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai
mặt phẳng đó vuông góc với nhau” [5].
+ Ta có thể gợi động cơ từ thực tế: Ta nhận thấy chân bàn vuông góc với
mặt bàn. Vậy mặt phẳng chứa chân bàn có vuông góc với mặt bàn không? Từ đây,
ta có định lí sau nói về điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc.
+ Ta cũng có thể gợi động cơ từ nội bộ môn toán: Ta đã biết hai mặt phẳng
đƣợc gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng

. Vậy muốn chứng

minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì ta phải chứng minh góc giữa chúng

bằng

. Tuy nhiên, trong nhiều trƣờng hợp việc xác định góc giữa hai mặt

phẳng là rất khó khăn, thậm chí không thể xác định đƣợc.Vậy ngoài cách xác định
số đo góc giữa hai mặt phẳng, ta còn có cách nào khác để chứng minh đƣợc hai
mặt phẳng vuông góc với nhau không?
Ví dụ 2: Định lí: “Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm
thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó”.
Gợi động cơ: Phép đối xứng trục biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm
thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó. Vậy phép tịnh tiến có tính
chất này không?

11


Bƣớc 2: Xuất phát từ những tri thức toán học đã biết, dùng suy diễn logic
dẫn tới định lí [3].
Ví dụ:
Giáo viên: Các em vừa đƣợc học định lí: “Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm
M, N lần lƣợt thành hai điểm M’, N’ thì M’N’ = MN”. Giả sử phép tịnh tiến biến
ba điểm A, B, C thành 3 điểm A’, B’, C’ thì theo định lí trên ta có điều gì?
Học sinh : Ta có: A’B’ = AB; B’C’= BC; A’C’= AC
Giáo viên: Nếu A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A và C thì ta có điều gì?
Từ đó suy ra mối quan hệ giữa A’, B’ và C’.
Học sinh: Ta có AB+ BC= AC ⇒ A’B’+ B’C’= A’C’⇒ A’, B’, C’ thẳng
hàng và B’ nằm giữa A’ và B’.
Giáo viên: Nhƣ vậy phép tịnh tiến làm cho vị trí của ba điểm thẳng hàng
không thay đổi. Từ đó ta có định lí sau: “Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng
thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó”[5].

Bƣớc 3: Phát biểu định lí
Ví dụ: Từ suy diễn trên ta có định lí sau: “Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng
hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó”.
Bƣớc 4: Vận dụng định lí vừa tìm đƣợc, khép kín vấn đề đặt ra khi gợi
động cơ.
Ví dụ:
Giáo viên: Thông qua định lí về điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc đã
nêu ở bƣớc 1, hãy trả lời câu hỏi: Nếu chân bàn vuông góc với mặt bàn thì mặt
phẳng chứa chân bàn có vuông góc với mặt bàn không?
Học sinh: Mặt phẳng chứa chân bàn có vuông góc với mặt bàn.
Bƣớc 5: Củng cố định lí thông qua các hoạt động: nhận dạng và thể hiện
định lí; hoạt động ngôn ngữ; khái quát hóa, đặc biệt hóa và hệ thống hóa những
định lí; Ngoài ra, việc vận dụng định lí để giải bài tập toán không những có tác
dụng củng cố định lí mà còn chính là mục tiêu sâu xa của việc học tập định lí [3].
Ví dụ: Sau khi học xong định lí ba đƣờng vuông góc, giáo viên đƣa ra hệ
thống câu hỏi để củng cố định lí nhƣ sau:
<?1> Hãy phát biểu định lí theo ý hiểu?

12


<?2> Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD và có cạnh
bên SA vuông góc với đáy. Chứng minh các mặt bên (SBC), (SCD) của hình chóp
đã cho là những tam giác vuông.
Hướng dẫn:

S

<?1> HÌnh chiếu vuông góc của SD trên
(ABCD) là?

<?2> Quan hệ AD và CD?
<?3> Hình chiếu vuông góc của SB trên

A

(ABCD) là?

B

<?4> Quan hệ BC và AB?

D

C

Dạy học bằng con đƣờng suy diễn có những ƣu diểm và nhƣợc điểm sau:
 Ƣu điểm: ngắn gọn và tạo cơ hội cho học sinh tập dƣợt tự học theo
những sách báo toán học.
 Nhƣợc điểm: đối lập với ƣu điểm của con đƣờng có khâu suy đoán.
Điều kiện sử dụng: Thƣờng đƣợc dùng khi chƣa thiết kế đƣợc một cách dễ
hiểu để học sinh có thể tìm tòi, phát hiện định lí, hoặc khi quá trình suy diễn dẫn
tới định lí là đơn giản và ngắn gọn. Ví dụ: dạy học một số công thức tính toán nhƣ
tính sin 2a, cos2a, tan 2a và cot 2a dựa vào công thức cộng cung [3].
Phân biệt hai con đƣờng:
Giống nhau: Cả hai con đƣờng đều có cùng thứ tự các bƣớc 1 (gợi động
cơ), bƣớc 4 (vận dụng định lí), bƣớc 5 (củng cố định lí).
Khác nhau: Đối với bƣớc hai và ba ở con đƣờng có khâu suy đoán thì phần
dự đoán và phát biểu định lí đƣa ra trƣớc rồi mới đến phần chứng minh định lí.
Còn ở con đƣờng suy diễn thì phần suy diễn để dẫn tới định lí (thực chất là phần
chứng minh định lí) lại đƣợc diễn ra trƣớc rồi mới đến phần phát biểu định lí. Do

đó, bƣớc hai và bƣớc ba của hai con đƣờng là ngƣợc nhau.

13


1.4. Hoạt động củng cố định lí
Nhận dạng và thể hiện định lí:
- Nhận dạng và thể hiện định lí là hai dạng hoạt động theo chiều hƣớng trái
ngƣợc nhau, có tác dụng củng cố định lí, tạo tiền đề cho việc vận dụng định lí.
+ Nhận dạng một định lí: là cho học sinh xét xem một tình huống cho trƣớc
có ăn khớp với định lí đó hay không.
+ Thể hiện một định lí: là xây dựng cho học sinh một tình huống ăn khớp
với định lí cho trƣớc [6].
Ví dụ: Định lí về điều kiện để đƣờng thẳng

B

C

song song với mặt phẳng: “Nếu đƣờng thẳng a
không nằm trên mặt phẳng (P) và song song với

A

D

một đƣờng thẳng nào đó nằm trên (P) thì a song
song với (P)” [5].

B’

C’

+ Củng cố định lí bằng hoạt động nhận

A’

dạng và thể hiện sau:

D’

Cho hình lập phƣơng ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng:
a. AB // (A’B’C’D’)
b. CD // (ABB’A’)
Hoạt động ngôn ngữ:
Cho học sinh thực hiện những hoạt động ngôn ngữ dƣới đây sẽ vừa có tác
dụng củng cố định lí, lại vừa góp phần phát triển ngôn ngữ cho học sinh - một
nhiệm cần thực hiện ở mọi môn học trong nhà trƣờng phổ thông.
+ Phát biểu lại định lí bằng lời lẽ của mình và biết thay đổi cách phát biểu,
diễn đạt định lí dƣới những dạng ngôn ngữ khác nhau.
+ Phân tích nội dung định lí nhằm chỉ cho học sinh thấy ý chính, đặc trƣng
chứa đựng trong định lí.
Ví dụ: Định lí ba đƣờng thẳng vuông góc: “Cho đƣờng thẳng a không vuông
góc với mặt phẳng (P) và đƣờng thẳng b nằm trong (P). Khi đó, điều kiện cần và đủ
để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P)” [5].

14


Củng cố định lí trên bằng các hoạt động ngôn ngữ sau:

 Phân tích cho học sinh thấy ý nghĩa chính của định lí là giúp chúng ta
nhanh chóng nhận ra hai đƣờng thẳng chéo nhau và vuông góc trong không gian.
 Diễn tả ngắn gọn định lí ba đƣờng vuông góc bằng lời để học sinh dễ
vận dụng (đƣờng thẳng đã vuông góc với đƣờng xiên thì vuông góc với hình chiếu
và ngƣợc lại).
 Tại sao định lí lại có tên là định lí ba đƣờng vuông góc? (Vì định lí liên
quan đến ba đƣờng: đƣờng vuông góc, đƣờng xiên, hình chiếu).
Khái quát hóa, đặc biệt hóa và hệ thống hóa.
- Khái quát hóa, đặc biệt hóa và hệ thống hóa, lật ngƣợc vấn đề,… Các
hoạt động này cũng cho phép củng cố định lí, vì nó giúp hiểu rõ hơn các đặc trƣng
của định lí, mối quan hệ của định lí với các định lí đã học, với định lí mới mà ta
công nhận hay sắp chứng minh và cả với những mệnh đề dự đoán mà ta mong
muốn học sinh đi nghiên cứu sâu dự đoán [3].
Khái quát hóa: Ở trƣờng phổ thông, khái quát hóa định lí thƣờng đƣợc
hiểu là mở rộng định lí.
Ví dụ: Khái quát hóa định lí về mối liên hệ giữa trung bình cộng và trung
bình nhân. Chẳng hạn mở rộng công thức:
≥√

(

a ≥ 0, b ≥ 0 )

thành công thức:
√

(

0, i = ̅̅̅̅̅ )

Đặc biệt hóa: Theo G. Polya: “Đặc biệt hóa là chuyển từ việc nghiên cứu
một tập hợp đối tƣợng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa
trong tập hợp đã cho” [6].
Ví dụ: Phƣơng trình bậc hai a

+ bx + c = 0 có

+ Nếu

0, phƣơng trình vô nghiệm.

+ Nếu

0, phƣơng trình có nghiệm kép x =

+ Nếu

0, phƣơng trình có 2 nghiệm phân biệt:

15

=

- 4ac

=

√

Đặc biệt, nếu phƣơng trình trên có những dấu hiệu sau:

- Nếu a + b + c = 0 thì lúc đó nghiệm của phƣơng trình là:

= 1,

=

- Nếu a - b + c = 0 thì lúc đó nghiệm của phƣơng trình là:

= -1,

=

- Nếu ac

thì phƣơng trình có hai nghiệm trái dấu.

Hệ thống hóa: chủ yếu là biết sắp định lí mới vào hệ thống định lí đã học,
nhận biết mối quan hệ giữa những định lí khác nhau trong một hệ thống định lí.
Ví dụ1: Liên hệ giữa định lí “Dấu của tam thức bậc hai” với định lí “Dấu
của nhị thức bậc nhất” ta thấy chúng có chung đặc điểm khi xét dấu là đều tuân
thủ quy tắc: ngoài cùng dấu, trong trái dấu với hệ số a.
Ví dụ 2: Sau khi học xong công thức tính thể tích của tứ diện:
h, chúng ta có thể suy ra đƣợc với công thức tính thể tích lăng trụ

V=

tam giác vì một lăng trụ tam giác tách đƣợc thành ba tứ diện. Do vậy, công thức
tính thể tích lăng trụ tam giác là: V =

h. Từ đó, ta suy ra mối quan hệ giữa

công thức tính thể tích lăng trụ tam giác với công thức tính thể tích của tứ diện
nhƣ sau:
=
1.5. Phát triển năng lực chứng minh Toán học
Gợi động cơ chứng minh
Những lần đầu chứng minh một định lí hay giải một bài tập chứng minh
theo yêu cầu của giáo viên, học sinh thƣờng chƣa thấy rõ sự cần thiết phải làm
việc này. Do đó, vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh thấy rõ sự cần thiết phải
chứng minh một mệnh đề Toán học?
+ Cần cho học sinh thấy rằng những điều quan sát trên hình vẽ chỉ là trên
một hình vẽ, không thể kết luận trong trƣờng hợp tổng quát, đối với một mệnh đề
tổng quát không thể thử trên vô số trƣờng hợp, do đó cần phải chứng minh nó.
+ Từ yêu cầu trên thực tế cũng giúp học sinh thấy cần thiết phải chứng
minh.
+ Ngoài việc gợi động cơ chứng minh thì việc chọn ví dụ và vẽ hình giúp
cho học sinh thấy đƣợc sự chứng minh.

16


+ Tồn tại một số định lí của hình học phẳng mà nếu phát biểu nguyên văn
thì sẽ không đúng trong hình học không gian, chẳng hạn: “Hai đƣờng thẳng cùng
vuông góc với đƣờng thẳng thứ 3 thì song song với nhau”.
+ Trong một số trƣờng hợp, để tính toán hoặc xác định vị trí của một điểm
hoặc tìm quỹ tích trƣớc hết ngƣời ta phải chứng minh một tính chất nào đó [3].
Ví dụ : Cho tứ diện ABCD, trong đó AB = AC = AD = m và BC = CD =
DB = n. Tính thể tích của tứ diện ?

Hướng dẫn:
Gọi H là chân đƣờng cao xuất phát từ A của tứ diện, để tính thể tích của tứ
diện đó, trƣớc hết ta cần chứng minh rằng H là tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác
BCD.
Tập luyện cho học sinh những hoạt động thành phần trong chứng minh.
- Trƣớc hết, cần có ý thức tập luyện cho học sinh những hoạt động trí tuệ
chung nhƣ : phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tƣợng hóa, khái quát hóa,…thƣờng
xuất hiện nhƣ những hoạt động thành phần trong chứng minh.
- Cần tập luyện cho học sinh những quy tắc kết luận logic thƣờng dùng,
thƣờng dùng nhiều nhất là quy tắc có sơ đồ
làm nổi bật quy luật

. Cùng với việc nhấn mạnh và

, giáo viên cần quan tâm dùng những ví dụ cụ thể bác

bỏ những sai lầm do học sinh hay ngộ nhận [3]:

̅
̅
Ví dụ: Áp dụng quy tắc

, ta có:

Các số nguyên có chữ số tận cùng là 0 thì chia hết cho 5. Vậy có 100 thì
100 chia hết cho 5.
Trong tình huống này, học sinh có thể sai lầm như sau:
Các số nguyên có chữ số tận cùng là 0 thì chia hết cho 5. Vậy những số
nguyên không có chữ số tận cùng là 0 thì sẽ không chia hết cho 5.

17


̅

Ở đây, học sinh đã vi phạm quy tắc

̅

. Điều mà học sinh đƣa ra là

không đúng vì những số nguyên có chữ số tận cùng là 5 thì cũng chia hết cho 5.
Hướng dẫn cho học sinh những tri thức phương pháp trong chứng
minh.
Trong quá trình dạy học chứng minh, cần hƣớng dẫn cho học sinh những tri
thức phƣơng pháp trong chứng minh Toán học.
Thứ nhất, là những tri thức về các quy tắc kết luận logic nhƣng ở trƣờng
phổ thông, chúng chỉ đƣợc truyền thụ theo con đƣờng không tƣờng minh: tập
luyện cho học sinh những hoạt động ăn khớp với những quy tắc đó [3].
Thứ hai, cần giúp cho học sinh hình thành những tri thức về những
phƣơng pháp suy luận, chứng minh nhƣ suy ngƣợc, suy xuôi, quy nạp toán học và
chứng minh bằng phản chứng. Đặc biệt, cần cho học sinh nắm đƣợc các tri thức
sau:
 Phép suy xuôi có sơ đồ: A =
→
→ …→ = B
 Phép suy ngƣợc có sơ đồ:
B=
→
→ …→ = A (Suy ngƣợc tiến)

B=
…
= A (Suy ngƣợc lùi)
Trong đó, A là một định nghĩa, tiên đề hay một mệnh đề đúng nào đó, còn
B là mệnh đề cần chứng minh [3].
Ví dụ: Phƣơng pháp đi ngƣợc
Định lí côsin:
Trong tam giác ABC bất kì với BC= a, AB= c, AC= b. Ta có:
(1)
(2)
(3)
Hướng dẫn:
Chứng minh rằng:

⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
|⃗⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗⃗ |
Chứng minh rằng:

Chứng minh rằng:

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗


|⃗⃗⃗⃗⃗ |

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

Tƣơng tự, ta sẽ chứng minh đƣợc công thức (2) và (3).

18


Thứ ba, cần làm cho học sinh thấy rõ ba bộ phận cấu thành và ba yêu cầu
đảm bảo chứng minh.
+ Một chứng minh bao gồm ba bộ phận:
 Luận đề: là mệnh đề cần chứng minh.
 Luận cứ: là những tiên đề, định nghĩa, định lí đã biết.
 Luận chứng: là những phép suy luận đƣợc sử dụng trong chứng minh.
+ Ba yêu cầu đảm bảo chứng minh là đúng:
i) Luận đề không đƣợc đánh tráo.
ii) Luận cứ phải đúng.
iii) Luận chứng phải hợp logic [3].
Thứ tƣ, ngƣời giáo viên cần có ý thức phát hiện và sửa chữa những sai lầm
vi phạm ba yêu cầu của học sinh mà sau đây là một số ví dụ:
Ví dụ: Sai lầm về luận đề bị đánh tráo.
Chứng minh rằng với m
m

– (2m +1).

- 4 thì phƣơng trình:

+ m + 4 = 0 luôn có 2 nghiệm trái dấu.

Một học sinh đƣa ra lời giải nhƣ sau: Đặt
chứng minh rằng với m

- 4 thì phƣơng trình: m

có 2 nghiệm trái dấu. Khi đó ta phải có m(m+4)
Vậy với m

= t thì bài toán trở thành

- 4 thì phƣơng trình: m

– (2m +1)t + m + 4 = 0 luôn
0  -4

– (2m +1).

m

0.

+ m + 4 = 0 không

thể có 2 nghiệm trái dấu ⇒ đề bài ra bị sai.
Sai lầm:
Học sinh sai lầm vì đã đánh tráo luận đề, thực ra luận đề tƣơng đƣơng là:
Chứng minh rằng với m
có 2 nghiệm

,

- 4 thì phƣơng trình: m

thỏa mãn: 0

1

thức bậc hai, ta có:
{

m

-4

Vậy mệnh đề đƣợc chứng minh.

19

– (2m +1)t + m + 4 = 0 luôn

. Khi đó, theo định lí đảo dấu tam