toán nhóm 3 đạo hàm

CHUYÊN ĐỀ: ĐẠO HÀM



CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM

1. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM


I.

ĐẠO HÀM TẠI 1 ĐIỂM

1. Bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm

Bài toán: Xét chuyển động của chất điẻm trên trục s’o s. Quãng đường
của chuyển động là hàm số của thời gian s=s(t). Tính vận tốc tức thời
của chuyển động tại thời điểm t0..
+ Trong khoảng thời gian t-t0 chất điểm đi được quãng đường: s(t)-s(t0)

s( t ) - s ( t 0 )
Chất điểm cđ không đều vận tốc trung bình là: vtb =
t - t0

+Nếu t càng gần tO thì vtb càng gần v(t0). Vậy vận tốc tức thời tại t0 là:

s ( t ) − s( t 0 )
v(t0 ) = lim
t → t0
t − t0
S’ O

{vÞ trÝ ban
®Çu t=0}

s( t 0 )

{t¹i t0}

s( t )
{t¹i t}

S


Đạo hàm là một khái niệm Toán học có xuất xứ từ những bài toán thực
tiễn, kĩ thuật khác nhau như Cơ học, Vật lí, Hình học, Hóa học, Sinh
học... sự xuất hiện đạo hàm như sau

Vận tốc tức thời

Cường độ dòng
điện tức thời

Tốc độ phản ứng
hóa học tức thời

s (t ) − s(t0 )
C (t ) − C (t0 )
Q(t ) − Q(t0 )
v(t0 ) = lim
v(t0 ) = lim

I (t0 ) = lim
t →t
t → t0
t →t
t − t0
t − t0
t − t0
0

Đạo hàm

f ( x ) − f ( x0 )
lim
x → x0
x − x0

0


I.

ĐẠO HÀM TẠI 1 ĐIỂM

1.

Bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm

2.

Định nghĩa đạo hàm tại 1 điểm:

x0 ∈ (a; b)
Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) xác định trên (a;b) và
Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn của tỉ số f ( x) − f ( x0 ) khi x dần đến x0
x − x0
gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm
Ta có:

x0 là:
, kí hiệu

f ( x) − f ( x0 )
f '( x0 ) = lim
x → x0
x − x0

f '( x0 )


I.

ĐẠO HÀM TẠI 1 ĐIỂM

1.

Bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm

2.

Định nghĩa đạo hàm tại 1 điểm:

3.

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

f '( x0 ) = lim

x → x0

f ( x) − f ( x0 )
x − x0

Bước 1: Giả sử ∆x = x − x0 là số gia của đối số tại x0, tính

∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ).là số gia tương ứng của hàm số
∆y
Bước 2: Tính f '( x0 ) = ∆lim
x →0 ∆x


Bài tập :Tính đạo hàm của hàm số
bằng định nghĩa:


Ghi nhớ
1. Định nghĩa đạo hàm tại 1 điểm:

f ( x) − f ( x0 )
f '( x0 ) = lim
x → x0

x − x0

2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa
Bước 1: Giả sử ∆x = x − x0 là số gia của đối số tại x0,
∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ).
tính
f ( x) − f ( x )
f '( x0 ) = lim

x → x0

0

x − x0

Bước 2: Tìm

lim

∆x → 0

Bài tập về nhà:

∆y
∆x


Bài về nhà

Cuộc Sống Có Cần Đạo Hàm?
Ứng dụng hàm trong vật lý.
• Trong bài toán điện, sức điện động cảm ứng là đạo hàm của từ thông biến thiên.Trong
tụ điện thì dòng điện là đạo hàm của điện áp.
Ứng dụng trong hoá học.
• Vận tốc phản ứng tức thời tại một thời điểm bất kì
Ứng dụng trong sinh học
• Sự tăng trưởng dân số theo thời gian
Ứng dụng của đạo hàm vào thực tế thì hầu như ngành nào cũng có.
Từ khoa học tự nhiên, kĩ thuật, công nghệ, đến các bài toán trong các quá trình khoa học
xã hội
VD:
• Trong ngành cơ học lưu chất thì lưu lượng là đạo hàm của khối lượng lưu chất.
• Đạo hàm được ứng dụng trong các bài toán cực trị trong kinh tế hay là các bài toán về
tối ưu hóa trong kinh tế
• Đạo hàm là một phép tính cơ bản tiền đề cho việc xây dựng toán học cao cấp tiền đề
cho những môn học như giải tích hàm,giải tích phức , phương trình vi phân đạo hàm
riêng….


4.Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

a) Định lý: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì
nó liên tục tại x0 .
b) Chú ý:

Nếu hàm số y = f(x) có
đạo hàm tại điểm x0 thì
-Một hàm số gián đoạn tại x0 thì không có đạo hàm
f(x) liên tục tại điểm x0

hay không ?
tại điểm đó.

-Một hàm số liên tục tại x0 có thể không có đạo
hàm tại điểm đó.


Ví dụ 1:
Cho hàm số:

a) Xét tính liên tục của hàm số tại x = 0
b) Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0


* Tính liên tục:


* Tính đạo hàm

Vậy f(x) không có đạo hàm tại x = 0


1

y
x

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

-1

-2

y=x

-3
-4
-5
-6
-7
-8

2
y = -x

8

9

10


CÔNG THỨC ĐẠO HÀM




1. Hàm số y=sinx có đạo hàm trên R, và

(sinx)′ = cosx

2. Nếu hàm số u=u(x) có đạo hàm trên D thì trên D ta có:

(sinu)′ = (u′).cosu
3. Tương tự như trên mở rộng ta có:
[(Sinun) ’] = n.(Sinu)n-1.(sinu)′
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số y=sin(x3−x+2)
Giải: [sin(x3−x+2)]′=[cos(x3−x+2)].(x3−x+2)′=(3x2−1)cos(x3−x+2)


1. Hàm số y=cosx có đạo hàm trên R, và

(cosx)′ = -sinx

2. Nếu hàm số u=u(x) có đạo hàm trên D thì trên D ta
có:

(cosu)′ = -(u′).sinu
3. Tương tự như trên mở rộng ta có:
[(cosun) ’] = n.(cosu)n-1.(cosu)′


1. Hàm số lượng giác y=tanx có đạo hàm trên mỗi khoảng (
) ; (tanx)’=
1
π
π
−
+ kπ
+ kπ
2 có đạo2 hàm trên D và

cos 2 x
2. Nếu hàm số u=u(x)
u(x) ≠

với mọi x∈ D. Khi đó trên D ta có :
π
(tanu)’= 2 + kπ

u
'
3. Tương tự như trên mở rộng ta có:
cos 2u

n −1

[(tanu) ]' = n.(tan u ) .(tan u ) '
n

;


1. Hàm số lượng giác y=cotx có đạo hàm trên mỗi khoảng (
1
) ; (cotx)’=
−
2.

(k + 1)π
k
π

Nếu hàm số u=u(x) có đạo hàm trên D và

sin 2 x

với mọi x ∈ D. Khi đó trên D ta có :

u(x) ≠
(cotu)’=

kπ

u ' trên mở rộng ta có:
3. Tương tự
như
− 2
sin u

n

n −1

[(cotu) ]' = n.(cotu) .(cot u ) '

;


ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP


Phương pháp

• Khi tìm đạo hàm của hàm hợp, cần thực
hiện các bước:
0 w 0 v0 u
-Xác định các hàm u,v,w,... sao cho f=...
-Áp dụng công thức tính đạo hàm hàm hợp:
f’(x)=u’(x).v’(u(x)).w’(v(u(x)))...
o